Magsimula tayo sa katangian ng logarithm ng pagkakaisa. Ang pagbabalangkas nito ay ang mga sumusunod: ang logarithm ng pagkakaisa ay katumbas ng zero, iyon ay, log a 1=0 para sa alinmang a>0 , a≠1 . Ang patunay ay diretso: dahil ang isang 0 =1 para sa anumang a na nakakatugon sa mga kundisyon sa itaas a>0 at a≠1 , pagkatapos ay ang napatunayang equality log a 1=0 ay agad na sumusunod mula sa kahulugan ng logarithm.
Magbigay tayo ng mga halimbawa ng aplikasyon ng itinuturing na ari-arian: log 3 1=0 , lg1=0 at .
Lumipat tayo sa susunod na pag-aari: ang logarithm ng isang numero na katumbas ng base ay katumbas ng isa, ibig sabihin, log a a=1 para sa a>0 , a≠1 . Sa katunayan, dahil a 1 =a para sa anumang a , pagkatapos ay sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm log a a=1 .
Ang mga halimbawa ng paggamit ng property na ito ng logarithms ay log 5 5=1 , log 5.6 5.6 at lne=1 .
Halimbawa, log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 at 
.
Logarithm ng produkto ng dalawang positibong numero Ang x at y ay katumbas ng produkto ng logarithms ng mga numerong ito: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Patunayan natin ang pag-aari ng logarithm ng produkto. Dahil sa mga katangian ng degree a log a x+log a y =a log a x a log a y, at dahil sa pamamagitan ng pangunahing logarithmic identity isang log a x =x at isang log a y =y , pagkatapos ay isang log a x a log a y =x y . Kaya, ang isang log a x+log a y =x y , kung saan ang kinakailangang pagkakapantay-pantay ay sinusundan ng kahulugan ng logarithm.
Magpakita tayo ng mga halimbawa ng paggamit ng property ng logarithm ng produkto: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 at 
.
Ang product logarithm property ay maaaring gawing pangkalahatan sa produkto ng isang finite number n ng positive numbers x 1 , x 2 , …, x n as log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Ang pagkakapantay-pantay na ito ay madaling napatunayan.
Halimbawa, ang natural na logarithm ng isang produkto ay maaaring palitan ng kabuuan ng tatlong natural na logarithm ng mga numero 4 , e , at .
Logarithm ng quotient ng dalawang positibong numero Ang x at y ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng logarithms ng mga numerong ito. Ang quotient logarithm property ay tumutugma sa isang formula ng form , kung saan ang a>0 , a≠1 , x at y ay ilang positibong numero. Ang bisa ng formula na ito ay pinatunayan tulad ng formula para sa logarithm ng produkto: since 
, pagkatapos ay sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm .
Narito ang isang halimbawa ng paggamit ng property na ito ng logarithm: 
.
Lumipat tayo sa ari-arian ng logarithm ng degree. Ang logarithm ng isang degree ay katumbas ng produkto ng exponent at ang logarithm ng modulus ng base ng degree na ito. Isinulat namin ang pag-aari na ito ng logarithm ng degree sa anyo ng isang formula: log a b p =p log a |b|, kung saan ang a>0 , a≠1 , b at p ay mga numero na ang antas ng b p ay may katuturan at b p >0 .
Pinatunayan muna namin ang property na ito para sa positive b . Ang pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan ay nagbibigay-daan sa amin na katawanin ang numero b bilang isang log a b , pagkatapos ay b p =(a log a b) p , at ang resultang expression, dahil sa kapangyarihan ng ari-arian, ay katumbas ng isang p log a b . Kaya dumating tayo sa pagkakapantay-pantay b p =a p log a b , mula sa kung saan, sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm, napagpasyahan natin na log a b p =p log a b .
Ito ay nananatiling patunayan ang ari-arian na ito para sa negatibong b . Dito napapansin natin na ang expression na log a b p para sa negatibong b ay may katuturan lamang para sa kahit na mga exponent p (dahil ang halaga ng degree b p ay dapat na mas malaki kaysa sa zero, kung hindi, ang logarithm ay hindi magkakaroon ng kahulugan), at sa kasong ito b p =|b| p . Pagkatapos b p ==b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, saan mag-log a b p =p mag-log a |b| .
