Nagtuturo nang walang pamimilit

(Isang gabay sa kamangha-manghang mundo ng matematika)

Ang matematika ay kailangan nang ituro, na ito ay naglalagay ng isipan sa kaayusan. (M.V. Lomonosov)

Kaya paano ka natutong math?

Ang tanong na ito ay interesado sa marami.

Ang unang hakbang ay upang isara ang mga puwang mula sa nakaraan. Kung napalampas mo (hindi naintindihan, hindi nag-aral sa prinsipyo, atbp.) ng anumang paksa, maaga o huli ay tiyak na tatapakan mo ang rake na ito. Sa isang klasikong resulta... Iyan ang paraan ng matematika.

Kung nag-aaral ka man ng bagong paksa o muling binibisita ang luma, master ang mga kahulugan at termino sa matematika! Magbayad ng pansin, hindi ko sinasabi - "matuto", ngunit sinasabi ko "master". Ito ay iba't ibang bagay. Dapat mong maunawaan, halimbawa, kung ano ang denominator, discriminant, o arcsine sa isang simple, kahit primitive na antas. Ano ito, bakit kailangan at kung paano ito haharapin. Ang buhay ay magiging mas madali.

Kung tatanungin kita kung paano gamitin ang dense restricted environment transition device, hindi ka komportable sa pagsagot, tama ba? At kung naiintindihan mo na ang mismong device na ito ay isang ordinaryong pinto? Sa totoo lang medyo mas masaya.

At, siyempre, kailangan mong magpasya. Kung hindi ka marunong magdesisyon, no big deal. Kailangan mong subukan at subukan. Lahat minsan ay hindi alam kung paano. Ngunit ang mga sumubok at sumubok, kahit na mali, na may mga pagkakamali, alam na ngayon kung paano lutasin. At kung sino ang hindi sumubok, hindi nag-aral - hindi siya natuto.

Narito ang tatlong bahagi ng sagot sa tanong: "Paano magturo ng matematika?" Tanggalin ang mga puwang, master ang mga tuntunin sa isang naiintindihan na antas at makabuluhang lutasin ang mga gawain.

Kung sa tingin mo ang matematika ay isang gubat ng ilang mga patakaran, mga formula, mga expression kung saan imposibleng mag-navigate, pagkatapos ay aliwin kita. May mga landas at gabay na bituin doon! Ikaw ay manirahan, masanay, at magsisimula ka ring humanga sa mga ligaw na ito ...

Ang matematika ng kurso sa paaralan ay hindi nilulutas ang mga kumplikadong halimbawa, dahil hindi nito alam kung paano. Mahusay niyang malulutas ang isang bagay tulad ng 5x \u003d 10, isang quadratic equation sa pamamagitan ng discriminant, at ang parehong simple mula sa trigonometry, logarithms, atbp. At ang lahat ng kapangyarihan ng matematika ay naglalayong gawing simple ang mga kumplikadong expression. Ito ay para dito kailangan ang mga patakaran at pormula para sa iba't ibang pagbabago. Pinapayagan nila kaming isulat ang orihinal na expression sa ibang anyo na maginhawa para sa amin nang hindi binabago ang kakanyahan nito.

"Ang matematika ay ang sining ng pagtawag sa iba't ibang bagay sa parehong pangalan." (A. Poincare)

Halimbawa, 8 = 6 + 2 = 2 = = log 6561 = 32: 4. Pareho pa rin itong numero 8! Naitala lamang sa iba't ibang anyo. Aling uri ang pipiliin - kami ang magpapasya! Naaayon sa gawain at sentido komun.

Ang pangunahing gabay na bituin sa matematika ay ang kakayahang baguhin ang mga expression. Halos anumang solusyon ay nagsisimula sa pagbabago ng orihinal na expression. Sa tulong ng mga alituntunin at mga formula, na kung saan ay hindi sa lahat ng tulad ng isang mabaliw halaga bilang sa tingin mo.

Madalas nating sabihin na "Ang lahat ng mga formula ay gumagana mula kaliwa hanggang kanan at mula kanan hanggang kaliwa." Sabihin nating (a + b) halos lahat ay nagsusulat nito bilang a + 2ab + b . Ngunit hindi lahat (sa kasamaang palad) ay napagtanto na ang x + 2x + 1 ay maaaring isulat bilang (x + 1) . At narito ang kailangan mong malaman! Ang mga formula ay kailangang malaman nang personal! Upang makilala ang mga ito sa mga expression na naka-encrypt ng mga tusong guro, upang matukoy ang mga bahagi ng mga formula, upang dalhin ang mga ito, kung kinakailangan, upang makumpleto ang mga ito.

Ang mga conversion ng expression ay mahirap sa una. Nangangailangan ng paggawa. Sa paunang yugto, kinakailangan upang suriin, kung posible, ang kawastuhan ng pagbabago sa pamamagitan ng kabaligtaran na pagbabago. Factored out - paramihin pabalik at magdala ng mga katulad. Ito pala ang orihinal na expression - hurray! Natagpuan ang mga ugat ng equation - kapalit sa orihinal na expression. Tingnan kung ano ang nangyari. atbp.

Kaya, inaanyayahan kita sa kahanga-hangang mundo ng matematika. At simulan natin ang ating paglalakbay sa pamamagitan ng pagkilala sa mga fraction, dahil ito marahil ang pinaka-mahina na lugar para sa karamihan ng mga mag-aaral.

Good luck!

Aralin 1.

Mga uri ng fraction. Mga pagbabago.

Who knows fractions, malakas siya, matapang siya sa mathematics!

Ang mga fraction ay may tatlong uri.

1. Mga karaniwang fraction , Halimbawa: , , , .

Minsan, sa halip na pahalang na linya, naglalagay sila ng slash: 1/2, 3/7, 19/5. Ang isang linya, parehong pahalang (vinculium) at pahilig (solidus) ay nangangahulugan ng parehong operasyon: paghahati sa itaas na numero (numerator) sa ilalim na numero (denominator). At ayun na nga! Sa halip na isang linya, posible na maglagay ng senyas ng dibisyon - dalawang tuldok. 1/2 = 1:2.

Kapag ang paghahati ay posible nang buo, dapat itong gawin. Kaya, sa halip na ang fraction 32/8, ito ay mas kaaya-aya na isulat ang numero 4. Iyon ay. Ang 32 ay hinati lamang ng 8. 32/8 = 32: 8 = 4. Hindi ko pinag-uusapan ang fraction na 4/1, na katumbas din ng 4. At kung hindi ito nahahati nang buo, iniiwan natin ito bilang isang maliit na bahagi. Minsan kailangan mong gawin ang kabaligtaran. Gumawa ng isang fraction mula sa isang buong bilang. Ngunit higit pa sa na mamaya.

2. Mga desimal , halimbawa: 0.5; 3.28; 0.543; 23.32.

3. magkahalong numero , Halimbawa: , , , .

Ang mga mixed number ay halos hindi ginagamit sa high school. Upang gumana sa kanila, dapat silang i-convert sa mga ordinaryong fraction. Ngunit tiyak na kailangan mong malaman kung paano ito gawin! At pagkatapos ay ang gayong numero ay makikita sa gawain at mag-hang ... Mula sa simula. Ngunit naaalala namin ang pamamaraang ito!

