Aralin at presentasyon sa paksa: "Mga sistema ng mga equation. Ang paraan ng pagpapalit, ang paraan ng pagdaragdag, ang paraan ng pagpapakilala ng bagong variable"

Mga karagdagang materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, puna, mungkahi! Ang lahat ng mga materyales ay sinuri ng isang antivirus program.

Mga pantulong sa pagtuturo at simulator sa online na tindahan na "Integral" para sa grade 9
Simulator para sa mga aklat-aralin Atanasyan L.S. Simulator para sa mga aklat-aralin Pogorelova A.V.

Mga paraan upang malutas ang mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay

Guys, pinag-aralan namin ang mga sistema ng mga equation at natutunan kung paano lutasin ang mga ito gamit ang mga graph. Ngayon tingnan natin kung ano ang iba pang mga paraan upang malutas ang mga system na umiiral?
Halos lahat ng mga paraan upang malutas ang mga ito ay hindi naiiba sa mga napag-aralan natin noong ika-7 baitang. Ngayon kailangan nating gumawa ng ilang mga pagsasaayos ayon sa mga equation na natutunan nating lutasin.
Ang kakanyahan ng lahat ng mga pamamaraan na inilarawan sa araling ito ay ang pagpapalit ng sistema ng isang katumbas na sistema na may mas simpleng anyo at paraan ng solusyon. Guys, tandaan kung ano ang isang katumbas na sistema.

Pamamaraan ng Pagpapalit

Ang unang paraan upang malutas ang mga sistema ng mga equation na may dalawang variable ay kilala sa amin - ito ang paraan ng pagpapalit. Ginamit namin ang pamamaraang ito upang malutas ang mga linear na equation. Ngayon tingnan natin kung paano lutasin ang mga equation sa pangkalahatang kaso?

Paano dapat magpatuloy kapag gumagawa ng desisyon?
1. Ipahayag ang isa sa mga variable sa mga tuntunin ng isa pa. Ang pinakakaraniwang mga variable na ginagamit sa mga equation ay x at y. Sa isa sa mga equation, ipinapahayag namin ang isang variable sa mga tuntunin ng isa pa. Tip: Tingnang mabuti ang parehong equation bago mo simulan ang paglutas at piliin ang isa kung saan mas madaling ipahayag ang variable.
2. Palitan ang resultang expression sa pangalawang equation, sa halip na ang variable na ipinahayag.
3. Lutasin ang equation na nakuha natin.
4. Palitan ang resultang solusyon sa pangalawang equation. Kung mayroong ilang mga solusyon, pagkatapos ay kinakailangan na palitan ang mga ito nang sunud-sunod upang hindi mawala ang ilang mga solusyon.
5. Bilang resulta, makakakuha ka ng isang pares ng mga numerong $(x;y)$, na dapat isulat bilang sagot.

Halimbawa.
Lutasin ang isang system na may dalawang variable gamit ang paraan ng pagpapalit: $\begin(cases)x+y=5, \\xy=6\end(cases)$.

Desisyon.
Tingnan natin ang ating mga equation. Malinaw, ang pagpapahayag ng y sa mga tuntunin ng x sa unang equation ay mas madali.
$\begin(cases)y=5-x, \\xy=6\end(cases)$.
I-substitute ang unang expression sa pangalawang equation $\begin(cases)y=5-x, \\x(5-2x)=6\end(cases)$.
Lutasin natin ang pangalawang equation nang hiwalay:
$x(5-x)=6$.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3)=0$.
Nakakuha kami ng dalawang solusyon ng pangalawang equation na $x_1=2$ at $x_2=3$.
Palitan ng sunud-sunod sa pangalawang equation.
Kung $x=2$ pagkatapos ay $y=3$. Kung $x=3$ pagkatapos ay $y=2$.
Ang sagot ay dalawang pares ng mga numero.
Sagot: $(2;3)$ at $(3;2)$.

Algebraic na paraan ng pagdaragdag

Pinag-aralan din namin ang paraang ito noong ika-7 baitang.
Ito ay kilala na maaari nating i-multiply ang isang rational equation sa dalawang variable sa anumang numero, na naaalala na i-multiply ang magkabilang panig ng equation. Pinarami namin ang isa sa mga equation sa isang tiyak na numero upang kapag ang resultang equation ay idinagdag sa pangalawang equation ng system, ang isa sa mga variable ay masisira. Pagkatapos ang equation ay nalutas na may paggalang sa natitirang variable.
Gumagana pa rin ang pamamaraang ito, kahit na hindi laging posible na sirain ang isa sa mga variable. Ngunit pinapayagan nito ang isa na makabuluhang gawing simple ang anyo ng isa sa mga equation.

Halimbawa.
Lutasin ang system: $\begin(cases)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.

Desisyon.
I-multiply ang unang equation sa 2.
$\begin(cases)4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Ibawas ang pangalawa sa unang equation.
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$.
Tulad ng makikita mo, ang anyo ng nagresultang equation ay mas simple kaysa sa orihinal. Ngayon ay maaari nating gamitin ang paraan ng pagpapalit.
$\begin(cases)4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Ipahayag natin ang x sa pamamagitan ng y sa resultang equation.
$\begin(cases)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\end(cases)$.
Nakakuha ng $y=-1$ at $y=-3$.
Palitan ang mga halagang ito nang sunud-sunod sa unang equation. Kumuha kami ng dalawang pares ng mga numero: $(1;-1)$ at $(-1;-3)$.
Sagot: $(1;-1)$ at $(-1;-3)$.

Paraan para sa pagpapakilala ng bagong variable

Pinag-aralan din natin ang pamamaraang ito, ngunit tingnan natin itong muli.

Halimbawa.
Lutasin ang system: $\begin(cases)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.

Desisyon.
Ipakilala natin ang kapalit na $t=\frac(x)(y)$.
Isulat muli natin ang unang equation na may bagong variable: $t+\frac(2)(t)=3$.
Lutasin natin ang resultang equation:
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$.
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$.
Nakakuha ng $t=2$ o $t=1$. Ipakilala natin ang reverse change $t=\frac(x)(y)$.
Nakuha: $x=2y$ at $x=y$.

Para sa bawat isa sa mga expression, ang orihinal na sistema ay dapat lutasin nang hiwalay:
$\begin(cases)x=2y, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\8y^2-y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\2y^2-y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\7y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=2y, \\y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\y=±1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$. $\begin(cases)x=±1, \\y=±1\end(cases)$.
Nakatanggap kami ng apat na pares ng mga solusyon.
Sagot: $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.

Halimbawa.
Lutasin ang system: $\begin(cases)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2, \\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\end(cases)$.

