Kahulugan 1. Ang isang punto x ng isang walang katapusang linya ay tinatawag na isang limitasyon na punto ng pagkakasunud-sunod (x n) kung sa alinmang e-kapitbahayan ng puntong ito ay mayroong walang katapusang maraming elemento ng sequence (x n).

Lemma 1. Kung ang x ay isang limit point ng sequence (x k ), pagkatapos ay mula sa sequence na ito maaari tayong pumili ng isang subsequence (x n k ), converging sa numerong x.

Magkomento. Totoo rin ang kabaligtaran na pahayag. Kung mula sa pagkakasunud-sunod (x k) posible na pumili ng isang kasunod na nagtatagpo sa numerong x, kung gayon ang numerong x ay ang limitasyon ng punto ng pagkakasunud-sunod (x k). Sa katunayan, sa anumang e-kapitbahayan ng puntong x mayroong walang katapusang maraming elemento ng kasunod, at samakatuwid ay ang pagkakasunod-sunod mismo (x k ).

Mula sa Lemma 1 sumusunod na maaari tayong magbigay ng isa pang kahulugan ng limitasyon ng punto ng isang pagkakasunud-sunod, katumbas ng Depinisyon 1.

Kahulugan 2. Ang isang punto x ng isang walang katapusang linya ay tinatawag na isang limitasyon na punto ng isang pagkakasunod-sunod (x k ), kung mula sa pagkakasunud-sunod na ito ay posible na pumili ng isang kasunod na nagtatagpo sa x.

Lemma 2. Ang bawat convergent sequence ay may isang limitasyon lamang, na kasabay ng limitasyon ng sequence na iyon.

Magkomento. Kung ang pagkakasunud-sunod ay nagtatagpo, pagkatapos ay sa pamamagitan ng Lemma 2 mayroon lamang itong isang limitasyon na punto. Gayunpaman, kung ang (xn) ay hindi nagtatagpo, kung gayon maaari itong magkaroon ng ilang limitasyon ng mga punto (at, sa pangkalahatan, walang katapusan na maraming mga punto ng limitasyon). Ipakita natin, halimbawa, na ang (1+(-1) n ) ay may dalawang limitasyon na puntos.

Sa katunayan, ang (1+(-1) n )=0,2,0,2,0,2,... ay may dalawang limitasyon na puntos 0 at 2, dahil ang mga kasunod na (0)=0,0,0,... at (2)=2,2,2,... ng sequence na ito ay may mga limitasyon ng mga numerong 0 at 2, ayon sa pagkakasunod-sunod. Ang sequence na ito ay walang iba pang limitasyong puntos. Sa katunayan, hayaang ang x ay anumang punto sa axis ng numero maliban sa mga puntos na 0 at 2. Kunin natin ang e >0 kaya

maliit upang ang e - mga kapitbahayan ng mga puntos na 0, x at 2 ay hindi magsalubong. Ang e-kapitbahayan ng mga puntos 0 at 2 ay naglalaman ng lahat ng mga elemento ng pagkakasunud-sunod at samakatuwid ang e-kapitbahayan ng puntong x ay hindi maaaring maglaman ng walang katapusan na maraming elemento (1+(-1) n ) at samakatuwid ay hindi isang limitasyong punto ng sequence na ito.

Teorama. Ang bawat bounded sequence ay may kahit isang limitasyong punto.

Magkomento. Walang numerong x na lumalagpas sa , ay isang limitasyong punto ng sequence (x n), i.e. - ang pinakamalaking limitasyon ng punto ng sequence (x n).

Hayaang ang x ay anumang numerong mas malaki kaysa sa . Piliin natin ang e>0 na napakaliit

at x 1 О(x), sa kanan ng x 1 ay may hangganang bilang ng mga elemento ng sequence (x n) o wala man lang, i.e. Ang x ay hindi isang limitasyon na punto ng sequence (x n ).

