Tukuyin ang convergence ng d'Alembert series. Numerical series: mga kahulugan, katangian, pamantayan ng convergence, mga halimbawa, mga solusyon

pamantayan ng convergence ni d'Alembert Radikal na convergence criterion ni Cauchy Ang integral convergence criterion ni Cauchy

Ang isa sa mga karaniwang palatandaan ng paghahambing na nangyayari sa mga praktikal na halimbawa ay ang d'Alembert sign. Ang mga palatandaan ni Cauchy ay hindi gaanong karaniwan, ngunit napakapopular din. Gaya ng dati, susubukan kong ipakita ang materyal sa isang simple, naa-access at naiintindihan na paraan. Ang paksa ay hindi ang pinakamahirap, at ang lahat ng mga gawain ay stereotyped sa isang tiyak na lawak.

Si Jean Léron d'Alembert ay isang sikat na French mathematician noong ika-18 siglo. Sa pangkalahatan, dalubhasa si d'Alembert sa mga differential equation at, sa batayan ng kanyang pananaliksik, ay nakikibahagi sa ballistics, upang ang mga cannonball ng Kanyang Kamahalan ay lumipad nang mas mahusay. Kasabay nito, hindi ko nakalimutan ang tungkol sa mga numerical na serye, hindi para sa wala na ang mga ranggo ng mga tropang Napoleonic ay nagtagpo at naghiwalay nang malinaw.

Bago bumalangkas ng sign mismo, isaalang-alang natin ang isang mahalagang tanong:
Kailan dapat gamitin ang d'Alembert convergence criterion?

Magsimula muna tayo sa pag-uulit. Alalahanin ang mga kaso kung kailan kailangan mong gamitin ang pinakasikat marginal na paghahambing na pamantayan. Inilapat ang pamantayan sa paghahambing ng limitasyon kapag nasa karaniwang miyembro ng serye:
1) Ang denominator ay naglalaman ng polynomial.
2) Ang mga polynomial ay nasa numerator at denominator.
3) Ang isa o parehong polynomial ay maaaring nasa ilalim ng ugat.

Ang mga pangunahing kinakailangan para sa paglalapat ng d'Alembert sign ay ang mga sumusunod:

1) Ang karaniwang miyembro ng serye ("pagpupuno" ng serye) ay may kasamang ilang numero sa antas, halimbawa, , at iba pa. Bukod dito, hindi mahalaga kung saan matatagpuan ang bagay na ito, sa numerator o sa denominator - mahalaga na naroroon ito doon.

2) Kasama sa karaniwang termino ng serye ang factorial. Sa pamamagitan ng mga factorial, nagkrus kami ng mga espada sa aralin Pagkakasunod-sunod ng numero at ang limitasyon nito. Gayunpaman, hindi masakit na ikalat muli ang self-assembly tablecloth:

…

…

! Kapag gumagamit ng d'Alembert test, kailangan lang nating ipinta nang detalyado ang factorial. Tulad ng sa nakaraang talata, ang factorial ay maaaring matatagpuan sa itaas o ibaba ng fraction.

3) Kung mayroong "chain of factors" sa karaniwang termino ng serye, halimbawa, . Ang kasong ito ay bihira, ngunit! Kapag nag-aaral ng naturang serye, madalas na nagkakamali - tingnan ang Halimbawa 6.

Kasama ng mga kapangyarihan at (at) mga factorial, ang mga polynomial ay madalas na matatagpuan sa pagpuno ng serye, hindi nito binabago ang mga bagay - kailangan mong gamitin ang pagsubok ng d'Alembert.

Bilang karagdagan, sa pangkalahatang termino ng serye, ang antas at ang factorial ay maaaring mangyari sa parehong oras; maaaring mayroong dalawang factorial, dalawang degree, mahalaga na mayroong kahit ilan sa itinuturing na mga puntos - at ito ay isang kinakailangan lamang para sa paggamit ng d'Alembert sign.

Tanda ng d'Alembert: Pag-isipan serye ng positibong numero. Kung mayroong limitasyon ng ratio ng susunod na termino sa nauna: , kung gayon:
a) Sa isang hilera nagtatagpo. Sa partikular, ang serye ay nagtatagpo para sa .
b) Sa isang hilera diverges. Sa partikular, ang serye ay nag-iiba sa .
c) Kailan hindi sumasagot si sign. Kailangan mong gumamit ng isa pang palatandaan. Kadalasan, ang isang yunit ay nakuha sa kaso kapag sinubukan nilang ilapat ang pagsubok sa d'Alembert kung saan kinakailangang gamitin ang pagsubok sa paghahambing ng limitasyon.

Kung mayroon ka pa ring mga problema sa mga limitasyon o hindi pagkakaunawaan sa mga limitasyon, mangyaring sumangguni sa aralin Mga limitasyon. Mga halimbawa ng solusyon. Kung walang pag-unawa sa limitasyon at kakayahang ihayag pa ang kawalan ng katiyakan, sa kasamaang-palad, hindi maaaring sumulong ang isa.

At ngayon ang pinakahihintay na mga halimbawa.

Halimbawa 1

Nakikita natin na sa karaniwang termino ng serye na mayroon tayo , at ito ang tamang premise na kailangan nating gamitin ang d'Alembert test. Una, isang kumpletong solusyon at isang sample ng disenyo, mga komento sa ibaba.

Ginagamit namin ang d'Alembert test:

nagtatagpo.

(1) Buuin ang ratio ng susunod na miyembro ng serye sa nauna: . Mula sa kundisyon, nakikita natin na ang karaniwang termino ng serye . Upang makuha ang susunod na miyembro ng serye, ito ay kinakailangan palitan sa halip: .
(2) Alisin ang apat na palapag na bahagi. Sa ilang karanasan sa paglutas ng hakbang na ito, maaari mo itong laktawan.
(3) Buksan ang mga bracket sa numerator. Sa denominator ay kinuha namin ang apat mula sa degree.
(4) Bawasan ng . Inalis namin ang pare-pareho na lampas sa tanda ng limitasyon. Sa numerator, nagbibigay kami ng mga katulad na termino sa panaklong.
(5) Ang kawalan ng katiyakan ay inalis sa karaniwang paraan - sa pamamagitan ng paghahati ng numerator at denominator sa pamamagitan ng "en" sa pinakamataas na antas.
(6) Hatiin ang mga numerator sa pamamagitan ng termino ng denominator ayon sa termino, at ipahiwatig ang mga terminong may posibilidad na zero.
(7) Pinasimple namin ang sagot at gumawa ng isang tala na may konklusyon na, ayon sa d'Alembert criterion, ang serye sa ilalim ng pag-aaral ay nagtatagpo.

Sa isinasaalang-alang na halimbawa, sa pangkalahatang termino ng serye, nakatagpo kami ng polynomial ng 2nd degree. Paano kung mayroong isang polynomial ng ika-3, ika-4 o mas mataas na antas? Ang katotohanan ay kung ang isang polynomial ng isang mas mataas na antas ay ibinigay, kung gayon ang mga paghihirap ay lilitaw sa pagbubukas ng mga bracket. Sa kasong ito, maaari mong ilapat ang "turbo" na paraan ng solusyon.

Halimbawa 2

Kumuha ng katulad na serye at suriin ito para sa convergence

Una ang buong solusyon, pagkatapos ay ang mga komento:

Ginagamit namin ang d'Alembert test:

Kaya, ang serye sa ilalim ng pag-aaral nagtatagpo.

(1) Buuin ang ratio .
(2) Alisin ang apat na palapag na bahagi.
(3) Isaalang-alang ang expression sa numerator at ang expression sa denominator. Nakikita namin na sa numerator kailangan mong buksan ang mga bracket at itaas sa ikaapat na kapangyarihan: , na hindi mo gustong gawin sa lahat. Bilang karagdagan, para sa mga hindi pamilyar sa binomial ni Newton, ang gawaing ito ay maaaring hindi talaga magagawa. Suriin natin ang pinakamataas na antas: kung bubuksan natin ang mga bracket sa itaas, makukuha natin ang pinakamataas na antas. Sa ibaba ay pareho tayo ng senior degree: . Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa nakaraang halimbawa, malinaw na sa pamamagitan ng term-by-term division ng numerator at denominator sa pamamagitan ng makakakuha tayo ng isa sa limitasyon. O, gaya ng sinasabi ng mga mathematician, polynomials at - isang pagkakasunud-sunod ng paglago. Kaya, posible na bilugan ang ratio gamit ang isang simpleng lapis at agad na ipahiwatig na ang bagay na ito ay may posibilidad na pagkakaisa. Katulad nito, nakikitungo tayo sa pangalawang pares ng polynomial: at , sila rin isang pagkakasunud-sunod ng paglago, at ang kanilang ratio ay may kaugaliang pagkakaisa.

Sa katunayan, ang gayong "hack" ay maaaring gawin sa Halimbawa No. 1, ngunit para sa isang polynomial ng 2nd degree, ang gayong solusyon ay mukhang hindi pa rin karapat-dapat. Sa personal, ginagawa ko ito: kung mayroong polynomial (o polynomial) ng una o pangalawang degree, ginagamit ko ang "mahabang" paraan ng paglutas ng Halimbawa 1. Kung ang isang polynomial ng ika-3 o mas mataas na degree ay dumating, ginagamit ko ang "turbo "paraang katulad ng Halimbawa 2.

Halimbawa 3

Suriin ang serye para sa convergence

Kumpletuhin ang solusyon at sample ng disenyo sa pagtatapos ng aralin sa mga pagkakasunud-sunod ng numero.
(4) Bawasan ang lahat ng maaaring bawasan.
(5) Inililipat namin ang pare-pareho na lampas sa tanda ng limitasyon. Buksan ang mga panaklong sa numerator.
(6) Ang kawalan ng katiyakan ay inaalis sa karaniwang paraan - sa pamamagitan ng paghahati ng numerator at denominator sa "en" sa pinakamataas na antas.

Halimbawa 5

Suriin ang serye para sa convergence

Buong solusyon at sample ng disenyo sa pagtatapos ng aralin

Halimbawa 6

Suriin ang serye para sa convergence

Minsan may mga row na naglalaman ng "chain" ng mga multiplier sa kanilang pagpupuno; hindi pa namin isinasaalang-alang ang ganitong uri ng row. Paano galugarin ang isang serye na may "kadena" ng mga kadahilanan? Gamitin ang tanda ng d'Alembert. Ngunit una, upang maunawaan kung ano ang nangyayari, magsusulat kami ng isang serye nang detalyado:

Mula sa pagpapalawak, nakita namin na para sa bawat susunod na miyembro ng serye, isang karagdagang salik ang idinaragdag sa denominator, samakatuwid, kung ang karaniwang miyembro ng serye ay , ang susunod na miyembro ng serye:
. Dito sila ay madalas na nagkakamali ng awtomatiko, pormal na nagsusulat ayon sa algorithm na

Ang isang halimbawang solusyon ay maaaring magmukhang ganito:

Ginagamit namin ang d'Alembert test:

Kaya, ang serye sa ilalim ng pag-aaral nagtatagpo.

Mga palatandaan ng convergence ng serye.
Tanda ng d'Alembert. Mga palatandaan ng Cauchy

Trabaho, trabaho - at pag-unawa ay darating mamaya
J.L. d'Alembert

Congratulations sa lahat sa pagsisimula ng school year! Ngayon ay Setyembre 1, at bilang parangal sa holiday, nagpasya akong ipaalam sa mga mambabasa ang iyong inaasahan at sabik na malaman - mga palatandaan ng convergence ng numerical positive series. Ang holiday ay ang Una ng Setyembre at ang aking pagbati ay palaging may kaugnayan, okay lang kung ito ay talagang tag-araw sa labas ng bintana, ngunit ngayon ikaw ay muling kukuha ng pagsusulit sa pangatlong beses kung bibisita ka sa pahinang ito!