Desisyon.
Ipinakilala namin ang kapalit: $z=\frac(2)(x-3y)$ at $t=\frac(3)(2x+y)$.
Isulat muli natin ang orihinal na mga equation na may mga bagong variable:
$\begin(cases)z+t=2, \\4z-3t=1\end(cases)$.
Gamitin natin ang paraan ng algebraic na pagdaragdag:
$\begin(cases)3z+3t=6, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)7z=7, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)z=1, \\-3t=1-4\end(cases)$.
$\begin(cases)z=1, \\t=1\end(cases)$.
Ipakilala natin ang reverse substitution:
$\begin(cases)\frac(2)(x-3y)=1, \\\frac(3)(2x+y)=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x-3y=2, \\2x+y=3\end(cases)$.
Gamitin natin ang paraan ng pagpapalit:
$\begin(cases)x=2+3y, \\4+6y+y=3\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2+3y, \\7y=-1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2+3(\frac(-1)(7)), \\y=\frac(-1)(7)\end(cases)$.
$\begin(cases)x=\frac(11)(7), \\x=-\frac(11)(7)\end(cases)$.
Sagot: $(\frac(11)(7);-\frac(1)(7))$.

Mga problema sa mga sistema ng mga equation para sa independiyenteng solusyon

Lutasin ang mga sistema:
1. $\begin(cases)2x-2y=6, \\xy =-2\end(cases)$.
2. $\begin(cases)x+y^2=3, \\xy^2=4\end(cases)$.
3. $\begin(cases)xy+y^2=3, \\y^2-xy=5\end(cases)$.
4. $\begin(cases)\frac(2)(x)+\frac(1)(y)=4, \\\frac(1)(x)+\frac(3)(y)=9\ wakas(mga kaso)$.
5. $\begin(cases)\frac(5)(x^2-xy)+\frac(4)(y^2-xy)=-\frac(1)(6), \\\frac(7 )(x^2-xy)-\frac(3)(y^2-xy)=\frac(6)(5)\end(cases)$.

Alalahanin muna natin ang kahulugan ng isang solusyon sa isang sistema ng mga equation sa dalawang variable.

Kahulugan 1

Ang isang pares ng mga numero ay tinatawag na solusyon sa isang sistema ng mga equation na may dalawang variable kung, kapag sila ay pinalitan sa equation, ang tamang pagkakapantay-pantay ay nakuha.

Sa mga sumusunod, isasaalang-alang natin ang mga sistema ng dalawang equation na may dalawang variable.

Umiiral apat na pangunahing paraan upang malutas ang mga sistema ng mga equation: paraan ng pagpapalit, paraan ng pagdaragdag, paraan ng grapiko, bagong paraan ng pamamahala ng variable. Tingnan natin ang mga pamamaraang ito na may mga tiyak na halimbawa. Upang ilarawan ang prinsipyo ng paggamit ng unang tatlong pamamaraan, isasaalang-alang namin ang isang sistema ng dalawang linear na equation na may dalawang hindi alam:

Pamamaraan ng pagpapalit

Ang paraan ng pagpapalit ay ang mga sumusunod: ang alinman sa mga equation na ito ay kinuha at ang $y$ ay ipinahayag sa mga tuntunin ng $x$, pagkatapos ay ang $y$ ay pinapalitan sa equation ng system, kung saan matatagpuan ang variable na $x.$. Pagkatapos nito, madali nating makalkula ang variable na $y.$

Halimbawa 1

Ipahayag natin mula sa pangalawang equation na $y$ sa mga tuntunin ng $x$:

Palitan sa unang equation, hanapin ang $x$:

\ \ \

Maghanap ng $y$:

Sagot: $(-2,\ 3)$

Paraan ng pagdaragdag.

Isaalang-alang ang pamamaraang ito na may isang halimbawa:

Halimbawa 2

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

I-multiply ang pangalawang equation sa pamamagitan ng 3, nakukuha natin ang:

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (9x-3y=-27) \end(array) \right.\]

Ngayon, idagdag natin ang parehong mga equation nang magkasama:

\ \ \

Hanapin ang $y$ mula sa pangalawang equation:

\[-6-y=-9\] \

Sagot: $(-2,\ 3)$

Puna 1

Tandaan na sa pamamaraang ito kinakailangan na i-multiply ang isa o parehong mga equation sa pamamagitan ng mga numero na kapag nagdaragdag ng isa sa mga variable ay "nawawala".

Grapikong paraan

Ang graphical na pamamaraan ay ang mga sumusunod: ang parehong mga equation ng system ay ipinapakita sa coordinate plane at ang punto ng kanilang intersection ay matatagpuan.

Halimbawa 3

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

Ipahayag natin ang $y$ mula sa parehong mga equation sa mga tuntunin ng $x$:

\[\left\( \begin(array)(c) (y=\frac(5-2x)(3)) \\ (y=3x+9) \end(array) \right.\]

Gumuhit tayo ng parehong mga graph sa parehong eroplano:

Larawan 1.

Sagot: $(-2,\ 3)$

Paano magpakilala ng mga bagong variable

Isasaalang-alang namin ang pamamaraang ito sa sumusunod na halimbawa:

Halimbawa 4

\[\left\( \begin(array)(c) (2^(x+1)-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \right .\]

Desisyon.

Ang sistemang ito ay katumbas ng sistema

\[\left\( \begin(array)(c) ((2\cdot 2)^x-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \ tama.\]

Hayaan ang $2^x=u\ (u>0)$ at $3^y=v\ (v>0)$, makuha natin ang:

\[\left\( \begin(array)(c) (2u-v=-1) \\ (v-u=2) \end(array) \right.\]

Nilulutas namin ang nagresultang sistema sa pamamagitan ng paraan ng pagdaragdag. Idagdag natin ang mga equation:

\ \

Pagkatapos mula sa pangalawang equation, nakuha namin iyon

Bumabalik sa kapalit, kumuha kami ng bagong sistema ng mga exponential equation:

\[\left\( \begin(array)(c) (2^x=1) \\ (3^y=3) \end(array) \right.\]

Nakukuha namin:

\[\left\( \begin(array)(c) (x=0) \\ (y=1) \end(array) \right.\]

Isaalang-alang muna natin ang kaso kapag ang bilang ng mga equation ay katumbas ng bilang ng mga variable, i.e. m = n. Kung gayon ang matrix ng system ay parisukat, at ang determinant nito ay tinatawag na determinant ng system.

Inverse matrix na pamamaraan

Isaalang-alang sa mga pangkalahatang tuntunin ang sistema ng mga equation na AX = B na may isang non-singular square matrix A. Sa kasong ito, mayroong isang inverse matrix A -1 . I-multiply natin ang magkabilang panig sa A -1 sa kaliwa. Nakukuha namin ang A -1 AX \u003d A -1 B. Mula dito EX \u003d A -1 B at

Ang huling pagkakapantay-pantay ay isang matrix formula para sa paghahanap ng mga solusyon sa mga naturang sistema ng mga equation. Ang paggamit ng formula na ito ay tinatawag na inverse matrix method

Halimbawa, gamitin natin ang paraang ito upang malutas ang sumusunod na sistema:

;

Sa pagtatapos ng solusyon ng system, ang isang pagsusuri ay maaaring gawin sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga nahanap na halaga sa mga equation ng system. Sa kasong ito, dapat silang maging tunay na pagkakapantay-pantay.

