Aralin at pagtatanghal sa paksa: "Exponential equation at exponential inequalities"

Mga karagdagang materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, puna, mungkahi! Ang lahat ng mga materyales ay sinuri ng isang antivirus program.

Mga pantulong sa pagtuturo at simulator sa online na tindahan na "Integral" para sa grade 11
Interactive na manwal para sa mga baitang 9-11 "Trigonometry"
Interactive na manwal para sa mga baitang 10-11 "Logarithms"

Kahulugan ng mga exponential equation

Guys, pinag-aralan namin ang mga exponential function, natutunan ang kanilang mga katangian at bumuo ng mga graph, sinuri namin ang mga halimbawa ng mga equation kung saan nakatagpo ang mga exponential function. Ngayon ay pag-aaralan natin ang mga exponential equation at inequalities.

Kahulugan. Mga equation ng form: $a^(f(x))=a^(g(x))$, kung saan ang $a>0$, $a≠1$ ay tinatawag na exponential equation.

Ang pag-alala sa mga theorems na pinag-aralan natin sa paksang "Exponential function", maaari tayong magpakilala ng bagong theorem:
Teorama. Ang exponential equation na $a^(f(x))=a^(g(x))$, kung saan $a>0$, $a≠1$ ay katumbas ng equation na $f(x)=g(x) $.

Mga halimbawa ng exponential equation

Halimbawa.
Lutasin ang mga Equation:
a) $3^(3x-3)=27$.
b) $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
c) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
Desisyon.
a) Alam na alam namin na $27=3^3$.
Isulat muli natin ang ating equation: $3^(3x-3)=3^3$.
Gamit ang theorem sa itaas, nakuha namin na ang aming equation ay bumababa sa equation na $3x-3=3$, paglutas ng equation na ito, makakakuha kami ng $x=2$.
Sagot: $x=2$.

B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
Pagkatapos ang aming equation ay maaaring muling isulat: $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5 ) )=((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
$2x+0.2=$0.2.
$x=0$.
Sagot: $x=0$.

C) Ang orihinal na equation ay katumbas ng equation: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ at $x_2=-3$.
Sagot: $x_1=6$ at $x_2=-3$.

Halimbawa.
Lutasin ang equation: $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=16*((0.0625))^(x+1)$.
Desisyon:
Sunud-sunod kaming magsasagawa ng isang serye ng mga aksyon at dalhin ang parehong bahagi ng aming equation sa parehong mga base.
Magsagawa tayo ng isang serye ng mga operasyon sa kaliwang bahagi:
1) $((0.25))^(x-0.5)=((\frac(1)(4)))^(x-0.5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0.5+0.5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Lumipat tayo sa kanang bahagi:
4) $16=4^2$.
5) $((0.0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0.0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Ang orihinal na equation ay katumbas ng equation:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Sagot: $x=0$.

Halimbawa.
Lutasin ang equation: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Desisyon:
Muli nating isulat ang ating equation: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Gumawa tayo ng pagbabago ng mga variable, hayaan ang $a=3^x$.
Sa mga bagong variable, ang equation ay kukuha ng anyo: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ at $a_2=3$.
Gawin natin ang baligtad na pagbabago ng mga variable: $3^x=-12$ at $3^x=3$.
Sa huling aralin, natutunan namin na ang mga exponential expression ay maaari lamang kumuha ng mga positibong halaga, tandaan ang graph. Nangangahulugan ito na ang unang equation ay walang mga solusyon, ang pangalawang equation ay may isang solusyon: $x=1$.
Sagot: $x=1$.

Gumawa tayo ng isang memo ng mga paraan upang malutas ang mga exponential equation:
1. Paraan ng graphic. Kinakatawan namin ang parehong bahagi ng equation bilang mga function at bumuo ng kanilang mga graph, hanapin ang mga intersection point ng mga graph. (Ginamit namin ang paraang ito sa huling aralin).
2. Ang prinsipyo ng pagkakapantay-pantay ng mga tagapagpahiwatig. Ang prinsipyo ay batay sa katotohanan na ang dalawang expression na may parehong mga base ay pantay-pantay kung at kung ang mga degree (exponents) ng mga base ay pantay. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Pagbabago ng paraan ng mga variable. Ang pamamaraang ito ay dapat gamitin kung ang equation, kapag nagbabago ng mga variable, ay pinapasimple ang anyo nito at mas madaling lutasin.

