Anong parameter ang nagpapahalaga sa ibinigay na function. Paglutas ng mga problema sa mga parameter gamit ang mga katangian ng isang quadratic function

1. Gawain.
Sa anong mga halaga ng parameter a ang equation ( a - 1)x 2 + 2x + a- 1 = 0 ay may eksaktong isang ugat?

1. Desisyon.
Sa a= 1 equation ang may form 2 x= 0 at halatang may iisang ugat x= 0. Kung a No. 1, kung gayon ang equation na ito ay quadratic at may isang solong ugat para sa mga halaga ng parameter kung saan ang discriminant ng square trinomial ay katumbas ng zero. Ang equating ang discriminant sa zero, nakakakuha kami ng equation para sa parameter a 4a 2 - 8a= 0, saan a= 0 o a = 2.

1. Sagot: ang equation ay may iisang ugat sa a O(0; 1; 2).

2. Gawain.
Hanapin ang lahat ng value ng parameter a, kung saan ang equation ay may dalawang magkaibang ugat x 2 +4palakol+8a+3 = 0.
2. Desisyon.
Ang equation x 2 +4palakol+8a Ang +3 = 0 ay may dalawang magkaibang ugat kung at kung lamang D = 16a 2 -4(8a+3) > 0. Nakukuha namin (pagkatapos ng pagbabawas ng karaniwang salik na 4) 4 a 2 -8a-3 > 0, kung saan

2. Sagot:

a O (-Ґ ; 1 -

C 7 2

) AT (1 +

C 7 2

; Ґ ).

3. Gawain.
Ito ay kilala na
f 2 (x) = 6x-x 2 -6.
a) I-graph ang function f 1 (x) sa a = 1.
b) Sa anong halaga a mga function graph f 1 (x) at f 2 (x) may iisang karaniwang punto?

3. Solusyon.
3.a. Magtransform tayo f 1 (x) sa sumusunod na paraan
Ang graph ng function na ito a= 1 ay ipinapakita sa figure sa kanan.
3.b. Agad naming tandaan na ang function graphs y = kx+b at y = palakol 2 +bx+c (a Hindi. 0) bumalandra sa isang punto kung at kung ang quadratic equation kx+b = palakol 2 +bx+c may iisang ugat. Gamit ang View f 1 ng 3.a, tinutumbasan namin ang discriminant ng equation a = 6x-x 2 -6 hanggang zero. Mula sa Equation 36-24-4 a= 0 ang nakukuha natin a= 3. Gayon din ang paggawa sa equation 2 x-a = 6x-x 2 -6 mahanap a= 2. Madaling i-verify na ang mga halaga ng parameter na ito ay nakakatugon sa mga kondisyon ng problema. Sagot: a= 2 o a = 3.

4. Gawain.
Hanapin ang lahat ng mga halaga a, kung saan ang hanay ng mga solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay x 2 -2palakol-3a i 0 ay naglalaman ng segment .

4. Solusyon.
Ang unang coordinate ng vertex ng parabola f(x) = x 2 -2palakol-3a ay katumbas ng x 0 = a. Mula sa mga katangian ng isang quadratic function, ang kundisyon f(x) i 0 sa pagitan ay katumbas ng kabuuan ng tatlong sistema
may eksaktong dalawang solusyon?

5. Desisyon.
Isulat muli natin ang equation na ito sa anyo x 2 + (2a-2)x - 3a+7 = 0. Ito ay isang quadratic equation, mayroon itong eksaktong dalawang solusyon kung ang discriminant nito ay mahigpit na mas malaki sa zero. Ang pagkalkula ng discriminant, nakuha namin na ang kondisyon para sa pagkakaroon ng eksaktong dalawang ugat ay ang katuparan ng hindi pagkakapantay-pantay. a 2 +a-6 > 0. Ang paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay, makikita natin a < -3 или a> 2. Malinaw, ang una sa mga hindi pagkakapantay-pantay ay walang mga solusyon sa natural na mga numero, at ang pinakamaliit na natural na solusyon ng pangalawa ay ang numero 3.

5. Sagot: 3.

6. Gawain (10 cell)
Hanapin ang lahat ng mga halaga a, kung saan ang graph ng function o, pagkatapos ng mga halatang pagbabago, a-2 = | 2-a| . Ang huling equation ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay a ako 2.

6. Sagot: a O , at hindi nakadepende sa tanda ng discriminant. Gumawa tayo ng mga guhit na eskematiko (para sa D>0)

https://pandia.ru/text/78/525/images/image020_10.jpg" width="624" height="209 src=">

Para sa bawat isa sa tatlong kaso a), b), c) ang pinakamaliit na halaga ng function f(t) = t2-8at+7a2

sa segment ay nakamit, ayon sa pagkakabanggit, sa mga punto sa x = 1, x = 2a, x = 1/4. Kung gayon ang tanong na sasagutin ay ang solusyon ng kabuuan ng tatlong sistema:

1≤4a 1/4<4а<1 4а<1/4

f(1)<0 или f(4а)<0 или f(1/4)<0

a≥1/4 1/16<а<1/4 а≤1/16

1 - 8a + 7a2<0 или 16а2 – 32а2 + 7а2<0 или 1/16 – 2а + 7а2<0.

Sagot: 1/28<а<1.

Mga gawain sa pagsubok

isa). Para sa anong mga halaga ng parameter a ang mga graph ng mga function na y = 2x – a at y = (a + 1)x2 + 1 ay nagsalubong sa isang punto lamang?

2). Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter a kung saan ang mga graph ng mga function y = (a + 5)x2 - 1 at

y \u003d (3a + 15) x - 4 ay walang mga karaniwang puntos?

3). Para sa anong mga halaga ng parameter a ang equation (a +4)x2 +6x –1 = 0 ay may natatanging solusyon?

4). Para sa anong mga halaga ng parameter a ang equation (2a + 8) x2 - (a + 4) x + 3 = 0 ay may natatanging solusyon?

5). Para sa anong mga halaga ng parameter a ang equation ay may higit sa isang solusyon?

a) (a + 6)x2 - 8x + a \u003d 0

b) a (2a + 4) x2 - (a + 2) x - 5a - 10 = 0.

6). Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter k kung saan ang curve y = x2 + kx + 4 ay nakadikit sa x-axis.

