Ano ang kailangan mong malaman tungkol sa mga icon ng hindi pagkakapantay-pantay? Mga hindi pagkakapantay-pantay ng icon higit pa (> ), o mas maliit (< ) ay tinatawag mahigpit. May mga icon higit pa o katumbas (≥ ), mas mababa o katumbas (≤ ) ay tinatawag hindi mahigpit. Icon hindi pantay (≠ ) ay nag-iisa, ngunit kailangan mo ring lutasin ang mga halimbawa na may tulad na icon sa lahat ng oras. At gagawin namin.)

Ang icon mismo ay walang gaanong epekto sa proseso ng solusyon. Ngunit sa dulo ng solusyon, kapag pumipili ng pangwakas na sagot, ang kahulugan ng icon ay lilitaw nang buong lakas! Tulad ng makikita natin sa ibaba, sa mga halimbawa. May mga biro...

Ang mga hindi pagkakapantay-pantay, tulad ng mga pagkakapantay-pantay, ay tapat at hindi tapat. Ang lahat ay simple dito, walang mga trick. Sabihin nating 5 > 2 ay ang tamang hindi pagkakapantay-pantay. 5 < 2 ay hindi tama.

Ang ganitong paghahanda ay gumagana para sa hindi pagkakapantay-pantay anumang uri at simple sa horror.) Kailangan mo lang gawin nang tama ang dalawang (dalawa lang!) elementarya na aksyon. Ang mga pagkilos na ito ay pamilyar sa lahat. Ngunit, kung ano ang katangian, ang mga jambs sa mga aksyon na ito ay ang pangunahing pagkakamali sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay, oo ... Samakatuwid, ang mga aksyon na ito ay dapat na ulitin. Ang mga pagkilos na ito ay tinatawag na ganito:

Mga pagbabago sa pagkakakilanlan ng mga hindi pagkakapantay-pantay.

Ang mga pagbabago sa pagkakakilanlan ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay halos kapareho ng mga pagbabago sa pagkakakilanlan ng mga equation. Sa totoo lang, ito ang pangunahing problema. Ang mga pagkakaiba ay dumaan sa ulo at ... dumating.) Samakatuwid, i-highlight ko ang mga pagkakaibang ito sa partikular. Kaya, ang unang magkaparehong pagbabago ng mga hindi pagkakapantay-pantay:

1. Ang parehong numero o expression ay maaaring idagdag (ibawas) sa parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay. Anuman. Hindi magbabago ang inequality sign.

Sa pagsasagawa, ang panuntunang ito ay inilalapat bilang paglipat ng mga termino mula sa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay patungo sa kanang bahagi (at kabaliktaran) na may pagbabago sa tanda. Sa pagbabago sa tanda ng termino, hindi hindi pagkakapantay-pantay! Ang one-on-one na panuntunan ay kapareho ng panuntunan para sa mga equation. Ngunit ang mga sumusunod na magkaparehong pagbabago sa mga hindi pagkakapantay-pantay ay malaki ang pagkakaiba sa mga nasa equation. Kaya i-highlight ko ang mga ito sa pula:

2. Ang parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring i-multiply (hatiin) ng parehopositibonumero. Para sa anumangpositibo Hindi magbabago.

3. Ang parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring i-multiply (hatiin) ng parehonegatibo numero. Para sa anumangnegatibonumero. Ang inequality sign mula ditoay magbabago sa kabaligtaran.

Naaalala mo (umaasa...) na ang isang equation ay maaaring i-multiply/divided sa kahit ano. At para sa anumang numero, at para sa isang expression na may x. Hangga't hindi ito zero. Siya, ang equation, ay hindi mainit o malamig mula rito.) Hindi ito nagbabago. Ngunit ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay mas sensitibo sa multiplikasyon/dibisyon.

