Pyramid. Pinutol na pyramid

Pyramid ay tinatawag na polyhedron, ang isa sa mga mukha ay isang polygon ( base ), at lahat ng iba pang mukha ay mga tatsulok na may karaniwang vertex ( mga mukha sa gilid ) (Larawan 15). Ang pyramid ay tinatawag tama , kung ang base nito ay isang regular na polygon at ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa gitna ng base (Larawan 16). Ang isang tatsulok na pyramid kung saan ang lahat ng mga gilid ay pantay ay tinatawag tetrahedron .

Tadyang sa gilid Ang pyramid ay tinatawag na gilid ng gilid na mukha na hindi kabilang sa base taas Ang pyramid ay ang distansya mula sa tuktok nito hanggang sa eroplano ng base. Ang lahat ng gilid ng gilid ng isang regular na pyramid ay pantay-pantay sa isa't isa, lahat ng panig na mukha ay pantay na isosceles triangles. Ang taas ng gilid na mukha ng isang regular na pyramid na iginuhit mula sa vertex ay tinatawag apothema . diagonal na seksyon Ang isang seksyon ng isang pyramid ay tinatawag na isang eroplano na dumadaan sa dalawang gilid na gilid na hindi kabilang sa parehong mukha.

Side surface area pyramid ay tinatawag na kabuuan ng mga lugar ng lahat ng panig na mukha. Buong lugar sa ibabaw ay ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga gilid na mukha at ang base.

Theorems

1. Kung sa isang pyramid ang lahat ng mga gilid na gilid ay pantay na nakahilig sa eroplano ng base, pagkatapos ay ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa gitna ng circumscribed na bilog malapit sa base.

2. Kung sa isang pyramid ang lahat ng mga gilid ng gilid ay may pantay na haba, kung gayon ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa gitna ng circumscribed na bilog malapit sa base.

3. Kung sa pyramid ang lahat ng mga mukha ay pantay na nakahilig sa eroplano ng base, pagkatapos ay ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa gitna ng bilog na nakasulat sa base.

Upang kalkulahin ang dami ng isang arbitrary na pyramid, tama ang formula:

saan V- dami;

S pangunahing- base na lugar;

H ay ang taas ng pyramid.

Para sa isang regular na pyramid, ang mga sumusunod na formula ay totoo:

saan p- ang perimeter ng base;

h a- apothem;

H- taas;

S puno

S gilid

S pangunahing- base na lugar;

V ay ang volume ng isang regular na pyramid.

pinutol na pyramid tinatawag na bahagi ng pyramid na nakapaloob sa pagitan ng base at ng cutting plane na kahanay sa base ng pyramid (Fig. 17). Tamang pinutol na pyramid tinatawag na bahagi ng isang regular na pyramid, na nakapaloob sa pagitan ng base at isang cutting plane na kahanay sa base ng pyramid.

Mga pundasyon pinutol na pyramid - mga katulad na polygon. Mga mukha sa gilid - trapezoid. taas ang pinutol na pyramid ay tinatawag na distansya sa pagitan ng mga base nito. dayagonal Ang pinutol na pyramid ay isang segment na nagdudugtong sa mga vertice nito na hindi nakahiga sa parehong mukha. diagonal na seksyon Ang isang seksyon ng isang pinutol na pyramid ay tinatawag na isang eroplano na dumadaan sa dalawang gilid na gilid na hindi kabilang sa parehong mukha.

Para sa isang pinutol na pyramid, ang mga formula ay wasto:

(4)

saan S 1 , S 2 - mga lugar ng upper at lower base;

S puno ay ang kabuuang lugar sa ibabaw;

S gilid ay ang lateral surface area;

H- taas;

V ay ang dami ng pinutol na pyramid.

Para sa isang regular na pinutol na pyramid, ang sumusunod na formula ay totoo:

saan p 1 , p 2 - base perimeter;

h a- ang apothem ng isang regular na pinutol na pyramid.

Halimbawa 1 Sa isang regular na triangular na pyramid, ang dihedral na anggulo sa base ay 60º. Hanapin ang padaplis ng anggulo ng pagkahilig ng gilid na gilid sa eroplano ng base.

Desisyon. Gumawa tayo ng drawing (Larawan 18).

