Ang hindi bababa sa karaniwang denominator ay ginagamit upang pasimplehin ang equation na ito. Ginagamit ang paraang ito kapag hindi mo maisulat ang ibinigay na equation na may isang rational expression sa bawat panig ng equation (at gamitin ang cross multiplication method). Ginagamit ang paraang ito kapag binigyan ka ng rational equation na may 3 o higit pang fraction (sa kaso ng dalawang fraction, mas maganda ang cross multiplication).

Hanapin ang least common denominator ng mga fraction (o least common multiple). Ang NOZ ay ang pinakamaliit na numero na pantay na nahahati ng bawat denominator.

• Minsan ang NOZ ay isang halatang numero. Halimbawa, kung ang equation ay ibinigay: x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, kung gayon ay malinaw na ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero 3, 2 at 6 ay magiging 6.
• Kung ang NOD ay hindi halata, isulat ang mga multiple ng pinakamalaking denominator at hanapin sa kanila ang isa na maramihan din ng iba pang denominator. Madalas mong mahahanap ang NOD sa pamamagitan lamang ng pagpaparami ng dalawang denominator nang magkasama. Halimbawa, kung ang equation na x/8 + 2/6 = (x - 3)/9 ay ibinigay, pagkatapos NOZ = 8*9 = 72.
• Kung ang isa o higit pang mga denominator ay naglalaman ng isang variable, kung gayon ang proseso ay medyo mas kumplikado (ngunit hindi imposible). Sa kasong ito, ang NOZ ay isang expression (naglalaman ng variable) na nahahati ng bawat denominator. Halimbawa, sa equation na 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), dahil ang expression na ito ay nahahati sa bawat denominator: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

I-multiply ang numerator at denominator ng bawat fraction sa isang numero na katumbas ng resulta ng paghahati ng NOZ sa katumbas na denominator ng bawat fraction. Dahil pina-multiply mo ang numerator at denominator sa parehong numero, epektibo mong pinaparami ang fraction sa 1 (halimbawa, 2/2 = 1 o 3/3 = 1).

• Kaya sa aming halimbawa, i-multiply ang x/3 sa 2/2 upang makakuha ng 2x/6, at i-multiply ang 1/2 sa 3/3 upang makakuha ng 3/6 (3x + 1/6 ay hindi kailangang i-multiply dahil ito ang denominator ay 6).
• Magpatuloy nang katulad kapag ang variable ay nasa denominator. Sa aming pangalawang halimbawa NOZ = 3x(x-1), kaya 5/(x-1) beses (3x)/(3x) ay 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x beses ng 3(x-1)/3(x-1) para makakuha ng 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) i-multiply sa (x-1)/(x-1) at makakakuha ka ng 2(x-1)/3x(x-1).

Hanapin ang x. Ngayon na binawasan mo na ang mga fraction sa isang karaniwang denominator, maaari mong alisin ang denominator. Upang gawin ito, i-multiply ang bawat panig ng equation sa pamamagitan ng isang common denominator. Pagkatapos ay lutasin ang nagresultang equation, iyon ay, hanapin ang "x". Upang gawin ito, ihiwalay ang variable sa isang bahagi ng equation.

• Sa aming halimbawa: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Maaari kang magdagdag ng 2 fraction na may parehong denominator, kaya isulat ang equation bilang: (2x+3)/6=(3x+1)/6. I-multiply ang magkabilang panig ng equation ng 6 at alisin ang mga denominator: 2x+3 = 3x +1. Lutasin at makuha ang x = 2.
• Sa aming pangalawang halimbawa (na may variable sa denominator), ang equation ay parang (pagkatapos ng pagbabawas sa isang karaniwang denominator): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Sa pamamagitan ng pagpaparami ng magkabilang panig ng equation sa NOZ, aalisin mo ang denominator at makuha ang: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), o 15x = 3x - 3 + 2x -2, o 15x = x - 5 Lutasin at makuha ang: x = -5/14.

