Pumunta) mga numero.

2. Algebraic na anyo ng representasyon ng mga kumplikadong numero

kumplikadong numero o kumplikado, tinatawag na bilang na binubuo ng dalawang numero (mga bahagi) - tunay at haka-haka.

totoo anumang positibo o negatibong numero ay tinatawag, halimbawa, + 5, - 28, atbp. Tukuyin natin ang tunay na numero sa pamamagitan ng letrang "L".

Imaginary isang numero na katumbas ng produkto ng isang tunay na numero at ang square root ng isang negatibong yunit ay tinatawag, halimbawa, 8, - 20, atbp.

Ang negatibong yunit ay tinatawag haka-haka at tinutukoy ng titik na "iot":

Tukuyin natin ang tunay na bilang sa komposisyon ng haka-haka sa pamamagitan ng letrang "M".

Pagkatapos ang haka-haka na numero ay maaaring isulat tulad nito: j M. Sa kasong ito, ang kumplikadong numero A ay maaaring isulat na ganito:

A = L + j M (2).

Ang paraan ng pagsulat ng isang kumplikadong numero (complex), na algebraic na kabuuan ng tunay at haka-haka na mga bahagi, ay tinatawag algebraic.

Halimbawa 1 Ipahayag sa algebraic ang isang complex na ang tunay na bahagi ay katumbas ng 6, at ang haka-haka na bahagi ay 15.

Desisyon. A \u003d 6 + j 15.

Bilang karagdagan sa algebraic form, ang isang kumplikadong numero ay maaaring katawanin sa tatlo pa:

1. graphic;

2. trigonometriko;

3. nagpapakilala.

Ang ganitong iba't ibang anyo ay matalas pinapasimple ang mga kalkulasyon sinusoidal na dami at ang kanilang graphic na representasyon.

Isaalang-alang naman ang graphical, trigonometric at exponent-

bagong anyo ng representasyon ng mga kumplikadong numero.

Graphical na representasyon ng mga kumplikadong numero

Para sa graphical na representasyon ng mga kumplikadong numero, direktang

sistema ng coordinate ng karbon. Sa karaniwang (school) coordinate system, positibo o negatibo totoo numero.

Sa sistema ng coordinate na pinagtibay sa simbolikong pamamaraan, kasama ang x-axis

Ang mga tunay na numero ay naka-plot sa anyo ng mga segment, at mga haka-haka na numero sa kahabaan ng axis na "y".

kanin. 1. Coordinate system para sa graphic na representasyon ng mga kumplikadong numero

Samakatuwid, ang x-axis ay tinatawag na axis ng mga tunay na halaga o, sa madaling salita, totoo aksis.

Ang y-axis ay tinatawag na imaginary axis o haka-haka aksis.

Ang eroplano mismo (i.e., ang eroplano ng figure), kung saan ang mga kumplikadong numero o dami ay inilalarawan, ay tinatawag pinagsama-sama eroplano.

Sa eroplanong ito, ang kumplikadong numero A = L + j M ay kinakatawan ng vector A

(Larawan 2), na ang projection sa totoong axis ay katumbas ng tunay na bahagi nito Re A = A "= L, at ang projection sa imaginary axis ay katumbas ng imaginary na bahagi Im A = A" = M.

(Re - mula sa English real - real, real, real, Im - from English imaginary - unreal, imaginary).

kanin. 2. Graphical na representasyon ng isang kumplikadong numero

Sa kasong ito, ang numero A ay maaaring isulat bilang

A \u003d A "+ A" \u003d Re A + j Im A (3) .

Gamit ang graphic na representasyon ng numero A sa kumplikadong eroplano, ipinakilala namin ang mga bagong kahulugan at nakakuha ng ilang mahahalagang ugnayan:

1. ang haba ng vector A ay tinatawag modyul vector at ipinapahiwatig ng |A|.

Ayon sa Pythagorean theorem

|A| = (4) .

2. ang anggulo α na nabuo ng vector A at ang tunay na positibong semi-

axis ang tawag argumento vector A at natutukoy sa pamamagitan ng tangent nito:

tg α \u003d A "/ A" \u003d Im A / Re A (5).

