Nag-ahit ang barbero. Ang Paradox ni Bertrand Russell

Ang pinakatanyag sa mga paradox na natuklasan na sa ating siglo ay ang antinomy na natuklasan ni B. Russell. Ang ideya ay nasa himpapawid, at ang publikasyon nito ay gumawa ng impresyon ng isang sumasabog na bomba. Ang kabalintunaan na ito ay sanhi sa matematika, ayon kay D. Hilbert, "ang epekto ng kumpletong sakuna." Ang pinakasimple at pinakamahalagang lohikal na pamamaraan, ang pinakakaraniwan at kapaki-pakinabang na mga konsepto, ay nasa ilalim ng banta. Kaagad na naging malinaw na alinman sa lohika o sa matematika, sa buong mahabang kasaysayan ng kanilang pag-iral, ay anumang tiyak na nagawa na maaaring magsilbing batayan para sa pag-aalis ng antinomy. Maliwanag na kailangan ang pag-alis sa nakagawiang paraan ng pag-iisip.

Ang kabalintunaan ni Russell sa orihinal nitong anyo ay konektado sa konsepto ng isang set, o isang klase. Maaari nating pag-usapan ang tungkol sa mga hanay ng iba't ibang bagay, halimbawa, tungkol sa hanay ng lahat ng tao o tungkol sa hanay ng mga natural na numero. Ang isang elemento ng unang hanay ay magiging sinumang indibidwal na tao, isang elemento ng pangalawa - bawat natural na numero. Posible rin na isaalang-alang ang mga set sa kanilang mga sarili bilang ilang mga bagay at magsalita ng mga hanay ng mga set. Maaari pa ngang ipakilala ng isa ang mga konsepto bilang set ng lahat ng set o set ng lahat ng konsepto. Sa paggalang sa anumang set na arbitraryong kinuha, tila makatwirang itanong kung ito ay sarili nitong elemento o hindi. Ang mga set na hindi naglalaman ng kanilang mga sarili bilang isang elemento ay tatawaging ordinaryo. Halimbawa, ang set ng lahat ng tao ay hindi isang tao, tulad ng set ng mga atomo ay hindi isang atom. Ang mga set na wastong elemento ay magiging kakaiba. Halimbawa, ang isang set na pinagsasama ang lahat ng set ay isang set at samakatuwid ay naglalaman ng sarili bilang isang elemento. Malinaw, ang bawat hanay ay alinman sa karaniwan o hindi karaniwan.

Isaalang-alang ngayon ang hanay ng lahat ng ordinaryong hanay. Dahil ito ay isang set, maaari ring magtanong tungkol dito kung ito ay karaniwan o hindi karaniwan. Ang sagot, gayunpaman, ay nakapanghihina ng loob. Kung ito ay karaniwan, kung gayon sa pamamagitan ng kahulugan ay dapat itong maglaman ng sarili bilang isang elemento, dahil naglalaman ito ng lahat ng mga ordinaryong hanay. Ngunit nangangahulugan ito na ito ay isang hindi pangkaraniwang hanay. Ang pag-aakalang ang aming set ay isang ordinaryong hanay kaya humahantong sa isang kontradiksyon. Kaya hindi ito maaaring maging normal. Sa kabilang banda, hindi rin ito maaaring maging kakaiba: ang isang hindi pangkaraniwang hanay ay naglalaman ng sarili bilang isang elemento, at ang mga elemento ng aming hanay ay mga ordinaryong hanay lamang. Bilang isang resulta, dumating tayo sa konklusyon na ang hanay ng lahat ng ordinaryong hanay ay hindi maaaring maging karaniwan o hindi pangkaraniwan.

Kaya, ang set ng lahat ng set na hindi wastong mga elemento ay isang tamang elemento kung at kung ito ay hindi ganoong elemento. Ito ay isang malinaw na kontradiksyon.

Sinasabi ng kontradiksyon na ang gayong set ay hindi umiiral. Ngunit bakit hindi ito umiiral? Pagkatapos ng lahat, ito ay binubuo ng mga bagay na nagbibigay-kasiyahan sa isang mahusay na tinukoy na kondisyon, at ang kundisyon mismo ay tila hindi kakaiba o nakakubli. Kung ang isang set na napakasimple at malinaw na tinukoy ay hindi maaaring umiiral, kung gayon ano, sa katunayan, ang pagkakaiba sa pagitan ng posible at imposible na mga hanay? Ang konklusyon tungkol sa hindi pag-iral ng itinuturing na set ay hindi inaasahan at nagbibigay inspirasyon sa pagkabalisa. Ginagawa nito ang aming pangkalahatang paniwala ng isang set na walang hugis at magulo, at walang garantiya na hindi ito maaaring magbunga ng ilang mga bagong kabalintunaan.

Ang kabalintunaan ni Russell ay kapansin-pansin para sa matinding pangkalahatan nito. Para sa pagtatayo nito, walang mga kumplikadong teknikal na konsepto ang kinakailangan, tulad ng sa kaso ng ilang iba pang mga kabalintunaan, ang mga konsepto ng "set" at "elemento ng set" ay sapat. Ngunit ang pagiging simple na ito ay nagsasalita lamang ng pangunahing katangian nito: ito ay humipo sa pinakamalalim na pundasyon ng aming pangangatwiran tungkol sa mga set, dahil hindi ito nagsasalita tungkol sa ilang mga espesyal na kaso, ngunit tungkol sa mga set sa pangkalahatan.

Ang kabalintunaan ni Russell ay hindi partikular sa matematika. Gumagamit ito ng konsepto ng isang set, ngunit hindi hawakan ang anumang mga espesyal na katangian na partikular na nauugnay sa matematika. Ito ay nagiging maliwanag kapag ang kabalintunaan ay reformulated sa purong lohikal na mga termino.

Sa bawat ari-arian, maaari, sa lahat ng posibilidad, magtanong kung ito ay naaangkop sa sarili nito o hindi. Ang pag-aari ng pagiging mainit, halimbawa, ay hindi nalalapat sa sarili nito, dahil hindi ito mismo mainit; ang pag-aari ng pagiging kongkreto ay hindi rin tumutukoy sa sarili nito, dahil ito ay isang abstract na pag-aari. Ngunit ang pag-aari ng pagiging abstract, pagiging abstract, ay naaangkop sa sarili. Tawagin natin ang mga pag-aari na ito na hindi naaangkop sa kanilang sarili bilang hindi naaangkop. Nalalapat ba ang pag-aari ng pagiging hindi naaangkop sa sarili? Lumalabas na ang isang hindi nalalapat ay hindi magagamit lamang kung ito ay hindi. Siyempre, kabalintunaan ito.

Iminungkahi din ni B. Russell ang sumusunod na sikat na bersyon ng kabalintunaan na natuklasan niya. "Ang barbero ay nag-aahit ng lahat at tanging ang mga residente ng lungsod na hindi nag-ahit sa kanilang sarili. Sino ang nag-ahit ng barbero?" Ang kabalintunaan ng barbero ay nakasalalay sa katotohanan na, diumano, imposibleng sagutin ang tanong na ito.

Upang maunawaan ang sitwasyon, hahatiin natin ang mga naninirahan sa lungsod sa tatlong grupo. Ang breakdown na ito ay ipinapakita sa kaliwang figure: ang mga nag-ahit sa kanilang sarili ay nasa itaas; ang mga inahit - mula sa ibaba; ang mga hindi nag-aahit man lang (monghe, bata, babae...) ay nasa labas ng ellipse.

Isaalang-alang muna ang pagkilos ng kondisyon (1). Hayaang i-ahit ng barbero ang lahat ng hindi nag-ahit sa kanilang sarili, iyon ay, ang buong ibabang kalahati ng ellipse (ang pagpisa ay nagmamarka sa mga kliyente ng barbero). Ngunit ang kondisyon (1) ay nagpapahintulot sa kanya na mag-ahit at ang nag-ahit sa kanyang sarili, iyon ay, ang kanyang sarili. Ang kondisyon (1) ay nagpapahintulot sa kanya na iposisyon ang kanyang sarili sa itaas na kalahati ng ellipse, kung saan ang mga naninirahan mismo ay nag-aahit, at nag-ahit ng kanilang sarili doon. Ito ay ipinapakita sa gitnang larawan.

Kung ang kondisyon (2) ay naaangkop, at ang barbero ay nag-ahit lamang sa mga hindi nag-ahit sa kanilang sarili, nangangahulugan ito na siya ay nag-ahit ng bahagi ng mas mababang kalahati ng ellipse at hindi nag-ahit sa kanyang sarili, iyon ay, wala sa itaas na kalahati ng ellipse . Ngunit ang mga naninirahan sa mas mababang kalahati ay maaaring hindi ahit ng isang barbero, ngunit ng ibang tao. At ang isang barbero ay maaaring kabilang sa mga taong ito (tamang pigura). Kaya't ang barbero ay maaaring mag-ahit sa kanyang kaibigan, at ang barbero ay mag-ahit sa may kulay na bahagi ng ibabang kalahati ng ellipse.