7). Ano ang pinakamaliit na halaga ng integer ng parameter k para sa square trinomial

(k–2)x2+8x + k+4 ay positibo para sa lahat ng tunay na halaga ng x?

walo). Ang mga numerong x, y, at ay tulad ng x + y = a -1, x2 + y2 = 5a2 - 3a + 0.5. Sa anong mga halaga ng parameter a kinukuha ng produkto xy ang pinakamataas na halaga?

siyam). Ang mga numerong x, y, at ay tulad na x + y = a +1, xy = a2 - 3a + 4. Para sa anong mga halaga ng parameter

at ang kabuuan x2 + y2 ay tumatagal ng pinakamataas na halaga?

sampu). Hanapin ang pinakamalaki at 1 pinakamaliit na halaga ng function y \u003d 2x2 - 2ax + sa segment

labing-isa). Hanapin ang pinakamalaking halaga ng square trinomial 1 - (a - 2) x - x2 sa segment

12). Sa anong mga halaga ng parameter a ang pinakamaliit na halaga ng function na y = x2 + (a + 4) x + 2a + 3 sa segment na katumbas ng -4?

labintatlo). Sa anong mga halaga ng parameter a ang pinakamaliit na halaga ng function y \u003d x2 - (a + 2) x + a2 sa segment [-1; 1] katumbas ng 4?

labing-apat). Sa anong mga halaga ng parameter a ang pinakamataas na halaga ng function

f (x) \u003d - (1 / a) x + (7 / a) 3-x - 3a2 sa segment [-1; 0] ay negatibo?

Mga sagot sa gawain sa pagsusulit

1) a=-2, a=-1, a=0.

2) –19/3<а≤-5.

3) a=-4, a=-13.

5) a) -8<а<-6 и -6<а<2

b) a=-2; -1/40 0.

10) Kung a<-2, то наименьшее значение функции при х=-1 и равно 3+2а, наибольшее значение функции при х=1 и равно 3–2а;

kung -2≤a<0, то наименьшее значение функции при х= хо и равно 1–а2/2, наибольшее значение функции при х=1 и равно 3–2а;

kung 0≤a<2, то наименьшее значение функции при х= хо и равно 1–а2/2, наибольшее значение функции при х=-1 и равно 3+2а;

kung a≥2, kung gayon ang pinakamaliit na halaga ng function sa x= 1 at katumbas ng 3–2a, ang pinakamalaking halaga ng function sa x=-1 at katumbas ng 3+2a;

11) Kung a≤0, kung gayon -6a2-a+2, kung 0<а<8/5, то 2- 6а +а2/4, если а ≥8/5, то 19а-6а2 -14

13) a=-2 o a=(1+√21)/2

14) |a|>(7√3)/12.

Lokasyon ng mga ugat ng isang square trinomial

Isaalang-alang ang ilang karaniwang mga problema na nauugnay sa lokasyon ng mga ugat ng square trinomial ax2 + bx + c. Isasagawa namin ang lahat ng pangangatwiran sa pag-aakalang isang > 0. Kung ang<0,то рассуждения проводятся аналогично.

Gawain bilang 1.

Sa ilalim ng anong mga kondisyon ang parehong mga ugat ng quadratic equation ax2 + bx + c = 0 (hindi kinakailangang magkaiba) ay mas malaki kaysa sa ilang ibinigay na numero k?

Desisyon.

Bumubuo kami ng mga schematic graph ng function ng isang square trinomial y= ax2+bx+c, kung saan ang x1 at x2 ay nakakatugon sa mga kundisyon: x1>k, x2>k. Hayaan ang f(x)=ax2+bx+c. Ang graph y= f(x) ay maaaring tumatawid sa OX axis (D>0) o hinawakan ito (D=0). Pagkatapos ay kinakailangan upang matupad ang kundisyon: х>к, y(к)>0. Kung ang< 0 условие: х1>k, x2>k ay tinutukoy ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay:

https://pandia.ru/text/78/525/images/image023_20.gif" width="14" height="86">

Fig.4

Gawain 11. Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter a kung saan ang lahat ng mga ugat ng equation

x2–6ax+2–2a+9a2 = 0 higit sa 3.

Desisyon.

Kung matugunan ang kinakailangang kundisyon, posible ang mga sumusunod na posisyon ng parabola, na siyang graph ng function na f(x)= x2–6ax+2–2a+9a2

Fig.5

Lutasin natin ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay:

https://pandia.ru/text/78/525/images/image026_8.jpg" align="left" width="324" height="239 src=">

Ito ay sapat na upang matupad ang kondisyon: y(k)<0, если а >0.Kapag a<0, y(к) > 0.

kanin. 6

Gawain 12. Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter a kung saan ang 1 ay nasa pagitan ng mga ugat ng equation na x2–2ax+3–4a+2a2=0.

Desisyon.

Dahil ang nangungunang koepisyent ay positibo, ito ay sapat na upang matugunan ang kundisyon f(1)<0, где f(х)=х2–2ах+3–4а+2а2

4–6a+2a2<0, 1<а<2.

Sagot: 1<а<2

Gawain bilang 3. Sa ilalim ng anong mga kondisyon ang eksaktong isang ugat ng quadratic equation ax2 + bx + c = 0, na may iba't ibang mga ugat, ay nasa pagitan (k, e)?

Bumuo tayo ng eskematiko ng mga graph y = ax2 + bx + c ayon sa kondisyon ng problemang ito para sa a > 0.

https://pandia.ru/text/78/525/images/image028_8.jpg" width="623" height="246 src=">

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay: f(1) f(2)<0.

(a2+8a+7)(a2+14a+16)<0

7-√33< а<-7; -7+√33<а<-1.

Sagot: -7-√33< а<-7; -7+√33<а<-1.

Gawain 14. Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter a kung saan ang equation na 2cos(2x)+2asin(x)+a-1=0 ay may natatanging solusyon sa pagitan (-π/2;0).

Desisyon.

2cos(2x)+2a sinx+a-1=0

2(1–2 sin2х)+ 2a sinx+a–1=0

4 sin2х–2а sinx –a–1=0

Hayaan ang sinx=t Since -π/2<х<0, то -1< t <0

Hanapin ang mga halagang iyon ng parameter a kung saan ang equation na 4t2– 2at–a–1=0 ay may natatanging solusyon sa pagitan (-1; 0).

Ang equation na 4t2– 2at–a–1=0 ay may natatanging solusyon sa pagitan (-1; 0) kung:

isa). D \u003d 0 D / 4 \u003d (a + 2) 2 D \u003d 0 para sa isang \u003d -2.