Ipinakilala namin ang equation sa itaas sa § 7. Una, naaalala namin kung ano ang rational expression. Ito ay isang algebraic na expression na binubuo ng mga numero at ang variable na x gamit ang mga operasyon ng karagdagan, pagbabawas, pagpaparami, paghahati at exponent na may natural na exponent.

Kung ang r(x) ay isang rational expression, kung gayon ang equation na r(x) = 0 ay tinatawag na rational equation.

Gayunpaman, sa pagsasagawa, mas madaling gumamit ng medyo mas malawak na interpretasyon ng terminong "rational equation": ito ay isang equation ng anyong h(x) = q(x), kung saan ang h(x) at q(x) ay mga makatwirang ekspresyon.

Hanggang ngayon, hindi namin malulutas ang anumang rational equation, ngunit isa lamang na, bilang resulta ng iba't ibang pagbabago at pangangatwiran, ay nabawasan sa linear equation. Ngayon ang aming mga posibilidad ay mas malaki: magagawa naming malutas ang isang rational equation, na binabawasan hindi lamang sa linear
mu, ngunit din sa quadratic equation.

Alalahanin kung paano namin nalutas ang mga makatwirang equation kanina at subukang bumalangkas ng isang algorithm ng solusyon.

Halimbawa 1 lutasin ang equation

Desisyon. Muli naming isinusulat ang equation sa form

Sa kasong ito, gaya ng dati, ginagamit namin ang katotohanan na ang mga pagkakapantay-pantay na A \u003d B at A - B \u003d 0 ay nagpapahayag ng parehong relasyon sa pagitan ng A at B. Ito ay nagpapahintulot sa amin na ilipat ang termino sa kaliwang bahagi ng equation na may kabaligtaran ng tanda.

Magsagawa tayo ng mga pagbabago sa kaliwang bahagi ng equation. Meron kami

Alalahanin ang mga kondisyon ng pagkakapantay-pantay mga fraction zero: kung, at kung, ang dalawang relasyon ay sabay na nasiyahan:

1) ang numerator ng fraction ay zero (a = 0); 2) ang denominator ng fraction ay iba sa zero).
Ang equating sa zero ang numerator ng fraction sa kaliwang bahagi ng equation (1), makuha namin

Ito ay nananatiling suriin ang katuparan ng pangalawang kondisyon na nabanggit sa itaas. Ang ratio ay nangangahulugan para sa equation (1) na . Ang mga halaga x 1 = 2 at x 2 = 0.6 ay nakakatugon sa ipinahiwatig na mga relasyon at samakatuwid ay nagsisilbing mga ugat ng equation (1), at sa parehong oras ang mga ugat ng ibinigay na equation.

1) Ibahin natin ang equation sa anyo

2) Gawin natin ang mga pagbabago sa kaliwang bahagi ng equation na ito:

(sabay-sabay na binago ang mga palatandaan sa numerator at
mga fraction).
Kaya, ang ibinigay na equation ay tumatagal ng form

3) Lutasin ang equation x 2 - 6x + 8 = 0. Hanapin

4) Para sa mga nahanap na halaga, suriin ang kundisyon . Ang numero 4 ay nakakatugon sa kundisyong ito, ngunit ang numero 2 ay hindi. Kaya ang 4 ay ang ugat ng ibinigay na equation, at ang 2 ay isang extraneous na ugat.
Sagot: 4.

2. Solusyon ng mga rational equation sa pamamagitan ng pagpapakilala ng bagong variable

Ang paraan ng pagpapakilala ng bagong variable ay pamilyar sa iyo, ginamit namin ito nang higit sa isang beses. Ipakita natin sa pamamagitan ng mga halimbawa kung paano ito ginagamit sa paglutas ng mga rational equation.

Halimbawa 3 Lutasin ang equation x 4 + x 2 - 20 = 0.