Kaya, para sa isang graphical na representasyon ng isang kumplikadong numero

A \u003d A "+ A" sa anyo ng isang vector, kailangan mo:

1. hanapin ang modulus ng vector |A| ayon sa formula (4);

2. hanapin ang argumento ng vector tg α sa pamamagitan ng formula (5);

3. hanapin ang anggulo α mula sa kaugnayan α = arc tg α;

4. sa j (x) coordinate system, gumuhit ng auxiliary

tuwid na linya at dito, sa isang tiyak na sukat, i-plot ang isang segment na katumbas ng modulus ng vector |A|.

Halimbawa 2 Ang kumplikadong numero A \u003d 3 + j 4 ay ipinakita sa graphical na anyo.

Mga kumplikadong numero, ang kanilang representasyon sa eroplano. Algebraic na operasyon sa mga kumplikadong numero. Kumplikadong banghay. Modulus at argumento ng isang kumplikadong numero. Algebraic at trigonometriko na mga anyo ng isang kumplikadong numero. Mga ugat ng kumplikadong mga numero. Ang exponential function ng isang kumplikadong argumento. Formula ng Euler. Ang exponential form ng isang complex number.

Kapag pinag-aaralan ang isa sa mga pangunahing pamamaraan ng pagsasama - ang pagsasama ng mga rational fraction - kinakailangang isaalang-alang ang mga polynomial sa kumplikadong domain para sa mahigpit na mga patunay. Samakatuwid, pag-aralan muna natin ang ilang mga katangian ng kumplikadong mga numero at mga operasyon sa mga ito.

Kahulugan 7.1. Ang isang kumplikadong numero na z ay isang nakaayos na pares ng mga tunay na numero (a, b): z = (a, b) (ang terminong "nakaayos" ay nangangahulugan na ang pagkakasunud-sunod ng mga numerong a at b ay mahalaga sa pagsulat ng isang kumplikadong numero: (a , b) )). Sa kasong ito, ang unang numero a ay tinatawag na tunay na bahagi ng kumplikadong bilang na z at ipinapahiwatig na a = Re z, at ang pangalawang numero b ay tinatawag na haka-haka na bahagi ng z: b = Im z.

Kahulugan 7.2. Dalawang kumplikadong numero z 1 \u003d (a 1, b 1) at z 2 \u003d (a 2, b 2) ay pantay-pantay kung at kung mayroon lamang silang pantay na tunay at haka-haka na mga bahagi, iyon ay, isang 1 \u003d a 2, b 1 \u003d b2.

Mga aksyon sa mga kumplikadong numero.

1. sum kumplikadong mga numero z1 =(a 1, b 1) at z2 =(a 2 , b 2 z=(a,b) ganyan a = a 1 + a 2 , b = b 1 + b 2 . Mga katangian ng karagdagan: a) z1 + z2 = z2 + z1; b) z 1 +(z2 + z3) = (z1 + z2) + z3; c) mayroong isang kumplikadong numero 0 = (0,0): z+ 0 =z para sa anumang kumplikadong numero z.

2. trabaho kumplikadong mga numero z1 =(a 1, b 1) at z2 =(a 2 , b 2) ay tinatawag na isang kumplikadong numero z=(a,b) ganyan a \u003d a 1 a 2 - b 1 b 2, b \u003d a 1 b 2 + a 2 b 1. Mga katangian ng pagpaparami: a) z 1 z 2 = z 2 z 1; b) z1 (z 2 z 3) = (z 1 z 2) z3, sa) ( z1 + z2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3 .

Magkomento. Ang isang subset ng hanay ng mga kumplikadong numero ay ang hanay ng mga tunay na numero na tinukoy bilang kumplikadong mga numero ng form ( a, 0). Makikita na sa kasong ito ang kahulugan ng mga operasyon sa mga kumplikadong numero ay nagpapanatili ng mga kilalang alituntunin ng kaukulang mga operasyon sa mga tunay na numero. Bilang karagdagan, ang tunay na numero 1 = (1,0) ay nagpapanatili ng pag-aari nito kapag pinarami sa anumang kumplikadong numero: 1∙ z = z.

Kahulugan 7.3. Kumplikadong numero (0, b) ay tinatawag na puro haka-haka. Sa partikular, ang numero (0,1) ay tinatawag haka-haka na yunit at sinasagisag i.

