ANGLE SA PAGITAN NG MGA EROPLO

Isaalang-alang natin ang dalawang eroplano α 1 at α 2 na ibinigay ayon sa pagkakabanggit ng mga equation:

Sa ilalim sulok sa pagitan ng dalawang eroplano ang ibig nating sabihin ay isa sa mga dihedral na anggulo na nabuo ng mga eroplanong ito. Malinaw na ang anggulo sa pagitan ng mga normal na vector at ng mga eroplanong α 1 at α 2 ay katumbas ng isa sa mga ipinahiwatig na katabing dihedral na anggulo o . Kaya . kasi at , pagkatapos

.

Halimbawa. Tukuyin ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano x+2y-3z+4=0 at 2 x+3y+z+8=0.

Kondisyon ng parallelism ng dalawang eroplano.

Dalawang eroplanong α 1 at α 2 ay magkapareho kung at kung ang kanilang mga normal na vector ay magkatulad, at samakatuwid .

Kaya, ang dalawang eroplano ay parallel sa bawat isa kung at kung ang mga coefficient sa kaukulang mga coordinate ay proporsyonal:

o

Kondisyon ng perpendicularity ng mga eroplano.

Malinaw na ang dalawang eroplano ay patayo kung at kung ang kanilang mga normal na vector ay patayo, at samakatuwid, o .

Kaya, .

Mga halimbawa.

DIREKTA SA SPACE.

DIREKTA ANG VECTOR EQUATION.

PARAMETRIC EQUATIONS DIREKTA

Ang posisyon ng isang tuwid na linya sa espasyo ay ganap na tinutukoy sa pamamagitan ng pagtukoy sa alinman sa mga nakapirming punto nito M 1 at isang vector na kahanay sa linyang ito.

Ang isang vector na kahanay sa isang tuwid na linya ay tinatawag paggabay ang vector ng linyang ito.

Kaya hayaan ang tuwid l dumadaan sa isang punto M 1 (x 1 , y 1 , z 1) nakahiga sa isang tuwid na linya parallel sa vector .

Isaalang-alang ang isang di-makatwirang punto M(x,y,z) sa isang tuwid na linya. Makikita sa pigura na .

Ang mga vector at ay collinear, kaya mayroong isang bilang t, ano , nasaan ang multiplier t maaaring tumagal ng anumang numeric na halaga depende sa posisyon ng punto M sa isang tuwid na linya. Salik t ay tinatawag na isang parameter. Tinutukoy ang radius vectors ng mga puntos M 1 at M ayon sa pagkakabanggit, sa pamamagitan ng at , nakukuha namin ang . Ang equation na ito ay tinatawag vector straight line equation. Ipinapakita nito na ang bawat halaga ng parameter t tumutugma sa radius vector ng ilang punto M nakahiga sa isang tuwid na linya.

Isinulat namin ang equation na ito sa coordinate form. Pansinin, na, at mula rito

Ang mga resultang equation ay tinatawag parametric mga equation ng tuwid na linya.

Kapag binabago ang parameter t pagbabago ng mga coordinate x, y at z at tuldok M gumagalaw sa isang tuwid na linya.

DIREKTA ANG MGA CANONICAL EQUATIONS

Hayaan M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - isang punto na nakahiga sa isang tuwid na linya l, at ay ang vector ng direksyon nito. Muli, kumuha ng di-makatwirang punto sa isang tuwid na linya M(x,y,z) at isaalang-alang ang vector.

Ito ay malinaw na ang mga vectors at ay collinear, kaya ang kani-kanilang mga coordinate ay dapat na proporsyonal, samakatuwid

– kanonikal mga equation ng tuwid na linya.

Puna 1. Tandaan na ang mga canonical equation ng linya ay maaaring makuha mula sa parametric equation sa pamamagitan ng pag-aalis ng parameter. t. Sa katunayan, mula sa mga parametric equation na nakuha namin o .

Halimbawa. Isulat ang equation ng isang tuwid na linya sa parametric na paraan.

Magpakilala , samakatuwid x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Puna 2. Hayaang ang linya ay patayo sa isa sa mga coordinate axes, halimbawa, ang axis baka. Pagkatapos ang vector ng direksyon ng linya ay patayo baka, samakatuwid, m=0. Dahil dito, ang mga parametric equation ng tuwid na linya ay kinuha ang anyo

Pag-aalis ng parameter mula sa mga equation t, nakukuha natin ang mga equation ng tuwid na linya sa anyo

Gayunpaman, sa kasong ito din, sumasang-ayon kaming pormal na isulat ang mga canonical equation ng tuwid na linya sa anyo . Kaya, kung ang denominator ng isa sa mga fraction ay zero, nangangahulugan ito na ang linya ay patayo sa kaukulang coordinate axis.

Katulad nito, ang mga canonical equation tumutugma sa isang tuwid na linya patayo sa mga axes baka at Oy o parallel axis Oz.

Mga halimbawa.

PANGKALAHATANG EQUATIONS ISANG DIREKTANG LINYA BILANG LINE OF INTERCEPTION NG DALAWANG EROPLO

Sa bawat tuwid na linya sa kalawakan ay dumadaan ang walang katapusang bilang ng mga eroplano. Alinmang dalawa sa kanila, na nagsasalubong, ay tukuyin ito sa kalawakan. Samakatuwid, ang mga equation ng alinmang dalawang naturang eroplano, na isinasaalang-alang nang magkasama, ay ang mga equation ng linyang ito.

