Alam na natin na ang hanay ng mga tunay na numero na $R$ ay nabuo ng mga rational at irrational na mga numero.

Ang mga rational na numero ay maaaring palaging kinakatawan bilang mga decimal (finite o infinite periodic).

Ang mga hindi makatwirang numero ay isinulat bilang walang katapusan ngunit hindi umuulit na mga decimal.

Kasama rin sa hanay ng mga totoong numero na $R$ ang mga elementong $-\infty $ at $+\infty $, kung saan ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay $-\infty

Isaalang-alang ang mga paraan upang kumatawan sa mga tunay na numero.

Mga karaniwang fraction

Ang mga ordinaryong fraction ay isinusulat gamit ang dalawang natural na numero at isang pahalang na fractional bar. Pinapalitan talaga ng fractional bar ang division sign. Ang numero sa ibaba ng linya ay ang denominator (divisor), ang numero sa itaas ng linya ay ang numerator (divisible).

Kahulugan

Ang isang fraction ay tinatawag na wasto kung ang numerator nito ay mas mababa sa denominator nito. Sa kabaligtaran, ang isang fraction ay tinatawag na hindi wasto kung ang numerator nito ay mas malaki o katumbas ng denominator nito.

Para sa mga ordinaryong fraction, may mga simple, halos halata, ang mga panuntunan sa paghahambing ($m$,$n$,$p$ ay mga natural na numero):

1. ng dalawang fraction na may parehong denominator, mas malaki ang may mas malaking numerator, ibig sabihin, $\frac(m)(p) >\frac(n)(p) $ para sa $m>n$;
2. ng dalawang fraction na may parehong numerator, ang isa na may mas maliit na denominator ay mas malaki, ibig sabihin, $\frac(p)(m) >\frac(p)(n) $ para sa $m
3. ang tamang fraction ay palaging mas mababa sa isa; ang hindi wastong bahagi ay palaging mas malaki kaysa sa isa; isang fraction na ang numerator ay katumbas ng denominator ay katumbas ng isa;
4. Ang anumang hindi wastong fraction ay mas malaki kaysa sa anumang wastong fraction.

Mga desimal na numero

Ang notasyon ng isang decimal na numero (decimal fraction) ay may anyo: integer part, decimal point, fractional part. Ang decimal notation ng isang ordinaryong fraction ay maaaring makuha sa pamamagitan ng paghahati ng "anggulo" ng numerator sa denominator. Maaari itong magresulta sa alinman sa isang finite decimal fraction o isang infinite periodic decimal fraction.

Kahulugan

Ang mga fractional digit ay tinatawag na decimal place. Sa kasong ito, ang unang digit pagkatapos ng decimal point ay tinatawag na tenths digit, ang pangalawa - ang hundredths digit, ang pangatlo - ang thousandths digit, atbp.

Halimbawa 1

Tinutukoy namin ang halaga ng decimal na numero 3.74. Nakukuha namin ang: $3.74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

Maaaring bilugan ang decimal na numero. Sa kasong ito, dapat mong tukuyin ang digit kung saan ginaganap ang rounding.

Ang panuntunan sa pag-ikot ay ang mga sumusunod:

1. lahat ng mga digit sa kanan ng digit na ito ay pinapalitan ng mga zero (kung ang mga digit na ito ay bago ang decimal point) o itinapon (kung ang mga digit na ito ay pagkatapos ng decimal point);
2. kung ang unang digit na sumusunod sa ibinigay na digit ay mas mababa sa 5, ang digit ng digit na ito ay hindi binago;
3. kung ang unang digit na sumusunod sa ibinigay na digit ay 5 o higit pa, kung gayon ang digit ng digit na ito ay tataas ng isa.

Halimbawa 2

1. Bilugan natin ang numerong 17302 sa pinakamalapit na libo: 17000.
2. Bilugan natin ang numerong 17378 sa pinakamalapit na daan: 17400.
3. Bilugan natin ang bilang na 17378.45 hanggang sampu: 17380.
4. Bilugan natin ang numerong 378.91434 sa pinakamalapit na daang: 378.91.
5. Bilugan natin ang numerong 378.91534 sa pinakamalapit na daang: 378.92.

Pag-convert ng decimal na numero sa isang karaniwang fraction.

Kaso 1

Ang isang decimal na numero ay isang nagtatapos na decimal.

Ang paraan ng conversion ay ipinapakita sa sumusunod na halimbawa.

Halimbawa 2

Mayroon kaming: $3.74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

Bawasan sa isang karaniwang denominator at makakuha ng:

Maaaring bawasan ang fraction: $3.74=\frac(374)(100) =\frac(187)(50) $.

Kaso 2

Ang decimal na numero ay isang walang katapusang umuulit na decimal.

Ang paraan ng pagbabago ay batay sa katotohanan na ang periodic na bahagi ng isang periodic decimal fraction ay maaaring ituring bilang ang kabuuan ng mga miyembro ng isang walang katapusan na bumababa na geometric na pag-unlad.

Halimbawa 4

$0,\kaliwa(74\kanan)=\frac(74)(100) +\frac(74)(10000) +\frac(74)(1000000) +\ldots $. Ang unang miyembro ng progression ay $a=0.74$, ang denominator ng progression ay $q=0.01$.