Isang magandang halimbawa para sa mahabang memorya. Sumulat kami ng hindi pagkakapantay-pantay na hindi nagdudulot ng mga pagdududa:

5 > 2

I-multiply ang magkabilang panig +3, makuha namin:

15 > 6

Mayroon bang anumang pagtutol? Walang mga pagtutol.) At kung i-multiply natin ang parehong bahagi ng orihinal na hindi pagkakapantay-pantay sa -3, makuha namin:

15 > -6

At ito ay isang tahasang kasinungalingan.) Isang ganap na kasinungalingan! Niloloko ang mga tao! Ngunit sa sandaling mabaligtad ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay, lahat ay nahuhulog sa lugar:

15 < -6

Tungkol sa kasinungalingan at panlilinlang - hindi lang ako nagmumura.) "Nakalimutan kong palitan ang inequality sign..."- Ito bahay pagkakamali sa paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay. Napakaraming tao ang nasaktan ng walang kabuluhan at hindi komplikadong panuntunang ito! Sino ang nakalimutan ...) Kaya't sumusumpa ako. Baka maalala...)

Ang mga taong lalo na maasikaso ay mapapansin na ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi maaaring i-multiply ng isang expression na may x. Igalang ang matulungin!) At bakit hindi? Simple lang ang sagot. Hindi namin alam ang tanda ng expression na ito na may x. Maaari itong maging positibo, negatibo ... Samakatuwid, hindi natin alam kung anong inequality sign ang ilalagay pagkatapos ng multiplikasyon. Baguhin ito o hindi? Hindi alam. Siyempre, ang limitasyong ito (ang pagbabawal sa pagpaparami / paghahati ng hindi pagkakapantay-pantay sa isang expression na may x) ay maaaring lampasan. Kung kailangan mo talaga. Ngunit ito ay isang paksa para sa iba pang mga aralin.

Iyan ang lahat ng magkatulad na pagbabago ng hindi pagkakapantay-pantay. Hayaan akong ipaalala muli sa iyo na sila ay nagtatrabaho para sa anuman hindi pagkakapantay-pantay. At ngayon maaari kang lumipat sa mga partikular na uri.

Mga linear na hindi pagkakapantay-pantay. Solusyon, mga halimbawa.

Ang mga linear inequalities ay tinatawag na inequalities kung saan ang x ay nasa unang degree at walang dibisyon ng x. Uri:

x+3 > 5x-5

Paano nareresolba ang mga hindi pagkakapantay-pantay na ito? Ang mga ito ay napakadaling malutas! Namely: sa tulong binabawasan namin ang pinakanalilitong linear inequality diretso sa sagot. Iyan ang buong solusyon. I-highlight ko ang mga pangunahing punto ng solusyon. Upang maiwasan ang mga hangal na pagkakamali.)

Nalutas namin ang hindi pagkakapantay-pantay na ito:

x+3 > 5x-5

Malulutas namin sa parehong paraan bilang isang linear equation. Sa tanging pagkakaiba:

Bigyang-pansin ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay!

Ang unang hakbang ay ang pinakakaraniwan. Sa x - sa kaliwa, walang x - sa kanan ... Ito ang unang magkaparehong pagbabago, simple at walang problema.) Huwag lamang kalimutang baguhin ang mga palatandaan ng mga inilipat na miyembro.

Ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay napanatili:

x-5x > -5-3

Nagpapakita kami ng mga katulad.

Ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay napanatili:

4x > -8

Ito ay nananatiling ilapat ang huling magkaparehong pagbabagong-anyo: hatiin ang parehong bahagi ng -4.

Hatiin sa pamamagitan ng negatibo numero.

Ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay mababaligtad:

X < 2

Ito ang sagot.

Ito ay kung paano malulutas ang lahat ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay.

Pansin! Ang point 2 ay iginuhit na puti, i.e. hindi pininturahan. Walang laman sa loob. Ibig sabihin hindi siya kasama sa sagot! Sinadya ko siyang iguhit nang napakalusog. Ang ganitong punto (walang laman, hindi malusog!)) sa matematika ay tinatawag punched out point.

Ang natitirang mga numero sa axis ay maaaring markahan, ngunit hindi kinakailangan. Ang mga extraneous na numero na hindi nauugnay sa ating hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring nakakalito, oo ... Kailangan mo lamang tandaan na ang pagtaas ng mga numero ay napupunta sa direksyon ng arrow, i.e. mga numero 3, 4, 5, atbp. ay sa kanan dalawa, at ang mga numero 1, 0, -1, atbp. - pa-kaliwa.