Kahulugan. Ang pinakamalaking limitasyon ng punto ng pagkakasunud-sunod (x n) ay tinatawag na pinakamataas na limitasyon ng pagkakasunud-sunod at tinutukoy ng simbolo. Ito ay sumusunod mula sa pangungusap na ang bawat bounded sequence ay may pinakamataas na limitasyon.

Katulad nito, ang konsepto ng isang mas mababang limitasyon ay ipinakilala (bilang ang pinakamaliit na punto ng limitasyon ng sequence (x n )).

Kaya, napatunayan namin ang sumusunod na pahayag. Ang bawat bounded sequence ay may upper at lower limit.

Bumuo tayo ng sumusunod na teorama nang walang patunay.

Teorama. Upang ang sequence (x n) ay maging convergent, ito ay kinakailangan at sapat na ito ay may hangganan at ang itaas at mas mababang mga limitasyon ay magkasabay.

Ang mga resulta ng seksyong ito ay humantong sa sumusunod na pangunahing teorama ng Bolzano-Weierstrass.

Teorama ng Bolzano-Weierstrass. Mula sa anumang bounded sequence ay maaaring pumili ng convergent subsequence.

Patunay. Dahil ang sequence (x n ) ay may hangganan, mayroon itong hindi bababa sa isang limitasyon na punto x. Pagkatapos mula sa pagkakasunud-sunod na ito maaari tayong pumili ng isang kasunod na nagtatagpo sa puntong x (sumusunod mula sa Depinisyon 2 ng limitasyong punto).

Magkomento. Mula sa anumang bounded sequence ay maaaring ihiwalay ng isa ang isang monotonic convergent sequence.

