Sa artikulong ito ay pag-uusapan ko kung paano ilapat ang kakayahang maghanap sa pag-aaral ng isang function: upang mahanap ang pinakamalaki o pinakamaliit na halaga nito. At pagkatapos ay malulutas namin ang ilang mga problema mula sa Task B15 mula sa Open Task Bank para sa .

Gaya ng dati, magsimula muna tayo sa teorya.

Sa simula ng anumang pag-aaral ng isang function, makikita namin ito

Upang mahanap ang pinakamalaki o pinakamaliit na halaga ng function, kailangan mong siyasatin kung aling mga pagitan ang tumataas ang function at kung saan ito bumababa.

Upang gawin ito, kailangan mong hanapin ang derivative ng function at pag-aralan ang mga pagitan ng pare-parehong pag-sign, iyon ay, ang mga pagitan kung saan pinapanatili ng derivative ang sign nito.

Ang mga pagitan kung saan ang derivative ng isang function ay positibo ay mga pagitan ng pagtaas ng function.

Ang mga agwat kung saan ang derivative ng isang function ay negatibo ay mga pagitan ng nagpapababa ng function.

isa. Lutasin natin ang gawain B15 (No. 245184)

Upang malutas ito, susundin namin ang sumusunod na algorithm:

a) Hanapin ang domain ng function

b) Hanapin ang derivative ng function .

c) Itakda itong katumbas ng zero.

d) Hanapin natin ang mga pagitan ng pare-parehong tanda ng function.

e) Hanapin ang punto kung saan ang function ay kumukuha ng pinakamalaking halaga.

f) Hanapin ang halaga ng function sa puntong ito.

Sinasabi ko ang detalyadong solusyon ng gawaing ito sa VIDEO LESSON:

Marahil ay hindi suportado ang iyong browser. Upang gamitin ang simulator ng "Pinag-isang Oras ng Pagsusuri ng Estado", subukang mag-download
Firefox

2. Lutasin natin ang gawain B15 (No. 282862)

Hanapin ang pinakamalaking halaga ng isang function sa segment

Malinaw na ang function ay kumukuha ng pinakamalaking halaga sa segment sa pinakamataas na punto, sa x=2. Hanapin ang halaga ng function sa puntong ito:

Sagot: 5

3 . Lutasin natin ang gawain B15 (No. 245180):

Hanapin ang pinakamalaking halaga ng isang function

1.title="(!LANG:ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Dahil ang saklaw ng orihinal na function na title="(!LANG:4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. Ang numerator ay zero sa . Tingnan natin kung ang ODZ ay kabilang sa function. Upang gawin ito, tingnan kung ang kundisyon ay title="(!LANG:4-2x-x^2>0"> при .!}

Pamagat="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

kaya ang punto ay kabilang sa ODZ ng function

Sinusuri namin ang tanda ng derivative sa kanan at kaliwa ng punto:

Nakikita namin na ang function ay tumatagal ng pinakamalaking halaga sa punto . Ngayon hanapin natin ang halaga ng function sa:

Tandaan 1. Tandaan na sa problemang ito hindi namin nakita ang domain ng function: inayos lang namin ang mga hadlang at sinuri kung ang punto kung saan ang derivative ay katumbas ng zero ay kabilang sa domain ng function. Sa problemang ito, ito ay naging sapat. Gayunpaman, hindi ito palaging nangyayari. Depende ito sa gawain.

Puna 2. Kapag pinag-aaralan ang pag-uugali ng isang kumplikadong function, maaaring gamitin ng isa ang sumusunod na panuntunan:

• kung ang panlabas na function ng isang compound function ay tumataas, ang function ay tumatagal sa kanyang pinakamalaking halaga sa parehong punto kung saan ang panloob na function ay tumatagal sa kanyang pinakamalaking halaga. Ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng pagtaas ng function: tumataas ang function sa interval I kung ang mas malaking halaga ng argument mula sa interval na ito ay tumutugma sa mas malaking halaga ng function.
• kung ang panlabas na function ng isang kumplikadong function ay bumababa, ang function ay tumatagal sa pinakamalaking halaga sa parehong punto kung saan ang panloob na function ay tumatagal sa pinakamaliit na halaga . Ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng isang bumababa na function: ang function ay bumababa sa interval I kung ang mas malaking halaga ng argument mula sa interval na ito ay tumutugma sa mas maliit na halaga ng function.