Halimbawa 5

$0.5\kaliwa(8\kanan)=\frac(5)(10) +\frac(8)(100) +\frac(8)(1000) +\frac(8)(10000) +\ldots $ . Ang unang miyembro ng progression ay $a=0.08$, ang denominator ng progress ay $q=0.1$.

Ang kabuuan ng mga termino ng isang walang katapusang bumababa na geometric na pag-unlad ay kinakalkula ng formula na $s=\frac(a)(1-q) $, kung saan ang $a$ ay ang unang termino at ang $q$ ay ang denominator ng progression $ \kaliwa (0

Halimbawa 6

I-convert natin ang walang katapusang periodic decimal fraction na $0,\left(72\right)$ sa isang regular.

Ang unang miyembro ng progression ay $a=0.72$, ang denominator ng progression ay $q=0.01$. Nakukuha namin ang: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.72)(1-0.01) =\frac(0.72)(0.99) =\frac(72)( 99) =\frac(8 )(11)$. Kaya $0,\left(72\right)=\frac(8)(11) $.

Halimbawa 7

I-convert natin ang infinite periodic decimal fraction $0.5\left(3\right)$ sa isang regular.

Ang unang miyembro ng progression ay $a=0.03$, ang denominator ng progress ay $q=0.1$. Nakukuha namin ang: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.03)(1-0.1) =\frac(0.03)(0.9) =\frac(3)( 90) =\frac(1 )(30)$.

Kaya $0.5\left(3\right)=\frac(5)(10) +\frac(1)(30) =\frac(5\cdot 3)(10\cdot 3) +\frac( 1)(30 ) =\frac(15)(30) +\frac(1)(30) =\frac(16)(30) =\frac(8)(15) $.

Ang mga tunay na numero ay maaaring katawanin ng mga puntos sa linya ng numero.

Sa kasong ito, tinatawag namin ang numerical axis na isang walang katapusang tuwid na linya, kung saan ang pinagmulan (puntong $O$), positibong direksyon (ipinahiwatig ng isang arrow) at sukat (upang ipakita ang mga halaga) ay pinili.

Sa pagitan ng lahat ng tunay na numero at lahat ng punto ng numerical axis ay may isa-sa-isang sulat: ang bawat punto ay tumutugma sa isang numero at, sa kabaligtaran, ang bawat numero ay tumutugma sa isang punto. Samakatuwid, ang hanay ng mga tunay na numero ay tuloy-tuloy at walang katapusan sa parehong paraan kung paanong ang axis ng numero ay tuloy-tuloy at walang katapusan.

Ang ilang mga subset ng hanay ng mga tunay na numero ay tinatawag na mga numerical interval. Ang mga elemento ng isang numerical interval ay mga numerong $x\in R$ na nagbibigay-kasiyahan sa isang tiyak na hindi pagkakapantay-pantay. Hayaan ang $a\in R$, $b\in R$ at $a\le b$. Sa kasong ito, ang mga uri ng gaps ay maaaring ang mga sumusunod:

1. Interval $\left(a,\; b\right)$. Kasabay ng $ a
2. I-segment ang $\left$. Bukod dito, $a\le x\le b$.
3. Half-segment o half-intervals $\left$. Sa parehong oras $ a \le x
4. Infinite span, hal. $a

Ang malaking kahalagahan ay isa ring uri ng agwat, na tinatawag na kapitbahayan ng isang punto. Ang kapitbahayan ng isang ibinigay na punto $x_(0) \in R$ ay isang arbitrary na pagitan $\left(a,\; b\right)$ na naglalaman ng puntong ito sa loob mismo, ibig sabihin, $a 0$ - ika-10 radius.

Ang ganap na halaga ng numero

Ang absolute value (o modulus) ng isang real number na $x$ ay isang non-negative real number na $\left|x\right|$, na tinukoy ng formula: $\left|x\right|=\left\(\ begin(array)(c) (\; \; x\; \; (\rm on)\; \; x\ge 0) \\ (-x\; \; (\rm on)\; \; x

Sa geometriko, ang $\left|x\right|$ ay nangangahulugang ang distansya sa pagitan ng mga puntos na $x$ at 0 sa totoong axis.

Mga katangian ng ganap na halaga:

1. sumusunod ito mula sa kahulugan na $\left|x\right|\ge 0$, $\left|x\right|=\left|-x\right|$;
2. para sa modulus ng kabuuan at para sa modulus ng pagkakaiba ng dalawang numero, ang mga hindi pagkakapantay-pantay $\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$, $\ kaliwa|x-y\kanan|\le \kaliwa|x\kanan|+\kaliwa|y\kanan|$ at $\kaliwa|x+y\kanan|\ge \kaliwa|x\kanan|-\kaliwa|y \kanan|$,$\ kaliwa|x-y\kanan|\ge \kaliwa|x\kanan|-\kaliwa|y\kanan|$;
3. ang modulus ng produkto at ang modulus ng quotient ng dalawang numero ay nakakatugon sa mga pagkakapantay-pantay na $\left|x\cdot y\right|=\left|x\right|\cdot \left|y\right|$ at $\left |\frac(x)( y) \right|=\frac(\left|x\right|)(\left|y\right|) $.

