Ang mga anggulo ng isang tatsulok ay palaging Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok

Patunay

Hayaan ABC" ay isang arbitrary na tatsulok. Umakyat tayo sa itaas B tuwid na linya parallel sa tuwid na linya AC (Ang ganitong tuwid na linya ay tinatawag na Euclidean straight line). Markahan ito ng punto D upang ang mga puntos A at D humiga sa magkabilang panig ng isang tuwid na linya BC.Angles DBC at ACB katumbas ng panloob na krus na nakahiga, na nabuo sa pamamagitan ng isang secant BC na may parallel na linya AC at BD. Samakatuwid, ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok sa mga vertices B at Sa katumbas ng anggulo ABD.Ang kabuuan ng lahat ng tatlong anggulo ng isang tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng mga anggulo ABD at BAC. Dahil ang mga anggulong ito ay panloob na isang panig para sa parallel AC at BD sa secant AB, kung gayon ang kanilang kabuuan ay 180°. Ang teorama ay napatunayan.

Mga kahihinatnan

Mula sa teorama ay sumusunod na ang anumang tatsulok ay may dalawang talamak na anggulo. Sa katunayan, ang paglalapat ng patunay sa pamamagitan ng kontradiksyon, ipagpalagay na ang tatsulok ay mayroon lamang isang matinding anggulo o walang matinding anggulo. Pagkatapos ang tatsulok na ito ay may hindi bababa sa dalawang anggulo, na ang bawat isa ay hindi bababa sa 90°. Ang kabuuan ng mga anggulong ito ay hindi bababa sa 180°. Ngunit ito ay imposible, dahil ang kabuuan ng lahat ng mga anggulo ng isang tatsulok ay 180°. Q.E.D.

Paglalahat sa teoryang simplex

Nasaan ang anggulo sa pagitan ng i at j na mukha ng simplex.

Mga Tala

  • Sa isang globo, ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok ay palaging lumampas sa 180°, ang pagkakaiba ay tinatawag na spherical na labis at proporsyonal sa lugar ng tatsulok.
  • Sa Lobachevsky plane, ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok ay palaging mas mababa sa 180°. Ang pagkakaiba ay proporsyonal din sa lugar ng tatsulok.

Tingnan din


Wikimedia Foundation. 2010 .

  • Taylor
  • Lower Swan Bridge

Tingnan kung ano ang "Theorem sa kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok" sa iba pang mga diksyunaryo:

    Polygon angle sum theorem- Property ng mga polygon sa Euclidean geometry: Ang kabuuan ng mga anggulo n ng isang polygon ay 180°(n 2). Mga Nilalaman 1 Patunay 2 Puna ... Wikipedia

    Pythagorean theorem- Ang Pythagorean theorem ay isa sa mga pangunahing theorems ng Euclidean geometry, na nagtatatag ng relasyon sa pagitan ng mga gilid ng isang right triangle. Mga Nilalaman 1 ... Wikipedia

    Lugar ng isang tatsulok

    Pythagorean theorem- Ang Pythagorean theorem ay isa sa mga pangunahing theorems ng Euclidean geometry, na nagtatatag ng relasyon sa pagitan ng mga gilid ng isang right triangle. Mga Nilalaman 1 Mga Pahayag 2 Mga Patunay ... Wikipedia

    Cosine theorem- Ang cosine theorem ay isang generalization ng Pythagorean theorem. Ang parisukat ng isang gilid ng isang tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng iba pang dalawang panig nito nang hindi nadodoble ang produkto ng mga panig na ito sa pamamagitan ng cosine ng anggulo sa pagitan nila. Para sa isang patag na tatsulok na may mga gilid a, b, c at anggulo α ... ... Wikipedia

    Tatsulok- Ang terminong ito ay may iba pang kahulugan, tingnan ang Triangle (mga kahulugan). Ang tatsulok (sa Euclidean space) ay isang geometric na pigura na nabuo ng tatlong mga segment ng linya na nag-uugnay sa tatlong di-linear na mga punto. Tatlong tuldok, ... ... Wikipedia

    Mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok- Ang karaniwang notation Triangle ay ang pinakasimpleng polygon na mayroong 3 vertices (sulok) at 3 gilid; isang bahagi ng isang eroplano na napapaligiran ng tatlong puntos na hindi nakahiga sa parehong tuwid na linya, at tatlong mga segment ng linya na nagdudugtong sa mga puntong ito nang magkapares. Ang mga vertex ng isang tatsulok ... Wikipedia