Sa pangkalahatan, anumang dalawang di-parallel na eroplano na ibinigay ng mga pangkalahatang equation

tukuyin ang kanilang linya ng intersection. Ang mga equation na ito ay tinatawag pangkalahatang equation tuwid.

Mga halimbawa.

Bumuo ng isang tuwid na linya na ibinigay ng mga equation

Upang makabuo ng isang linya, sapat na upang mahanap ang alinman sa dalawa sa mga punto nito. Ang pinakamadaling paraan ay ang piliin ang mga punto ng intersection ng linya na may mga coordinate na eroplano. Halimbawa, ang punto ng intersection sa eroplano xOy nakukuha natin mula sa mga equation ng isang tuwid na linya, sa pag-aakalang z= 0:

Ang paglutas ng sistemang ito, nakita namin ang punto M 1 (1;2;0).

Ganun din, assuming y= 0, nakukuha namin ang punto ng intersection ng linya sa eroplano xOz:

Mula sa mga pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya, ang isa ay maaaring magpatuloy sa canonical o parametric equation nito. Upang gawin ito, kailangan mong makahanap ng ilang punto M 1 sa linya at ang vector ng direksyon ng linya.

Point coordinates M 1 nakukuha natin mula sa sistemang ito ng mga equation, na nagbibigay sa isa sa mga coordinate ng arbitraryong halaga. Upang mahanap ang vector ng direksyon, tandaan na ang vector na ito ay dapat na patayo sa parehong mga normal na vector at . Samakatuwid, para sa vector ng direksyon ng tuwid na linya l maaari mong kunin ang cross product ng mga normal na vectors:

.

Halimbawa. Ibigay ang mga pangkalahatang equation ng tuwid na linya sa canonical form.

Maghanap ng isang punto sa isang tuwid na linya. Upang gawin ito, pipiliin namin nang arbitraryo ang isa sa mga coordinate, halimbawa, y= 0 at lutasin ang sistema ng mga equation:

Ang mga normal na vector ng mga eroplano na tumutukoy sa linya ay may mga coordinate Samakatuwid, ang vector ng direksyon ay magiging tuwid

. Kaya naman, l: .

ANGLE SA PAGITAN NG MGA KARAPATAN

sulok sa pagitan ng mga tuwid na linya sa espasyo ay tatawagin natin ang alinman sa mga katabing anggulo na nabuo ng dalawang tuwid na linya na iginuhit sa pamamagitan ng isang arbitrary na punto na kahanay ng data.

Hayaang magbigay ng dalawang tuwid na linya sa espasyo:

Malinaw, ang anggulo φ sa pagitan ng mga linya ay maaaring kunin bilang anggulo sa pagitan ng kanilang mga vector ng direksyon at . Dahil , pagkatapos ay ayon sa formula para sa cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vectors na nakukuha natin

a. Hayaang magbigay ng dalawang linya. Ang mga linyang ito, tulad ng ipinahiwatig sa Kabanata 1, ay bumubuo ng iba't ibang positibo at negatibong mga anggulo, na, sa kasong ito, ay maaaring parehong talamak at mahina. Ang pag-alam sa isa sa mga anggulong ito, madali nating mahahanap ang iba pa.

Sa pamamagitan ng paraan, para sa lahat ng mga anggulong ito, ang numerical na halaga ng tangent ay pareho, ang pagkakaiba ay maaari lamang sa sign

Mga equation ng mga linya. Ang mga numero ay ang mga projection ng nagdidirekta na mga vector ng una at pangalawang linya. Ang anggulo sa pagitan ng mga vector na ito ay katumbas ng isa sa mga anggulo na nabuo ng mga tuwid na linya. Samakatuwid, ang problema ay nabawasan sa pagtukoy ng anggulo sa pagitan ng mga vectors, Nakukuha namin

Para sa pagiging simple, maaari tayong sumang-ayon sa isang anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya upang maunawaan ang isang matinding positibong anggulo (tulad ng, halimbawa, sa Fig. 53).

Kung gayon ang padaplis ng anggulong ito ay palaging magiging positibo. Kaya, kung ang isang minus sign ay nakuha sa kanang bahagi ng formula (1), pagkatapos ay dapat nating itapon ito, ibig sabihin, panatilihin lamang ang ganap na halaga.

Halimbawa. Tukuyin ang anggulo sa pagitan ng mga linya

Sa pamamagitan ng formula (1) mayroon tayo

kasama. Kung ipinahiwatig kung alin sa mga gilid ng anggulo ang simula nito at alin ang dulo nito, kung gayon, palaging binibilang ang direksyon ng anggulo na pakaliwa, maaari tayong kumuha ng higit pa mula sa mga formula (1). Tulad ng madaling makita mula sa Fig. 53 ang sign na nakuha sa kanang bahagi ng formula (1) ay magsasaad kung alin - talamak o mahina - ang anggulo ay bumubuo sa pangalawang linya kasama ang una.

(Sa katunayan, mula sa Fig. 53 makikita natin na ang anggulo sa pagitan ng una at pangalawang direksyon ng mga vector ay alinman sa katumbas ng nais na anggulo sa pagitan ng mga linya, o naiiba mula dito sa pamamagitan ng ±180°.)

d. Kung ang mga linya ay parallel, kung gayon ang kanilang direksyon vectors ay parallel din. Ang paglalapat ng kondisyon ng parallelism ng dalawang vectors, makuha natin!

Ito ay isang kinakailangan at sapat na kundisyon para magkaparehas ang dalawang linya.