Batay sa kahulugan ng ganap na halaga para sa isang di-makatwirang numero na $a>0$, maaari ding itatag ng isa ang pagkakapareho ng mga sumusunod na pares ng hindi pagkakapantay-pantay:

1. kung $ \left|x\right|
2. kung $\left|x\right|\le a$ then $-a\le x\le a$;
3. kung $\left|x\right|>a$ pagkatapos ay alinman sa $xa$;
4. kung $\left|x\right|\ge a$, pagkatapos ay alinman sa $x\le -a$ o $x\ge a$.

Halimbawa 8

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay $\left|2\cdot x+1\right|

Ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay katumbas ng mga hindi pagkakapantay-pantay na $-7

Mula dito makakakuha tayo ng: $-8

Kahulugan 1. Numerical axis Ang isang tuwid na linya ay tinatawag na may pinagmulan, sukat at direksyon na pinili dito.

Teorama 1. Mayroong isa-sa-isang pagsusulatan (bijection) sa pagitan ng mga punto ng numerical axis at ng mga tunay na numero.

Kailangan. Ipakita natin na ang bawat punto ng numerical axis ay tumutugma sa isang tunay na numero. Upang gawin ito, magtabi ng isang sukat na bahagi ng haba ng yunit

beses kaya ang puntong iyon magsisinungaling sa kaliwa ng punto , at ang punto
nasa kanan na. Susunod na segment
hatiin sa pamamagitan ng
bahagi at isantabi ang bahagi at beses kaya ang puntong iyon magsisinungaling sa kaliwa ng punto , at ang punto
nasa kanan na. Kaya, sa bawat yugto, ang bilang
,
… Kung matatapos ang pamamaraang ito sa ilang yugto, makukuha namin ang numero
(point coordinate sa linya ng numero). Kung hindi, pagkatapos ay tinatawag namin ang kaliwang hangganan ng anumang pagitan na "numero na may kawalan", at ang tama - "ang numero sa labis", o "pagtatantya ng numero na may kakulangan o labis, "at ang numero mismo ay magiging isang walang katapusang non-periodic (bakit?) decimal fraction. Maaari itong ipakita na ang lahat ng mga operasyon na may makatwirang pagtatantya ng isang hindi makatwirang numero ay tinukoy nang hindi malabo.

Kasapatan. Ipakita natin na ang anumang tunay na numero ay tumutugma sa isang punto sa axis ng numero. 

Kahulugan 2. Kung ang
, pagkatapos ay ang pagitan ng numero
tinawagsegment , kung
, pagkatapos ay ang pagitan ng numero tinawagpagitan , kung
, pagkatapos ay ang pagitan ng numero
tinawagkalahating pagitan .

O
kahulugan 3. Kung ang segment
nested na mga segment upang
, a
, kung gayon ang ganitong sistema ay tinatawag na SHS (nested segment system ).

Kahulugan 4. Sabi nila

(haba ng segment
may posibilidad na maging zero , sa kondisyon na
), kung.

Kahulugan 5. SVS, na
ay tinatawag na SSS (system of contracting segments).

Axiom ng Cantor-Dedekind: Sa anumang SHS, mayroong kahit isang punto na pagmamay-ari nilang lahat nang sabay-sabay.

Dahil ang mga makatwirang pagtatantya ng numero ay maaaring katawanin ng isang sistema ng mga segment ng pagkontrata, pagkatapos ay isang rational na numero ay tumutugma sa isang punto ng numerical axis kung mayroong isang solong punto sa sistema ng pagkontrata ng mga segment na nabibilang sa lahat ng mga ito nang sabay-sabay ( Teorama ni Cantor). Ipakita natin ito sa kabaligtaran.

. Hayaan at dalawang ganoong mga punto, at
,
. T
paano,
, pagkatapos
. Ngunit sa kabilang panig,
, at ang mga. simula sa ilang numero
,
ay magiging mas mababa kaysa sa anumang pare-pareho. Ang kontradiksyon na ito ay nagpapatunay kung ano ang kinakailangan. ■

Kaya, ipinakita namin na ang numerical axis ay tuloy-tuloy (walang "mga butas") at wala nang mga numero ang maaaring ilagay dito. Gayunpaman, hindi pa rin namin alam kung paano i-extract ang mga ugat mula sa anumang totoong numero (lalo na, mula sa mga negatibo) at hindi alam kung paano lutasin ang mga equation tulad ng
. Sa Seksyon 5, haharapin natin ang solusyon sa problemang ito.

3. 4. Ang teorya ng mga mukha

Kahulugan 1. Isang grupo ng
limitado mula sa itaas (galing sa ibaba ) kung may numero , ganyan
. Numero tinawagitaas (ibaba ) gilid .

Kahulugan 2. Isang grupo nglimitado kung ito ay may hangganan sa itaas at sa ibaba.

Kahulugan 3. Tumpak na gilid sa itaas upper bounded set ng mga tunay na numero
tinawag :

(mga. - isa sa mga itaas na mukha);

(mga. - hindi matitinag).

Magkomento. Great upper bound (TSB) ng isang set ng numero
ipinapahiwatig
(mula sa lat. supremum- ang pinakamaliit sa pinakamalaki).

Magkomento. Ang kaukulang kahulugan para sa TNG ( eksaktong ilalim na gilid) bigyan mo ang iyong sarili. Itinakda ang numero ng TNG
ipinapahiwatig
(mula sa lat. infinum- ang pinakamalaki sa pinakamaliit).