Kahulugan v.7. Ang isang punto x € R sa linya ng numero ay tinatawag na isang limitasyon na punto ng isang sequence (xn) kung para sa anumang kapitbahayan U (x) at anumang natural na numero N posible na makahanap ng isang elementong xn na kabilang sa kapitbahayan na ito na may bilang na mas malaki kaysa sa. LG, ibig sabihin. x 6 R - limit point kung. Sa madaling salita, ang puntong x ay magiging limit point para sa (xn) kung ang alinman sa mga kapitbahayan nito ay naglalaman ng mga elemento ng sequence na ito na may arbitraryong malalaking numero, bagama't marahil hindi lahat ng elementong may mga numero n > N. Samakatuwid, ang sumusunod na pahayag ay medyo halata . Pahayag b.b. Kung lim(xn) = 6 6 R, kung gayon ang b ay ang tanging limitasyong punto ng sequence (xn). Sa katunayan, sa bisa ng Depinisyon 6.3 ng limitasyon ng isang pagkakasunud-sunod, ang lahat ng elemento nito, simula sa isang tiyak na numero, ay nahuhulog sa anumang arbitraryong maliit na kapitbahayan ng punto 6, at samakatuwid ang mga elemento na may arbitraryong malalaking numero ay hindi maaaring mahulog sa kapitbahayan ng anumang iba pang punto . Dahil dito, ang kundisyon ng kahulugan 6.7 ay natutugunan lamang para sa isang punto 6. Gayunpaman, hindi lahat ng limitasyon ng punto (minsan ay tinatawag na manipis na condensed point) ng isang sequence ay ang limitasyon nito. Kaya, ang sequence (b.b) ay walang limitasyon (tingnan ang halimbawa 6.5), ngunit may dalawang limit na puntos x = 1 at x = - 1. Ang sequence ((-1)pp) ay may dalawang infinite points +oo at bilang limit points - na may pinahabang linya ng numero, na ang unyon ay tinutukoy ng isang simbolo oo. Iyon ang dahilan kung bakit maaari nating ipagpalagay na ang walang katapusang limitasyon na mga puntos ay nagtutugma, at ang walang katapusang punto oo, ayon sa (6.29), ay ang limitasyon ng pagkakasunod-sunod na ito. Limitahan ang mga punto ng sequence number line. Patunay ng Weierstrass test at ang Cauchy criterion. Hayaang ibigay ang sequence (jn) at hayaan ang mga numerong k na bumuo ng pagtaas ng sequence ng positive integers. Pagkatapos ay ang sequence (Vnb kung saan ang yn = xkn> ay tinatawag na subsequence ng orihinal na sequence. Malinaw, kung ang (i„) ay may bilang na 6 bilang limitasyon, kung gayon ang alinman sa mga subsequence nito ay may parehong limitasyon, dahil nagsisimula sa isang tiyak na numero lahat ng elemento ng parehong orihinal na pagkakasunud-sunod at alinman sa mga kasunod nito ay nahuhulog sa alinmang napiling kapitbahayan ng punto 6. Kasabay nito, ang anumang limitasyong punto ng isang kasunod ay isa ring punto ng limitasyon para sa pagkakasunud-sunod. Theorem 9. Mula sa anumang pagkakasunud-sunod na may isang limit point, maaring pumili ng subsequence na may ganitong limit point bilang limitasyon nito. Hayaang b ang limit point ng sequence (xn), pagkatapos, ayon sa Definition 6. 7 limit point, para sa bawat n mayroong isang elemento na kabilang sa neighborhood U (6, 1/n) ng point b ng radius 1/n. Ang kasunod na binubuo ng mga puntos na ijtj, ...1 ..., kung saan ang zjfcn€U(6, 1/n) Vn 6 N, ay may limitasyon sa punto 6. Sa katunayan, para sa isang arbitrary na e > 0, maaaring piliin ng isa ang N ganyan. Pagkatapos ang lahat ng elemento ng kasunod, simula sa bilang na km, ay mahuhulog sa ^-kapitbahayan U(6, e) ng punto 6, na tumutugma sa kondisyon 6.3 ng kahulugan ng limitasyon ng pagkakasunud-sunod. Totoo rin ang converse theorem. Limitahan ang mga punto ng sequence number line. Patunay ng Weierstrass test at ang Cauchy criterion. Teorama 