Ngunit kung ang parehong mga kondisyon (1) at (2) ay nalalapat, kung gayon ang barbero ay walang lugar sa ellipse. Hindi naman siya nag-aahit. At walang kabalintunaan dito. Siya, samakatuwid, ay maaaring isang monghe, o isang robot, o isang bata, o isang babae, o isang hindi residente ng lungsod ... At kung walang sinuman sa lungsod maliban sa pag-ahit ng mga lalaki, at, samakatuwid, ang Ang hitsura ng ellipse ay walang laman, at pagkatapos ay isang barbero na nakakatugon sa mga kondisyon (1) at (2) ay hindi umiiral. Ito ay walang katotohanan na magtanong sa kasong ito kung sino ang nag-ahit sa kanya. Maraming mga barbero ang walang laman.

At dito natin napapansin na ang tanong na, "Sino ang nag-ahit ng barbero?", ay hindi tama sa simula pa lang, tulad ng klasikong tanong na: "Bakit mo binugbog ang iyong ama?" Bago magtanong kung sino ang nag-ahit sa barbero, dapat kumuha ng kasunduan na may mag-ahit sa kanya.

Ang argumento tungkol sa tagapag-ayos ng buhok ay maaaring tawaging isang pseudo-paradox. Sa kurso nito, mahigpit itong kahalintulad sa kabalintunaan ni Russell, at ito ang dahilan kung bakit ito kawili-wili. Ngunit hindi pa rin ito isang tunay na kabalintunaan.

Ang isa pang halimbawa ng parehong pseudo-paradox ay ang kilalang argumento ng catalog.

Nagpasya ang isang partikular na library na mag-compile ng bibliographic catalog na magsasama ng lahat ng iyon at tanging mga bibliographic catalog na hindi naglalaman ng mga reference sa kanilang mga sarili. Dapat bang magsama ang naturang direktoryo ng isang link sa sarili nito? Madaling ipakita na ang ideya ng paglikha ng naturang catalog ay hindi magagawa; ito ay hindi maaaring umiral, dahil dapat itong sabay na magsama ng isang sanggunian sa sarili nito at hindi kasama. Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na ang pag-catalog sa lahat ng mga direktoryo na hindi tumutukoy sa kanilang mga sarili ay maaaring isipin bilang isang walang katapusang, walang katapusang proseso.

Sabihin natin na sa isang punto ay naipon ang isang direktoryo, sabihin nating K1, na kasama ang lahat ng iba pang mga direktoryo na hindi naglalaman ng mga sanggunian sa kanilang mga sarili. Sa paglikha ng K1, lumitaw ang isa pang direktoryo na hindi naglalaman ng sanggunian sa sarili nito. Dahil ang layunin ay gumawa ng kumpletong katalogo ng lahat ng mga direktoryo na hindi binanggit ang kanilang mga sarili, malinaw na hindi K1 ang solusyon. Hindi niya binanggit ang isa sa mga direktoryo na iyon - ang kanyang sarili. Kasama ang pagbanggit sa kanyang sarili sa K1, nakukuha namin ang K2 catalog. Binanggit nito ang K1 ngunit hindi ang K2 mismo. Ang pagdaragdag ng gayong pagbanggit sa K2, makakakuha tayo ng K3, na muling hindi kumpleto dahil sa katotohanang hindi nito binanggit ang sarili nito. At iba pa nang walang katapusan.

pinaikli at binagong kabanata mula sa gawain
"Mga lohikal na kabalintunaan. Mga Solusyon»

B. Ang kabalintunaan ni Russell "Tungkol sa tagapag-ayos ng buhok (barbero, barbero)"

Ahit barbero o muli tungkol sa tagapag-ayos ng buhok

Sa simula ng ika-20 siglo, natuklasan ni Bertrand Russell ang isang lohikal na kabalintunaan. Iniulat niya ang tungkol dito sa kanyang liham sa sikat na matematiko, pilosopo at lohikal na si Gottlob Frege - ang tagapagtatag ng modernong lohikal na semantika - nang "noong 1902 ay naisumite na niya ang pangalawang volume ng Foundations of Arithmetic para sa pag-print." Ang liham ay "nag-ulat ng isang pormal na kontradiksyon sa iminungkahing katwiran ni Frege para sa aritmetika (kabalintunaan ni Russell), na sinubukan ni Frege na lutasin hanggang sa katapusan ng kanyang buhay. Gayunpaman, si Russell ang nagdala kay Frege ng malawak na katanyagan, dahil sa pagtatanghal ni Russell (espesyal na suplemento sa Foundations of Mathematics, 1903) ang konsepto ni Frege ay naging accessible sa isang malawak na bilog ng mga mambabasa. Katapusan ng quote http://www.krugosvet.ru/articles/92/1009213/1009213a1.htm).
Hindi lamang Frege, ngunit walang ibang tao sa loob ng mahigit isang daang taon hanggang ngayon ang hindi nakalutas sa lohikal na kabalintunaan na ito. Walang tao maliban sa akin.

"Ang kabalintunaan ni Russell sa orihinal nitong anyo ay nauugnay sa konsepto ng isang set, o klase" (Ivin A. A. Ang sining ng pag-iisip nang tama. - M .: Edukasyon. - 1998). Sa form na ito, ang solusyon ay nasa isa pang artikulo: Ang kabalintunaan ni Russell - ang orihinal na bersyon - tungkol sa mga set, Ngunit alam ito ng buong mundo sa ibang pagbabalangkas. "Inaalok ni Russell ang sumusunod na sikat na bersyon ng kabalintunaan na natuklasan niya sa teorya ng set ng matematika.
Isipin natin na tinukoy ng konseho ng isang nayon ang mga tungkulin ng barbero ng nayong iyon tulad ng sumusunod: ang pag-ahit sa lahat ng mga lalaki sa nayon na hindi nag-aahit sa kanilang sarili, at ang mga lalaking ito lamang. Dapat ba niyang ahit ang sarili niya? (Ivin A. A. Ang sining ng pag-iisip nang tama. - M .: Edukasyon. - 1990, pp. 205 - 206, http://www.koob.ru/books/iskusstvo_pravilno_mislit.rar).

Mayroong maraming mga pagbaluktot ng kabalintunaan, pati na rin ang mga pagtatangka upang malutas ang kontradiksyon na ito, ngunit karaniwang ang lahat ng mga solusyon ay bumaba sa mga sumusunod.
"Kung oo (i.e. ang barbero ay dapat mag-ahit sa kanyang sarili - ang aking insert), kung gayon siya ay tumutukoy sa mga nag-ahit sa kanilang sarili, at sa mga nag-aahit sa kanilang sarili, hindi siya dapat mag-ahit. Kung hindi, kung gayon siya ay kabilang sa mga hindi nag-ahit sa kanilang sarili, at, samakatuwid, kakailanganin niyang mag-ahit sa kanyang sarili. Kaya't napagpasyahan namin na ang barberong ito ay nag-aahit sa kanyang sarili kung at kung hindi siya mag-ahit sa kanyang sarili. Na, siyempre, ay imposible.

Ang argumento tungkol sa barbero ay batay sa pag-aakalang may ganoong barbero. Ang resultang kontradiksyon ay nangangahulugan na ang palagay na ito ay mali at walang ganoong taganayon na mag-aahit sa lahat ng mga naninirahan lamang sa mga naninirahan dito na hindi nag-aahit sa kanilang sarili. Ang mga tungkulin ng isang tagapag-ayos ng buhok ay hindi mukhang magkasalungat sa unang sulyap, kaya ang konklusyon na hindi maaaring maging isa ay tila hindi inaasahan. Gayunpaman, ang konklusyong ito ay hindi paradoxical. Ang kondisyon na dapat matugunan ng barbero sa baryo ay, sa katunayan, salungat sa sarili at samakatuwid ay imposible. Hindi maaaring magkaroon ng gayong tagapag-ayos ng buhok sa isang nayon para sa parehong dahilan na walang tao dito na mas matanda kaysa sa kanyang sarili o kung sino ang isisilang bago siya ipanganak. Ang argumento tungkol sa tagapag-ayos ng buhok ay maaaring tawaging isang pseudo-paradox." Katapusan ng sipi (ibid.).

DESISYON

Noong 1992, noong Disyembre 19, ang laro sa TV na "Ano? saan? Kailan?". Sa iskor na 2:6, gaya ng madalas na nangyayari, lumitaw ang isang pinagtatalunan, maging ang sitwasyon ng salungatan. At pagkatapos ay nagtanong si Vladimir Yakovlevich Voroshilov ng isang katanungan na dapat magdulot ng tagumpay o pagkatalo sa mga eksperto. Iyon ang tanong ng barbero, ang kabalintunaan ni Russell. Siyempre, ang mga eksperto ay natalo, bagaman maaari silang manalo. Dahil nagtanong siya ng bahagyang baluktot na bersyon ng tanong: "Ang tanong ay: ang barbero ba ay nag-aahit sa kanyang sarili kung ang barbero ay nag-ahit sa lahat ng hindi nag-ahit sa kanyang sarili?
Ang sagot ng mga eksperto: hindi, hindi siya nag-ahit. (Chronicle / "Ano? Saan? Kailan? Production Center IGRA-TV", http://chgk.tvigra.ru/leopis/?19921219#cur). Kinailangan nilang sumagot: "Mula sa impormasyon na ang isang barbero ay nag-ahit sa lahat ng hindi nag-ahit sa kanyang sarili, imposibleng maghinuha kung siya ay nag-ahit sa kanyang sarili, kung may ibang nag-ahit sa kanya, o hindi siya nag-ahit. Dahil walang sapat na batayan para sa gayong mga konklusyon.
Ngunit pinagmumultuhan ako ng kabalintunaang ito. Tila umiikot ang sagot sa aking ulo, kailangan mo lang "grab ito sa pamamagitan ng buntot." At pagkaraan ng ilang sandali ay nagtagumpay ako.