Hindi pagkakapantay-pantay x < 2 - mahigpit. Ang X ay mahigpit na mas mababa sa dalawa. Kapag may pagdududa, ang tseke ay simple. Pinapalitan namin ang isang nagdududa na numero sa hindi pagkakapantay-pantay at iniisip: "Ang dalawa ay mas mababa sa dalawa? Siyempre hindi!" Eksakto. Hindi pagkakapantay-pantay 2 < 2 mali. Ang isang deuce ay hindi mabuti para sa isang sagot.

Sapat na ba ang isang single? tiyak. Mas kaunti ... At ang zero ay mabuti, at -17, at 0.34 ... Oo, lahat ng mga numero na mas mababa sa dalawa ay mabuti! At kahit 1.9999 .... Kahit kaunti, ngunit mas kaunti!

Kaya't minarkahan namin ang lahat ng mga numerong ito sa axis ng numero. paano? Mayroong mga pagpipilian dito. Ang unang pagpipilian ay pagpisa. Itinuturo namin ang mouse sa larawan (o pindutin ang larawan sa tablet) at makita na ang lugar ng bola x na tumutugma sa kondisyon ng x ay may kulay. < 2 . Iyon lang.

Isaalang-alang natin ang pangalawang opsyon sa pangalawang halimbawa:

X ≥ -0,5

Gumuhit ng isang axis, markahan ang numero -0.5. Ganito:

Napansin mo ba ang pagkakaiba?) Aba, oo, mahirap hindi mapansin... Itim ang tuldok na ito! Pininturahan. Nangangahulugan ito na -0.5 kasama sa sagot. Dito pala, sinusuri at lituhin ang isang tao. Pinapalitan namin:

-0,5 ≥ -0,5

Paano kaya? Ang -0.5 ay hindi hihigit sa -0.5! Mayroong higit pang icon...

ayos lang. Sa isang hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay, lahat ng bagay na akma sa icon ay angkop. At katumbas magkasya at higit pa mabuti. Samakatuwid, -0.5 ay kasama sa tugon.

Kaya, minarkahan namin ang -0.5 sa axis, nananatili itong markahan ang lahat ng mga numero na mas malaki kaysa sa -0.5. Sa pagkakataong ito ay minarkahan ko ang hanay ng mga angkop na halaga ng x kadena(mula sa salita arko) kaysa sa pagpisa. Mag-hover sa larawan at tingnan ang bow na ito.

Walang partikular na pagkakaiba sa pagitan ng pagpisa at mga arko. Gawin ang sinasabi ng guro. Kung walang guro, iguhit ang mga braso. Sa mas kumplikadong mga gawain, ang pagpisa ay hindi gaanong halata. Maaari kang malito.

Ito ay kung paano iginuhit ang mga linear na hindi pagkakapantay-pantay sa axis. Dumaan tayo sa susunod na singularidad ng hindi pagkakapantay-pantay.

Sumulat ng sagot para sa hindi pagkakapantay-pantay.

Maganda ito sa mga equation.) Natagpuan namin ang x, at isinulat namin ang sagot, halimbawa: x \u003d 3. Sa hindi pagkakapantay-pantay, mayroong dalawang anyo ng pagsulat ng mga sagot. Isa - sa anyo ng pangwakas na hindi pagkakapantay-pantay. Mabuti para sa mga simpleng kaso. Halimbawa:

X< 2.

Ito ay isang kumpletong sagot.

Minsan kinakailangan na isulat ang parehong bagay, ngunit sa ibang anyo, sa pamamagitan ng mga numerical gaps. Pagkatapos ang entry ay nagsimulang magmukhang napaka-agham):

x ∈ (-∞; 2)

Sa ilalim ng icon ∈ pagtatago ng salita "pag-aari".

Ganito ang nakasulat sa entry: x ay kabilang sa pagitan mula sa minus infinity hanggang dalawa hindi kasama. Medyo lohikal. Ang X ay maaaring maging anumang numero mula sa lahat ng posibleng numero mula minus infinity hanggang dalawa. Ang Double X ay hindi maaaring, na kung ano ang sinasabi sa atin ng salita "hindi kasama".

Nasaan sa sagot yan "hindi kasama"? Ang katotohanang ito ay nabanggit sa sagot. bilog panaklong kaagad pagkatapos ng deuce. Kung ang deuce ay kasama, ang panaklong ay magiging parisukat. Heto na: ]. Ang sumusunod na halimbawa ay gumagamit ng ganoong bracket.