Sa aming halimbawa, ang panlabas na function - tumataas sa buong domain ng kahulugan. Sa ilalim ng tanda ng logarithm ay isang expression - isang square trinomial, na, na may negatibong senior coefficient, ay tumatagal ng pinakamalaking halaga sa punto . Susunod, pinapalitan namin ang halagang ito ng x sa equation ng function at hanapin ang pinakamalaking halaga nito.

Hayaan ang function y=f(X) tuloy-tuloy sa segment [ a, b]. Tulad ng nalalaman, ang naturang function sa segment na ito ay umabot sa maximum at minimum na mga halaga. Maaaring kunin ng function ang mga halagang ito alinman sa isang panloob na punto ng segment [ a, b], o sa hangganan ng segment.

Upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa segment [ a, b] kailangan:

1) hanapin ang mga kritikal na punto ng function sa pagitan ( a, b);

2) kalkulahin ang mga halaga ng pag-andar sa nahanap na mga kritikal na punto;

3) kalkulahin ang mga halaga ng function sa mga dulo ng segment, iyon ay, para sa x=a at x = b;

4) mula sa lahat ng mga kinakalkula na halaga ng function, piliin ang pinakamalaki at pinakamaliit.

Halimbawa. Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function

sa segment.

Paghahanap ng mga kritikal na punto:

Ang mga puntong ito ay nasa loob ng segment; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

sa punto x= 3 at sa punto x= 0.

Pagsisiyasat ng isang function para sa convexity at isang inflection point.

Function y = f (x) tinawag matambok sa gitna (a, b) , kung ang graph nito ay nasa ilalim ng tangent na iginuhit sa anumang punto ng pagitan na ito, at tinatawag matambok pababa (malukong) kung ang graph nito ay nasa itaas ng tangent.

Ang punto sa paglipat kung saan ang convexity ay pinalitan ng concavity o vice versa ay tinatawag inflection point.

Algorithm para sa pag-aaral para sa convexity at inflection point:

1. Hanapin ang mga kritikal na punto ng pangalawang uri, iyon ay, ang mga punto kung saan ang pangalawang derivative ay katumbas ng zero o wala.

2. Maglagay ng mga kritikal na punto sa linya ng numero, paghiwa-hiwalayin ito sa mga pagitan. Hanapin ang tanda ng pangalawang derivative sa bawat pagitan; kung , kung gayon ang function ay matambok pataas, kung, kung gayon ang function ay matambok pababa.

3. Kung, kapag dumaan sa isang kritikal na punto ng pangalawang uri, ito ay nagbabago ng tanda at sa puntong ito ang pangalawang derivative ay katumbas ng zero, kung gayon ang puntong ito ay ang abscissa ng inflection point. Hanapin ang ordinate nito.

Asymptotes ng graph ng isang function. Pagsisiyasat ng isang function sa mga asymptotes.

Kahulugan. Ang asymptote ng graph ng isang function ay tinatawag tuwid, na may katangian na ang distansya mula sa anumang punto ng graph hanggang sa linyang ito ay may posibilidad na maging zero na may walang limitasyong pag-alis ng graph point mula sa pinanggalingan.

May tatlong uri ng asymptotes: patayo, pahalang at hilig.

Kahulugan. Direktang tumawag patayong asymptote function graph y = f(x), kung hindi bababa sa isa sa mga one-sided na limitasyon ng function sa puntong ito ay katumbas ng infinity, iyon ay

kung saan ang discontinuity point ng function, iyon ay, hindi ito kabilang sa domain ng kahulugan.

Halimbawa.

D( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 - breaking point.