Para sa halimbawang ito, suriin natin:

Paraan para sa paglutas ng mga sistema ng mga linear equation na may square matrix gamit ang mga formula ng Cramer

Hayaan n=2:

Kung ang parehong bahagi ng unang equation ay pinarami ng isang 22, at ang parehong bahagi ng pangalawa sa pamamagitan ng (-a 12), at pagkatapos ay idinagdag ang mga resultang equation, pagkatapos ay ibubukod natin ang variable na x 2 mula sa system. Katulad nito, maaari mong alisin ang variable na x 1 (sa pamamagitan ng pagpaparami ng magkabilang panig ng unang equation sa pamamagitan ng (-a 21) at magkabilang panig ng pangalawa sa isang 11). Bilang resulta, nakukuha namin ang system:

Ang expression sa mga bracket ay ang determinant ng system

Magpakilala

Pagkatapos ang system ay kukuha ng form:

Ito ay sumusunod mula sa resultang sistema na kung ang determinant ng sistema ay 0, kung gayon ang sistema ay magiging pare-pareho at tiyak. Ang natatanging solusyon nito ay maaaring kalkulahin ng mga formula:

Kung = 0, a 1 0 at/o  2 0, ang mga equation ng system ay kukuha ng anyong 0*х 1 = 2 at/o 0*х 1 = 2. Sa kasong ito, ang sistema ay hindi naaayon.

Sa kaso kapag = 1 = 2 = 0, ang sistema ay magiging pare-pareho at hindi tiyak (ito ay magkakaroon ng walang katapusang bilang ng mga solusyon), dahil ito ay kukuha ng anyo:

Teorama ni Cramer(inaalis namin ang patunay). Kung ang determinant ng matrix ng system n ng mga equation  ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang system ay may natatanging solusyon, na tinutukoy ng mga formula:

,

kung saan ang  j ay ang determinant ng matrix na nakuha mula sa matrix A sa pamamagitan ng pagpapalit sa j-th column ng isang column ng mga libreng miyembro.

Ang mga formula sa itaas ay tinatawag Mga formula ng Cramer.

Bilang halimbawa, gamitin natin ang pamamaraang ito upang malutas ang isang sistema na dati nang nalutas gamit ang inverse matrix na pamamaraan:

Mga disadvantages ng mga itinuturing na pamamaraan:

1) makabuluhang kumplikado (pagkalkula ng mga determinant at paghahanap ng inverse matrix);

2) limitadong saklaw (para sa mga system na may square matrix).

Ang mga tunay na sitwasyong pang-ekonomiya ay madalas na namodelo ng mga sistema kung saan ang bilang ng mga equation at mga variable ay medyo makabuluhan, at mayroong mas maraming mga equation kaysa sa mga variable. Samakatuwid, ang sumusunod na pamamaraan ay mas karaniwan sa pagsasanay.

Gauss method (paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga variable)

Ang pamamaraang ito ay ginagamit upang malutas ang isang sistema ng m linear equation na may n variable sa pangkalahatang paraan. Ang kakanyahan nito ay nakasalalay sa paglalapat ng isang sistema ng mga katumbas na pagbabago sa pinalawak na matrix, sa tulong kung saan ang sistema ng mga equation ay binago sa anyo kapag ang mga solusyon nito ay naging madaling mahanap (kung mayroon man).

Ito ay isang view kung saan ang itaas na kaliwang bahagi ng system matrix ay magiging isang stepped matrix. Ito ay nakakamit gamit ang parehong mga diskarte na ginamit upang makakuha ng isang stepped matrix upang matukoy ang ranggo. Sa kasong ito, ang mga elementarya na pagbabago ay inilalapat sa pinalawak na matrix, na magpapahintulot sa isa na makakuha ng isang katumbas na sistema ng mga equation. Pagkatapos nito, ang augmented matrix ay kukuha ng form:

Ang pagkuha ng naturang matrix ay tinatawag sa isang tuwid na linya Pamamaraan ng Gauss.

Ang paghahanap ng mga halaga ng mga variable mula sa kaukulang sistema ng mga equation ay tinatawag paurong Pamamaraan ng Gauss. Isaalang-alang natin ito.

Tandaan na ang huling (m – r) equation ay kukuha ng anyo:

Kung hindi bababa sa isa sa mga numero
ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang katumbas na pagkakapantay-pantay ay magiging huwad, at ang buong sistema ay hindi magkatugma.

Samakatuwid, para sa anumang magkasanib na sistema
. Sa kasong ito, ang huling (m – r) na mga equation para sa anumang mga halaga ng mga variable ay magiging mga pagkakakilanlan 0 = 0, at maaari silang balewalain kapag nilulutas ang system (itapon lamang ang kaukulang mga hilera).

Pagkatapos nito, magiging ganito ang system:

Isaalang-alang muna ang kaso kapag r=n. Pagkatapos ang system ay kukuha ng form:

Mula sa huling equation ng system ang isa ay maaaring natatanging mahanap x r .

Ang pag-alam sa x r , ang isa ay maaaring natatanging ipahayag ang x r -1 mula dito. Pagkatapos mula sa nakaraang equation, alam ang x r at x r -1 , maaari naming ipahayag ang x r -2 at iba pa. hanggang x 1 .

Kaya, sa kasong ito, ang sistema ay magiging collaborative at tiyak.

Ngayon isaalang-alang ang kaso kapag r basic(basic), at lahat ng iba pa - hindi basic(menor de edad, libre). Ang huling equation ng system ay magiging ganito:

Mula sa equation na ito, maaari nating ipahayag ang pangunahing variable x r sa mga tuntunin ng mga di-basic:

Ang penultimate equation ay magiging ganito:

Ang pagpapalit ng resultang expression sa halip na x r, magiging posible na ipahayag ang pangunahing variable x r -1 sa pamamagitan ng mga hindi basic. atbp. sa variable x 1 . Upang makakuha ng solusyon sa system, maaari mong itumbas ang mga di-basic na variable sa mga arbitrary na halaga at pagkatapos ay kalkulahin ang mga pangunahing variable gamit ang mga nakuhang formula. Kaya, sa kasong ito, ang sistema ay magiging pare-pareho at walang katiyakan (magkaroon ng walang katapusang bilang ng mga solusyon).