Ang mga karaniwang fraction ay ang pinaka maraming nalalaman. Magsimula tayo sa kanila. Sa pamamagitan ng paraan, kung mayroong lahat ng mga uri ng logarithms, sines at iba pang mga titik sa fraction, hindi ito nagbabago ng anuman. Sa kahulugan na ang lahat ng mga aksyon na may fractional expression ay hindi naiiba mula sa mga aksyon na may ordinaryong fractions!

Mauna ka na! Ang buong iba't ibang pagbabago ng fraction ay ibinibigay ng isang pag-aari! Yan ang tawag dun pangunahing katangian ng isang fraction. Tandaan: kung ang numerator at denominator ng isang fraction ay pinarami (hinati) sa parehong numero, ang fraction ay hindi magbabago. Yaong:

At kailangan natin ito, lahat ng pagbabagong ito? - tanong mo. At kung paano! Ngayon ay makikita mo para sa iyong sarili. Una, gamitin natin ang pangunahing katangian ng isang fraction upang mabawasan ang mga fraction. Mukhang elementary ang bagay. Hinahati namin ang numerator at denominator sa parehong numero at iyon na! Imposibleng magkamali! Ngunit... ang tao ay isang malikhaing nilalang. Maaari kang magkamali kahit saan! Lalo na kung kailangan mong bawasan ang hindi isang bahagi ng form na 5/10, ngunit isang fractional rational expression.

Karaniwang hindi iniisip ng estudyante ang paghahati ng numerator at denominator sa parehong numero (o expression)! Tinatawid lang niya ang lahat ng pareho mula sa itaas at sa ibaba! Dito nagkukubli ang isang karaniwang pagkakamali, isang pagkakamali, kung gusto mo.

Halimbawa, kailangan mong gawing simple ang expression: .

Anong gagawin natin? Tinatawid namin ang factor a sa itaas at ang degree sa ibaba! Nakukuha namin ang: .

Lahat ay tama. Pero nagshare ka talaga ang buong numerator at ang buong denominator sa multiplier a. Kung nakasanayan mong tawiran lang, pagkatapos, sa pagmamadali, maaari mong i-cross out ang letrang a sa expression at makakuha muli. Na kung saan ay tiyak na mali: isang hindi mapapatawad na pagkakamali. Dahil dito ang buong numerator sa isang na hindi ibinahagi! Ang fraction na ito ay hindi maaaring bawasan.

Kapag binabawasan, kailangan mong hatiin ang buong numerator at ang buong denominator!

Ang pagbabawas ng mga fraction ay ginagawang mas madali ang buhay. Makakakuha ka ng fraction sa isang lugar, halimbawa, 375/1000. At paano makipagtulungan sa kanya ngayon? Nang walang calculator? Paramihin, sabihin, idagdag, parisukat!? At kung hindi ka masyadong tamad, ngunit maingat na bawasan ng lima, at kahit na lima, at kahit na ... habang ito ay binabawasan. Nakakuha tayo ng 3/8! Mas maganda, tama?

Ang pangunahing pag-aari ng isang fraction ay nagpapahintulot sa iyo na i-convert ang mga ordinaryong fraction sa mga decimal at vice versa, nang walang calculator! Importante sa CT diba?

Madali lang sa mga decimal. Tulad ng narinig, gayon din ang nakasulat! Sabihin nating 0.25. Ito ay zero point, dalawampu't limang daan. Kaya sumulat kami: 25/100. Binabawasan natin (hatiin ang numerator at denominator sa 25), nakakakuha tayo ng ordinaryong fraction: 1/4. Lahat. Nangyayari ito, at walang nabawasan. Halimbawa, 0.3. Ito ay tatlong ikasampu, i.e. 3/10.

Paano kung ang mga integer ay hindi zero? ayos lang. Isinulat namin ang buong fraction nang walang anumang mga kuwit sa numerator, at sa denominator - kung ano ang narinig. Halimbawa: 3.17. Ito ay tatlong buo, labing pitong daan. Sinusulat namin ang 317 sa numerator, at 100 sa denominator. Nakukuha namin ang 317/100. Walang nababawasan, that means everything. Ito ang sagot. Mula sa lahat ng nasa itaas, isang kapaki-pakinabang na konklusyon: Anumang decimal fraction ay maaaring ma-convert sa isang common fraction.

Ngunit ang reverse conversion, ordinaryo hanggang decimal, ang ilan ay hindi magagawa nang walang calculator. Ngunit kailangan mo! Paano mo isusulat ang sagot? Maingat naming binabasa at pinagkadalubhasaan ang prosesong ito.

Ano ang decimal fraction? Ang kanyang denominator ay palaging 10, o 100, o 1000, o 10,000, at iba pa. Kung ang iyong karaniwang fraction ay may tulad na denominator, walang problema. Halimbawa, 4/10 = 0.4. O 7/100 = 0.07. O 12/10 = 1.2. Paano kung ang resulta ay 1/2? At ang sagot ay dapat na nakasulat sa decimal ...

Naaalala namin pangunahing katangian ng isang fraction! Pinahihintulutan ka ng matematika na i-multiply ang numerator at denominator sa parehong numero. Para kahit kanino, nga pala! Maliban sa zero, siyempre. Gamitin natin ang feature na ito sa ating kalamangan! Ano ang maaaring i-multiply ng denominator, i.e. 2 upang ito ay maging 10, o 100, o 1000 (mas maliit ay mas mahusay, siyempre ...)? 5, malinaw naman. Huwag mag-atubiling i-multiply ang denominator sa 5. Ngunit ang numerator ay dapat ding i-multiply sa 5. Nakukuha natin ang 1/2 = 0.5. Iyon lang.

Gayunpaman, maaaring magkaiba ang mga denominador. Halimbawa, ang fraction 3/16. Pagkatapos ay maaari mong hatiin ang 3 sa 16. Sa kawalan ng calculator, kakailanganin mong hatiin sa isang sulok, tulad ng itinuro nila sa elementarya. Nakukuha namin ang 0.1875.

At may ilang napakasamang denominator. Halimbawa, ang fraction na 1/3 ay hindi maaaring gawing magandang decimal. At sa calculator, at kapag naghahati sa isang sulok, nakakakuha tayo ng 0.3333333 ... Kaya isa pang kapaki-pakinabang na konklusyon. Hindi lahat ng karaniwang fraction ay nagko-convert sa isang decimal!

Kaya, na may mga ordinaryong at decimal na fraction na pinagsunod-sunod. Ito ay nananatiling humarap sa magkahalong numero. Upang gumana sa kanila, kailangan nilang i-convert sa mga ordinaryong fraction. Paano ito gagawin? Maaari mong mahuli ang isang ikalimang baitang at tanungin siya. Ngunit hindi palaging nasa malapit ang isang ikalimang baitang ... Kakailanganin mong gawin ito sa iyong sarili. Hindi naman ito mahirap. I-multiply ang denominator ng fractional na bahagi ng integer na bahagi at idagdag ang numerator ng fractional na bahagi. Ito ang magiging numerator ng isang karaniwang fraction. Paano ang denominator? Ang denominator ay mananatiling pareho. Mukhang kumplikado, ngunit ito ay talagang simple. Tingnan natin ang isang halimbawa.