    Euclid- Sinaunang Greek mathematician. Nagtrabaho sa Alexandria noong ika-3 siglo. BC e. Ang pangunahing gawain na "Mga Simula" (15 mga libro), na naglalaman ng mga pangunahing kaalaman ng sinaunang matematika, elementarya na geometry, teorya ng numero, pangkalahatang teorya ng mga relasyon at isang paraan para sa pagtukoy ng mga lugar at volume, ... ... encyclopedic Dictionary

    EUCLID- (namatay sa pagitan ng 275 at 270 BC) sinaunang Greek mathematician. Ang impormasyon tungkol sa oras at lugar ng kanyang kapanganakan ay hindi nakarating sa amin, ngunit alam na si Euclid ay nanirahan sa Alexandria at ang kasagsagan ng kanyang aktibidad ay bumagsak sa paghahari ni Ptolemy I sa Egypt ... ... Malaking Encyclopedic Dictionary

    DI-EUCLIDAN GEOMETRY- geometry na katulad ng geometry ng Euclid dahil tinutukoy nito ang paggalaw ng mga figure, ngunit naiiba sa Euclidean geometry dahil ang isa sa limang postulate nito (pangalawa o ikalima) ay pinalitan ng negasyon nito. Ang pagtanggi sa isa sa mga postulate ng Euclidean ... ... Collier Encyclopedia

Mga layunin at layunin:

Pang-edukasyon:

  • ulitin at gawing pangkalahatan ang kaalaman tungkol sa tatsulok;
  • patunayan ang triangle sum theorem;
  • praktikal na i-verify ang kawastuhan ng pagbabalangkas ng theorem;
  • matutong gamitin ang nakuhang kaalaman sa paglutas ng mga problema.

Pagbuo:

  • upang bumuo ng geometric na pag-iisip, interes sa paksa, nagbibigay-malay at malikhaing aktibidad ng mga mag-aaral, matematikal na pagsasalita, ang kakayahang nakapag-iisa na makakuha ng kaalaman.

Pang-edukasyon:

  • upang bumuo ng mga personal na katangian ng mga mag-aaral, tulad ng determinasyon, tiyaga, kawastuhan, ang kakayahang magtrabaho sa isang pangkat.

Kagamitan: multimedia projector, mga tatsulok na gawa sa kulay na papel, mga materyales sa pagtuturo na "Live Mathematics", computer, screen.

Yugto ng paghahanda: ibinibigay ng guro ang gawain sa mag-aaral na maghanda ng historical background sa theorem "The sum of the angles of a triangle."

Uri ng aralin: pag-aaral ng bagong materyal.

Sa panahon ng mga klase

I. Pansamahang sandali

Pagbati. Sikolohikal na saloobin ng mga mag-aaral sa trabaho.

II. Warm up

Nakilala namin ang geometric figure na "tatsulok" sa mga nakaraang aralin. Ulitin natin ang alam natin tungkol sa tatsulok?

Ang mga mag-aaral ay nagtatrabaho sa mga pangkat. Binibigyan sila ng pagkakataong makipag-usap sa isa't isa, bawat isa ay nakapag-iisa na bumuo ng proseso ng katalusan.

Anong nangyari? Ang bawat pangkat ay gumagawa ng kanilang mga mungkahi at isusulat ng guro sa pisara. Ang mga resulta ay tinatalakay:

Larawan 1

III. Binubalangkas namin ang gawain ng aralin

Kaya, marami na tayong alam tungkol sa tatsulok. Pero hindi lahat. Bawat isa sa inyo ay may mga tatsulok at protractor sa inyong mesa. Ano sa palagay mo, anong gawain ang maaari nating bumalangkas?

Ang mga mag-aaral ay bumalangkas ng gawain ng aralin - upang mahanap ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok.

IV. Paliwanag ng bagong materyal

Praktikal na bahagi(nag-aambag sa aktuwalisasyon ng kaalaman at mga kasanayan sa kaalaman sa sarili). Sukatin ang mga anggulo gamit ang isang protractor at hanapin ang kanilang kabuuan. Isulat ang mga resulta sa isang kuwaderno (pakinggan ang mga natanggap na sagot). Nalaman namin na ang kabuuan ng mga anggulo para sa lahat ay naging iba (maaaring mangyari ito dahil ang protractor ay hindi tumpak na inilapat, ang pagkalkula ay walang ingat na ginawa, atbp.).