Isulat natin ang sagot: x ≥ -0,5 sa pamamagitan ng mga pagitan:

x ∈ [-0.5; +∞)

Binabasa: x ay kabilang sa pagitan mula sa minus 0.5, kabilang ang, hanggang plus infinity.

Hindi kailanman makakapag-on ang Infinity. Ito ay hindi isang numero, ito ay isang simbolo. Samakatuwid, sa ganitong mga entry, ang infinity ay palaging magkakasabay na may panaklong.

Ang paraan ng pag-record na ito ay maginhawa para sa mga kumplikadong sagot na binubuo ng ilang mga puwang. Ngunit - para lamang sa mga huling sagot. Sa mga intermediate na resulta, kung saan ang isang karagdagang solusyon ay inaasahan, ito ay mas mahusay na gamitin ang karaniwang form, sa anyo ng isang simpleng hindi pagkakapantay-pantay. Haharapin natin ito sa mga nauugnay na paksa.

Mga sikat na gawain na may hindi pagkakapantay-pantay.

Ang mga linear inequalities mismo ay simple. Samakatuwid, ang mga gawain ay kadalasang nagiging mas mahirap. Kaya, sa tingin ito ay kinakailangan. Ito, kung dahil sa ugali, ay hindi masyadong kaaya-aya.) Ngunit ito ay kapaki-pakinabang. Magpapakita ako ng mga halimbawa ng mga ganitong gawain. Hindi para matutunan mo ang mga ito, ito ay kalabisan. At upang hindi matakot kapag nakikipagkita sa mga katulad na halimbawa. Isang maliit na pag-iisip - at lahat ay simple!)

1. Maghanap ng anumang dalawang solusyon sa 3x - 3 hindi pagkakapantay-pantay< 0

Kung hindi masyadong malinaw kung ano ang gagawin, tandaan ang pangunahing tuntunin ng matematika:

Kung hindi mo alam ang gagawin, gawin mo ang iyong makakaya!

X < 1

E ano ngayon? Normal lang, walang espesyal. Ano ang tinatanong sa atin? Hinihiling sa amin na maghanap ng dalawang partikular na numero na solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay. Yung. akma sa sagot. Dalawa anuman numero. Sa totoo lang, ito ay nakakahiya.) Ang isang pares ng 0 at 0.5 ay angkop. Isang mag-asawang -3 at -8. Oo, mayroong isang walang katapusang bilang ng mga mag-asawang ito! Ano ang tamang sagot?!

Sagot ko: lahat! Anumang pares ng mga numero, na ang bawat isa ay mas mababa sa isa, magiging tamang sagot. Isulat kung ano ang gusto mo. Tayo ay pumunta sa karagdagang.

2. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

4x - 3 ≠ 0

Bihira ang mga ganitong trabaho. Ngunit, bilang mga auxiliary inequalities, kapag hinahanap ang ODZ, halimbawa, o kapag hinahanap ang domain ng isang function, sila ay nakakaharap sa lahat ng oras. Ang nasabing isang linear na hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring malutas bilang isang ordinaryong linear equation. Saanman lamang, maliban sa "=" sign ( katumbas) ilagay ang karatula " ≠ " (hindi pantay). Kaya darating ka sa sagot, na may tanda ng hindi pagkakapantay-pantay:

X ≠ 0,75

Sa mas kumplikadong mga halimbawa, mas mahusay na gawin ang mga bagay sa ibang paraan. Gawing pantay ang hindi pagkakapantay-pantay. Ganito:

4x - 3 = 0

Kalmadong lutasin ito gaya ng itinuro, at makuha ang sagot:

x = 0.75

Ang pangunahing bagay, sa pinakadulo, kapag isinulat ang huling sagot, ay huwag kalimutan na natagpuan namin ang x, na nagbibigay ng pagkakapantay-pantay. At kailangan namin- hindi pagkakapantay-pantay. Samakatuwid, hindi lang natin kailangan itong X.) At kailangan natin itong isulat gamit ang tamang icon:

X ≠ 0,75

Ang diskarte na ito ay nagreresulta sa mas kaunting mga error. Ang mga nag-solve ng mga equation sa makina. At para sa mga hindi malulutas ang mga equation, ang mga hindi pagkakapantay-pantay, sa katunayan, ay walang silbi ...) Isa pang halimbawa ng isang tanyag na gawain:

3. Hanapin ang pinakamaliit na integer na solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay:

3(x - 1) < 5x + 9

Una, lutasin lang natin ang hindi pagkakapantay-pantay. Binubuksan namin ang mga bracket, ilipat, bigyan ang mga katulad ... Nakukuha namin:

X > - 6

Hindi ba nangyari!? Sinunod mo ba ang mga palatandaan? At sa likod ng mga palatandaan ng mga miyembro, at sa likod ng tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ...