Halimbawa. Direkta

ay parallel dahil

e. Kung ang mga linya ay patayo, kung gayon ang kanilang mga vector ng direksyon ay patayo din. Ang paglalapat ng kondisyon ng perpendicularity ng dalawang vectors, nakuha namin ang kondisyon ng perpendicularity ng dalawang linya, lalo

Halimbawa. Direkta

patayo kasi

Kaugnay ng mga kondisyon ng parallelism at perpendicularity, malulutas natin ang sumusunod na dalawang problema.

f. Gumuhit ng isang linya parallel sa isang ibinigay na linya sa pamamagitan ng isang punto

Ang desisyon ay ginawa tulad nito. Dahil ang nais na linya ay kahanay sa ibinigay na isa, kung gayon para sa nagdidirekta nitong vector ay maaari nating kunin ang pareho sa ibinigay na linya, ibig sabihin, isang vector na may mga projection A at B. At pagkatapos ay isusulat ang equation ng nais na linya. sa anyo (§ 1)

Halimbawa. Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto (1; 3) na parallel sa isang tuwid na linya

susunod na!

g. Gumuhit ng isang linya sa pamamagitan ng isang punto na patayo sa ibinigay na linya

Dito, hindi na angkop na kumuha ng vector na may mga projection A at bilang isang vector na nagdidirekta, ngunit kinakailangan upang manalo ng isang vector na patayo dito. Samakatuwid, ang mga projection ng vector na ito ay dapat piliin ayon sa kondisyon na ang parehong mga vector ay patayo, ibig sabihin, ayon sa kondisyon

Ang kundisyong ito ay maaaring matupad sa isang walang katapusang bilang ng mga paraan, dahil dito mayroong isang equation na may dalawang hindi alam. Ngunit ang pinakamadaling paraan ay kunin ito. Pagkatapos ang equation ng nais na linya ay isusulat sa anyo

Halimbawa. Equation ng isang linya na dumadaan sa isang punto (-7; 2) sa isang patayong linya

ay ang mga sumusunod (ayon sa pangalawang formula)!

h. Sa kaso kapag ang mga linya ay ibinigay ng mga equation ng form

ang muling pagsusulat ng mga equation na ito sa ibang paraan, mayroon kami

Ako ay magiging maikli. Ang anggulo sa pagitan ng dalawang linya ay katumbas ng anggulo sa pagitan ng kanilang mga vector ng direksyon. Kaya, kung namamahala ka upang mahanap ang mga coordinate ng mga vector ng direksyon a \u003d (x 1; y 1; z 1) at b \u003d (x 2; y 2; z 2), maaari mong mahanap ang anggulo. Mas tiyak, ang cosine ng anggulo ayon sa formula:

Tingnan natin kung paano gumagana ang formula na ito sa mga partikular na halimbawa:

Gawain. Ang mga puntos na E at F ay minarkahan sa kubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - ang mga midpoint ng mga gilid A 1 B 1 at B 1 C 1, ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linyang AE at BF.

Dahil ang gilid ng kubo ay hindi tinukoy, itinakda namin ang AB = 1. Ipinakilala namin ang isang karaniwang coordinate system: ang pinagmulan ay nasa punto A, at ang x, y, z axes ay nakadirekta sa kahabaan ng AB, AD, at AA 1, ayon sa pagkakabanggit . Ang segment ng unit ay katumbas ng AB = 1. Ngayon, hanapin natin ang mga coordinate ng mga vector ng direksyon para sa ating mga linya.

Hanapin ang mga coordinate ng vector AE. Upang gawin ito, kailangan namin ng mga puntos A = (0; 0; 0) at E = (0.5; 0; 1). Dahil ang puntong E ay ang gitna ng segment A 1 B 1 , ang mga coordinate nito ay katumbas ng arithmetic mean ng mga coordinate ng mga dulo. Tandaan na ang pinagmulan ng vector AE ay kasabay ng pinagmulan, kaya AE = (0.5; 0; 1).

Ngayon ay haharapin natin ang BF vector. Katulad nito, sinusuri namin ang mga puntos na B = (1; 0; 0) at F = (1; 0.5; 1), dahil F - ang gitna ng segment B 1 C 1 . Meron kami:
BF = (1 - 1; 0.5 - 0; 1 - 0) = (0; 0.5; 1).

Kaya, handa na ang mga vector ng direksyon. Ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga linya ay ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vector ng direksyon, kaya mayroon tayong:

Gawain. Sa isang regular na trihedral prism ABCA 1 B 1 C 1 , ang lahat ng mga gilid ay katumbas ng 1, ang mga puntong D at E ay minarkahan - ang mga midpoint ng mga gilid A 1 B 1 at B 1 C 1, ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linyang AD at BE.

Ipinakilala namin ang isang karaniwang coordinate system: ang pinagmulan ay nasa punto A, ang x-axis ay nakadirekta sa kahabaan ng AB, z - kasama ang AA 1 . Idinirekta namin ang y axis upang ang OXY plane ay tumutugma sa ABC plane. Ang segment ng unit ay katumbas ng AB = 1. Hanapin ang mga coordinate ng mga vector ng direksyon para sa mga gustong linya.

Una, hanapin natin ang mga coordinate ng AD vector. Isaalang-alang ang mga puntos: A = (0; 0; 0) at D = (0.5; 0; 1), dahil D - ang gitna ng segment A 1 B 1 . Dahil ang simula ng vector AD ay tumutugma sa pinagmulan, nakukuha natin ang AD = (0.5; 0; 1).