Magkomento. maaaring kabilang
, O pwedeng hindi. Numero ay isang TNG ng hanay ng mga negatibong tunay na numero, at isang TNG ng hanay ng mga positibong tunay na numero, ngunit hindi kabilang sa alinman sa isa o sa isa pa. Numero ay ang TNG ng set ng mga natural na numero at tumutukoy sa kanila.

Ang tanong ay lumitaw: mayroon bang eksaktong mga hangganan ang anumang bounded set, at ilan ang mayroon?

Teorama 1. Ang anumang walang laman na hanay ng mga tunay na numero na may hangganan mula sa itaas ay may natatanging TVG. (katulad nito, bumalangkas at patunayan ang teorama para sa TNG sa iyong sarili).

Disenyo. Isang grupo ng
walang laman na hanay ng mga tunay na numero na may hangganan mula sa itaas. Pagkatapos
at
. Hatiin ang segment

P
pole at tawagin itong segment
isa na may mga sumusunod na katangian:

segment ng linya
naglalaman ng hindi bababa sa isang punto
. (halimbawa, tuldok );

ang buong set
namamalagi sa kaliwa ng punto , ibig sabihin.
.

Sa pagpapatuloy ng pamamaraang ito, nakukuha namin ang CCC
. Kaya, sa pamamagitan ng teorama ni Cantor, mayroong isang natatanging punto , na kabilang sa lahat ng mga segment nang sabay-sabay. Ipakita natin iyan
.

Ipakita natin iyan
(mga. isa sa mga gilid). Ipagpalagay na kabaligtaran iyon
. Bilang
, pagkatapos
minsan
,
, ibig sabihin.
, ibig sabihin.
. Ayon sa tuntunin sa pagpili ng punto
, tuldok laging nasa kaliwa , ibig sabihin.
, samakatuwid, at
. Pero ay pinili upang ang lahat
, a
, ibig sabihin. at
. Ang kontradiksyon na ito ay nagpapatunay sa bahaging ito ng teorama.

Ipakita natin ang kawalang-kilos , ibig sabihin.
. Ayusin natin
at maghanap ng numero. Ayon
na may panuntunan 1 para sa pagpili ng mga segment. Ipinakita lang namin iyon
, ibig sabihin.
, o
. Sa gayon
, o
. ■

Ang axis ay isang tuwid na linya kung saan ang isa sa dalawang posibleng direksyon ay minarkahan bilang positibo (ang kabaligtaran na direksyon ay itinuturing na negatibo). Ang positibong direksyon ay karaniwang ipinapahiwatig ng isang arrow. Ang numerical (o coordinate) axis ay ang axis kung saan ang panimulang punto (o simula) O at ang scale unit o scale segment OE ay pinili (Fig. 1).

Kaya, ang numerical axis ay ibinibigay sa pamamagitan ng pagpahiwatig ng direktang direksyon, pinagmulan at sukat.

Ang mga puntos sa linya ng numero ay kumakatawan sa mga tunay na numero. Ang mga integer ay kinakatawan ng mga puntos, na nakukuha sa pamamagitan ng pagtanggal sa scale segment ng kinakailangang dami ng beses sa kanan ng simula ng O sa kaso ng positive integer at sa kaliwa sa kaso ng negatibo. Ang zero ay kinakatawan ng panimulang punto O (ang letrang O mismo ay nagpapaalala ng zero; ito ang unang titik ng salitang origo, na nangangahulugang "simula"). Ang mga fractional (rational) na numero ay kinakatawan din ng mga axis point; halimbawa, upang makabuo ng isang punto na tumutugma sa numero , tatlong bahagi ng sukat at isang ikatlo ng bahagi ng sukat ay dapat itabi sa kaliwa ng O (punto A sa Fig. 1). Bilang karagdagan sa point A sa Fig. Ang 1 ay nagpapakita ng higit pang mga puntos B, C, D, na kumakatawan sa mga numero -2, ayon sa pagkakabanggit; 3/2; 4.

Mayroong isang walang katapusang bilang ng mga integer, ngunit sa numerical axis, ang mga integer ay kinakatawan ng mga puntos na matatagpuan "bihira", ang mga integer na punto ng axis ay pinaghihiwalay mula sa mga kalapit na mga sa pamamagitan ng isang scale unit. Ang mga rational point ay matatagpuan sa axis na napaka "densely" - madaling ipakita na sa anumang arbitraryong maliit na seksyon ng axis mayroong walang katapusang maraming mga puntos na kumakatawan sa mga rational na numero. Gayunpaman, may mga punto sa linya ng numero na hindi mga larawan ng mga rational na numero. Kaya, kung bumuo ka ng isang segment OA sa tunay na axis, katumbas ng hypotenuse OS ng isang right triangle OEC na may mga binti, kung gayon ang haba ng segment na ito (ayon sa Pythagorean theorem, p. 216) ay magiging pantay at ang point A ay magiging hindi isang imahe ng isang rational na numero.

Sa kasaysayan, ito ay ang katotohanan ng pagkakaroon ng mga segment na ang haba ay hindi maaaring ipahayag ng isang numero (isang rational na numero!), na humantong sa pagpapakilala ng mga hindi makatwiran na mga numero.

Ang pagpapakilala ng mga hindi makatwiran na numero, na kasama ng mga makatwirang numero ay bumubuo sa hanay ng lahat ng mga tunay na numero, ay humahantong sa katotohanan na ang bawat punto ng numero ng axis ay tumutugma sa isang solong tunay na numero, ang imahe kung saan ito nagsisilbi. Sa kabaligtaran, ang bawat tunay na numero ay kinakatawan ng isang mahusay na tinukoy na punto sa numerical axis. Ang isa-sa-isang sulat ay itinatag sa pagitan ng mga tunay na numero at mga punto ng numerical axis.