8.10. Kung ang ilang sequence ay may kasunod na may limitasyon na 6, kung gayon ang b ay ang limitasyon ng punto ng sequence na ito. Mula sa Depinisyon 6.3 ng limitasyon ng isang pagkakasunud-sunod ay sumusunod na, simula sa isang tiyak na numero, ang lahat ng mga elemento ng kasunod na may limitasyon b ay mahuhulog sa isang kapitbahayan na U(b, ​​​​e) ng arbitrary na radius e. Dahil ang mga elemento ng kasunod ay sabay-sabay na mga elemento ng pagkakasunud-sunod (xn)> ang mga elementong xn ay nahuhulog sa loob ng kapitbahayan na ito na may kasing daming arbitraryong malalaking numero, at ito, sa bisa ng Depinisyon 6.7, ay nangangahulugan na ang b ay ang limitasyong punto ng pagkakasunud-sunod (n). Puna 0.2. Ang mga teorema 6.9 at 6.10 ay may bisa din sa kaso kapag ang limitasyon ng punto ay walang katapusan, kung, kapag pinatutunayan ang meerto na kapitbahayan ng U(6, 1 /n), isasaalang-alang namin ang kapitbahayan (o mga kapitbahayan). Ang kondisyon kung saan ang isang convergent na kasunod maaaring ihiwalay mula sa isang sequence ay itinatag ng sumusunod na theorem. Theorem 6.11 (Bolzano - Weierstrass). Bawat bounded sequence ay naglalaman ng isang subsequence na nagtatagpo sa isang finite limit. Hayaang ang lahat ng elemento ng sequence (an) ay nasa pagitan ng mga numerong a at 6 , i.e. xn € [a, b] Vn € N. Hatiin ang segment [a , b] sa kalahati. Pagkatapos, kahit isa sa mga kalahati nito ay maglalaman ng walang katapusang bilang ng mga elemento ng sequence, dahil kung hindi man ang buong segment [a, b] ay maglalaman ng isang may hangganang bilang ng mga ito, na imposible. Hayaan ang ] ay ang sa mga halves ng segment [a , 6], na naglalaman ng isang walang katapusang hanay ng mga elemento ng sequence (zn) (o kung ang parehong halves ay ganoon , pagkatapos ay alinman sa mga ito). Katulad nito, mula sa segment na naglalaman ng walang katapusang hanay ng mga elemento ng sequence, atbp. Sa pagpapatuloy ng prosesong ito, gagawa kami ng sistema ng mga nested na segment na may bn - an = (6- a)/2P. Ayon sa prinsipyo ng mga nested na segment, mayroong isang puntong x na kabilang sa lahat ng mga segment na ito. Ang puntong ito ang magiging limit point para sa sequence (xn) - Sa katunayan, para sa anumang e-kapitbahayan U(x, e) = (xx + e) ​​​​point x mayroong segment C U(x, e) (ito ay sapat na upang pumili lamang ng n mula sa hindi pagkakapantay-pantay (, na naglalaman ng isang walang katapusang bilang ng mga elemento ng sequence (sn). Ayon sa kahulugan 6.7, ang x ay ang limitasyong punto ng pagkakasunod-sunod na ito. Pagkatapos, sa pamamagitan ng Theorem 6.9, mayroong isang kasunod na nagtatagpo sa puntong x. Ang paraan ng pangangatwiran na ginamit sa patunay ng theorem na ito (ito ay tinatawag minsan na Bolzano-Weyer-Strass lemma) at nauugnay sa sequential bisection ng mga segment na isinasaalang-alang ay kilala bilang ang Bolzano method. Ang theorem na ito ay lubos na pinasimple ang patunay ng maraming kumplikadong theorems. Pinapayagan ka nitong patunayan ang isang bilang ng mga pangunahing teorema sa ibang (minsan mas simple) na paraan. Apendise 6.2. Patunay ng Weierstrass test at ang Cauchy criterion Una, patunayan namin ang Pahayag 6.1 (Weierstrass test para sa convergence ng isang bounded monotononic sequence). Ipagpalagay natin na ang sequence (jn) ay hindi bumababa. Pagkatapos ang hanay ng mga halaga nito ay nakatali sa itaas at, sa pamamagitan ng Theorem 2.1, ay mayroong supremum na tinutukoy natin sa pamamagitan ng sup(xn) ay R. Dahil sa mga katangian ng supremum (tingnan ang 2.7) Ang mga limitasyon