2). Isaalang-alang ang function na f(t)= 4t2– 2at–a–1

Bumubuo kami ng schematic graph ng function na y=f(t)

https://pandia.ru/text/78/525/images/image030_16.gif" width="14" height="50 src=">

f(0) f(1) ≤0 a≤-3; a≥-1

Sagot: a≤-3; a≥-1; a=-2.

Gawain bilang 4. Sa ilalim ng anong mga kondisyon ang parehong mga ugat (hindi kinakailangang magkaiba) ng quadratic equation na ax2 + bx + c ay namamalagi sa segment [k; e]. Isaalang-alang sa ilalim ng kundisyon a>0. Hayaang magkaroon ng function f(x)= ax2+bx+c

https://pandia.ru/text/78/525/images/image032_14.gif" width="14" height="110"> D≥0

k≤ ho≤ e

Gawain 15. Hanapin ang mga halaga ng parameter a kung saan ang lahat ng mga ugat ng equation

х2- 2(а–3)х–а +3=0 ay nasa pagitan (-3; 0).

Desisyon.

Sa kondisyon na mayroong kahit isang ugat, ang graph ng function na f (x) \u003d x2- 2 (a-3) x-a + 3 ay maaaring iskema na matatagpuan sa isa sa dalawang paraan

https://pandia.ru/text/78/525/images/image034_12.gif" width="14" height="110"> D≥0 4(а – 3)(а – 2) ≥0

3<хо<0 3<а – 3 <0 1,2<а≤2.

f(-3) >0 5а – 6>0

f(0) >0 -а+3>0

Equation sin x - 1 + a = sin x - 2 . sin x − 2 sin x − 3 Solusyon. Ang pagtatakda ng t = sin x, binabawasan namin ang equation sa anyo na at2 − 5at + 6a − 1 = 0. Kung a = 0, kung gayon walang mga solusyon. Para sa a = 0 at sa ilalim ng kondisyong a ∈ (−∞; −4] ∪ (0; +∞) √ 2 + 4a nakukuha natin ang mga ugat ng equation t1,2 = 5a ± 2aa. Dahil ang vertex ng parabola f (t) = at2 − 5at + 6a − 1 ay matatagpuan sa puntong tв = 2 , 5 ang kundisyon |t|1 para sa pinakamaliit sa mga ugat ay masisiyahan kung ang function ay may iba't ibang mga palatandaan sa mga dulo ng segment [− 1; 1]: f (−1) f (1) 0 o (2a−1)(12a−1) 0. Ang solusyon sa huling 1 hindi pagkakapantay-pantay ay ang pagitan a ∈ 12 ;1 .2 √ a2 Sagot: Kung a ∈ 12 ;2: x = (−1)n arcsin 5a− 2a +4a +πn, n∈Z, 1 1 walang solusyon para sa iba pang a. Problema 6.7 Para sa aling mga value ng parameter a ang function f (x) = 8ax − isang sin 6x − 7x − sin 5x ay tumataas sa buong totoong axis at walang kritikal na puntos? Solusyon. Ang function na f (x) ay naiba para sa anumang halaga ng a at f (x) = 8a − 6a cos 6x − 7 − 5 cos 5x. Ang problema ay maaaring reformulated tulad ng sumusunod: kung saan a ang hindi pagkakapantay-pantay 6a cos 6x + 5 cos 5x< 8a − 7 справедливо для любого x? Так как последнее неравенство должно выполняться для любого значения x, оно должно быть справедливо и для x = 0, от- куда 6a + 5 < 8a − 7 или a >6. Isinasaalang-alang ngayon na 6a cos 6x + 5 cos 5x 6|a| +5< 8a − 7, приходим к выводу, что при a >6 ang hindi pagkakapantay-pantay ay wasto para sa anumang x. Sagot: a > 6. Mga problema para sa malayang solusyon Problema 6.8. (SGAU) Depende sa mga halaga ng parameter a, lutasin ang equation na cos4 x − (a + 2) cos2 x √ a − 3 = 0. − Sagot: Kung a ∈ [−3; −2] : x = arccos a + 3 + πk, k ∈ Z, kung a ∈ [−3; −2] : walang solusyon. Suliranin 6.9. (SGAU) Depende sa mga halaga ng parameter a, lutasin ang equation na sin4 x + cos4 x + sin 2x + a = 0. 61 √ Sagot: Kung a ∈ − 3 ; 2: x = 1 (−1)k arcsin(1− 2a−3) + πk, 2 1 2 3 ; 1: walang solusyon. kung a ∈ − 2 2 k ∈ Z, Problema 6.10. (SGAU) Para sa anong mga halaga ng parameter a ang equation (a2 +8a+16)(2−2 cos x− sin2 x)+(32+2a2 +16a)(cos x−1)+3a+10 =0 solusyon? Sagot: a< − 10 ; −3 < a < −2. 3 Задача 6.11. (СГАУ) При каких значениях параметра a урав- нение loga−2 17 + cos x − sin x = 3 8 имеет решение? √ 2 3 Ответ: a ∈ 2 5 ; 3 ∪ 3; 2 + 26 . 2 Задача 6.12. (СГАУ) При каких значениях параметра a урав- нение loga+1 25 + cos x − 2 sin x = 3 8 2 имеет решение? √3 37 Ответ: a ∈ − 1 ; 0 ∪ 0; 2 − 1 . 2 Задача 6.13. (ЕГЭ) При каких значениях параметра a значение выражения 2+cos x·(3 cos x+a sin x) не равно нулю ни при каких значениях x? √ √ Ответ: a ∈ −2 10; 2 10 . Задача 6.14. (ЕГЭ) При каких значениях параметра a значение выражения 3 + sin x · (2 sin x + a cos x) будет равно −1 хотя бы при одном значении x? √ √ Ответ: a ∈ −∞; −4 6 ∪ 4 6; +∞ . Задача 6.15. (ЕГЭ) При каких значениях параметра a сумма loga (sin x + 2) и loga (sin x + 3) будет равна единице хотя бы при одном значении x? Ответ: a ∈ [ 2; 12 ]. Задача 6.16. (СГАУ) При каких значениях параметра α систе- ма 4 sin x · sin y · cos(x + y) − 0,5 = 0 x−y =α имеет решения? Найдите эти решения в зависимости от значений параметра α. 62 Ответ: Если α = 2πn: x = ±π 6 + π(k+n) π y = ±6 + π(k−n); если α = π+2πn: x = ±π 3 + π + π(k+n) 2 y = ±π 3 − π + π(k−n), 2 n, k ∈ Z. Задача 6.17. (СГАУ) При каких значениях параметра α систе- ма 2 sin x · cos y · sin(x − y) + 0,25 = 0 x+y =α имеет решения? Найдите эти решения в зависимости от значений параметра α. Ответ: Если α = π +2πn: x = (−1)k+1 π + π + π (2n+k) 2 12 4 2 k π + π + π (2n−k); y = (−1) 12 4 2 если α = − 2 π +2πn: x = (−1)k π − π + π (2n+k) 12 4 2 y = (−1) k+1 π − π + π (2n−k), 12 4 2 n, k ∈ Z. Задача 6.18. (СГАУ) При каких значениях параметра a нера- венство √ 2 2 (sin x − cos x) − a + 7 log 2a+34 15 <0 35 выполняется для любых значений x? 1 Ответ: a ∈ (−17; −12) ∪ 2 ; 3 . Задача 6.19. (СГАУ) При каких значениях параметра a нера- венство √ log 3−2a 3 sin x + 3 3 cos x − 2a − 12 >Ang 0 23 28 ay humahawak para sa anumang mga halaga ng x? Sagot: a ∈ (−∞; −23) ∪ (−10; −9). Problema 6.20. Depende sa mga halaga ng parameter a, lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay cos x 2 − a2 . Sagot: |a| √ : x ∈ R, 1 1<|a| √3: x ∈ arccos(2−a2)+2πk; π− arccos(2−a2)+2πk , |a|>3: walang solusyon. k∈Z Problema 6.21. Para sa anong mga halaga ng parameter a ang equation na tg x (a + 1) tg2 x − 2 cos x + a = 0 ay walang mga solusyon? Sagot: a -3; a 1. 63 Gabay sa pag-aaral PROBLEMA SA MGA PARAMETER Compiled by: Efimov Evgeny Alexandrovich Kolomiets Lyudmila Vadimovna Computer typesetting at layout E.A. Efimov Samara State Aerospace University na pinangalanang Academician S.P. Reyna. 443086, Samara, Moscow highway, 34. - RIO Samara State Aerospace University na ipinangalan sa Academician S.P. Reyna. 443086, Samara, Moscow highway, 34.