Ipagpalagay na sa gawain ay nakakita ka ng isang numero na may katakutan:

Kalmado, nang walang gulat, nagtatalo kami. Ang buong bahagi ay 1. Isa. Ang fractional na bahagi ay 3/7. Samakatuwid, ang denominator ng fractional na bahagi ay 7. Ang denominator na ito ang magiging denominator ng ordinaryong fraction. Isaalang-alang: numerator. I-multiply namin ang 7 sa 1 (ang integer na bahagi) at idinagdag ang 3 (ang numerator ng fractional na bahagi). Makakakuha tayo ng 10. Ito ang magiging numerator ng isang ordinaryong fraction. Iyon lang. Mukhang mas simple ito sa mathematical notation:

madali? Pagkatapos ay i-secure ang iyong tagumpay! I-convert ang mga pinaghalong numerong ito , , sa mga karaniwang fraction. Dapat kang makakuha ng 10/3, 23/10 at 21/4.

Well, halos lahat. Naalala mo ang mga uri ng mga fraction at naunawaan mo kung paano isalin ang mga ito mula sa isang uri patungo sa isa pa. Ang tanong ay nananatili: bakit ginagawa ito? Saan at kailan ilalapat ang malalim na kaalamang ito?

Ang anumang halimbawa mismo ay nagmumungkahi ng mga kinakailangang aksyon. Kung sa halimbawa ang mga ordinaryong fraction, decimal, at kahit na pinaghalong mga numero ay pinaghalo sa isang bungkos, isinasalin namin ang lahat sa ordinaryong mga fraction. Maaari itong palaging gawin. Buweno, kung ito ay nakasulat, halimbawa, 0.8 + 0.3, kung gayon sa palagay namin, nang walang anumang pagsasalin. Bakit kailangan natin ng karagdagang trabaho? Pinipili namin ang paraan upang malutas na maginhawa para sa amin!

Kung ang gawain ay puno ng mga decimal fraction, ngunit um ... ilang nakakatakot, pumunta sa mga ordinaryong, subukan ito! Baka magwork out ang lahat. Halimbawa, kailangan mong i-square ang numerong 0.125. Hindi ganoon kadali kung hindi mo nawala ang ugali ng calculator! Hindi lamang kailangan mong i-multiply ang mga numero sa isang column, ngunit isipin din kung saan ilalagay ang kuwit! Tiyak na hindi ito gumagana sa aking isipan! At kung pupunta ka sa isang ordinaryong fraction? 0.125 = 125/1000. Bawasan namin ng 5 (ito ay para sa mga nagsisimula). Kumuha kami ng 25/200. Muli sa 5. Nakukuha namin ang 5/40. Lumiliit pa! Bumalik sa 5! Nakakuha kami ng 1/8. Madaling parisukat (sa iyong isip!) at makakuha ng 1/64. Lahat!

Ibuod natin ang ating aralin.

1. May tatlong uri ng fraction: ordinaryo, decimal at mixed na mga numero.

2. Ang mga desimal at halo-halong numero ay maaaring palaging ma-convert sa mga karaniwang fraction. Hindi laging posible ang reverse transfer.

3. Ang pagpili ng uri ng mga fraction para sa pagtatrabaho sa gawain ay nakasalalay sa mismong gawaing ito. Kung mayroong iba't ibang uri ng mga fraction sa isang gawain, ang pinaka-maaasahang bagay ay ang lumipat sa mga ordinaryong fraction.

Mga Praktikal na Tip:

1. Ang pinakamahalagang bagay kapag nagtatrabaho sa mga fractional na expression ay ang kawastuhan at pagkaasikaso! Ang mga ito ay hindi karaniwang mga salita, hindi magandang hangarin! Ito ay isang matinding pangangailangan! Mas mainam na magsulat ng dalawang dagdag na linya sa isang draft kaysa magkamali kapag nagkalkula sa iyong ulo.

2. Sa mga halimbawa na may iba't ibang uri ng fraction - pumunta sa ordinaryong fraction.

3. Binabawasan namin ang lahat ng mga fraction hanggang sa huminto.

4. Binabawasan namin ang mga multi-level na fractional na expression sa mga ordinaryong gamit ang paghahati sa pamamagitan ng dalawang puntos (sinusunod namin ang pagkakasunud-sunod ng paghahati!).

5. Hinahati natin ang yunit sa isang fraction sa ating isipan, sa pamamagitan lamang ng pag-ikot ng fraction.

Ngayon subukang isabuhay ang teorya.

Kaya, lutasin natin ito sa mode ng pagsusulit! Nalulutas namin ang isang halimbawa, sinusuri namin, nilulutas namin ang mga sumusunod. Napagpasyahan namin ang lahat - muli naming sinuri mula sa una hanggang sa huling halimbawa. At pagkatapos ay tinitingnan namin ang mga sagot.

Nagpasya? Naghahanap ng mga sagot na tumutugma sa iyo. Ang mga sagot ay nakasulat sa kaguluhan, malayo sa tukso, wika nga...

0; 17/22; 3; 1; 3/4; 14; -5/4; 17/12; 1/3; 5; 2/5; 25.

At ngayon gumawa kami ng mga konklusyon. Kung ang lahat ay gumana - masaya para sa iyo! Ang mga kalkulasyon sa elementarya na may mga fraction ay hindi mo problema! Maaari kang gumawa ng mas seryosong mga bagay. Kung hindi... Patience at work will grind everything.

Ang materyal ng artikulong ito ay isang pangkalahatang pagtingin sa pagbabago ng mga expression na naglalaman ng mga fraction. Dito natin isasaalang-alang ang mga pangunahing pagbabagong katangian ng mga expression na may mga fraction.

Pag-navigate sa pahina.

Fractional expression at fractional expression

Upang magsimula, linawin natin kung anong uri ng pagbabagong ekspresyon ang ating haharapin.

Ang pamagat ng artikulo ay naglalaman ng sariling paliwanag na parirala " mga expression na may mga fraction". Iyon ay, sa ibaba ay pag-uusapan natin ang tungkol sa pagbabago ng mga numeric na expression at expression na may mga variable, sa talaan kung saan mayroong hindi bababa sa isang fraction.

Napansin namin kaagad na pagkatapos ng paglalathala ng artikulong " Pagbabago ng mga fraction: isang pangkalahatang pananaw"Hindi na kami interesado sa mga indibidwal na fraction. Kaya, higit pang isasaalang-alang natin ang mga kabuuan, pagkakaiba, produkto, bahagyang at mas kumplikadong mga expression na may mga ugat, kapangyarihan, logarithms, na pinag-isa lamang sa pagkakaroon ng hindi bababa sa isang fraction.

At pag-usapan natin fractional na mga expression. Ito ay hindi katulad ng mga expression na may mga fraction. Ang mga fraction expression ay isang mas pangkalahatang konsepto. Hindi lahat ng expression na may mga fraction ay fractional na expression. Halimbawa, ang expression ay hindi fractional expression, bagama't naglalaman ito ng fraction, isa itong integer rational expression. Kaya't huwag tawaging fractional na expression ang isang expression na may mga fraction nang hindi lubos na sigurado na ito nga.

Mga pangunahing magkakahawig na pagbabago ng mga expression na may mga fraction

Halimbawa.

Pasimplehin ang expression .

Desisyon.