ng mga punto ng sequence ay ang bilang linya. Katibayan ng pagsusulit ng Weierstrass at ang pamantayang Cauchy. Ayon sa Definition 6.1 para sa isang hindi bumababa na pagkakasunod-sunod na mayroon tayo o Then > Ny at isinasaalang-alang ang (6.34) nakuha natin na tumutugma sa Definition 6.3 ng limitasyon ng sequence, i.e. 31im(sn) at lim(xn) = 66R. Kung ang pagkakasunod-sunod (xn) ay hindi tumataas, kung gayon ang kurso ng patunay ay magkatulad. Ngayon ay magpatuloy tayo sa pagpapatunay ng kasapatan ng pamantayan ng Kochia para sa tagpo ng isang pagkakasunud-sunod (tingnan ang Pahayag 6.3), dahil ang pangangailangan ng kundisyon ng pamantayan ay sumusunod sa Theorem 6.7. Hayaan ang sequence (jn) na maging pangunahing. Ayon sa Depinisyon 6.4, na binibigyan ng arbitrary na € > 0, ang isa ay makakahanap ng isang numerong N(s) na ang m^N at n^N ay nagpapahiwatig. Pagkatapos, ang pagkuha ng m - N, para sa Vn > N nakakakuha tayo ng € £ Dahil ang pagkakasunud-sunod na isinasaalang-alang ay may hangganan na bilang ng mga elemento na may mga numerong hindi lalampas sa N, sumusunod ito mula sa (6.35) na ang pangunahing sequence ay may hangganan (para sa paghahambing, tingnan ang patunay ng Theorem 6.2 sa boundedness ng isang convergent sequence ). Para sa isang hanay ng mga halaga ng isang bounded sequence, mayroong infimum at supremum bounds (tingnan ang Theorem 2.1). Para sa hanay ng mga halaga ng elemento para sa n > N, tinutukoy namin ang mga mukha na ito an = inf xn at bjy = sup xn, ayon sa pagkakabanggit. Habang tumataas ang N, ang eksaktong infimum ay hindi bumababa, at ang eksaktong supremum ay hindi tumataas, i.e. . Kumuha ba ako ng air conditioning system? mga segment Ayon sa prinsipyo ng mga nested na segment, mayroong isang karaniwang punto na kabilang sa lahat ng mga segment. Tukuyin natin ito ng b. Kaya, sa paghahambing ng Mula (6. 36) at (6.37) bilang resulta nakuha namin na tumutugma sa Depinisyon 6.3 ng limitasyon ng pagkakasunud-sunod, i.e. 31im(x„) at lim(sn) = 6 6 R. Nagsimulang pag-aralan ni Bolzano ang mga pangunahing sequence. Ngunit wala siyang mahigpit na teorya ng totoong mga numero, at samakatuwid ay hindi niya napatunayan ang tagpo ng pangunahing pagkakasunud-sunod. Ginawa ito ni Cauchy, na pinabayaan ang prinsipyo ng mga nested segment, na pinatunayan ni Cantor sa kalaunan. Hindi lamang ang criterion para sa convergence ng isang sequence ay binigyan ng pangalang Cauchy, ngunit ang pangunahing sequence ay madalas na tinatawag na Cauchy sequence, at ang prinsipyo ng nested segment ay ipinangalan sa Cantor. Mga tanong at gawain 8.1. Patunayan na: 6.2. Magbigay ng mga halimbawa ng nonconvergent sequence na may mga elementong kabilang sa set Q at R\Q. 0.3. Sa ilalim ng anong mga kundisyon ang mga tuntunin ng arithmetic at geometric progressions ay bumubuo ng bumababa at tumataas na mga sequence? 6.4. Patunayan ang mga relasyon na sumusunod mula sa talahanayan. 6.1. 6.5. Bumuo ng mga halimbawa ng mga pagkakasunud-sunod na may kaugnayan sa walang katapusang mga puntos na +oo, -oo, oo, at isang halimbawa ng isang pagkakasunod-sunod na nagtatagpo sa puntong 6 € R. c.v. Maaari bang hindi b.b. ang unbounded sequence? Kung oo, magbigay ng halimbawa. sa 7. Bumuo ng isang halimbawa ng isang magkakaibang pagkakasunud-sunod na binubuo ng mga positibong elemento na walang hangganan o walang hangganang limitasyon. 6.8. Patunayan ang convergence ng sequence (jn) na ibinigay ng paulit-ulit na formula sn+i = sin(xn/2) sa ilalim ng kondisyong “1 = 1. 6.9. Patunayan na lim(xn)=09 kung sn+i/xn-»g€ .