Ang desisyon, gaya ng kadalasang nangyayari, ay sadyang nakakabaliw. Ang buong talakayan nang detalyado at may pagsasaalang-alang sa mga baluktot na opsyon ay tumatagal ng ilang pahina. Bibigyan ko lamang ng isang pinaikling bersyon ng argumento.

Ang sagot sa tanong ng kabalintunaan ni Russell ay posible kung iuugnay natin ang barbero sa anumang klase ng mga lalaki: "nag-aahit sila sa kanilang sarili" o "hindi sila nag-ahit sa kanilang sarili." Ngunit pagkatapos ng isang lohikal na pagsusuri ng mga posibleng batayan para sa pagtatalaga ng mga hanay ng mga lalaki sa mga klaseng ito, ang tanging konklusyon na sumusunod ay imposible ito, dahil ang gayong lohikal na makatwirang batayan ay hindi umiiral. Batay sa konklusyong ito, marami, kabilang si A. A. Ivin, ang dumating sa konklusyon na ang kabalintunaan ay hindi malulutas, na tinatawag itong isang pseudo-paradox. Ngunit pagkatapos ang lahat ng iba pang mga kabalintunaan ay dapat na "malutas" sa ganitong paraan minsan at para sa lahat. Pagkatapos ng lahat, walang nag-iisip na sa katotohanan ay maaaring magkaroon ng isang sitwasyon ng isang pag-uusap sa pagitan ng isang ina at isang buwaya, isang misyonero at mga cannibal at iba pa. Samakatuwid, ang pagtanggi sa lohikal na palagay ay hindi isang solusyon. At ang solusyon ay:

Kung imposibleng maiugnay ang isang tagapag-ayos ng buhok sa alinman sa mga klase na "mag-ahit sa kanilang sarili" at "huwag mag-ahit sa kanilang sarili", kung gayon dapat siyang isama sa ikatlong klase - "HUWAG MAG-Ahit". At pagkatapos ay ang tagapag-ayos ng buhok ay hindi lumalabag sa alinman sa mga lohikal na kondisyon, dahil hindi sila nalalapat sa klase ng mga lalaki na ito.

Lahat ng lalaki sa nayon

A. PAG-Aahit 1 - sa kanilang sarili, 2- hindi sa kanilang sarili B. HUWAG MAG-Ahit

At ngayon ang barbero ay nakatakdang mamatay na balbas.

Para sa isang tamang pag-unawa sa gawaing ito, kinakailangan lamang na muling ayusin sa isip ang particle na "hindi" bago ang pandiwang "shave" sa lugar pagkatapos nito. At pagkatapos ay lilitaw ang kahulugan ng kabalintunaan na kondisyon ng problema, tulad ng sa photographic na papel sa panahon ng pag-print. Pagkatapos ng lahat, ang pariralang "huwag mag-ahit sa kanilang sarili" ay agad na kinuha ang anyo ng isang ganap na simple, hindi nakakalito at naiintindihan ng sinuman. Namely - "HUWAG mag-ahit sa kanilang sarili" ay nangangahulugang "HUWAG mag-ahit sa kanilang sarili", iyon ay, nag-ahit pa rin sila, kahit na hindi sa kanilang sariling mga kamay. At sa gayon, ang isang halata at malaking pagkakamali sa lohikal na pangangatwiran ng lahat ng mga sinubukang lutasin ang kabalintunaan na ito ay agad na lumilitaw. Tinawag ko ang ganitong uri ng error na "maling konklusyon", kapag ang isang ganap na hindi tama at kahit na kabaligtaran na konklusyon ay ginawa mula sa lohikal na kinakailangang konklusyon ("Mga lohikal na kabalintunaan. Mga Solusyon", kabanata "Mga pagkakamali ng pangangatwiran - maling konklusyon",). Sa problemang ito, ang "maling konklusyon" ay ang parirala sa lohikal na pangangatwiran ay hindi dapat tunog tulad ng: "kung ang barbero ay hindi dapat mag-ahit sa kanyang sarili, kung gayon siya ay tumutukoy sa mga hindi nag-ahit sa kanilang sarili", na hindi tama, ngunit sa form: "kung ang isang barbero ay hindi dapat mag-ahit sa kanyang sarili, kung gayon siya ay tumutukoy sa mga hindi nag-aahit ng kanilang sarili o HINDI NAG-Aahit."

Matapos malutas ang "Russell kabalintunaan", nalutas ko rin ang iba pang mga kilalang kabalintunaan sa pamamagitan ng paglalapat ng dalawang pangkalahatang postulate sa kanila: 1. kapag lumalapit sa solusyon ng anumang problema, ang isang malinaw na pag-unawa sa problema mismo sa lahat ng mga detalye nito ay kinakailangan; 2. ang kaalaman ay isang kamag-anak na konsepto ("Mga lohikal na kabalintunaan. Mga paraan ng solusyon", kabanata "Sa mga prinsipyo ng paglutas ng mga kabalintunaan",

Ang pinakatanyag sa mga paradox na natuklasan na noong nakaraang siglo ay ang antinomy na natuklasan ni Bertrand Russell at ipinaalam niya sa isang liham kay G. Ferge. Natuklasan ni Russell ang kanyang kabalintunaan na may kaugnayan sa larangan ng lohika at matematika noong 1902. Ang parehong antinomy ay sabay-sabay na tinalakay sa Göttingen ng German mathematicians na sina Z. Zermelo (1871-1953) at D. Hilbert. Ang ideya ay nasa himpapawid, at ang publikasyon nito ay nagbigay ng impresyon ng isang sumasabog na bomba na si Miroshnichenko P.N. Ano ang sumira sa kabalintunaan ni Russell sa sistema ni Frege? // Modernong lohika: mga problema ng teorya, kasaysayan at aplikasyon sa agham. - SPb., 2000. - S. 512-514. . Ang kabalintunaan na ito ay sanhi sa matematika, ayon kay Hilbert, ang epekto ng kumpletong sakuna. Ang pinakasimple at pinakamahalagang lohikal na pamamaraan, ang pinakakaraniwan at kapaki-pakinabang na mga konsepto, ay nasa ilalim ng banta. Lumalabas na sa set theory ni Cantor, na masigasig na tinanggap ng karamihan sa mga mathematician, may mga kakaibang kontradiksyon na imposible, o hindi bababa sa napakahirap, na alisin. Ang kabalintunaan ni Russell ay nagdala ng mga kontradiksyon na ito sa maliwanag na may partikular na kalinawan. Ang pinaka-natitirang mathematicians ng mga taong iyon ay nagtrabaho sa kanyang resolution, pati na rin sa resolution ng iba pang mga natagpuan paradoxes ng Cantor's set theory. Kaagad na naging malinaw na alinman sa lohika o sa matematika, sa buong mahabang kasaysayan ng kanilang pag-iral, ay anumang tiyak na nagawa na maaaring magsilbing batayan para sa pag-aalis ng antinomy. Maliwanag na kailangan ang pag-alis sa nakagawiang paraan ng pag-iisip. Ngunit mula saan at sa anong direksyon? Courant R., Robbins G. Ano ang matematika? - Ch. II, § 4.5.

Gaano dapat ka-radikal ang pagtanggi sa mga itinatag na paraan ng pagteorya? Sa karagdagang pag-aaral ng antinomy, ang paniniwala sa pangangailangan para sa isang panimula na bagong diskarte ay patuloy na lumago. Kalahating siglo matapos itong matuklasan, ang mga dalubhasa sa mga pundasyon ng lohika at matematika na sina L. Frenkel at I. Bar-Hillel ay sinabi nang walang anumang pag-aalinlangan: , sa ngayon ay palaging nabigo, ay malinaw na hindi sapat para sa layuning ito. Ang makabagong Amerikanong lohikal na si H. Curry ay sumulat ng ilang sandali tungkol sa kabalintunaan na ito: "Sa mga tuntunin ng lohika na kilala noong ika-19 na siglo, ang sitwasyon ay sumalungat lamang sa paliwanag, bagaman, siyempre, sa ating edukadong edad ay maaaring may mga taong nakakakita (o sa tingin nila ay nakikita nila ), ano ang pagkakamali” Miroshnichenko P.N. Ano ang sumira sa kabalintunaan ni Russell sa sistema ni Frege? // Modernong lohika: mga problema ng teorya, kasaysayan at aplikasyon sa agham. - SPb., 2000. - S. 512-514 ..