Ang pyramid ay regular, na nangangahulugan na ang base ay isang equilateral triangle at ang lahat ng mga gilid na mukha ay pantay na isosceles triangles. Ang anggulo ng dihedral sa base ay ang anggulo ng pagkahilig ng gilid na mukha ng pyramid sa eroplano ng base. Ang linear na anggulo ang magiging anggulo a sa pagitan ng dalawang perpendicular: i.e. Ang tuktok ng pyramid ay inaasahang nasa gitna ng tatsulok (ang gitna ng circumscribed na bilog at ang nakasulat na bilog sa triangle ABC). Ang anggulo ng pagkahilig ng gilid na tadyang (halimbawa SB) ay ang anggulo sa pagitan ng gilid mismo at ang projection nito sa base plane. Para sa tadyang SB ang anggulong ito ang magiging anggulo SBD. Upang mahanap ang padaplis kailangan mong malaman ang mga binti KAYA at OB. Hayaan ang haba ng segment BD ay 3 a. tuldok O segment ng linya BD ay nahahati sa mga bahagi: at Mula sa nakita natin KAYA: Mula sa nakita namin:

Sagot:

Halimbawa 2 Hanapin ang volume ng isang regular na truncated quadrangular pyramid kung ang mga diagonal ng mga base nito ay cm at cm at ang taas ay 4 cm.

Desisyon. Upang mahanap ang volume ng isang pinutol na pyramid, ginagamit namin ang formula (4). Upang mahanap ang mga lugar ng mga base, kailangan mong hanapin ang mga gilid ng base square, alam ang kanilang mga diagonal. Ang mga gilid ng mga base ay 2 cm at 8 cm, ayon sa pagkakabanggit. Nangangahulugan ito na ang mga lugar ng mga base at Pagpapalit ng lahat ng data sa formula, kinakalkula namin ang dami ng pinutol na pyramid:

Sagot: 112 cm3.

Halimbawa 3 Hanapin ang lugar ng lateral face ng isang regular na triangular truncated pyramid na ang mga gilid ng base ay 10 cm at 4 cm, at ang taas ng pyramid ay 2 cm.

Desisyon. Gumawa tayo ng drawing (Larawan 19).

Ang gilid na mukha ng pyramid na ito ay isang isosceles trapezium. Upang makalkula ang lugar ng isang trapezoid, kailangan mong malaman ang mga base at taas. Ang mga base ay ibinibigay sa pamamagitan ng kondisyon, tanging ang taas ay nananatiling hindi kilala. Hanapin ito mula sa kung saan PERO 1 E patayo mula sa isang punto PERO 1 sa eroplano ng ibabang base, A 1 D- patayo mula sa PERO 1 sa AC. PERO 1 E\u003d 2 cm, dahil ito ang taas ng pyramid. Para sa paghahanap DE gagawa kami ng karagdagang pagguhit, kung saan ilalarawan namin ang isang tuktok na view (Larawan 20). Dot O- projection ng mga sentro ng upper at lower base. mula noong (tingnan ang Fig. 20) at Sa kabilang banda OK ay ang radius ng inscribed na bilog at OM ay ang radius ng inscribed na bilog:

MK=DE.

Ayon sa Pythagorean theorem mula sa

Lugar sa gilid ng mukha:

Sagot:

Halimbawa 4 Sa base ng pyramid ay namamalagi ang isang isosceles trapezoid, ang mga base nito a at b (a> b). Ang bawat panig na mukha ay bumubuo ng isang anggulo na katumbas ng eroplano ng base ng pyramid j. Hanapin ang kabuuang lugar sa ibabaw ng pyramid.

Desisyon. Gumawa tayo ng drawing (Larawan 21). Kabuuang lugar sa ibabaw ng pyramid SABCD ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar at ang lugar ng trapezoid A B C D.

Ginagamit namin ang pahayag na kung ang lahat ng mga mukha ng pyramid ay pantay na nakakiling sa eroplano ng base, kung gayon ang vertex ay inaasahang papunta sa gitna ng bilog na nakasulat sa base. Dot O- projection ng vertex S sa base ng pyramid. Tatsulok SOD ay ang orthogonal projection ng tatsulok CSD sa base plane. Ayon sa theorem sa lugar ng orthogonal projection ng isang flat figure, nakukuha namin:

Katulad nito, ang ibig sabihin nito Kaya, ang problema ay nabawasan sa paghahanap ng lugar ng trapezoid A B C D. Gumuhit ng trapezoid A B C D hiwalay (Larawan 22). Dot O ay ang sentro ng isang bilog na nakasulat sa isang trapezoid.

Dahil ang isang bilog ay maaaring nakasulat sa isang trapezoid, kung gayon o Sa pamamagitan ng Pythagorean theorem mayroon tayo

Ang kakayahang kalkulahin ang dami ng spatial figure ay mahalaga sa paglutas ng ilang praktikal na problema sa geometry. Ang isa sa mga pinakakaraniwang hugis ay ang pyramid. Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin ang mga pyramids, parehong puno at pinutol.