Hatiin ang segment [ a 0 ,b 0 ] sa kalahati sa dalawang pantay na mga segment. Ang hindi bababa sa isa sa mga resultang segment ay naglalaman ng walang katapusang bilang ng mga termino ng sequence. Ipahiwatig natin ito [ a 1 ,b 1 ] .

Sa susunod na hakbang, uulitin namin ang pamamaraan sa segment [ a 1 ,b 1 ]: hatiin ito sa dalawang pantay na mga segment at piliin mula sa kanila ang isa kung saan namamalagi ang isang walang katapusang bilang ng mga termino ng sequence. Ipahiwatig natin ito [ a 2 ,b 2 ] .

Sa pagpapatuloy ng proseso, nakakakuha kami ng pagkakasunod-sunod ng mga nested na segment

kung saan ang bawat kasunod ay kalahati ng nauna, at naglalaman ng walang katapusang bilang ng mga termino ng sequence ( x k } .

Ang mga haba ng mga segment ay may posibilidad na zero:

Sa bisa ng prinsipyo ng Cauchy-Cantor ng mga nested segment, mayroong isang puntong ξ na kabilang sa lahat ng mga segment:

Sa pamamagitan ng pagtatayo sa bawat segment [a m ,b m ] mayroong walang katapusang bilang ng mga termino ng sequence. Pumili tayo ng sunud-sunod

habang pinagmamasdan ang kalagayan ng pagtaas ng bilang:

Pagkatapos ang kasunod ay nagtatagpo sa puntong ξ. Ito ay sumusunod mula sa katotohanan na ang distansya mula sa ξ ay hindi lalampas sa haba ng segment na naglalaman ng mga ito [a m ,b m ] , saan

Extension sa kaso ng isang espasyo ng di-makatwirang dimensyon

Ang Bolzano-Weierstrass theorem ay madaling pangkalahatan sa kaso ng isang espasyo ng di-makatwirang dimensyon.

Hayaang magbigay ng pagkakasunod-sunod ng mga puntos sa espasyo:

(ang mas mababang index ay ang sequence member number, ang upper index ay ang coordinate number). Kung ang pagkakasunud-sunod ng mga puntos sa espasyo ay limitado, ang bawat isa sa mga numerical na pagkakasunud-sunod ng mga coordinate:

limitado rin ( - numero ng coordinate).

Sa bisa ng one-dimensional na bersyon ng Bolzano-Weirstrass theorem mula sa sequence ( x k) maaari tayong pumili ng isang pagkakasunod-sunod ng mga puntos na ang mga unang coordinate ay bumubuo ng isang convergent sequence. Mula sa nagresultang kasunod, muli kaming pumili ng isang kasunod na nagsasama-sama sa pangalawang coordinate. Sa kasong ito, ang convergence sa kahabaan ng unang coordinate ay mapapanatili dahil sa katotohanan na ang bawat subsequence ng convergent sequence ay nagtatagpo rin. At iba pa.

Pagkatapos n nakakakuha kami ng isang tiyak na pagkakasunod-sunod ng mga hakbang

na isang kasunod ng , at nagtatagpo sa bawat isa sa mga coordinate. Ito ay sumusunod na ang kasunod na ito ay nagtatagpo.

Kwento

Bolzano-Weierstrass theorem (para sa kaso n= 1) ay unang napatunayan ng Czech mathematician na si Bolzano noong 1817. Sa gawa ni Bolzano, ito ay kumilos bilang isang lemma sa patunay ng theorem sa mga intermediate na halaga ng isang tuluy-tuloy na function, na kilala ngayon bilang Bolzano-Cauchy theorem. Gayunpaman, ang mga ito at iba pang mga resulta, na napatunayan ni Bolzano bago pa man sina Cauchy at Weierstrass, ay hindi napansin.

Makalipas lamang ang kalahating siglo, muling natuklasan ni Weierstrass, na independiyenteng Bolzano, at pinatunayan ang teorama na ito. Orihinal na tinatawag na Weierstrass's theorem, bago nakilala at tinanggap ang gawa ni Bolzano.

Ngayon ang teorama na ito ay nagtataglay ng mga pangalan ng Bolzano at Weierstrass. Ang teorama na ito ay madalas na tinatawag Bolzano-Weierstrass lemma, at minsan limit point lemma.