Dahil iniisip natin ang axis ng numero bilang isang tuluy-tuloy na linya, at ang mga punto nito ay nasa isa-sa-isang pagsusulatan sa mga tunay na numero, pinag-uusapan natin ang continuity property ng set ng mga totoong numero (item 6).

Pansinin din namin na sa isang tiyak na kahulugan (hindi namin tinukoy ito) may mga hindi maihahambing na higit na hindi makatwiran na mga numero kaysa sa mga makatwiran.

Ang bilang na kinakatawan ng isang ibinigay na punto A ng numerical axis ay tinatawag na coordinate ng puntong ito; ang katotohanan na ang a ay ang coordinate ng point A ay nakasulat bilang mga sumusunod: A (a). Ang coordinate ng anumang punto A ay ipinahayag bilang ratio ng OA / OE ng OA segment sa scale segment OE, kung saan, para sa mga puntong nakahiga mula sa simula ng O sa negatibong direksyon, ang isang minus sign ay itinalaga.

Ipinakilala na namin ngayon ang hugis-parihaba na mga coordinate ng Cartesian sa eroplano. Kumuha ng dalawang magkaparehong patayo na numerical axes na Ox at Oy, na may isang karaniwang pinagmulan O at pantay na sukat na mga segment (sa pagsasagawa, ang mga coordinate ax na may iba't ibang scale unit ay kadalasang ginagamit). Sabihin nating ang mga ax na ito (Larawan 3) ay bumubuo ng isang Cartesian rectangular coordinate system sa eroplano. Ang puntong O ay tinatawag na pinagmulan ng mga coordinate, ang Ox at Oy axes ay ang coordinate axes (ang Ox axis ay tinatawag na abscissa axis, ang Oy axis ay ang ordinate axis). Sa fig. 3, gaya ng dati, ang abscissa ay pahalang, ang y-axis ay patayo. Ang eroplano kung saan ibinigay ang coordinate system ay tinatawag na coordinate plane.

Ang bawat punto ng eroplano ay itinalaga ng isang pares ng mga numero - ang mga coordinate ng puntong ito na nauugnay sa ibinigay na sistema ng coordinate. Ibig sabihin, kumukuha kami ng mga hugis-parihaba na projection ng punto M sa mga axes na Ox at Oy, ang mga kaukulang punto sa mga axes na Ox, Oy ay ipinahiwatig sa Fig. 3 hanggang

Ang punto ay, bilang isang punto ng numerical axis, ang coordinate (abscissa) x, ang punto, bilang isang punto ng numerical axis, ang coordinate (ordinate) y. Ang dalawang numerong ito na y (nakasulat sa ipinahiwatig na pagkakasunud-sunod) ay tinatawag na mga coordinate ng puntong M.

Kasabay nito, isinulat nila ang: (x, y).

Kaya, ang bawat punto ng eroplano ay itinalaga ng isang nakaayos na pares ng mga tunay na numero (x, y) - Cartesian rectangular coordinates ng puntong ito. Ang terminong "nakaayos na pares" ay nagpapahiwatig na ang isa ay dapat makilala sa pagitan ng unang bilang ng pares - ang abscissa at ang pangalawa - ang ordinate. Sa kabaligtaran, ang bawat pares ng mga numero (x, y) ay tumutukoy sa isang solong punto M kung saan ang x ay ang abscissa at ang y ay ang ordinate. Ang pagtatakda ng isang hugis-parihaba na Cartesian coordinate system sa eroplano ay nagtatatag ng isa-sa-isang pagsusulatan sa pagitan ng mga punto ng eroplano at nakaayos na mga pares ng mga tunay na numero.

Hinahati ng coordinate axes ang coordinate plane sa apat na bahagi, apat na quadrant. Ang mga quadrant ay binibilang tulad ng ipinapakita sa Fig. 3, sa mga numerong Romano.

Ang mga palatandaan ng mga coordinate ng isang punto ay nakasalalay sa kung aling kuwadrante ito matatagpuan, tulad ng ipinapakita sa sumusunod na talahanayan:

Ang mga puntos na nakahiga sa axis ay may ordinate y katumbas ng zero, ang mga puntos sa axis Oy ay may abscissa na katumbas ng zero. Ang parehong mga coordinate ng pinanggalingan O ay katumbas ng zero: .

Halimbawa 1. Bumuo ng mga punto sa eroplano

Ang solusyon ay ibinibigay sa Fig. 4.

Kung ang mga coordinate ng isang tiyak na punto ay kilala, kung gayon madaling ipahiwatig ang mga coordinate ng mga puntos na simetriko dito tungkol sa mga axes Ox, Oy at ang pinagmulan: ang isang puntong simetriko sa M tungkol sa Ox axis ay magkakaroon ng mga coordinate ng isang puntong simetriko sa M tungkol sa coordinate, sa wakas, sa isang puntong simetriko sa M na may kaugnayan sa pinagmulan, ang mga coordinate ay magiging (-x, -y).