Para sa mga nagsisimula pa lamang sa pag-aaral ng serye, inirerekomenda ko na basahin mo muna ang artikulo Numero ng mga hilera para sa mga dummies. Actually, continuation ng piging ang cart na ito. Kaya, ngayon sa aralin ay titingnan natin ang mga halimbawa at solusyon sa mga paksa:

pagsubok ng convergence ng d'Alembert

Bago bumalangkas ng sign mismo, isaalang-alang natin ang isang mahalagang tanong:
Kailan dapat gamitin ang d'Alembert convergence criterion?

1) Ang denominator ay naglalaman ng polynomial.
2) Ang mga polynomial ay nasa numerator at denominator.
3) Ang isa o parehong polynomial ay maaaring nasa ilalim ng ugat.
4) Siyempre, maaaring magkaroon ng higit pang mga polynomial at mga ugat.

Ang mga pangunahing kinakailangan para sa paglalapat ng d'Alembert sign ay ang mga sumusunod:

1) Ang karaniwang miyembro ng serye ("pagpupuno" ng serye) ay may kasamang ilang numero sa antas, halimbawa,,, at iba pa. Bukod dito, hindi mahalaga kung saan matatagpuan ang bagay na ito, sa numerator o sa denominator - mahalaga na naroroon ito doon.

2) Kasama sa karaniwang termino ng serye ang factorial. Tinawid namin ang mga espada na may mga factorial sa aralin Numerical sequence at ang limitasyon nito. Gayunpaman, hindi masakit na ikalat muli ang self-assembly tablecloth:

…

…

! Kapag gumagamit ng d'Alembert test, kailangan lang nating ipinta nang detalyado ang factorial. Tulad ng sa nakaraang talata, ang factorial ay maaaring matatagpuan sa itaas o ibaba ng fraction.

3) Kung mayroong "chain of factors" sa karaniwang termino ng serye, halimbawa, . Ang kasong ito ay bihira, ngunit! Kapag nag-aaral ng naturang serye, madalas na nagkakamali - tingnan ang Halimbawa 6.

Bilang karagdagan, sa pangkalahatang termino ng serye, ang antas at ang factorial ay maaaring mangyari sa parehong oras; maaaring mayroong dalawang factorial, dalawang degree, mahalaga na mayroong kahit ano ng mga puntong isinasaalang-alang - at ito ay isang kinakailangan lamang para sa paggamit ng d'Alembert sign.

Tanda ng d'Alembert: Pag-isipan serye ng positibong numero. Kung mayroong limitasyon ng ratio ng susunod na termino sa nauna: , kung gayon:
a) Sa isang hilera nagtatagpo
b) Sa isang hilera diverges
c) Kailan hindi sumasagot si sign. Kailangan mong gumamit ng isa pang palatandaan. Kadalasan, ang isang yunit ay nakukuha kapag sinubukan nilang ilapat ang pagsubok sa d'Alembert kung saan kinakailangang gamitin ang pagsubok sa paghahambing ng limitasyon.

At ngayon ang pinakahihintay na mga halimbawa.

Halimbawa 1

Ginagamit namin ang d'Alembert test:

nagtatagpo.
(1) Buuin ang ratio ng susunod na miyembro ng serye sa nauna: . Mula sa kundisyon, nakikita natin na ang karaniwang termino ng serye . Upang makuha ang susunod na miyembro ng serye, kailangan mo HALIP kapalit: .
(2) Alisin ang apat na palapag na bahagi. Sa ilang karanasan sa paglutas ng hakbang na ito, maaari mo itong laktawan.
(3) Buksan ang mga bracket sa numerator. Sa denominator ay kinuha namin ang apat mula sa degree.
(4) Bawasan ng . Inalis namin ang pare-pareho na lampas sa tanda ng limitasyon. Sa numerator, nagbibigay kami ng mga katulad na termino sa panaklong.
(5) Ang kawalan ng katiyakan ay inalis sa karaniwang paraan - sa pamamagitan ng paghahati ng numerator at denominator sa pamamagitan ng "en" sa pinakamataas na antas.
(6) Hatiin ang mga numerator sa pamamagitan ng termino ng denominator ayon sa termino, at ipahiwatig ang mga terminong may posibilidad na zero.
(7) Pinasimple namin ang sagot at gumawa ng isang tala na may konklusyon na, ayon sa d'Alembert criterion, ang serye sa ilalim ng pag-aaral ay nagtatagpo.

Halimbawa 2

Kumuha ng katulad na serye at suriin ito para sa convergence

Una ang buong solusyon, pagkatapos ay ang mga komento:

Ginagamit namin ang d'Alembert test:

Kaya, ang serye sa ilalim ng pag-aaral nagtatagpo.

(1) Buuin ang ratio .

(3) Isaalang-alang ang ekspresyon sa numerator at ang expression sa denominator. Nakikita namin na sa numerator kailangan mong buksan ang mga bracket at itaas sa ikaapat na kapangyarihan: , na hindi mo gustong gawin sa lahat. At para sa mga hindi pamilyar sa binomial ni Newton, ang gawaing ito ay magiging mas mahirap. Suriin natin ang mas mataas na antas: kung bubuksan natin ang mga bracket sa itaas , pagkatapos ay makuha namin ang pinakamataas na antas . Sa ibaba ay pareho tayo ng senior degree: . Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa nakaraang halimbawa, malinaw na sa pamamagitan ng term-by-term division ng numerator at denominator sa pamamagitan ng makakakuha tayo ng isa sa limitasyon. O, gaya ng sinasabi ng mga mathematician, polynomials at - isang pagkakasunud-sunod ng paglago. Kaya, ito ay lubos na posible upang bilugan ang kaugnayan gamit ang isang simpleng lapis at agad na ipahiwatig na ang bagay na ito ay may gawi sa isa. Katulad nito, nakikitungo tayo sa pangalawang pares ng polynomial: at , sila rin isang pagkakasunud-sunod ng paglago, at ang kanilang ratio ay may kaugaliang pagkakaisa.

Sa katunayan, ang ganitong "hack" ay maaaring gawin sa Halimbawa No. 1, ngunit para sa isang polynomial ng 2nd degree, ang gayong solusyon ay mukhang hindi pa rin karapat-dapat. Sa personal, ginagawa ko ito: kung mayroong polynomial (o polynomial) ng una o pangalawang degree, ginagamit ko ang "mahabang" paraan ng paglutas ng Halimbawa 1. Kung ang isang polynomial ng ika-3 o mas mataas na degree ay dumating, ginagamit ko ang "turbo "paraang katulad ng Halimbawa 2.

Halimbawa 3

Suriin ang serye para sa convergence

Isaalang-alang ang mga karaniwang halimbawa na may mga factorial:

Halimbawa 4

Suriin ang serye para sa convergence

Kasama sa karaniwang termino ng serye ang parehong antas at factorial. Ito ay malinaw bilang liwanag ng araw na d'Alembert's sign ay dapat gamitin dito. Kami ang magdedesisyon.

Kaya, ang serye sa ilalim ng pag-aaral diverges.
(1) Buuin ang ratio . Ulit ulit tayo. Ayon sa kundisyon, ang karaniwang termino ng serye: . Upang makuha ang susunod na miyembro ng serye, dapat palitan sa halip, kaya: .
(2) Alisin ang apat na palapag na bahagi.
(3) Kinurot namin ang pito mula sa degree. Ang mga factorial ay inilarawan nang detalyado. Paano ito gawin - tingnan ang simula ng aralin o ang artikulo sa pagkakasunud-sunod ng mga numero.
(4) Bawasan ang lahat ng maaaring bawasan.
(5) Inililipat namin ang pare-pareho na lampas sa tanda ng limitasyon. Buksan ang mga panaklong sa numerator.
(6) Ang kawalan ng katiyakan ay inaalis sa karaniwang paraan - sa pamamagitan ng paghahati ng numerator at denominator sa "en" sa pinakamataas na antas.

Halimbawa 5

Suriin ang serye para sa convergence

Buong solusyon at sample ng disenyo sa pagtatapos ng aralin

Halimbawa 6

Suriin ang serye para sa convergence

Mula sa pagpapalawak, nakita namin na para sa bawat susunod na miyembro ng serye, isang karagdagang kadahilanan ang idinaragdag sa denominator, samakatuwid, kung ang karaniwang miyembro ng serye , pagkatapos ay ang susunod na termino ng serye:
. Dito sila ay madalas na nagkakamali ng awtomatiko, pormal na nagsusulat ayon sa algorithm na

Ang isang halimbawang solusyon ay maaaring magmukhang ganito:

Ginagamit namin ang d'Alembert test:

Kaya, ang serye sa ilalim ng pag-aaral nagtatagpo.

Ang radikal na tanda ni Cauchy

Si Augustin Louis Cauchy ay isang mas sikat na French mathematician. Maaaring sabihin sa iyo ng sinumang mag-aaral ng isang teknikal na espesyalidad ang talambuhay ni Cauchy. Sa pinakamagandang kulay. Ito ay hindi nagkataon na ang apelyido na ito ay inukit sa unang palapag ng Eiffel Tower.

Ang Cauchy convergence test para sa positibong numerical series ay medyo katulad ng d'Alembert test na isinasaalang-alang lang.

Ang radikal na tanda ni Cauchy: Isipin mo serye ng positibong numero. Kung may limitasyon: , kung gayon:
a) Sa isang hilera nagtatagpo. Sa partikular, ang serye ay nagtatagpo para sa .
b) Sa isang hilera diverges. Sa partikular, ang serye ay nag-iiba sa .
c) Kailan hindi sumasagot si sign. Kailangan mong gumamit ng isa pang palatandaan. Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na kung ang pagsubok ng Cauchy ay hindi nagbibigay sa amin ng isang sagot sa tanong ng tagpo ng serye, kung gayon ang pagsubok ng d'Alembert ay hindi rin magbibigay ng sagot. Ngunit kung ang tanda ni d'Alembert ay hindi nagbibigay ng sagot, kung gayon ang tanda ni Cauchy ay maaaring "gumana". Iyon ay, ang Cauchy sign ay sa ganitong kahulugan ay isang mas malakas na tanda.

Kailan mo dapat gamitin ang Cauchy radical sign? Ang radical sign ni Cauchy ay karaniwang ginagamit sa mga kaso kung saan ang ugat na "mabuti" ay kinuha mula sa isang karaniwang termino sa serye. Bilang isang patakaran, ang paminta na ito ay nasa antas, na nakasalalay sa. Mayroon pa ring mga kakaibang kaso, ngunit hindi namin martilyo ang aming mga ulo sa kanila.

Halimbawa 7

Suriin ang serye para sa convergence

Nakikita namin na ang fraction ay ganap na nasa ilalim ng degree depende sa "en", na nangangahulugan na kailangan naming gamitin ang radical Cauchy criterion:

Kaya, ang serye sa ilalim ng pag-aaral diverges.

(1) Ginagawa namin ang karaniwang termino ng serye sa ilalim ng ugat.

(2) Sinusulat namin muli ang parehong bagay, tanging walang ugat, gamit ang pag-aari ng mga degree.
(3) Sa exponent, hinahati namin ang numerator sa termino ng denominator ayon sa termino, na nagpapahiwatig na
(4) Bilang resulta, mayroon tayong kawalan ng katiyakan . Dito maaari kang pumunta sa isang mahabang paraan: kubo, kubo, pagkatapos ay hatiin ang numerator at denominator sa pamamagitan ng "en" sa kubo. Ngunit sa kasong ito, mayroong isang mas mahusay na solusyon: ang pamamaraan na ito ay maaaring gamitin nang direkta sa ilalim ng degree-constant. Upang alisin ang kawalan ng katiyakan, hinahati namin ang numerator at denominator sa (pinakamataas na antas ng polynomial).