Ngayon, hanapin natin ang mga coordinate ng vector BE. Point B = (1; 0; 0) ay madaling kalkulahin. Sa punto E - ang gitna ng segment C 1 B 1 - medyo mas mahirap. Meron kami:

Ito ay nananatili upang mahanap ang cosine ng anggulo:

Gawain. Sa isang regular na hexagonal prism ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , ang lahat ng mga gilid ay katumbas ng 1, ang mga puntong K at L ay minarkahan - ang mga midpoint ng mga gilid A 1 B 1 at B 1 C 1, ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linyang AK at BL.

Ipinakilala namin ang isang karaniwang sistema ng coordinate para sa isang prisma: inilalagay namin ang pinagmulan ng mga coordinate sa gitna ng ibabang base, idirekta ang x-axis sa kahabaan ng FC, ang y-axis sa pamamagitan ng mga midpoint ng mga segment na AB at DE, at ang z-axis patayo pataas. Ang segment ng unit ay muling katumbas ng AB = 1. Isulat natin ang mga coordinate ng mga punto ng interes sa atin:

Ang mga puntong K at L ay ang mga midpoint ng mga segment na A 1 B 1 at B 1 C 1, ayon sa pagkakabanggit, kaya ang kanilang mga coordinate ay matatagpuan sa pamamagitan ng arithmetic mean. Ang pag-alam sa mga punto, nakita namin ang mga coordinate ng mga vector ng direksyon na AK at BL:

Ngayon, hanapin natin ang cosine ng anggulo:

Gawain. Sa isang regular na quadrangular pyramid SABCD, ang lahat ng mga gilid ay katumbas ng 1, ang mga puntos na E at F ay minarkahan - ang mga midpoint ng mga gilid ng SB at SC, ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linyang AE at BF.

Ipinakilala namin ang isang karaniwang coordinate system: ang pinanggalingan ay nasa punto A, ang x at y axes ay nakadirekta sa kahabaan ng AB at AD, ayon sa pagkakabanggit, at ang z axis ay nakadirekta patayo pataas. Ang segment ng unit ay katumbas ng AB = 1.

Ang mga puntong E at F ay ang mga midpoint ng mga segment na SB at SC, ayon sa pagkakabanggit, kaya ang kanilang mga coordinate ay matatagpuan bilang arithmetic mean ng mga dulo. Isinulat namin ang mga coordinate ng mga punto ng interes sa amin:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Ang pag-alam sa mga punto, nakita namin ang mga coordinate ng mga vector ng direksyon na AE at BF:

Ang mga coordinate ng vector AE ay tumutugma sa mga coordinate ng point E, dahil ang point A ay ang pinagmulan. Ito ay nananatili upang mahanap ang cosine ng anggulo:

Kahulugan. Kung ang dalawang linya ay binibigyan ng y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , kung gayon ang matinding anggulo sa pagitan ng mga linyang ito ay tutukuyin bilang

Dalawang linya ay parallel kung k 1 = k 2 . Dalawang linya ay patayo kung k 1 = -1/ k 2 .

Teorama. Ang mga tuwid na linya Ax + Vy + C \u003d 0 at A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ay magkatulad kapag ang mga coefficient A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB ay proporsyonal. Kung din С 1 = λС, kung gayon ang mga linya ay nag-tutugma. Ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation ng mga linyang ito.

Equation ng isang linya na dumadaan sa isang naibigay na punto

Patayo sa linyang ito

Kahulugan. Ang linya na dumadaan sa puntong M 1 (x 1, y 1) at patayo sa linya y \u003d kx + b ay kinakatawan ng equation:

Distansya mula sa punto hanggang linya

Teorama. Kung ang isang punto M(x 0, y 0) ay ibinigay, kung gayon ang distansya sa linya Ax + Vy + C \u003d 0 ay tinukoy bilang

.

Patunay. Hayaang ang puntong M 1 (x 1, y 1) ang maging base ng patayo na bumaba mula sa puntong M hanggang sa ibinigay na linya. Pagkatapos ang distansya sa pagitan ng mga punto M at M 1:

(1)

Ang x 1 at y 1 na mga coordinate ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation:

Ang pangalawang equation ng system ay ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto M 0 patayo sa isang ibinigay na tuwid na linya. Kung ibahin natin ang unang equation ng system sa anyo:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

pagkatapos, paglutas, nakukuha natin:

Ang pagpapalit ng mga expression na ito sa equation (1), makikita natin:

Napatunayan na ang theorem.

Halimbawa. Tukuyin ang anggulo sa pagitan ng mga linya: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Halimbawa. Ipakita na ang mga linyang 3x - 5y + 7 = 0 at 10x + 6y - 3 = 0 ay patayo.

Desisyon. Nahanap namin: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, samakatuwid, ang mga linya ay patayo.

Halimbawa. Ang mga vertices ng tatsulok na A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) ay ibinibigay. Hanapin ang equation para sa taas na nakuha mula sa vertex C.

Desisyon. Nahanap namin ang equation ng side AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Ang nais na equation ng taas ay: Ax + By + C = 0 o y = kx + b. k = . Pagkatapos y = . kasi ang taas ay dumadaan sa punto C, pagkatapos ang mga coordinate nito ay natutugunan ang equation na ito: saan b = 17. Kabuuan: .

Sagot: 3x + 2y - 34 = 0.

Equation ng isang linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto sa isang tiyak na direksyon. Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na puntos. Anggulo sa pagitan ng dalawang linya. Kondisyon ng parallelism at perpendicularity ng dalawang linya. Pagtukoy sa punto ng intersection ng dalawang linya

1. Equation ng isang linya na dumadaan sa isang naibigay na punto A(x 1 , y 1) sa isang ibinigay na direksyon, na tinutukoy ng slope k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Ang equation na ito ay tumutukoy sa isang lapis ng mga linyang dumadaan sa isang punto A(x 1 , y 1), na tinatawag na sentro ng sinag.

2. Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang puntos: A(x 1 , y 1) at B(x 2 , y 2) ay nakasulat tulad nito:

Ang slope ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na mga punto ay tinutukoy ng formula

3. Anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya A at B ay ang anggulo kung saan dapat paikutin ang unang tuwid na linya A sa paligid ng punto ng intersection ng mga linyang ito nang pakaliwa hanggang sa ito ay tumutugma sa pangalawang linya B. Kung ang dalawang linya ay ibinigay ng mga equation ng slope

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

pagkatapos ay ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay tinutukoy ng formula

Dapat pansinin na sa numerator ng fraction, ang slope ng unang tuwid na linya ay ibinabawas mula sa slope ng pangalawang tuwid na linya.

Kung ang mga equation ng isang tuwid na linya ay ibinigay sa pangkalahatang anyo

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay tinutukoy ng formula

4. Mga kondisyon para sa parallelism ng dalawang linya:

a) Kung ang mga linya ay ibinigay ng mga equation (4) na may slope, kung gayon ang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa kanilang paralelismo ay ang pagkakapantay-pantay ng kanilang mga slope:

k 1 = k 2 . (8)

b) Para sa kaso kung ang mga linya ay ibinigay ng mga equation sa pangkalahatang anyo (6), ang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa kanilang parallelism ay ang mga coefficient sa kaukulang kasalukuyang mga coordinate sa kanilang mga equation ay proporsyonal, i.e.

5. Mga kondisyon para sa perpendicularity ng dalawang linya:

a) Sa kaso kapag ang mga linya ay binigay ng mga equation (4) na may slope, ang kailangan at sapat na kondisyon para sa kanilang perpendicularity ay ang kanilang mga slope ay reciprocal sa magnitude at kabaligtaran sa sign, i.e.

Ang kundisyong ito ay maaari ding isulat sa anyo

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Kung ang mga equation ng mga tuwid na linya ay ibinigay sa pangkalahatang anyo (6), kung gayon ang kondisyon para sa kanilang perpendicularity (kinakailangan at sapat) ay upang matupad ang pagkakapantay-pantay.

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya ay matatagpuan sa pamamagitan ng paglutas ng sistema ng mga equation (6). Ang mga linya (6) ay nagsalubong kung at kung lamang

1. Isulat ang mga equation ng mga linyang dumadaan sa puntong M, ang isa ay parallel at ang isa ay patayo sa ibinigay na linya l.

Oh-oh-oh-oh-oh ... well, it's tinny, as if you read the sentence to yourself =) However, then relaxation will help, lalo na't bumili ako ng mga angkop na accessories ngayon. Samakatuwid, magpatuloy tayo sa unang seksyon, umaasa ako, sa pagtatapos ng artikulo ay mapanatili ko ang isang masayang kalooban.

Mutual arrangement ng dalawang tuwid na linya

Ang kaso kapag kumakanta ang bulwagan sa koro. Dalawang linya pwede:

1) tugma;

2) maging parallel: ;

3) o bumalandra sa isang punto: .

Tulong para sa mga dummies : mangyaring tandaan ang mathematical sign ng intersection , ito ay magaganap nang napakadalas. Ang entry ay nangangahulugan na ang linya ay bumalandra sa linya sa punto.

Paano matukoy ang kamag-anak na posisyon ng dalawang linya?

Magsimula tayo sa unang kaso:

Dalawang linya ang nagtutugma kung at kung ang kani-kanilang mga coefficient ay proporsyonal, iyon ay, mayroong isang bilang na "lambda" na ang mga pagkakapantay-pantay

Isaalang-alang natin ang mga tuwid na linya at bumuo ng tatlong equation mula sa kaukulang coefficient: . Mula sa bawat equation ay sumusunod na, samakatuwid, ang mga linyang ito ay nag-tutugma.

Sa katunayan, kung ang lahat ng mga coefficient ng equation multiply by -1 (change signs), at bawasan ang lahat ng coefficients ng equation ng 2, makukuha mo ang parehong equation: .

Ang pangalawang kaso kapag ang mga linya ay parallel:

Dalawang linya ay magkatulad kung at kung ang kanilang mga coefficient sa mga variable ay proporsyonal: , ngunit.

Bilang halimbawa, isaalang-alang ang dalawang tuwid na linya. Sinusuri namin ang proporsyonalidad ng kaukulang coefficient para sa mga variable:

Gayunpaman, malinaw na .

At ang pangatlong kaso, kapag nagsalubong ang mga linya:

Dalawang linya ay nagsalubong kung at kung ang kanilang mga coefficient ng mga variable ay HINDI proporsyonal, ibig sabihin, WALANG ganoong halaga ng "lambda" na natutupad ang mga pagkakapantay-pantay

Kaya, para sa mga tuwid na linya bubuo kami ng isang sistema:

Mula sa unang equation ito ay sumusunod na , at mula sa pangalawang equation: , samakatuwid, hindi pare-pareho ang sistema(walang solusyon). Kaya, ang mga coefficient sa mga variable ay hindi proporsyonal.