Tiklupin ang mga tuldok na linya at alamin kung ano pa ang katumbas ng kabuuan ng mga anggulo ng tatsulok:

a)
Figure 2

b)
Larawan 3

sa)
Larawan 4

G)
Larawan 5

e)
Larawan 6

Matapos makumpleto ang praktikal na gawain, ang mga mag-aaral ay bumalangkas ng sagot: Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok ay katumbas ng sukat ng antas ng pinalawak na anggulo, ibig sabihin, 180°.

Guro: Sa matematika, ginagawang posible lamang ng praktikal na gawain ang paggawa ng ilang uri ng pahayag, ngunit kailangan itong patunayan. Ang isang pahayag na ang bisa ay itinatag sa pamamagitan ng patunay ay tinatawag na teorem. Anong teorama ang maaari nating bumalangkas at patunayan?

Mga mag-aaral: Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok ay 180 degrees.

Sanggunian sa kasaysayan: Ang pag-aari ng kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok ay itinatag sa sinaunang Egypt. Ang patunay na ibinigay sa mga modernong aklat-aralin ay matatagpuan sa mga komento ni Proclus sa Euclid's Elements. Sinasabi ni Proclus na ang patunay na ito (Larawan 8) ay natuklasan ng mga Pythagorean (ika-5 siglo BC). Sa unang aklat ng Mga Elemento, si Euclid ay nagtakda ng isa pang patunay ng theorem sa kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok, na madaling maunawaan sa tulong ng isang guhit (Larawan 7):


Larawan 7


Larawan 8

Ang mga guhit ay ipinapakita sa screen sa pamamagitan ng projector.

Nag-aalok ang guro na patunayan ang teorama sa tulong ng mga guhit.

Pagkatapos ang patunay ay isinasagawa gamit ang CMD "Live Mathematics". Ipinoproyekto ng guro sa computer ang patunay ng theorem.

Triangle sum of angles theorem: "Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok ay 180°"


Larawan 9

Patunay:

a)

Larawan 10

b)

Larawan 11

sa)

Larawan 12

Ang mga mag-aaral sa kuwaderno ay gumawa ng maikling talaan ng patunay ng theorem:

Teorama: Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok ay 180°.


Larawan 13

Ibinigay:Δ ABC

Patunayan: A + B + C = 180°.

Patunay:

Ano ang kailangang patunayan.

V. Phys. minuto.

VI. Paliwanag ng bagong materyal (ipinagpapatuloy)

Ang kinahinatnan ng theorem sa kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok ay nakuha ng mga mag-aaral sa kanilang sarili, ito ay nag-aambag sa pag-unlad ng kakayahang magbalangkas ng kanilang sariling pananaw, ipahayag at ipaglaban ito:

Sa anumang tatsulok, alinman sa lahat ng mga anggulo ay talamak, o dalawang talamak na mga anggulo, at ang pangatlong mahina o pakanan.

Kung ang lahat ng mga anggulo sa isang tatsulok ay talamak, kung gayon ito ay tinatawag acute-angled.

Kung ang isa sa mga anggulo ng isang tatsulok ay malabo, kung gayon ito ay tinatawag mahina ang ulo.

Kung ang isa sa mga anggulo ng isang tatsulok ay tama, kung gayon ito ay tinatawag hugis-parihaba.

Ang triangle angle sum theorem ay nagpapahintulot sa iyo na pag-uri-uriin ang mga tatsulok hindi lamang sa mga gilid, kundi pati na rin sa mga anggulo. (Sa kurso ng pagpapakilala ng mga uri ng tatsulok, punan ng mga mag-aaral ang isang talahanayan)

Talahanayan 1

Triangle view Isosceles Equilateral Maraming nalalaman
Parihaba
mahina ang ulo
acute-angled

VII. Pagsasama-sama ng pinag-aralan na materyal.

  1. Lutasin ang mga problema nang pasalita:

(Ang mga guhit ay ipinapakita sa screen sa pamamagitan ng projector)

(pangunahing abstract)

Visual geometry Baitang 7. Reference abstract No. 4 Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok.