Kahulugan. Diretso y=A tinawag pahalang na asymptote function graph y = f(x) sa , kung

Halimbawa.

x
y

Kahulugan. Diretso y=kx +b (k≠ 0) ay tinatawag pahilig na asymptote function graph y = f(x) saan

Pangkalahatang pamamaraan para sa pag-aaral ng mga pag-andar at paglalagay.

Algoritmo ng pananaliksik sa pag-andary = f(x) :

1. Hanapin ang domain ng function D (y).

2. Hanapin (kung maaari) ang mga punto ng intersection ng graph na may mga coordinate axes (na may x= 0 at sa y = 0).

3. Magsiyasat para sa pantay at kakaibang mga function ( y (‒ x) = y (x) ‒ pagkakapantay-pantay; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ kakaiba).

4. Hanapin ang mga asymptotes ng graph ng function.

5. Maghanap ng mga pagitan ng monotonicity ng function.

6. Hanapin ang extrema ng function.

7. Hanapin ang mga pagitan ng convexity (concavity) at inflection point ng graph ng function.

8. Batay sa isinagawang pananaliksik, bumuo ng graph ng function.

Halimbawa. Siyasatin ang function at i-plot ang graph nito.

1) D (y) =

x= 4 - breaking point.

2) Kailan x = 0,

(0; – 5) – punto ng intersection sa oy.

Sa y = 0,

3) y(‒ x)= pangkalahatang pag-andar (ni kahit na o kakaiba).

4) Nag-iimbestiga kami para sa mga asymptotes.

a) patayo

b) pahalang

c) maghanap ng mga pahilig na asymptotes kung saan

‒oblique asymptote equation

5) Sa equation na ito, hindi kinakailangang maghanap ng mga pagitan ng monotonicity ng function.

6)

Ang mga kritikal na puntong ito ay naghahati sa buong domain ng function sa pagitan (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) at (10; +∞). Ito ay maginhawa upang ipakita ang nakuha na mga resulta sa anyo ng sumusunod na talahanayan.

Tingnan natin kung paano galugarin ang isang function gamit ang isang graph. Lumalabas na ang pagtingin sa graph, maaari mong malaman ang lahat ng bagay na interesado sa amin, lalo na:

• saklaw ng pag-andar
• saklaw ng pag-andar
• mga function na zero
• mga panahon ng pagtaas at pagbaba
• mataas at mababang puntos
• ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function sa segment.

Linawin natin ang terminolohiya:

Abscissa ay ang pahalang na coordinate ng punto.
Mag-orden- patayong coordinate.
abscissa- ang pahalang na axis, kadalasang tinatawag na axis.
Y-axis- vertical axis, o axis.

Pangangatwiran ay isang malayang variable kung saan nakasalalay ang mga halaga ng function. Kadalasang ipinahiwatig.
Sa madaling salita, tayo mismo ang pumili , pumalit sa formula ng function at makakuha ng .

Domain function - ang hanay ng mga (at ang mga lamang) na halaga ng argumento kung saan umiiral ang function.
Tinutukoy: o .

Sa aming figure, ang domain ng function ay isang segment. Sa segment na ito iginuhit ang graph ng function. Dito lang umiiral ang function na ito.

Saklaw ng pag-andar ay ang hanay ng mga halaga na kinukuha ng variable. Sa aming figure, ito ay isang segment - mula sa pinakamababa hanggang sa pinakamataas na halaga.

Mga function na zero- mga punto kung saan ang halaga ng function ay katumbas ng zero, ibig sabihin. Sa aming figure, ito ang mga punto at .

Ang mga halaga ng pag-andar ay positibo saan . Sa aming figure, ito ang mga pagitan at .
Ang mga halaga ng pag-andar ay negatibo saan . Mayroon kaming ganitong interval (o interval) mula hanggang.

Ang pinakamahalagang konsepto - pagtaas at pagbaba ng mga function sa ilang set. Bilang isang set, maaari kang kumuha ng segment, interval, unyon ng interval, o buong number line.

Function nadadagdagan

Sa madaling salita, mas marami , mas marami , ibig sabihin, ang graph ay papunta sa kanan at pataas.