Ministri ng Edukasyon at Agham ng Rehiyon ng Samara

State Autonomous Educational Institution ng Karagdagang Propesyonal na Edukasyon (Pagpapaunlad ng Kwalipikasyon) ng mga Espesyalista

SAMARA REGIONAL INSTITUTE FOR PROFESSIONAL DEVELOPMENT

AT RETRAINING NG MGA MANGAWANG EDUKASYON

Pangwakas na gawain

Sa mga advanced na kurso sa pagsasanay

Ayon kay WB IOCH

"Mga tampok na pamamaraan ng pagtuturo upang malutas ang mga problema sa isang parameter sa konteksto ng paglipat sa mga bagong pamantayang pang-edukasyon"

(15.06 - 19.06.2015)

Pagdidisenyo ng isang multi-level na sistema ng mga gawain na may parameter ng paksa:

"Derivative"

Ginawa:

Valieva F.G.,

guro sa matematika

GBOU secondary school sila. M.K. Ovsyannikova

kasama. Isakla

Samara

2015

PALIWANAG TALA

Buong pangalan (buong pangalan)

Valieva Fanuzya Galimzyanovna

Lugar ng trabaho

GBOU secondary school sila. M.K. Ovsyannikova nayon ng Isakly,

Distrito ng Isaklinsky, rehiyon ng Samara

Posisyon

Guro sa matematika

Bagay

Mathematics

Klase

Mga layunin:

pagpapatupad ng mga kinakailangan ng Federal State Educational Standard LLC kapag pinag-aaralan ang paksa: "Derivative"
Generalization at systematization ng kaalaman at pamamaraan ng aktibidad sa paksang "Derivative"; pagbuo ng mga kasanayan upang malutas ang mga problema sa mga parameter.
Pag-unlad ng pananaliksik at mga aktibidad na nagbibigay-malay.

Ang konsepto ng espirituwal at moral na pag-unlad at edukasyon ng pagkatao ng isang mamamayan ng Russiaay ang metodolohikal na batayan para sa pagbuo at pagpapatupad ng pamantayang pang-edukasyon ng pederal na estado para sa pangkalahatang edukasyon.

Pamantayan sa edukasyon ng pederal na estado para sa pangunahing pangkalahatang edukasyon sa kurso ng matematika sa paaralan.

Ang pamantayan ay batay sadiskarte sa system-activity.

Ang pamantayan ay nagtatatag ng mga kinakailangan para sa mga resulta ng mastering ng mga mag-aaral ng pangunahing programang pang-edukasyon ng pangunahing pangkalahatang edukasyon:

personal;

metasubject ;

paksa .

Mga gawain:

- pang-edukasyon: pag-aralan at unawain ang teksto ng gawain, independiyenteng kilalanin at bumalangkas ng isang layuning nagbibigay-malay, reformulate ang kondisyon, bumuo ng isang lohikal na hanay ng pangangatwiran, kritikal na suriin ang sagot na natanggap, mulat at arbitrary na pagbuo ng isang pahayag sa pagsasalita, piliin ang pinaka-epektibong paraan upang malutas mga problema, bumalangkas at bumalangkas ng isang problema, maglagay ng mga hypotheses at bigyang-katwiran ang mga ito, semantic reading;

- pagbuo: pagtatakda ng layunin, planuhin ang kanilang mga aktibidad depende sa mga partikular na kondisyon; pagmuni-muni ng mga pamamaraan at kondisyon ng pagkilos, kontrol at pagsusuri ng proseso at mga resulta ng mga aktibidad, regulasyon sa sarili,sa pamamagitan ng paglutas ng problema, upang bumuo ng malikhain at mental na aktibidad ng mga mag-aaral, intelektwal na mga katangian: ang kakayahang "pangitain" ang problema, mga aksyon sa pagsusuri, kalayaan, kakayahang umangkop ng pag-iisip;

- pang-edukasyon: pagbuo ng pakiramdam, ang kakayahang makinig at pumasok sa isang diyalogo, upang lumahok sa isang kolektibong talakayan ng mga problema, upang linangin ang responsibilidad at katumpakan.