(5) Nagsasagawa kami ng term-by-term division, at ipinapahiwatig ang mga terminong may posibilidad na zero.
(6) Dinadala namin ang sagot sa isip, markahan iyon at tapusin na ang serye ay nag-iiba.

At narito ang isang mas simpleng halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon:

Halimbawa 8

Suriin ang serye para sa convergence

At ilang mas karaniwang mga halimbawa.

Buong solusyon at sample ng disenyo sa pagtatapos ng aralin

Halimbawa 9

Suriin ang serye para sa convergence
Ginagamit namin ang radical Cauchy test:

Kaya, ang serye sa ilalim ng pag-aaral nagtatagpo.

(1) Ilagay ang karaniwang termino ng serye sa ilalim ng ugat.

(2) Sinusulat namin muli ang parehong bagay, ngunit walang ugat, habang binubuksan ang mga bracket gamit ang pinaikling formula ng multiplikasyon: .
(3) Sa exponent, hinahati namin ang numerator sa termino ng denominator ayon sa termino at ipahiwatig na .
(4) Ang isang kawalan ng katiyakan ng form ay nakuha, at dito, masyadong, ang paghahati ay maaaring isagawa nang direkta sa ibaba ng antas. Ngunit sa isang kondisyon: ang mga coefficient sa mas mataas na kapangyarihan ng polynomials ay dapat na iba. Magkakaiba ang mga ito (5 at 6), at samakatuwid posible (at kinakailangan) na hatiin ang parehong palapag. Kung ang mga coefficient na ito ay pareho, halimbawa (1 at 1): , hindi gagana ang trick na ito at kailangan mong gamitin pangalawang kahanga-hangang limitasyon. Kung naaalala mo, ang mga subtleties na ito ay isinasaalang-alang sa huling talata ng artikulo. Limitahan ang Mga Paraan ng Paglutas.

(5) Talagang nagsasagawa kami ng term-by-term division at ipinapahiwatig kung aling mga termino ang may posibilidad na maging zero sa aming kaso.
(6) Ang kawalan ng katiyakan ay inalis, tayo ay naiwan sa pinakasimpleng limitasyon: . Bakit sa walang hanggan malaki degree ay may posibilidad na zero? Dahil ang batayan ng antas ay nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay. Kung ang sinuman ay may pagdududa tungkol sa bisa ng limitasyon , pagkatapos ay hindi ako masyadong tamad, kukuha ako ng calculator:
Kung , kung gayon
Kung , kung gayon
Kung , kung gayon
Kung , kung gayon
Kung , kung gayon
… atbp. hanggang sa kawalang-hanggan - iyon ay, sa limitasyon:

Pareho lang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad sa daliri =)
! Huwag kailanman gamitin ang pamamaraan na ito bilang ebidensya! Sapagkat kung ang isang bagay ay halata, hindi ito nangangahulugan na ito ay tama.

(7) Ipinapahiwatig namin iyon at napagpasyahan namin na ang serye ay nagtatagpo.

Halimbawa 10

Suriin ang serye para sa convergence

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself.

Minsan ang isang nakakapukaw na halimbawa ay inaalok para sa isang solusyon, halimbawa:. Dito sa exponent walang "en", pare-pareho lang. Dito kailangan mong i-square ang numerator at denominator (lalabas ang mga polynomial), at pagkatapos ay sundin ang algorithm mula sa artikulo Mga hilera para sa mga teapot. Sa ganitong halimbawa, dapat gumana ang alinman sa kinakailangang pamantayan para sa convergence ng serye o ang limitasyong pamantayan para sa paghahambing.

Integral Cauchy na pagsubok

O isang mahalagang tampok lamang. Biguin ko ang mga hindi natutunan ang materyal ng unang kurso. Upang mailapat ang Cauchy integral criterion, kinakailangan na higit pa o hindi gaanong kumpiyansa na makahanap ng mga derivatives, integral, at magkaroon din ng kasanayan sa pagkalkula hindi wastong integral unang uri.

Sa calculus textbooks integral Cauchy sign ibinigay nang mahigpit sa matematika, ngunit masyadong nalilito, kaya bubuo ako ng tampok na hindi masyadong mahigpit, ngunit malinaw:

Isipin mo serye ng positibong numero. Kung mayroong isang hindi wastong integral, kung gayon ang serye ay nagtatagpo o nag-iiba kasama ng integral na ito.

At narito ang ilang mga halimbawa para sa paglilinaw:

Halimbawa 11

Suriin ang serye para sa convergence

Halos isang klasiko. Natural logarithm at ilang kalokohan.

Ang pangunahing kinakailangan para sa paggamit ng integral Cauchy test ay ang katotohanan na ang karaniwang termino ng serye ay naglalaman ng mga salik na katulad ng ilang function at ang hinango nito. Mula sa paksa

Bago bumalangkas ng sign mismo, isaalang-alang natin ang isang mahalagang tanong:
Kailan dapat gamitin ang d'Alembert convergence criterion?

Ang mga pangunahing kinakailangan para sa paglalapat ng d'Alembert sign ay ang mga sumusunod:

2) Kasama sa karaniwang termino ng serye ang factorial. Ano ang factorial? Walang kumplikado, ang factorial ay isang nakatiklop na talaan lamang ng produkto:

…

…

! Kapag gumagamit ng d'Alembert test, kailangan lang nating ipinta nang detalyado ang factorial. Tulad ng sa nakaraang talata, ang factorial ay maaaring matatagpuan sa itaas o ibaba ng fraction.

3) Kung mayroong "chain of factors" sa karaniwang termino ng serye, halimbawa, . Ang kasong ito ay bihira, ngunit! Kapag nag-aaral ng naturang serye, madalas na nagkakamali - tingnan ang Halimbawa 6.

Bilang karagdagan, sa pangkalahatang termino ng serye, ang antas at ang factorial ay maaaring mangyari sa parehong oras; maaaring mayroong dalawang factorial, dalawang degree, mahalaga na mayroong kahit ano ng mga puntong isinasaalang-alang - at ito ay isang kinakailangan lamang para sa paggamit ng d'Alembert sign.

Tanda ng d'Alembert: Pag-isipan serye ng positibong numero. Kung mayroong limitasyon ng ratio ng susunod na termino sa nauna: , kung gayon:
a) Sa isang hilera nagtatagpo
b) Sa isang hilera diverges
c) Kailan hindi sumasagot si sign. Kailangan mong gumamit ng isa pang palatandaan. Kadalasan, ang isang yunit ay nakuha sa kaso kapag sinubukan nilang ilapat ang pagsubok sa d'Alembert kung saan kinakailangang gamitin ang pagsubok sa paghahambing ng limitasyon.

Para sa mga may problema pa rin sa mga limitasyon o hindi pagkakaunawaan sa mga limitasyon, mangyaring sumangguni sa paksa Mga limitasyon. Mga halimbawa ng solusyon. Kung walang pag-unawa sa limitasyon at kakayahang ihayag pa ang kawalan ng katiyakan, sa kasamaang-palad, hindi maaaring sumulong ang isa. At ngayon ang pinakahihintay na mga halimbawa.

Halimbawa 1
Nakikita natin na sa karaniwang termino ng serye na mayroon tayo , at ito ang tamang premise na kailangan nating gamitin ang d'Alembert test. Una, isang kumpletong solusyon at isang sample ng disenyo, mga komento sa ibaba.

Ginagamit namin ang d'Alembert test:

nagtatagpo.

Halimbawa 2 Kumuha ng katulad na serye at suriin ito para sa convergence
Una ang buong solusyon, pagkatapos ay ang mga komento:

Ginagamit namin ang d'Alembert test:

Kaya, ang serye sa ilalim ng pag-aaral nagtatagpo.

Halimbawa 3 .

Isaalang-alang ang mga karaniwang halimbawa na may mga factorial:

Halimbawa 4 Suriin ang serye para sa convergence

Kasama sa karaniwang termino ng serye ang parehong antas at factorial. Ito ay malinaw bilang liwanag ng araw na d'Alembert's sign ay dapat gamitin dito. Kami ang magdedesisyon.

Kaya, ang serye sa ilalim ng pag-aaral diverges.

(1) Buuin ang ratio . Ulit ulit tayo. Ayon sa kundisyon, ang karaniwang termino ng serye: . Upang makuha ang susunod na miyembro ng serye, dapat palitan sa halip, kaya: .
(2) Alisin ang apat na palapag na bahagi.
(3) Kinurot namin ang pito mula sa degree. Ang mga factorial ay inilarawan nang detalyado. Paano ito gagawin - tingnan ang simula ng aralin.
(4) Bawasan ang lahat ng maaaring bawasan.
(5) Inililipat namin ang pare-pareho na lampas sa tanda ng limitasyon. Buksan ang mga panaklong sa numerator.
(6) Ang kawalan ng katiyakan ay inaalis sa karaniwang paraan - sa pamamagitan ng paghahati ng numerator at denominator sa "en" sa pinakamataas na antas.

Halimbawa 5 Suriin ang serye para sa convergence Ang buong solusyon ay nasa ibaba.

Halimbawa 6 Suriin ang serye para sa convergence

Maaaring ganito ang hitsura ng isang halimbawang solusyon: Gamit ang d'Alembert test:
Kaya, ang serye sa ilalim ng pag-aaral nagtatagpo.
RADICAL CAUCHY SIGN

Ang Cauchy convergence test para sa positibong numerical series ay medyo katulad ng d'Alembert test na isinasaalang-alang lang.

Ang radikal na tanda ni Cauchy: Isipin mo serye ng positibong numero. Kung may limitasyon: , kung gayon:
a) Sa isang hilera nagtatagpo. Sa partikular, ang serye ay nagtatagpo para sa .
b) Sa isang hilera diverges. Sa partikular, ang serye ay nag-iiba sa .
c) Kailan hindi sumasagot si sign. Kailangan mong gumamit ng isa pang palatandaan. Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na kung ang pagsubok ng Cauchy ay hindi nagbibigay sa amin ng isang sagot sa tanong ng tagpo ng serye, kung gayon ang pagsubok ng d'Alembert ay hindi rin magbibigay sa amin ng sagot. Ngunit kung ang tanda ni d'Alembert ay hindi nagbibigay ng sagot, kung gayon ang tanda ni Cauchy ay maaaring "gumana". Iyon ay, ang Cauchy sign ay sa ganitong kahulugan ay isang mas malakas na tanda.

Kailan mo dapat gamitin ang Cauchy radical sign? Ang radical Cauchy test ay karaniwang ginagamit sa mga kaso kung saan ang karaniwang termino ng serye LUBOS ay nasa degree nakasalalay sa "en". O kapag ang ugat na "mabuti" ay nakuha mula sa karaniwang miyembro ng serye. Mayroon pa ring mga kakaibang kaso, ngunit hindi namin martilyo ang aming mga ulo sa kanila.

Halimbawa 7 Suriin ang serye para sa convergence

Nakikita namin na ang karaniwang termino ng serye ay ganap na nasa ilalim ng antas depende sa , na nangangahulugang kailangan naming gamitin ang radical Cauchy test:

Kaya, ang serye sa ilalim ng pag-aaral diverges.