Halimbawa, 
at ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .
Ito ay sumusunod mula sa nakaraang pag-aari ari-arian ng logarithm mula sa ugat: ang logarithm ng ugat ng nth degree ay katumbas ng produkto ng fraction 1/n at ang logarithm ng root expression, iyon ay, 
, kung saan ang a>0 , a≠1 , n ay isang natural na bilang na mas malaki sa isa, b>0 .
Ang patunay ay batay sa pagkakapantay-pantay (tingnan ), na wasto para sa anumang positibong b , at ang pag-aari ng logarithm ng antas: 
.
Narito ang isang halimbawa ng paggamit ng property na ito: 
.
Ngayon patunayan natin conversion formula sa bagong base ng logarithm mabait 
. Upang gawin ito, sapat na upang patunayan ang bisa ng equality log c b=log a b log c a . Ang pangunahing logarithmic identity ay nagbibigay-daan sa amin na katawanin ang numero b bilang isang log a b , pagkatapos ay log c b=log c a log a b . Ito ay nananatiling gamitin ang pag-aari ng logarithm ng degree: log c a log a b = log a b log c a. Kaya, ang equality log c b=log a b log c a ay napatunayan, na nangangahulugan na ang formula para sa paglipat sa isang bagong base ng logarithm ay napatunayan din.
Magpakita tayo ng ilang halimbawa ng paglalapat ng katangiang ito ng logarithms: at 
.
Ang pormula para sa paglipat sa isang bagong base ay nagbibigay-daan sa iyo na magpatuloy sa pagtatrabaho sa mga logarithms na may "maginhawa" na base. Halimbawa, maaari itong magamit upang pumunta sa natural o decimal logarithms upang makalkula mo ang halaga ng logarithm mula sa talahanayan ng logarithms. Ang pormula para sa paglipat sa isang bagong base ng logarithm ay nagpapahintulot din sa ilang mga kaso na mahanap ang halaga ng isang naibigay na logarithm, kapag ang mga halaga ng ilang logarithm sa iba pang mga base ay kilala.
Kadalasang ginagamit ay isang espesyal na kaso ng formula para sa paglipat sa isang bagong base ng logarithm para sa c=b ng form 
. Ipinapakita nito na ang log a b at log b a – . Halimbawa, 
.
Madalas ding ginagamit ang formula 
, na kapaki-pakinabang para sa paghahanap ng mga halaga ng logarithm. Upang kumpirmahin ang aming mga salita, ipapakita namin kung paano kinakalkula ang halaga ng logarithm ng form gamit ito. Meron kami 
. Upang patunayan ang formula 
sapat na na gamitin ang formula ng paglipat sa bagong base ng logarithm a: 
.
Ito ay nananatiling patunayan ang mga katangian ng paghahambing ng logarithms.
Patunayan natin na para sa anumang positibong numero b 1 at b 2 , b 1 log a b 2 , at para sa a>1, ang inequality log a b 1 Sa wakas, nananatili itong patunayan ang huli sa mga nakalistang katangian ng logarithms. Nililimitahan natin ang ating sarili sa pagpapatunay sa unang bahagi nito, ibig sabihin, pinapatunayan natin na kung ang isang 1 >1 , isang 2 >1 at isang 1 1 ay totoo log a 1 b>log a 2 b . Ang natitirang mga pahayag ng pag-aari na ito ng logarithms ay pinatunayan ng isang katulad na prinsipyo. Gamitin natin ang kabaligtaran na pamamaraan. Ipagpalagay na para sa isang 1 >1 , isang 2 >1 at isang 1 1 log a 1 b≤log a 2 b ay totoo. Sa pamamagitan ng mga katangian ng logarithms, ang mga hindi pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring muling isulat bilang 
at 
ayon sa pagkakabanggit, at mula sa kanila ay sumusunod na log b a 1 ≤log b a 2 at log b a 1 ≥log b a 2, ayon sa pagkakabanggit. Pagkatapos, sa pamamagitan ng mga katangian ng mga kapangyarihan na may parehong mga base, ang mga pagkakapantay-pantay b log b a 1 ≥b log b a 2 at b log b a 1 ≥b log b a 2 ay dapat masiyahan, iyon ay, a 1 ≥a 2 . Kaya, nakarating kami sa isang kontradiksyon sa kundisyon a 1
Bibliograpiya.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. at iba pa.Algebra and the Beginnings of Analysis: A Textbook for Grades 10-11 of General Educational Institutions.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematics (isang manwal para sa mga aplikante sa mga teknikal na paaralan).