Mga gawain may mga parameter - ito ay mga hindi karaniwang gawain, i.e.hindi pangkaraniwan kapwa sa pagbabalangkas at nilalaman, at sa mga pamamaraan ng solusyon. Ang papel ng mga ganyanmga gawain, ang kanilang kahalagahan at mga benepisyo para sa pagbuo ng lohikal na pag-iisip, intuwisyon,malikhaing kakayahan ng mga mag-aaral, ang pagbuo ng kanilang mataas na matematikanapakalaki ng mga kultura. Nabatid na seryoso ang mukha ng mga tagapagturomga problemang metodolohikal sa pagtuturo upang malutas ang mga naturang problema, sa kabila ng pagkakaroon,medyo isang malaking bilang ng mga tutorial at mga artikulo sa journal. Ang dahilan para dito ay medyo halata: ang pangunahing diskarte ng edukasyon sa matematika sa paaralan ay ang pagbuo ng mga kasanayan at kakayahan para sa paglutas ng isang tiyak na hanay ng mga karaniwang problema, karamihan sa mga ito ay nauugnay sa pamamaraan ng algebraic transformations. Ang mga equation (hindi pagkakapantay-pantay) na may mga parameter ay tumutukoy sa ibang uri ng mga gawain - mga gawain para sa solusyon kung saan, una sa lahat, ang kakayahang isagawa - kung minsan ay medyo branched - lohikal na mga konstruksyon at pananaliksik ay kinakailangan.

Ang paglutas ng mga problema sa mga parameter ay nangangailangan ng pananaliksik, kahit na ang salitang ito ay hindi binanggit sa pahayag ng problema. Ang mekanikal na aplikasyon ng mga formula ay hindi sapat, ito ay kinakailangan upang maunawaan ang mga pattern, ang kakayahang pag-aralan ang isang partikular na kaso batay sa mga kilalang pangkalahatang katangian ng bagay, ang pagkakapare-pareho at pagkakapare-pareho sa solusyon, ang kakayahang pagsamahin ang itinuturing na mga partikular na kaso sa iisang resulta. Ito ay dahil sa kahirapan ng mga mag-aaral sa paglutas ng mga naturang problema.

Sa kasalukuyan, ang ideya ng pagsasama-sama ng pag-aaral upang malutas ang mga problema sa pag-aaral sa disenyo ng mga ito ay naging laganap. Sa pamamagitan ng pagbuo ng isang gawain, mauunawaan natin ang proseso ng paglikha ng isang bagong gawain. Ang pagbuo ng problema ay batay sa kakayahang bumuo ng isang parisukat na trinomial. Sa kasong ito, iba't ibang mga diskarte ang ginagamit: pagkakatulad, pagkakaiba-iba ng mga coefficient ng isang square trinomial, pagkakaiba-iba ng isang bagong variable, pagkakaiba-iba ng mga kinakailangan ng mga gawain. Ang mga mas kumplikadong function ay maaaring kumilos bilang mga coefficient at isang bagong variable. Kaya, maaari mong gamitin ang tulad ng isang square trinomial, na makakatulong sa pag-aayos ng pag-uulit ng mas kumplikadong mga function: exponential, logarithmic, trigonometriko. Sa isang banda, kailangan mong malaman ang mga katangian ng square trinomial, at sa kabilang banda, ang mga katangian ng function ay paulit-ulit, sa gayon ay nakakamit ang isang kumbinasyon ng problema.

Ang pagpili ng problema sa mga parameter para sa pagtuturo ng kanilang solusyon at disenyo ay maaaring ipaliwanag ng mga sumusunod na pangyayari:

kapag nilulutas ang mga problema sa mga parameter, nangyayari ang pag-uulit, at bilang isang resulta, isang mas malalim, mas matatag na asimilasyon ng mga isyu sa programa;

ang paglutas ng mga problema sa mga parameter ay nagpapalawak ng mga abot-tanaw sa matematika, nagbibigay ng mga bagong diskarte sa paglutas ng mga problema;

mayroong isang pag-unlad ng matematika, lohikal na pag-iisip, ang kakayahang mag-analisa, maghambing, mag-generalize;

ang mga kasanayan para sa gawaing pananaliksik ay nakuha;

tulong sa paghahanda para sa mga pagsusulit;

mayroong pagbuo ng mga katangian ng personalidad tulad ng kasipagan, layunin, tiyaga, paghahangad, kawastuhan.

Nabuo ang UUD sa loob ng balangkas ng Federal State Educational Standard kapag nilulutas ang mga problema sa mga parameter:

Mga yugto ng paglutas ng problema

Nabuo ang UUD

Pagsusuri ng Kondisyon(pagpapakilala ng mga titik)

pagtatakda ng layunin;
pag-highlight ng materyal na impormasyon;
pagbabalangkas ng problema at pagtataya ng mga solusyon;
abstraction;
pagkakatulad;
pag-uuri (tipolohiya);
simbolikong aksyon.

Talaan ng eskematiko ng kondisyon ng problema sa anyo ng isang talahanayan, diagram, graphna may mga inilagay na titik

pagpaplano;
sistematisasyon;
simbolikong aksyon;
pagmomodelo.

Pagbuo ng Modelo(maghanap ng analogue, atraksyon ng isang kilalang batas mula sa matematika o pisika)

paglikha ng isang paraan para sa paglutas ng zalachi;
pagsasaayos ng kondisyon;
pagmomodelo sa graphical na anyo.

Paglutas ng mga equation, system, atbp.(hanapin ang hindi alam)

pagsusuri at pagkilala sa materyal na impormasyon;
derivation ng mga kahihinatnan;
pagbuo ng isang kadena ng pangangatwiran;
pagbuo at pagsubok ng mga hypotheses;
pagbabago ng modelo.

Interpretasyon ng modelo(pag-verify at pagsusuri ng mga solusyon, mga ugat)

pagsusuri;
derivation ng mga kahihinatnan;
pagtutukoy;
simbolikong aksyon (interpretasyon).

Mag-aral(paglalahat ng problema o isang paraan para sa paglutas nito para sa mga binagong kondisyon, iba pang mga diskarte sa paglutas)

pagsusuri;
synthesis;
maghanap ng mga analogue;
pagbuo ng isang kadena ng pangangatwiran;
ang kakayahang maigsi na ihatid ang nilalaman;
mga diagram ng kasanayan, simbolo, modelo;
paglikha ng mga paraan upang malutas ang mga problema ng isang paghahanap, pagiging malikhain.