Ang Bolzano-Weierstrass theorem at ang konsepto ng compactness

Ang Bolzano-Weierstrass theorem ay nagtatatag ng sumusunod na kawili-wiling katangian ng isang bounded set: bawat sequence ng mga puntos M naglalaman ng convergent na kasunod.

Kapag pinatutunayan ang iba't ibang mga proposisyon sa pagsusuri, madalas nilang ginagamit ang sumusunod na pamamaraan: tinutukoy nila ang isang pagkakasunud-sunod ng mga puntos na may ilang nais na pag-aari, at pagkatapos ay pumili ng isang kasunod mula dito na mayroon din nito, ngunit nagtatagpo na. Halimbawa, ito ay kung paano ang Weierstrass's theorem ay pinatunayan na ang isang function na tuloy-tuloy sa isang agwat ay bounded at tumatagal ng kanyang pinakamalaking at hindi bababa sa mga halaga.

Ang pagiging epektibo ng naturang pamamaraan sa pangkalahatan, pati na rin ang pagnanais na palawigin ang teorama ni Weierstrass sa mga arbitrary na puwang ng sukatan, ang nagtulak sa Pranses na matematiko na si Maurice Fréchet na ipakilala ang konsepto noong 1906. pagiging compactness. Ang pag-aari ng mga bounded set sa , na itinatag ng Bolzano-Weierstrass theorem, ay, sa makasagisag na pagsasalita, na ang mga punto ng set ay matatagpuan medyo "malapit" o "compactly": na nakagawa ng isang walang katapusang bilang ng mga hakbang kasama ang set na ito, gagawin namin. tiyak na lumapit sa kung ano ang gusto natin sa ilang -isang punto sa kalawakan.

Ipinakilala ng Frechet ang sumusunod na kahulugan: set M tinawag compact, o compact, kung ang bawat pagkakasunod-sunod ng mga punto nito ay naglalaman ng isang kasunod na nagtatagpo sa ilang punto ng set na ito. Ipinapalagay na sa set M ang sukatan ay tinukoy, iyon ay, ito ay

Ang isang patunay ng Bolzano-Weierstrass theorem ay ibinigay. Upang gawin ito, ginagamit ang lemma sa mga nested na segment.

Nilalaman

Tingnan din: Lemma sa mga nested na segment

Mula sa anumang bounded na pagkakasunud-sunod ng mga tunay na numero posible na pumili ng isang kasunod na converges sa isang may hangganan na numero. At mula sa anumang walang hangganang pagkakasunod-sunod - isang walang katapusang malaking kasunod na nagtatagpo sa o sa .

Ang Bolzano-Weierstrass theorem ay maaaring mabalangkas sa ganitong paraan.

Mula sa anumang pagkakasunud-sunod ng mga tunay na numero posible na pumili ng isang kasunod na nagtatagpo alinman sa isang may hangganang numero, o sa o sa .

Patunay ng unang bahagi ng theorem

Upang patunayan ang unang bahagi ng theorem, ilalapat namin ang nested segment na lemma.

Hayaang maging bounded ang pagkakasunod-sunod. Nangangahulugan ito na mayroong positibong numero M, upang para sa lahat ng n,
.
Ibig sabihin, lahat ng miyembro ng sequence ay nabibilang sa segment, na tinutukoy namin bilang . Dito . Haba ng unang segment. Kunin natin ang anumang elemento ng sequence bilang unang elemento ng kasunod. Tukuyin natin ito bilang .

Hatiin ang segment sa kalahati. Kung ang kanang kalahati nito ay naglalaman ng walang katapusang bilang ng mga elemento ng sequence, pagkatapos ay kunin ang kanang kalahati bilang susunod na segment. Kung hindi, kunin natin ang kaliwang kalahati. Bilang resulta, nakakakuha kami ng pangalawang segment na naglalaman ng walang katapusang bilang ng mga elemento ng sequence. Ang haba ng segment na ito. Dito, kung kinuha natin ang tamang kalahati; at - kung iniwan. Bilang pangalawang elemento ng kasunod, kinukuha namin ang anumang elemento ng sequence na kabilang sa pangalawang segment na may bilang na mas malaki kaysa sa n 1 . Tukuyin natin ito bilang ().