Function bumababa sa set kung para sa alinman at kabilang sa set ang hindi pagkakapantay-pantay ay nagpapahiwatig ng hindi pagkakapantay-pantay .

Para sa isang bumababa na function, ang isang mas malaking halaga ay tumutugma sa isang mas maliit na halaga. Pakanan at pababa ang graph.

Sa aming figure, ang function ay tumataas sa pagitan at bumababa sa pagitan at .

Tukuyin natin kung ano ang maximum at minimum na puntos ng function.

Pinakamataas na punto- ito ay isang panloob na punto ng domain ng kahulugan, na ang halaga ng function sa loob nito ay mas malaki kaysa sa lahat ng mga puntong sapat na malapit dito.
Sa madaling salita, ang pinakamataas na punto ay tulad ng isang punto, ang halaga ng function kung saan higit pa kaysa sa mga kapitbahay. Ito ay isang lokal na "burol" sa tsart.

Sa aming figure - ang pinakamataas na punto.

Mababang punto- isang panloob na punto ng domain ng kahulugan, na ang halaga ng function sa loob nito ay mas mababa kaysa sa lahat ng mga puntong sapat na malapit dito.
Iyon ay, ang pinakamababang punto ay tulad na ang halaga ng pag-andar sa loob nito ay mas mababa kaysa sa mga kalapit. Sa graph, ito ay isang lokal na "butas".

Sa aming figure - ang pinakamababang punto.

Ang punto ay ang hangganan. Ito ay hindi isang panloob na punto ng domain ng kahulugan at samakatuwid ay hindi akma sa kahulugan ng isang pinakamataas na punto. Kung tutuusin, wala siyang kapitbahay sa kaliwa. Sa parehong paraan, maaaring walang pinakamababang punto sa aming tsart.

Ang maximum at minimum na mga puntos ay sama-samang tinatawag matinding mga punto ng pag-andar. Sa aming kaso, ito ay at .

Ngunit paano kung kailangan mong hanapin, halimbawa, minimum na function sa hiwa? Sa kasong ito, ang sagot ay: kasi minimum na function ay ang halaga nito sa pinakamababang punto.

Katulad nito, ang maximum ng aming function ay . Ito ay naabot sa punto.

Masasabi nating ang extrema ng function ay katumbas ng at .

Minsan sa mga gawain kailangan mong hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function sa isang partikular na segment. Ang mga ito ay hindi kinakailangang nag-tutugma sa mga sukdulan.

Sa kaso natin pinakamaliit na halaga ng pag-andar sa pagitan ay katumbas at tumutugma sa pinakamababa ng function. Ngunit ang pinakamalaking halaga nito sa segment na ito ay katumbas ng . Naabot ito sa kaliwang dulo ng segment.

Sa anumang kaso, ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang tuluy-tuloy na function sa isang segment ay nakakamit alinman sa mga extremum point o sa mga dulo ng segment.

Paano mahahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang segment?

Para dito sinusunod namin ang kilalang algorithm:

1 . Nakikita namin ang mga function ng ODZ.

2 . Paghahanap ng derivative ng isang function

3 . I-equate ang derivative sa zero

4 . Nahanap namin ang mga agwat kung saan pinapanatili ng derivative ang tanda nito, at mula sa kanila ay tinutukoy namin ang mga agwat ng pagtaas at pagbaba ng function:

Kung sa pagitan ko ang derivative ng function na 0" title="(!LANG:f^(prime)(x)>0">, то функция !} tumataas sa pagitan na ito.

Kung sa pagitan ko ang derivative ng function , pagkatapos ay ang function bumababa sa pagitan na ito.

5 . Nahanap namin maximum at minimum na puntos ng function.

AT ang function na maximum point, ang derivative ay nagbabago ng sign mula "+" hanggang "-".

AT pinakamababang punto ng functionmga derivative na pagbabago sign mula "-" hanggang "+".