Pagninilay

pagbuo ng kahulugan;
pagpaplano;
ang kontrol;
pagwawasto;
grado;
kusang-loob na regulasyon sa sarili;
kahandaan para sa pagpapaunlad ng sarili, para sa edukasyon sa sarili;
ang kakayahang nakapag-iisa na matukoy ang mga layunin ng kanilang pagsasanay;
magtakda at magbalangkas ng mga bagong gawain para sa iyong sarili;
bumuo ng mga motibo at interes ng kanilang mga aktibidad na pang-edukasyon.

Multi-level na sistema ng gawain

Ang batayan ng pamamaraan ng pagtuturo batay sa isang multi-level na sistema ng mga gawain ay ang unti-unting pag-unlad ng mga bloke ng matrix nito. Ang pangunahing tampok ng diskarteng ito ay na sa bawat antas, i.e. kapag pinagkadalubhasaan ang kaukulang hanay ng matrix, ang mag-aaral sa bawat pagkakataon ay nakatagpo ng lahat ng tatlong uri ng mga sitwasyon sa pag-aaral na lumitaw kapag nilutas ang mga problema.

Ang isang multi-level na sistema ng mga gawain para sa bawat paksa ng kurso ay nabuo gamit ang matrix na representasyon nito, sa pamamagitan ng pag-highlight ng isang ranggo na listahan ng mga pangunahing elemento ng nilalaman ng edukasyon at ang mga pangunahing gawain na naaayon sa kanila, sa isang banda, at mga antas ng pag-aaral na sumasalamin sa kakayahang lutasin ang pamilyar, binago at hindi pamilyar na mga gawain, sa kabilang banda .

Ang nasabing isang matrix ng sistema ng gawain ng paksa ay naglalaman ng 3 mga hilera na tumutugma sa tatlong uri ng mga sitwasyon sa pag-aaral na lumitaw kapag nilutas ang mga problema, atN mga hanay na sumasalamin sa bilang ng mga pangunahing gawain ng paksa. Ang nasabing isang tabular (matrix) na representasyon ng sistema ng mga gawain ng paksa ay nakakatulong upang maisagawa ang ganap na pagpuno sa bawat antas ng mga bahagi ng matematika at aktibidad (pagbuo ng UUD) nito at sa gayon ay ipatupadpamantayan para sa pagkakumpleto ng paksa at aktibidad (ibig sabihin ay cognitive UUD) ang nabuong sistema ng mga gawaing pang-edukasyon. Kasabay nito, kung ang mga pangunahing gawain sa system ay gumaganap ng papel ng isang uri ng mga integrator ng sangkap na nilalaman ng paksa, kung gayon kapag nagdidisenyo at nagpapatupad ng proseso ng pag-aaral, ang isang katulad na papel ay dapat na gampanan ng mga unibersal na aktibidad sa pag-aaral (pangkalahatang pamamaraan at mga pamamaraan ng aktibidad) sa mga piling sitwasyon.

Ang aktibidad na pang-edukasyon sa paglutas ng mga problema na kasama sa unang linya ng matrix ay isang likas na reproduktibo (tulad ng pangkalahatang mga aksyong pang-edukasyon tulad ng pag-uuri, pagbubuod sa ilalim ng isang konsepto, pagkuha ng mga kahihinatnan, aksyon, pagbuo ng isang lohikal na kadena ng pangangatwiran, patunay, atbp. ) ay ginamit. Iba-iba ang mga gawaing kasangkot.tahasang mga koneksyon sa pagitan ng data at ng kinakailangang (kilala at hindi alam) na mga elemento. Kinikilala ng mag-aaral (nakikilala ang mga pamilyar na gawain sa isang bilang ng mga katulad na mga gawain), muling ginawa ang mga pinag-aralan na pamamaraan o algorithm ng mga aksyon, inilalapat ang nakuha na kaalaman sa praktikal na mga termino para sa ilang kilalang klase ng mga gawain at tumatanggap ng bagong impormasyon batay sa aplikasyon ng natutunan na modelo ng aktibidad .

Kapag nilulutas ang mga gawain ng pangalawang linya, ang aktibidad ng pag-aaral ng reproduktibo ay pinagsama sa aktibidad na reconstructive, kung saan ang mga pattern ng aktibidad ay hindi lamang muling ginawa mula sa memorya, ngunit muling itinayo sa ilalim ng medyo binagong mga kondisyon (dito, ang mga pangkalahatang aksyong pang-edukasyon tulad ng pagpili at pagbabalangkas ng isang layunin ng nagbibigay-malay, ang paghahanap at pagpili ng kinakailangang impormasyon, simbolikong simbolikong aksyon, kabilang ang pagmomodelo ng matematika, pag-istruktura ng kaalaman).

Sa wakas, kapag nilulutas ang mga problema ng ikatlong linya, ang aktibidad na pang-edukasyon ay isang likas na malikhaing pananaliksik. Ang mag-aaral ay dapat na makapag-navigate sa mga bagong sitwasyon at bumuo ng panimula ng mga bagong programa ng pagkilos (maglagay ng hypothesis, suriin: patunayan o pabulaanan, maglagay ng bago, atbp., magsagawa ng mga aktibidad sa pananaliksik). Ang paglutas ng mga problema ng kaukulang bloke ay nangangailangan ng mag-aaral na magkaroon ng malawak na pondo ng napatunayan at mabilis na na-deploy na mga algorithm; ang kakayahang mabilis na i-recode ang impormasyon mula sa isang sign-symbolic na form patungo sa isang graphic at, sa kabaligtaran, mula sa isang graphic sa isang sign-symbolic isa; sistematikong pananaw ng kurso. Kasabay nito, hindi lamang ito nagsasangkot ng paggamit ng mga lumang algorithm sa mga bagong kundisyon at pagtaas ng teknikal na pagiging kumplikado, ngunit nakikilala sa pamamagitan ng hindi malinaw na aplikasyon at kumbinasyon ng mga pinag-aralan na algorithm. Ang mga gawain ng antas na ito ay may isang kumplikadong lohikal na istraktura at nailalarawan sa pamamagitan ng presensyamga nakatagong koneksyon sa pagitan ng data at ng mga elementong hinahanap mo. Ang ganitong mga gawain ay karaniwang inaalok bilang pinakamahirap sa mga pagsusulit sa pasukan sa mga unibersidad na may mataas na mga kinakailangan para sa paghahanda sa matematika ng mga aplikante at sa mga gawain 17, 18, 20, 21 ng KIM USE.

Multilevel system ng mga gawain sa paksang "Derivative"

№ p/p

Pangalan ng gawain

Uri ng gawain

Derivative na pagkalkula ayon sa kahulugan.