Mahusay na Pranses na siyentipiko noong ika-17 siglo Blaise Pascal noong bata pa siya, mahilig siyang mag-ukit ng mga geometric na hugis. Pamilyar siya sa protractor at marunong siyang magsukat ng mga anggulo. Napansin ng batang mananaliksik na para sa lahat ng mga tatsulok ang kabuuan ng tatlong anggulo ay pareho - 180 °. “Paano mo mapapatunayan? isip ni Pascal. "Pagkatapos ng lahat, hindi mo maaaring suriin ang kabuuan ng mga anggulo ng lahat ng mga tatsulok - mayroong isang walang katapusang bilang ng mga ito." Pagkatapos ay pinutol niya ang dalawang sulok ng tatsulok gamit ang gunting at ikinabit ang mga ito sa ikatlong sulok. Ito ay naging isang nabuo na anggulo, na, tulad ng alam mo, ay katumbas ng 180 °. Ito ang kanyang unang sariling pagtuklas. Ang karagdagang kapalaran ng batang lalaki ay natukoy na.

Sa paksang ito, matututunan mo ang tungkol sa limang mga tampok ng pagkakapantay-pantay ng tamang tatsulok at marahil ang pinakasikat na katangian ng isang tamang tatsulok na may anggulo na 30°. Ito ay parang ganito: ang binti na nakahiga sa tapat ng isang anggulo ng 30 ° ay katumbas ng kalahati ng hypotenuse. Ang paghahati ng isang equilateral triangle na may taas, agad kaming nakakakuha ng patunay ng property na ito.

TEOREM. Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok ay 180°. Upang patunayan ito, gumuhit kami ng isang linya sa pamamagitan ng vertex parallel sa base. Ang mga madilim na anggulo ay pantay-pantay at ang mga kulay abong anggulo ay pantay-pantay habang ang mga ito ay nakahiga sa magkatulad na linya. Ang madilim na sulok, ang kulay abong sulok at ang sulok sa tuktok ay bumubuo ng isang tuwid na sulok, ang kanilang kabuuan ay 180°. Ito ay sumusunod mula sa theorem na ang mga anggulo ng isang equilateral triangle ay 60° bawat isa at ang kabuuan ng mga acute na anggulo ng isang right triangle ay 90°.

labas ng sulok tatsulok ay tinatawag na anggulo na katabi ng anggulo ng tatsulok. Samakatuwid, kung minsan ang mga anggulo ng tatsulok mismo ay tinatawag na panloob na mga anggulo.

THEOREM sa panlabas na anggulo ng isang tatsulok. Ang panlabas na anggulo ng isang tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng dalawang panloob na anggulo na hindi katabi nito. Sa katunayan, ang isang panlabas na sulok at dalawang panloob na hindi katabi nito ay kumpletuhin ang punong sulok hanggang sa 180°. Ito ay sumusunod mula sa theorem na ang isang panlabas na anggulo ay mas malaki kaysa sa anumang panloob na anggulo na hindi katabi nito.

TEOREM sa mga relasyon sa pagitan ng mga gilid at anggulo ng isang tatsulok. Sa isang tatsulok, ang mas malaking bahagi ay nasa tapat ng mas malaking anggulo, at ang mas malaking bahagi ay nasa tapat ng mas malaking anggulo. Ito ay sumusunod mula dito: 1) Ang binti ay mas mababa sa hypotenuse. 2) Ang patayo ay mas mababa kaysa sa slope.

Distansya mula sa punto hanggang linya . Dahil ang patayo ay mas mababa kaysa sa anumang pahilig na iginuhit mula sa parehong punto, ang haba nito ay kinukuha bilang distansya mula sa punto hanggang sa linya.

hindi pagkakapantay-pantay ng tatsulok . Ang haba ng anumang panig ng isang tatsulok ay mas mababa kaysa sa kabuuan ng iba pang dalawang panig nito, i.e. a< b + с , b< а + с , kasama< а + b . Bunga. Ang haba ng polyline ay mas malaki kaysa sa segment na kumukonekta sa mga dulo nito.

ALAMAT NG PANTAY
PABIHAK NA TATRIANGLES

Sa dalawang paa. Kung ang dalawang binti ng isang kanang tatsulok ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng dalawang binti ng isa pang tatsulok, kung gayon ang mga tatsulok ay magkapareho.