Mag-imagine ulit tayo. Kailangan nating maghanap ng partikular na numero na tumutugma sa sagot at kundisyon "pinakamaliit na integer". Kung hindi ka agad napapansin, maaari kang kumuha ng anumang numero at alamin ito. Ang dalawa ay mas malaki kaysa sa minus anim? tiyak! Mayroon bang angkop na mas maliit na numero? Syempre. Halimbawa, ang zero ay mas malaki kaysa sa -6. At mas kaunti pa? Kailangan namin ang pinakamaliit na posible! Ang minus three ay higit pa sa minus six! Mahuhuli mo na ang pattern at ihinto ang hangal na pag-uuri ng mga numero, tama ba?)

Kumuha kami ng isang numero na mas malapit sa -6. Halimbawa, -5. Naisasagawa ang tugon, -5 > - 6. Makakahanap ka ba ng ibang numero na mas mababa sa -5 ngunit mas malaki sa -6? Maaari mong, halimbawa, -5.5 ... Tumigil! Sinabihan na kami buo desisyon! Hindi gumulong -5.5! Paano ang minus six? Eee! Ang hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit, ang minus 6 ay hindi bababa sa minus 6!

Kaya ang tamang sagot ay -5.

Umaasa ako na ang lahat ay malinaw sa pagpili ng halaga mula sa pangkalahatang solusyon. Isa pang halimbawa:

4. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

7 < 3x+1 < 13

Paano! Ang ganitong ekspresyon ay tinatawag triple inequality. Sa mahigpit na pagsasalita, ito ay isang pinaikling notasyon ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay. Ngunit kailangan mo pa ring lutasin ang mga triple na hindi pagkakapantay-pantay sa ilang mga gawain ... Ito ay malulutas nang walang anumang mga sistema. Sa pamamagitan ng magkatulad na pagbabagong-anyo.

Kinakailangang pasimplehin, dalhin ang hindi pagkakapantay-pantay na ito sa isang purong X. Pero... Anong lilipat saan!? Narito ang oras upang tandaan na ang paglilipat kaliwa-kanan ay pinaikling anyo ang unang magkaparehong pagbabago.

At ang buong anyo ay ganito: Maaari kang magdagdag / magbawas ng anumang numero o expression sa parehong bahagi ng equation (hindi pagkakapantay-pantay).

Mayroong tatlong bahagi dito. Kaya ilalapat namin ang magkatulad na pagbabago sa lahat ng tatlong bahagi!

Kaya, alisin natin ang nasa gitnang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay. Magbawas ng isa mula sa buong gitnang bahagi. Upang hindi magbago ang hindi pagkakapantay-pantay, ibawas natin ang isa sa natitirang dalawang bahagi. Ganito:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Mas mabuti na, tama?) Nananatiling hatiin ang lahat ng tatlong bahagi sa tatlo:

2 < X < 4

Iyon lang. Ito ang sagot. Ang X ay maaaring maging anumang numero mula dalawa (hindi kasama) hanggang apat (hindi kasama). Ang sagot na ito ay nakasulat din sa pagitan, ang mga naturang entry ay magiging sa mga square inequalities. Doon sila ang pinakakaraniwang bagay.

Sa pagtatapos ng aralin, uulitin ko ang pinakamahalagang bagay. Ang tagumpay sa paglutas ng mga linear inequalities ay nakasalalay sa kakayahang magbago at gawing simple ang mga linear equation. Kung kasabay sundin ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay, walang magiging problema. Ang hiling ko sayo. walang problema.)

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)

maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Halimbawa, ang expression na \(x>5\) ay isang hindi pagkakapantay-pantay.