Desisyon. Nagpakilala kami ng bagong variable y \u003d x 2. Dahil x 4 \u003d (x 2) 2 \u003d y 2, kung gayon ang ibinigay na equation ay maaaring muling isulat sa anyo

y 2 + y - 20 = 0.

Ito ay isang quadratic equation, ang mga ugat nito ay makikita natin gamit ang kilala mga formula; makuha natin ang y 1 = 4, y 2 = - 5.
Ngunit y \u003d x 2, na nangangahulugan na ang problema ay nabawasan sa paglutas ng dalawang equation:
x2=4; x 2 \u003d -5.

Mula sa unang equation nakita namin ang pangalawang equation ay walang mga ugat.
Sagot: .
Ang isang equation ng form na ax 4 + bx 2 + c \u003d 0 ay tinatawag na isang biquadratic equation ("bi" - dalawa, ibig sabihin, bilang, isang "dalawang beses na parisukat" na equation). Ang equation na nalutas ay eksaktong biquadratic. Ang anumang biquadratic equation ay malulutas sa parehong paraan tulad ng equation mula sa halimbawa 3: isang bagong variable y \u003d x 2 ay ipinakilala, ang resultang quadratic equation ay nalutas na may paggalang sa variable y, at pagkatapos ay ibabalik sa variable x.

Halimbawa 4 lutasin ang equation

Desisyon. Tandaan na ang parehong expression x 2 + 3x ay nangyayari nang dalawang beses dito. Kaya naman, makatuwirang magpakilala ng bagong variable y = x 2 + Zx. Ito ay magpapahintulot sa amin na muling isulat ang equation sa isang mas simple at mas kaaya-ayang anyo (na, sa katunayan, ay ang layunin ng pagpapakilala ng isang bagong variable- at mas madali ang pagre-record
, at ang istraktura ng equation ay nagiging mas malinaw):

At ngayon gagamitin namin ang algorithm para sa paglutas ng isang rational equation.

1) Ilipat natin ang lahat ng termino ng equation sa isang bahagi:

= 0
2) Ibahin natin ang kaliwang bahagi ng equation

Kaya, binago namin ang ibinigay na equation sa anyo

3) Mula sa equation - 7y 2 + 29y -4 = 0 nahanap namin (nalutas na namin ang napakaraming quadratic equation, kaya malamang na hindi palaging nagkakahalaga ng pagbibigay ng mga detalyadong kalkulasyon sa aklat-aralin).

4) Suriin natin ang mga natagpuang ugat gamit ang kondisyon 5 (y - 3) (y + 1). Ang parehong mga ugat ay nakakatugon sa kondisyong ito.
Kaya, ang quadratic equation para sa bagong variable y ay nalutas:
Dahil ang y \u003d x 2 + Zx, at y, tulad ng itinatag namin, ay tumatagal ng dalawang halaga: 4 at, - kailangan pa rin nating lutasin ang dalawang equation: x 2 + Zx \u003d 4; x 2 + Zx \u003d. Ang mga ugat ng unang equation ay ang mga numero 1 at - 4, ang mga ugat ng pangalawang equation ay ang mga numero

Sa mga halimbawang isinasaalang-alang, ang paraan ng pagpapakilala ng isang bagong variable ay, tulad ng gustong sabihin ng mga mathematician, sapat sa sitwasyon, iyon ay, ito ay tumutugma nang maayos dito. Bakit? Oo, dahil ang parehong expression ay malinaw na nakatagpo sa equation ng ilang beses at makatwirang italaga ang expression na ito ng isang bagong titik. Ngunit hindi ito palaging nangyayari, kung minsan ang isang bagong variable ay "lumalabas" lamang sa proseso ng mga pagbabago. Ito mismo ang mangyayari sa susunod na halimbawa.

Halimbawa 5 lutasin ang equation
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Desisyon. Meron kami
x (x - 3) \u003d x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) \u003d x 2 -3x + 2.