Dahil ito ay isang set, maaari ring magtanong tungkol dito kung ito ay karaniwan o hindi karaniwan. Ang sagot, gayunpaman, ay nakapanghihina ng loob. Kung ito ay karaniwan, kung gayon sa pamamagitan ng kahulugan ay dapat itong maglaman ng sarili bilang isang elemento, dahil naglalaman ito ng lahat ng mga ordinaryong hanay. Ngunit nangangahulugan ito na ito ay isang hindi pangkaraniwang hanay. Ang pag-aakalang ang aming set ay isang ordinaryong hanay kaya humahantong sa isang kontradiksyon. Kaya hindi ito maaaring maging normal. Sa kabilang banda, hindi rin ito maaaring maging kakaiba: ang isang hindi pangkaraniwang hanay ay naglalaman ng sarili bilang isang elemento, at ang mga elemento ng aming hanay ay mga ordinaryong hanay lamang. Bilang isang resulta, dumating tayo sa konklusyon na ang hanay ng lahat ng ordinaryong hanay ay hindi maaaring maging karaniwan o hindi pangkaraniwan.

Kaya, ang set ng lahat ng set na hindi wastong mga elemento ay isang tamang elemento kung at kung ito ay hindi ganoong elemento. Ito ay isang malinaw na kontradiksyon. At ito ay nakuha sa batayan ng pinaka-kapanipaniwalang mga pagpapalagay at sa tulong ng mga tila hindi mapag-aalinlanganan na mga hakbang. Sinasabi ng kontradiksyon na ang gayong set ay hindi umiiral. Ngunit bakit hindi ito umiiral? Pagkatapos ng lahat, ito ay binubuo ng mga bagay na nagbibigay-kasiyahan sa isang mahusay na tinukoy na kondisyon, at ang kundisyon mismo ay tila hindi kakaiba o nakakubli. Kung ang isang set na napakasimple at malinaw na tinukoy ay hindi maaaring umiiral, kung gayon ano, sa katunayan, ang pagkakaiba sa pagitan ng posible at imposible na mga hanay? Ang konklusyon na ang hanay na isinasaalang-alang ay hindi umiiral ay parang hindi inaasahan at nakakabahala. Ginagawa nito ang aming pangkalahatang paniwala ng isang set na walang hugis at magulo, at walang garantiya na hindi ito maaaring magbunga ng ilang mga bagong kabalintunaan.

Ang kabalintunaan ni Russell ay kapansin-pansin para sa matinding pangkalahatan nito Courant R., Robbins G. Ano ang matematika? - Ch. II, § 4.5. . Para sa pagtatayo nito, walang mga kumplikadong teknikal na konsepto ang kinakailangan, tulad ng sa kaso ng ilang iba pang mga kabalintunaan, ang mga konsepto ng "set" at "elemento ng set" ay sapat. Ngunit ang pagiging simple na ito ay nagsasalita lamang ng pangunahing katangian nito: ito ay humipo sa pinakamalalim na pundasyon ng aming pangangatwiran tungkol sa mga set, dahil hindi ito nagsasalita tungkol sa ilang mga espesyal na kaso, ngunit tungkol sa mga set sa pangkalahatan.

Ang iba pang mga variant ng kabalintunaan Ang kabalintunaan ni Russell ay hindi partikular na matematikal. Gumagamit ito ng konsepto ng isang set, ngunit hindi hawakan ang anumang mga espesyal na katangian na partikular na nauugnay sa matematika.

Ito ay nagiging maliwanag kapag ang kabalintunaan ay reformulated sa purong lohikal na mga termino. Sa bawat ari-arian, maaari, sa lahat ng posibilidad, magtanong kung ito ay naaangkop sa sarili nito o hindi. Ang pag-aari ng pagiging mainit, halimbawa, ay hindi nalalapat sa sarili nito, dahil hindi ito mismo mainit; ang pag-aari ng pagiging kongkreto ay hindi rin tumutukoy sa sarili nito, dahil ito ay isang abstract na pag-aari. Ngunit ang pag-aari ng pagiging abstract, pagiging abstract, ay naaangkop sa sarili.

Tawagin natin ang mga pag-aari na ito na hindi naaangkop sa kanilang sarili bilang hindi naaangkop. Nalalapat ba ang pag-aari ng pagiging hindi naaangkop sa sarili? Lumalabas na ang inapplicability ay hindi nalalapat lamang kung ito ay hindi. Ito ay, siyempre, kabalintunaan. Ang lohikal, may kaugnayan sa ari-arian na iba't ng antinomy ni Russell ay kasing kabalintunaan ng matematika, na may kaugnayan sa hanay na iba't.

Iminungkahi din ni Russell ang sumusunod na sikat na bersyon ng kabalintunaan na natuklasan niya na Katrechko S.L. Russell's Barber's Paradox at Plato-Aristotle's Dialectic // Modern Logic: Mga Problema ng Teorya, Kasaysayan at Aplikasyon sa Agham. - SPb., 2002. - S. 239-242 .. Isipin natin na ang konseho ng isang nayon ay tinukoy ang mga tungkulin ng barbero sa ganitong paraan: upang ahit ang lahat ng mga lalaki sa nayon na hindi nag-ahit sa kanilang sarili, at ang mga lalaking ito lamang. Dapat ba niyang ahit ang sarili niya? Kung gayon, ito ay tumutukoy sa mga nag-aahit sa kanilang sarili, at sa mga nag-aahit sa kanilang sarili, hindi siya dapat mag-ahit. Kung hindi, mapapabilang siya sa mga hindi nag-ahit sa kanilang sarili, at samakatuwid ay kailangan niyang mag-ahit sa kanyang sarili. Kaya't napagpasyahan namin na ang barberong ito ay nag-aahit sa kanyang sarili kung at kung hindi siya mag-ahit sa kanyang sarili. Ito, siyempre, ay imposible.

Ang argumento tungkol sa barbero ay batay sa pag-aakalang may ganoong barbero. Ang nagresultang kontradiksyon ay nangangahulugan na ang palagay na ito ay mali, at walang ganoong taganayon na mag-aahit sa lahat ng iyon at sa mga taganayon lamang na hindi nag-ahit sa kanilang sarili. Ang mga tungkulin ng isang barbero ay tila hindi magkasalungat sa unang tingin, kaya ang konklusyon na hindi maaaring maging isa ay tila hindi inaasahan. Gayunpaman, ang konklusyong ito ay hindi paradoxical. Ang kondisyon na dapat matugunan ng barbero sa baryo ay, sa katunayan, salungat sa sarili at samakatuwid ay imposible. Hindi maaaring magkaroon ng gayong tagapag-ayos ng buhok sa nayon para sa parehong dahilan na walang tao dito na mas matanda kaysa sa kanyang sarili o kung sino ang isisilang bago ang kanyang kapanganakan Miroshnichenko P.N. Ano ang sumira sa kabalintunaan ni Russell sa sistema ni Frege? // Modernong lohika: mga problema ng teorya, kasaysayan at aplikasyon sa agham. - SPb., 2000. - S. 512-514 ..

Ang argumento tungkol sa barbero ay maaaring tawaging pseudo-paradox. Sa kurso nito, mahigpit itong kahalintulad sa kabalintunaan ni Russell, at ito ang dahilan kung bakit ito kawili-wili. Ngunit hindi pa rin ito isang tunay na kabalintunaan.

Ang isa pang halimbawa ng parehong pseudo-paradox ay ang kilalang argumento ng catalog. Nagpasya ang isang partikular na library na mag-compile ng bibliographic catalog na magsasama ng lahat ng iyon at tanging mga bibliographic catalog na hindi naglalaman ng mga reference sa kanilang mga sarili. Dapat bang magsama ang naturang direktoryo ng isang link sa sarili nito? Madaling ipakita na ang ideya ng paglikha ng naturang catalog ay hindi magagawa; ito ay hindi maaaring umiral, dahil dapat itong sabay na magsama ng isang sanggunian sa sarili nito at hindi kasama.

Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na ang pag-catalog sa lahat ng mga direktoryo na hindi tumutukoy sa kanilang mga sarili ay maaaring isipin bilang isang walang katapusang, walang katapusang proseso. Sabihin natin na sa isang punto ang isang direktoryo, sabihin nating K1, ay pinagsama-sama, kasama ang lahat ng iba pang mga direktoryo na hindi naglalaman ng mga sanggunian sa kanilang mga sarili. Sa paglikha ng K1, lumitaw ang isa pang direktoryo na hindi naglalaman ng isang link sa sarili nito. Dahil ang layunin ay gumawa ng kumpletong katalogo ng lahat ng mga direktoryo na hindi binanggit ang kanilang mga sarili, malinaw na hindi K1 ang solusyon. Hindi niya binanggit ang isa sa mga direktoryo na iyon -- siya mismo. Kasama ang pagbanggit sa kanyang sarili sa K1, nakukuha namin ang K2 catalog. Binanggit nito ang K1, ngunit hindi ang K2 mismo. Ang pagdaragdag ng gayong pagbanggit sa K2, nakuha namin ang KZ, na muli ay hindi kumpleto dahil sa katotohanang hindi nito binanggit ang sarili nito. At walang katapusan.