Sa pag-unlad ng lipunan, ang pagiging kumplikado ng produksyon, nabuo din ang matematika. Paggalaw mula simple hanggang kumplikado. Mula sa karaniwang paraan ng accounting ng karagdagan at pagbabawas, sa kanilang paulit-ulit na pag-uulit, dumating sila sa konsepto ng multiplikasyon at paghahati. Ang pagbabawas ng multiply repeated operation ay naging konsepto ng exponentiation. Ang mga unang talahanayan ng pag-asa ng mga numero sa base at ang bilang ng exponentiation ay pinagsama-sama noong ika-8 siglo ng Indian mathematician na si Varasena. Mula sa kanila, maaari mong bilangin ang oras ng paglitaw ng logarithms.
Makasaysayang balangkas
Ang muling pagkabuhay ng Europa noong ika-16 na siglo ay nagpasigla din sa pag-unlad ng mekanika. T nangangailangan ng malaking halaga ng pagtutuos nauugnay sa multiplikasyon at paghahati ng mga multi-digit na numero. Napakahusay ng serbisyo ng mga sinaunang mesa. Ginawa nilang posible na palitan ang mga kumplikadong operasyon ng mas simple - karagdagan at pagbabawas. Ang isang malaking hakbang pasulong ay ang gawain ng mathematician na si Michael Stiefel, na inilathala noong 1544, kung saan napagtanto niya ang ideya ng maraming mga mathematician. Ginawa nitong posible na gumamit ng mga talahanayan hindi lamang para sa mga degree sa anyo ng mga pangunahing numero, kundi pati na rin para sa mga di-makatwirang makatuwiran.
Noong 1614, unang ipinakilala ng Scotsman na si John Napier ang mga ideyang ito, ang bagong terminong "logarithm ng isang numero." Ang mga bagong kumplikadong talahanayan ay pinagsama-sama para sa pagkalkula ng logarithms ng mga sine at cosine, pati na rin ang mga tangent. Ito ay lubhang nabawasan ang gawain ng mga astronomo.
Nagsimulang lumitaw ang mga bagong talahanayan, na matagumpay na ginamit ng mga siyentipiko sa loob ng tatlong siglo. Maraming oras ang lumipas bago nakuha ng bagong operasyon sa algebra ang natapos nitong anyo. Ang logarithm ay tinukoy at ang mga katangian nito ay pinag-aralan.
Noong ika-20 siglo lamang, sa pagdating ng calculator at computer, iniwan ng sangkatauhan ang mga sinaunang talahanayan na matagumpay na gumana sa buong ika-13 siglo.
Tinatawag natin ngayon ang logarithm ng b upang ibase ang isang numerong x, na siyang kapangyarihan ng a, upang makuha ang numerong b. Ito ay isinulat bilang isang formula: x = log a(b).
Halimbawa, ang log 3(9) ay magiging katumbas ng 2. Ito ay malinaw kung susundin mo ang kahulugan. Kung itataas natin ang 3 sa kapangyarihan ng 2, makakakuha tayo ng 9.
Kaya, ang binabalangkas na kahulugan ay naglalagay lamang ng isang paghihigpit, ang mga numerong a at b ay dapat na totoo.
Mga uri ng logarithms
Ang klasikal na kahulugan ay tinatawag na tunay na logarithm at talagang isang solusyon sa equation na a x = b. Ang opsyon a = 1 ay borderline at walang interes. Tandaan: 1 sa anumang kapangyarihan ay 1.
Tunay na halaga ng logarithm tinukoy lamang kung ang base at ang argumento ay mas malaki sa 0, at ang base ay hindi dapat katumbas ng 1.
Espesyal na lugar sa larangan ng matematika maglaro ng logarithms, na papangalanan depende sa halaga ng kanilang base:
Mga tuntunin at paghihigpit
Ang pangunahing katangian ng logarithms ay ang panuntunan: ang logarithm ng isang produkto ay katumbas ng logarithmic sum. log abp = log a(b) + log a(p).