Kaya't ang ibinigay na equation ay maaaring muling isulat sa anyo

(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24

Ngayon ay isang bagong variable ang "lumitaw": y = x 2 - Zx.

Sa tulong nito, ang equation ay maaaring muling isulat sa anyong y (y + 2) \u003d 24 at pagkatapos ay y 2 + 2y - 24 \u003d 0. Ang mga ugat ng equation na ito ay ang mga numero 4 at -6.

Pagbabalik sa orihinal na variable x, nakakuha kami ng dalawang equation x 2 - Zx \u003d 4 at x 2 - Zx \u003d - 6. Mula sa unang equation nakita namin ang x 1 \u003d 4, x 2 \u003d - 1; ang pangalawang equation ay walang mga ugat.

Sagot: 4, - 1.

Nilalaman ng aralin buod ng aralin suporta frame lesson presentation accelerative methods interactive na mga teknolohiya Magsanay mga gawain at pagsasanay mga workshop sa pagsusuri sa sarili, mga pagsasanay, mga kaso, mga quests mga tanong sa talakayan sa araling-bahay, mga tanong na retorika mula sa mga mag-aaral Mga Ilustrasyon audio, mga video clip at multimedia mga litrato, mga larawang graphics, mga talahanayan, mga scheme ng katatawanan, mga anekdota, mga biro, mga parabula sa komiks, mga kasabihan, mga crossword puzzle, mga quote Mga add-on mga abstract articles chips for inquisitive cheat sheets textbooks basic and additional glossary of terms other Pagpapabuti ng mga aklat-aralin at mga aralinpagwawasto ng mga pagkakamali sa aklat-aralin pag-update ng isang fragment sa aklat-aralin na mga elemento ng pagbabago sa aralin na pinapalitan ng mga bago ang hindi na ginagamit na kaalaman Para lamang sa mga guro perpektong mga aralin plano sa kalendaryo para sa taon na mga rekomendasyong pamamaraan ng programa ng talakayan Pinagsanib na Aralin

Sa ngayon, nalutas lamang namin ang mga integer equation na may kinalaman sa hindi alam, iyon ay, mga equation kung saan ang mga denominator (kung mayroon man) ay hindi naglalaman ng hindi alam.

Kadalasan kailangan mong lutasin ang mga equation na naglalaman ng hindi alam sa mga denominator: ang mga naturang equation ay tinatawag na fractional.

Upang malutas ang equation na ito, pinaparami natin ang magkabilang panig nito sa pamamagitan ng isang polynomial na naglalaman ng hindi alam. Magiging katumbas ba ang bagong equation sa ibinigay? Upang masagot ang tanong, lutasin natin ang equation na ito.

Ang pagpaparami ng magkabilang panig nito sa pamamagitan ng , nakukuha natin ang:

Ang paglutas ng equation na ito ng unang degree, nakita namin:

Kaya, ang equation (2) ay may isang ugat

Ang pagpapalit nito sa equation (1), nakukuha natin:

Samakatuwid, ito rin ang ugat ng equation (1).

Ang equation (1) ay walang ibang mga ugat. Sa aming halimbawa, makikita ito, halimbawa, mula sa katotohanan na sa equation (1)

Paano ang hindi kilalang divisor ay dapat na katumbas ng dibidendo 1 na hinati ng quotient 2, i.e.

Kaya, ang mga equation (1) at (2) ay may iisang ugat. Kaya, ang mga ito ay katumbas.

2. Lutasin natin ngayon ang sumusunod na equation:

Ang pinakasimpleng common denominator: ; i-multiply ang lahat ng mga tuntunin ng equation dito:

Pagkatapos ng pagbawas ay nakukuha natin:

Palawakin natin ang mga bracket:

Nagdadala ng mga katulad na termino, mayroon kaming:

Ang paglutas ng equation na ito, makikita natin:

Ang pagpapalit sa equation (1), nakukuha natin:

Sa kaliwang bahagi, nakatanggap kami ng mga expression na hindi makatuwiran.