Ang isa pang lohikal na kabalintunaan ay maaaring mabanggit - ang kabalintunaan ng mga Dutch mayors, katulad ng kabalintunaan ng barbero. Ang bawat munisipalidad sa Holland ay dapat magkaroon ng isang alkalde at dalawang magkaibang munisipalidad ay hindi maaaring magkaroon ng parehong alkalde. Minsan lumalabas na hindi nakatira ang mayor sa kanyang munisipyo. Ipagpalagay natin na ang isang batas ay ipinasa kung saan ang ilang teritoryo S ay inilalaan ng eksklusibo sa mga naturang mayor na hindi nakatira sa kanilang mga munisipyo, at nag-uutos sa lahat ng mga mayor na ito na manirahan sa teritoryong ito. Ipagpalagay pa na napakarami ng mga mayor na ito na ang teritoryo S mismo ay bumubuo ng isang hiwalay na munisipalidad. Saan dapat tumira ang mayor nitong Special Municipality S? Ang simpleng pangangatwiran ay nagpapakita na kung ang alkalde ng isang Espesyal na Munisipyo ay nakatira sa teritoryo S, kung gayon hindi siya dapat manirahan doon, at kabaliktaran, kung hindi siya nakatira sa teritoryo, dapat siyang manirahan sa teritoryong ito. Na ang kabalintunaan na ito ay kahalintulad sa kabalintunaan ng barbero ay medyo halata.

Si Russell ay isa sa mga unang nagmungkahi ng solusyon sa "kanyang" kabalintunaan. Ang solusyon na iminungkahi niya ay tinatawag na "type theory": isang set (class) at ang mga elemento nito ay nabibilang sa iba't ibang lohikal na uri, ang uri ng set ay mas mataas kaysa sa uri ng mga elemento nito, na nag-aalis ng kabalintunaan ni Russell (type theory ay ginamit din ng Russell upang malutas ang sikat na "Liar" na kabalintunaan). Maraming mathematician, gayunpaman, ang hindi tinanggap ang solusyon ni Russell, sa paniniwalang ito ay nagpapataw ng masyadong matinding paghihigpit sa mga mathematical na pahayag ni Katrechko S.L. Russell's Barber's Paradox at Plato-Aristotle's Dialectic // Modern Logic: Mga Problema ng Teorya, Kasaysayan at Aplikasyon sa Agham. - St. Petersburg, 2002. - S. 239-242 ..

Ang sitwasyon ay katulad ng iba pang mga lohikal na kabalintunaan. "Ang mga antinomiya ng lohika," ang isinulat ni von Wright, "ay naging palaisipan sa amin mula nang matuklasan nila at malamang na laging palaisipan sa amin. Sa palagay ko, dapat nating ituring ang mga ito hindi bilang mga problemang naghihintay na malutas, ngunit bilang hindi mauubos na hilaw na materyal para sa pag-iisip. Ang mga ito ay mahalaga dahil ang pag-iisip tungkol sa mga ito ay nakakaapekto sa mga pinakapangunahing katanungan ng lahat ng lohika, at samakatuwid ang lahat ng pag-iisip” Wrigt G.Kh. background. Lohika at pilosopiya sa XX siglo // Vopr. pilosopiya. 1992. No. 8..

Ang kabalintunaan ni Russell (Antinomy ni Russell, din Russell-Zermelo kabalintunaan) - isang set-theoretic paradox (antinomy) na natuklasan noong 1901 ni Bertrand Russell, na nagpapakita ng hindi pagkakapare-pareho ng lohikal na sistema ni Frege, na isang maagang pagtatangka na gawing pormal ang walang muwang na set theory ni Georg Cantor. Natuklasan dati ngunit hindi inilathala ni Ernst Zermelo.

Sa impormal na wika, ang kabalintunaan ay maaaring ilarawan bilang mga sumusunod. Sumang-ayon tayo na tawagan ang isang set na "ordinaryo" kung hindi ito ang sarili nitong elemento. Halimbawa, ang set ng lahat ng tao ay "ordinaryo", dahil ang set mismo ay hindi isang tao. Ang isang halimbawa ng isang "hindi pangkaraniwang" hanay ay ang set ng lahat set, dahil ito mismo ay isang set, at samakatuwid ay ito mismo ang tamang elemento.

Maaaring isaalang-alang ng isa ang isang set na binubuo lamang ng lahat ng "ordinaryong" set, ang nasabing set ay tinatawag Nakatakda si Russell . Ang isang kabalintunaan ay lumitaw kapag sinusubukang matukoy kung ang set na ito ay "ordinaryo" o hindi, iyon ay, kung naglalaman ito ng sarili bilang isang elemento. Mayroong dalawang mga posibilidad.

Sa isang banda, kung ito ay "ordinaryo", dapat itong isama ang sarili nito bilang isang elemento, dahil sa kahulugan ay binubuo ito ng lahat ng "ordinaryong" set. Ngunit hindi ito maaaring maging "ordinaryo", dahil ang mga "ordinaryong" set ay ang mga hindi kasama ang kanilang mga sarili.
Ito ay nananatiling ipagpalagay na ang set na ito ay "hindi pangkaraniwan". Gayunpaman, hindi nito maaaring isama ang sarili nito bilang isang elemento, dahil sa kahulugan ay dapat lang itong binubuo ng mga "ordinaryong" set. Ngunit kung hindi nito isasama ang sarili bilang isang elemento, kung gayon ito ay isang "ordinaryong" set.

Sa anumang kaso, nagreresulta ang isang kontradiksyon.

Encyclopedic YouTube

1 / 5

✪ Lektura 1. Kahulugan ng isang set. Mga batas ni De Morgan. Ang kabalintunaan ni Russell. Weierstrass theorem

✪ 3 Kabalintunaan ni Russell

✪ Bertrand Russell Payo sa mga susunod na henerasyon

✪ Lecture 21: Naive set theory at fuzzy logic

✪ Monty Hall Paradox - Numberphile

Mga subtitle

Pagbubuo ng kabalintunaan

Ang kabalintunaan ni Russell ay maaaring mabalangkas sa walang muwang na teorya ng hanay. Samakatuwid, ang naive set theory ay hindi tugma. Isang magkasalungat na fragment ng naive set theory, na maaaring tukuyin bilang isang first-order theory na may binary membership relation ∈ (\displaystyle \in ) at scheme ng pagpili: para sa bawat lohikal na formula na may isang libreng variable sa walang muwang na set theory mayroong isang axiom

∃ y ∀ x (x ∈ y ⟺ P (x)) (\displaystyle \umiiral y\forall x(x\in y\iff P(x))).

Ang axiom scheme na ito ay nagsasabi na para sa anumang kondisyon P (x) (\displaystyle P(x)) marami naman y , (\displaystyle y,) binubuo ng mga x , (\displaystyle x,) na nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon P (x) (\displaystyle P(x)) .

Ito ay sapat na upang bumalangkas ng kabalintunaan ni Russell bilang mga sumusunod. Hayaan P (x) (\displaystyle P(x)) may formula x ∉ x . (\displaystyle x\notin x.)(I.e P (x) (\displaystyle P(x)) ibig sabihin marami x (\displaystyle x) ay hindi naglalaman ng sarili bilang isang elemento, o, sa aming terminolohiya, ay isang "ordinaryong" set.) Pagkatapos, sa pamamagitan ng axiom ng pagpili, mayroong isang set y (\displaystyle y)(Russell set) ganyan

∀ x (x ∈ y ⟺ x ∉ x) (\displaystyle \forall x(x\in y\iff x\notin x)).

Dahil ito ay totoo para sa alinman x , (\displaystyle x,) totoo rin iyon para sa x = y. (\displaystyle x=y.) I.e

y ∈ y ⟺ y ∉ y . (\displaystyle y\in y\iff y\notin y.)

Ito ay sumusunod mula dito na ang isang kontradiksyon ay deduced sa musmos set theory.

Ang kabalintunaan ay hindi lilitaw kung ipinapalagay natin na ang hanay ng Russell ay hindi umiiral. Gayunpaman, ang palagay na ito mismo ay kabalintunaan: sa set theory ni Cantor, pinaniniwalaan na ang anumang ari-arian ay tumutukoy sa hanay ng mga elemento na nagbibigay-kasiyahan sa katangiang ito. Dahil ang pag-aari ng isang set na "ordinaryo" ay mukhang mahusay na tinukoy, dapat mayroong isang set ng lahat ng "ordinaryong" set. Ang teoryang ito ay tinatawag na ngayon musmos na set theory .

Mga sikat na bersyon ng kabalintunaan

Mayroong ilang mga bersyon ng kabalintunaan ni Russell. Hindi tulad ng kabalintunaan mismo, sila, bilang panuntunan, ay hindi maaaring ipahayag sa isang pormal na wika.

Sinungaling kabalintunaan

Ang kabalintunaan ni Russell ay nauugnay sa kabalintunaan ng sinungaling na kilala mula pa noong sinaunang panahon, na siyang sumusunod na tanong. Binigyan ng pahayag:

Mali ang pahayag na ito.

Totoo ba ang pahayag na ito o hindi? Madaling ipakita na ang pahayag na ito ay hindi maaaring totoo o mali.

Sumulat si Russell tungkol sa kabalintunaan na ito:

Ipinaliwanag mismo ni Russell ang sinungaling na kabalintunaan sa ganitong paraan. Upang makapagsabi ng isang bagay tungkol sa mga pagbigkas, kailangan munang tukuyin ang mismong konsepto ng "pagbigkas", habang hindi gumagamit ng mga konsepto na hindi pa natukoy. Kaya, ang mga pahayag ng unang uri ay maaaring tukuyin na walang sinasabi tungkol sa mga pahayag. Pagkatapos ay maaaring tukuyin ng isa ang mga pahayag ng pangalawang uri na nagsasalita ng mga pahayag ng unang uri, at iba pa. Ang pahayag na "ang pahayag na ito ay mali" ay hindi nahuhulog sa ilalim ng alinman sa mga kahulugang ito, at sa gayon ay hindi makatwiran.