Kasama ang binti at katabing talamak na anggulo. Kung ang binti at ang talamak na anggulo na katabi nito ng isang right-angled na tatsulok ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng binti at ang talamak na anggulo na katabi nito ng isa pang tatsulok, kung gayon ang gayong mga tatsulok ay magkapareho.

Kasama ang binti at kabaligtaran talamak na anggulo. Kung ang binti at ang kabaligtaran na talamak na anggulo ng isang kanang tatsulok ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng binti at ang kabaligtaran na talamak na anggulo ng isa pang tatsulok, kung gayon ang gayong mga tatsulok ay magkapareho.

Sa pamamagitan ng hypotenuse at acute angle. Kung ang hypotenuse at acute angle ng isang right triangle ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng hypotenuse at acute angle ng isa pang triangle, kung gayon ang mga triangles ay magkapareho.

Ang patunay ng mga pamantayang ito ay agad na bumababa sa isa sa mga pamantayan para sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok.

Sa pamamagitan ng binti at hypotenuse. Kung ang binti at hypotenuse ng isang right triangle ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng leg at hypotenuse ng isa pang right triangle, kung gayon ang mga triangles ay magkapareho.

Patunay. Nag-aaplay kami ng mga tatsulok na may pantay na mga binti. Nakakuha kami ng isosceles triangle. Ang taas na iginuhit mula sa itaas ay magiging median din. Pagkatapos ang pangalawang binti ng mga tatsulok ay pantay, at ang mga tatsulok ay pantay sa tatlong panig.

TEOREM sa pag-aari ng isang binti na nakahiga sa tapat ng isang anggulo ng 30 °. Ang binti sa tapat ng 30° anggulo ay katumbas ng kalahati ng hypotenuse. Ito ay napatunayan sa pamamagitan ng pagkumpleto ng tatsulok sa isang equilateral.

THEOREM sa pag-aari ng mga anggulong bisector point. Anumang punto sa bisector ng isang anggulo ay katumbas ng layo mula sa mga gilid nito. Kung ang isang punto ay katumbas ng layo mula sa mga gilid ng isang anggulo, ito ay namamalagi sa bisector ng anggulo. Napatunayan sa pamamagitan ng pagguhit ng dalawang patayo sa mga gilid ng anggulo at pagsasaalang-alang sa mga tamang tatsulok.

Pangalawang mahusay na punto . Ang mga bisector ng isang tatsulok ay nagsalubong sa isang punto.

Distansya sa pagitan ng mga parallel na linya. TEOREM. Ang lahat ng mga punto ng bawat isa sa dalawang parallel na linya ay nasa parehong distansya mula sa kabilang linya. Ang kahulugan ng distansya sa pagitan ng mga parallel na linya ay sumusunod mula sa theorem.

Kahulugan. Ang distansya sa pagitan ng dalawang parallel na linya ay ang distansya mula sa anumang punto sa isa sa mga parallel na linya hanggang sa kabilang linya.

Mga detalyadong patunay ng theorems






Ito ang reference abstract No. 4 sa geometry sa grade 7. Piliin ang mga susunod na hakbang:

Tatsulok . Talamak, mapurol at kanang tatsulok.

Ang mga binti at ang hypotenuse. Isosceles at equilateral triangle.

Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok.

Ang panlabas na sulok ng tatsulok. Mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok.

Mga magagandang linya at punto sa isang tatsulok: taas, median,

bisectors, median e patayo, orthocenter,

center of gravity, center of the circumscribed circle, center of the inscribed circle.

Pythagorean theorem. Ang aspect ratio ng isang arbitrary na tatsulok.

Tatsulok ay isang polygon na may tatlong gilid (o tatlong sulok). Ang mga gilid ng isang tatsulok ay madalas na tinutukoy ng maliliit na titik, na tumutugma sa mga malalaking titik na nagpapahiwatig ng magkasalungat na mga vertex.

Kung ang lahat ng tatlong anggulo ay talamak (fig. 20), kung gayon ito talamak na tatsulok . Kung tama ang isa sa mga sulok(C, fig.21), yan ay kanang tatsulok; paniga , bAng pagbuo ng tamang anggulo ay tinatawag binti; gilidcsa tapat ng tamang anggulo ay tinatawag hypotenuse. Kung isa sa mahinang mga anggulo (B, fig.22), yan ay mapurol na tatsulok.