Samakatuwid, ang ugat ng equation (1) ay hindi. Ito ay nagpapahiwatig na ang mga equation (1) at hindi katumbas.

Sa kasong ito, sinasabi namin na ang equation (1) ay nakakuha ng extraneous root.

Ihambing natin ang solusyon ng equation (1) sa solusyon ng mga equation na ating isinasaalang-alang kanina (tingnan ang § 51). Sa paglutas ng equation na ito, kinailangan naming magsagawa ng dalawang ganoong operasyon na hindi pa nakikita noon: una, pinarami namin ang magkabilang panig ng equation sa isang expression na naglalaman ng hindi alam (common denominator), at, pangalawa, binawasan namin ang mga algebraic fraction sa pamamagitan ng mga salik na naglalaman ng ang hindi kilala.

Ang paghahambing ng Equation (1) sa Equation (2), nakita natin na hindi lahat ng x values ​​​​valid para sa Equation (2) ay valid para sa Equation (1).

Ito ay ang mga numero 1 at 3 na hindi tinatanggap na mga halaga ng hindi alam para sa equation (1), at bilang isang resulta ng pagbabagong-anyo sila ay naging katanggap-tanggap para sa equation (2). Ang isa sa mga numerong ito ay naging solusyon sa equation (2), ngunit, siyempre, hindi ito maaaring maging solusyon sa equation (1). Ang equation (1) ay walang mga solusyon.

Ipinapakita ng halimbawang ito na kapag pina-multiply ang parehong bahagi ng equation sa isang salik na naglalaman ng hindi alam, at kapag binabawasan ang mga algebraic fraction, maaaring makuha ang isang equation na hindi katumbas ng ibinigay, ibig sabihin: maaaring lumitaw ang mga extraneous na ugat.

Kaya't iginuhit namin ang sumusunod na konklusyon. Kapag nilulutas ang isang equation na naglalaman ng hindi alam sa denominator, ang mga resultang ugat ay dapat suriin sa pamamagitan ng pagpapalit sa orihinal na equation. Ang mga ekstrang ugat ay dapat itapon.

Natutunan na natin kung paano lutasin ang mga quadratic equation. Palawakin natin ngayon ang mga pinag-aralan na pamamaraan sa mga rational equation.

Ano ang isang makatwirang pagpapahayag? Na-encounter na natin ang konseptong ito. Mga makatwirang ekspresyon tinatawag na mga expression na binubuo ng mga numero, mga variable, ang kanilang mga degree at mga palatandaan ng matematikal na operasyon.

Alinsunod dito, ang mga rational equation ay mga equation ng anyong: , kung saan - mga makatwirang ekspresyon.

Noong nakaraan, isinasaalang-alang lamang namin ang mga makatwirang equation na bumababa sa mga linear. Ngayon isaalang-alang natin ang mga makatwirang equation na maaaring bawasan sa mga quadratic.

Halimbawa 1

Lutasin ang equation: .

Desisyon:

Ang fraction ay 0 kung at kung ang numerator nito ay 0 at ang denominator nito ay hindi 0.

Nakukuha namin ang sumusunod na sistema:

Ang unang equation ng system ay isang quadratic equation. Bago ito lutasin, hinahati namin ang lahat ng mga coefficient nito sa 3. Nakukuha namin ang:

Nakukuha namin ang dalawang ugat: ; .

Dahil ang 2 ay hindi kailanman katumbas ng 0, dalawang kundisyon ang dapat matugunan: . Dahil wala sa mga ugat ng equation na nakuha sa itaas ang tumutugma sa mga di-wastong halaga ng variable na nakuha kapag nilulutas ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay, pareho silang mga solusyon sa equation na ito.

Sagot:.