6 . Nahanap namin ang halaga ng function sa mga dulo ng segment,

• pagkatapos ay inihambing namin ang halaga ng function sa mga dulo ng segment at sa pinakamataas na puntos, at piliin ang pinakamalaki sa kanila kung kailangan mong hanapin ang pinakamalaking halaga ng function
• o inihahambing namin ang halaga ng function sa mga dulo ng segment at sa pinakamababang puntos, at piliin ang pinakamaliit sa mga ito kung kailangan mong hanapin ang pinakamaliit na halaga ng function

Gayunpaman, depende sa kung paano kumikilos ang function sa pagitan, ang algorithm na ito ay maaaring makabuluhang bawasan.

Isaalang-alang ang function . Ang graph ng function na ito ay ganito ang hitsura:

Isaalang-alang natin ang ilang halimbawa ng paglutas ng mga problema mula sa Open Task Bank para sa

isa. Gawain B15 (#26695)

Sa hiwa.

1. Ang function ay tinukoy para sa lahat ng tunay na halaga ng x

Malinaw, ang equation na ito ay walang mga solusyon, at ang derivative ay positibo para sa lahat ng mga halaga ng x. Samakatuwid, ang function ay tumataas at tumatagal ng pinakamalaking halaga sa kanang dulo ng pagitan, iyon ay, sa x=0.

Sagot: 5.

2 . Gawain B15 (No. 26702)

Hanapin ang pinakamalaking halaga ng isang function sa segment.

1.ODZ function title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Ang derivative ay zero sa , gayunpaman, sa mga puntong ito ay hindi ito nagbabago ng sign:

Samakatuwid, title="(!LANG:3/(cos^2(x)))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} tumataas at kumukuha ng pinakamalaking halaga sa kanang dulo ng pagitan, sa .

Upang gawing malinaw kung bakit ang derivative ay hindi nagbabago ng sign, binabago namin ang expression para sa derivative bilang mga sumusunod:

Title="(!LANG:y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Sagot: 5.

3 . Gawain B15 (#26708)

Hanapin ang pinakamaliit na halaga ng function sa pagitan.

1. ODZ functions: title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Ilagay natin ang mga ugat ng equation na ito sa isang trigonometriko na bilog.

Ang pagitan ay naglalaman ng dalawang numero: at

Ilagay natin ang mga karatula. Upang gawin ito, tinutukoy namin ang tanda ng derivative sa puntong x=0: . Kapag dumadaan sa mga puntos at ang derivative na pagbabago sign.

Ilarawan natin ang pagbabago ng mga palatandaan ng derivative ng function sa linya ng coordinate:

Malinaw, ang punto ay isang minimum na punto (kung saan ang derivative ay nagbabago ng sign mula "-" hanggang "+"), at upang mahanap ang pinakamaliit na halaga ng function sa segment, kailangan mong ihambing ang mga halaga ng function sa pinakamababang punto at sa kaliwang dulo ng segment, .

Ang proseso ng paghahanap ng pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa isang segment ay nagpapaalala ng isang kamangha-manghang paglipad sa paligid ng isang bagay (isang graph ng isang function) sa isang helicopter na may pagpapaputok mula sa isang long-range na kanyon sa ilang mga punto at pagpili mula sa ang mga puntong ito ay napakaespesyal na mga punto para sa mga control shot. Pinipili ang mga puntos sa isang tiyak na paraan at ayon sa ilang mga patakaran. Sa pamamagitan ng anong mga tuntunin? Pag-uusapan pa natin ito.

Kung ang function y = f(x) tuloy-tuloy sa segment [ a, b] , pagkatapos ay umabot ito sa segment na ito hindi bababa sa at pinakamataas na halaga . Maaaring mangyari ito sa matinding puntos o sa dulo ng segment. Samakatuwid, upang mahanap hindi bababa sa at ang pinakamalaking halaga ng function , tuloy-tuloy sa segment [ a, b] , kailangan mong kalkulahin ang mga halaga nito sa lahat kritikal na mga punto at sa mga dulo ng segment, at pagkatapos ay piliin ang pinakamaliit at pinakamalaki sa kanila.