Maaari mo ring tukuyin ang isang relasyon sa pagitan ng mga coordinate ng isang pares ng mga punto na simetriko na may paggalang sa bisector ng mga anggulo ng coordinate (Larawan 5); kung ang isa sa mga puntong ito M ay may mga coordinate x at y, kung gayon ang y ng pangalawang abscissa ay katumbas ng ordinate ng unang punto, at ang ordinate ay ang abscissa ng unang punto.

Sa madaling salita, ang mga coordinate ng punto N, simetriko sa M na may paggalang sa bisector ng mga anggulo ng coordinate, ay magiging Upang patunayan ang posisyong ito, isaalang-alang ang mga right-angled triangles O AM at OBN. Ang mga ito ay matatagpuan sa simetriko na may paggalang sa bisector ng coordinate angle at samakatuwid ay pantay. Kung ikukumpara ang kani-kanilang mga paa, ibe-verify namin ang tama ng aming pahayag.

Ang sistema ng Cartesian rectangular coordinate ay maaaring mabago sa pamamagitan ng paglipat ng pinagmulan nito O sa isang bagong punto O nang hindi binabago ang direksyon ng mga axes at ang laki ng scale segment. Sa fig. Ang Figure 6 ay nagpapakita ng dalawang coordinate system nang magkasabay: ang "luma" na may pinanggalingan O at ang "bago" na may pinanggalingan O. Ang arbitraryong puntong M ay mayroon na ngayong dalawang pares ng mga coordinate, ang isa ay nauugnay sa lumang coordinate system, ang iba pang kamag-anak sa bago. Kung ang mga coordinate ng bagong simula sa lumang sistema ay tinutukoy ng , kung gayon ang relasyon sa pagitan ng mga lumang coordinate ng point M at ang mga bagong coordinate nito (x, y) ay ipinahayag ng mga formula

Ang mga formula na ito ay tinatawag na coordinate system transfer formula; kapag ipinakita ang mga ito sa Fig. 6, ang pinaka-maginhawang posisyon ng punto M, na nasa unang kuwadrante ng parehong luma at bagong mga sistema, ay pinili.

Makikita na ang mga formula (8.1) ay nananatiling wasto para sa anumang lokasyon ng puntong M.

Ang posisyon ng punto M sa eroplano ay maaaring tukuyin hindi lamang sa pamamagitan ng kanyang Cartesian rectangular coordinate y, kundi pati na rin sa iba pang mga paraan. Ikonekta natin, halimbawa, ang punto M na may pinanggalingan O (Larawan 7) at isaalang-alang ang sumusunod na dalawang numero: ang haba ng segment at ang anggulo ng pagkahilig ng segment na ito sa positibong direksyon ng axis; , kung ang Ang pag-ikot ay counterclockwise, at negatibo kung hindi, gaya ng nakaugalian sa trigonometrya. Ang segment ay tinatawag na polar radius ng point M, ang anggulo ay ang polar angle, ang isang pares ng mga numero ay ang polar coordinates ng point M. Gaya ng nakikita mo , upang matukoy ang mga polar coordinates ng punto, kailangan mong tukuyin lamang ang isang coordinate axis Ox (tinatawag sa kasong ito ang polar axis). Ito ay maginhawa, gayunpaman, upang isaalang-alang nang sabay-sabay ang parehong polar at Cartesian rectangular coordinate, tulad ng ginagawa sa Fig. 7.

Ang polar na anggulo ng isang punto ay hindi maliwanag na tinukoy sa pamamagitan ng pagtukoy ng isang punto: kung isa sa mga polar na anggulo ng isang punto, kung gayon ang anumang anggulo

magiging polar angle nito. Ang pagtukoy sa polar radius at anggulo ay tumutukoy sa posisyon ng punto sa isang natatanging paraan. Ang pinagmulan O (tinatawag na pole ng polar coordinate system) ay may radius na katumbas ng zero, walang tiyak na anggulo ng polar ang itinalaga sa puntong O.

Mayroong mga sumusunod na ugnayan sa pagitan ng Cartesian at polar coordinates ng isang punto:

direktang sumusunod mula sa kahulugan ng trigonometriko function (Sec. 97). Ginagawang posible ng mga ugnayang ito na mahanap ang mga coordinate ng Cartesian mula sa ibinigay na mga polar coordinate. Ang mga sumusunod na formula:

payagan ang paglutas ng kabaligtaran na problema: gamit ang ibinigay na Cartesian coordinates ng isang punto, hanapin ang polar coordinates nito.

Sa kasong ito, sa pamamagitan ng halaga (o ), mahahanap mo ang dalawang posibleng halaga ng anggulo sa loob ng unang bilog; ang isa sa kanila ay pinili ng sign coef. Maaari mo ring matukoy ang anggulo sa pamamagitan ng tangent nito: , ngunit sa kasong ito, ang quarter kung saan namamalagi ay tinukoy ng sign coef o .

Ang isang punto na ibinigay ng mga polar coordinates nito ay binuo (nang walang pagkalkula ng mga Cartesian coordinates) sa pamamagitan ng polar angle at radius nito.

Halimbawa 2. Hanapin ang Cartesian coordinate ng mga puntos.

2 EQUATIONS AT INEQUALITIES NG UNANG DEGREE
Simulan ang pag-aaral ng paksa sa pamamagitan ng paglutas ng mga problema sa pag-uulit mula sa Kabanata 1

§ 4. MGA HINDI KASUNDUAN

Mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero at ang kanilang mga katangian

175. Maglagay ng inequality sign sa pagitan ng mga numero a at b kung alam na:
1) (a - b) ay isang positibong numero;
2) (a - b) - isang negatibong numero;
3) (a - b) ay isang hindi negatibong numero.