Halimbawa, lutasin natin ang sistema ng mga equation:

Ang hanay ng mga pangunahing variable ay tatawagin batayan mga sistema. Ang hanay ng mga hanay ng mga coefficient para sa kanila ay tatawagin din batayan(mga pangunahing hanay), o pangunahing menor de edad matrice ng system. Ang solusyon na iyon ng system, kung saan ang lahat ng di-basic na variable ay katumbas ng zero, ay tatawagin pangunahing solusyon.

Sa nakaraang halimbawa, ang pangunahing solusyon ay magiging (4/5; -17/5; 0; 0) (mga variable x 3 at x 4 (c 1 at c 2) ay nakatakda sa zero, at ang mga pangunahing variable x 1 at x 2 ay kinakalkula sa pamamagitan ng mga ito) . Upang magbigay ng isang halimbawa ng isang di-pangunahing solusyon, kinakailangang itumbas ang x 3 at x 4 (c 1 at c 2) sa mga arbitraryong numero na hindi katumbas ng zero sa parehong oras, at kalkulahin ang natitirang mga variable sa pamamagitan ng sila. Halimbawa, sa c 1 = 1 at c 2 = 0, nakakakuha tayo ng hindi pangunahing solusyon - (4/5; -12/5; 1; 0). Sa pamamagitan ng pagpapalit, madaling i-verify na ang parehong mga solusyon ay tama.

Malinaw, sa isang walang tiyak na sistema ng mga di-pangunahing solusyon, maaaring mayroong walang katapusang bilang ng mga solusyon. Gaano karaming mga pangunahing solusyon ang maaaring mayroon? Ang bawat row ng transformed matrix ay dapat na tumutugma sa isang pangunahing variable. Sa kabuuan, mayroong n variable sa problema, at r pangunahing row. Samakatuwid, ang bilang ng mga posibleng hanay ng mga pangunahing variable ay hindi maaaring lumampas sa bilang ng mga kumbinasyon mula n hanggang 2 . Maaaring mas mababa ito sa , dahil hindi laging posible na ibahin ang anyo ng system na ang partikular na hanay ng mga variable ang batayan.

Anong uri ito? Ito ay isang anyo kapag ang matrix na nabuo mula sa mga column ng mga coefficient para sa mga variable na ito ay magiging stepwise at, sa kasong ito, ay bubuo ng mga rrow. Yung. ang ranggo ng matrix ng mga coefficient para sa mga variable na ito ay dapat na katumbas ng r. Hindi ito maaaring mas malaki, dahil ang bilang ng mga column ay katumbas ng r. Kung ito ay lumabas na mas mababa sa r, pagkatapos ito ay nagpapahiwatig ng isang linear dependence ng mga column na may mga variable. Ang mga ganitong column ay hindi maaaring maging batayan.

Isaalang-alang natin kung ano ang iba pang mga pangunahing solusyon na matatagpuan sa halimbawa sa itaas. Upang gawin ito, isaalang-alang ang lahat ng posibleng kumbinasyon ng apat na variable na may dalawang pangunahing. Ang ganitong mga kumbinasyon ay gagawin
, at isa sa mga ito (x 1 at x 2) ay naikonsidera na.

Kunin natin ang mga variable x 1 at x 3 . Hanapin ang ranggo ng matrix ng mga coefficient para sa kanila:

Dahil ito ay katumbas ng dalawa, maaari silang maging basic. Tinutumbas namin ang mga di-basic na variable x 2 at x 4 sa zero: x 2 \u003d x 4 \u003d 0. Pagkatapos ay mula sa formula x 1 \u003d 4/5 - (1/5) * x 4 sumusunod na x 1 \u003d 4/5, at mula sa formula x 2 \u003d -17/5 + x 3 - - (7/5) * x 4 \u003d -17/5 + x 3 sumusunod na x 3 \u003d x 2 + 17/5 \u003d 17/5. Kaya, nakukuha natin ang pangunahing solusyon (4/5; 0; 17/5; 0).

Katulad nito, maaari kang makakuha ng mga pangunahing solusyon para sa mga pangunahing variable x 1 at x 4 - (9/7; 0; 0; -17/7); x 2 at x 4 - (0; -9; 0; 4); x 3 at x 4 - (0; 0; 9; 4).

Ang mga variable na x 2 at x 3 sa halimbawang ito ay hindi maaaring kunin bilang mga pangunahing, dahil ang ranggo ng kaukulang matrix ay katumbas ng isa, i.e. mas mababa sa dalawa:

.

Ang isa pang diskarte ay posible upang matukoy kung posible o hindi na bumuo ng isang batayan mula sa ilang mga variable. Kapag nilulutas ang halimbawa, bilang isang resulta ng pagbabago ng system matrix sa isang stepped form, kinuha nito ang form:

Sa pamamagitan ng pagpili ng mga pares ng mga variable, posible na kalkulahin ang kaukulang mga menor de edad ng matrix na ito. Madaling makita na para sa lahat ng mga pares, maliban sa x 2 at x 3 , hindi sila katumbas ng zero, i.e. linearly independent ang mga column. At para lamang sa mga column na may mga variable na x 2 at x 3
, na nagpapahiwatig ng kanilang linear dependence.

Isaalang-alang natin ang isa pang halimbawa. Lutasin natin ang sistema ng mga equation

Kaya, ang equation na naaayon sa ikatlong hilera ng huling matrix ay hindi pare-pareho - ito ay humantong sa maling pagkakapantay-pantay 0 = -1, samakatuwid, ang sistemang ito ay hindi naaayon.

Paraan ng Jordan-Gauss 3 ay isang pag-unlad ng pamamaraang Gaussian. Ang kakanyahan nito ay ang pinalawig na matrix ng system ay nababago sa anyo kapag ang mga coefficient ng mga variable ay bumubuo ng isang identity matrix hanggang sa isang permutation ng mga hilera o mga haligi 4 (nasaan ang ranggo ng system matrix).

Lutasin natin ang system gamit ang pamamaraang ito:

Isaalang-alang ang augmented matrix ng system:

Sa matrix na ito, pipiliin namin ang elemento ng pagkakakilanlan. Halimbawa, ang koepisyent sa x 2 sa ikatlong hadlang ay 5. Siguraduhin natin na sa natitirang mga row sa column na ito ay may mga zero, i.e. gawing single ang column. Sa proseso ng mga pagbabago, tatawagin natin ito hanaypermissive(nangunguna, susi). Ang ikatlong hadlang (ang pangatlo string) ay tatawagin din permissive. Ang sarili ko elemento, na nakatayo sa intersection ng pinapayagang row at column (narito ito ay isang unit), ay tinatawag ding permissive.

Ang unang linya ay naglalaman na ngayon ng koepisyent (-1). Upang makakuha ng zero sa lugar nito, i-multiply ang ikatlong hilera sa (-1) at ibawas ang resulta mula sa unang hilera (ibig sabihin, idagdag lamang ang unang hilera sa pangatlo).