Kaya, bumalangkas tayo ng isang algorithm para sa paglutas ng mga rational equation:

1. Ilipat ang lahat ng mga termino sa kaliwang bahagi upang ang 0 ay makuha sa kanang bahagi.

2. Ibahin ang anyo at pasimplehin ang kaliwang bahagi, dalhin ang lahat ng mga fraction sa isang karaniwang denominator.

3. I-equate ang resultang fraction sa 0, ayon sa sumusunod na algorithm: .

4. Isulat ang mga ugat na nakuha sa unang equation at bigyang-kasiyahan ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay bilang tugon.

Tingnan natin ang isa pang halimbawa.

Halimbawa 2

Lutasin ang equation: .

Desisyon

Sa umpisa pa lang, inililipat namin ang lahat ng termino sa kaliwang bahagi upang manatili ang 0 sa kanan. Nakukuha namin ang:

Ngayon dinadala namin ang kaliwang bahagi ng equation sa isang karaniwang denominator:

Ang equation na ito ay katumbas ng system:

Ang unang equation ng system ay isang quadratic equation.

Ang mga coefficient ng equation na ito: . Kinakalkula namin ang discriminant:

Nakukuha namin ang dalawang ugat: ; .

Ngayon, lutasin natin ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay: ang produkto ng mga salik ay hindi katumbas ng 0 kung at kung wala sa mga salik ang katumbas ng 0.

Dalawang kundisyon ang dapat matugunan: . Nakukuha namin iyon sa dalawang ugat ng unang equation, isa lamang ang angkop - 3.

Sagot:.

Sa araling ito, naalala natin kung ano ang isang rational expression, at natutunan din kung paano lutasin ang mga rational equation, na binabawasan sa mga quadratic equation.

Sa susunod na aralin, isasaalang-alang natin ang mga rational equation bilang mga modelo ng totoong sitwasyon, at isasaalang-alang din natin ang mga problema sa paggalaw.

Bibliograpiya

1. Bashmakov M.I. Algebra, ika-8 baitang. - M.: Enlightenment, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et al. Algebra, 8. 5th ed. - M.: Edukasyon, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, ika-8 baitang. Textbook para sa mga institusyong pang-edukasyon. - M.: Edukasyon, 2006.

1. Festival ng mga ideyang pedagogical "Open Lesson" ().
2. School.xvatit.com().
3. Rudocs.exdat.com().

Takdang aralin

T. Kosyakova,
paaralan N№ 80, Krasnodar

Solusyon ng quadratic at fractional-rational equation na naglalaman ng mga parameter

Aralin 4

Paksa ng aralin:

Layunin ng aralin: upang mabuo ang kakayahang malutas ang mga fractional-rational equation na naglalaman ng mga parameter.

Uri ng aralin: pagpapakilala ng bagong materyal.

1. (Oral.) Lutasin ang mga equation:

Halimbawa 1. Lutasin ang Equation

Desisyon.

Maghanap ng mga di-wastong halaga a:

Sagot. Kung ang kung a = – 19 , pagkatapos ay walang mga ugat.

Halimbawa 2. Lutasin ang Equation

Desisyon.

Maghanap ng mga di-wastong value ng parameter a :

10 – a = 5, a = 5;

10 – a = a, a = 5.

Sagot. Kung ang a = 5 a № 5 , pagkatapos x=10– a .

Halimbawa 3. Sa anong mga halaga ng parameter b ang equation Mayroon itong:

a) dalawang ugat b) ang tanging ugat?

Desisyon.

1) Maghanap ng mga di-wastong value ng parameter b :

x= b, b 2 (b 2 – 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4 – 2b 3 = 0,
b= 0 o b = 2;
x = 2, 4( b 2 – 1) – 4b 2 + b 2 = 0, b 2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b= 2 o b = – 2.

2) Lutasin ang equation x 2 ( b 2 – 1) – 2b 2x+ b 2 = 0:

D=4 b 4 – 4b 2 (b 2 – 1), D = 4 b 2 .

a)

Hindi kasama ang mga di-wastong value ng parameter b , nakukuha natin na ang equation ay may dalawang ugat, kung b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .

b) 4b 2 = 0, b = 0, ngunit ito ay isang di-wastong halaga ng parameter b ; kung b 2 –1=0 , ibig sabihin. b=1 o.