Konklusyon: ang mga linya ay nagsalubong

Sa mga praktikal na problema, maaaring gamitin ang scheme ng solusyon na isinasaalang-alang lamang. Sa pamamagitan ng paraan, ito ay halos kapareho sa algorithm para sa pagsuri ng mga vectors para sa collinearity, na isinasaalang-alang namin sa aralin. Ang konsepto ng linear (non) dependence ng mga vectors. Batayang vector. Ngunit mayroong isang mas sibilisadong pakete:

Halimbawa 1

Alamin ang relatibong posisyon ng mga linya:

Desisyon batay sa pag-aaral ng pagdidirekta ng mga vector ng mga tuwid na linya:

a) Mula sa mga equation nakita natin ang mga vector ng direksyon ng mga linya: .

, kaya ang mga vector ay hindi collinear at ang mga linya ay nagsalubong.

Kung sakali, maglalagay ako ng bato na may mga pointer sa sangang-daan:

Ang natitira ay tumalon sa ibabaw ng bato at sumunod, diretso sa Kashchei na Walang Kamatayan =)

b) Hanapin ang mga vector ng direksyon ng mga linya:

Ang mga linya ay may parehong direksyon ng vector, na nangangahulugang sila ay kahanay o pareho. Dito hindi kailangan ang determinant.

Malinaw, ang mga coefficient ng mga hindi alam ay proporsyonal, habang .

Alamin natin kung totoo ang pagkakapantay-pantay:

kaya,

c) Hanapin ang mga vector ng direksyon ng mga linya:

Kalkulahin natin ang determinant, na binubuo ng mga coordinate ng mga vector na ito:
, samakatuwid, ang mga vector ng direksyon ay collinear. Ang mga linya ay magkatulad o magkatugma.

Ang proportionality factor na "lambda" ay madaling makita nang direkta mula sa ratio ng mga vector ng collinear na direksyon. Gayunpaman, maaari rin itong matagpuan sa pamamagitan ng mga coefficient ng mga equation mismo: .

Ngayon, alamin natin kung totoo ang pagkakapantay-pantay. Ang parehong mga libreng termino ay zero, kaya:

Ang resultang halaga ay nakakatugon sa equation na ito (anumang numero sa pangkalahatan ay nakakatugon dito).

Kaya, ang mga linya ay nag-tutugma.

Sagot:

Sa lalong madaling panahon matututunan mo (o kahit na natutunan na) upang malutas ang itinuturing na problema sa literal na salita sa loob ng ilang segundo. Kaugnay nito, wala akong nakikitang dahilan upang mag-alok ng isang bagay para sa isang independiyenteng solusyon, mas mahusay na maglagay ng isang mas mahalagang brick sa geometric na pundasyon:

Paano gumuhit ng isang linya parallel sa isang ibinigay na isa?

Para sa kamangmangan sa pinakasimpleng gawaing ito, ang Nightingale the Robber ay mahigpit na nagpaparusa.

Halimbawa 2

Ang tuwid na linya ay ibinibigay ng equation. Sumulat ng isang equation para sa isang parallel na linya na dumadaan sa punto.

Desisyon: Ipahiwatig ang hindi kilalang linya sa pamamagitan ng titik. Ano ang sinasabi ng kondisyon tungkol dito? Ang linya ay dumadaan sa punto. At kung ang mga linya ay magkatulad, kung gayon ito ay malinaw na ang nagdidirekta na vector ng linyang "ce" ay angkop din para sa pagtatayo ng linyang "te".

Inalis namin ang vector ng direksyon mula sa equation:

Sagot:

Ang geometry ng halimbawa ay mukhang simple:

Ang analytical na pag-verify ay binubuo ng mga sumusunod na hakbang:

1) Sinusuri namin na ang mga linya ay may parehong direksyon ng vector (kung ang equation ng linya ay hindi maayos na pinasimple, kung gayon ang mga vector ay magiging collinear).

2) Suriin kung ang punto ay nakakatugon sa resultang equation.

Ang analytical na pag-verify sa karamihan ng mga kaso ay madaling gawin nang pasalita. Tingnan ang dalawang equation at marami sa inyo ang mabilis na malalaman kung paano magkatulad ang mga linya nang walang anumang pagguhit.

Ang mga halimbawa para sa paglutas sa sarili ngayon ay magiging malikhain. Dahil kailangan mo pang makipagkumpitensya sa Baba Yaga, at siya, alam mo, ay isang mahilig sa lahat ng uri ng mga bugtong.

Halimbawa 3

Sumulat ng isang equation para sa isang linya na dumadaan sa isang punto na kahanay ng linya kung

Mayroong isang makatwiran at hindi masyadong makatwiran na paraan upang malutas. Ang pinakamaikling paraan ay nasa dulo ng aralin.

Gumawa kami ng kaunting trabaho na may mga parallel na linya at babalik sa kanila mamaya. Ang kaso ng magkasabay na mga linya ay hindi gaanong interesado, kaya isaalang-alang natin ang isang problema na alam mo mula sa kurikulum ng paaralan:

Paano mahahanap ang punto ng intersection ng dalawang linya?

Kung diretso bumalandra sa punto , pagkatapos ang mga coordinate nito ay ang solusyon sistema ng mga linear na equation

Paano mahahanap ang punto ng intersection ng mga linya? Lutasin ang sistema.

Eto para sayo geometric na kahulugan ng isang sistema ng dalawang linear na equation na may dalawang hindi alam ay dalawang intersecting (pinaka madalas) tuwid na linya sa isang eroplano.

Halimbawa 4

Hanapin ang punto ng intersection ng mga linya

Desisyon: Mayroong dalawang paraan upang malutas - graphical at analytical.