Sa kasong ito, maaari mong buksan ang mga bracket, na magbibigay ng expression , na naglalaman ng mga katulad na termino at , pati na rin ang −3 at 3 . Pagkatapos ng kanilang pagbabawas, nakakakuha tayo ng isang fraction.

Ipakita natin ang isang maikling anyo ng pagsulat ng solusyon:

Sagot:

.

Paggawa gamit ang mga indibidwal na fraction

Ang mga expression na pinag-uusapan natin tungkol sa pagbabago ay naiiba sa iba pang mga expression pangunahin sa pagkakaroon ng mga fraction. At ang pagkakaroon ng mga fraction ay nangangailangan ng mga tool upang gumana sa kanila. Sa talatang ito, tatalakayin natin ang pagbabago ng mga indibidwal na fraction na kasama sa talaan ng expression na ito, at sa susunod na talata ay magpapatuloy tayo sa pagsasagawa ng mga operasyon na may mga fraction na bumubuo sa orihinal na expression.

Sa anumang fraction na bahagi ng orihinal na expression, maaari mong gawin ang alinman sa mga pagbabagong ipinahiwatig sa artikulong Pag-convert ng mga fraction. Iyon ay, maaari kang kumuha ng isang hiwalay na fraction, magtrabaho kasama ang numerator at denominator nito, bawasan ito, dalhin ito sa isang bagong denominator, atbp. Malinaw na sa pagbabagong ito, ang napiling fraction ay papalitan ng isang fraction na kapareho nito, at ang orihinal na expression ay papalitan ng expression na kapareho nito. Tingnan natin ang isang halimbawa.

Halimbawa.

I-convert ang expression na may fraction sa mas simpleng anyo.

Desisyon.

Simulan natin ang pagbabago sa pamamagitan ng paggawa sa isang fraction. Una, buksan ang mga bracket at magbigay ng mga katulad na termino sa numerator ng fraction: . Ngayon hinihiling nito ang bracketing ng karaniwang salik na x sa numerator at ang kasunod na pagbabawas ng algebraic fraction: . Ito ay nananatiling lamang upang palitan ang resulta na nakuha sa halip na isang fraction sa orihinal na expression, na nagbibigay .

Sagot:

.

Nagsasagawa ng mga aksyon na may mga fraction

Bahagi ng proseso ng pag-convert ng mga expression na may mga fraction ay madalas na gawin mga aksyon na may mga fraction. Isinasagawa ang mga ito alinsunod sa tinatanggap na pamamaraan para sa pagsasagawa ng mga aksyon. Nararapat ding tandaan na ang anumang numero o expression ay maaaring palaging kinakatawan bilang isang fraction na may denominator na 1.

Halimbawa.

Pasimplehin ang expression .

Desisyon.

Ang problema ay maaaring lapitan mula sa iba't ibang mga anggulo. Sa konteksto ng paksang tinatalakay, pupunta tayo sa pamamagitan ng pagsasagawa ng mga aksyon na may mga fraction. Magsimula tayo sa pagpaparami ng mga fraction:

Ngayon ay isinusulat namin ang produkto bilang isang fraction na may denominator 1, pagkatapos ay ibawas namin ang mga fraction:

Kung ninanais at kinakailangan, maaari pa ring alisin ng isa ang hindi makatwiran sa denominator , kung saan maaari mong tapusin ang pagbabago.

Sagot:

Paglalapat ng mga katangian ng mga ugat, kapangyarihan, logarithms, atbp.

Napakalawak ng klase ng mga expression na may mga fraction. Ang ganitong mga expression, bilang karagdagan sa mga aktwal na fraction, ay maaaring maglaman ng mga ugat, degree na may iba't ibang exponent, module, logarithms, trigonometric function, atbp. Naturally, kapag sila ay na-convert, ang mga kaukulang katangian ay inilalapat.

Naaangkop sa mga fraction, sulit na i-highlight ang pag-aari ng ugat ng fraction, ang pag-aari ng fraction sa antas, ang pag-aari ng modulus ng quotient at ang ari-arian ng logarithm ng pagkakaiba .

Para sa kalinawan, nagbibigay kami ng ilang mga halimbawa. Halimbawa, sa expression Maaaring maging kapaki-pakinabang, batay sa mga katangian ng degree, na palitan ang unang fraction ng isang degree, na higit pang nagbibigay-daan sa amin na katawanin ang expression bilang isang square square. Kapag nagko-convert ng logarithmic expression posibleng palitan ang logarithm ng isang fraction ng pagkakaiba ng logarithms, na nagbibigay-daan sa atin na magdala ng mga katulad na termino at sa gayon ay gawing simple ang expression: . Ang pag-convert ng mga trigonometric na expression ay maaaring mangailangan ng pagpapalit ng ratio ng sine sa cosine ng parehong anggulo na may tangent. Posible rin na kailangan mong lumipat mula sa kalahating argumento gamit ang naaangkop na mga formula patungo sa buong argumento, sa gayon ay maalis ang fraction argument, halimbawa, .

Paglalapat ng mga katangian ng mga ugat, degree, atbp. sa pagbabagong-anyo ng mga expression ay sakop nang mas detalyado sa mga artikulo:

• Pagbabago ng mga hindi makatwirang ekspresyon gamit ang mga katangian ng mga ugat,
• Pagbabago ng mga ekspresyon gamit ang mga katangian ng mga kapangyarihan,
• Pag-convert ng mga logarithmic expression gamit ang mga katangian ng logarithms,
• Pag-convert ng mga trigonometrikong expression.

Mga desimal na numero tulad ng 0.2; 1.05; 3.017 atbp. kung paanong ang mga ito ay naririnig, gayon ang mga ito ay nasusulat. Zero point two, nakakakuha tayo ng fraction. Isang buong limang daan, nakakakuha tayo ng isang fraction. Tatlong buong labing pitong libo, nakakakuha tayo ng isang fraction. Ang mga digit bago ang decimal point sa isang decimal na numero ay ang integer na bahagi ng fraction. Ang numero pagkatapos ng decimal point ay ang numerator ng fraction sa hinaharap. Kung mayroong isang digit na numero pagkatapos ng decimal point, ang denominator ay magiging 10, kung dalawang-digit - 100, tatlong-digit - 1000, atbp. Ang ilan sa mga resultang fraction ay maaaring bawasan. Sa ating mga halimbawa

Pag-convert ng isang fraction sa isang decimal na numero

Ito ang kabaligtaran ng nakaraang pagbabago. Ano ang decimal fraction? Ang kanyang denominator ay palaging 10, o 100, o 1000, o 10,000, at iba pa. Kung ang iyong karaniwang fraction ay may ganoong denominator, walang problema. Halimbawa, o

Kung isang fraction, halimbawa . Sa kasong ito, kailangan mong gamitin ang pangunahing pag-aari ng fraction at i-convert ang denominator sa 10 o 100, o 1000 ... Sa aming halimbawa, kung i-multiply namin ang numerator at denominator sa 4, makakakuha kami ng isang fraction na maaaring isulat. bilang isang decimal na numero 0.12.