(1) Ginagawa namin ang karaniwang termino ng serye sa ilalim ng ugat.
(2) Sinusulat namin muli ang parehong bagay, tanging walang ugat, gamit ang pag-aari ng mga degree.
(3) Sa exponent, hinahati namin ang numerator sa termino ng denominator ayon sa termino, na nagpapahiwatig na
(4) Bilang resulta, mayroon tayong kawalan ng katiyakan . Dito maaari kang pumunta sa isang mahabang paraan: cube, cube, pagkatapos ay hatiin ang numerator at denominator sa pamamagitan ng "en" sa pinakamataas na antas. Ngunit sa kasong ito, mayroong isang mas mahusay na solusyon: maaari mong hatiin ang numerator at denominator term-by-term sa ibaba mismo ng degree-constant. Upang alisin ang kawalan ng katiyakan, hinahati namin ang numerator at denominator sa (pinakamataas na kapangyarihan).
(5) Talagang ginagawa namin ang paghahati ayon sa termino, at ipinapahiwatig ang mga termino na may posibilidad na zero.
(6) Dinadala namin ang sagot sa isip, markahan iyon at tapusin na ang serye ay nag-iiba.

At narito ang isang mas simpleng halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon:

Halimbawa 8 Suriin ang serye para sa convergence

At ilang mas karaniwang mga halimbawa.

Ang buong solusyon at sample na disenyo ay nasa ibaba.

Halimbawa 9 Suriin ang serye para sa convergence
Ginagamit namin ang radical Cauchy test:

Kaya, ang serye sa ilalim ng pag-aaral nagtatagpo.

(1) Ilagay ang karaniwang termino ng serye sa ilalim ng ugat.
(2) Sinusulat namin muli ang parehong bagay, ngunit walang ugat, habang binubuksan ang mga bracket gamit ang pinaikling formula ng multiplikasyon: .
(3) Sa exponent, hinahati namin ang numerator sa termino ng denominator ayon sa termino at ipahiwatig na .
(4) Ang isang kawalan ng katiyakan ng form ay nakuha. Dito maaari mong hatiin ang numerator sa denominator sa pamamagitan ng "en" sa pinakamataas na antas mismo sa bracket. May na-encounter kaming katulad noong nag-aaral pangalawang kapansin-pansing limitasyon. Ngunit dito iba ang sitwasyon. Kung ang mga coefficient sa mas mataas na kapangyarihan ay pareho, halimbawa: , kung gayon ang panlilinlang na may term-by-term division ay hindi sana pumasa, at ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon ay kailangang gamitin. Ngunit mayroon kaming mga coefficient na ito iba-iba(5 at 6), samakatuwid posible (at kinakailangan) na hatiin ang termino sa pamamagitan ng termino (sa pamamagitan ng paraan, sa kabaligtaran - ang pangalawang kamangha-manghang limitasyon para sa magkaiba ang mga coefficient sa mas mataas na kapangyarihan ay hindi na gumagana).
(5) Talagang nagsasagawa kami ng term-by-term division at ipinapahiwatig kung aling mga termino ang may posibilidad na maging zero sa aming kaso.
(6) Ang kawalan ng katiyakan ay inalis, ang pinakasimpleng limitasyon ay nananatili: Bakit nasa walang hanggan malaki degree ay may posibilidad na zero? Dahil ang batayan ng antas ay nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay. Kung ang sinuman ay may pagdududa tungkol sa pagiging patas ng limitasyon, kung gayon hindi ako magiging tamad, kukuha ako ng isang calculator:
Kung , kung gayon
Kung , kung gayon
Kung , kung gayon
Kung , kung gayon
Kung , kung gayon
… atbp. hanggang sa kawalang-hanggan - iyon ay, sa limitasyon:
(7) Ipinapahiwatig namin iyon at napagpasyahan namin na ang serye ay nagtatagpo.

Halimbawa 10 Suriin ang serye para sa convergence

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself.

Biguin ko ang mga hindi natutunan ang materyal ng unang kurso. Upang mailapat ang Cauchy integral criterion, kinakailangan na higit pa o hindi gaanong kumpiyansa na makahanap ng mga derivatives, integral, at magkaroon din ng kasanayan sa pagkalkula hindi wastong integral unang uri. Sa mga aklat-aralin sa mathematical analysis, ang Cauchy integral criterion ay ibinigay sa matematika na mahigpit; ipaalam sa amin bumalangkas ang criterion sa isang napaka-primitive, ngunit naiintindihan na paraan. At agad na mga halimbawa para sa paglilinaw.

Integral Cauchy sign: Isipin mo serye ng positibong numero. Ang seryeng ito ay nagtatagpo o naghihiwalay

Halimbawa 11 Suriin ang serye para sa convergence

Halos isang klasiko. Natural logarithm at ilang kalokohan.

Ang pangunahing kinakailangan para sa paggamit ng integral Cauchy test ay ang katotohanan na ang karaniwang miyembro ng serye ay naglalaman ng ilang function at ang hinango nito. Mula sa paksa Derivative malamang na natatandaan mo ang pinakasimpleng tabular na bagay: , at mayroon kaming ganoong kanonikal na kaso.

Paano gamitin ang integral sign? Una, kinukuha namin ang integral na icon at muling isulat ang itaas at mas mababang mga limitasyon mula sa "counter" ng row: . Pagkatapos, sa ilalim ng integral, muling isinulat namin ang "pagpupuno" ng hilera na may titik na "siya":. May kulang ..., oh, oo, kailangan mo ring magdikit ng differential icon sa numerator: .

Ngayon kailangan nating kalkulahin ang hindi wastong integral. Sa kasong ito, posible ang dalawang kaso:

1) Kung ito ay lumabas na ang integral ay nagtatagpo, ang aming serye ay magsasama rin.

2) Kung ito ay lumabas na ang integral ay magkakaiba, ang aming serye ay magkakaiba din.

Uulitin ko, kung tumatakbo ang materyal, kung gayon ang pagbabasa ng talata ay magiging mahirap at malabo, dahil ang aplikasyon ng tampok ay mahalagang bumaba sa pagkalkula hindi wastong integral unang uri.

Ang kumpletong solusyon at disenyo ng halimbawa ay dapat magmukhang ganito:

Ginagamit namin ang mahalagang tampok:

Kaya, ang serye sa ilalim ng pag-aaral diverges kasama ang kaukulang di-wastong integral.

Halimbawa 12 Suriin ang serye para sa convergence

Solusyon at halimbawang disenyo sa pagtatapos ng aralin

Sa mga halimbawang isinasaalang-alang, ang logarithm ay maaari ding nasa ilalim ng ugat, hindi nito mababago ang paraan ng solusyon.

At dalawa pang halimbawa para sa meryenda

Halimbawa 13 Suriin ang serye para sa convergence

Ayon sa karaniwang "mga parameter", ang karaniwang termino ng serye ay tila angkop para sa paggamit ng pamantayan sa paghahambing ng limitasyon. Kailangan mo lamang buksan ang mga bracket at agad na ibigay sa kandidato upang ihambing ang seryeng ito sa convergent series hangga't maaari. Gayunpaman, ako ay isang maliit na tuso, ang mga bracket ay maaaring hindi mabuksan, ngunit ang lahat ng parehong, ang solusyon sa pamamagitan ng limitasyon paghahambing criterion ay magmukhang sa halip mapagpanggap.

Samakatuwid, ginagamit namin ang integral Cauchy test:

Ang integrand ay tuloy-tuloy sa

nagtatagpo kasama ang kaukulang di-wastong integral.

! Tandaan:natanggap na numero -ay hindi ang kabuuan ng serye!

Halimbawa 14 Suriin ang serye para sa convergence

Solusyon at template ng disenyo sa dulo ng seksyon na magtatapos.

Upang sa wakas at hindi na mababawi na makabisado ang paksa ng serye ng numero, bisitahin ang mga paksa.

Mga solusyon at sagot:

Halimbawa 3:Ginagamit namin ang d'Alembert test:

Kaya, ang serye sa ilalim ng pag-aaral diverges.
Tandaan: Maaari mo ring gamitin ang "turbo" na paraan ng solusyon: agad na bilugan ang ratio gamit ang isang lapis, ipahiwatig na ito ay may posibilidad sa pagkakaisa at gumawa ng isang tala: "sa parehong pagkakasunud-sunod ng paglago."

Halimbawa 5: Gamit ang d'Alembert test: Kaya, ang seryeng pinag-aaralan nagtatagpo.

Halimbawa 8:

Kaya, ang serye sa ilalim ng pag-aaral nagtatagpo.

Halimbawa 10:
Ginagamit namin ang radical Cauchy test.

Kaya, ang serye sa ilalim ng pag-aaral diverges.
Tandaan: Narito ang base ng degree, kaya

Halimbawa 12: Ginagamit namin ang integral feature.

Ang isang may hangganang numero ay nakuha, na nangangahulugan na ang serye na pinag-aaralan nagtatagpo

Halimbawa 14: Ginagamit namin ang integral sign
Ang integrand ay tuloy-tuloy sa .

Kaya, ang serye sa ilalim ng pag-aaral diverges kasama ang kaukulang di-wastong integral.
Tandaan: Maaari ding tuklasin ang isang serye gamit angLimitahan ang paghahambing na pamantayan . Upang gawin ito, kailangan mong buksan ang mga bracket sa ilalim ng ugat at ihambing ang serye sa ilalim ng pag-aaral sa magkakaibang serye.

Alternating row. Leibniz sign. Mga halimbawa ng solusyon

Upang maunawaan ang mga halimbawa ng araling ito, kinakailangang maging bihasa sa positibong serye ng numero: upang maunawaan kung ano ang isang serye, upang malaman ang kinakailangang tanda ng tagpo ng serye, upang makapaglapat ng mga palatandaan ng paghahambing, d' Tanda ni Alembert, mga palatandaan ni Cauchy. Ang paksa ay maaaring itaas halos mula sa simula sa pamamagitan ng sunud-sunod na pag-aaral sa mga artikulo Mga hilera para sa mga teapot at Tanda ng d'Alembert. Mga palatandaan ng Cauchy. Logically, ang araling ito ay ang pangatlo sa isang hilera, at ito ay magbibigay-daan hindi lamang upang maunawaan ang mga alternating row, ngunit din upang pagsamahin ang materyal na sakop na! Magkakaroon ng kaunting bago, at hindi magiging mahirap na makabisado ang mga alternating row. Ang lahat ay simple at abot-kaya.

Ano ang alternating series? Ito ay malinaw o halos malinaw na mula sa pangalan mismo. Ang pinakasimpleng halimbawa kaagad. Isaalang-alang ang serye at isulat ito nang mas detalyado:

Ngayon para sa killer comment. Ang mga miyembro ng isang alternating series ay kahaliling mga palatandaan: plus, minus, plus, minus, plus, minus, atbp. sa kawalang-hanggan.
Ang interleaving ay nagbibigay ng multiplier: kung kahit na, pagkatapos ay magkakaroon ng plus sign, kung kakaiba, isang minus sign. Sa mathematical jargon, ang contraption na ito ay tinatawag na flasher. Kaya, ang alternating serye ay "nakikilala" sa pamamagitan ng minus one sa kapangyarihan ng "en".

Sa mga praktikal na halimbawa, ang paghahalili ng mga miyembro ng serye ay maaaring magbigay hindi lamang ng kadahilanan , kundi pati na rin sa mga kapatid nito: , , , …. Halimbawa:

Ang pitfall ay "tricks":,, etc. ay tulad ng mga multiplier huwag magbigay ng pagbabago ng tanda. Ito ay lubos na malinaw na para sa anumang natural na : , , . Ang mga row na may mga trick ay hindi lamang nadudulas sa mga espesyal na mahuhusay na mag-aaral, paminsan-minsan ay lumilitaw ang mga ito "mag-isa" sa kurso ng paglutas functional na mga hilera.