Triangle ABC (Fig. 23) - isosceles, kung dalawa magkapantay ang mga panig nitoa= c); ang mga pantay na panig na ito ay tinatawag lateral, ang ikatlong partido ay tinatawag batayan tatsulok. Tatsulok ABC (Larawan 24) - equilateral, kung lahat magkapantay ang mga panig nitoa = b = c). Sa pangkalahatan ( a ≠ b ≠ c) meron kami scalene tatsulok .

Mga pangunahing katangian ng mga tatsulok. Sa anumang tatsulok:

1. Mayroong mas malaking anggulo sa tapat ng mas malaking bahagi, at kabaliktaran.

2. Ang mga pantay na anggulo ay nasa tapat ng magkabilang panig, at kabaliktaran.

Sa partikular, lahat ng mga anggulo sa equilateral pantay ang tatsulok.

3. Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok ay 180 º .

Mula sa huling dalawang katangian ay sumusunod na ang bawat anggulo sa isang equilateral

ang tatsulok ay 60 º.

4. Ipagpatuloy ang isa sa mga gilid ng tatsulok (AC, fig. 25), nakukuha natin panlabas

anggulo BCD . Ang panlabas na anggulo ng isang tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng mga panloob na anggulo,

hindi nauugnay dito :BCD=A+B.

5. Anuman gilid ng isang tatsulok ay mas mababa kaysa sa kabuuan ng iba pang dalawang panig at higit pa

kanilang pagkakaiba (a < b + c, a > b – c;b < a + c, b > a – c;c < a + b,c > a – b).

Mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok.

Ang mga tatsulok ay magkapareho kung magkapareho ang mga ito:

a ) dalawang panig at ang anggulo sa pagitan nila;

b ) dalawang sulok at ang gilid na katabi ng mga ito;

c) tatlong panig.

Mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tamang tatsulok.

Dalawa hugis-parihaba ang mga tatsulok ay magkatugma kung ang isa sa mga sumusunod na kundisyon ay totoo:

1) ang kanilang mga binti ay pantay;

2) ang binti at hypotenuse ng isang tatsulok ay katumbas ng binti at hypotenuse ng isa pa;

3) ang hypotenuse at ang acute angle ng isang triangle ay katumbas ng hypotenuse at ang acute angle ng isa;

4) ang binti at ang katabing talamak na anggulo ng isang tatsulok ay katumbas ng binti at ang katabing talamak na anggulo ng isa;

5) ang binti at ang kabaligtaran na talamak na anggulo ng isang tatsulok ay katumbas ng binti at sa tapat ng matinding anggulo ng isa.

Mga magagandang linya at tuldok sa isang tatsulok.

taas tatsulok aypatayo,bumaba mula sa anumang vertex patungo sa kabilang panig ( o ang pagpapatuloy nito). Ang panig na ito ay tinatawagang base ng tatsulok . Ang tatlong altitude ng isang tatsulok ay palaging nagsalubongsa isang puntotinawag orthocenter tatsulok. Ang orthocenter ng isang talamak na tatsulok (point O , Fig. 26) ay matatagpuan sa loob ng tatsulok, atorthocenter ng isang obtuse triangle (point O , Fig.27) – labas; Ang orthocenter ng isang right triangle ay tumutugma sa vertex ng right angle.

Median - Ito segment ng linya , pagkonekta sa anumang vertex ng isang tatsulok na may gitnang punto ng kabaligtaran. Tatlong median ng isang tatsulok (AD , BE , CF , fig.28) bumalandra sa isang punto O , na laging nasa loob ng tatsulok at pagiging kanya sentro ng grabidad. Hinahati ng puntong ito ang bawat median na 2:1 mula sa itaas.

Bisector - Ito segment ng bisector sulok mula sa itaas hanggang sa punto intersection sa kabaligtaran. Tatlong bisector ng isang tatsulok (AD , BE , CF , fig.29) bumalandra sa isang punto Oh, laging nakahiga sa loob ng tatsulok at pagiging may nakasulat na bilog na sentro(tingnan ang seksyong "Nakasulatat circumscribed polygons).