Ang Barber's Paradox

Binanggit ni Russell ang sumusunod na bersyon ng kabalintunaan, na binuo bilang isang bugtong na iminungkahi ng isang tao sa kanya.

Hayaang manirahan ang isang barbero sa isang tiyak na nayon, na nag-ahit sa lahat ng mga naninirahan sa nayon na hindi nag-ahit sa kanilang sarili, at sila lamang. Nag-aahit ba ang barbero?

Anumang sagot ay humahantong sa isang kontradiksyon. Sinabi ni Russell na ang kabalintunaan na ito ay hindi katumbas ng kanyang kabalintunaan at madaling malutas. Sa katunayan, kung paanong ang kabalintunaan ni Russell ay nagpapakita na walang Russell set, ang barber's paradox ay nagpapakita na walang ganoong barbero na umiiral. Ang pagkakaiba ay walang nakakagulat sa hindi pagkakaroon ng gayong barbero: hindi para sa anumang ari-arian mayroong isang barbero na nag-ahit sa mga tao gamit ang ari-arian na ito. Gayunpaman, ang katotohanan na walang hanay ng mga elemento na ibinigay ng ilang mahusay na tinukoy na pag-aari ay sumasalungat sa walang muwang na ideya ng mga set at nangangailangan ng paliwanag.

Pagpipilian tungkol sa mga direktoryo

Ang pinakamalapit na salita sa kabalintunaan ni Russell ay ang sumusunod na bersyon ng kanyang presentasyon:

Ang mga katalogo ng bibliograpiko ay mga aklat na naglalarawan sa iba pang mga aklat. Maaaring ilarawan ng ilang direktoryo ang iba pang mga direktoryo. Ang ilang mga direktoryo ay maaaring ilarawan ang kanilang mga sarili. Posible bang i-catalog ang lahat ng mga katalogo na hindi naglalarawan sa kanilang sarili?

Lumilitaw ang isang kabalintunaan kapag sinusubukang magpasya kung dapat ilarawan ng direktoryo na ito ang sarili nito. Sa kabila ng maliwanag na pagkakalapit ng mga pormulasyon (ito talaga ang kabalintunaan ni Russell, kung saan ginagamit ang mga katalogo sa halip na mga hanay), ang kabalintunaan na ito, tulad ng kabalintunaan ng barbero, ay naresolba nang simple: ang naturang catalog ay hindi maaaring i-compile.

Grelling-Nelson paradox

Ang kabalintunaan na ito ay binuo ng mga German mathematician Kurt Grelling at Leonard Nelson noong 1908. Sa katunayan, ito ay isang pagsasalin ng orihinal na bersyon ng kabalintunaan ni Russell, na sinabi niya sa mga tuntunin ng lohika ng panaguri (tingnan ang liham kay Frege), sa hindi pang-matematika na wika.

Tawagin natin ang pang-uri mapanimdim kung ang pang-uri na ito ay may katangiang tinukoy ng pang-uri na ito. Halimbawa, ang mga adjectives na "Russian", "polysyllabic" - ay may mga katangian na kanilang tinukoy (ang pang-uri na "Russian" ay Russian, at ang adjective na "polysyllabic" ay polysyllabic), kaya sila ay reflexive, at ang mga adjectives na "German", "monosyllabic" - ay hindi reflexive. Magiging reflexive ba ang adjective na "non-reflexive" o hindi?

Anumang sagot ay humahantong sa isang kontradiksyon. Hindi tulad ng kabalintunaan ng barbero, ang solusyon sa paradox na ito ay hindi gaanong simple. Hindi basta-basta masasabi ng isang tao na ang gayong pang-uri ("non-reflexive") ay wala, dahil kakatukoy pa lang natin dito. Ang kabalintunaan ay nagmumula sa katotohanan na ang kahulugan ng terminong "non-reflexive" ay hindi tama sa sarili nito. Ang kahulugan ng terminong ito ay nakasalalay sa mga halaga ang pang-uri kung saan ito ginagamit. At dahil ang salitang "non-reflexive" ay mismong isang pang-uri sa kahulugan, isang mabisyo na bilog ang kasunod.

Kwento

Malamang na natuklasan ni Russell ang kanyang kabalintunaan noong Mayo o Hunyo 1901. Ayon kay Russell mismo, sinusubukan niyang maghanap ng error sa patunay ni Cantor ng kabalintunaan na katotohanan (kilala bilang Cantor's Paradox) na walang maximum cardinal number (o set ng lahat ng set). Bilang resulta, nakakuha si Russell ng isang mas simpleng kabalintunaan. Ipinahayag ni Russell ang kanyang kabalintunaan sa iba pang mga logician, lalo na sina Whitehead at Peano. Sa kanyang liham kay Frege noong Hunyo 16, 1902, isinulat niya na natagpuan niya ang isang kontradiksyon sa " Concept Calculus” - isang aklat ni Frege, na inilathala noong 1879. Inilatag niya ang kanyang kabalintunaan sa mga tuntunin ng lohika at pagkatapos ay sa mga tuntunin ng set theory, gamit ang kahulugan ni Frege ng isang function:

Nakaranas ako ng mga paghihirap sa isang lugar lamang. Inaangkin mo (p. 17) na ang isang function ay maaaring kumilos bilang isang hindi alam. Akala ko rin dati. Ngunit ngayon ang pananaw na ito ay tila nagdududa sa akin dahil sa sumusunod na kontradiksyon. Hayaan w panaguri: "to be a predicate which cannot be applied to itself." Pwede w maging naaangkop sa sarili nito? Ang anumang sagot ay nagpapahiwatig ng kabaligtaran. Samakatuwid, dapat nating tapusin iyon w ay hindi isang panaguri. Katulad nito, walang klase (sa kabuuan) ng mga klase na, sa kabuuan, ay hindi pag-aari sa kanilang sarili. Mula dito napagpasyahan ko na kung minsan ang isang tiyak na hanay ay hindi bumubuo ng isang holistic na pormasyon.

Orihinal na teksto (German)
Nur in einem Punkte ist mir eine Schwierigkeit begegnet. Sie behaupten (S. 17) es könne auch die Funktion das unbestimmte Element bilden. Dies habe ich früher geglaubt, jedoch jetzt scheint mir diese Ansicht zweifelhaft, wegen des folgenden Widerspruchs: Sei w das Prädicat, ein Prädicat zu sein welches von sich selbst nicht prädicirt werden kann. Kann man w von sich selbst prädiciren? Aus jeder Antwort folgt das Gegentheil. Deshalb muss man schließen dass w kein Prädicat ist. Ebenso giebt es keine Klasse (als Ganzes) derjenigen Klassen die als Ganze sich selber nicht angehören. Daraus schliesse ich dass unter gewissen Umständen eine definierbare Menge kein Ganzes bildet .

Natanggap ni Frege ang liham sa oras na natapos niya ang trabaho sa ikalawang tomo ng The Fundamental Laws of Arithmetic (Aleman: Grundgesetze der Arithmetik). Walang oras si Frege para itama ang kanyang set theory. Nagdagdag lamang siya ng isang apendiks sa pangalawang tomo na may isang paglalahad at ang kanyang pagsusuri sa kabalintunaan, na nagsimula sa sikat na pangungusap:

Hindi malamang na anumang mas masahol pa ang maaaring mangyari sa isang siyentipiko kaysa sa kung ang lupa ay bunutin mula sa ilalim ng kanyang mga paa sa mismong sandali kapag natapos niya ang kanyang trabaho. Sa posisyong ito nahanap ko ang aking sarili nang makatanggap ako ng liham mula kay Bertrand Russell, nang natapos na ang aking trabaho.

Orihinal na teksto (German)
Einem wissenschaftlichen Schriftsteller kann kaum etwas Unerwünschteres begegnen, als daß ihm nach Vollendung einer Arbeit eine der Grundlagen seines Baues erschüttert wird. In diese Lage wurde ich durch einen Brief ng Herrn Bertrand Russell versetzt, als der Druck dieses Bandes sich seinem Ende näherte .

z ∈ ( x: P (x) ) ⟺ P (z) (\displaystyle z\in \(x\colon P(x)\)\iff P(z)),

na nagsabi na posible na bumuo ng isang hanay ng mga elemento na nagbibigay-kasiyahan sa ari-arian P (x) , (\displaystyle P(x),) iminungkahi niya ang paggamit ng sumusunod na axiom:

z ∈ ( x: P (x) ) ⟺ P (z) at z ≠ ( x: P (x) ) (\displaystyle z\in \(x\colon P(x)\)\iff P(z)\ \&\ z\neq \(x\colon P(x)\)),

kaya inaalis ang posibilidad para sa isang set na maging miyembro ng sarili nito. Gayunpaman, isang maliit na [ alin?] ang pagbabago ng kabalintunaan ni Russell ay nagpapatunay na ang axiom na ito ay humahantong din sa isang kontradiksyon.

Inilathala ni Russell ang kanyang kabalintunaan sa kanyang aklat " Mga Prinsipyo ng Matematika"noong 1903.

Nasa ibaba ang ilan sa mga posibleng diskarte sa pagbuo ng isang sistema ng mga axiom na libre mula sa mga kabalintunaan ni Russell.

Ang uri ng teorya ni Russell

Si Russell mismo ang unang nagmungkahi ng teorya na walang kabalintunaan ni Russell. Bumuo siya ng isang teorya ng mga uri, ang unang bersyon nito ay lumabas sa aklat ni Russell at Whitehead Mga Prinsipyo ng Matematika"noong 1903. Ang teoryang ito ay batay sa sumusunod na ideya: ang mga simpleng bagay sa teoryang ito ay may uri 0, ang mga hanay ng mga simpleng bagay ay may uri 1, ang mga hanay ng mga hanay ng mga simpleng bagay ay may uri 2, at iba pa. Kaya, walang set ang maaaring magkaroon ng sarili bilang isang elemento. Ni ang set of all sets o ang Russell set ay hindi maaaring tukuyin sa teoryang ito. Ang isang katulad na hierarchy ay ipinakilala para sa mga pahayag at katangian. Ang mga proposisyon tungkol sa mga simpleng bagay ay nabibilang sa uri 1, ang mga proposisyon tungkol sa mga katangian ng mga proposisyon ng uri 1 ay nabibilang sa uri 2, at iba pa. Sa pangkalahatan, ang isang function, ayon sa kahulugan, ay may mas mataas na uri kaysa sa mga variable kung saan ito nakasalalay. Ang diskarte na ito ay nagbibigay-daan sa iyo upang mapupuksa hindi lamang ang Russell paradox, kundi pati na rin ang maraming iba pang mga kabalintunaan, kabilang ang sinungaling na kabalintunaan (), ang Grelling-Nelson paradox, ang Burali-Forti na kabalintunaan. Ipinakita nina Russell at Whitehead kung paano bawasan ang lahat ng matematika sa mga axiom ng uri ng teorya sa kanilang tatlong-volume na Principia Mathematica, na inilathala noong 1910-1913.

Gayunpaman, ang diskarte na ito ay nakatagpo ng mga paghihirap. Sa partikular, lumilitaw ang mga problema sa pagtukoy sa mga konsepto bilang pinakamahusay na upper bound para sa mga hanay ng mga tunay na numero. Ayon sa kahulugan, ang pinakamaliit na upper bound ay ang pinakamaliit sa lahat ng upper bounds. Samakatuwid, kapag tinutukoy ang hindi bababa sa itaas na hangganan, ang hanay ng mga tunay na numero ay ginagamit. Samakatuwid, ang pinakamaliit na itaas na hangganan ay isang bagay na may mas mataas na uri kaysa sa mga tunay na numero. Nangangahulugan ito na ito mismo ay hindi isang tunay na numero. Upang maiwasan ito, ito ay kinakailangan upang ipakilala ang tinatawag na axiom ng reducibility. Dahil sa pagiging arbitraryo nito, maraming mathematician ang tumanggi na tanggapin ang reducibility axiom, at tinawag mismo ito ni Russell na isang depekto sa kanyang teorya. Bilang karagdagan, ang teorya ay naging napaka kumplikado. Bilang resulta, hindi ito nakatanggap ng malawak na aplikasyon.

Zermelo-Fraenkel set theory

Ang pinakakilalang diskarte sa axiomatization ng matematika ay ang Zermelo-Fraenkel (ZF) set theory, na nagmula bilang extension ng Ang mga teorya ni Zermelo(1908). Hindi tulad ni Russell, pinanatili ni Zermelo ang mga lohikal na prinsipyo at binago lamang ang mga axiom ng set theory. Ang ideya ng diskarte na ito ay pinapayagan na gumamit lamang ng mga set na binuo mula sa mga naka-built na set gamit ang isang tiyak na hanay ng mga axiom. Halimbawa, sinabi ng isa sa mga axiom ni Zermelo na posibleng bumuo ng set ng lahat subsets ng ibinigay na set (ang Boolean axiom). Isa pang axiom ( scheme ng pagpili) ay nagsasabi na mula sa bawat hanay posible na pumili ng isang subset ng mga elemento na may ibinigay na pag-aari. Ito ang pangunahing pagkakaiba sa pagitan ng teorya ng set ng Zermelo at ng teorya ng naive set: sa teorya ng naive set, maaari mong isaalang-alang ang set ng lahat ng mga elemento na may isang naibigay na pag-aari, at sa teorya ng set ng Zermelo, maaari ka lamang pumili ng isang subset mula sa isang nakagawa na set . Sa teorya ng set ng Zermelo, imposibleng makabuo ng set ng lahat set. Kaya, ang Russell set ay hindi rin maaaring itayo doon.

Mga klase

Minsan sa matematika ay kapaki-pakinabang na isaalang-alang ang lahat ng mga hanay bilang isang buo, halimbawa, upang isaalang-alang ang kabuuan ng lahat ng mga grupo. Upang gawin ito, ang teorya ng hanay ay maaaring palawigin ng paniwala ng class , gaya ng, halimbawa, sa sistemang Neumann- Bernays- Gödel (NBG). Sa teoryang ito, ang koleksyon ng lahat ng set ay klase. Gayunpaman, ang klase na ito ay hindi isang set at hindi miyembro ng anumang klase, kaya iniiwasan ang kabalintunaan ni Russell.

Ang isang mas malakas na sistema na nagpapahintulot sa isa na kumuha ng mga quantifier sa mga klase, at hindi lamang sa mga hanay, ay, halimbawa, Morse set theory - Kelly(MK) . Sa teoryang ito, ang pangunahing konsepto ay ang konsepto klase, ngunit hindi set. Ang mga set sa teoryang ito ay itinuturing na mga klase na mismong mga elemento ng ilang mga klase. Sa teoryang ito, ang formula z ∈ ( x: P (x) ) (\displaystyle z\in \(x\colon P(x)\)) ay itinuturing na katumbas ng formula

P (z) at ∃ y . z ∈ y (\displaystyle P(z)\ \&\ \umiiral y.z\in y).

Bilang ∃ y . z ∈ y (\displaystyle \umiiral ang y.z\in y) sa teoryang ito ay nangangahulugan na ang klase z (\displaystyle z) ay isang marami, ang formula na ito ay dapat na maunawaan bilang ( x: P (x) ) (\displaystyle \(x\colon P(x)\)) ay ang klase ng lahat set(hindi mga klase) z (\displaystyle z), ganyan P (z) (\displaystyle P(z)). Ang kabalintunaan ni Russell sa teoryang ito ay nalutas sa katotohanan na hindi lahat ng klase ay isang set.

Ang isa ay maaaring pumunta nang higit pa at isaalang-alang ang mga koleksyon ng mga klase - mga conglomerates, mga koleksyon ng mga conglomerates, at iba pa.

Epekto sa matematika

Axiomatization ng matematika

Ang kabalintunaan ni Russell, kasama ang iba pang mathematical antinomies na natuklasan sa simula ng ika-20 siglo, ay nagpasigla ng rebisyon ng mga pundasyon ng matematika, na nagresulta sa pagbuo ng mga axiomatic theories upang bigyang-katwiran ang matematika, na ang ilan ay binanggit sa itaas.

Sa lahat ng mga bagong axiomatic theories na binuo, ang mga kabalintunaan na kilala noong kalagitnaan ng ika-20 siglo (kabilang ang kabalintunaan ni Russell) ay inalis. Gayunpaman, upang patunayan na ang mga bagong katulad na kabalintunaan ay hindi matutuklasan sa hinaharap (ito ang problema ng pagkakapare-pareho ng mga itinayong axiomatic theories), ito ay naging imposible (tingnan ang mga theorems ni Gödel sa hindi pagkakumpleto) sa modernong pag-unawa sa problemang ito. .

intuitionismo

Sa parallel, isang bagong trend sa matematika ang lumitaw, na tinatawag na intuitionism, ang nagtatag kung saan ay L. E. Ya. Brouwer. Ang intuitionism ay lumitaw nang malaya sa kabalintunaan ni Russell at iba pang mga antinomiya. Gayunpaman, ang pagtuklas ng mga antinomiya sa set theory ay nagpapataas ng kawalan ng tiwala ng mga intuitionist sa mga lohikal na prinsipyo at nagpabilis sa pagbuo ng intuitionism. Ang pangunahing tesis ng intuitionism ay nagsasabi na upang patunayan ang pagkakaroon ng ilang bagay, kinakailangan upang ipakita ang isang paraan para sa pagtatayo nito. Tinatanggihan ng mga intuitionist ang mga abstract na konsepto bilang set ng lahat ng set. Itinatanggi ng intuitionism ang batas ng ibinukod na gitna, gayunpaman, dapat tandaan na ang batas ng ibinukod na gitna ay hindi kailangan upang makakuha ng kontradiksyon mula sa antinomy ni Russell o anumang iba pa (sa anumang antinomy ay pinatunayan na A (\displaystyle A) nagsasangkot ng negasyon A (\displaystyle A) at pagtanggi A (\displaystyle A) nagsasangkot ng A , (\displaystyle A,) gayunpaman, mula sa (A ⇒ ¬ A) at (¬ A ⇒ A) (\displaystyle (A\Rightarrow \neg A)\&(\neg A\Rightarrow A)) kahit na sa intuitionistic na lohika ay sumusunod ang kontradiksyon). Kapansin-pansin din na sa mga huling axiomatization ng intuitionistic mathematics, natagpuan ang mga paradox na katulad ng kay Russell, tulad ng, halimbawa, Ang kabalintunaan ni Girard sa orihinal na salita Martin Loef.