Ang ilang mga fraction ay mas madaling hatiin kaysa i-convert ang denominator. Halimbawa,

Ang ilang mga fraction ay hindi mako-convert sa mga decimal na numero!
Halimbawa,

Pag-convert ng mixed fraction sa hindi wasto

Ang isang mixed fraction, tulad ng , ay madaling ma-convert sa isang hindi tamang fraction. Upang gawin ito, kailangan mong i-multiply ang integer na bahagi ng denominator (ibaba) at idagdag ito sa numerator (itaas), na iniiwan ang denominator (ibaba) na hindi nagbabago. I.e

Kapag nagko-convert ng isang mixed fraction sa isang hindi wasto, maaari mong tandaan na maaari mong gamitin ang pagdaragdag ng mga fraction.

Pag-convert ng hindi wastong fraction sa isang halo-halong bahagi (pagha-highlight sa buong bahagi)

Ang isang hindi wastong fraction ay maaaring ma-convert sa isang mixed fraction sa pamamagitan ng pag-highlight sa buong bahagi. Isaalang-alang ang isang halimbawa, . Tukuyin kung gaano karaming integer na beses ang "3" na magkasya sa "23". O hinahati namin ang 23 sa 3 sa calculator, ang buong numero hanggang sa decimal point ay ang nais. Ito ay "7". Susunod, tinutukoy namin ang numerator ng hinaharap na bahagi: pinarami namin ang nagresultang "7" sa denominator na "3" at ibawas ang resulta mula sa numerator na "23". Paano natin mahahanap ang labis na natitira mula sa numerator na "23", kung aalisin natin ang maximum na bilang ng "3". Ang denominator ay hindi nababago. Tapos na ang lahat, isulat ang resulta

Mga Fraction

Pansin!
May mga karagdagang
materyal sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga malakas na "hindi masyadong..."
At para sa mga "sobra...")

Ang mga fraction sa high school ay hindi masyadong nakakainis. Pansamantala. Hanggang sa makatagpo ka ng mga exponent na may mga rational exponents at logarithms. At doon…. Pinindot mo, pinindot mo ang calculator, at ipinapakita nito ang lahat ng buong scoreboard ng ilang numero. Kailangan mong mag-isip gamit ang iyong ulo, tulad ng sa ikatlong baitang.

Harapin natin ang mga fraction, sa wakas! Aba, gaano ka nalilito sa kanila!? Bukod dito, ang lahat ay simple at lohikal. Kaya, ano ang mga fraction?

Mga uri ng fraction. Mga pagbabago.

Ang mga fraction ay may tatlong uri.

1. Mga karaniwang fraction , Halimbawa:

Minsan, sa halip na pahalang na linya, naglalagay sila ng slash: 1/2, 3/4, 19/5, well, at iba pa. Dito natin madalas gamitin ang spelling na ito. Tinatawag ang nangungunang numero tagabilang, mas mababa - denominador. Kung palagi mong nalilito ang mga pangalang ito (nangyayari ito ...), sabihin sa iyong sarili ang parirala na may expression: " Zzzzz Tandaan! Zzzzz denominator - labas zzzz u!" Tingnan mo, lahat ay maaalala.)

Ang gitling, na pahalang, na pahilig, ay nangangahulugang dibisyon numero sa itaas (numerator) hanggang sa ibabang numero (denominator). At ayun na nga! Sa halip na isang gitling, medyo posible na maglagay ng isang tanda ng dibisyon - dalawang tuldok.

Kapag ang paghahati ay posible nang buo, dapat itong gawin. Kaya, sa halip na ang fraction na "32/8" ay mas kaaya-aya na isulat ang numerong "4". Yung. Ang 32 ay hinati lamang ng 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Hindi ko pinag-uusapan ang fraction na "4/1". Na "4" lang din. At kung hindi ito ganap na nahahati, iiwan natin ito bilang isang fraction. Minsan kailangan mong gawin ang kabaligtaran. Gumawa ng isang fraction mula sa isang buong bilang. Ngunit higit pa sa na mamaya.

2. Mga desimal , Halimbawa:

Nasa form na ito na kakailanganing isulat ang mga sagot sa mga gawain na "B".

3. magkahalong numero , Halimbawa:

Ang mga mixed number ay halos hindi ginagamit sa high school. Upang gumana sa kanila, dapat silang i-convert sa mga ordinaryong fraction. Ngunit tiyak na kailangan mong malaman kung paano ito gawin! At pagkatapos ay ang gayong numero ay makikita sa palaisipan at mag-hang ... Mula sa simula. Ngunit naaalala namin ang pamamaraang ito! Medyo mababa.

Pinaka maraming nalalaman mga karaniwang fraction. Magsimula tayo sa kanila. Sa pamamagitan ng paraan, kung mayroong lahat ng mga uri ng logarithms, sines at iba pang mga titik sa fraction, hindi ito nagbabago ng anuman. In the sense na lahat Ang mga aksyon na may mga fractional na expression ay hindi naiiba sa mga aksyon na may mga ordinaryong fraction!

Pangunahing katangian ng isang fraction.

Kaya tara na! Una sa lahat, sorpresahin kita. Ang buong iba't ibang pagbabago ng fraction ay ibinibigay ng isang pag-aari! Yan ang tawag dun pangunahing katangian ng isang fraction. Tandaan: Kung ang numerator at denominator ng isang fraction ay pinarami (hinati) sa parehong numero, ang fraction ay hindi magbabago. Yaong:

Malinaw na maaari kang sumulat nang higit pa, hanggang sa ikaw ay asul sa mukha. Huwag hayaang malito ka ng mga sine at logarithms, haharapin pa namin ang mga ito. Ang pangunahing bagay na dapat maunawaan ay ang lahat ng iba't ibang mga expression na ito ay ang parehong fraction . 2/3.

At kailangan natin ito, lahat ng pagbabagong ito? At kung paano! Ngayon ay makikita mo para sa iyong sarili. Una, gamitin natin ang pangunahing katangian ng isang fraction para sa mga pagdadaglat ng fraction. Mukhang elementary ang bagay. Hinahati namin ang numerator at denominator sa parehong numero at iyon na! Imposibleng magkamali! Ngunit... ang tao ay isang malikhaing nilalang. Maaari kang magkamali kahit saan! Lalo na kung kailangan mong bawasan hindi isang fraction tulad ng 5/10, ngunit isang fractional expression na may lahat ng uri ng mga titik.

Kung paano bawasan ang mga fraction nang tama at mabilis nang hindi gumagawa ng hindi kinakailangang gawain ay makikita sa espesyal na Seksyon 555.

Ang isang normal na estudyante ay hindi nag-abala sa paghahati ng numerator at denominator sa parehong numero (o expression)! Tinatawid lang niya ang lahat ng pareho mula sa itaas at sa ibaba! Dito nagkukubli ang isang karaniwang pagkakamali, isang pagkakamali, kung gusto mo.

Halimbawa, kailangan mong gawing simple ang expression:

Walang dapat isipin, e-cross out namin ang letrang "a" sa itaas at ang deuce sa ibaba! Nakukuha namin:

Lahat ay tama. Pero nagshare ka talaga ang kabuuan numerator at ang kabuuan denominador "a". Kung nakasanayan mong e-cross out lang, tapos, sa pagmamadali, pwede mong i-cross out ang "a" sa expression

at makuha muli

Na kung saan ay tiyak na mali. Dahil dito ang kabuuan numerator sa "a" na hindi ibinahagi! Ang fraction na ito ay hindi maaaring bawasan. Sa pamamagitan ng paraan, ang naturang pagdadaglat ay, um ... isang seryosong hamon sa guro. Hindi ito pinatawad! Tandaan? Kapag binabawasan, ito ay kinakailangan upang hatiin ang kabuuan numerator at ang kabuuan denominador!