MOH

Paghahanap ng mga derivatives ng mga kabuuan, produkto, pribadong function

MOH

Pagsisiyasat ng monotonicity ng isang function

function tumataas sa buong linya ng numero?

MOH

Sa anong mga halaga ng parameter function bumababa para sa lahat ng mga halaga ?

Hanapin ang set ng lahat ng numero a, para sa bawat isa kung saan ang functionf(x) = kasalanan 2 x – 8(a + 1) sinx + (4 a 2 + 8 a – 14) xay tumataas sa buong totoong linya at walang kritikal na punto.

Paghahanap ng mga extremum point

may isang nakapirming punto?

MOH

Tukuyin kung anong halaga ng parameter maximum na function ay 9

Para sa kung anong mga halaga ng parameter ang functionf(x) = (a 2 – 3 a + 2) (cos 2 – kasalanan 2 + (a – 1) x + kasalanan1 ay walang kritikal na puntos?

Paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang tuluy-tuloy na pag-andar sa isang pagitan at naiba sa isang pagitan

Alamin kung anong mga halaga ng parametera pinakamaliit na halaga ng pag-andary = x 2 -12 x + a sa segment ay zero.

MOH

Sa anong halaga ng parameter pinakamaliit na halaga ng pag-andar katumbas

Sa anong mga halaga ng parameter function kumukuha ng mga halagang mas mababa sa 5 para sa alinman

Kumpletuhin ang paggalugad at paglalagay

3+3x2

MOH

Sa anong halaga ng parameter a ang pinakamababa ng function na f(x) = ax 2 - 6ax + a 2 - 9 ay katumbas ng 1?

Ang equation ng tangent sa graph ng isang function sa isang naibigay na punto

Sa anong mga halaga ng parameter tuwid ay padaplis sa graph ng function ?

MOH

Sa anong mga halaga ng parameter padaplis sa function na graph pinuputol mula sa unang quarter ang isang isosceles triangle na may lawak

Sa anong mga halaga ng parameter padaplis sa graph ng function iginuhit sa mga punto ng intersection nito sa axis, bumuo ng isang anggulo

Application ng derivative sa paglutas ng mga problema sa geometry, physics at economics

Ano ang dapat na mga gilid ng isang parihaba na may perimeterPupang i-maximize ang lugar nito?

MOH

Ang bintana ay may hugis ng isang parihaba na nakatali sa itaas ng kalahating bilog (Larawan 3). Ang perimeter ng bintana ay P. Tukuyin ang radius ng kalahating bilog na R, kung saan ang lugar ng bintana ang pinakamalaki.

Ang isang larawan ng taas a ay nakasabit sa dingding sa paraang ang ibabang gilid nito ay h mga yunit sa itaas ng antas ng mata ng nagmamasid. Sa anong distansya x mula sa dingding dapat ang tagamasid upang ang anggulo ng pagtingin sa pagpipinta ay maging pinakamalaki (Larawan 7a)?

Mga solusyon

Desisyon :

1. Bumababa ang function na f(x) para sa lahat ng value ng x kung ang derivative

f′(x) = 6ax 2 + 18ax + 30a = 6a(x 2 + 3x + 5)< 0

para sa lahat ng x.

2. Kaya't makikita natin na a< 0.

3 . Sagot: a (–∞; 0).

Hanapin ang hanay ng lahat ng mga numero a, para sa bawat isa kung saan ang function na f (x) \u003d sin 2x - 8 (a + 1) sinx + (4a 2 + 8a - 14) x ay tumataas sa buong totoong linya at hindi may mga kritikal na puntos.

1. Para sa anumang fixed a, ang function na ito ay differentiable sa bawat punto sa totoong linya.

2. Dahil ang function na f(x) ay tumataas, ang hindi pagkakapantay-pantay na f′(x) ≥ 0 ay dapat na humawak sa bawat punto x.

3. Dahil, bukod pa rito, ang f(x) ay walang kritikal na mga punto, kung gayon para sa alinmang x ang hindi pagkakapantay-pantay na f′(x) ≠ 0 ay dapat hawakan.

4. Kaya, kung ang function ay nakakatugon sa kondisyon ng problema, kung gayon para sa lahat ng x ang hindi pagkakapantay-pantay na f (x) > 0 ay dapat masiyahan.

5. Sa kabilang banda, kung ang hindi pagkakapantay-pantay na f′(x) > 0 ay humahawak para sa lahat ng x, kung gayon ang function ay malinaw na walang mga kritikal na puntos at tumataas.

6. Hanapin ang derivative ng function na ito:

f′( x) = 2 cos 2 x – 8( a + 1) cosx + 4 a 2 + 8 a – 14.

Ngayon ang problema ay maaaring reformulated tulad ng sumusunod: hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter a, para sa bawat isa, para sa anumang x, ang hindi pagkakapantay-pantay

cos 2x – 4(a + 1) cos x + 2a 2 + 4a – 7 > 0.(1)

7. Given na cos 2x = 2 cos 2 x – 1, at pagtatakda ng cos x = t, kung saan –1 ≤ t ≤ 1, muling isinusulat namin ang hindi pagkakapantay-pantay (1) tulad ng sumusunod:

2t 2 – 1 – 4(a + 1)t + 2a 2 + 4a – 7 > 0,

t 2 – 2(a + 1)t + a 2 + 2a – 4 > 0. (2)

8. Tinutukoy ang function sa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay (2) ng ϕ(t), nagbibigay kami ng bagong pormulasyon ng orihinal na problema: hanapin ang lahat ng mga halaga ng a, para sa bawat isa kung saan ang pinakamababang halaga ng function ϕ( t) sa pagitan [–1; 1] ay positibo.

9. Ang derivative na ϕ′(t) = 2t – 2(a + 1) ay naglalaho sa t 0 = a + 1.

10. Ang pinakamaliit na halaga ng function na ϕ(t) sa pagitan [–1; 1] ay:

ϕ (–1) = a 2 + 4a – 1,kunga + 1 ≤ –1;

ϕ (a + 1) = -5,kung –1 < a + 1 < 1;

ϕ(1) = a 2 – 5 kung a + 1 ≥ 1.

11. Dahil ang pinakamaliit na halaga ng function na ϕ(t) sa segment [–1; 1] ay dapat na positibo, kung gayon ang mga halaga ng parameter na nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon ng problema ay nabibilang sa dalawang pagitan: a ≤ –2 at isang ≥ 0.