Mga uri ng hindi pagkakapantay-pantay:

Kung ang \(a\) at \(b\) ay mga numero o , kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay ay tinatawag numerical. Sa katunayan, ito ay paghahambing lamang ng dalawang numero. Ang mga hindi pagkakapantay-pantay na ito ay nahahati sa tapat at hindi tapat.

Halimbawa:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

Ang \(17+3\geq 115\) ay isang di-wastong hindi pagkakapantay-pantay ng numero dahil ang \(17+3=20\) at \(20\) ay mas mababa sa \(115\) (hindi hihigit sa o katumbas ng).

Kung ang \(a\) at \(b\) ay mga expression na naglalaman ng variable, mayroon kami hindi pagkakapantay-pantay sa variable. Ang ganitong mga hindi pagkakapantay-pantay ay nahahati sa mga uri depende sa nilalaman:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Variable lamang sa unang kapangyarihan
\(3x^2-x+5>0\)				Mayroong variable sa pangalawang kapangyarihan (parisukat), ngunit walang mas mataas na kapangyarihan (ikatlo, ikaapat, atbp.)
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... atbp.

Ano ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay?

Kung ang anumang numero ay pinapalitan sa hindi pagkakapantay-pantay sa halip na isang variable, ito ay magiging isang numero.

Kung ang ibinigay na halaga para sa x ay ginagawang tunay na numero ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay, kung gayon ito ay tinatawag paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay. Kung hindi, hindi solusyon ang halagang ito. At sa lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay- kailangan mong hanapin ang lahat ng mga solusyon nito (o ipakita na wala ang mga ito).

Halimbawa, kung tayo ay nasa linear inequality \(x+6>10\), pinapalitan natin ang numerong \(7\) sa halip na x, nakukuha natin ang tamang numerical inequality: \(13>10\). At kung papalitan natin ang \(2\), magkakaroon ng maling hindi pagkakapantay-pantay ng numero \(8>10\). Ibig sabihin, ang \(7\) ay isang solusyon sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay, ngunit ang \(2\) ay hindi.

Gayunpaman, ang hindi pagkakapantay-pantay \(x+6>10\) ay may iba pang mga solusyon. Sa katunayan, makukuha natin ang tamang mga hindi pagkakapantay-pantay sa numero kapag pinapalitan ang at \(5\), at \(12\), at \(138\) ... At paano natin mahahanap ang lahat ng posibleng solusyon? Upang gawin ito, gamitin Para sa aming kaso, mayroon kaming:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Ibig sabihin, maaari tayong gumamit ng anumang numerong higit sa apat. Ngayon kailangan nating isulat ang sagot. Ang mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay, bilang panuntunan, ay isinulat ayon sa numero, bilang karagdagan sa pagmamarka sa kanila sa numerical axis na may pagpisa. Para sa aming kaso mayroon kaming:

Sagot: \(x\in(4;+\infty)\)

Kailan nagbabago ang tanda sa isang hindi pagkakapantay-pantay?

Mayroong isang malaking bitag sa hindi pagkakapantay-pantay, na talagang "gusto" ng mga mag-aaral na mahulog:

Kapag nagpaparami (o naghahati) ng hindi pagkakapantay-pantay sa isang negatibong numero, binabaligtad ito (“mas malaki kaysa sa” ng “mas kaunti”, “mas malaki kaysa o katumbas ng” ng “mas mababa sa o katumbas ng”, at iba pa)

Bakit ito nangyayari? Upang maunawaan ito, tingnan natin ang mga pagbabagong-anyo ng hindi pagkakapantay-pantay ng numero \(3>1\). Tama, higit sa isa talaga ang triple. Una, subukan nating i-multiply ito sa anumang positibong numero, halimbawa, dalawa:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Tulad ng nakikita mo, pagkatapos ng multiplikasyon, ang hindi pagkakapantay-pantay ay nananatiling totoo. At kahit anong positibong numero ang ating i-multiply, palagi nating makukuha ang tamang hindi pagkakapantay-pantay. At ngayon subukan nating i-multiply sa isang negatibong numero, halimbawa, minus tatlo:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Ito ay naging isang hindi tamang hindi pagkakapantay-pantay, dahil ang minus nine ay mas mababa sa minus tatlo! Iyon ay, upang maging totoo ang hindi pagkakapantay-pantay (na nangangahulugan na ang pagbabago ng multiplikasyon sa isang negatibo ay "legal"), kailangan mong i-flip ang tanda ng paghahambing, tulad nito: \(−9<− 3\).
Sa paghahati, ito ay magiging katulad, maaari mong suriin ito sa iyong sarili.