176. X, kung:
1) X> 0; 2) X < 0; 3) 1 < X; 4) X > -3,2?

177. Sumulat gamit ang mga palatandaan ng hindi pagkakapantay-pantay na:
1) X- positibong numero;
2) sa-isang negatibong numero;
3) | a| - di-negatibong numero;
4) arithmetic mean ng dalawang positibong numero a at b hindi bababa sa kanilang geometric na ibig sabihin;
5) ang ganap na halaga ng kabuuan ng dalawang rational na numero a at b hindi hihigit sa kabuuan ng mga ganap na halaga ng mga termino.

178. Ano ang masasabi tungkol sa mga palatandaan ng mga numero a at b, kung:

1) a b> 0; 2) a / b > 0; 3) a b< 0; 4) a / b < 0?

179. 1) Ayusin ang mga sumusunod na numero sa pataas na pagkakasunud-sunod, pagkonekta sa kanila ng isang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay: 0; -5; 2. Paano basahin ang entry na ito?

2) Ayusin ang mga sumusunod na numero sa pababang pagkakasunud-sunod, pag-uugnay sa kanila ng isang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay: -10; 0.1;-2/3. Paano basahin ang entry na ito?

180. Isulat sa pataas na pagkakasunud-sunod ang lahat ng tatlong-digit na numero, bawat isa ay naglalaman ng mga numero 2; 0; 5, at ikonekta ang mga ito sa isang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay.

181. 1) Kapag sumusukat ng isang tiyak na haba nang isang beses l natagpuan na ito ay higit sa 217 cm, ngunit mas mababa sa 218 cm. Itala ang resulta ng pagsukat, na ginagawa ang mga numerong ito bilang mga hangganan ng halaga ng haba l.

2) Kapag tumitimbang ng isang bagay, lumabas na mas mabigat ito sa 19.5 G, ngunit mas magaan kaysa 20.0 G. Isulat ang resulta ng pagtimbang na nagpapahiwatig ng mga hangganan.

182. Kapag tumitimbang ng isang bagay na may katumpakan na 0.05 kg, natanggap namin ang timbang
Р ≈ 26.4 kg. Tukuyin ang mga limitasyon ng bigat ng item na ito.

183. Kung saan nasa linya ng numero ang puntong kumakatawan sa numero X, kung:
1) 3 < X < 10; 2) - 2 < X < 7; 3) - 1 > X > - 6?

184. Hanapin at ipahiwatig ang mga halaga ng integer sa axis ng numero X, nagbibigay-kasiyahan sa mga hindi pagkakapantay-pantay.

1) 0,2 < X <4;
2)-3 < X <2;
3) 1 / 2 < X< 5;
4) -1< X<;3.

185. Ano ang multiple ng 9 sa pagitan ng 141 at 152? Magbigay ng ilustrasyon sa linya ng numero.

186. Tukuyin kung alin sa dalawang numero ang mas malaki, kung alam na ang bawat isa sa kanila ay mas malaki sa 103 at mas mababa sa 115, at ang unang numero ay multiple ng 13, at ang pangalawa ay multiple ng 3. Magbigay ng geometric na paglalarawan.

187. Ano ang pinakamalapit na buong numero sa pagitan ng mga wastong praksiyon? Posible bang tukuyin ang dalawang integer sa pagitan ng kung saan ang lahat ng mga hindi wastong fraction ay nakapaloob?

188. Bumili ng 6 na libro sa matematika, pisika at kasaysayan. Ilang libro ang nabili sa bawat paksa kung mas maraming libro ang binili sa matematika kaysa sa kasaysayan, at mas kaunti sa physics kaysa sa kasaysayan?

189. Sa araling algebra, sinubok ang kaalaman ng tatlong mag-aaral. Anong grado ang nakuha ng bawat mag-aaral kung malalaman na ang una ay nakakuha ng higit sa pangalawa, at ang pangalawa ay higit sa ikatlo, at ang bilang ng mga puntos na natanggap ng bawat mag-aaral ay higit sa dalawa?

190. Sa isang chess tournament, nakamit ng mga manlalaro ng chess A, B, C at D ang pinakamahusay na mga resulta. Posible bang malaman kung anong lugar ang kinuha ng bawat kalahok sa paligsahan kung alam na ang A ay nakakuha ng mas maraming puntos kaysa sa D, at mas mababa ang B kaysa kay C?

191. Dahil sa hindi pagkakapantay-pantay a > b. Lagi nalang ba a c > b c? Magbigay ng halimbawa.

192. Dahil sa hindi pagkakapantay-pantay a< b. Tama ba ang hindi pagkakapantay-pantay? a > - b?

193. Posible ba, nang hindi binabago ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay, upang i-multiply ang parehong bahagi nito sa pamamagitan ng expression X 2 + 1, kung saan X- anumang makatwirang numero?

194. I-multiply ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng salik na ibinigay sa mga bracket.

1)-3 < 1 (5); 2) 2 < 5 (-1); 3) X > 2 (X);
4) a < - 1 (a); 5) b < - 3 (-b); 6)X -2 > 1 (X).