Ang pagbabawas ng mga fraction ay ginagawang mas madali ang buhay. Makakakuha ka ng fraction sa isang lugar, halimbawa 375/1000. At paano makipagtulungan sa kanya ngayon? Nang walang calculator? Paramihin, sabihin, idagdag, parisukat!? At kung hindi ka masyadong tamad, ngunit maingat na bawasan ng lima, at kahit na lima, at kahit na ... habang ito ay binabawasan, sa madaling salita. Nakakuha tayo ng 3/8! Mas maganda, tama?

Ang pangunahing katangian ng isang fraction ay nagbibigay-daan sa iyo upang i-convert ang mga ordinaryong fraction sa mga decimal at vice versa walang calculator! Mahalaga ito para sa pagsusulit, tama ba?

Paano i-convert ang mga fraction mula sa isang anyo patungo sa isa pa.

Madali lang sa mga decimal. Tulad ng narinig, gayon din ang nakasulat! Sabihin nating 0.25. Ito ay zero point, dalawampu't limang daan. Kaya sumulat kami: 25/100. Binabawasan natin (hatiin ang numerator at denominator sa 25), nakukuha natin ang karaniwang fraction: 1/4. Lahat. Nangyayari ito, at walang nabawasan. Tulad ng 0.3. Ito ay tatlong ikasampu, i.e. 3/10.

Paano kung ang mga integer ay hindi zero? ayos lang. Isulat ang buong bahagi nang walang anumang kuwit sa numerator, at sa denominator - kung ano ang narinig. Halimbawa: 3.17. Ito ay tatlong buo, labing pitong daan. Sinusulat namin ang 317 sa numerator, at 100 sa denominator. Nakukuha namin ang 317/100. Walang nababawasan, that means everything. Ito ang sagot. Elementary Watson! Mula sa lahat ng nasa itaas, isang kapaki-pakinabang na konklusyon: anumang decimal fraction ay maaaring ma-convert sa isang common fraction .

Ngunit ang reverse conversion, ordinaryo hanggang decimal, ang ilan ay hindi magagawa nang walang calculator. Ngunit kailangan mo! Paano mo isusulat ang sagot sa pagsusulit!? Maingat naming binabasa at pinagkadalubhasaan ang prosesong ito.

Ano ang decimal fraction? Siya ay nasa denominator palagi ay nagkakahalaga ng 10 o 100 o 1000 o 10000 at iba pa. Kung ang iyong karaniwang fraction ay may ganoong denominator, walang problema. Halimbawa, 4/10 = 0.4. O 7/100 = 0.07. O 12/10 = 1.2. At kung sa sagot sa gawain ng seksyon na "B" ay naging 1/2? Ano ang isusulat natin bilang tugon? Kinakailangan ang mga desimal...

Naaalala namin pangunahing katangian ng isang fraction ! Pinahihintulutan ka ng matematika na i-multiply ang numerator at denominator sa parehong numero. Para kahit kanino, nga pala! Maliban sa zero, siyempre. Gamitin natin ang feature na ito sa ating kalamangan! Ano ang maaaring i-multiply ng denominator, i.e. 2 upang ito ay maging 10, o 100, o 1000 (mas maliit ay mas mahusay, siyempre ...)? 5, malinaw naman. Huwag mag-atubiling i-multiply ang denominator (ito ay sa amin kinakailangan) sa pamamagitan ng 5. Ngunit, kung gayon ang numerator ay dapat ding i-multiply sa 5. Ito ay matematika hinihingi! Nakukuha namin ang 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0.5. Iyon lang.

Gayunpaman, ang lahat ng uri ng mga denominador ay nakikita. Halimbawa, babagsak ang fraction na 3/16. Subukan ito, alamin kung ano ang i-multiply ng 16 para makakuha ng 100, o 1000... Hindi gumagana? Pagkatapos ay maaari mo lamang hatiin ang 3 sa 16. Sa kawalan ng calculator, kakailanganin mong hatiin sa isang sulok, sa isang piraso ng papel, tulad ng itinuro nila sa elementarya. Nakukuha namin ang 0.1875.

At may ilang napakasamang denominator. Halimbawa, ang fraction na 1/3 ay hindi maaaring gawing magandang decimal. Parehong sa isang calculator at sa isang piraso ng papel, nakakakuha tayo ng 0.3333333 ... Nangangahulugan ito na 1/3 sa isang eksaktong decimal fraction hindi nagsasalin. Parang 1/7, 5/6 at iba pa. Marami sa kanila ay hindi maisasalin. Kaya isa pang kapaki-pakinabang na konklusyon. Hindi lahat ng karaniwang fraction ay nagko-convert sa isang decimal. !

Sa pamamagitan ng paraan, ito ay kapaki-pakinabang na impormasyon para sa pagsusuri sa sarili. Sa seksyong "B" bilang tugon, kailangan mong isulat ang isang decimal fraction. At nakakuha ka, halimbawa, 4/3. Ang fraction na ito ay hindi na-convert sa decimal. Nangangahulugan ito na sa isang lugar sa daan ay nagkamali ka! Bumalik ka, suriin ang solusyon.

Kaya, na may mga ordinaryong at decimal na fraction na pinagsunod-sunod. Ito ay nananatiling humarap sa magkahalong numero. Upang gumana sa kanila, lahat sila ay kailangang ma-convert sa mga ordinaryong fraction. Paano ito gagawin? Maaari mong mahuli ang isang ika-anim na baitang at tanungin siya. Ngunit hindi palaging isang ikaanim na baitang ang nasa kamay ... Kakailanganin nating gawin ito sa ating sarili. Hindi naman ito mahirap. I-multiply ang denominator ng fractional na bahagi ng integer na bahagi at idagdag ang numerator ng fractional na bahagi. Ito ang magiging numerator ng isang karaniwang fraction. Paano ang denominator? Ang denominator ay mananatiling pareho. Mukhang kumplikado, ngunit ito ay talagang simple. Tingnan natin ang isang halimbawa.

Ipasok ang problemang nakita mo sa horror ang numero:

Kalmado, nang walang gulat, naiintindihan namin. Ang buong bahagi ay 1. Isa. Ang fractional na bahagi ay 3/7. Samakatuwid, ang denominator ng fractional na bahagi ay 7. Ang denominator na ito ang magiging denominator ng ordinaryong fraction. Binibilang namin ang numerator. I-multiply namin ang 7 sa 1 (ang integer na bahagi) at idinagdag ang 3 (ang numerator ng fractional na bahagi). Makakakuha tayo ng 10. Ito ang magiging numerator ng isang ordinaryong fraction. Iyon lang. Mukhang mas simple ito sa mathematical notation:

Malinaw? Pagkatapos ay i-secure ang iyong tagumpay! I-convert sa mga karaniwang fraction. Dapat kang makakuha ng 10/7, 7/2, 23/10 at 21/4.