Ang pangalawang linya ay naglalaman ng isang koepisyent ng 2. Upang makakuha ng zero sa lugar nito, i-multiply ang ikatlong linya ng 2 at ibawas ang resulta mula sa unang linya.

Ang resulta ng mga pagbabago ay magiging ganito:

Malinaw na ipinapakita ng matrix na ito na ang isa sa unang dalawang hadlang ay maaaring tanggalin (ang kaukulang mga hilera ay proporsyonal, ibig sabihin, ang mga equation na ito ay sumusunod sa isa't isa). I-cross out natin ang pangalawa:

Kaya, mayroong dalawang equation sa bagong sistema. Isang column (pangalawa) ang natanggap, at ang unit dito ay nasa pangalawang row. Tandaan natin na ang pangunahing variable x 2 ay tumutugma sa pangalawang equation ng bagong sistema.

Pumili tayo ng pangunahing variable para sa unang hilera. Maaari itong maging anumang variable maliban sa x 3 (dahil sa x 3 ang unang constraint ay may zero coefficient, ibig sabihin, ang set ng mga variable x 2 at x 3 ay hindi maaaring maging basic dito). Maaari mong kunin ang una o ikaapat na variable.

Piliin natin ang x 1. Pagkatapos ang elemento ng paglutas ay magiging 5, at ang magkabilang panig ng equation ng paglutas ay kailangang hatiin ng lima upang makakuha ng isa sa unang hanay ng unang hilera.

Siguraduhin natin na ang natitirang mga row (i.e., ang pangalawang row) ay may mga zero sa unang column. Dahil ngayon ang pangalawang linya ay hindi zero, ngunit 3, kinakailangan upang ibawas mula sa pangalawang linya ang mga elemento ng na-convert na unang linya, na pinarami ng 3:

Ang isang pangunahing solusyon ay maaaring direktang makuha mula sa nagreresultang matrix sa pamamagitan ng pagtumbas ng mga di-basic na variable sa zero, at ang mga pangunahing variable sa mga libreng termino sa mga katumbas na equation: (0.8; -3.4; 0; 0). Maaari ka ring makakuha ng mga pangkalahatang formula na nagpapahayag ng mga pangunahing variable sa pamamagitan ng mga hindi pangunahing: x 1 \u003d 0.8 - 1.2 x 4; x 2 \u003d -3.4 + x 3 + 1.6x 4. Inilalarawan ng mga formula na ito ang buong walang katapusang hanay ng mga solusyon sa system (sa pamamagitan ng pagtutumbas ng x 3 at x 4 sa mga arbitrary na numero, maaari mong kalkulahin ang x 1 at x 2).

Tandaan na ang kakanyahan ng mga pagbabago sa bawat yugto ng pamamaraang Jordan-Gauss ay ang mga sumusunod:

1) ang permissive string ay hinati ng permissive element para makakuha ng unit sa lugar nito,

2) mula sa lahat ng iba pang mga row, ang nabagong resolving power na pinarami ng elemento na nasa ibinigay na linya sa resolving column ay ibinawas upang makakuha ng zero bilang kapalit ng elementong ito.

Isaalang-alang muli ang binagong augmented matrix ng system:

Makikita mula sa entry na ito na ang ranggo ng matrix ng system A ay r.

Sa kurso ng pangangatwiran sa itaas, itinatag namin na ang sistema ay pare-pareho kung at kung lamang
. Nangangahulugan ito na ang augmented matrix ng system ay magiging ganito:

Ang pagtatapon ng mga zero na hilera, nakuha namin na ang ranggo ng pinalawig na matrix ng system ay katumbas din ng r.

Kronecker-Capelli theorem. Ang isang sistema ng mga linear na equation ay pare-pareho kung at kung ang ranggo ng matrix ng system ay katumbas ng ranggo ng pinalawig na matrix ng sistemang ito.

Alalahanin na ang ranggo ng isang matrix ay katumbas ng maximum na bilang ng mga linearly independent na hilera nito. Ito ay sumusunod mula dito na kung ang ranggo ng pinalawig na matrix ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga equation, kung gayon ang mga equation ng system ay linearly dependent, at isa o higit pa sa mga ito ay maaaring hindi kasama sa system (dahil sila ay isang linear kumbinasyon ng iba). Ang sistema ng mga equation ay magiging linearly independent lamang kung ang ranggo ng extended matrix ay katumbas ng bilang ng mga equation.

Bukod dito, para sa mga pare-parehong sistema ng mga linear na equation, maaari itong pagtalunan na kung ang ranggo ng matrix ay katumbas ng bilang ng mga variable, kung gayon ang system ay may natatanging solusyon, at kung ito ay mas mababa sa bilang ng mga variable, kung gayon ang sistema ay hindi tiyak at may walang katapusang maraming solusyon.

1Halimbawa, ipagpalagay na mayroong limang row sa matrix (ang paunang row order ay 12345). Kailangan nating baguhin ang pangalawang linya at ang ikalima. Upang ang pangalawang linya ay mahulog sa lugar ng ikalima, upang "lumipat" pababa, sunud-sunod naming binabago ang mga katabing linya ng tatlong beses: ang pangalawa at pangatlo (13245), ang pangalawa at ikaapat (13425) at ang pangalawa at panglima (13452). Pagkatapos, upang ang ikalimang hilera ay pumalit sa pangalawa sa orihinal na matrix, kinakailangan na "ilipat" ang ikalimang hilera sa pamamagitan lamang ng dalawang magkakasunod na pagbabago: ang ikalima at ikaapat na hanay (13542) at ang ikalima at pangatlo. (15342).

2Bilang ng mga kumbinasyon mula n hanggang r ang bilang ng lahat ng iba't ibang r-element na subset ng isang n-element set ay tinatawag (iba't ibang set ang may iba't ibang komposisyon ng mga elemento, ang pagkakasunud-sunod ng pagpili ay hindi mahalaga). Ito ay kinakalkula ng formula:
. Alalahanin ang kahulugan ng tanda na "!" (paktoral):
0!=1.)

3Dahil ang pamamaraang ito ay mas karaniwan kaysa sa pamamaraang Gauss na tinalakay kanina, at sa esensya ay isang kumbinasyon ng pasulong at baligtad na pamamaraang Gauss, kung minsan ay tinatawag din itong pamamaraang Gauss, na inaalis ang unang bahagi ng pangalan.

4Halimbawa,
.

5Kung walang mga yunit sa matrix ng system, posible, halimbawa, na hatiin ang parehong bahagi ng unang equation sa dalawa, at pagkatapos ay ang unang koepisyent ay magiging pagkakaisa; o katulad nito.

Gamit ang mathematical program na ito, maaari mong lutasin ang isang sistema ng dalawang linear equation na may dalawang variable gamit ang substitution method at ang addition method.