Nalalapat ang panuntunang nakasulat sa itaas sa lahat ng uri ng hindi pagkakapantay-pantay, at hindi lamang sa mga numerical.

Halimbawa: Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay \(2(x+1)-1<7+8x\)
Desisyon:

\(2x+2-1<7+8x\)	Ilipat natin ang \(8x\) sa kaliwa, at ang \(2\) at \(-1\) sa kanan, hindi nakakalimutang baguhin ang mga senyales
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	Hatiin ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng \(-6\), hindi nakakalimutang baguhin mula sa "mas kaunti" patungo sa "mas malaki"
	Markahan natin ang isang numerical interval sa axis. Hindi pagkakapantay-pantay, kaya ang halagang \(-1\) ay "pinutol" at hindi namin ito tinatanggap bilang tugon
	Isulat natin ang sagot bilang pagitan

Sagot: \(x\in(-1;\infty)\)

Mga hindi pagkakapantay-pantay at DHS

Ang mga hindi pagkakapantay-pantay, pati na rin ang mga equation, ay maaaring magkaroon ng mga paghihigpit sa , iyon ay, sa mga halaga ng x. Alinsunod dito, ang mga halagang iyon na hindi katanggap-tanggap ayon sa ODZ ay dapat na hindi kasama sa pagitan ng solusyon.

Halimbawa: Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay \(\sqrt(x+1)<3\)

Desisyon: Malinaw na upang ang kaliwang bahagi ay mas mababa sa \(3\), ang root expression ay dapat na mas mababa sa \(9\) (pagkatapos ng lahat, mula sa \(9\) lamang \(3\)). Nakukuha namin ang:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

Lahat? Ang anumang halaga ng x na mas mababa sa \(8\) ay babagay sa amin? Hindi! Dahil kung kukunin natin, halimbawa, ang halaga na \(-5\) na tila umaangkop sa kinakailangan, hindi ito magiging solusyon sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay, dahil ito ang magdadala sa atin sa pagkalkula ng ugat ng negatibong numero.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Samakatuwid, dapat din nating isaalang-alang ang mga paghihigpit sa mga halaga ng x - hindi maaaring magkaroon ng negatibong numero sa ilalim ng ugat. Kaya, mayroon kaming pangalawang kinakailangan para sa x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

At para maging pangwakas na solusyon ang x, dapat nitong matugunan ang parehong mga kinakailangan nang sabay-sabay: dapat itong mas mababa sa \(8\) (upang maging solusyon) at mas malaki kaysa sa \(-1\) (upang maging wasto sa prinsipyo). Pag-plot sa number line, mayroon kaming panghuling sagot:

Sagot: \(\kaliwa[-1;8\kanan)\)

Sa kabuuan ng iba't ibang logarithmic inequalities, ang mga inequalities na may variable na base ay pinag-aaralan nang hiwalay. Ang mga ito ay nalutas ayon sa isang espesyal na pormula, na sa ilang kadahilanan ay bihirang itinuro sa paaralan:

log k (x ) f (x ) ∨ log k (x ) g (x ) ⇒ (f (x ) − g (x )) (k (x ) − 1) ∨ 0

Sa halip na isang jackdaw "∨", maaari kang maglagay ng anumang palatandaan ng hindi pagkakapantay-pantay: higit pa o mas kaunti. Ang pangunahing bagay ay sa parehong hindi pagkakapantay-pantay ang mga palatandaan ay pareho.

Kaya't inaalis namin ang mga logarithms at binabawasan ang problema sa isang makatwirang hindi pagkakapantay-pantay. Ang huli ay mas madaling malutas, ngunit kapag itinatapon ang mga logarithms, maaaring lumitaw ang mga karagdagang ugat. Upang putulin ang mga ito, sapat na upang mahanap ang hanay ng mga tinatanggap na halaga. Kung nakalimutan mo ang ODZ ng logarithm, mariing inirerekumenda kong ulitin ito - tingnan ang "Ano ang logarithm".