Hinahati ng bisector ang kabaligtaran sa mga bahagi na proporsyonal sa mga katabing panig ; halimbawa, sa Fig.29 AE : CE = AB : BC .

Median patayo ay isang patayo na iginuhit mula sa mean mga punto ng segment (mga gilid). Tatlong perpendicular bisectors ng triangle ABC(KO , MO , HINDI , fig.30 ) bumalandra sa isang punto O, which is gitna circumscribed na bilog (puntos K , M , N ang mga midpoint ng mga gilid ng isang tatsulok ABC).

Sa isang talamak na tatsulok, ang puntong ito ay nasa loob ng tatsulok; sa mapurol - sa labas; sa isang hugis-parihaba - sa gitna ng hypotenuse. Orthocenter, center of gravity, center of the circumscribed at center of the inscribed circle nag-tutugma lamang sa isang equilateral triangle.

Pythagorean theorem. Sa isang kanang tatsulok, ang parisukat ng habaAng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga haba ng mga binti.

Ang patunay ng Pythagorean theorem ay malinaw na sumusunod mula sa Fig.31. Isaalang-alang ang isang tamang tatsulok ABC na may mga binti a , b at hypotenuse c.

Bumuo tayo ng isang parisukat AKMB gamit ang hypotenuse AB bilang isang panig. Pagkatapospahabain ang mga gilid ng isang tamang tatsulok ABC kaya upang makakuha ng isang parisukat CDEF , na ang panig ay katumbas nga + b .Ngayon ay malinaw na ang lugar ng isang parisukat Ang CDEF ay ( a+b) 2 . Sa kabilang banda, ito ang lugar ay katumbas ng kabuuan mga lugar apat na tamang tatsulok at parisukat na AKMB , iyon ay

c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab,

mula rito,

c 2 + 2 ab= (a+b) 2 ,

at sa wakas mayroon kaming:

c 2 =a 2 +b 2 .

Ang aspect ratio ng isang arbitrary na tatsulok.

Sa pangkalahatang kaso (para sa isang di-makatwirang tatsulok) mayroon kaming:

c 2 =a 2 +b 2 – 2ab· cos c,

kung saan C - anggulo sa pagitan ng mga gilida at b .

>>Geometry: Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok. Kumpletuhin ang mga Aralin

PAKSA NG ARALIN: Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok.

Layunin ng Aralin:

  • Pagsasama-sama at pagsubok ng kaalaman ng mga mag-aaral sa paksang: "Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok";
  • Patunay ng mga katangian ng mga anggulo ng isang tatsulok;
  • Ang paggamit ng ari-arian na ito sa paglutas ng mga pinakasimpleng problema;
  • Ang paggamit ng makasaysayang materyal para sa pagbuo ng aktibidad ng nagbibigay-malay ng mga mag-aaral;
  • Pagkintal ng kasanayan sa kawastuhan sa pagbuo ng mga guhit.

Layunin ng aralin:

  • Suriin ang kakayahan ng mga mag-aaral sa paglutas ng mga problema.

Plano ng aralin:

  1. Tatsulok;
  2. Theorem sa kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok;
  3. Halimbawa ng gawain.

Tatsulok.

File:O.gif Triangle- ang pinakasimpleng polygon na mayroong 3 vertices (sulok) at 3 gilid; isang bahagi ng isang eroplano na may hangganan ng tatlong puntos at tatlong segment ng linya na nagdudugtong sa mga puntong ito nang magkapares.
Tatlong punto sa espasyo na hindi nakahiga sa isang tuwid na linya ay tumutugma sa isa at isang eroplano lamang.
Anumang polygon ay maaaring nahahati sa mga tatsulok - ang prosesong ito ay tinatawag triangulation.
Mayroong isang seksyon ng matematika na ganap na nakatuon sa pag-aaral ng mga pattern ng mga tatsulok - Trigonometry.

Theorem sa kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok.