Ang graphical na paraan ay ang simpleng pagguhit ng mga ibinigay na linya at alamin ang punto ng intersection nang direkta mula sa pagguhit:

Narito ang aming punto: . Upang suriin, dapat mong palitan ang mga coordinate nito sa bawat equation ng isang tuwid na linya, dapat silang magkasya doon at doon. Sa madaling salita, ang mga coordinate ng isang punto ay ang solusyon ng system . Sa katunayan, isinasaalang-alang namin ang isang graphical na paraan upang malutas sistema ng mga linear na equation na may dalawang equation, dalawang hindi alam.

Ang graphical na paraan, siyempre, ay hindi masama, ngunit may mga kapansin-pansing disadvantages. Hindi, ang punto ay hindi ang mga ikapitong baitang ang magpapasya sa ganitong paraan, ang punto ay magtatagal ng oras upang makagawa ng tama at TOTOONG pagguhit. Bilang karagdagan, ang ilang mga linya ay hindi gaanong madaling gawin, at ang intersection point mismo ay maaaring nasa isang lugar sa ika-tatlumpung kaharian sa labas ng notebook sheet.

Samakatuwid, mas kapaki-pakinabang na maghanap para sa intersection point sa pamamagitan ng analytical method. Lutasin natin ang sistema:

Upang malutas ang sistema, ginamit ang paraan ng termwise na pagdaragdag ng mga equation. Upang mapaunlad ang mga kaugnay na kasanayan, bisitahin ang aralin Paano malutas ang isang sistema ng mga equation?

Sagot:

Ang pag-verify ay walang halaga - ang mga coordinate ng intersection point ay dapat matugunan ang bawat equation ng system.

Halimbawa 5

Hanapin ang punto ng intersection ng mga linya kung magsalubong ang mga ito.

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Ang gawain ay maaaring maginhawang nahahati sa maraming yugto. Ang pagsusuri sa kondisyon ay nagmumungkahi na ito ay kinakailangan:
1) Isulat ang equation ng isang tuwid na linya.
2) Isulat ang equation ng isang tuwid na linya.
3) Alamin ang relatibong posisyon ng mga linya.
4) Kung magsalubong ang mga linya, hanapin ang punto ng intersection.

Ang pagbuo ng isang algorithm ng aksyon ay tipikal para sa maraming mga geometric na problema, at paulit-ulit kong tututuon ito.

Buong solusyon at sagot sa dulo ng tutorial:

Ang isang pares ng sapatos ay hindi pa napupuna, nang makarating kami sa ikalawang seksyon ng aralin:

Mga linyang patayo. Ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya.
Anggulo sa pagitan ng mga linya

Magsimula tayo sa isang tipikal at napakahalagang gawain. Sa unang bahagi, natutunan namin kung paano bumuo ng isang tuwid na linya na kahanay sa ibinigay, at ngayon ang kubo sa mga binti ng manok ay magiging 90 degrees:

Paano gumuhit ng isang linya na patayo sa isang ibinigay?

Halimbawa 6

Ang tuwid na linya ay ibinibigay ng equation. Sumulat ng isang equation para sa isang patayong linya na dumadaan sa isang punto.

Desisyon: Ito ay kilala sa pamamagitan ng pagpapalagay na . Masarap na hanapin ang vector ng direksyon ng tuwid na linya. Dahil ang mga linya ay patayo, ang lansihin ay simple:

Mula sa equation ay "tinatanggal" namin ang normal na vector: , na siyang magiging vector ng pagdidirekta ng tuwid na linya.

Binubuo namin ang equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang nagdidirekta na vector:

Sagot:

Buksan natin ang geometric sketch:

Hmmm... Orange na langit, orange na dagat, orange na kamelyo.

Analytical na pag-verify ng solusyon:

1) I-extract ang mga vector ng direksyon mula sa mga equation at sa tulong tuldok na produkto ng mga vector napagpasyahan namin na ang mga linya ay talagang patayo: .

Sa pamamagitan ng paraan, maaari kang gumamit ng mga normal na vector, mas madali ito.

2) Suriin kung ang punto ay nakakatugon sa resultang equation .

Ang pag-verify, muli, ay madaling gawin sa salita.

Halimbawa 7

Hanapin ang punto ng intersection ng mga patayong linya, kung ang equation ay kilala at tuldok.

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Mayroong ilang mga aksyon sa gawain, kaya ito ay maginhawa upang ayusin ang solusyon sa bawat punto.

Ang aming kapana-panabik na paglalakbay ay nagpapatuloy:

Distansya mula sa punto hanggang linya

Sa harap namin ay isang tuwid na guhit ng ilog at ang aming gawain ay maabot ito sa pinakamaikling paraan. Walang mga hadlang, at ang pinakamainam na ruta ay ang paggalaw sa kahabaan ng patayo. Iyon ay, ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya ay ang haba ng perpendicular segment.

Ang distansya sa geometry ay tradisyonal na tinutukoy ng letrang Griyego na "ro", halimbawa: - ang distansya mula sa puntong "em" hanggang sa tuwid na linya na "de".

Distansya mula sa punto hanggang linya ay ipinahayag ng pormula

Halimbawa 8

Hanapin ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya

Desisyon: ang kailangan mo lang ay maingat na palitan ang mga numero sa formula at gawin ang mga kalkulasyon:

Sagot:

Isagawa natin ang pagguhit:

Ang distansya na natagpuan mula sa punto hanggang sa linya ay eksaktong haba ng pulang segment. Kung gagawa ka ng drawing sa checkered na papel sa sukat na 1 unit. \u003d 1 cm (2 mga cell), kung gayon ang distansya ay maaaring masukat sa isang ordinaryong pinuno.