Paano suriin ang isang alternating series para sa convergence? Gamitin ang Leibniz sign. Hindi ko nais na pag-usapan ang tungkol sa higanteng pag-iisip ng Aleman na si Gottfried Wilhelm Leibniz, dahil bilang karagdagan sa mga gawaing matematika, nag-alis siya ng ilang mga volume sa pilosopiya. Delikado sa utak.

Leibniz sign: Kung ang mga miyembro ng alternating series monotonously bawasan ang modulo, pagkatapos ay nagtatagpo ang serye. O sa dalawang talata:

2) Ang mga tuntunin ng serye ay bumababa sa modulo: . Bukod dito, bumababa sila nang monotonically.

Kung natupad pareho kundisyon, pagkatapos ay nagtatagpo ang serye.

Ang maikling impormasyon tungkol sa modyul ay ibinigay sa manwalMga Formula sa Hot School Mathematics , ngunit muli para sa kaginhawaan:

Ano ang ibig sabihin ng "modulo"? Ang module, tulad ng naaalala natin mula sa paaralan, ay "kumakain" ng minus sign. Balik tayo sa serye. Itak burahin ang lahat ng mga palatandaan na may isang pambura at tingnan ang mga numero. Makikita natin yan bawat susunod miyembro ng hilera mas maliit kaysa sa nauna. Kaya, pareho ang ibig sabihin ng mga sumusunod na parirala:

– Mga miyembro ng isang serye walang tanda bumaba.
– Ang mga miyembro ng serye ay bumababa modulo.
– Ang mga miyembro ng serye ay bumababa sa ganap na halaga.
– Module ang karaniwang termino ng serye ay may posibilidad na zero: Katapusan ng tulong

Ngayon ay pag-usapan natin nang kaunti ang tungkol sa monotony. Ang monotony ay nakakainip na patuloy.

Mga miyembro ng row mahigpit na monotone bawasan ang modulo kung BAWAT SUSUNOD na miyembro ng serye modulo Mas mababa kaysa sa nakaraan: . Para sa serye, ang isang mahigpit na monotonicity ng pagbaba ay ginanap, maaari itong isulat nang detalyado:

At masasabi natin sa madaling salita: bawat susunod na miyembro ng serye modulo mas mababa kaysa sa nauna: .

Mga miyembro ng row hindi mahigpit na monotone pagbaba sa modulus, kung ANG BAWAT SUSUNOD na termino ng serye modulo AY HINDI HIGIT SA nauna: . Isaalang-alang natin ang isang serye na may factorial: Dito, nagaganap ang hindi mahigpit na monotonicity, dahil ang unang dalawang termino ng serye ay may parehong modulus. Ibig sabihin, bawat susunod na miyembro ng serye modulo hindi hihigit sa nauna: .

Sa ilalim ng mga kondisyon ng teorama ni Leibniz, ang monotonicity ng pagbaba ay dapat matugunan (hindi mahalaga kung ito ay mahigpit o hindi mahigpit). Sa kasong ito, ang mga miyembro ng serye ay maaaring kahit dagdagan ang modulo ng ilang panahon, ngunit ang "buntot" ng serye ay dapat na monotonically bumababa. Hindi na kailangang matakot sa naipon ko, ang mga praktikal na halimbawa ay maglalagay ng lahat sa lugar nito:

Halimbawa 1 Suriin ang serye para sa convergence

Kasama sa karaniwang termino ng serye ang factor , na nangangahulugan na kailangan mong gamitin ang Leibniz test

1) Sinusuri ang hilera para sa paghahalili. Karaniwan, sa puntong ito ng desisyon, ang serye ay inilarawan nang detalyado at ang hatol na "Ang serye ay alternating in sign" ay ipinapasa.

2) Nababawasan ba ng mga tuntunin ng serye ang modulo? Ito ay kinakailangan upang malutas ang limitasyon, na kung saan ay madalas na napaka-simple.

– ang mga tuntunin ng serye ay hindi bumababa sa modulo. Sa pamamagitan ng paraan, hindi na kailangan para sa pangangatwiran tungkol sa monotonicity ng pagbaba. Konklusyon: ang serye ay nag-iiba.

Paano malaman kung ano ang pantay? Napakasimple. Tulad ng alam mo, sinisira ng module ang mga minus, kaya upang makabawi, kailangan mo lamang alisin ang kumikislap na beacon mula sa bubong. Sa kasong ito, ang karaniwang termino ng serye ay . Tanga-tangang tanggalin ang "flasher":.

Halimbawa 2 Suriin ang serye para sa convergence

Ginagamit namin ang Leibniz sign:

1) Ang serye ay papalit-palit ng tanda.

2) - ang mga tuntunin ng serye ay bumaba sa ganap na halaga. Ang bawat susunod na termino ng serye ay mas mababa sa modulus kaysa sa nauna: kaya, ang pagbaba ay monotonous.

Konklusyon: ang serye ay nagtatagpo.

Ang lahat ay magiging napaka-simple - ngunit hindi ito ang katapusan ng solusyon!

Kung ang serye ay nagtatagpo ayon sa pagsubok ng Leibniz, kung gayon ang serye ay sinasabing ganoon din converges na may kondisyon.

Kung ang serye na binubuo ng mga module ay nagtatagpo din: , pagkatapos ay sinasabi namin na ang serye ganap na nagtatagpo.

Samakatuwid, ang pangalawang yugto ng paglutas ng isang tipikal na gawain ay nasa agenda - ang pag-aaral ng isang alternating serye para sa ganap na convergence.

Hindi ako nagkasala - tulad ng isang teorya ng serye ng numero =)

Sinusuri namin ang aming serye para sa ganap na convergence.
Bumuo tayo ng isang serye ng mga module - muli ay tinanggal lamang natin ang kadahilanan, na nagsisiguro sa paghalili ng mga palatandaan: - diverges (harmonic series).

Kaya, ang aming serye ay hindi ganap na nagtatagpo.
Serye ng Pag-aaral converges lamang sa kondisyon.

Tandaan na sa Halimbawa Blg. 1 hindi kinakailangang magsagawa ng pag-aaral ng di-ganap na tagpo, dahil sa unang hakbang ay napagpasyahan na ang serye ay nag-iiba.

Kinokolekta namin ang mga balde, pala, mga kotse at iniiwan ang sandbox upang tingnan ang mundo nang may dilat na mga mata mula sa taksi ng aking excavator:

Halimbawa 3 Siyasatin ang serye para sa convergence Ginagamit namin ang Leibniz test:

1)
Ang seryeng ito ay sign-alternating.

2) - ang mga tuntunin ng serye ay bumaba sa ganap na halaga. Ang bawat susunod na termino ng serye ay mas mababa sa modulus kaysa sa nauna: , na nangangahulugan na ang pagbaba ay monotonous. Konklusyon: Ang serye ay nagtatagpo.

Pag-aralan ang pagpuno ng serye, dumating kami sa konklusyon na dito kinakailangan na gamitin ang limitasyon ng tanda ng paghahambing. Ito ay mas maginhawa upang buksan ang mga bracket sa denominator:

Ihambing ang seryeng ito sa convergent series. Ginagamit namin ang limitasyon ng pagsubok ng paghahambing.

Ang isang may hangganang numero maliban sa zero ay nakuha, na nangangahulugan na ang serye ay nagtatagpo kasama ng serye . Serye ng Pag-aaral ganap na nagtatagpo.

Halimbawa 4 Suriin ang serye para sa convergence

Halimbawa 5 Suriin ang serye para sa convergence

Ito ay mga halimbawa ng tulong sa sarili. Isang kumpletong solusyon at sample na disenyo sa dulo ng seksyon.

Tulad ng nakikita mo, ang mga alternating row ay simple at nakakainip! Ngunit huwag magmadali upang isara ang pahina, sa loob lamang ng ilang mga screen ay isasaalang-alang namin ang isang kaso na nakakalito sa marami. Samantala, isang pares ng mga halimbawa para sa pagsasanay at pag-uulit.

Halimbawa 6 Suriin ang serye para sa convergence

Ginagamit namin ang Leibniz test.
1) Ang serye ay papalit-palit ng tanda.
2)
Ang mga tuntunin ng serye ay bumababa sa modulo. Ang bawat susunod na termino ng serye ay mas mababa sa modulus kaysa sa nauna, na nangangahulugan na ang pagbaba ay monotonous. Konklusyon: ang serye ay nagtatagpo.

Mangyaring tandaan na hindi ko inilarawan nang detalyado ang mga miyembro ng serye. Ito ay palaging kanais-nais na ipinta ang mga ito, ngunit mula sa hindi malulutas na katamaran sa "malubhang" mga kaso, ang isa ay maaaring ikulong ang sarili sa pariralang "Ang serye ay alternating in sign." Sa pamamagitan ng paraan, hindi mo kailangang kunin ang puntong ito nang pormal, palaging suriin(at least mentally) na salitan talaga ang serye. Ang isang mabilis na sulyap ay nabigo, at isang pagkakamali ay nagawa "sa makina". Tandaan ang tungkol sa "mga trick" , , , kung mayroon sila, kailangan mong alisin ang mga ito sa pamamagitan ng pagkuha ng isang "normal" na serye na may mga positibong termino.

Ang pangalawang subtlety ay may kinalaman sa parirala tungkol sa monotony, na binawasan ko rin hangga't maaari. Magagawa mo ito, at halos palaging bibigyan ng kredito ang iyong gawain. Sasabihin ko ang isang napakasamang bagay - sa personal, madalas akong tahimik tungkol sa monotony, at ang gayong numero ay pumasa. Ngunit maging handa na ipinta ang lahat nang detalyado, hanggang sa detalyadong mga tanikala ng hindi pagkakapantay-pantay (tingnan ang halimbawa sa simula ng aralin). Bilang karagdagan, kung minsan ang monotony ay hindi mahigpit, at kailangan din itong subaybayan upang mapalitan ang salitang "mas kaunti" ng salitang "wala na".

Sinusuri namin ang serye para sa ganap na convergence:

Malinaw, kailangan mong gamitin ang radical Cauchy test:

Kaya, ang serye ay nagtatagpo. Serye ng Pag-aaral ganap na nagtatagpo.

Halimbawa 7 Suriin ang serye para sa convergence

Ito ay isang halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon. Kadalasan mayroong mga salit-salit na serye na nagdudulot ng mga kahirapan.

Halimbawa 8 Suriin ang serye para sa convergence

Ginagamit namin ang Leibniz sign:
1) Ang serye ay papalit-palit ng tanda.

Ang katotohanan ay walang karaniwang pang-araw-araw na mga trick para sa paglutas ng mga naturang limitasyon. Saan napupunta ang limitasyong ito? Hanggang zero, hanggang infinity? Mahalaga dito na ang ANO ay lumalaki nang mas mabilis sa infinity- numerator o denominator.

TANDAAN: ang konsepto ng pagkakasunod-sunod ng paglago ng isang function ay sakop nang detalyado sa artikuloLimitahan ang Mga Paraan ng Paglutas . Meron kami mga limitasyon ng pagkakasunud-sunod, ngunit hindi nito binabago ang punto.

Kung ang numerator sa ay lumalaki nang mas mabilis kaysa sa factorial, kung gayon . Kung, sa kawalang-hanggan, ang factorial ay lumalaki nang mas mabilis kaysa sa numerator, kung gayon, sa kabaligtaran, ito ay "hinihila" ang limitasyon sa zero: . O baka ang limitasyong ito ay katumbas ng ilang di-zero na numero?