Ang lahat ng nauugnay sa hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ay dapat na isulat at lutasin nang hiwalay:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Ang apat na hindi pagkakapantay-pantay na ito ay bumubuo ng isang sistema at dapat matupad nang sabay-sabay. Kapag natagpuan ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga, nananatili itong i-cross sa solusyon ng isang makatwirang hindi pagkakapantay-pantay - at handa na ang sagot.

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

Una, isulat natin ang ODZ ng logarithm:

Ang unang dalawang hindi pagkakapantay-pantay ay awtomatikong ginagawa, at ang huli ay kailangang isulat. Dahil ang parisukat ng isang numero ay zero kung at kung ang numero mismo ay zero, mayroon tayong:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Lumalabas na ang ODZ ng logarithm ay lahat ng mga numero maliban sa zero: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Ngayon malulutas namin ang pangunahing hindi pagkakapantay-pantay:

Isinasagawa namin ang paglipat mula sa logarithmic inequality hanggang sa makatwiran. Sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay mayroong isang "mas mababa sa" na senyales, kaya ang nagresultang hindi pagkakapantay-pantay ay dapat ding may isang "mas mababa sa" na senyales. Meron kami:

(10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x2) x2< 0;
(3 − x) (3 + x) x 2< 0.

Mga zero ng expression na ito: x = 3; x = -3; x = 0. Bukod dito, ang x = 0 ay ang ugat ng pangalawang multiplicity, na nangangahulugan na kapag dumaan dito, ang tanda ng function ay hindi nagbabago. Meron kami:

Nakukuha namin ang x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Ang set na ito ay ganap na nakapaloob sa ODZ ng logarithm, na nangangahulugan na ito ang sagot.

Pagbabago ng logarithmic inequalities

Kadalasan ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay naiiba sa isa sa itaas. Madaling ayusin ito ayon sa karaniwang mga panuntunan para sa pagtatrabaho sa logarithms - tingnan ang "Mga pangunahing katangian ng logarithms". Namely:

1. Ang anumang numero ay maaaring katawanin bilang isang logarithm na may ibinigay na base;
2. Ang kabuuan at pagkakaiba ng logarithms na may parehong base ay maaaring mapalitan ng isang logarithm.

Hiwalay, gusto kong ipaalala sa iyo ang tungkol sa hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga. Dahil maaaring mayroong ilang logarithms sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay, kinakailangan upang mahanap ang DPV ng bawat isa sa kanila. Kaya, ang pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic ay ang mga sumusunod:

1. Hanapin ang ODZ ng bawat logarithm na kasama sa hindi pagkakapantay-pantay;
2. Bawasan ang hindi pagkakapantay-pantay sa pamantayan gamit ang mga formula para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms;
3. Lutasin ang nagresultang hindi pagkakapantay-pantay ayon sa pamamaraan sa itaas.

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

Hanapin ang domain ng kahulugan (ODZ) ng unang logarithm:

Malutas namin sa pamamagitan ng paraan ng agwat. Paghahanap ng mga zero ng numerator:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Pagkatapos - ang mga zero ng denominator:

x − 1 = 0;
x = 1.

Minarkahan namin ang mga zero at sign sa coordinate arrow:

Nakukuha namin ang x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Magiging pareho ang pangalawang logarithm ng ODZ. Kung hindi ka naniniwala sa akin, maaari mong suriin. Ngayon binabago namin ang pangalawang logarithm upang ang base ay dalawa:

Tulad ng makikita mo, ang mga triple sa base at bago ang logarithm ay lumiit. Kumuha ng dalawang logarithms na may parehong base. Pagsama-samahin natin sila:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Nakuha namin ang karaniwang logarithmic inequality. Inaalis namin ang logarithms sa pamamagitan ng formula. Dahil mayroong mas mababa sa sign sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay, ang resultang rational expression ay dapat ding mas mababa sa zero. Meron kami:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Mayroon kaming dalawang set:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Sagutin ang kandidato: x ∈ (−1; 3).

Ito ay nananatiling tumawid sa mga hanay na ito - nakuha namin ang tunay na sagot:

Interesado kami sa intersection ng mga set, kaya pipiliin namin ang mga agwat na may kulay sa parehong mga arrow. Nakukuha namin ang x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - lahat ng puntos ay nabutas.