12. Kung ang isang ≤ –2, kung gayon ang mga nais na halaga ng parameter a ay nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay a 2 + 4a – 1 > 0.

13. Kung ang isang ≥ 0, kung gayon ang mga nais na halaga ng parameter a ay natutugunan ang hindi pagkakapantay-pantay a 2 – 5 > 0.

14. Dahil dito, ang hanay ng mga nais na halaga a ay ang pagsasama ng mga solusyon ng dalawang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay:

(3)

isang ≥ 0

a 2 -5 > 0 (4)

15. Ang hanay ng mga solusyon sa system (3) ay ang pagitan –∞< a < –2 –√5 , а множество решений системы (4)- промежуток a >√5 .

16. Sagot: a (–∞; –2 –√5) (√5; +∞).

1. Dahil ang function na ito ay differentiable sa buong totoong linya, ang mga kritikal na punto ng function na f(x) ay ang mga punto kung saan ang derivative f′(x) = 0.

2. Sa kasong ito, mayroon tayong f (x) =(a – 1)(a – 2) (–kasalanan+ (a – 1).

3. Malinaw, kung a = 1, kung gayon ang f (x) = 0 para sa alinmang x R, ibig sabihin.

para sa isang naibigay na function, ang bawat punto x Ang R ay kritikal.

4. Ipagpalagay na a 1. Pagkatapos ang equation na f (x) = 0 ay kumukuha ng anyo

(a - 2) kasalanan = 2. (1)

Kasunod nito na kung |a – 2|< 2, т. е. если a (0; 1) (1; 4),

pagkatapos ang equation (1) ay walang mga ugat at, samakatuwid, para sa mga ipinahiwatig na halaga ng a, ang function na f(x) ay walang mga kritikal na puntos.

5 . Sagot: a (0; 1) (1; 4).

Ang pinakamaliit na halaga ng numerator at ang pinakamalaking halaga ng denominator ay nakakamit sa iba't ibang mga halaga ng x. Samakatuwid, upang mahanap ang pinakamaliit na halaga ng isang function, maginhawang gamitin ang derivative. Isulat muli natin ang hindi pagkakapantay-pantay sa anyo

saant=3- cos 2 x, t

Hanapin ang pinakamaliit na halaga ng functionf( t) = , sa segment. Dahil ang hinalawf "( t) = negatibo satpagkataposfbumababa at kumukuha ng pinakamaliit na halaga sat=3, f pangalan = f(3) = .

Sagot:a

Ano ang pinakamaliit na natural na k kung saan ang equation x 3+3x2 – 45x + k = 0 ay may eksaktong isang ugat?

1. Bumuo ng sketch ng graph ng function na y 1 = x 3 + 3x 2 – 45x at tukuyin ang pinakamaliit na natural na halaga ng k kung saan ang graph na ito ay nag-intersect sa linyang y 2 = –k sa eksaktong isang punto.

2. a) D(y 1 ) = R;

boo 1 / = 3x 2 + 6x - 45; 1 / sa mga pagitan (–∞; –5), (–5; 3) at (3; +∞) ay inilalarawan sa Fig. 1. Sa fig. Ang 2 ay isang eskematiko na representasyon ng graph ng function na y 1 .

3. Malinaw, ang equation na ito ay may natatanging solusyon kung –k > 175 o –k< –81, т. е. k < –175 или k >81. Ang pinakamaliit na natural na halaga ng k ay 82.

4. Sagot: k = 82.

Sa anong halaga ng parameter a ang pinakamababa ng function f(x) = ax2 – 6ax + a2 – 9 katumbas ng 1?

1. f′(x) = –6x 2 + 6x + 12.

2. y′ = 0 para sa x 1 = 2.

6. Sagot: a = 2.

Sa anong halaga ng parameter a ang pinakamababa ng function na f(x) = –2x Ang 3 + 3x 2 + 12x + 4a ay 1?

Para sa anong mga halaga ng parameter a ang linyang y=ax-2 tangent sa graph ng function na y=1+ln⁡ x?

Sa anong mga halaga ng parameter a ang tangent sa graph ng function na y=a-x^2 ay pinuputol ang isang isosceles triangle na may lawak na 9/32 mula sa unang quarter

bilang , sa pamamagitan ng kundisyon ang tangent ay dapat mag-intersect ang function saquarters ibig sabihin. Ang isosceles triangle ay isang right triangle kaya ang iba pang mga anggulo ay pantay, ngunitkung saan ang tangent ay kumukuha ng anyo ang punto ng kontak ng tangent na may graph kasama ang x-axis ay katumbas ng . ayon sa formula padaplis sa graph dahil ang lugar ng isang tatsulok ay dapat na , pagkatapos bilang quarter.saan

Sa anong mga halaga ng parameter a, ang mga tangent sa graph ng function na y=4x^2-|a|x, na iginuhit sa mga punto ng intersection nito sa x-axis, ay bumubuo ng isang anggulo na 60° sa pagitan nila

Ano ang dapat na mga gilid ng isang parihaba na may perimeter P para maging maximum ang lawak nito?

Panitikan

Azarov A.I., Barvenov S.A., Fedosenko V.S.Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa mga parameter. Matematika para sa mga mag-aaral sa high school. Minsk: "Aversev", 2003.

V.S. Vysotsky, Mga gawain na may mga parameter para sa paghahanda para sa pagsusulit

Gorshtein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. Mga gawain na may mga parameter. - K.: RIA "Text"; MP "OKO", 1992. -290 p.

Kachalova G. A. Sa pangangailangang isama ang linya ng content-methodical na "Mga problema sa mga parameter" sa module ng edukasyon na "Mga Batayan ng Matematika" //bagaył yMię dzynarodowejNaukowi- PraktycznejkonferencjiPostę pó wnauce. Nowepoglą dy, may problema, innowacje. 29.07.2012. - 31.07.2012. część 2. - Łodź, 2012. - S. 67–70.

Kozko A. I., Panferov V. S., Sergeev I. N., Chirsky V. G. USE 2011. Mathematics. Gawain C5. Mga gawain na may parameter / Ed. A. L. Semenova at I. V. Yashchenko. - M.: MTsNMO, 2011.-144 p.

Rodionov E.M. Paglutas ng mga problema sa mga parameter. M.: MP "Rus-90", 1995

Portal para sa mag-aaral. Pagsasanay sa sarili

Fig.4

Fig.5

Mga solusyon

MGA KAUGNAY NA ARTIKULO