Subukan nating isulat ang mga unang termino ng serye:
maaari mong palitan ang ilang polynomial ng isang thousandth degree, muli itong hindi magbabago sa sitwasyon - maaga o huli ang factorial ay "aabutan" pa rin ang isang kakila-kilabot na polynomial. Factorial mas mataas na pagkakasunud-sunod ng paglago kaysa sa anumang pagkakasunod-sunod ng kapangyarihan.

– Ang factorial ay lumalaki nang mas mabilis kaysa produkto ng anumang dami exponential at power sequence (sa aming kaso).

– Anuman Ang exponential sequence ay lumalaki nang mas mabilis kaysa sa anumang power sequence, halimbawa: , . exponential sequence mas mataas na pagkakasunud-sunod ng paglago kaysa sa anumang pagkakasunod-sunod ng kapangyarihan. Katulad ng factorial, ang exponential sequence ay "huhila" ang produkto ng anumang bilang ng anumang power sequence o polynomial: .

– Mayroon bang anumang “mas cool” kaysa sa factorial? meron! Ang exponential sequence ("en" sa kapangyarihan ng "en") ay lumalaki nang mas mabilis kaysa sa factorial. Sa pagsasagawa, ito ay bihira, ngunit ang impormasyon ay hindi magiging labis. Katapusan ng tulong

Kaya, ang pangalawang punto ng pag-aaral (naaalala mo pa ba ito? =)) ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:
2) , dahil sa mas mataas na pagkakasunud-sunod ng paglago kaysa .
Binabawasan ng mga tuntunin ng serye ang modulo, simula sa ilang numero, sa parehong oras, ang bawat susunod na termino ng serye ay mas mababa sa ganap na halaga kaysa sa nauna, sa gayon, ang pagbaba ay monotonous.

Konklusyon: ang serye ay nagtatagpo.

Narito lamang ang nakakagulat na kaso kapag ang mga tuntunin ng serye ay unang lumago sa ganap na halaga, kung kaya't mayroon kaming maling paunang opinyon tungkol sa limitasyon. pero, simula sa ilang numerong "en", ang factorial ay naabutan ng numerator, at ang "buntot" ng serye ay nagiging monotonikong bumababa, na sa panimula ay mahalaga para sa pagtupad sa mga kondisyon ng Leibniz theorem. Medyo mahirap malaman kung ano ang eksaktong katumbas ng "en" na ito.

Ayon sa kaukulang teorama, ang ganap na tagpo ng serye ay nagpapahiwatig ng kondisyonal na tagpo ng serye. Konklusyon: Serye ng pag-aaral ganap na nagtatagpo.

At sa wakas, isang pares ng mga halimbawa para sa isang malayang desisyon. Isa sa parehong opera (muling basahin ang tulong), ngunit mas simple. Ang isa pa para sa mga gourmet ay upang ayusin ang mahalagang tanda ng tagpo.

Halimbawa 9 Suriin ang serye para sa convergence

Halimbawa 10 Suriin ang serye para sa convergence

Pagkatapos ng qualitative study ng numerical positive at alternating series na may malinis na budhi, maaari kang pumunta sa functional na mga hilera, na hindi gaanong monotonous at uniporme, ay kawili-wili.

Mga solusyon at sagot:

Halimbawa 4: Ginagamit namin ang Leibniz sign:

1) Ang seryeng ito ay salit-salit.
2)
Ang mga tuntunin ng serye ay hindi binabawasan ang modulo. Konklusyon: Ang serye ay nag-iiba.. , sa parehong oras, ang bawat susunod na termino ng serye ay mas mababa sa ganap na halaga kaysa sa nauna, sa gayon, ang pagbaba ay monotonous.

Kaya, ang serye ay nag-iiba kasama ang katumbas na hindi wastong integral. Serye ng Pag-aaral converges lamang sa kondisyon.

Ang artikulong ito ay nakolekta at nakabalangkas ng impormasyong kinakailangan upang malutas ang halos anumang halimbawa sa paksa ng serye ng numero, mula sa paghahanap ng kabuuan ng isang serye hanggang sa pagsusuri sa convergence nito.

Pagsusuri ng artikulo.

Magsimula tayo sa mga kahulugan ng isang positive-sign, alternating-sign series at ang konsepto ng convergence. Susunod, isaalang-alang ang karaniwang serye, tulad ng isang harmonic series, isang pangkalahatan na harmonic series, at alalahanin ang formula para sa paghahanap ng kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad. Pagkatapos nito, bumaling tayo sa mga katangian ng convergent series, naninirahan sa kinakailangang kondisyon para sa convergence ng serye, at nagsasaad ng sapat na pamantayan para sa convergence ng serye. Papalabnawin natin ang teorya sa pamamagitan ng paglutas ng mga tipikal na halimbawa na may mga detalyadong paliwanag.

Pag-navigate sa pahina.

Mga pangunahing kahulugan at konsepto.

Hayaang magkaroon tayo ng numerical sequence , kung saan .

Narito ang isang halimbawa ng isang numerical sequence: .

Serye ng numero ay ang kabuuan ng mga miyembro ng isang numerical sequence ng form .

Bilang isang halimbawa ng isang serye ng numero, maaari nating ibigay ang kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad na may denominator na q = -0.5: .

ay tinatawag karaniwang miyembro ng serye ng numero o ang kth na miyembro ng serye.

Para sa nakaraang halimbawa, ang karaniwang termino ng serye ng numero ay .

Bahagyang kabuuan ng isang serye ng numero ay isang kabuuan ng anyo , kung saan ang n ay ilang natural na numero. tinatawag ding n-th partial sum ng serye ng numero.

Halimbawa, ang ikaapat na bahagyang kabuuan ng serye meron .

Mga partial sums bumuo ng isang walang katapusang pagkakasunud-sunod ng mga bahagyang kabuuan ng isang serye ng numero.

Para sa aming serye, ang nth partial sum ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula para sa kabuuan ng unang n terms ng isang geometric progression , ibig sabihin, magkakaroon tayo ng sumusunod na pagkakasunud-sunod ng mga bahagyang kabuuan: .

Tinatawag ang linya ng numero nagtatagpo, kung may hangganan na limitasyon ng pagkakasunod-sunod ng mga bahagyang kabuuan. Kung ang limitasyon ng sequence ng mga partial sums ng isang numerical series ay wala o infinite, ang series ay tinatawag divergent.

Ang kabuuan ng isang convergent na serye ng numero ay tinatawag na limitasyon ng pagkakasunud-sunod ng mga bahagyang kabuuan nito, iyon ay, .

Sa aming halimbawa, samakatuwid, ang serye nagtatagpo, at ang kabuuan nito ay katumbas ng labing anim na katlo: .

Ang isang halimbawa ng isang magkakaibang serye ay ang kabuuan ng isang geometric na pag-unlad na may denominator na higit sa isa: . Ang nth partial sum ay ibinibigay ng , at ang limitasyon ng mga bahagyang kabuuan ay walang katapusan: .

Ang isa pang halimbawa ng isang divergent na serye ng numero ay ang kabuuan ng form . Sa kasong ito, ang nth partial sum ay maaaring kalkulahin bilang . Ang limitasyon ng mga partial sums ay walang hanggan .

Sum view tinawag serye ng maharmonya na numero.

Sum view , kung saan ang s ay ilang tunay na numero, ay tinatawag generalised harmonic number series.

Ang mga kahulugan sa itaas ay sapat upang patunayan ang mga sumusunod na madalas na ginagamit na mga pahayag, inirerekomenda namin na tandaan mo ang mga ito.

ANG HARMONIC SERIES AY Divergent.

Patunayan natin ang divergence ng harmonic series.

Ipagpalagay natin na ang serye ay nagtatagpo. Pagkatapos ay mayroong isang may hangganang limitasyon ng mga bahagyang kabuuan nito. Sa kasong ito, maaari tayong sumulat at , na humahantong sa atin sa pagkakapantay-pantay .

Sa kabila,

Ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay walang pag-aalinlangan. Kaya, . Ang nagresultang hindi pagkakapantay-pantay ay nagsasabi sa atin na ang pagkakapantay-pantay hindi maaaring makamit, na sumasalungat sa aming palagay tungkol sa convergence ng harmonic series.

Konklusyon: ang maharmonya na serye ay nag-iiba.

ANG SUMMATION NG ISANG GEOMETRIC PROGRESSION NG URI NA MAY DENOMINATOR q AY ISANG CONVERGENT NUMERICAL SERIES IF , AT ISANG DIVERGENT SERIES SA .

Patunayan natin.

Alam namin na ang kabuuan ng unang n termino ng isang geometric na pag-unlad ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula .

Kapag patas

na nagpapahiwatig ng convergence ng numerical series.

Para sa q = 1 mayroon kaming serye ng numero . Ang mga bahagyang kabuuan nito ay matatagpuan bilang , at ang limitasyon ng mga bahagyang kabuuan ay walang katapusan , na nagpapahiwatig ng pagkakaiba-iba ng serye sa kasong ito.

Kung q \u003d -1, ang serye ng numero ay kukuha ng form . Ang mga partial sums ay may halaga para sa odd n , at para sa even n . Mula dito maaari nating tapusin na ang limitasyon ng mga bahagyang kabuuan ay hindi umiiral at ang serye ay nag-iiba.

Kapag patas

na nagsasaad ng divergence ng numerical series.

GENERALIZED HARMONIC SERIES AY NAGTATAGUMPAY PARA SA s > 1 AT DIVERS PARA SA .

Patunay.

Para sa s = 1 makuha namin ang harmonic series , at sa itaas ay naitatag namin ang divergence nito.

Sa s ang hindi pagkakapantay-pantay ay nananatili para sa lahat ng natural na k . Dahil sa divergence ng harmonic series, masasabing unlimited ang sequence ng mga partial sums nito (dahil walang finite limit). Kung gayon ang pagkakasunud-sunod ng mga bahagyang kabuuan ng serye ng numero ay higit na walang limitasyon (bawat miyembro ng seryeng ito ay mas malaki kaysa sa katumbas na miyembro ng harmonic series), samakatuwid, ang pangkalahatang harmonic series ay nag-iiba sa s.

Ito ay nananatiling patunayan ang convergence ng serye para sa s > 1 .

Isulat natin ang pagkakaiba:

Malinaw, kung gayon

Isulat natin ang nagresultang hindi pagkakapantay-pantay para sa n = 2, 4, 8, 16, …

Gamit ang mga resultang ito, maaaring isagawa ang mga sumusunod na aksyon gamit ang orihinal na serye ng numero:

Pagpapahayag ay ang kabuuan ng isang geometric progression na ang denominator ay . Dahil isinasaalang-alang namin ang kaso para sa s > 1, kung gayon . Kaya
. Kaya, ang pagkakasunud-sunod ng mga partial sums ng generalised harmonic series para sa s > 1 ay tumataas at sa parehong oras ay nililimitahan mula sa itaas ng halaga , samakatuwid, ito ay may limitasyon, na nagpapahiwatig ng convergence ng serye . Kumpleto na ang patunay.

Tinatawag ang linya ng numero sign-positive kung ang lahat ng mga tuntunin nito ay positibo, iyon ay, .

Tinatawag ang linya ng numero papalit-palit kung ang mga palatandaan ng mga katabing termino nito ay iba. Ang isang alternatibong serye ng numero ay maaaring isulat bilang o , saan .

Tinatawag ang linya ng numero papalit-palit kung naglalaman ito ng walang katapusang bilang ng parehong positibo at negatibong termino.

Ang isang alternating number series ay isang espesyal na case ng isang alternating series.

mga ranggo

ay sign-positive, sign-alternating, at sign-alternating, ayon sa pagkakabanggit.