File:T.gif Ang triangle sum of angles theorem ay isang classical theorem sa Euclidean geometry na nagsasaad na ang kabuuan ng mga anggulo ng isang triangle ay 180°.

patunay" :

Hayaang ibigay ang Δ ABC. Gumuhit tayo ng isang linya na kahanay ng (AC) sa pamamagitan ng vertex B at markahan ang punto D dito upang ang mga punto A at D ay nasa magkabilang panig ng linya BC. Pagkatapos ang anggulo (DBC) at ang anggulo (ACB) ay katumbas ng mga panloob na krus na nakahiga sa magkatulad na linya BD at AC at ang secant (BC). Pagkatapos ang kabuuan ng mga anggulo ng tatsulok sa vertices B at C ay katumbas ng anggulo (ABD). Ngunit ang anggulo (ABD) at ang anggulo (BAC) sa vertex A ng tatsulok na ABC ay panloob na isang panig na may magkatulad na linya BD at AC at secant (AB), at ang kanilang kabuuan ay 180°. Samakatuwid, ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok ay 180°. Ang teorama ay napatunayan.


Mga kahihinatnan.

Ang panlabas na anggulo ng isang tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng dalawang anggulo ng tatsulok na hindi katabi nito.

Patunay:

Hayaang ibigay ang Δ ABC. Ang puntong D ay nasa linyang AC upang ang A ay nasa pagitan ng C at D. Pagkatapos ang BAD ay nasa labas ng anggulo ng tatsulok sa vertex A at A + BAD = 180°. Ngunit A + B + C = 180°, at samakatuwid B + C = 180° – A. Kaya MASAMA = B + C. Ang corollary ay napatunayan.


Mga kahihinatnan.

Ang panlabas na anggulo ng isang tatsulok ay mas malaki kaysa sa alinmang anggulo ng tatsulok na hindi katabi nito.

Gawain.

Ang panlabas na anggulo ng isang tatsulok ay ang anggulo na katabi ng anumang anggulo ng tatsulok na ito. Patunayan na ang isang panlabas na anggulo ng isang tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng dalawang anggulo ng tatsulok na hindi katabi nito.
(Fig.1)

Desisyon:

Hayaang panlabas ang Δ ABC ∠DAC (Fig.1). Pagkatapos ∠DAC=180°-∠BAC (ayon sa katangian ng mga katabing anggulo), ayon sa theorem sa kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok ∠B+∠C =180°-∠BAC. Mula sa mga pagkakapantay-pantay na ito ay nakukuha natin ang ∠DAC=∠B+∠C

Kawili-wiling katotohanan:

Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok :

Sa geometry ni Lobachevsky, ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok ay palaging mas mababa sa 180. Sa geometry ni Euclid, ito ay palaging katumbas ng 180. Sa Riemannian geometry, ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok ay palaging mas malaki sa 180.

Mula sa kasaysayan ng matematika:

Ang Euclid (III siglo BC) sa akdang "Mga Pagsisimula" ay nagbibigay ng sumusunod na kahulugan: "Ang parallel ay mga tuwid na linya na nasa parehong eroplano at, na pinalawak nang walang katiyakan sa magkabilang direksyon, ay hindi nagtatagpo sa bawat isa sa magkabilang panig" .
Posidonius (1st century BC) "Dalawang tuwid na linya na nakahiga sa parehong eroplano, pantay ang layo sa isa't isa"
Ang sinaunang Greek scientist na si Pappus (III siglo BC) ay nagpakilala ng simbolo ng magkatulad na linya - sign =. Kasunod nito, ginamit ng English economist na si Ricardo (1720-1823) ang simbolong ito bilang pantay na tanda.
Noong ika-18 siglo lamang nagsimula silang gumamit ng simbolo ng magkatulad na linya - ang tanda ||.
Ang live na koneksyon sa pagitan ng mga henerasyon ay hindi naaantala sa isang sandali, araw-araw ay natutunan natin ang karanasang naipon ng ating mga ninuno. Ang mga sinaunang Greeks, batay sa mga obserbasyon at praktikal na karanasan, ay gumawa ng mga konklusyon, nagpahayag ng mga hypotheses, at pagkatapos, sa mga pagpupulong ng mga siyentipiko - mga symposium (literal na "kapistahan") - sinubukan nilang patunayan at patunayan ang mga hypotheses na ito. Noong panahong iyon, nabuo ang pahayag: "Ang katotohanan ay ipinanganak sa isang pagtatalo."

Mga Tanong:

  1. Ano ang tatsulok?
  2. Ano ang sinasabi ng triangle sum theorem?
  3. Ano ang panlabas na anggulo ng tatsulok?

MGA KAUGNAY NA ARTIKULO