Pyramid bilang isang three-dimensional na pigura

Alam ng lahat ang tungkol sa Egyptian pyramids, kaya mayroon silang magandang ideya kung anong figure ang tatalakayin. Gayunpaman, ang mga istrukturang bato ng Egypt ay isang espesyal na kaso lamang ng isang malaking klase ng mga pyramids.

Ang geometric na bagay na isinasaalang-alang sa pangkalahatang kaso ay isang polygonal na base, ang bawat tuktok nito ay konektado sa ilang punto sa espasyo na hindi kabilang sa base plane. Ang kahulugan na ito ay humahantong sa isang figure na binubuo ng isang n-gon at n triangles.

Ang anumang pyramid ay binubuo ng n+1 mukha, 2*n gilid at n+1 vertices. Dahil ang figure na isinasaalang-alang ay isang perpektong polyhedron, ang mga bilang ng mga minarkahang elemento ay sumusunod sa Euler equation:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Ang polygon na matatagpuan sa base ay nagbibigay ng pangalan ng pyramid, halimbawa, triangular, pentagonal, at iba pa. Ang isang set ng mga pyramids na may iba't ibang base ay ipinapakita sa larawan sa ibaba.

Ang punto kung saan ang n triangles ng figure ay konektado ay tinatawag na tuktok ng pyramid. Kung ang isang patayo ay ibinaba mula dito hanggang sa base at ito ay intersects ito sa geometric center, kung gayon ang nasabing figure ay tatawaging isang tuwid na linya. Kung ang kundisyong ito ay hindi natutugunan, pagkatapos ay mayroong isang hilig na pyramid.

Ang isang tuwid na pigura, na ang base nito ay nabuo ng isang equilateral (equiangular) n-gon, ay tinatawag na regular.

Pyramid volume formula

Upang kalkulahin ang dami ng pyramid, ginagamit namin ang integral calculus. Upang gawin ito, hinahati namin ang figure sa pamamagitan ng mga secant na eroplano na kahanay sa base sa isang walang katapusang bilang ng mga manipis na layer. Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng quadrangular pyramid na may taas na h at side length L, kung saan ang manipis na sectional layer ay minarkahan ng quadrilateral.

Ang lugar ng bawat naturang layer ay maaaring kalkulahin ng formula:

A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .

Narito ang A 0 ay ang lugar ng base, ang z ay ang halaga ng vertical coordinate. Makikita na kung z = 0, ang formula ay nagbibigay ng halaga A 0 .

Upang makuha ang formula para sa dami ng pyramid, dapat mong kalkulahin ang integral sa buong taas ng figure, iyon ay:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Ang pagpapalit sa dependence A(z) at pagkalkula ng antiderivative, dumating tayo sa expression:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * h.

Nakuha namin ang formula para sa dami ng isang pyramid. Upang mahanap ang halaga ng V, sapat na upang i-multiply ang taas ng figure sa pamamagitan ng lugar ng base, at pagkatapos ay hatiin ang resulta ng tatlo.

Tandaan na ang resultang expression ay wasto para sa pagkalkula ng volume ng isang pyramid ng isang arbitrary na uri. Iyon ay, maaari itong maging hilig, at ang base nito ay maaaring isang arbitrary na n-gon.

at ang dami nito

Ang pangkalahatang formula para sa volume na nakuha sa talata sa itaas ay maaaring pinuhin sa kaso ng isang pyramid na may regular na base. Ang lugar ng naturang base ay kinakalkula ng sumusunod na formula:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Narito ang L ay ang haba ng gilid ng isang regular na polygon na may n vertices. Ang simbolong pi ay ang numerong pi.

Ang pagpapalit ng expression para sa A 0 sa pangkalahatang formula, nakuha namin ang dami ng isang regular na pyramid:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Halimbawa, para sa isang triangular na pyramid, ang formula na ito ay humahantong sa sumusunod na expression:

V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d √3 / 12 * L 2 * h.

Para sa isang regular na quadrangular pyramid, ang volume formula ay nasa anyo:

V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * h.

Ang pagtukoy sa mga volume ng mga regular na pyramids ay nangangailangan ng pag-alam sa gilid ng kanilang base at ang taas ng figure.

Pyramid pinutol

Ipagpalagay na kumuha tayo ng arbitrary pyramid at pinutol ang isang bahagi ng lateral surface nito na naglalaman ng vertex. Ang natitirang figure ay tinatawag na truncated pyramid. Binubuo na ito ng dalawang n-gonal na base at n trapezoid na nag-uugnay sa kanila. Kung ang cutting plane ay parallel sa base ng figure, kung gayon ang isang pinutol na pyramid ay nabuo na may magkatulad na mga base. Iyon ay, ang mga haba ng mga gilid ng isa sa mga ito ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga haba ng isa sa ilang koepisyent k.

Ang figure sa itaas ay nagpapakita ng pinutol na regular. Makikita na ang itaas na base nito, tulad ng ibaba, ay nabuo ng isang regular na hexagon.

Ang formula na maaaring makuha gamit ang integral calculus na katulad ng nasa itaas ay:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).

Kung saan ang A 0 at A 1 ay ang mga lugar ng lower (malaki) at upper (maliit) na base, ayon sa pagkakabanggit. Ang variable na h ay tumutukoy sa taas ng pinutol na pyramid.

Ang dami ng pyramid ng Cheops

Ito ay mausisa upang malutas ang problema ng pagtukoy sa dami na naglalaman ng pinakamalaking Egyptian pyramid.

Noong 1984, itinatag ng mga British Egyptologist na sina Mark Lehner at Jon Goodman ang eksaktong sukat ng Cheops pyramid. Ang orihinal na taas nito ay 146.50 metro (kasalukuyang mga 137 metro). Ang average na haba ng bawat isa sa apat na gilid ng istraktura ay 230.363 metro. Ang base ng pyramid ay parisukat na may mataas na katumpakan.

Gamitin natin ang ibinigay na mga numero upang matukoy ang dami ng higanteng bato na ito. Dahil ang pyramid ay isang regular na quadrangular, kung gayon ang formula ay wasto para dito:

Ang pag-plug sa mga numero, makakakuha tayo ng:

V 4 \u003d 1/3 * (230.363) 2 * 146.5 ≈ 2591444 m 3.

Ang dami ng pyramid ng Cheops ay halos 2.6 milyong m3. Para sa paghahambing, tandaan namin na ang Olympic pool ay may dami ng 2.5 thousand m 3. Ibig sabihin, para mapuno ang buong Cheops pyramid, higit sa 1000 mga pool ang kakailanganin!

- Ito ay isang polyhedron, na nabuo sa pamamagitan ng base ng pyramid at isang seksyon na kahanay nito. Masasabi nating ang pinutol na pyramid ay isang pyramid na may cut off na tuktok. Ang figure na ito ay may maraming natatanging katangian:

• Ang mga gilid na mukha ng pyramid ay mga trapezoid;
• Ang mga lateral ribs ng isang regular na pinutol na pyramid ay may parehong haba at nakahilig sa base sa parehong anggulo;
• Ang mga base ay magkatulad na polygons;
• Sa isang regular na pinutol na pyramid, ang mga mukha ay magkaparehong isosceles trapezoids, ang lugar kung saan ay pantay. Ang mga ito ay hilig din sa base sa isang anggulo.

Ang formula para sa lugar ng lateral surface ng truncated pyramid ay ang kabuuan ng mga lugar ng mga gilid nito:

Dahil ang mga gilid ng pinutol na pyramid ay mga trapezoid, kakailanganin mong gamitin ang formula upang kalkulahin ang mga parameter lugar ng trapezoid. Para sa isang regular na pinutol na pyramid, maaaring ilapat ang isa pang formula para sa pagkalkula ng lugar. Dahil ang lahat ng panig, mukha, at anggulo nito sa base ay pantay, posibleng ilapat ang mga perimeter ng base at apothem, at makuha din ang lugar sa pamamagitan ng anggulo sa base.

Kung, ayon sa mga kondisyon sa isang regular na pinutol na pyramid, ang apothem (taas ng gilid) at ang mga haba ng mga gilid ng base ay ibinigay, kung gayon ang lugar ay maaaring kalkulahin sa pamamagitan ng kalahating produkto ng kabuuan ng mga perimeter ng ang mga base at ang apothem:

Tingnan natin ang isang halimbawa ng pagkalkula ng lateral surface area ng isang pinutol na pyramid.
Nabigyan ng regular na pentagonal pyramid. Apothem l\u003d 5 cm, ang haba ng mukha sa malaking base ay a\u003d 6 cm, at ang mukha ay nasa mas maliit na base b\u003d 4 cm. Kalkulahin ang lugar ng pinutol na pyramid.

Una, hanapin natin ang mga perimeter ng mga base. Dahil binigyan kami ng pentagonal pyramid, naiintindihan namin na ang mga base ay mga pentagon. Nangangahulugan ito na ang mga base ay isang pigura na may limang magkaparehong panig. Hanapin ang perimeter ng mas malaking base:

Sa parehong paraan, nakita namin ang perimeter ng mas maliit na base:

Ngayon ay maaari nating kalkulahin ang lugar ng isang regular na pinutol na pyramid. Pinapalitan namin ang data sa formula:

Kaya, kinakalkula namin ang lugar ng isang regular na pinutol na pyramid sa pamamagitan ng mga perimeter at apothem.

Ang isa pang paraan upang makalkula ang lateral surface area ng isang regular na pyramid ay ang formula sa pamamagitan ng mga sulok sa base at sa lugar ng mismong mga baseng ito.

Tingnan natin ang isang halimbawa ng pagkalkula. Tandaan na ang formula na ito ay nalalapat lamang sa isang regular na pinutol na pyramid.

Hayaang magbigay ng regular na quadrangular pyramid. Ang mukha ng ibabang base ay a = 6 cm, at ang mukha ng itaas na b = 4 cm. Ang dihedral na anggulo sa base ay β = 60°. Hanapin ang lateral surface area ng isang regular na pinutol na pyramid.

Una, kalkulahin natin ang lugar ng mga base. Dahil ang pyramid ay regular, ang lahat ng mga mukha ng mga base ay pantay sa bawat isa. Dahil ang base ay isang quadrilateral, naiintindihan namin na kakailanganing kalkulahin parisukat na lugar. Ito ay produkto ng lapad at haba, ngunit parisukat, ang mga halagang ito ay pareho. Hanapin ang lugar ng mas malaking base:


Ngayon ginagamit namin ang mga nahanap na halaga upang kalkulahin ang lateral surface area.

Alam ang ilang simpleng mga formula, madali naming kinakalkula ang lugar ng lateral trapezoid ng isang pinutol na pyramid sa pamamagitan ng iba't ibang mga halaga.

• 09.10.2014

  Ang preamplifier na ipinapakita sa figure ay idinisenyo para gamitin sa 4 na uri ng mga pinagmumulan ng tunog, tulad ng mikropono, CD player, radio tape recorder, atbp. Kasabay nito, ang preamplifier ay may isang input na maaaring baguhin ang sensitivity mula 50mV hanggang 500mV. . ang output boltahe ng amplifier ay 1000mV. Sa pamamagitan ng pagkonekta ng iba't ibang pinagmumulan ng signal kapag pinapalitan ang switch SA1, palagi kaming makakakuha ng ...

• 20.09.2014

  Ang PSU ay dinisenyo para sa isang load na may kapangyarihan na 15 ... 20 watts. Ang pinagmulan ay ginawa ayon sa scheme ng isang single-cycle pulsed high-frequency converter. Ang isang oscillator na tumatakbo sa dalas ng 20 ... 40 kHz ay ​​binuo sa transistor. Ang dalas ay inaayos ng capacitance C5. Ang mga elemento ng VD5, VD6 at C6 ay bumubuo ng isang circuit para sa pagsisimula ng isang oscillator. Sa pangalawang circuit, pagkatapos ng rectifier ng tulay, mayroong isang maginoo na linear stabilizer sa isang microcircuit, na nagpapahintulot sa iyo na magkaroon ...

• 28.09.2014

  Ang figure ay nagpapakita ng isang generator sa isang K174XA11 chip, ang dalas nito ay kinokontrol ng boltahe. Sa pamamagitan ng pagpapalit ng capacitance C1 mula 560 hanggang 4700pF, ang isang malawak na hanay ng dalas ay maaaring makuha, habang ang dalas ay nababagay sa pamamagitan ng pagbabago ng paglaban R4. Halimbawa, nalaman ng may-akda na, sa C1 \u003d 560pF, ang dalas ng generator ay maaaring baguhin gamit ang R4 mula 600Hz hanggang 200kHz, ...

• 03.10.2014

  Ang yunit ay idinisenyo upang paganahin ang isang malakas na ULF, ito ay dinisenyo para sa isang output boltahe ng ± 27V at kaya naglo-load ng hanggang sa 3A sa bawat braso. Ang PSU ay bipolar, na ginawa sa kumpletong composite transistors KT825-KT827. Ang parehong mga braso ng stabilizer ay ginawa ayon sa parehong pamamaraan, ngunit sa kabilang braso (hindi ito ipinapakita), ang polarity ng mga capacitor ay binago at ang mga transistor ng iba ay ginagamit ...