Ang programa ay hindi lamang nagbibigay ng sagot sa problema, ngunit nagbibigay din ng isang detalyadong solusyon na may mga paliwanag ng mga hakbang sa solusyon sa dalawang paraan: ang paraan ng pagpapalit at ang paraan ng pagdaragdag.

Ang program na ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang para sa mga mag-aaral sa high school bilang paghahanda para sa mga pagsusulit at pagsusulit, kapag sinusuri ang kaalaman bago ang Pinag-isang State Exam, para sa mga magulang na kontrolin ang solusyon ng maraming problema sa matematika at algebra. O baka masyadong mahal para sa iyo na kumuha ng tutor o bumili ng mga bagong aklat-aralin? O gusto mo lang bang matapos ang iyong araling-bahay sa matematika o algebra sa lalong madaling panahon? Sa kasong ito, maaari mo ring gamitin ang aming mga programa na may detalyadong solusyon.

Sa ganitong paraan, maaari kang magsagawa ng iyong sariling pagsasanay at/o pagsasanay ng iyong mga nakababatang kapatid na lalaki o babae, habang tumataas ang antas ng edukasyon sa larangan ng mga gawaing dapat lutasin.

Mga Panuntunan para sa Pagpasok ng Mga Equation

Anumang Latin na titik ay maaaring kumilos bilang isang variable.
Halimbawa: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) atbp.

Kapag nagpapasok ng mga equation maaari kang gumamit ng mga bracket. Sa kasong ito, ang mga equation ay unang pinasimple. Ang mga equation pagkatapos ng mga pagpapasimple ay dapat na linear, i.e. ng anyong ax+by+c=0 na may katumpakan ng pagkakasunud-sunod ng mga elemento.
Halimbawa: 6x+1 = 5(x+y)+2

Sa mga equation, maaari mong gamitin hindi lamang ang mga integer, kundi pati na rin ang mga fractional na numero sa anyo ng decimal at ordinaryong mga fraction.

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga decimal fraction.
Ang integer at fractional na mga bahagi sa mga decimal fraction ay maaaring paghiwalayin ng alinman sa isang tuldok o kuwit.
Halimbawa: 2.1n + 3.5m = 55

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga ordinaryong fraction.
Isang buong numero lamang ang maaaring kumilos bilang numerator, denominator at integer na bahagi ng isang fraction.
Ang denominator ay hindi maaaring negatibo.
Kapag nagpapasok ng isang numerical fraction, ang numerator ay pinaghihiwalay mula sa denominator sa pamamagitan ng isang tanda ng dibisyon: /
Ang integer na bahagi ay pinaghihiwalay mula sa fraction ng isang ampersand: &

Mga halimbawa.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3.5p - 2&1/8q)

Lutasin ang isang sistema ng mga equation

Napag-alaman na ang ilang mga script na kailangan upang malutas ang gawaing ito ay hindi na-load, at ang programa ay maaaring hindi gumana.
Maaaring pinagana mo ang AdBlock.
Sa kasong ito, huwag paganahin ito at i-refresh ang pahina.

Na-disable mo ang JavaScript sa iyong browser.
Dapat paganahin ang JavaScript para lumabas ang solusyon.
Narito ang mga tagubilin kung paano paganahin ang JavaScript sa iyong browser.

kasi Maraming tao ang gustong malutas ang problema, ang iyong kahilingan ay nakapila.
Pagkatapos ng ilang segundo, lilitaw ang solusyon sa ibaba.
Maghintay, mangyaring sec...

kung ikaw napansin ang isang error sa solusyon, pagkatapos ay maaari mong isulat ang tungkol dito sa Form ng Feedback.
Huwag kalimutan ipahiwatig kung aling gawain magpasya ka kung ano pumasok sa mga patlang.

Ang aming mga laro, puzzle, emulator:

Medyo teorya.

Paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation. Pamamaraan ng pagpapalit

Ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon kapag nilulutas ang isang sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit:
1) ipahayag ang isang variable mula sa ilang equation ng system sa mga tuntunin ng isa pa;
2) palitan ang resultang expression sa isa pang equation ng system sa halip na ang variable na ito;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Ipahayag natin mula sa unang equation na y hanggang x: y = 7-3x. Ang pagpapalit ng expression na 7-3x sa halip na y sa pangalawang equation, nakuha namin ang system:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

Madaling ipakita na ang una at pangalawang sistema ay may parehong mga solusyon. Sa pangalawang sistema, ang pangalawang equation ay naglalaman lamang ng isang variable. Lutasin natin ang equation na ito:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

Ang pagpapalit ng numero 1 sa halip na x sa equation na y=7-3x, makikita natin ang katumbas na halaga ng y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Pares (1;4) - solusyon ng system

Ang mga sistema ng mga equation sa dalawang variable na may parehong mga solusyon ay tinatawag katumbas. Ang mga system na walang mga solusyon ay itinuturing din na katumbas.

Paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng pagdaragdag

Isaalang-alang ang isa pang paraan upang malutas ang mga sistema ng mga linear na equation - ang paraan ng pagdaragdag. Kapag nilulutas ang mga sistema sa ganitong paraan, pati na rin kapag nilulutas sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit, pumasa tayo mula sa isang ibinigay na sistema patungo sa isa pang sistemang katumbas nito, kung saan ang isa sa mga equation ay naglalaman lamang ng isang variable.

Ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon kapag nilulutas ang isang sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng paraan ng pagdaragdag:
1) paramihin ang mga equation ng term ng system sa pamamagitan ng term, pagpili ng mga salik upang ang mga coefficient para sa isa sa mga variable ay maging kabaligtaran na mga numero;
2) magdagdag ng termino sa pamamagitan ng termino sa kaliwa at kanang bahagi ng mga equation ng system;
3) lutasin ang resultang equation na may isang variable;
4) hanapin ang katumbas na halaga ng pangalawang variable.

Halimbawa. Lutasin natin ang sistema ng mga equation:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Sa mga equation ng sistemang ito, ang mga coefficient ng y ay magkasalungat na numero. Pagdaragdag ng termino sa pamamagitan ng termino sa kaliwa at kanang bahagi ng mga equation, makakakuha tayo ng isang equation na may isang variable na 3x=33. Palitan natin ang isa sa mga equation ng system, halimbawa ang una, ng equation na 3x=33. Kunin natin ang sistema
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Mula sa equation na 3x=33 nakita natin na x=11. Ang pagpapalit ng x value na ito sa equation \(x-3y=38 \) ay makakakuha tayo ng equation na may variable na y: \(11-3y=38 \). Lutasin natin ang equation na ito:
\(-3y=27 \Rightarrow y=-9 \)

Kaya, natagpuan namin ang solusyon sa sistema ng mga equation sa pamamagitan ng pagdaragdag ng: \(x=11; y=-9 \) o \((11; -9) \)

Sinasamantala ang katotohanan na sa mga equation ng system ang mga coefficient ng y ay magkasalungat na numero, binawasan namin ang solusyon nito sa solusyon ng isang katumbas na sistema (sa pamamagitan ng pagbubuod ng parehong bahagi ng bawat isa sa mga equation ng orihinal na symmeme), kung saan ang isa ng mga equation ay naglalaman lamang ng isang variable.