Isaalang-alang ang isa pang gawain ayon sa parehong pagguhit:

Ang gawain ay upang mahanap ang mga coordinate ng punto , na simetriko sa punto na may paggalang sa linya . Iminumungkahi kong gawin ang mga aksyon nang mag-isa, gayunpaman, ilalarawan ko ang algorithm ng solusyon na may mga intermediate na resulta:

1) Maghanap ng isang linya na patayo sa isang linya.

2) Hanapin ang punto ng intersection ng mga linya: .

Ang parehong mga aksyon ay tinalakay nang detalyado sa araling ito.

3) Ang punto ay ang midpoint ng segment. Alam namin ang mga coordinate ng gitna at isa sa mga dulo. Sa pamamagitan ng mga formula para sa mga coordinate ng gitna ng segment hanapin ang .

Hindi magiging kalabisan upang suriin na ang distansya ay katumbas din ng 2.2 na yunit.

Ang mga paghihirap dito ay maaaring lumitaw sa mga kalkulasyon, ngunit sa tore ang isang microcalculator ay nakakatulong nang malaki, na nagpapahintulot sa iyo na magbilang ng mga ordinaryong fraction. Nagpayo ng maraming beses at magrerekomenda muli.

Paano mahahanap ang distansya sa pagitan ng dalawang parallel na linya?

Halimbawa 9

Hanapin ang distansya sa pagitan ng dalawang parallel na linya

Ito ay isa pang halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon. Isang maliit na pahiwatig: mayroong walang katapusang maraming paraan upang malutas. Debriefing sa pagtatapos ng aralin, ngunit mas mahusay na subukang hulaan para sa iyong sarili, sa palagay ko ay nagawa mong ikalat ang iyong talino.

Anggulo sa pagitan ng dalawang linya

Anuman ang sulok, pagkatapos ay ang hamba:


Sa geometry, ang anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya ay kinukuha bilang MAS MALIIT na anggulo, kung saan awtomatiko itong sumusunod na hindi ito maaaring maging mahina. Sa figure, ang anggulo na ipinahiwatig ng pulang arko ay hindi itinuturing na anggulo sa pagitan ng mga intersecting na linya. At ang "berde" nitong kapitbahay o kabaligtaran ang oriented pulang sulok.

Kung ang mga linya ay patayo, kung gayon ang alinman sa 4 na anggulo ay maaaring kunin bilang anggulo sa pagitan ng mga ito.

Paano naiiba ang mga anggulo? Oryentasyon. Una, ang direksyon ng "pag-scroll" sa sulok ay pangunahing mahalaga. Pangalawa, ang isang negatibong anggulo ay nakasulat na may minus sign, halimbawa, kung .

Bakit ko nasabi ito? Mukhang makakayanan mo ang karaniwang konsepto ng isang anggulo. Ang katotohanan ay na sa mga pormula kung saan makikita natin ang mga anggulo, ang isang negatibong resulta ay madaling makuha, at hindi ka dapat magtaka. Ang isang anggulo na may minus sign ay hindi mas masahol pa, at may napakaspesipikong geometric na kahulugan. Sa pagguhit para sa isang negatibong anggulo, kinakailangang ipahiwatig ang oryentasyon nito (clockwise) gamit ang isang arrow.

Paano mahahanap ang anggulo sa pagitan ng dalawang linya? Mayroong dalawang gumaganang formula:

Halimbawa 10

Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linya

Desisyon at Pamamaraan isa

Isaalang-alang ang dalawang tuwid na linya na ibinigay ng mga equation sa pangkalahatang anyo:

Kung diretso hindi patayo, pagkatapos nakatuon ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay maaaring kalkulahin gamit ang formula:

Bigyang-pansin natin ang denominator - ito ay eksakto produktong scalar mga vector ng direksyon ng mga tuwid na linya:

Kung , kung gayon ang denominator ng formula ay mawawala, at ang mga vector ay magiging orthogonal at ang mga linya ay magiging patayo. Iyon ang dahilan kung bakit ginawa ang isang reserbasyon tungkol sa hindi perpendikularidad ng mga linya sa pagbabalangkas.

Batay sa nabanggit, ang solusyon ay maginhawang gawing pormal sa dalawang hakbang:

1) Kalkulahin ang scalar product ng pagdidirekta ng mga vector ng mga tuwid na linya:
kaya ang mga linya ay hindi patayo.

2) Nahanap namin ang anggulo sa pagitan ng mga linya sa pamamagitan ng formula:

Gamit ang inverse function, madaling mahanap ang mismong anggulo. Sa kasong ito, ginagamit namin ang kakaiba ng arc tangent (tingnan ang Fig. Mga graph at katangian ng elementarya na pag-andar):

Sagot:

Sa sagot, ipinapahiwatig namin ang eksaktong halaga, pati na rin ang tinatayang halaga (mas mabuti sa mga degree at sa radians), na kinakalkula gamit ang isang calculator.

Well, minus, kaya minus, okay lang. Narito ang isang geometric na paglalarawan:

Hindi nakakagulat na ang anggulo ay naging negatibong oryentasyon, dahil sa kondisyon ng problema ang unang numero ay isang tuwid na linya at ang "pag-twisting" ng anggulo ay nagsimula nang tumpak mula dito.

Kung gusto mo talagang makakuha ng positibong anggulo, kailangan mong palitan ang mga tuwid na linya, iyon ay, kunin ang mga koepisyent mula sa pangalawang equation , at kunin ang mga coefficient mula sa unang equation . Sa madaling salita, kailangan mong magsimula sa isang direktang .