Halimbawa.
Lutasin ang sistema ng mga equation: $\begin (cases) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \end(cases)$.
Desisyon.
Isaalang-alang ang parehong mga equation ng system nang hiwalay:
$27^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Isaalang-alang ang pangalawang equation:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Gamitin natin ang paraan ng pagbabago ng mga variable, hayaan ang $y=2^(x+y)$.
Pagkatapos ang equation ay kukuha ng anyo:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ at $y_2=-3$.
Lumipat tayo sa mga paunang variable, mula sa unang equation ay makakakuha tayo ng $x+y=2$. Ang pangalawang equation ay walang mga solusyon. Kung gayon ang aming paunang sistema ng mga equation ay katumbas ng sistema: $\begin (cases) x+3y=0, \\ x+y=2. \end(cases)$.
Ibawas ang pangalawang equation mula sa unang equation, makuha natin ang: $\begin (cases) 2y=-2, \\ x+y=2. \end(cases)$.
$\begin (cases) y=-1, \\ x=3. \end(cases)$.
Sagot: $(3;-1)$.

exponential inequalities

Lumipat tayo sa hindi pagkakapantay-pantay. Kapag nilulutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay, kinakailangang bigyang-pansin ang base ng antas. Mayroong dalawang posibleng mga senaryo para sa pagbuo ng mga kaganapan kapag nilulutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay.

Teorama. Kung $a>1$, ang exponential inequality $a^(f(x))>a^(g(x))$ ay katumbas ng inequality $f(x)>g(x)$.
Kung $0 a^(g(x))$ ay katumbas ng $f(x)

Halimbawa.
Lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay:
a) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Desisyon.
a) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Ang aming hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0.5$.

B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) Sa aming equation, ang base na may degree na mas mababa kaysa sa 1, pagkatapos ay kapag pinapalitan ang isang hindi pagkakapantay-pantay ng isang katumbas, kinakailangang baguhin ang tanda.
$2x-4>2$.
$x>3$.

C) Ang aming hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Gamitin natin ang paraan ng solusyon sa pagitan:
Sagot: $(-∞;-5]U \ \

Sagot: $(-4,6)$.

Halimbawa 2

Lutasin ang isang sistema ng mga equation

Larawan 3

Desisyon.

Ang sistemang ito ay katumbas ng sistema

Larawan 4

Inilapat namin ang ikaapat na paraan para sa paglutas ng mga equation. Hayaan ang $2^x=u\ (u >0)$ at $3^y=v\ (v >0)$, makuha namin ang:

Larawan 5

Nilulutas namin ang nagresultang sistema sa pamamagitan ng paraan ng pagdaragdag. Idagdag natin ang mga equation:

\ \

Pagkatapos mula sa pangalawang equation, nakuha namin iyon

Pagbabalik sa kapalit, nakatanggap ako ng bagong sistema ng mga exponential equation:

Larawan 6

Nakukuha namin:

Larawan 7

Sagot: $(0,1)$.

Mga sistema ng exponential inequalities

Kahulugan 2

Ang mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay na binubuo ng mga exponential equation ay tinatawag na isang sistema ng exponential inequalities.

Isasaalang-alang namin ang solusyon ng mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay ng exponential gamit ang mga halimbawa.

Halimbawa 3

Lutasin ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay

Larawan 8

Desisyon:

Ang sistemang ito ng hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng sistema

Larawan 9

Upang malutas ang unang hindi pagkakapantay-pantay, alalahanin ang sumusunod na equivalence theorem para sa exponential inequalities:

Teorama 1. Ang hindi pagkakapantay-pantay na $a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $, kung saan ang $a >0,a\ne 1$ ay katumbas ng set ng dalawang system

\}