Mga aklat (mga aklat-aralin) Abstract ng Unified State Examination at mga pagsusulit sa OGE online Mga laro, puzzle Graphing of functions Spelling dictionary ng Russian language Dictionary of youth slang Catalog of Russian schools Catalog of secondary schools in Russia Catalog of Russian universities Listahan ng mga gawain

Mas maaasahan kaysa sa graphical na pamamaraan na tinalakay sa nakaraang talata.

Pamamaraan ng Pagpapalit

Ginamit namin ang paraang ito sa ika-7 baitang upang malutas ang mga sistema ng mga linear na equation. Ang algorithm na binuo sa ika-7 baitang ay medyo angkop para sa paglutas ng mga sistema ng anumang dalawang equation (hindi kinakailangang linear) na may dalawang variable na x at y (siyempre, ang mga variable ay maaaring tukuyin ng iba pang mga titik, na hindi mahalaga). Sa katunayan, ginamit namin ang algorithm na ito sa nakaraang talata, kapag ang problema ng isang dalawang-digit na numero ay humantong sa isang modelo ng matematika, na isang sistema ng mga equation. Nalutas namin ang sistemang ito ng mga equation sa itaas sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit (tingnan ang halimbawa 1 mula sa § 4).

Algorithm para sa paggamit ng paraan ng pagpapalit kapag nilulutas ang isang sistema ng dalawang equation na may dalawang variable na x, y.

1. Ipahayag ang y sa mga tuntunin ng x mula sa isang equation ng system.
2. Palitan ang resultang expression sa halip na y sa isa pang equation ng system.
3. Lutasin ang resultang equation para sa x.
4. Palitan naman ang bawat ugat ng equation na matatagpuan sa ikatlong hakbang sa halip na x sa expression na y hanggang x na nakuha sa unang hakbang.
5. Isulat ang sagot sa anyo ng mga pares ng mga halaga (x; y), na natagpuan, ayon sa pagkakabanggit, sa ikatlo at ikaapat na hakbang.

4) Palitan naman ang bawat isa sa mga nahanap na halaga ng y sa formula x \u003d 5 - Zy. Kung noon
5) Mga pares (2; 1) at mga solusyon ng isang ibinigay na sistema ng mga equation.

Sagot: (2; 1);

Algebraic na paraan ng pagdaragdag

Ang pamamaraang ito, tulad ng paraan ng pagpapalit, ay pamilyar sa iyo mula sa kursong algebra sa ika-7 baitang, kung saan ginamit ito upang malutas ang mga sistema ng mga linear na equation. Naaalala namin ang kakanyahan ng pamamaraan sa sumusunod na halimbawa.

Halimbawa 2 Lutasin ang isang sistema ng mga equation

I-multiply namin ang lahat ng mga termino ng unang equation ng system sa pamamagitan ng 3, at iwanan ang pangalawang equation na hindi nagbabago:
Ibawas ang pangalawang equation ng system mula sa unang equation nito:

Bilang resulta ng algebraic na pagdaragdag ng dalawang equation ng orihinal na sistema, nakuha ang isang equation na mas simple kaysa sa una at pangalawang equation ng ibinigay na sistema. Sa mas simpleng equation na ito, may karapatan kaming palitan ang anumang equation ng isang ibinigay na system, halimbawa, ang pangalawa. Pagkatapos ang ibinigay na sistema ng mga equation ay papalitan ng isang mas simpleng sistema:

Ang sistemang ito ay maaaring malutas sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit. Mula sa pangalawang equation nakita namin Ang pagpapalit ng expression na ito sa halip na y sa unang equation ng system, nakuha namin

Ito ay nananatiling palitan ang mga nahanap na halaga ng x sa formula

Kung x = 2 kung gayon

Kaya, nakahanap kami ng dalawang solusyon sa system:

Paraan para sa pagpapakilala ng mga bagong variable

Nakilala mo ang paraan ng pagpapakilala ng bagong variable kapag nilulutas ang mga rational equation na may isang variable sa kursong algebra sa ika-8 baitang. Ang kakanyahan ng pamamaraang ito para sa paglutas ng mga sistema ng mga equation ay pareho, ngunit mula sa isang teknikal na punto ng view mayroong ilang mga tampok na tatalakayin natin sa mga sumusunod na halimbawa.

Halimbawa 3 Lutasin ang isang sistema ng mga equation

Magpakilala tayo ng bagong variable Pagkatapos ay maaaring muling isulat ang unang equation ng system sa isang mas simpleng anyo: Lutasin natin ang equation na ito na may paggalang sa variable t:

Pareho sa mga halagang ito ay nakakatugon sa kundisyon, at samakatuwid ay ang mga ugat ng isang rational equation na may variable na t. Ngunit nangangahulugan ito ng alinman mula sa kung saan natin makikita na x = 2y, o
Kaya, gamit ang paraan ng pagpapakilala ng isang bagong variable, pinamamahalaan namin, tulad ng, upang "pagsapin-sapin" ang unang equation ng system, na medyo kumplikado sa hitsura, sa dalawang mas simpleng equation:

x = 2 y; y - 2x.

Anong susunod? At pagkatapos ang bawat isa sa dalawang simpleng equation na nakuha ay dapat isaalang-alang sa turn sa isang sistema na may equation x 2 - y 2 \u003d 3, na hindi pa natin naaalala. Sa madaling salita, ang problema ay nabawasan sa paglutas ng dalawang sistema ng mga equation:

Ito ay kinakailangan upang makahanap ng mga solusyon para sa unang sistema, ang pangalawang sistema, at isama ang lahat ng mga resultang pares ng mga halaga sa sagot. Lutasin natin ang unang sistema ng mga equation:

Gamitin natin ang paraan ng pagpapalit, lalo na dahil handa na ang lahat para dito: pinapalitan natin ang expression na 2y sa halip na x sa pangalawang equation ng system. Kunin

Dahil sa x \u003d 2y, nakita namin ang x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 2, ayon sa pagkakabanggit, ang dalawang solusyon sa ibinigay na sistema ay nakuha: (2; 1) at (-2; -1). Lutasin natin ang pangalawang sistema ng mga equation:

Gamitin nating muli ang paraan ng pagpapalit: pinapalitan natin ang expression na 2x sa halip na y sa pangalawang equation ng system. Kunin

Ang equation na ito ay walang mga ugat, na nangangahulugan na ang sistema ng mga equation ay walang mga solusyon. Kaya, ang mga solusyon lamang ng unang sistema ang dapat isama sa sagot.