195. Dalhin sa buong anyo ng hindi pagkakapantay-pantay:

196. Nabigyan ng function y = kx, saan k sa na may dumaraming argumento X kung: 1) k> 0; 2) k < 0? Обосновать ответы.

197. Nabigyan ng function y = kx + b, saan k =/= 0, b=/= 0. Paano nagbabago ang mga value ng function sa na may pagbaba ng mga halaga ng argumento X kung: 1) k > 0; 2) k < 0? Обосновать ответы.

198. Patunayan na kung a > b at kasama> 0, pagkatapos a / c > b / c; kung a > b at kasama< 0, то a / c < b / c .

199. Hatiin ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ng mga numero sa mga bracket:

1) - 6 < 3 (1 / 3); 2) 4 > -1,5 (-1); 3) a < - 2a 2 (a);
4) a > a 2 (a); 5) a 3 > a 2 (-a).

200. Magdagdag ng mga termino ayon sa mga hindi pagkakapantay-pantay ng termino:

1) 12 > 11 at 1 > -3;
2) -5 < 2 и 4 < 8,2;
3) a - 2 < 8 + b at 5 - 2 a < 2 - b;
4) X 2 + 1 > 2X at X - 3 < 9 - X 2 .

201. Patunayan na ang bawat dayagonal ng isang matambok na may apat na gilid ay mas mababa sa semiperimeter nito.

202. Patunayan na ang kabuuan ng dalawang magkasalungat na gilid ng isang matambok na may apat na gilid ay mas mababa kaysa sa kabuuan ng mga dayagonal nito.

203. Ibawas ang termino ayon sa termino ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay mula sa una:

1)5 > 2; -3 < 1;
2) 0,2 < 3; 0,3 > -2;
3) 7 < 11; -4 < -3;
4) 2a- 1 > 3b; 2b > 3.

204. Patunayan na kung | x |< а , pagkatapos - a< х < а .

205. Isulat ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay bilang dobleng hindi pagkakapantay-pantay:
1) | t |< 1; 2) | X - 2 | < 2.

206. Tukuyin sa axis ng numero ang hanay ng lahat ng mga halaga X nagbibigay-kasiyahan sa mga hindi pagkakapantay-pantay: 1) | X |< 2; 2) | X | < 1; 3) | X | > 3; 4) | X - 1 | < 1.

207. Patunayan na kung- a< х < а , pagkatapos | x |< a.

208. Palitan ang dobleng hindi pagkakapantay-pantay ng isang pinaikling notasyon:
1) -2 < a < 2; 2) -1 < 2P < 1; 3) 1 < x < 3.

209. Tinatayang Haba l= 24.08(±0.01) mm. Magtakda ng mga limitasyon sa haba l.

210. Ang limang beses na pagsukat ng parehong distansya gamit ang isang meter ruler ay nagbigay ng mga sumusunod na resulta: 21.56; 21.60; 21.59; 21.55; 21.61 (m). Hanapin ang arithmetic mean ng mga resulta ng pagsukat, na nagsasaad ng mga hangganan ng absolute at relative na mga error.

211. Sa pagtimbang ng kargamento, nakuha ang P = 16.7 (± 0.4%) kg. Hanapin ang mga limitasyon ng timbang R.

212. a≈ 16.4, kamag-anak na error ε = 0.5%. Maghanap ng Ganap na Error
Δ a at itakda ang mga hangganan kung saan matatagpuan ang tinatayang bilang.

213. Tukuyin ang limitasyon ng kamag-anak na error ng tinatayang halaga ng bawat isa sa mga sumusunod na numero, kung ang tinatayang halaga ay kinuha gamit ang tinukoy na bilang ng mga tamang digit: 1) 11 / 6 na may tatlong tamang digit; 2) √5 na may apat na tamang digit.

214. Kapag sinusukat ang distansya sa pagitan ng dalawang lungsod sa isang mapa, nalaman nila na ito ay higit sa 24.4 cm, ngunit mas mababa sa 24.8 cm. Hanapin ang aktwal na distansya sa pagitan ng mga lungsod at ang ganap na error sa pagkalkula kung ang sukat ng mapa ay 1: 2,500,000.

215. Magsagawa ng mga kalkulasyon at matukoy ang ganap at kamag-anak na mga error ng resulta: x = a + b - c, kung a= 7.22 (±0.01); 3.14< b < 3,17; kasama= 5.4(±0.05).

216. I-multiply ang termino ng hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng termino:

1) 7 > 5 at 3 > 2; 2) 3< 5 и 2 / 3 <2;

3) - 6 < - 2 и - 3 < - 1; 4)a> 2 at b < -2.

217. Dahil sa hindi pagkakapantay-pantay a > b. Lagi nalang ba a 2 > b 2? Magbigay ng halimbawa.

218. Kung ang a > b > 0 at P ay isang natural na numero, kung gayon pataas > b. Patunayan.

219. Alin ang mas malaki: (0.3) 20 o (0.1) 10 ?

220. Kung ang a > b > 0 o b< а < 0 pagkatapos 1 / a < 1 / b. Patunayan.

221. Kalkulahin ang lugar ng isang hugis-parihaba na plot ng lupa na may haba na 437 m at isang lapad na 162 m, kung posible ang isang error na ± 2 m kapag sinusukat ang haba ng plot, at isang error na ± 1 m kapag sinusukat ang lapad.