Para sa isang alternating series, mayroong konsepto ng absolute at conditional convergence.

ganap na nagtatagpo, kung ang isang serye ng mga ganap na halaga ng mga miyembro nito ay nagtatagpo, iyon ay, isang positive-sign na serye ng numero ay nagtatagpo.

Halimbawa, mga linya ng numero at ganap na nagtatagpo, dahil ang serye ay nagtatagpo , na siyang kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad.

Ang alternating series ay tinatawag may kondisyong nagtatagpo kung ang serye ay naghihiwalay at ang serye ay nagtatagpo.

Ang isang halimbawa ng isang convergent na serye ng numero ay ang serye . Serye ng numero , na binubuo ng mga ganap na halaga ng mga miyembro ng orihinal na serye, divergent, dahil ito ay harmonic. Kasabay nito, ang orihinal na serye ay nagtatagpo, na madaling naitatag gamit ang . Kaya, ang numerical sign-alternating series may kondisyong nagtatagpo.

Mga katangian ng convergent numerical series.

Halimbawa.

Patunayan ang convergence ng numerical series.

Desisyon.

Isulat natin ang serye sa ibang anyo . Ang serye ng numero ay nagtatagpo, dahil ang pangkalahatang harmonic na serye ay nagtatagpo para sa s > 1, at dahil sa pangalawang pag-aari ng convergent na serye ng numero, ang serye na may numerical coefficient ay magsasama rin.

Halimbawa.

Nagtatagpo ba ang serye ng numero?

Desisyon.

Ibahin natin ang orihinal na serye: . Kaya, nakuha namin ang kabuuan ng dalawang numerical series at , at bawat isa sa kanila ay nagtatagpo (tingnan ang nakaraang halimbawa). Samakatuwid, dahil sa ikatlong pag-aari ng convergent numerical series, ang orihinal na serye ay nagtatagpo rin.

Halimbawa.

Patunayan ang convergence ng mga serye ng numero at kalkulahin ang kabuuan nito.

Desisyon.

Ang serye ng numero na ito ay maaaring katawanin bilang pagkakaiba ng dalawang serye:

Ang bawat isa sa mga serye ay ang kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad, samakatuwid, ay nagtatagpo. Ang ikatlong katangian ng convergent series ay nagbibigay-daan sa amin na igiit na ang orihinal na numerical series ay nagtatagpo. Kalkulahin natin ang kabuuan nito.

Ang unang termino ng serye ay isa, at ang denominator ng katumbas na geometric na pag-unlad ay 0.5, samakatuwid, .

Ang unang termino ng serye ay 3, at ang denominator ng katumbas na walang katapusang pagbabawas ng geometric na pag-unlad ay 1/3, kaya .

Gamitin natin ang mga nakuhang resulta upang mahanap ang kabuuan ng orihinal na serye ng numero:

Isang kinakailangang kondisyon para sa convergence ng isang serye.

Kung ang serye ng numero ay nagtatagpo, ang limitasyon ng k-th term nito ay katumbas ng zero: .

Sa pag-aaral ng anumang numerical series para sa convergence, una sa lahat, kinakailangan upang suriin ang katuparan ng kinakailangang kondisyon para sa convergence. Ang pagkabigong sumunod sa kundisyong ito ay nagpapahiwatig ng pagkakaiba-iba ng mga numerical na serye, iyon ay, kung , pagkatapos ay ang serye ay magkakaiba.

Sa kabilang banda, dapat itong maunawaan na ang kundisyong ito ay hindi sapat. Iyon ay, ang katuparan ng pagkakapantay-pantay ay hindi nagpapahiwatig ng convergence ng numerical series. Halimbawa, para sa isang maharmonya na serye, ang kinakailangang kondisyon ng convergence ay nasiyahan, at ang serye ay nag-iiba.

Halimbawa.

Suriin ang serye ng numero para sa convergence.

Desisyon.

Suriin natin ang kinakailangang kondisyon para sa convergence ng numerical series:

limitasyon Ang n-th na miyembro ng numerical series ay hindi katumbas ng zero, samakatuwid, ang serye ay nag-iiba.

Sapat na mga kondisyon para sa convergence ng isang serye ng positibong tanda.

Kapag gumagamit ng sapat na mga feature upang pag-aralan ang mga numerical series para sa convergence, palagi mong kailangang harapin ang , kaya inirerekomenda namin na sumangguni ka sa seksyong ito kung sakaling magkaroon ng kahirapan.

Isang kinakailangan at sapat na kundisyon para sa convergence ng isang positive-sign number series.

Para sa convergence ng isang sign-positive number series ito ay kinakailangan at sapat na ang pagkakasunud-sunod ng mga bahagyang kabuuan nito ay may hangganan.

Magsimula tayo sa mga feature ng paghahambing ng serye. Ang kanilang kakanyahan ay nakasalalay sa paghahambing ng pinag-aralan na serye ng numero sa isang serye na kilala ang convergence o divergence.

Una, pangalawa at pangatlong palatandaan ng paghahambing.

Ang unang tanda ng paghahambing ng mga hilera.

Let and be two positive-sign numerical series and the inequality holds for all k = 1, 2, 3, ... Pagkatapos ang convergence ng series ay nagpapahiwatig ng convergence , at ang divergence ng series ay nagpapahiwatig ng divergence .

Ang unang pamantayan sa paghahambing ay madalas na ginagamit at ito ay isang napakalakas na tool para sa pag-aaral ng mga numerical series para sa convergence. Ang pangunahing problema ay ang pagpili ng isang angkop na serye para sa paghahambing. Ang serye para sa paghahambing ay kadalasang (ngunit hindi palaging) pinipili upang ang exponent ng k-th na miyembro nito ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mga exponent ng numerator at denominator ng k-th na miyembro ng serye ng numero na pinag-aaralan. Halimbawa, hayaan, ang pagkakaiba sa pagitan ng mga exponents ng numerator at denominator ay 2 - 3 = -1, samakatuwid, para sa paghahambing, pumili kami ng isang serye na may kth na miyembro, iyon ay, isang maharmonya na serye. Tingnan natin ang ilang halimbawa.

Halimbawa.

Itakda ang convergence o divergence ng serye.

Desisyon.

Dahil ang limitasyon ng karaniwang termino ng serye ay katumbas ng zero, kung gayon ang kinakailangang kondisyon para sa convergence ng serye ay nasiyahan.

Madaling makita na ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo para sa lahat ng natural na k . Alam namin na ang maharmonya na serye ay nag-iiba, samakatuwid, ayon sa unang tanda ng paghahambing, ang orihinal na serye ay magkakaiba din.

Halimbawa.

Suriin ang serye ng numero para sa convergence.

Desisyon.

Ang kinakailangang kondisyon para sa convergence ng serye ng numero ay nasiyahan, dahil . Ito ay malinaw na ang hindi pagkakapantay-pantay para sa anumang likas na halaga ng k. Ang serye ay nagtatagpo dahil ang pangkalahatang harmonic series ay nagtatagpo para sa s > 1. Kaya, ang unang tanda ng paghahambing ng serye ay nagbibigay-daan sa amin na sabihin ang tagpo ng orihinal na seryeng numero.

Halimbawa.

Tukuyin ang convergence o divergence ng serye ng numero.

Desisyon.

, samakatuwid, nasiyahan ang kinakailangang kondisyon para sa convergence ng numerical series. Aling row ang pipiliin para sa paghahambing? Iminumungkahi ng isang numerical series ang sarili nito, at para matukoy ang s, maingat naming sinusuri ang numerical sequence. Ang mga termino ng numerical sequence ay tumataas patungo sa infinity. Kaya, simula sa ilang bilang na N (ibig sabihin, mula sa N = 1619 ), ang mga tuntunin ng sequence na ito ay magiging mas malaki sa 2 . Simula sa numerong ito N, ang hindi pagkakapantay-pantay ay wasto. Ang serye ng numero ay nagtatagpo dahil sa unang pag-aari ng convergent series, dahil ito ay nakuha mula sa isang convergent series sa pamamagitan ng pagtatapon ng unang N - 1 na termino. Kaya, ayon sa unang tanda ng paghahambing, ang serye ay nagtatagpo, at dahil sa unang pag-aari ng nagtatagpo na mga serye ng numero, ang serye ay magsasama rin.

Ang pangalawang tanda ng paghahambing.

Let and be sign-positive numerical series. Kung , kung gayon ang convergence ng serye ay nagpapahiwatig ng convergence ng . Kung , kung gayon ang divergence ng numerical series ay nagpapahiwatig ng divergence ng .

Bunga.

Kung at , kung gayon ang convergence ng isang serye ay nagpapahiwatig ng convergence ng isa pa, at ang divergence ay nagpapahiwatig ng divergence.

Sinusuri namin ang serye para sa convergence gamit ang pangalawang pamantayan sa paghahambing. Kunin natin ang convergent series bilang isang serye. Hanapin natin ang limitasyon ng ratio ng mga k-th na miyembro ng numerical series:

Kaya, ayon sa pangalawang criterion ng paghahambing, ang convergence ng numerical series ay nagpapahiwatig ng convergence ng orihinal na serye.

Halimbawa.

Siyasatin ang convergence ng isang serye ng numero.

Desisyon.

Suriin natin ang kinakailangang kondisyon para sa convergence ng serye . Ang kundisyon ay natutugunan. Upang mailapat ang pangalawang tanda ng paghahambing, kumuha tayo ng isang maharmonya na serye. Hanapin natin ang limitasyon ng ratio ng k-th terms:

Dahil dito, ang divergence ng orihinal na serye ay sumusunod sa divergence ng harmonic series ayon sa pangalawang criterion ng paghahambing.

Para sa impormasyon, ipinakita namin ang ikatlong pamantayan para sa paghahambing ng mga serye.

Ang ikatlong tanda ng paghahambing.

Let and be sign-positive numerical series. Kung ang kundisyon ay nasiyahan mula sa isang tiyak na numero N, ang convergence ng serye ay nagpapahiwatig ng convergence, at ang divergence ng serye ay nagpapahiwatig ng divergence.

Tanda ng d'Alembert.

Magkomento.

Ang tanda ni d'Alembert ay wasto kung ang limitasyon ay walang hanggan, iyon ay, kung , pagkatapos ay nagtatagpo ang serye kung , pagkatapos ay magkakaiba ang serye.

Kung , kung gayon ang d'Alembert test ay hindi nagbibigay ng impormasyon tungkol sa convergence o divergence ng serye, at nangangailangan ng karagdagang pananaliksik.

Halimbawa.

Suriin ang serye ng numero para sa convergence sa batayan ng d'Alembert.

Desisyon.

Suriin natin ang katuparan ng kinakailangang kondisyon para sa convergence ng numerical series, kinakalkula natin ang limitasyon sa pamamagitan ng:

Ang kundisyon ay natutugunan.

Gamitin natin ang tanda ni d'Alembert:

Kaya, ang serye ay nagtatagpo.

Ang radikal na tanda ni Cauchy.

Hayaan ang isang positibong sign na serye ng numero. Kung , pagkatapos ay ang serye ay nagtatagpo, kung , pagkatapos ay ang serye ay diverges.

Magkomento.

Ang radikal na pagsubok ni Cauchy ay may bisa kung ang limitasyon ay walang katapusan, iyon ay, kung , pagkatapos ay nagtatagpo ang serye kung , pagkatapos ay magkakaiba ang serye.

Kung , ang Cauchy radical test ay hindi nagbibigay ng impormasyon tungkol sa convergence o divergence ng serye at kailangan ng karagdagang pananaliksik.