Bilang isang variant ng pahayag na ito, ito ay magiging: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), ang quotient function ay katumbas ng pagkakaiba ng mga function.
Madaling makita mula sa nakaraang dalawang panuntunan na: log a(b p) = p * log a(b).
Kasama sa iba pang mga ari-arian ang:
Magkomento. Huwag gumawa ng isang karaniwang pagkakamali - ang logarithm ng kabuuan ay hindi katumbas ng kabuuan ng logarithms.
Para sa maraming mga siglo, ang operasyon ng paghahanap ng logarithm ay isang medyo matagal na gawain. Ginamit ng mga mathematician ang kilalang formula ng logarithmic theory of expansion sa isang polynomial:
ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), kung saan ang n ay isang natural na numero na higit sa 1, na tumutukoy sa katumpakan ng pagkalkula.
Ang mga logarithm sa iba pang mga base ay kinakalkula gamit ang theorem sa paglipat mula sa isang base patungo sa isa pa at ang ari-arian ng logarithm ng produkto.
Dahil ang pamamaraang ito ay napakahirap at kapag nilulutas ang mga praktikal na problema mahirap ipatupad, gumamit sila ng mga pre-compiled na talahanayan ng logarithms, na lubos na nagpabilis sa buong gawain.
Sa ilang mga kaso, ginamit ang mga espesyal na pinagsama-samang mga graph ng logarithms, na nagbigay ng mas kaunting katumpakan, ngunit makabuluhang pinabilis ang paghahanap para sa nais na halaga. Ang curve ng function na y = log a(x), na binuo sa ilang mga punto, ay nagbibigay-daan sa paggamit ng karaniwang ruler upang mahanap ang mga halaga ng function sa anumang iba pang punto. Sa mahabang panahon, ginamit ng mga inhinyero ang tinatawag na graph paper para sa mga layuning ito.
Noong ika-17 siglo, lumitaw ang unang auxiliary analog computing na kondisyon, na noong ika-19 na siglo ay nakakuha ng tapos na anyo. Ang pinakamatagumpay na device ay tinatawag na slide rule. Sa kabila ng pagiging simple ng aparato, ang hitsura nito ay makabuluhang pinabilis ang proseso ng lahat ng mga kalkulasyon ng engineering, at ito ay mahirap na mag-overestimate. Sa kasalukuyan, kakaunti ang mga taong pamilyar sa device na ito.
Ang pagdating ng mga calculator at computer ay naging walang kabuluhan na gumamit ng anumang iba pang mga aparato.
Mga equation at hindi pagkakapantay-pantay
Ang mga sumusunod na formula ay ginagamit upang malutas ang iba't ibang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay gamit ang logarithms:
- Paglipat mula sa isang base patungo sa isa pa: log a(b) = log c(b) / log c(a);
- Bilang resulta ng nakaraang bersyon: log a(b) = 1 / log b(a).
Upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay, kapaki-pakinabang na malaman:
- Ang halaga ng logarithm ay magiging positibo lamang kung ang base at ang argumento ay parehong mas malaki sa o mas mababa sa isa; kung hindi bababa sa isang kundisyon ang nilabag, ang halaga ng logarithm ay magiging negatibo.
- Kung ang logarithm function ay inilapat sa kanan at kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay, at ang base ng logarithm ay mas malaki kaysa sa isa, kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay na palatandaan ay napanatili; kung hindi, ito ay nagbabago.
Mga halimbawa ng gawain
Isaalang-alang ang ilang mga opsyon para sa paggamit ng logarithms at ang kanilang mga katangian. Mga halimbawa sa paglutas ng mga equation:
Isaalang-alang ang opsyon ng paglalagay ng logarithm sa antas:
- Gawain 3. Kalkulahin ang 25^log 5(3). Solusyon: sa mga kondisyon ng problema, ang notasyon ay katulad ng sumusunod (5^2)^log5(3) o 5^(2 * log 5(3)). Isulat natin ito sa ibang paraan: 5^log 5(3*2), o ang parisukat ng isang numero bilang function argument ay maaaring isulat bilang square ng function mismo (5^log 5(3))^2. Gamit ang mga katangian ng logarithms, ang expression na ito ay 3^2. Sagot: bilang isang resulta ng pagkalkula ay makakakuha tayo ng 9.