Sagot: a) kung b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , pagkatapos ay dalawang ugat; b) kung b=1 o b=-1 , pagkatapos ay ang tanging ugat.

Pansariling gawain

Pagpipilian 1

Lutasin ang mga equation:

Opsyon 2

Lutasin ang mga equation:

Mga sagot

SA 1. at kung a=3 , pagkatapos ay walang mga ugat; kung b) kung kung a № 2 , pagkatapos ay walang mga ugat.

SA 2. Kung ang a=2 , pagkatapos ay walang mga ugat; kung a=0 , pagkatapos ay walang mga ugat; kung
b) kung a=– 1 , pagkatapos ay mawawalan ng kahulugan ang equation; kung pagkatapos ay walang mga ugat;
kung

Takdang aralin.

Lutasin ang mga equation:

Mga sagot: a) Kung a № –2 , pagkatapos x= a ; kung a=–2 , pagkatapos ay walang mga solusyon; b) kung a № –2 , pagkatapos x=2; kung a=–2 , pagkatapos ay walang mga solusyon; c) kung a=–2 , pagkatapos x- anumang numero maliban sa 3 ; kung a № –2 , pagkatapos x=2; d) kung a=–8 , pagkatapos ay walang mga ugat; kung a=2 , pagkatapos ay walang mga ugat; kung

Aralin 5

Paksa ng aralin:"Solusyon ng Fractional-Rational Equation na Naglalaman ng Mga Parameter".

Layunin ng Aralin:

pag-aaral upang malutas ang mga equation na may hindi pamantayang kondisyon;
mulat na asimilasyon ng mga mag-aaral ng mga konseptong algebraic at ugnayan sa pagitan nila.

Uri ng aralin: sistematisasyon at paglalahat.

Sinusuri ang takdang-aralin.

Halimbawa 1. Lutasin ang Equation

a) nauugnay sa x; b) kamag-anak sa y.

Desisyon.

a) Maghanap ng mga di-wastong halaga y: y=0, x=y, y2=y2 –2y,

y=0– di-wastong halaga ng parameter y.

Kung ang y№ 0 , pagkatapos x=y-2; kung y=0, pagkatapos ay mawawalan ng kahulugan ang equation.

b) Maghanap ng mga di-wastong halaga ng parameter x: y=x, 2x–x 2 +x 2 =0, x=0– di-wastong halaga ng parameter x; y(2+x-y)=0, y=0 o y=2+x;

y=0 hindi nakakatugon sa kondisyon y(y–x)№ 0 .

Sagot: a) kung y=0, pagkatapos ay mawawalan ng kahulugan ang equation; kung y№ 0 , pagkatapos x=y-2; b) kung x=0 x№ 0 , pagkatapos y=2+x .

Halimbawa 2. Para sa anong mga halaga ng integer ng parameter a ang mga ugat ng equation nabibilang sa pagitan

D = (3 a + 2) 2 – 4a(a+ 1) 2 = 9 a 2 + 12a + 4 – 8a 2 – 8a,

D = ( a + 2) 2 .

Kung ang a № 0 o a № – 1 , pagkatapos

Sagot: 5 .

Halimbawa 3. Maghanap ng medyo x buong solusyon ng equation

Sagot. Kung ang y=0, kung gayon ang equation ay walang kahulugan; kung y=–1, pagkatapos x- anumang integer maliban sa zero; kung y# 0, y# – 1, pagkatapos ay walang mga solusyon.

Halimbawa 4 Lutasin ang Equation may mga parameter a at b .

Kung ang a№ – b , pagkatapos

Sagot. Kung ang a= 0 o b= 0 , pagkatapos ay mawawalan ng kahulugan ang equation; kung a№ 0,b№ 0, a=-b , pagkatapos x- anumang numero maliban sa zero; kung a№ 0,b№ 0,a№ -b pagkatapos x=-a, x=-b .