Sagot: (2; 1); (-2;-1).

Ang paraan ng pagpapakilala ng mga bagong variable sa paglutas ng mga sistema ng dalawang equation na may dalawang variable ay ginagamit sa dalawang bersyon. Unang opsyon: isang bagong variable ang ipinakilala at ginagamit sa isang equation lamang ng system. Ganito mismo ang nangyari sa halimbawa 3. Ang pangalawang opsyon: dalawang bagong variable ang ipinakilala at ginamit nang sabay-sabay sa parehong mga equation ng system. Ito ang magiging kaso sa halimbawa 4.

Halimbawa 4 Lutasin ang isang sistema ng mga equation

Ipakilala natin ang dalawang bagong variable:

Natutunan natin yan

Ito ay magpapahintulot sa amin na muling isulat ang ibinigay na sistema sa isang mas simpleng anyo, ngunit may kinalaman sa mga bagong variable na a at b:

Dahil ang isang \u003d 1, pagkatapos ay mula sa equation na a + 6 \u003d 2 nakita namin: 1 + 6 \u003d 2; 6=1. Kaya, para sa mga variable a at b, nakakuha kami ng isang solusyon:

Pagbabalik sa mga variable na x at y, nakuha namin ang sistema ng mga equation

Inilapat namin ang paraan ng pagdaragdag ng algebraic upang malutas ang sistemang ito:

Mula noon mula sa equation na 2x + y = 3 nakita namin:
Kaya, para sa mga variable na x at y, nakakuha kami ng isang solusyon:

Tapusin natin ang bahaging ito sa isang maikli ngunit seryosong teoretikal na talakayan. Nakakuha ka na ng ilang karanasan sa paglutas ng iba't ibang equation: linear, square, rational, irrational. Alam mo na ang pangunahing ideya ng paglutas ng isang equation ay ang unti-unting paglipat mula sa isang equation patungo sa isa pa, mas simple ngunit katumbas ng ibinigay na isa. Sa nakaraang seksyon, ipinakilala namin ang paniwala ng equivalence para sa mga equation na may dalawang variable. Ginagamit din ang konseptong ito para sa mga sistema ng mga equation.

Kahulugan.

Dalawang sistema ng mga equation na may mga variable na x at y ay sinasabing katumbas kung mayroon silang parehong mga solusyon o kung ang parehong mga sistema ay walang mga solusyon.

Ang lahat ng tatlong pamamaraan (pagpapalit, algebraic na karagdagan, at pagpapakilala ng mga bagong variable) na aming tinalakay sa seksyong ito ay ganap na tama mula sa punto ng view ng pagkakapareho. Sa madaling salita, gamit ang mga pamamaraang ito, pinapalitan namin ang isang sistema ng mga equation ng isa pa, mas simple, ngunit katumbas ng orihinal na sistema.

Graphical na pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng mga equation

Natutunan na natin kung paano lutasin ang mga sistema ng mga equation sa mga karaniwan at maaasahang paraan gaya ng paraan ng pagpapalit, pagdaragdag ng algebraic at ang pagpapakilala ng mga bagong variable. At ngayon, alalahanin natin ang pamamaraan na napag-aralan mo na sa nakaraang aralin. Ibig sabihin, ulitin natin ang alam mo tungkol sa paraan ng graphical na solusyon.

Ang paraan ng paglutas ng mga sistema ng mga equation sa graphical na paraan ay ang pagbuo ng isang graph para sa bawat isa sa mga partikular na equation na kasama sa sistemang ito at nasa parehong coordinate plane, at kung saan kinakailangan din na hanapin ang intersection ng mga punto ng mga graph na ito. . Upang malutas ang sistemang ito ng mga equation ay ang mga coordinate ng puntong ito (x; y).

Dapat tandaan na para sa isang graphical na sistema ng mga equation ay karaniwan na magkaroon ng alinman sa isang solong tamang solusyon, o isang walang katapusang bilang ng mga solusyon, o walang mga solusyon sa lahat.

Ngayon tingnan natin ang bawat isa sa mga solusyong ito. At kaya, ang sistema ng mga equation ay maaaring magkaroon ng isang natatanging solusyon kung ang mga linya, na siyang mga graph ng mga equation ng system, ay magsalubong. Kung ang mga linyang ito ay magkatulad, kung gayon ang gayong sistema ng mga equation ay ganap na walang mga solusyon. Sa kaso ng pagkakataon ng mga direktang graph ng mga equation ng system, kung gayon ang ganitong sistema ay nagpapahintulot sa iyo na makahanap ng maraming mga solusyon.

Ngayon, tingnan natin ang algorithm para sa paglutas ng isang sistema ng dalawang equation na may 2 hindi alam gamit ang isang graphical na pamamaraan:

Una, sa una ay bumuo kami ng isang graph ng 1st equation;
Ang ikalawang hakbang ay ang pag-plot ng graph na nauugnay sa pangalawang equation;
Pangatlo, kailangan nating hanapin ang mga intersection point ng mga graph.
At bilang resulta, nakukuha natin ang mga coordinate ng bawat intersection point, na magiging solusyon sa sistema ng mga equation.

Tingnan natin ang pamamaraang ito nang mas detalyado sa isang halimbawa. Binigyan tayo ng isang sistema ng mga equation na dapat lutasin:

Paglutas ng mga Equation

1. Una, bubuo tayo ng graph ng equation na ito: x2+y2=9.

Ngunit dapat tandaan na ang graph na ito ng mga equation ay magiging isang bilog na nakasentro sa pinanggalingan, at ang radius nito ay magiging katumbas ng tatlo.

2. Ang susunod nating hakbang ay ang magplano ng equation tulad ng: y = x - 3.

Sa kasong ito, dapat tayong bumuo ng isang linya at hanapin ang mga puntos (0;−3) at (3;0).

3. Tingnan natin kung ano ang nakuha natin. Nakita namin na ang linya ay nag-intersect sa bilog sa dalawa sa mga punto nito A at B.

Ngayon hinahanap namin ang mga coordinate ng mga puntong ito. Nakikita namin na ang mga coordinate (3;0) ay tumutugma sa punto A, at ang mga coordinate (0;−3) ay tumutugma sa punto B.

At ano ang makukuha natin bilang resulta?

Ang mga numero (3;0) at (0;−3) na nakuha sa intersection ng isang tuwid na linya na may bilog ay eksaktong mga solusyon ng parehong mga equation ng system. At mula dito ay sumusunod na ang mga numerong ito ay mga solusyon din ng sistemang ito ng mga equation.

Ibig sabihin, ang sagot sa solusyon na ito ay ang mga numero: (3;0) at (0;−3).