Praktikal na paggamit
Ang pagiging isang purong kasangkapang pangmatematika, tila malayo sa totoong buhay na ang logarithm ay biglang nagkaroon ng malaking kahalagahan sa paglalarawan ng mga bagay sa totoong mundo. Mahirap maghanap ng agham kung saan hindi ito ginagamit. Ito ay ganap na nalalapat hindi lamang sa natural, kundi pati na rin sa mga larangan ng kaalaman sa sangkatauhan.
Logarithmic dependencies
Narito ang ilang halimbawa ng mga numerical na dependencies:
Mechanics at physics
Sa kasaysayan, ang mga mekanika at pisika ay palaging binuo gamit ang mga pamamaraan ng pananaliksik sa matematika at sa parehong oras ay nagsisilbing isang insentibo para sa pagbuo ng matematika, kabilang ang mga logarithms. Ang teorya ng karamihan sa mga batas ng pisika ay nakasulat sa wika ng matematika. Nagbibigay lamang kami ng dalawang halimbawa ng paglalarawan ng mga pisikal na batas gamit ang logarithm.
Posible upang malutas ang problema ng pagkalkula ng isang kumplikadong dami tulad ng bilis ng isang rocket gamit ang formula ng Tsiolkovsky, na naglatag ng pundasyon para sa teorya ng paggalugad sa kalawakan:
V = I * ln(M1/M2), kung saan
- Ang V ay ang huling bilis ng sasakyang panghimpapawid.
- Ako ang tiyak na salpok ng makina.
- Ang M 1 ay ang inisyal na masa ng rocket.
- M 2 - pangwakas na masa.
Isa pang mahalagang halimbawa- ito ang paggamit sa formula ng isa pang mahusay na siyentipiko, si Max Planck, na nagsisilbing pagsusuri sa estado ng ekwilibriyo sa thermodynamics.
S = k * ln (Ω), kung saan
- Ang S ay isang thermodynamic na katangian.
- k ay ang Boltzmann constant.
- Ang Ω ay ang istatistikal na timbang ng iba't ibang estado.
Chemistry
Hindi gaanong halata ang paggamit ng mga formula sa kimika na naglalaman ng ratio ng logarithms. Narito ang dalawang halimbawa lamang:
- Ang Nernst equation, ang kondisyon ng redox potential ng medium na may kaugnayan sa aktibidad ng mga substance at ang equilibrium constant.
- Hindi rin kumpleto ang pagkalkula ng mga pare-pareho gaya ng autoprolysis index at ang acidity ng solusyon kung wala ang ating function.
Sikolohiya at biology
At ito ay ganap na hindi maintindihan kung ano ang kinalaman ng sikolohiya dito. Lumalabas na ang lakas ng pandamdam ay mahusay na inilarawan ng function na ito bilang ang kabaligtaran na ratio ng halaga ng stimulus intensity sa mas mababang halaga ng intensity.
Pagkatapos ng mga halimbawa sa itaas, hindi na nakakagulat na ang tema ng logarithms ay malawakang ginagamit din sa biology. Ang buong volume ay maaaring isulat tungkol sa mga biyolohikal na anyo na naaayon sa logarithmic spirals.
Ibang lugar
Tila imposible ang pagkakaroon ng mundo nang walang koneksyon sa tungkuling ito, at ito ang namamahala sa lahat ng mga batas. Lalo na kapag ang mga batas ng kalikasan ay konektado sa isang geometric na pag-unlad. Ito ay nagkakahalaga ng pagsangguni sa website ng MatProfi, at mayroong maraming tulad na mga halimbawa sa mga sumusunod na lugar ng aktibidad:
Ang listahan ay maaaring walang katapusan. Ang pagkakaroon ng mastered ang mga pangunahing batas ng function na ito, maaari mong plunge sa mundo ng walang katapusang karunungan.
Ano ang logarithm?
Pansin!
May mga karagdagang
materyal sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga malakas na "hindi masyadong..."
At para sa mga "sobra...")
Ano ang logarithm? Paano malutas ang mga logarithms? Ang mga tanong na ito ay nakalilito sa maraming nagtapos. Ayon sa kaugalian, ang paksa ng logarithms ay itinuturing na kumplikado, hindi maintindihan at nakakatakot. Lalo na - mga equation na may logarithms.