Halimbawa 5. Patunayan na para sa anumang hindi-zero na halaga ng parameter n, ang equation ay may iisang ugat na katumbas ng – n .

Desisyon.

i.e. x=-n, na dapat patunayan.

Takdang aralin.

1. Hanapin ang buong solusyon ng equation

2. Sa anong mga halaga ng parameter c ang equation Mayroon itong:
a) dalawang ugat b) ang tanging ugat?

3. Hanapin ang lahat ng integer na ugat ng equation kung a O N .

4. Lutasin ang equation 3xy - 5x + 5y = 7: a) medyo y; b) medyo x .

1. Ang equation ay nasiyahan sa pamamagitan ng anumang integer equal values ​​ng x at y maliban sa zero.
2. a) Kailan
b) sa o
3. – 12; – 9; 0 .
4. a) Kung pagkatapos ay walang mga ugat; kung
b) kung pagkatapos ay walang mga ugat; kung

Pagsusulit

Pagpipilian 1

1. Tukuyin ang uri ng equation 7c(c + 3)x 2 +(c–2)x–8=0 sa: a) c=-3; b) c=2 ; sa) c=4 .

2. Lutasin ang mga equation: a) x 2 –bx=0; b) cx 2 –6x+1=0; sa)

3. Lutasin ang equation 3x-xy-2y=1:

a) medyo x ;
b) medyo y .

nx 2 - 26x + n \u003d 0, alam na ang parameter n ay tumatagal lamang ng mga halaga ng integer.

5. Para sa anong mga halaga ng b ginagawa ang equation Mayroon itong:

a) dalawang ugat
b) ang tanging ugat?

Opsyon 2

1. Tukuyin ang uri ng equation 5c(c + 4)x 2 +(c–7)x+7=0 sa: a) c=-4 ; b) c=7 ; sa) c=1 .

2. Lutasin ang mga equation: a) y 2 +cy=0 ; b) ny2 –8y+2=0; sa)

3. Lutasin ang equation 6x-xy+2y=5:

a) medyo x ;
b) medyo y .

4. Hanapin ang mga integer na ugat ng equation nx 2 -22x+2n=0 , alam na ang parameter n ay tumatagal lamang ng mga halaga ng integer.

5. Para sa anong mga halaga ng parameter a ang equation Mayroon itong:

a) dalawang ugat
b) ang tanging ugat?

Mga sagot

SA 1. 1. a) Linear equation;
b) hindi kumpletong quadratic equation; c) isang parisukat na equation.
2. a) Kung b=0, pagkatapos x=0; kung b#0, pagkatapos x=0, x=b;
b) kung cО (9;+Ґ ), pagkatapos ay walang mga ugat;
c) kung a=–4 , pagkatapos ay mawawalan ng kahulugan ang equation; kung a№ –4 , pagkatapos x=- a .
3. a) Kung y=3, pagkatapos ay walang mga ugat; kung);
b) a=–3, a=1.

Mga karagdagang gawain

Lutasin ang mga equation:

Panitikan

1. Golubev V.I., Goldman A.M., Dorofeev G.V. Tungkol sa mga parameter mula sa simula. - Tutor, Blg. 2/1991, p. 3–13.
2. Gronshtein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. Mga kinakailangang kondisyon sa mga gawain na may mga parameter. – Kvant, No. 11/1991, p. 44–49.
3. Dorofeev G.V., Zatakavai V.V. Paglutas ng mga problema na naglalaman ng mga parameter. Bahagi 2. - M., Pananaw, 1990, p. 2–38.
4. Tynyakin S.A. Limang daan at labing-apat na gawain na may mga parameter. - Volgograd, 1991.
5. Yastrebinetsky G.A. Mga gawain na may mga parameter. - M., Edukasyon, 1986.