Imaginary unit properties:

1) i∙i=i² = -1; 2) isang purong haka-haka na numero (0, b) ay maaaring katawanin bilang isang produkto ng isang tunay na numero ( b, 0) at i: (b, 0) = b∙i.

Samakatuwid, ang anumang kumplikadong numero z = (a,b) ay maaaring katawanin bilang: (a,b) = (a,0) + (0,b) = a + ib.

Kahulugan 7.4. Ang isang notasyon ng anyong z = a + ib ay tinatawag na algebraic na anyo ng isang kumplikadong numero.

Magkomento. Ang algebraic notation ng mga kumplikadong numero ay ginagawang posible na magsagawa ng mga operasyon sa mga ito ayon sa karaniwang mga tuntunin ng algebra.

Kahulugan 7.5. Ang isang kumplikadong numero ay tinatawag na kumplikadong conjugate ng z = a + ib.

3. Pagbabawas Ang mga kumplikadong numero ay tinukoy bilang ang kabaligtaran na operasyon ng karagdagan: z=(a,b) ay tinatawag na pagkakaiba ng mga kumplikadong numero z1 =(a 1, b 1) at z2 =(a 2 , b 2), kung a \u003d a 1 - a 2, b \u003d b 1 - b 2.

4. Dibisyon ang mga kumplikadong numero ay tinukoy bilang ang kabaligtaran na operasyon ng multiplikasyon: numero z = a + ib ay tinatawag na quotient ng dibisyon z 1 = a 1 + ib 1 at z 2 = a 2 + ib 2(z 2 ≠ 0) kung z 1 = z∙z 2 . Samakatuwid, ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng quotient ay matatagpuan mula sa solusyon ng sistema ng mga equation: a 2 a - b 2 b \u003d a 1, b 2 a + a 2 b \u003d b 1.

Geometric na interpretasyon ng mga kumplikadong numero.

Kumplikadong numero z=(a,b) ay maaaring katawanin bilang isang punto sa eroplano na may mga coordinate ( a,b) o isang vector na may pinanggalingan sa pinanggalingan at nagtatapos sa punto ( a,b).

Sa kasong ito, ang module ng nagresultang vector ay tinatawag modyul complex number, at ang anggulo na nabuo ng vector na may positibong direksyon ng x-axis ay argumento numero. Kung ganoon a = p cos φ, b = ρ kasalanan φ, saan ρ = |z| - modyul z, at φ = arg z ang argumento nito, makakakuha tayo ng isa pang anyo ng pagsulat ng kumplikadong numero:

Kahulugan 7.6. Tingnan ang rekord

z = p(cos φ + i kasalanan φ ) (7.1)

tinawag trigonometrikong anyo notasyon ng isang kumplikadong numero.

Sa turn, ang modulus at argumento ng isang kumplikadong numero ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng a at b: . Samakatuwid, ang argumento ng isang kumplikadong numero ay hindi natatanging tinukoy, ngunit hanggang sa isang termino na isang multiple ng 2π.

Madaling makita na ang pagpapatakbo ng pagdaragdag ng mga kumplikadong numero ay tumutugma sa pagpapatakbo ng pagdaragdag ng mga vector. Isaalang-alang ang geometric na interpretasyon ng multiplikasyon. Hayaan mo na

Samakatuwid, ang modulus ng produkto ng dalawang kumplikadong numero ay katumbas ng produkto ng kanilang moduli, at ang argumento ay ang kabuuan ng kanilang mga argumento. Alinsunod dito, kapag hinahati, ang modulus ng quotient ay katumbas ng ratio ng mga module ng dividend at divisor, at ang argumento ay ang pagkakaiba sa pagitan ng kanilang mga argumento.

Ang isang espesyal na kaso ng pagpaparami ng pagpaparami ay ang exponentiation:

- Ang formula ni De Moivre.