Hayaan, halimbawa, kinakailangan upang matukoy ang maximum na halaga ng function f(x) sa segment [ a, b] . Upang gawin ito, hanapin ang lahat ng mga kritikal na punto nito na nasa [ a, b] .

kritikal na punto ay tinatawag na punto kung saan tinukoy ang function, at siya derivative ay alinman sa zero o wala. Pagkatapos ay dapat mong kalkulahin ang mga halaga ng pag-andar sa mga kritikal na punto. At, sa wakas, dapat ihambing ng isa ang mga halaga ng function sa mga kritikal na punto at sa mga dulo ng segment ( f(a) at f(b) ). Ang pinakamalaki sa mga bilang na ito ay magiging ang pinakamalaking halaga ng function sa pagitan [a, b] .

Ang problema sa paghahanap ang pinakamaliit na halaga ng function .

Hinahanap namin ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng function nang magkasama

Halimbawa 1. Hanapin ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa segment [-1, 2] .

Desisyon. Nahanap namin ang derivative ng function na ito. I-equate ang derivative sa zero () at makakuha ng dalawang kritikal na puntos: at . Upang mahanap ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa isang partikular na segment, sapat na upang kalkulahin ang mga halaga nito sa mga dulo ng segment at sa punto , dahil ang punto ay hindi kabilang sa segment [-1, 2] . Ang mga value ng function na ito ay ang mga sumusunod: , , . Sinusundan nito iyon pinakamaliit na halaga ng pag-andar(minarkahan ng pula sa graph sa ibaba), katumbas ng -7, ay naabot sa kanang dulo ng segment - sa punto , at pinakadakila(pula din sa graph), ay katumbas ng 9, - sa kritikal na punto .

Kung ang function ay tuloy-tuloy sa isang tiyak na agwat at ang agwat na ito ay hindi isang segment (ngunit, halimbawa, isang agwat; ang pagkakaiba sa pagitan ng isang agwat at isang segment: ang mga hangganan na punto ng agwat ay hindi kasama sa agwat, ngunit ang Ang mga hangganan ng mga punto ng segment ay kasama sa segment), pagkatapos ay kabilang sa mga halaga ng pag-andar ay maaaring walang pinakamaliit at pinakamalaki. Kaya, halimbawa, ang function na inilalarawan sa figure sa ibaba ay tuloy-tuloy sa ]-∞, +∞[ at walang pinakamalaking halaga.

Gayunpaman, para sa anumang agwat (sarado, bukas, o walang katapusan), ang sumusunod na katangian ng tuluy-tuloy na pag-andar ay nananatili.

Halimbawa 4. Hanapin ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa segment [-1, 3] .

Desisyon. Nakita namin ang derivative ng function na ito bilang derivative ng quotient:

.

Tinutumbas namin ang derivative sa zero, na nagbibigay sa amin ng isang kritikal na punto: . Ito ay kabilang sa pagitan [-1, 3] . Upang mahanap ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa isang partikular na segment, makikita namin ang mga halaga nito sa mga dulo ng segment at sa natagpuang kritikal na punto:

Ihambing natin ang mga halagang ito. Konklusyon: katumbas ng -5/13, sa punto at ang pinakamalaking halaga katumbas ng 1 sa punto .

Patuloy kaming naghahanap ng pinakamaliit at pinakamalaking value ng function nang magkasama

Mayroong mga guro na, sa paksa ng paghahanap ng pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function, ay hindi nagbibigay sa mga mag-aaral ng mga halimbawa na mas kumplikado kaysa sa mga isinasaalang-alang lamang, iyon ay, ang mga kung saan ang function ay isang polynomial o isang fraction, ang numerator. at denominator nito ay mga polynomial. Ngunit hindi namin lilimitahan ang ating sarili sa gayong mga halimbawa, dahil sa mga guro ay may mga mahilig sa pag-iisip ng mga mag-aaral nang buo (talahanayan ng mga derivatives). Samakatuwid, ang logarithm at ang trigonometric function ay gagamitin.

Halimbawa 6. Hanapin ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa segment .