Ang reverse operation - ang pag-convert ng hindi tamang fraction sa isang mixed number - ay bihirang kailanganin sa high school. Well, kung... At kung ikaw - wala sa high school - maaari mong tingnan ang espesyal na Seksyon 555. Sa parehong lugar, sa pamamagitan ng paraan, matututunan mo ang tungkol sa mga hindi wastong fraction.

Well, halos lahat. Naalala mo ang mga uri ng fraction at naunawaan mo bilang i-convert ang mga ito mula sa isang uri patungo sa isa pa. Ang tanong ay nananatili: bakit gawin mo? Saan at kailan ilalapat ang malalim na kaalamang ito?

Sinagot ko. Ang anumang halimbawa mismo ay nagmumungkahi ng mga kinakailangang aksyon. Kung sa halimbawa ang mga ordinaryong fraction, decimal, at kahit na pinaghalong mga numero ay pinaghalo sa isang bungkos, isinasalin namin ang lahat sa ordinaryong mga fraction. Maaari itong palaging gawin. Well, kung ang isang bagay na tulad ng 0.8 + 0.3 ay nakasulat, pagkatapos ay sa tingin namin ito, nang walang anumang pagsasalin. Bakit kailangan natin ng karagdagang trabaho? Pinipili namin ang solusyon na maginhawa sa amin !

Kung ang gawain ay puno ng mga decimal fraction, ngunit um ... ilang uri ng masasama, pumunta sa mga ordinaryong, subukan ito! Tingnan mo, magiging maayos din ang lahat. Halimbawa, kailangan mong i-square ang numerong 0.125. Hindi ganoon kadali kung hindi mo nawala ang ugali ng calculator! Hindi lamang kailangan mong i-multiply ang mga numero sa isang column, ngunit isipin din kung saan ilalagay ang kuwit! Tiyak na hindi ito gumagana sa aking isipan! At kung pupunta ka sa isang ordinaryong fraction?

0.125 = 125/1000. Bawasan namin ng 5 (ito ay para sa mga nagsisimula). Kumuha kami ng 25/200. Muli sa 5. Nakukuha namin ang 5/40. Naku, lumiliit na! Bumalik sa 5! Nakakuha kami ng 1/8. Madaling parisukat (sa iyong isip!) at makakuha ng 1/64. Lahat!

Ibuod natin ang araling ito.

1. May tatlong uri ng fraction. Ordinaryo, decimal at halo-halong mga numero.

2. Mga desimal at pinaghalong numero palagi maaaring i-convert sa mga karaniwang fraction. Baliktad na Pagsasalin hindi laging magagamit.

3. Ang pagpili ng uri ng mga fraction para sa pagtatrabaho sa gawain ay nakasalalay sa mismong gawaing ito. Kung mayroong iba't ibang uri ng mga fraction sa isang gawain, ang pinaka-maaasahang bagay ay ang lumipat sa mga ordinaryong fraction.

Ngayon ay maaari kang magsanay. Una, i-convert ang mga decimal fraction na ito sa mga ordinaryo:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Dapat kang makakuha ng mga sagot na tulad nito (sa gulo!):

Dito tayo magtatapos. Sa araling ito, pinag-aralan natin ang mga pangunahing punto sa mga fraction. Nangyayari, gayunpaman, na walang espesyal na ire-refresh ...) Kung ang isang tao ay ganap na nakalimutan, o hindi pa nakakabisado ... Ang mga iyon ay maaaring pumunta sa isang espesyal na Seksyon 555. Ang lahat ng mga pangunahing kaalaman ay detalyado doon. Marami bigla intindihin ang lahat ay nagsisimula. At nalulutas nila ang mga fraction sa mabilisang).

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)

maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Ang pagpapasimple ng mga algebraic expression ay isa sa mga susi sa pag-aaral ng algebra at isang lubhang kapaki-pakinabang na kasanayan para sa lahat ng mathematician. Binibigyang-daan ka ng pagpapasimple na bawasan ang isang kumplikado o mahabang expression sa isang simpleng expression na madaling gamitin. Ang mga pangunahing kasanayan sa pagpapasimple ay mabuti kahit para sa mga hindi masigasig sa matematika. Sa pamamagitan ng pagsunod sa ilang simpleng panuntunan, marami sa mga pinakakaraniwang uri ng algebraic na expression ay maaaring gawing simple nang walang anumang espesyal na kaalaman sa matematika.

Mga hakbang

Mahahalagang kahulugan

1. Mga Katulad na Miyembro . Ito ay mga miyembrong may variable na may parehong pagkakasunud-sunod, mga miyembrong may parehong variable, o libreng miyembro (mga miyembrong walang variable). Sa madaling salita, ang mga kagaya ng termino ay kinabibilangan ng isang variable sa parehong lawak, may kasamang ilang magkakaparehong variable, o hindi nagsasama ng variable. Ang pagkakasunud-sunod ng mga termino sa expression ay hindi mahalaga.

   • Halimbawa, ang 3x 2 at 4x 2 ay katulad ng mga termino dahil naglalaman ang mga ito ng variable na "x" ng pangalawang order (sa pangalawang kapangyarihan). Gayunpaman, ang x at x 2 ay hindi magkatulad na mga miyembro, dahil naglalaman ang mga ito ng variable na "x" ng magkakaibang mga order (una at pangalawa). Katulad nito, ang -3yx at 5xz ay hindi magkatulad na miyembro dahil naglalaman ang mga ito ng magkaibang mga variable.

2. Factorization . Ito ay paghahanap ng mga naturang numero, ang produkto na humahantong sa orihinal na numero. Anumang orihinal na numero ay maaaring magkaroon ng ilang mga kadahilanan. Halimbawa, ang numero 12 ay maaaring mabulok sa mga sumusunod na serye ng mga kadahilanan: 1 × 12, 2 × 6 at 3 × 4, kaya masasabi nating ang mga numero 1, 2, 3, 4, 6 at 12 ay mga kadahilanan ng numero 12. Ang mga kadahilanan ay pareho sa mga divisors , iyon ay, ang mga numero kung saan ang orihinal na numero ay nahahati.

   • Halimbawa, kung gusto mong i-factor ang numerong 20, isulat ito nang ganito: 4×5.
   • Tandaan na kapag ang factoring, ang variable ay isinasaalang-alang. Halimbawa, 20x = 4(5x).
   • Ang mga pangunahing numero ay hindi maisasaalang-alang dahil sila ay nahahati lamang sa kanilang mga sarili at 1.

3. Tandaan at sundin ang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon upang maiwasan ang mga pagkakamali.

   • Mga panaklong
   • Degree
   • Pagpaparami
   • Dibisyon
   • Dagdag
   • Pagbabawas

   Pag-cast Tulad ng mga Miyembro

   1. Isulat ang ekspresyon. Ang pinakasimpleng algebraic expression (na hindi naglalaman ng mga fraction, ugat, at iba pa) ay maaaring malutas (pinasimple) sa ilang hakbang lamang.

      • Halimbawa, pasimplehin ang expression 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Tukuyin ang mga katulad na miyembro (mga miyembrong may variable ng parehong pagkakasunud-sunod, mga miyembrong may parehong variable, o libreng miyembro).

      • Maghanap ng mga katulad na termino sa expression na ito. Ang mga terminong 2x at 4x ay naglalaman ng variable ng parehong pagkakasunud-sunod (una). Gayundin, ang 1 at -3 ay mga libreng miyembro (hindi naglalaman ng variable). Kaya, sa expression na ito, ang mga termino 2x at 4x ay magkatulad, at ang mga miyembro 1 at -3 ay katulad din.