Ito ay ganap na hindi totoo. Ganap! ayaw maniwala? Mabuti. Ngayon, sa loob ng mga 10 - 20 minuto:
1. Intindihin ano ang logarithm.
2. Matutong lutasin ang isang buong klase ng mga exponential equation. Kahit na hindi mo pa naririnig ang tungkol sa kanila.
3. Matutong magkalkula ng mga simpleng logarithms.
Bukod dito, para dito kakailanganin mo lamang malaman ang talahanayan ng pagpaparami, at kung paano itataas ang isang numero sa isang kapangyarihan ...
Pakiramdam ko ay nagdududa ka ... Well, panatilihin ang oras! Go!
Una, lutasin ang sumusunod na equation sa iyong isip:
Kung gusto mo ang site na ito...
Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)
Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)
maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.
Kaugnay sa
ang gawain ng paghahanap ng alinman sa tatlong numero mula sa iba pang dalawa, na ibinigay, ay maaaring itakda. Ang ibinigay na a at pagkatapos ay ang N ay matatagpuan sa pamamagitan ng exponentiation. Kung ang N ay ibinigay at pagkatapos ay ang a ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagkuha ng ugat ng kapangyarihan x (o exponentiation). Ngayon isaalang-alang ang kaso kapag, ibinigay ang a at N, ito ay kinakailangan upang mahanap ang x.
Hayaang maging positibo ang bilang N: ang bilang a ay positibo at hindi katumbas ng isa: .
Kahulugan. Ang logarithm ng numero N sa base a ay ang exponent kung saan kailangan mong itaas ang a upang makuha ang numerong N; ang logarithm ay tinutukoy ng
Kaya, sa pagkakapantay-pantay (26.1), ang exponent ay matatagpuan bilang logarithm ng N sa base a. Mga entry
may parehong kahulugan. Ang pagkakapantay-pantay (26.1) ay kung minsan ay tinatawag na pangunahing pagkakakilanlan ng teorya ng logarithms; sa katunayan, ito ay nagpapahayag ng kahulugan ng konsepto ng logarithm. Sa pamamagitan ng kahulugang ito, ang base ng logarithm a ay palaging positibo at naiiba sa pagkakaisa; ang logarithmable number N ay positibo. Ang mga negatibong numero at zero ay walang logarithms. Mapapatunayan na ang anumang numero na may ibinigay na base ay may mahusay na tinukoy na logarithm. Samakatuwid ang pagkakapantay-pantay ay nagsasangkot ng . Tandaan na ang kondisyon ay mahalaga dito, kung hindi, ang konklusyon ay hindi makatwiran, dahil ang pagkakapantay-pantay ay totoo para sa anumang mga halaga ng x at y.
Halimbawa 1. Hanapin
Desisyon. Upang makuha ang numero, kailangan mong itaas ang base 2 sa kapangyarihan Samakatuwid.
Maaari kang mag-record kapag nilulutas ang mga naturang halimbawa sa sumusunod na form:
Halimbawa 2. Hanapin .
Desisyon. Meron kami
Sa mga halimbawa 1 at 2, madali naming natagpuan ang nais na logarithm sa pamamagitan ng pagre-represent sa logarithmable na numero bilang isang antas ng base na may rational exponent. Sa pangkalahatang kaso, halimbawa, para sa atbp., hindi ito magagawa, dahil ang logarithm ay may hindi makatwirang halaga. Bigyang-pansin natin ang isang tanong na may kaugnayan sa pahayag na ito. Sa § 12 ibinigay namin ang konsepto ng posibilidad ng pagtukoy ng anumang tunay na kapangyarihan ng isang naibigay na positibong numero. Ito ay kinakailangan para sa pagpapakilala ng mga logarithms, na, sa pangkalahatan, ay maaaring hindi makatwiran na mga numero.
Isaalang-alang ang ilang mga katangian ng logarithms.
Property 1. Kung ang numero at base ay pantay, kung gayon ang logarithm ay katumbas ng isa, at, sa kabaligtaran, kung ang logarithm ay katumbas ng isa, kung gayon ang numero at base ay pantay.