Karaniwang madaling makita ang mga kaso kung saan pinakamahusay na gamitin ang radical Cauchy test. Ang isang katangian na kaso ay kapag ang karaniwang termino ng numerical na serye ay isang exponential power expression. Tingnan natin ang ilang halimbawa.

Halimbawa.

Magsiyasat ng positive-sign number series para sa convergence gamit ang radical Cauchy test.

Desisyon.

. Sa pamamagitan ng radical Cauchy test, nakukuha namin .

Samakatuwid, ang serye ay nagtatagpo.

Halimbawa.

Nagtatagpo ba ang serye ng numero? .

Desisyon.

Gamitin natin ang radical Cauchy test , samakatuwid, ang mga serye ng numero ay nagtatagpo.

Integral Cauchy na pagsubok.

Hayaan ang isang positibong sign na serye ng numero. Bumuo tayo ng function ng tuluy-tuloy na argument y = f(x) , katulad ng function . Hayaang ang function na y = f(x) ay positibo, tuloy-tuloy at bumababa sa pagitan , kung saan ). Pagkatapos sa kaso ng convergence hindi wastong integral pinagsasama-sama ang pinag-aralan na serye ng numero. Kung ang hindi wastong integral ay nagkakaiba, ang orihinal na serye ay nag-iiba din.

Kapag sinusuri ang pagkabulok ng isang function na y = f(x) sa isang pagitan, maaari mong makitang kapaki-pakinabang ang teorya sa seksyon.

Halimbawa.

Suriin ang serye ng numero na may mga positibong termino para sa convergence.

Desisyon.

Ang kinakailangang kondisyon para sa convergence ng serye ay nasiyahan, dahil . Isaalang-alang natin ang isang function. Ito ay positibo, tuloy-tuloy at bumababa sa pagitan . Ang pagpapatuloy at pagiging positibo ng function na ito ay walang pag-aalinlangan, ngunit pag-isipan natin ang pagbaba nang kaunti pang detalye. Hanapin natin ang derivative:
. Ito ay negatibo sa pagitan , samakatuwid, ang function ay bumababa sa pagitan na ito.

Bago simulan ang trabaho sa paksang ito, ipinapayo ko sa iyo na tingnan ang seksyon na may terminolohiya para sa serye ng numero. Ito ay lalong nagkakahalaga ng pagbibigay pansin sa konsepto ng isang karaniwang termino ng isang serye. Kung mayroon kang mga pagdududa tungkol sa tamang pagpili ng sign ng convergence, ipinapayo ko sa iyo na tingnan ang paksang "Pagpili ng sign ng convergence ng numerical series".

Ang D'Alembert test (o d'Alembert test) ay ginagamit upang pag-aralan ang convergence ng mga serye na ang karaniwang termino ay mahigpit na mas malaki kaysa sa zero, ibig sabihin, $u_n > 0$. Ang nasabing serye ay tinatawag mahigpit na positibo. Sa karaniwang mga halimbawa, ang tanda ng D "Alembert ay ginagamit sa form na nililimitahan.

Tanda ng D "Alamber (sa anyo ng paglilimita)

Kung ang seryeng $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ ay mahigpit na positibo at $$ \lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=L , $$ pagkatapos para sa $L<1$ ряд сходится, а при $L>1$ (at para sa $L=\infty$) nag-iiba ang serye.

Ang pagbabalangkas ay medyo simple, ngunit ang sumusunod na tanong ay nananatiling bukas: ano ang mangyayari kung $L=1$? Ang tanda ng D "Alembert ay hindi makasagot sa tanong na ito. Kung $L \u003d 1 $, kung gayon ang serye ay maaaring parehong magtagpo at mag-diverge.

Kadalasan, sa mga karaniwang halimbawa, ang tanda ng D "Alembert ay ginagamit kung ang pagpapahayag ng karaniwang termino ng serye ay naglalaman ng polynomial sa $n$ (ang polynomial ay maaari ding nasa ilalim ng ugat) at isang antas ng anyong $a ^n$ o $n!$. Halimbawa, $u_n= \frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$ (tingnan ang halimbawa #1) o $u_n=\frac( \sqrt(4n+5))((3n-2)$ (см. пример №2). Вообще, для стандартного примера наличие $n!$ - это своеобразная "визитная карточка" признака Д"Аламбера.!}

Ano ang ibig sabihin ng ekspresyong "n!"? Ipakita itago

Nagre-record ng "n!" (basahin ang "en factorial") ay tumutukoy sa produkto ng lahat ng natural na numero mula 1 hanggang n, i.e.

$$ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n $$

Sa pamamagitan ng kahulugan, ipinapalagay na $0!=1!=1$. Halimbawa, hanapin natin ang 5!:

$$ 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. $$

Bilang karagdagan, ang pagsubok na D "Alembert ay kadalasang ginagamit upang matukoy ang convergence ng isang serye na ang karaniwang termino ay naglalaman ng produkto ng sumusunod na istraktura: $u_n=\frac(3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot(2n(2n). +1))(2\ cdot 5\cdot 8\cdot\ldots\cdot(3n-1))$.

Halimbawa #1

Suriin ang serye na $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$ para sa convergence.

Dahil ang mas mababang limitasyon sa pagsusuma ay katumbas ng 1, ang karaniwang termino ng serye ay isinusulat sa ilalim ng sum sign: $u_n=\frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$. Dahil para sa $n≥ 1$ mayroon kaming $3n+7 > 0$, $5^n>0$ at $2n^3-1 > 0$, pagkatapos ay $u_n > 0$. Samakatuwid, ang aming serye ay mahigpit na positibo.

$$ 5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac((3n+10)\kaliwa(2n^3-1\kanan))(\kaliwa(2(n+1)^3-1\kanan )(3n+7))=\left|\frac(\infty)(\infty)\right|= 5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\frac((3n+10)\left (2n^3-1\kanan))(n^4))(\frac(\kaliwa(2(n+1)^3-1\kanan)(3n+7))(n^4))= 5 \cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(3n+10)(n)\cdot\frac(2n^3-1)(n^3))(\frac(\left(2( n+1)^3-1\kanan))(n^3)\cdot\frac(3n+7)(n))=\\ =5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\ kaliwa(\frac(3n)(n)+\frac(10)(n)\kanan)\cdot\left(\frac(2n^3)(n^3)-\frac(1)(n^3) \kanan))(\kaliwa(2\kaliwa(\frac(n)(n)+\frac(1)(n)\kanan)^3-\frac(1)(n^3)\kanan)\cdot \left(\frac(3n)(n)+\frac(7)(n)\right))=5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\left(3+\frac(10) (n)\kanan)\cdot\kaliwa(2-\frac(1)(n^3)\kanan))(\kaliwa(2\kaliwa(1+\frac(1)(n)\kanan)^3 -\frac(1)(n^3)\kanan)\cdot\left(3+\frac(7)(n)\right))=5\cdot\frac(3\cdot 2)(2\cdot 3 )=5. $$

Dahil $\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=5>1$, pagkatapos ay ayon sa ibinigay na serye ay diverges.

Upang maging matapat, ang tanda ng D "Alembert ay hindi lamang ang pagpipilian sa sitwasyong ito. Maaari mong gamitin, halimbawa, ang radikal na Cauchy sign. Gayunpaman, ang paggamit ng radikal na Cauchy sign ay mangangailangan ng kaalaman (o patunay) ng mga karagdagang formula . Samakatuwid, ang paggamit ng tanda ng D" Alembert sa sitwasyong ito ay mas maginhawa.

Sagot: nag-iiba ang serye.

Halimbawa #2

Galugarin ang seryeng $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$ на сходимость.!}

Dahil ang mas mababang limitasyon sa pagsusuma ay 1, ang karaniwang termino ng serye ay isinusulat sa ilalim ng sum sign: $u_n=\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$. Заданный ряд является строго положительным, т.е. $u_n>0$.!}

Ang karaniwang termino ng serye ay naglalaman ng polynomial sa ilalim ng ugat, i.e. $\sqrt(4n+5)$, at factorial $(3n-2)!$. Ang pagkakaroon ng factorial sa isang karaniwang halimbawa ay halos isang daang porsyentong garantiya ng aplikasyon ng D "Alembert sign.

Upang mailapat ang feature na ito, kailangan nating hanapin ang limitasyon ng ugnayang $\frac(u_(n+1))(u_n)$. Upang isulat ang $u_(n+1)$, kailangan mong gamitin ang formula na $u_n=\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$ вместо $n$ подставить $n+1$:!}

$$ u_(n+1)=\frac(\sqrt(4(n+1)+5))((3(n+1)-2)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n+1)!}. $$ !}

Dahil $(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$, ang formula para sa $u_(n+1)$ ay maaaring isulat sa ibang paraan :

$$ u_(n+1)=\frac(\sqrt(4n+9))((3n+1)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}. $$ !}

Ang entry na ito ay maginhawa para sa karagdagang solusyon kapag kailangan nating bawasan ang fraction sa ilalim ng limitasyon. Kung ang pagkakapantay-pantay sa mga factorial ay nangangailangan ng paglilinaw, mangyaring palawakin ang tala sa ibaba.

Paano natin nakuha ang $(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$? Ipakita itago

Ang notasyong $(3n+1)!$ ay nangangahulugang ang produkto ng lahat ng natural na numero mula 1 hanggang $3n+1$. Yung. ang expression na ito ay maaaring isulat tulad nito:

$$ (3n+1)!=1\cdot 2\cdot\ldots\cdot(3n+1). $$

Kaagad bago ang numerong $3n+1$ mayroong isang numerong mas kaunti, ibig sabihin. bilang $3n+1-1=3n$. At kaagad bago ang numerong $3n$ ay ang numerong $3n-1$. Well, bago ang numerong $3n-1$ mayroon kaming numerong $3n-1-1=3n-2$. Isulat muli natin ang formula para sa $(3n+1)!$:

$$ (3n+1)!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot(3n-2)\cdot(3n-1)\cdot 3n\cdot (3n+1) $$

Ano ang produkto ng $1\cdot2\cdot\ldots\cdot(3n-2)$? Ang produktong ito ay katumbas ng $(3n-2)!$. Samakatuwid, ang expression para sa $(3n+1)!$ ay maaaring muling isulat sa form na ito:

$$(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$$

Ang entry na ito ay maginhawa para sa karagdagang solusyon kapag kailangan nating bawasan ang fraction sa ilalim ng limitasyon.

Kalkulahin ang halaga ng $\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)$:

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(\sqrt(4n+9))((( 3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)))(\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)}= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\frac{(3n-2)!}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}\right)=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}= \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4+\frac{9}{n}}}{\sqrt{4+\frac{5}{n}}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}=1\cdot 0=0. $$ !}

Dahil $\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=0<1$, то согласно

Portal para sa mag-aaral. Pagsasanay sa sarili

Mga palatandaan ng convergence ng serye. Tanda ng d'Alembert. Mga palatandaan ng Cauchy

pagsubok ng convergence ng d'Alembert

Ang radikal na tanda ni Cauchy

Integral Cauchy na pagsubok

Mga pangunahing kahulugan at konsepto.

Mga katangian ng convergent numerical series.

Isang kinakailangang kondisyon para sa convergence ng isang serye.

Sapat na mga kondisyon para sa convergence ng isang serye ng positibong tanda.

Isang kinakailangan at sapat na kundisyon para sa convergence ng isang positive-sign number series.

Una, pangalawa at pangatlong palatandaan ng paghahambing.

Tanda ng d'Alembert.

Ang radikal na tanda ni Cauchy.

Integral Cauchy na pagsubok.

MGA KAUGNAY NA ARTIKULO

Mga palatandaan ng convergence ng serye.
Tanda ng d'Alembert. Mga palatandaan ng Cauchy