Diagonal na argumento (self-applicability)

Sa kabila ng katotohanan na ang pangangatwiran ni Russell ay humahantong sa isang kabalintunaan, ang pangunahing ideya ng pangangatwiran na ito ay kadalasang ginagamit sa patunay ng mga teorema sa matematika. Tulad ng nabanggit sa itaas, nakuha ni Russell ang kanyang kabalintunaan sa pamamagitan ng pagsusuri sa patunay ni Cantor sa hindi pag-iral ng pinakamalaking cardinal number. Ang katotohanang ito ay sumasalungat sa pagkakaroon ng isang set ng lahat ng set, dahil ang cardinality nito ay dapat na maximum. Gayunpaman, ayon sa Cantor theorem, ang set ng lahat ng subset ng isang naibigay na set ay may mas malaking cardinality kaysa sa set mismo. Ang patunay ng katotohanang ito ay batay sa mga sumusunod dayagonal argument?!:

Hayaang magkaroon ng isa-sa-isang sulat , na sa bawat elemento x (\displaystyle x) set X (\displaystyle X) tumutugma sa isang subset s x (\displaystyle s_(x)) set x. (\displaystyle X.) Hayaan d (\displaystyle d) ay magiging isang hanay ng mga elemento x (\displaystyle x) ganyan x ∈ s x (\displaystyle x\in s_(x)) (hanay ng dayagonal). Pagkatapos ang pandagdag ng set na ito s = d ¯ (\displaystyle s=(\overline (d))) hindi maaaring isa sa s x . (\displaystyle s_(x).) Samakatuwid, ang sulat ay hindi isa-sa-isa.

Ginamit ni Cantor ang diagonal na argumento upang patunayan ang hindi mabilang na mga tunay na numero noong 1891. (Hindi ito ang kanyang unang patunay ng hindi mabilang na mga tunay na numero, ngunit ang pinakasimpleng).

Mga kaugnay na kabalintunaan

Ginagamit ang self-applicability sa maraming kabalintunaan maliban sa mga tinalakay sa itaas:

Ang omnipotence paradox ay isang medieval na tanong: "Maaari bang lumikha ang isang makapangyarihang diyos ng isang bato na hindi niya kayang buhatin?"
Ang kabalintunaan Burali-Forti (1897) ay isang analogue ng kabalintunaan Cantor para sa mga ordinal na numero.
Ang kabalintunaan ni Mirimanov (1917) ay isang paglalahat ng kabalintunaan ng Burali-Forti para sa klase ng lahat ng may matatag na mga klase.
Ang kabalintunaan ni Richard (1905) ay isang semantikong kabalintunaan na nagpapakita ng kahalagahan ng paghihiwalay ng wika ng matematika at metamathematics.
Ang paradox ni Berry (1906) ay isang pinasimpleng bersyon ng kabalintunaan ni Richard na inilathala ni Russell.
Kleene-Rosser kabalintunaan(1935) - pagbabalangkas ng kabalintunaan ni Richard sa mga tuntunin ng λ-calculus.
Ang kabalintunaan ni Curry (1941) ay isang pagpapasimple ng Kleene-Rosser na kabalintunaan.
Ang kabalintunaan ni Girard(1972) - pagbabalangkas ng Burali-Forti paradox sa mga tuntunin ng teorya ng uri ng intuitionistic .
ay isang semi-biro na kabalintunaan na nakapagpapaalaala sa kabalintunaan ni Berry.

Mga Tala

Godhard Link (2004) Isang daang taon ng Russell's paradox, kasama ang. 350, ISBN 9783110174380 , .
Ang antinomy ni Russell // Dictionary of Logic. Ivin A. A., Nikiforov A. L.- M.: Tumanit, VLADOS, 1997. - 384 p. - ISBN 5-691-00099-3.
Andrew David Irvine, Harry Deutsch. Russell "s Paradox // The Stanford Encyclopedia of Philosophy / Edward N. Zalta. - 2014-01-01.
Antinomy- artikulo mula sa Mathematical Encyclopedia. A. G. Dragalin
A. S. Gerasimov. Course matematika lohika at teorya computability. - Ikatlong edisyon, binago at pinalaki. - St. Petersburg: LEMA, 2011. - S. 124-126. - 284 p.

Sa karamihan pangkalahatan paradox form Bertrand Russell parang ganyan:

Hayaang ang M ang set ng lahat ng set na hindi naglalaman ng kanilang mga sarili bilang kanilang elemento. Tanong: Ang M ba ay naglalaman ng sarili bilang isang elemento?

Kung ang sagot ay "oo", kung gayon, ayon sa kahulugan ng M, hindi ito dapat maging elemento ng M, at mayroon tayong kontradiksyon.

Kung ang sagot ay "hindi" - kung gayon, sa pamamagitan ng kahulugan ng M, ito ay dapat na isang elemento ng M - muli isang kontradiksyon ...

“Ano ang esensya ng kontradiksyon? Ang isang klase ay minsan at kung minsan ay hindi isang miyembro ng sarili nito. "Klase kutsarita, halimbawa, ay hindi isa pang kutsarita, ngunit ang mga klase ng mga bagay na hindi kutsarita ay ilan sa mga bagay na hindi kutsarita."

Ang kabalintunaan ni Russell ay nauugnay sa paggamit ng paniwala ng isang klase ng lahat ng wastong klase. Ang "Own" ay isang klase na hindi naglalaman ng sarili bilang miyembro nito. Ang "Improper" ay isang klase na dapat ay naglalaman ng sarili bilang miyembro nito. Ipinapalagay na ito ang klase ng lahat ng klase. Tungkol sa klase ng lahat ng wastong klase (ang "Russell class"), ang tanong ay itinaas: ano ito - wasto o hindi tama? Kung ipagpalagay natin na ito ay sarili, dapat itong italaga sa mga hindi sariling klase, at kabaliktaran.

Sa isang medyo biro na paraan, ipinakita ni Russell ang kabalintunaan na ito sa pamamagitan ng tinatawag na "Barber" na kabalintunaan sa An Introduction to the Philosophy of Mathematics (1919). Ang barbero ng baryo ay dapat mag-ahit ng lahat at ang mga naninirahan lamang sa kanyang nayon na hindi nag-ahit sa kanilang sarili. Dapat ba niyang ahit ang sarili niya? Kung siya ay nag-ahit sa kanyang sarili, pagkatapos ay siya ay nag-ahit sa kanyang sarili at walang karapatang mag-ahit sa kanyang sarili. Ngunit kung hindi siya mag-ahit sa kanyang sarili, may karapatan siyang mag-ahit sa kanyang sarili. Sa ganitong paraan, maaari ding ipakita ng isa ang kabalintunaan ng "set ng lahat ng set na hindi wastong mga elemento." Dapat pansinin na ang "Barbero" ay hindi isang "purong kabalintunaan", dahil sumusunod lamang dito na ang gayong tagapag-ayos ng buhok ay hindi maaaring umiral, ibig sabihin, "sa prinsipyo, walang hindi malabo at pare-parehong katiyakan ang matatagpuan para sa set na ito na naglalaman ng mga elemento. tinukoy lamang sa mga tuntunin ng kabuuan na ito, pati na rin ang mga elemento na kinabibilangan o nagpapahiwatig ng kabuuan na ito. Ang kabalintunaan ay inalis sa pamamagitan ng konklusyon na kung ang ilang mga lugar ay nagdudulot ng isang kontradiksyon, kung gayon sila ay mali.

Ang antinomy ni Russell ay may mahalagang papel sa pagbuo ng mga pundasyon ng matematika. Sinira nito ang mga pundasyon ng set theory, ang pinakabagong lohika, ay naging isang tunay na sakuna at ang pagbagsak ng pag-asa ng mga taong humarap sa mga problema ng pagpapatibay sa matematika at lohika sa pagliko ng ika-19-20 siglo.

Hindi hayagang inamin ni Russell noong 1903 na natuklasan niya ang solusyon sa kabalintunaan. Sa "Preface" sa "Principles of Mathematics", binanggit niya na ang tanging katwiran para sa paglalathala ng isang akda na mayroong bilang ng mga hindi nalutas na katanungan ay ang pag-aaral na ito ay naging posible na tumagos nang mas malalim sa kalikasan ng mga klase. Iminungkahi ni Russell ang isang simpleng teorya ng uri bilang posibleng solusyon sa "Appendix B" sa papel na ito. Sa hinaharap, siya ay dumating sa konklusyon na ito ay ang teorya, na binuo sa isang sistema, na ginagawang posible upang maalis ang kabalintunaan.

Kolesnikov A.S., Pilosopiya ni Bertrand Russell, L., Leningrad University Press, 1991, p. 84-85.

Portal para sa mag-aaral. Pagsasanay sa sarili