Gamit ang mga relasyon na nakuha, inilista namin ang mga pangunahing katangian ng mga kumplikadong numero ng conjugate:

Mga kumplikadong numero

Pangunahing konsepto

Ang paunang data sa bilang ay tumutukoy sa Panahon ng Bato - Paleomelite. Ito ay "isa", "kaunti" at "marami". Ang mga ito ay naitala sa anyo ng mga bingaw, buhol, atbp. Ang pag-unlad ng mga proseso ng paggawa at ang paglitaw ng ari-arian ay nagpilit sa tao na mag-imbento ng mga numero at kanilang mga pangalan. Ang mga natural na numero ay unang lumitaw N nakuha sa pamamagitan ng pagbibilang ng mga bagay. Pagkatapos, kasama ang pangangailangan para sa pagbibilang, ang mga tao ay nagkaroon ng pangangailangan na sukatin ang mga haba, lugar, volume, oras at iba pang dami, kung saan kinakailangang isaalang-alang ang mga bahagi ng sukat na ginamit. Ganito ipinanganak ang mga fraction. Ang pormal na pagpapatunay ng mga konsepto ng isang fractional at negatibong numero ay isinagawa noong ika-19 na siglo. Set ng integer Z ay mga natural na numero, natural na mga numero na may minus sign at zero. Ang integer at fractional na mga numero ay bumuo ng isang set ng mga rational na numero Q, ngunit kahit na ito ay naging hindi sapat para sa pag-aaral ng patuloy na pagbabago ng mga variable. Ipinakita muli ng Genesis ang di-kasakdalan ng matematika: ang imposibilidad ng paglutas ng isang equation ng form X 2 = 3, na may kaugnayan kung saan lumitaw ang mga hindi makatwirang numero ako. Unyon ng hanay ng mga rational na numero Q at hindi makatwiran na mga numero ako ay ang set ng tunay (o tunay) na mga numero R. Bilang resulta, ang linya ng numero ay napunan: ang bawat tunay na numero ay tumutugma sa isang punto dito. Pero sa set R walang paraan upang malutas ang equation X 2 = – a 2. Dahil dito, muling nagkaroon ng pangangailangan na palawakin ang konsepto ng numero. Kaya noong 1545 lumitaw ang mga kumplikadong numero. Tinawag silang "purong negatibo" ng kanilang tagalikha na si J. Cardano. Ang pangalang "haka-haka" ay ipinakilala noong 1637 ng Pranses na si R. Descartes, noong 1777 iminungkahi ni Euler ang paggamit ng unang titik ng numerong Pranses. i upang tukuyin ang haka-haka na yunit. Ang simbolo na ito ay ginamit sa pangkalahatan salamat sa K. Gauss.

Noong ika-17 at ika-18 siglo, nagpatuloy ang pagtalakay sa arithmetical na katangian ng mga haka-haka at ang kanilang geometric na interpretasyon. Ang Dane H. Wessel, ang Pranses na si J. Argan, at ang Aleman na si K. Gauss ay nakapag-iisa na nagmungkahi na ang isang kumplikadong numero ay kinakatawan ng isang punto sa coordinate plane. Nang maglaon, ito ay naging mas maginhawa upang kumatawan sa numero hindi sa mismong punto, ngunit sa pamamagitan ng vector na papunta sa puntong ito mula sa pinagmulan.

Sa pagtatapos lamang ng ika-18 - simula ng ika-19 na siglo, ang mga kumplikadong numero ay nakakuha ng kanilang nararapat na lugar sa pagsusuri sa matematika. Ang kanilang unang paggamit ay sa teorya ng differential equation at sa teorya ng hydrodynamics.

Kahulugan 1.kumplikadong numero ay tinatawag na pagpapahayag ng anyo , kung saan x at y ay tunay na mga numero, at i ay ang haka-haka na yunit, .

dalawang kumplikadong numero at pantay kung at kung , .

Kung , kung gayon ang numero ay tinatawag puro haka-haka; kung , kung gayon ang numero ay isang tunay na numero, na nangangahulugang ang set R Sa, saan Sa ay ang hanay ng mga kumplikadong numero.

Conjugated sa isang kumplikadong numero ay tinatawag na isang kumplikadong numero.

Geometric na representasyon ng mga kumplikadong numero.

Ang anumang kumplikadong numero ay maaaring katawanin ng isang tuldok. M(x, y) eroplano Oxy. Ang isang pares ng mga tunay na numero ay nagsasaad din ng mga coordinate ng radius vector , ibig sabihin. sa pagitan ng hanay ng mga vector sa eroplano at ng hanay ng mga kumplikadong numero, maaaring magtatag ng isa-sa-isang sulat: .

Kahulugan 2.Tunay na bahagi X.

pagtatalaga: x= Re z(mula sa Latin Realis).

Kahulugan 3.haka-haka na bahagi complex number ay tinatawag na real number y.

pagtatalaga: y= Ako z(mula sa Latin na Imaginarius).

Re z ay idineposito sa axis ( oh), Im z ay idineposito sa axis ( Oy), kung gayon ang vector na naaayon sa kumplikadong numero ay ang radius vector ng punto M(x, y), (o M(Re z, Im z)) (Larawan 1).

Kahulugan 4. Ang isang eroplano na ang mga punto ay nauugnay sa isang hanay ng mga kumplikadong numero ay tinatawag kumplikadong eroplano. Ang abscissa ay tinatawag totoong axis, dahil naglalaman ito ng mga tunay na numero . Ang y-axis ay tinatawag imaginary axis, naglalaman ito ng puro haka-haka na kumplikadong mga numero. Ang hanay ng mga kumplikadong numero ay tinutukoy Sa.

Kahulugan 5.modyul kumplikadong numero z = (x, y) ay ang haba ng vector : , i.e. .

Kahulugan 6.Pangangatwiran complex number ay tinatawag na anggulo sa pagitan ng positibong direksyon ng axis ( Oh) at vector : .

Puna 3. Kung punto z namamalagi sa tunay o haka-haka na aksis, maaari itong matagpuan nang direkta.

Ang mga sumusunod na anyo ng kumplikadong mga numero ay umiiral: algebraic(x+iy), trigonometriko(r(cos+isin )), pagpapakita(re i ).

Ang anumang kumplikadong numero z=x+iy ay maaaring katawanin sa XOY plane bilang isang punto A(x, y).

Ang eroplano kung saan inilalarawan ang mga kumplikadong numero ay tinatawag na eroplano ng kumplikadong variable na z (inilalagay namin ang simbolo na z sa eroplano).

Ang OX axis ay ang tunay na axis, i.e. naglalaman ito ng mga totoong numero. Ang OS ay ang haka-haka na axis na may mga haka-haka na numero.

x+iy- algebraic na anyo ng pagsulat ng isang kumplikadong numero.

Nakukuha namin ang trigonometriko na anyo ng kumplikadong numero.

Pinapalitan namin ang mga nakuhang halaga sa paunang anyo: , i.e.

r(cos+isin) - trigonometrikong anyo ng pagsulat ng isang kumplikadong numero.

Ang exponential form ng isang complex number ay sumusunod mula sa Euler formula:
, pagkatapos

z= re i - exponential form ng pagsusulat ng complex number.

Mga aksyon sa mga kumplikadong numero.

1. karagdagan. z 1 +z 2 =(x1+iy1)+ (x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2);

2 . pagbabawas. z 1 -z 2 \u003d (x1 + iy1) - (x2 + iy2) \u003d (x1-x2) + i (y1-y2);

3. pagpaparami. z 1 z 2 =(x1+iy1)*(x2+iy2)=x1x2+i(x1y2+x2y1+iy1y2)=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1);

4 . dibisyon. z 1 /z 2 =(x1+iy1)/(x2+iy2)=[(x1+iy1)*(x2-iy2)]/[ (x2+iy2)*(x2-iy2)]=

Dalawang kumplikadong numero na naiiba lamang sa tanda ng haka-haka na yunit, i.e. z=x+iy (z=x-iy) ay tinatawag na conjugate.

Trabaho.

z1=r(cos +isin ); z2=r(cos +isin ).

Ang produktong iyon z1*z2 ng mga kumplikadong numero ay: , i.e. ang modulus ng produkto ay katumbas ng produkto ng mga module, at ang argumento ng produkto ay katumbas ng kabuuan ng mga argumento ng mga salik.

;
;

Pribado.

Kung ang mga kumplikadong numero ay ibinibigay sa anyong trigonometric.

Kung ang mga kumplikadong numero ay ibinigay sa exponential form.

Exponentiation.

1. Ang kumplikadong numero ay ibinigay sa algebraic anyo.

z=x+iy, pagkatapos ay ang z n ay matatagpuan ng Binomial formula ni Newton:

- ang bilang ng mga kumbinasyon ng n elemento sa pamamagitan ng m (ang bilang ng mga paraan kung saan ang n elemento ay maaaring makuha mula sa m).

; n!=1*2*…*n; 0!=1;
.

Ginagamit para sa mga kumplikadong numero.

Sa resultang expression, kailangan mong palitan ang mga kapangyarihan ng i sa kanilang mga halaga:

i 0 =1 Kaya, sa pangkalahatang kaso, nakukuha natin ang: i 4k =1

i 1 =i i 4k+1 =i

i 2 =-1 at 4k+2 =-1

i 3 =-i i 4k+3 =-i

Halimbawa.

i 31 = i 28 i 3 =-i

i 1063 = i 1062 i=i

2. trigonometriko anyo.

z=r(cos +isin ), pagkatapos

- Ang formula ni De Moivre.

Dito ang n ay maaaring parehong "+" at "-" (integer).

3. Kung ang isang kumplikadong numero ay ibinigay sa demonstrative anyo:

Pagkuha ng ugat.

Isaalang-alang ang equation:
.

Ang solusyon nito ay ang nth root ng complex number z:
.

Ang nth root ng complex number z ay may eksaktong n solusyon (mga halaga). Ang nth root ng kasalukuyang numero ay may isang solusyon lamang. Sa kumplikadong - n solusyon.

Kung ang isang kumplikadong numero ay ibinigay sa trigonometriko anyo:

z=r(cos +isin ), pagkatapos ay ang ika-n ugat ng z ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

, kung saan k=0.1…n-1.

Mga hilera. Mga linya ng numero.

Hayaan ang variable na kumuha ng sunud-sunod na mga halaga a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n . Ang nasabing isang enumerated set ng mga numero ay tinatawag na isang sequence. Siya ay walang katapusan.

Ang serye ng numero ay ang expression na a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n + ... = . Ang mga numerong a 1, a 2, a 3, ..., at n ay mga miyembro ng serye.

Halimbawa.

at 1 ang unang miyembro ng serye.

at ang n ay ang nth o karaniwang miyembro ng serye.

Ang isang serye ay itinuturing na ibinigay kung ang nth (karaniwang termino ng serye) ay kilala.

Ang serye ng numero ay may walang katapusang bilang ng mga miyembro.

Mga Numero - pag-unlad ng aritmetika (1,3,5,7…).

ang n-th miyembro ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula a n = a 1 + d (n-1); d=a n -a n-1 .

Denominator - geometric na pag-unlad. b n =b 1 q n-1 ;
.

Isaalang-alang ang kabuuan ng unang n termino ng serye at tukuyin ito ng Sn.

Sn=a1+a2+…+a n .

Ang Sn ay ang n-th partial sum ng serye.

Isaalang-alang ang limitasyon:

S ay ang kabuuan ng serye.

Mga hilera convergent kung ang limitasyong ito ay may hangganan (may hangganan ang S).

hilera divergent kung ang limitasyong ito ay walang katapusan.

Sa hinaharap, ang aming gawain ay ang mga sumusunod: upang maitaguyod kung aling serye.

Ang isa sa pinakasimpleng ngunit pinakakaraniwang serye ay isang geometric na pag-unlad.

, C=const.

Ang geometric progression aynagtatagpo malapit, kung
, at divergent kung
.

Nahanap din maharmonya na serye(hilera
). Itong hilera divergent .

Ang pagtatakda ng kumplikadong numero ay katumbas ng pagtatakda ng dalawang tunay na numero a, b - ang tunay at haka-haka na bahagi ng kumplikadong numerong ito. Ngunit ang isang nakaayos na pares ng mga numero ay kinakatawan sa isang Cartesian rectangular coordinate system sa pamamagitan ng isang punto na may mga coordinate. Kaya, ang puntong ito ay maaari ding magsilbi bilang isang imahe para sa isang kumplikadong numero z: isang one-to-one na pagsusulatan ay itinatag sa pagitan ng mga kumplikadong numero at mga puntos ng coordinate plane. Kapag ginagamit ang coordinate plane upang ilarawan ang mga kumplikadong numero, ang Ox axis ay karaniwang tinatawag na real axis (dahil ang tunay na bahagi ng numero ay kinuha bilang abscissa ng punto), at ang Oy axis ay ang haka-haka na axis (dahil ang haka-haka na bahagi ng numero ay kinuha bilang ordinate ng punto). Ang complex number z na kinakatawan ng isang punto (a, b) ay tinatawag na affix ng puntong ito. Sa kasong ito, ang mga tunay na numero ay kinakatawan ng mga puntong nakahiga sa totoong axis, at ang lahat ng mga puro haka-haka na numero (para sa a = 0) ay kinakatawan ng mga puntos na nakahiga sa haka-haka na axis. Ang numerong zero ay kinakatawan ng punto O.