   3. Magbigay ng mga katulad na miyembro. Nangangahulugan ito ng pagdaragdag o pagbabawas ng mga ito at pagpapasimple ng expression.

      • 2x+4x= 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Isulat muli ang expression na isinasaalang-alang ang mga ibinigay na miyembro. Makakakuha ka ng isang simpleng expression na may mas kaunting termino. Ang bagong expression ay katumbas ng orihinal.

      • Sa aming halimbawa: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, ibig sabihin, ang orihinal na expression ay pinasimple at mas madaling gamitin.

   5. Obserbahan ang pagkakasunud-sunod kung saan isinasagawa ang mga operasyon kapag nag-cast ng mga katulad na termino. Sa aming halimbawa, madaling magdala ng mga katulad na termino. Gayunpaman, sa kaso ng mga kumplikadong expression kung saan ang mga miyembro ay nakapaloob sa mga bracket at mga fraction at mga ugat ay naroroon, ito ay hindi napakadaling dalhin ang mga naturang termino. Sa mga kasong ito, sundin ang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon.

      • Halimbawa, isaalang-alang ang expression na 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Dito ay isang pagkakamali na agad na tukuyin ang 3x at 2x bilang mga terminong katulad at sipiin ang mga ito, dahil kailangan mo munang palawakin ang mga panaklong. Samakatuwid, gawin ang mga operasyon sa kanilang pagkakasunud-sunod.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Ngayon, kapag ang expression ay naglalaman lamang ng mga pagpapatakbo ng karagdagan at pagbabawas, maaari kang mag-cast ng mga katulad na termino.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   Paglalagay ng panaklong sa multiplier

   1. Hanapin pinakamalaking karaniwang divisor(GCD) ng lahat ng coefficient ng expression. Ang GCD ay ang pinakamalaking bilang kung saan ang lahat ng coefficient ng expression ay nahahati.

      • Halimbawa, isaalang-alang ang equation na 9x 2 + 27x - 3. Sa kasong ito, gcd=3, dahil ang anumang coefficient ng expression na ito ay nahahati sa 3.

   2. Hatiin ang bawat termino ng expression sa gcd. Ang mga resultang termino ay maglalaman ng mas maliliit na coefficient kaysa sa orihinal na expression.

      • Sa aming halimbawa, hatiin ang bawat termino ng expression sa pamamagitan ng 3.
        • 9x2/3=3x2
        • 27x/3=9x
        • -3/3 = -1
        • Ito pala ang expression 3x2 + 9x-1. Hindi ito katumbas ng orihinal na ekspresyon.

   3. Isulat ang orihinal na expression bilang katumbas ng produkto ng gcd na beses ang resultang expression. Iyon ay, ilakip ang nagresultang expression sa mga bracket, at ilagay ang GCD sa mga bracket.

      • Sa aming halimbawa: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)

   4. Pagpapasimple ng mga fractional na expression sa pamamagitan ng pag-alis ng multiplier sa mga bracket. Bakit alisin na lang ang multiplier sa mga bracket, gaya ng ginawa kanina? Pagkatapos, upang matutunan kung paano gawing simple ang mga kumplikadong expression, tulad ng mga fractional na expression. Sa kasong ito, ang paglalagay ng factor sa labas ng mga bracket ay maaaring makatulong na maalis ang fraction (mula sa denominator).

      • Halimbawa, isaalang-alang ang fractional expression (9x 2 + 27x - 3)/3. Gumamit ng mga panaklong upang pasimplehin ang expression na ito.
        • I-factor out ang factor 3 (gaya ng ginawa mo dati): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Tandaan na ang numerator at denominator ay mayroon na ngayong numero 3. Maaari itong bawasan, at makukuha mo ang expression: (3x 2 + 9x - 1) / 1
        • Dahil ang anumang fraction na may numero 1 sa denominator ay katumbas lamang ng numerator, ang orihinal na fractional na expression ay pinasimple sa: 3x2 + 9x-1.

   Karagdagang Mga Teknik sa Pagpapasimple

   1. Pagpapasimple ng fractional expression. Tulad ng nabanggit sa itaas, kung ang numerator at ang denominator ay naglalaman ng parehong mga termino (o kahit na parehong mga expression), kung gayon maaari silang bawasan. Upang gawin ito, kailangan mong kunin ang karaniwang kadahilanan ng numerator o denominator, o pareho ang numerator at denominator. O maaari mong hatiin ang bawat termino ng numerator sa denominator at sa gayon ay gawing simple ang expression.

      • Halimbawa, isaalang-alang ang fractional expression (5x 2 + 10x + 20)/10. Dito, hatiin lamang ang bawat termino ng numerator sa denominator (10). Ngunit tandaan na ang 5x2 term ay hindi kahit na nahahati sa 10 (dahil ang 5 ay mas mababa sa 10).
        • Kaya isulat ang pinasimpleng expression tulad nito: ((5x 2)/10) + x + 2 = (1/2)x 2 + x + 2.

   2. Pagpapasimple ng mga radikal na expression. Ang mga ekspresyon sa ilalim ng radical sign ay tinatawag na radical expressions. Maaari silang gawing simple sa pamamagitan ng kanilang pagkabulok sa naaangkop na mga kadahilanan at ang kasunod na pag-alis ng isang kadahilanan mula sa ilalim ng ugat.

      • Isaalang-alang ang isang simpleng halimbawa: √(90). Ang bilang na 90 ay maaaring mabulok sa mga sumusunod na salik: 9 at 10, at mula sa 9, kunin ang square root (3) at kunin ang 3 mula sa ilalim ng ugat.
        • √(90)
        • √(9×10)
        • √(9)×√(10)
        • 3×√(10)
        • 3√(10)

   3. Pinapasimple ang mga expression na may kapangyarihan. Sa ilang expression, may mga operasyon ng multiplikasyon o paghahati ng mga termino na may degree. Sa kaso ng pagpaparami ng mga termino na may isang base, ang kanilang mga degree ay idinagdag; sa kaso ng paghahati ng mga termino na may parehong base, ang kanilang mga degree ay ibabawas.

      • Halimbawa, isaalang-alang ang expression na 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15). Sa kaso ng multiplikasyon, idagdag ang mga exponent, at sa kaso ng paghahati, ibawas ang mga ito.
        • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15)
        • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
        • 48x7+x2
      • Ang sumusunod ay isang paliwanag ng panuntunan para sa pagpaparami at paghahati ng mga termino na may isang degree.
        • Ang pagpaparami ng mga termino na may mga kapangyarihan ay katumbas ng pagpaparami ng mga termino sa kanilang sarili. Halimbawa, dahil x 3 = x × x × x at x 5 = x × x × x × x × x, pagkatapos x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), o x 8 .
        • Katulad nito, ang paghahati ng mga termino na may mga kapangyarihan ay katumbas ng paghahati ng mga termino sa kanilang sarili. x 5 /x 3 \u003d (x × x × x × x × x) / (x × x × x). Dahil ang magkatulad na termino na nasa numerator at denominator ay maaaring bawasan, ang produkto ng dalawang "x", o x 2, ay nananatili sa numerator.