Desisyon. Nakikita namin ang derivative ng function na ito bilang derivative ng produkto :

Tinutumbas namin ang derivative sa zero, na nagbibigay ng isang kritikal na punto: . Ito ay kabilang sa segment. Upang mahanap ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa isang partikular na segment, makikita namin ang mga halaga nito sa mga dulo ng segment at sa natagpuang kritikal na punto:

Ang resulta ng lahat ng mga aksyon: ang function ay umabot sa pinakamababang halaga nito, katumbas ng 0, sa isang punto at sa isang punto at ang pinakamalaking halaga katumbas ng e² , sa punto .

Halimbawa 7. Hanapin ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa segment .

Desisyon. Nahanap namin ang derivative ng function na ito:

I-equate ang derivative sa zero:

Ang tanging kritikal na punto ay nabibilang sa segment . Upang mahanap ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa isang partikular na segment, makikita namin ang mga halaga nito sa mga dulo ng segment at sa natagpuang kritikal na punto:

Konklusyon: ang function ay umabot sa pinakamababang halaga nito, katumbas ng , sa punto at ang pinakamalaking halaga, katumbas ng , sa punto .

Sa mga inilapat na matinding problema, ang paghahanap ng pinakamaliit (pinakamalaking) mga halaga ng function, bilang panuntunan, ay binabawasan sa paghahanap ng pinakamababa (maximum). Ngunit hindi ang minima o maxima mismo ang mas praktikal na interes, ngunit ang mga halaga ng argumento kung saan nakamit ang mga ito. Kapag nilulutas ang mga inilapat na problema, lumitaw ang isang karagdagang kahirapan - ang pagsasama-sama ng mga pag-andar na naglalarawan sa kababalaghan o proseso na isinasaalang-alang.

Halimbawa 8 Ang isang tangke na may kapasidad na 4, na may hugis ng parallelepiped na may parisukat na base at bukas sa itaas, ay dapat na tinned. Ano ang dapat na mga sukat ng tangke upang masakop ito ng hindi bababa sa dami ng materyal?

Desisyon. Hayaan x- gilid ng base h- taas ng tangke, S- ang ibabaw nito na walang takip, V- ang dami nito. Ang ibabaw na lugar ng tangke ay ipinahayag ng formula, i.e. ay isang function ng dalawang variable. Upang ipahayag S bilang isang function ng isang variable, ginagamit namin ang katotohanan na , saan . Pagpapalit sa nahanap na expression h sa pormula para sa S:

Suriin natin ang function na ito para sa isang extremum. Ito ay tinukoy at naiba sa lahat ng dako sa ]0, +∞[ , at

.

Itinutumbas namin ang derivative sa zero () at hanapin ang kritikal na punto. Bilang karagdagan, sa , ang derivative ay hindi umiiral, ngunit ang halagang ito ay hindi kasama sa domain ng kahulugan at samakatuwid ay hindi maaaring maging isang extremum point. Kaya, - ang tanging kritikal na punto. Suriin natin ito para sa pagkakaroon ng extremum gamit ang pangalawang sapat na tanda. Hanapin natin ang pangalawang derivative. Kapag ang pangalawang derivative ay mas malaki sa zero (). Nangangahulugan ito na kapag ang function ay umabot sa isang minimum . Dahil ito minimum - ang tanging extremum ng function na ito, ito ang pinakamaliit na halaga nito. Kaya, ang gilid ng base ng tangke ay dapat na katumbas ng 2 m, at ang taas nito.

Halimbawa 9 Mula sa talata A, na matatagpuan sa linya ng tren, hanggang sa punto Sa, sa malayo mula dito l, kailangang dalhin ang mga kalakal. Ang halaga ng pagbibiyahe ng isang yunit ng timbang sa bawat yunit ng distansya sa pamamagitan ng tren ay katumbas ng , at sa pamamagitan ng highway ito ay katumbas ng . Hanggang saang punto M ang linya ng riles ay dapat na gaganapin sa highway upang maghatid ng mga kargamento mula sa PERO sa Sa ay ang pinaka-ekonomiko AB ang riles ay ipinapalagay na tuwid)?