Sa fig. 8 binuo na mga larawan ng mga numero.

Dalawang kumplikadong conjugate na numero ay kinakatawan ng mga puntong simetriko tungkol sa Ox axis (mga puntos sa Fig. 8).

Kadalasang nauugnay sa isang kumplikadong numero ay hindi lamang ang punto M, na kumakatawan sa numerong ito, kundi pati na rin ang vector OM (tingnan ang aytem 93), na humahantong mula sa O hanggang M; ang representasyon ng isang numero ng isang vector ay maginhawa mula sa punto ng view ng geometric na interpretasyon ng pagkilos ng pagdaragdag at pagbabawas ng mga kumplikadong numero.

Sa fig. 9, isang ipinapakita na ang vector na kumakatawan sa kabuuan ng mga kumplikadong numero ay nakuha bilang isang dayagonal ng isang paralelogram na binuo sa mga vector na kumakatawan sa mga termino.

Ang panuntunan sa pagdaragdag ng vector na ito ay kilala bilang panuntunan ng parallelogram (halimbawa, para sa pagdaragdag ng mga puwersa o bilis sa isang kurso sa pisika). Ang pagbabawas ay maaaring bawasan sa karagdagan sa kabaligtaran na vector (Larawan 9b).

Gaya ng nalalaman (Sec. 8), ang posisyon ng isang punto sa eroplano ay maaari ding tukuyin ng mga polar coordinates nito. Kaya, ang complex number - ang affix ng punto ay tinutukoy din ng assignment 10 ito ay malinaw kung ano ang kasabay ng modulus ng kumplikadong numero : ang polar radius ng punto na kumakatawan sa numero ay katumbas ng modulus ng numerong ito.

Ang polar angle ng point M ay tinatawag na argumento ng numero na kinakatawan ng puntong ito. Ang argumento ng isang kumplikadong numero (tulad ng polar angle ng isang punto) ay hindi natatanging tinukoy; kung isa sa mga halaga nito, kung gayon ang lahat ng mga halaga nito ay ipinahayag ng formula

Ang lahat ng mga halaga ng argumento sa pinagsama-samang ay tinutukoy ng simbolo.

Kaya, ang anumang kumplikadong numero ay maaaring iugnay sa isang pares ng mga tunay na numero: ang module at ang argumento ng ibinigay na numero, at ang argumento ay tinukoy nang hindi malinaw. Sa kaibahan, ang isang ibinigay na modulus at argumento ay tumutugma sa isang solong numero na may ibinigay na modulus at argumento. Ang numerong zero ay may mga espesyal na katangian: ang modulus nito ay zero, walang tiyak na halaga ang itinalaga sa argumento.

Upang makamit ang pagiging natatangi sa kahulugan ng argumento ng isang kumplikadong numero, ang isa sa mga halaga ng argumento ay maaaring tawaging pangunahing isa. Ito ay tinutukoy ng simbolo. Karaniwan, bilang pangunahing halaga ng argumento, pinipili ang isang halaga na nakakatugon sa mga hindi pagkakapantay-pantay

(sa ibang mga kaso, hindi pagkakapantay-pantay).

Bigyang-pansin din natin ang mga halaga ng argumento ng tunay at puro haka-haka na mga numero:

Ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng isang kumplikadong numero (bilang mga Cartesian na coordinate ng isang punto) ay ipinahayag sa mga tuntunin ng modulus at argumento nito (ang mga polar na coordinate ng isang punto) gamit ang mga formula (8.3):

at ang complex number ay maaaring isulat sa sumusunod na trigonometric form.