Sa ganitong paraan inuulit namin ang proseso ng paghahati ng mga segment. Hatiin ang segment sa kalahati. Kung ang kanang kalahati nito ay naglalaman ng walang katapusang bilang ng mga elemento ng sequence, pagkatapos ay kunin ang kanang kalahati bilang susunod na segment. Kung hindi, kunin natin ang kaliwang kalahati. Bilang resulta, nakakakuha kami ng isang segment na naglalaman ng walang katapusang bilang ng mga elemento ng sequence. Ang haba ng segment na ito. Bilang isang elemento ng kasunod, kinukuha namin ang anumang elemento ng pagkakasunud-sunod na kabilang sa isang segment na may bilang na mas malaki sa n k.

Bilang resulta, nakakakuha kami ng isang kasunod at isang sistema ng mga nested na segment
.
Bukod dito, ang bawat elemento ng kasunod ay kabilang sa kaukulang segment:
.

Dahil ang mga haba ng mga segment ay may posibilidad na zero bilang , pagkatapos ay ayon sa lemma sa mga nested na segment, mayroong isang natatanging point c na kabilang sa lahat ng mga segment.

Ipakita natin na ang puntong ito ay ang limitasyon ng kasunod:
.
Sa katunayan, dahil ang mga puntos at c ay nabibilang sa isang segment ng haba , kung gayon
.
Dahil, pagkatapos ay ayon sa intermediate sequence theorem,
. Mula rito
.

Ang unang bahagi ng teorama ay napatunayan na.

Patunay ng ikalawang bahagi ng teorama

Hayaang maging walang limitasyon ang pagkakasunod-sunod. Nangangahulugan ito na para sa anumang numero M, mayroong isang n tulad na
.

Una, isaalang-alang ang kaso kapag ang pagkakasunud-sunod ay walang hangganan sa kanan. Iyon ay, para sa anumang M > 0 , may umiiral n ganyan
.

Bilang unang elemento ng kasunod, kunin ang anumang elemento ng pagkakasunud-sunod na mas malaki sa isa:
.
Bilang pangalawang elemento ng kasunod, kinukuha namin ang anumang elemento ng pagkakasunud-sunod na higit sa dalawa:
,
at sa .
At iba pa. Bilang ang kth elemento ng kasunod na kinukuha namin ang anumang elemento
,
at .
Bilang resulta, nakakakuha kami ng isang kasunod, na ang bawat elemento ay nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay:
.

Ipinasok namin ang mga numero M at N M, ikinonekta ang mga ito sa mga sumusunod na relasyon:
.
Ito ay sumusunod na para sa anumang numero M ay maaaring pumili ng isang natural na numero, upang para sa lahat ng natural na numero k >
Ibig sabihin nito ay
.

Ngayon isaalang-alang ang kaso kapag ang pagkakasunud-sunod ay nakatali sa kanan. Dahil ito ay walang hangganan, dapat itong iwanang walang hangganan. Sa kasong ito, inuulit namin ang pangangatwiran na may maliliit na pagbabago.

Pinipili namin ang isang kasunod upang ang mga elemento nito ay masiyahan ang mga hindi pagkakapantay-pantay:
.
Pagkatapos ay ipinasok namin ang mga numero M at N M, ikinonekta ang mga ito sa mga sumusunod na relasyon:
.
Pagkatapos ay para sa anumang numerong M ang isa ay maaaring pumili ng natural na numero, para sa lahat ng natural na numero k > N M ang hindi pagkakapantay-pantay ay nananatili.
Ibig sabihin nito ay
.

Ang teorama ay napatunayan.

Tingnan din: