Andrey Raygorodsky - Sino ang nangangailangan ng matematika? Isang naiintindihan na libro tungkol sa kung paano gumagana ang digital na mundo.

Kung gusto mong mahanap ang sagot sa tanong na "Why do I need math?", Ang librong ito ay para sa iyo. Sinasabi nito ang tungkol sa mga modernong aplikasyon ng matematika, kung wala ang pagkakaroon ng aviation, insurance, riles, gamot, Internet, ekonomiya ay imposible ... Ang listahan ay maaaring magpatuloy sa mahabang panahon, ngunit mas madaling sabihin na ang pagkakaroon ng modernong mundo na alam nating imposible.

Ang aklat na ito ay magiging kapaki-pakinabang sa isang malawak na hanay ng mga mambabasa, ngunit para sa pinaka-interesado at handa na mga mambabasa, ang mga may-akda ay nagdagdag ng karagdagang impormasyon, na pinagsama ang mga ito sa isang espesyal na apendiks.

Ang gawain ay nai-publish noong 2016 nina Mann, Ivanov at Ferber. Sa aming website maaari mong i-download ang aklat na "Sino ang nangangailangan ng matematika? Isang naiintindihan na libro tungkol sa kung paano gumagana ang digital na mundo" sa fb2, rtf, epub, pdf, txt na format o basahin online. Ang rating ng libro ay 2.2 out of 5. Dito, bago basahin, maaari ka ring sumangguni sa mga pagsusuri ng mga mambabasa na pamilyar na sa libro at alamin ang kanilang opinyon. Sa online na tindahan ng aming kasosyo maaari kang bumili at magbasa ng libro sa anyo ng papel.

Lahat ng karapatan ay nakalaan. Walang bahagi ng publikasyong ito ang maaaring kopyahin para sa anumang layunin sa anumang anyo o sa anumang paraan, elektroniko o mekanikal, kabilang ang pag-photocopy at pag-record sa magnetic media, nang walang nakasulat na pahintulot ng publisher.

* * *

Panimula

Tungkol saan ang librong ito

Sa aklat na ito ay pag-uusapan natin ang ilang modernong aplikasyon ng matematika. Pumili kami ng pitong paksa, isa para sa bawat kabanata:

1) pagpaplano ng mga gawain at pag-iiskedyul (kabanata "Pamamahala at polyhedra");

2) coding ng mga teksto para sa imbakan at paghahatid sa digital form (kabanata "The World of Zeros and Ones");

3) ang istraktura ng pagkonekta ng mga server sa pamamagitan ng mga channel ng komunikasyon sa Internet (kabanata na "Pagiging Maaasahan sa Internet");

4) load balancing sa telekomunikasyon (kabanata "Ang kapangyarihan ng pagpili sa pagitan ng dalawa");

5) pag-encrypt ng mga kumpidensyal na mensahe (kabanata "Mga Lihim na Numero");

6) pagbibilang ng mga operasyon sa pagsusuri ng malaking data (kabanata "Mga Counter na may maikling memorya");

Sa anumang paraan ay hindi tayo nagpapanggap na isang kumpletong survey ng hindi mabilang na mga aplikasyon ng matematika. Mangangailangan ito ng hindi isang libro, ngunit isang buong library! Halimbawa, hindi namin binabanggit ang mga medikal na aplikasyon, tulad ng paggawa ng gumagalaw na three-dimensional na imahe sa isang CT scan o paghahanap ng mga mutasyon sa mga genome ng mga selula ng kanser. Hindi rin namin sinakop ang mga aplikasyon sa high-tech na pagmamanupaktura, gaya ng engineering at aviation, at isang malawak na hanay ng mga aplikasyon sa ekonomiya.

Ang mga paksang napili natin ay pinag-isa ng isang ideya. Lahat ng mga ito ay konektado sa mga computer at sa Internet. Nais naming ipakita nang may malinaw at konkretong mga halimbawa na ang isang computer, kahit na ang pinakamakapangyarihan, ay hindi kayang gumawa ng mga himala na naging pamilyar na sa amin: magpakita ng mga teksto at litrato, gumawa ng mga kumplikadong kalkulasyon, maghanap ng impormasyon at magpadala ng data sa paligid. ang mundo. Sa likod ng lahat ng ito ay matematika; kung wala ito, ang computer ay mananatiling isang walang buhay at halos walang silbi na aparato.

Siyempre, kahit na ang paksang ito ay hindi maaaring ganap na saklawin sa isang libro. Pumili lamang kami ng ilang mga halimbawa na pinakamalapit sa paksa ng aming sariling pananaliksik. Kung ang aklat na ito ay isinulat ng ibang mga may-akda, kung gayon ang mga paksa ay magkakaiba, ngunit hindi gaanong kahanga-hanga.

Talagang gusto naming ibahagi sa iyo, kung hindi ang aming hilig, at least ang aming paghanga sa matematika - tumpak at maganda, sinaunang at palaging moderno at, siyempre, hindi kapani-paniwalang kapaki-pakinabang!

Para kanino ang librong ito?

Ang aklat na ito ay isinulat para sa malawak na hanay ng mga mambabasa at hindi nangangailangan ng espesyal na paghahanda. Kasabay nito, para sa pinaka-interesado at handa na mga mambabasa, nagdagdag kami, bilang karagdagan sa pangunahing teksto, mga karagdagang paliwanag at aplikasyon.

Pangunahing teksto. Ang pangunahing teksto ng aklat ay hindi nangangailangan ng ganap na mathematical background. Sinubukan naming isulat ito sa paraang ito ay kawili-wili at naiintindihan ng bawat mambabasa. Sa isang diwa, maihahambing ang ating kuwento sa mga sikat na programa sa telebisyon sa agham.

Mga karagdagang paliwanag. Minsan, para sa interesadong mambabasa, ipinapaliwanag namin ang mga pangunahing ideya nang mas detalyado. Ang tekstong ito ay kasama sa mga inset. Karaniwan, hindi ito nangangailangan ng background sa matematika. Ngunit kung nais mo, maaari mong laktawan ito nang walang pagkiling sa pag-unawa sa natitirang bahagi ng nilalaman ng kabanata.

Mga aplikasyon. Sa dulo ng aklat, naglagay kami ng mga apendise sa bawat kabanata, kung saan nagbibigay kami ng mas mahigpit na mga pormulasyon sa matematika, kabilang ang mga formula, teorema, at patunay (o hindi bababa sa mga ideya para sa mga patunay). Maghanap ng mga sanggunian sa mga ito sa nauugnay na mga kabanata. Ang mga aplikasyon ay idinisenyo para sa antas ng mga mag-aaral sa high school na mahilig sa matematika.

Kabanata 1
"May kailangan pa bang math?"

Nellie

Pagkatapos ng mahabang paglipad at isang oras at kalahati sa pila, sa wakas ay ipinakita ko ang aking pasaporte at inilagay ang aking hintuturo sa maliit na scanner sa paliparan ng Atlanta. Nawala sa hangin…

- Dumating ako sa kumperensya.

- Matematika.

Ang lahat ay malinaw sa akin, ang guwardiya ng hangganan ay ngumiti at kinuha ang selyo:

- At ano, may ibang nangangailangan ng matematika?

Hindi, isipin mo lang! Nakaupo siya sa airport ng Atlanta, kung saan literal na lumalapag ang isang eroplano tuwing sampung minuto, sinusuri ang aking pasaporte, hinahanap ng computer ang aking mga fingerprint sa milyun-milyong iba pang mga fingerprint sa isang bahagi ng isang segundo at inihahambing ang aking file sa daan-daang manipis na linya sa isang maliit na scanner. Paano, gusto kong malaman, napagpasyahan kung anong oras, saan at anong eroplano ang dapat lumapag? Paano mag-imbak ng mga fingerprint sa isang computer na, bagama't ipinapakita nito ang lahat ng uri ng mga larawan sa screen, talagang hindi maaaring mag-imbak ng anuman maliban sa mga zero at isa? Paano mabilis na mahanap ang nais na rekord sa milyun-milyong iba pa? At paano makakapagpasya ang isang computer - isang bungkos ng plastik at bakal - kung magkatugma ang dalawang larawan, habang sinasala ang hindi maiiwasang ingay at mga kamalian?

Maaari kang maghukay ng higit pa, pag-unawa sa disenyo ng sasakyang panghimpapawid (maximum na lakas na may pinakamababang timbang), bungkalin ang mahiwagang sistema para sa pagtukoy ng halaga ng mga tiket, at iba pa at iba pa. At wala sa mga ito - isipin mo, talagang wala! – hindi magagawa nang walang matematika. Mga eroplano, presyo, linya sa mga daliri - lahat ng ito ay inilarawan gamit ang mga variable, function at equation. At para sa lahat ng mga problemang ito, ang epektibo at tumpak na mga solusyon ay natagpuan. Dahil ang computer ay walang mga mata, at sa parehong oras ay dapat nitong makilala ang aking fingerprint nang mabilis at tumpak. Ang isang buong pangkat ng mga mathematician ay maaaring magtrabaho sa buong buhay nila, na eksklusibong makitungo sa mga problemang nauugnay sa paliparan ng Atlanta.

Kinuha ko ang aking pasaporte at ngumiti sa bantay sa hangganan:

- Siyempre kailangan mo ito!

Walang silbi ang pagbuo ng talakayan. At pagkatapos, para sa lahat ng kawalang-kabuluhan ng tanong, hindi niya kasalanan na isipin niya ang matematika bilang isang walang katapusang serye ng mga walang kwentang pagsasanay na may mga numero at formula. At syempre, hindi lang siya.

Tinalakay ko kamakailan ang sitwasyong ito sa isang klase kasama ang mga estudyante sa matematika. Tinatanong ka: saan ka nag-aaral? Sagot mo: applied mathematics. Tinatanong ka: bakit kailangan ito? May mga nakakahiyang ngiti sa mga manonood. Narinig ng lahat ang tanong na ito nang higit sa isang beses.

Naniniwala ako na ang matematika ay dapat maging maganda o kapaki-pakinabang. At mas mabuti - gaya ng madalas na nangyayari sa totoong agham - pareho! Marahil, nang walang espesyal na pagsasanay, ang kagandahan ng matematika ay medyo mahirap maunawaan. Ngunit nakakagulat ako na sa digital age, kakaunti lang ang alam ng pangkalahatang publiko tungkol sa hindi kapani-paniwalang gamit ng matematika. Ang pag-aalinlangan ng American border guard ay ang panuntunan sa halip na ang pagbubukod. Sa aklat na ito, nais kong malinaw at kawili-wiling sabihin ang tungkol sa mga pakinabang ng matematika. Well, tungkol sa kagandahan, siyempre, din. Sana ay makita at pahalagahan ito ng mambabasa.

Andrei

Sa aking pamilya, marami ang may kaugnayan sa matematika. Si nanay at tatay, halimbawa, ay nagkita sa MIIT, kung saan nag-aral si nanay sa Faculty of Applied Mathematics, at si Tatay ay nag-aral ng automation ng mga control system (bilang tawag noon sa mga departamento ng programming). Minsan nag-aral si Tatay sa sikat na 2nd school. At ang ama ng aking ina, ang aking lolo, bago ang digmaan, ay nagtapos mula sa Mechanics and Mathematics Department ng Moscow State University at pagkatapos ay nagtrabaho sa buong buhay niya sa pagkalkula ng mga tilapon ng spacecraft (sabihin, ang parehong unang moon rovers), una kay Korolev sa Podlipki, pagkatapos ay kasama si Lavochkin sa Khimki. Siya na siguro ang pinakamalaking impluwensya sa akin. Nag-aral din ako sa Mechanics and Mathematics ng Moscow State University. Doon, ang aking pagpili ng matematika bilang isang propesyon ay radikal na naimpluwensyahan ng aking superbisor, si Nikolai Germanovich Moshchevitin.

Bago ang mekhmat, nag-aral ako sa isang paaralan na may bias sa Pransya at mahilig ako sa maraming asignatura. Interesado ako sa mga wika, kabilang ang mula sa pananaw ng linggwistika. Sa mataas na paaralan, nagkaroon ako ng pagkakataong magpalit ng paaralan sa isang paaralang may bias sa matematika, ngunit sinasadya kong pinili na manatili at tapusin ang aking Pranses.

Hindi ako naniniwala na ang matematika ay isang natural na agham, tulad ng physics, chemistry o biology. Ito ay isang uri ng sining. Ang tanyag na matematiko na si Erdős ay nagsabi na ang Diyos ay may aklat na naglalaman ng perpektong mga patunay sa matematika, "mga patunay mula sa isang libro." Sa tingin ko rin na ang matematika ay nagpapakita ng mga katotohanang nakapaloob sa perpektong mundo, at dahil lamang sa mayroon itong mga aplikasyon ay nakikita nito ang "mas mataas na katotohanan" kung saan ang mundong ito ay nagsisilbing isang projection. Sa madaling salita, hindi matematika ang nabibigyang-katwiran ng mga aplikasyon nito (ito ay maganda sa sarili nito), ang mga ito ay bumangon dahil sa katotohanang ganito ang gawain ng mundo, at ang matematika ay tungkol lamang dito, tungkol sa istruktura ng mundo.

Ang aking agham - combinatorics - ay kapansin-pansin dahil ito ay gumagawa ng maraming mga pormulasyon at napatunayang kumplikadong mga resulta na nauunawaan kahit na sa isang batang mag-aaral na interesado sa matematika. Samakatuwid, napakahusay na pag-usapan ito. Gayunpaman, ang agham na ito ay mayaman din sa mga problema na, sa kabila ng pagiging simple ng kanilang mga pormulasyon, ay hindi pa rin ganap na nalutas. Sa aklat ay isasaalang-alang natin ang ilan sa mga ito: nananatili pa rin silang bukas, sa kabila ng kanilang kaugnayan.

Ang pinakamahusay na sagot sa tanong na "Sino ang nangangailangan ng matematika?"

Marahil ang premyo para sa pinakamahusay na sagot sa tanong na "Sino ang nangangailangan ng matematika?" maaaring ligtas na maibigay sa isang namumukod-tanging German mathematician na nagngangalang Martin Grotschel. Hindi namin ginagarantiya ang katumpakan ng pagtatanghal, ngunit ang bike na sinasabi sa mga kumperensya ay parang ganito:

Isang araw, nagpasya ang gobyerno ng Aleman na maglaan ng malaking halaga ng pera para sa pagpapaunlad ng pinaka-advanced at kinakailangang mga lugar ng agham. Ang mga physicist, chemist, biologist - mga kinatawan ng lahat ng agham ay inanyayahan sa pagpupulong ng komisyon ng estado. Kinakatawan ni Grotschel ang matematika. Ang lahat ng mga tagapagsalita ay nagsalita nang may malaking sigasig tungkol sa mga pambihirang tagumpay ng kanilang agham at kung paano kung wala ang mundo at Alemanya ay babagsak. Naturally, lahat ng tagapagsalita ay lumampas sa inilaang oras. Si Grotschel ang huling nagsalita. Patapos na ang pagpupulong, antok na antok ang mga opisyal sa daloy ng impormasyong dumarating sa kanila. Lumapit si Grotshel sa podium at nagsabi ng ganito:

- Mga binibini at mga ginoo! Hindi kita sasagutin ng mahabang talumpati, ngunit magbigay lamang ng isang halimbawa. Kamakailan, nakatanggap kami ng isang order mula sa isang malaking kompanya ng seguro na nagpaplanong lumikha ng serbisyo ng kotse para sa kanilang mga customer. Ang ideya ay napaka-simple: kung ang kotse ng isang kliyente ay masira sa kalsada, maaari siyang tumawag sa telepono at isang serbisyong pang-emerhensiya ay agad na darating sa kanya. Ang tanong ay kung paano maayos na ayusin ang naturang serbisyo. Sa prinsipyo, ang gawain ay maaaring malutas nang simple - halimbawa, magtalaga ng isang personal na sasakyang pang-emerhensiya na may mekaniko sa bawat kliyente. Pagkatapos ang kliyente ay agad na makakatanggap ng tulong anumang oras. Ngunit ito ay napakamahal! Ang isa pang opsyon ay huwag makipag-ugnayan sa serbisyong pang-emergency. Ang mga customer ay maaaring maghintay nang walang katiyakan, ngunit hindi ito gagastos sa kanila ng isang sentimo. Kaya. Kung hindi angkop sa iyo ang mga solusyong ito, dapat kong sabihin sa iyo na para sa anumang iba pang mga opsyon, kakailanganin ang matematika! Salamat sa iyong atensyon.

Hindi na kailangang sabihin, ang matematika ay nakatanggap ng malalaking subsidyo ng gobyerno. Ang mga resulta ng mga pamumuhunan na ito sa lahat ng mga lugar, mula sa transportasyon hanggang sa medisina, ay talagang kamangha-mangha!

Siyanga pala, sa mga estudyante ni Nelly, ang premyo para sa pinakamahusay na sagot ay si Clara, na nagsabi na kung walang matematika ay imposibleng mag-iskedyul ng mga tren at palagi silang magkakabanggaan. Pag-uusapan pa natin ang tungkol sa mga timetable ng tren sa Kabanata 2, ngunit sa ngayon, pag-usapan natin ang ginagawa ng mga propesyonal na mathematician, mula sa mga nagtapos sa kolehiyo sa mga kumpanya hanggang sa mga nangungunang theoretical scientist.

Math para sa bawat araw

Malaki ang pangangailangan para sa mga nagtapos na may degree sa matematika sa Europa. Maging ang mga karaniwang estudyante ay madaling makahanap ng trabaho. Bukod dito, hindi sila palaging nagiging programmer, kahit na ang kanilang kumpanya ay gumagawa ng software. Ang pinakamainam na magandang code ay ang gawain ng mga inhinyero ng software. Ang gawain ng mga mathematician ay makabuo ng mga pamamaraan para sa paglutas ng problema.

Ang larangan ng aktibidad ng mga mathematician ay napakalawak: logistik, pagpaplano, high-tech na produksyon, biomedical na teknolohiya, pananalapi.

Ipinagtanggol ng dating kasamahan na si Nelli ang kanyang disertasyon sa matematika sa pananalapi, at pagkatapos ay pumasok sa trabaho para sa kumpanya. “Pinagmamahalaan namin ang mga ari-arian ng mga pondo ng pensiyon sa merkado ng mga mahalagang papel. Maraming tao ang nag-iisip na ito ay isang buy-sell na uri ng aktibidad. At nakaupo ako dito at nilulutas ang mga differential equation sa buong araw. At ang mga lalaking nagtitinda ay nakaupo doon, tatlong metro ang layo sa akin. Ngayon magbibilang ako at sasabihin sa kanila kung ano ang bibilhin."

Sa mga mathematical scientist mayroong mga direktang nagtatrabaho sa mga application. Sinabi ni Mor Harkol-Balter ng Carnegie Mellon University na ang lahat ng kanyang pananaliksik ay batay sa mga aplikasyon. Halimbawa, noong 2011 nakipagtulungan siya sa Facebook. Tinatantya ni Mohr na ang Facebook ay mayroon lamang kalahati ng mga server nito na nakabukas at tumatakbo, at ang natitirang oras ay idle sila. Ang isang tumatakbo at idle na server ay kumokonsumo ng humigit-kumulang dalawang-katlo ng kapangyarihan ng isang tumatakbong server. Ngunit ang mga kumpanya ay natatakot na i-off ang mga server, dahil mas marami, mas mabilis nilang makayanan ang mga kahilingan ng gumagamit. Kasabay nito, aabutin ng 4-5 minuto upang i-on ang server, at nais ng Facebook na kumpletuhin ang kahilingan sa kalahating segundo! Gayunpaman, walang alinlangan si Mor na ang mga server ay maaaring ligtas na maisara. Mula sa teoryang matematika - teorya ng pagpila- malinaw na kung maraming server (at marami ang mga ito sa Facebook!), kung gayon ang oras na ginugol sa pag-on nito ay walang epekto. Gumawa si Mohr at ang kanyang mga mag-aaral ng isang paraan kung saan ang mga server ay naka-on at naka-off nang walang anumang pinsala sa mga gumagamit. Sinunod ng Facebook ang mga rekomendasyon at, ayon sa kumpanya, ngayon ay nakakatipid ng 10-15% ng enerhiya.

Ang mga propesor ng University of Twente na sina Richard Boucheri at Erwin Hans at ang kanilang mga mag-aaral ay kasangkot sa logistik ng pangangalagang pangkalusugan. Bilang resulta ng kanilang pagsasaliksik, malaking pagbabago ang naganap sa mga ospital sa Netherlands. Halimbawa, ang isang ospital sa Rotterdam ay palaging may espesyal na operating room na nakahanda para sa mga emergency na operasyon. B tungkol sa karamihan ng oras ang operating room ay walang laman, mahalagang oras na nasayang. Ngunit nangamba ang management na kung hindi ay kailangang maghintay ng masyadong mahaba ang mga emergency na pasyente. Kasabay nito, kailangan pa nilang maghintay, sabihin, kung bigla silang nagdala ng dalawang emergency na pasyente nang sabay-sabay. Ipinakita ng mga kalkulasyon sa matematika na ang isang wastong nakaplanong iskedyul ng mga elective na operasyon (isa pang hindi mahalagang gawain!) ay nagbibigay-daan sa iyo na mabilis na makatanggap ng halos lahat ng mga pasyenteng pang-emergency. Bilang resulta, ang emergency operating room ay inalis at ibinigay sa mga nakaplanong operasyon.

Maraming mga mathematician ang nagtatrabaho sa mga application, ngunit hindi lahat ay kasing lapit tulad ng sa mga halimbawa sa itaas. Ang pagbuo ng mga bagong teorya ay hindi gaanong mahalaga para sa pagsasanay kaysa sa solusyon ng agarang praktikal na mga problema. Pag-uusapan natin ito nang mas detalyado sa mga sumusunod na seksyon.

Nelly Litvak, Andrey Raigorodsky

Sino ang nangangailangan ng matematika? Isang naiintindihan na libro tungkol sa kung paano gumagana ang digital world

Panimula

Tungkol saan ang librong ito

Sa aklat na ito ay pag-uusapan natin ang ilang modernong aplikasyon ng matematika. Pumili kami ng pitong paksa, isa para sa bawat kabanata:

1) pagpaplano ng mga gawain at pag-iiskedyul (kabanata);

2) coding ng mga teksto para sa imbakan at paghahatid sa digital form (kabanata );

3) ang istraktura ng pagkonekta ng mga server sa pamamagitan ng mga channel ng komunikasyon sa Internet (kabanata);

4) load balancing sa telekomunikasyon (kabanata);

5) pag-encrypt ng mga kumpidensyal na mensahe (Kabanata );

6) pagbibilang ng mga operasyon sa pagsusuri ng malaking data (kabanata );

Para kanino ang librong ito?

"May kailangan pa bang math?"

Nellie

- Dumating ako sa kumperensya.

Tungkol sa libro
Isang libro tungkol sa kung paano umiikot ang modernong mundo salamat sa matematika.

Bakit kailangan ko ng math? Paano ito magiging kapaki-pakinabang sa akin? Sa buhay, walang sinuman ang kailangang kalkulahin ang integral!

Nakapagtataka, sa digital age, maraming tao ang nag-iisip sa ganitong paraan at itinuturing ang matematika bilang isang abstract at hindi kinakailangang agham...

Ngunit kung wala ito, imposible ang pagkakaroon ng modernong aviation, insurance, riles, gamot, Internet, ekonomiya ... Ang listahan ay maaaring ipagpatuloy sa mahabang panahon, ngunit mas madaling sabihin na ang pagkakaroon ng modernong mundo sa pagkakaalam natin imposible.

Itinama nina Nelly Litvak at Andrey Raigorodsky ang kawalang-katarungang ito sa pamamagitan ng pagsulat ng isang libro sa mga modernong aplikasyon ng matematika. Isang aklat na magiging pantay na kawili-wili at naa-access sa parehong hindi handa na mambabasa (kung saan ang pangunahing teksto ay responsable - madali, kawili-wili at naiintindihan), at isang advanced na isa (salamat sa mga detalyadong paliwanag sa bawat kabanata). Ang libro ay angkop para sa mga mag-aaral sa high school at mga mag-aaral na interesado sa ...

Basahin nang buo

Kinokolekta namin ang mga kamangha-manghang siyentipikong katotohanan para sa iyo, pinapanatili kang napapanahon sa mga bagong tuklas, nagkukuwento ng hindi kapani-paniwalang mga kuwento tungkol sa pisika, kompyuter at ekonomiya. Ang pinakaastig na mga siyentipiko-may-akda, ang pinakasikat na mga paksa: lahat ng kailangan mong malaman tungkol sa modernong non-fiction na panitikan - sa navigator

Portal para sa mag-aaral. Pagsasanay sa sarili

* * *

Panimula

Tungkol saan ang librong ito

Para kanino ang librong ito?

Kabanata 1 "May kailangan pa bang math?"

Ang pinakamahusay na sagot sa tanong na "Sino ang nangangailangan ng matematika?"

Math para sa bawat araw

MGA KAUGNAY NA ARTIKULO

Kabanata 1
"May kailangan pa bang math?"