Patunay. Hayaan Sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm, mayroon tayo at saan
Sa kabaligtaran, hayaan ang Pagkatapos sa pamamagitan ng kahulugan
Property 2. Ang logarithm ng pagkakaisa sa anumang base ay katumbas ng zero.
Patunay. Sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm (ang zero na kapangyarihan ng anumang positibong base ay katumbas ng isa, tingnan ang (10.1)). Mula rito
Q.E.D.
Ang kabaligtaran na pahayag ay totoo rin: kung , kung gayon N = 1. Sa katunayan, mayroon tayong .
Bago ipahayag ang sumusunod na katangian ng logarithms, sumasang-ayon kaming sabihin na ang dalawang numero a at b ay nasa magkabilang panig ng ikatlong numero c kung pareho silang mas malaki sa c o mas mababa sa c. Kung ang isa sa mga numerong ito ay mas malaki kaysa sa c at ang isa ay mas mababa sa c, pagkatapos ay sasabihin namin na ang mga ito ay nakahiga sa magkabilang panig ng c.
Ari-arian 3. Kung ang numero at base ay nasa parehong panig ng pagkakaisa, ang logarithm ay positibo; kung ang numero at base ay nasa magkabilang panig ng pagkakaisa, kung gayon ang logarithm ay negatibo.
Ang patunay ng property 3 ay batay sa katotohanan na ang antas ng a ay mas malaki kaysa sa isa kung ang base ay mas malaki kaysa sa isa at ang exponent ay positibo, o ang base ay mas mababa sa isa at ang exponent ay negatibo. Ang antas ay mas mababa sa isa kung ang base ay mas malaki sa isa at ang exponent ay negatibo, o ang base ay mas mababa sa isa at ang exponent ay positibo.
Apat na kaso ang kailangang isaalang-alang:
Ikinukulong namin ang aming sarili sa pagsusuri ng una sa kanila, isasaalang-alang ng mambabasa ang natitira sa kanyang sarili.
Hayaang ang exponent sa pagkakapantay-pantay ay hindi negatibo o katumbas ng zero, samakatuwid, ito ay positibo, ibig sabihin, na kinakailangang patunayan.
Halimbawa 3. Alamin kung alin sa mga sumusunod na logarithms ang positibo at alin ang negatibo:
Solusyon, a) dahil ang numero 15 at ang base 12 ay matatagpuan sa parehong bahagi ng yunit;
b) , dahil ang 1000 at 2 ay matatagpuan sa parehong bahagi ng yunit; sa parehong oras, hindi mahalaga na ang base ay mas malaki kaysa sa logarithmic number;
c), dahil ang 3.1 at 0.8 ay nasa magkabilang panig ng pagkakaisa;
G); bakit?
e); bakit?
Ang mga sumusunod na katangian 4-6 ay madalas na tinatawag na mga patakaran ng logarithm: pinapayagan nila, alam ang logarithms ng ilang mga numero, upang mahanap ang logarithms ng kanilang produkto, quotient, degree ng bawat isa sa kanila.
Property 4 (ang panuntunan para sa logarithm ng produkto). Ang logarithm ng produkto ng ilang positibong numero sa isang ibinigay na base ay katumbas ng kabuuan ng logarithms ng mga numerong ito sa parehong base.
Patunay. Hayaang maibigay ang mga positibong numero.
Para sa logarithm ng kanilang produkto, isinusulat namin ang pagkakapantay-pantay (26.1) na tumutukoy sa logarithm:
Mula dito makikita natin
Ang paghahambing ng mga exponents ng una at huling mga expression, makuha namin ang kinakailangang pagkakapantay-pantay:
Tandaan na ang kondisyon ay mahalaga; ang logarithm ng produkto ng dalawang negatibong numero ay may katuturan, ngunit sa kasong ito nakukuha natin
Sa pangkalahatan, kung ang produkto ng ilang mga kadahilanan ay positibo, kung gayon ang logarithm nito ay katumbas ng kabuuan ng mga logarithms ng mga module ng mga salik na ito.
Property 5 (quotient logarithm rule). Ang logarithm ng isang quotient ng mga positibong numero ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng logarithms ng dibidendo at ng divisor, na kinuha sa parehong base. Patunay. Patuloy na paghahanap
Q.E.D.
Property 6 (panuntunan ng logarithm ng degree). Ang logarithm ng kapangyarihan ng anumang positibong numero ay katumbas ng logarithm ng numerong iyon na beses ang exponent.
Patunay. Isinulat namin muli ang pangunahing pagkakakilanlan (26.1) para sa numero :
Q.E.D.
Bunga. Ang logarithm ng root ng isang positibong numero ay katumbas ng logarithm ng root number na hinati sa exponent ng root:
Mapapatunayan natin ang bisa ng corollary na ito sa pamamagitan ng paglalahad kung paano at paggamit ng property 6.
Halimbawa 4. Logarithm sa base a:
a) (pinapalagay na ang lahat ng mga halaga b, c, d, e ay positibo);
b) (pinapalagay na ).
Solusyon, a) Maginhawang ipasa ang expression na ito sa mga fractional na kapangyarihan:
Batay sa mga pagkakapantay-pantay (26.5)-(26.7) maaari na nating isulat ang:
Napansin namin na ang mga mas simpleng operasyon ay ginagawa sa mga logarithms ng mga numero kaysa sa mga numero mismo: kapag nagpaparami ng mga numero, ang kanilang mga logarithm ay idinagdag, kapag hinati, sila ay ibabawas, atbp.
Kaya naman ginamit ang logarithms sa computational practice (tingnan ang Sec. 29).
Ang aksyon na kabaligtaran sa logarithm ay tinatawag na potentiation, ibig sabihin: ang potentiation ay ang aksyon kung saan ang numerong ito mismo ay matatagpuan sa pamamagitan ng ibinigay na logarithm ng isang numero. Sa esensya, ang potentiation ay hindi anumang espesyal na aksyon: ito ay bumababa sa pagtaas ng base sa isang kapangyarihan (katumbas ng logarithm ng numero). Ang terminong "potentiation" ay maaaring ituring na kasingkahulugan ng terminong "exponentiation".
Kapag potentiating, kinakailangang gamitin ang mga panuntunan na kabaligtaran sa mga panuntunan ng logarithm: palitan ang kabuuan ng logarithm ng logarithm ng produkto, ang pagkakaiba ng logarithm sa logarithm ng quotient, atbp. Sa partikular, kung mayroong anumang kadahilanan sa harap ng pag-sign ng logarithm, pagkatapos ay sa panahon ng potentiation dapat itong ilipat sa indicator degrees sa ilalim ng sign ng logarithm.
Halimbawa 5. Hanapin ang N kung alam na
Desisyon. Kaugnay ng potentiation rule na kasasabi pa lang, ang mga salik na 2/3 at 1/3, na nasa harap ng mga palatandaan ng logarithms sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay na ito, ay ililipat sa mga exponent sa ilalim ng mga palatandaan ng logarithms na ito; nakukuha namin
Ngayon ay pinapalitan namin ang pagkakaiba ng logarithms sa logarithm ng quotient:
para makuha ang huling fraction sa chain of equalities na ito, pinalaya namin ang nakaraang fraction mula sa irrationality sa denominator (seksyon 25).
Pag-aari 7. Kung ang base ay mas malaki kaysa sa isa, kung gayon ang mas malaking bilang ay may mas malaking logarithm (at ang mas maliit ay may mas maliit), kung ang base ay mas mababa sa isa, kung gayon ang mas malaking numero ay may mas maliit na logarithm (at ang mas maliit ang isa ay may mas malaki).
Ang ari-arian na ito ay binabalangkas din bilang panuntunan para sa logarithm ng mga hindi pagkakapantay-pantay, na parehong positibo ang mga bahagi:
Kapag dinadala ang logarithm ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa isang base na mas malaki kaysa sa isa, ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay pinapanatili, at kapag dinadala ang logarithm sa isang base na mas mababa sa isa, ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay nababaligtad (tingnan din ang aytem 80).
Ang patunay ay batay sa mga katangian 5 at 3. Isaalang-alang ang kaso kapag Kung , pagkatapos at, sa pagkuha ng logarithm, nakuha namin
(a at N/M ay nasa parehong panig ng pagkakaisa). Mula rito
Kaso a ang mga sumusunod, ang mambabasa ang mag-iisip nito para sa kanyang sarili.
