Ako ay trigonometriko na anyo. Trigonometric at exponential form ng isang complex number

3.1. Polar coordinate

Madalas na ginagamit sa eroplano polar coordinate system . Ito ay tinukoy kung ang isang punto O ay ibinigay, tinatawag poste, at isang sinag na nagmumula sa poste (para sa amin, ito ang axis Ox) ay ang polar axis. Ang posisyon ng point M ay naayos ng dalawang numero: radius (o radius vector) at ang anggulo φ sa pagitan ng polar axis at ng vector . Ang anggulo φ ay tinatawag polar anggulo; Ito ay sinusukat sa radians at binibilang ng counterclockwise mula sa polar axis.

Ang posisyon ng isang punto sa polar coordinate system ay ibinibigay ng isang nakaayos na pares ng mga numero (r; φ). Sa poste r = 0 at ang φ ay hindi tinukoy. Para sa lahat ng iba pang mga punto r > 0 at ang φ ay tinukoy hanggang sa isang multiple ng 2π. Sa kasong ito, ang mga pares ng mga numero (r; φ) at (r 1 ; φ 1) ay itinalaga sa parehong punto kung .

Para sa isang rectangular coordinate system xOy ang mga coordinate ng Cartesian ng isang punto ay madaling ipahayag sa mga tuntunin ng mga polar coordinate nito tulad ng sumusunod:

3.2. Geometric na interpretasyon ng isang kumplikadong numero

Isaalang-alang sa eroplano ang Cartesian rectangular coordinate system xOy.

Ang anumang kumplikadong numero z=(a, b) ay itinalaga ng isang punto ng eroplano na may mga coordinate ( x, y), saan coordinate x = a, ibig sabihin. ang tunay na bahagi ng complex number, at ang coordinate y = bi ay ang haka-haka na bahagi.

Ang isang eroplano na ang mga punto ay kumplikadong mga numero ay isang kumplikadong eroplano.

Sa figure, ang kumplikadong numero z = (a, b) match point M(x, y).

Mag-ehersisyo.Gumuhit ng mga kumplikadong numero sa coordinate plane:

3.3. Trigonometric na anyo ng isang kumplikadong numero

Ang isang kumplikadong numero sa eroplano ay may mga coordinate ng isang punto M(x; y). kung saan:

Pagsusulat ng complex number - trigonometrikong anyo ng isang kumplikadong numero.

Tinatawag ang numerong r modyul kumplikadong numero z at ipinapahiwatig. Ang module ay isang hindi negatibong tunay na numero. Para sa .

Ang modulus ay zero kung at kung lamang z = 0, ibig sabihin. a=b=0.

Tinatawag ang numerong φ argumento z at ipinapahiwatig. Ang argumentong z ay hindi malinaw na tinukoy, tulad ng polar angle sa polar coordinate system, ibig sabihin, hanggang sa isang multiple ng 2π.

Pagkatapos ay tinatanggap namin ang: , kung saan ang φ ay ang pinakamaliit na halaga ng argumento. Obvious naman yun

Sa isang mas malalim na pag-aaral ng paksa, isang pantulong na argumento φ* ay ipinakilala, tulad na

Halimbawa 1. Hanapin ang trigonometriko na anyo ng isang kumplikadong numero.

Desisyon. 1) isinasaalang-alang namin ang modyul: ;

2) naghahanap ng φ: ;

3) trigonometrikong anyo:

Halimbawa 2 Hanapin ang algebraic form ng complex number .

Narito ito ay sapat na upang palitan ang mga halaga ng trigonometriko function at baguhin ang expression:

Halimbawa 3 Hanapin ang modulus at argumento ng isang kumplikadong numero;

1) ;

2); φ - sa 4 na quarters:

3.4. Mga operasyon na may mga kumplikadong numero sa trigonometriko na anyo

· Pagdagdag at pagbawas ito ay mas maginhawa upang gumanap sa mga kumplikadong numero sa algebraic form:

· Pagpaparami– sa tulong ng mga simpleng pagbabagong trigonometriko, maipapakita iyon kapag nagpaparami, ang mga module ng mga numero ay pinarami, at ang mga argumento ay idinagdag: ;

KOMPLEXONG MGA BILANG XI

§ 256. Trigonometric na anyo ng mga kumplikadong numero

Hayaan ang kumplikadong numero isang + bi tumutugma sa vector OA> may mga coordinate ( a, b ) (tingnan ang Fig. 332).

Tukuyin ang haba ng vector na ito sa pamamagitan ng r , at ang anggulo na ginagawa nito sa axis X , sa pamamagitan ng φ . Sa pamamagitan ng kahulugan ng sine at cosine:

a / r = cos φ , b / r = kasalanan φ .

Kaya a = r cos φ , b = r kasalanan φ . Ngunit sa kasong ito ang kumplikadong numero isang + bi maaaring isulat bilang:

isang + bi = r cos φ + ir kasalanan φ = r (cos φ + i kasalanan φ ).

Tulad ng alam mo, ang parisukat ng haba ng anumang vector ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga coordinate nito. Kaya r 2 = a 2 + b 2 , saan r = √a 2 + b 2

Kaya, anumang kumplikadong numero isang + bi maaaring katawanin bilang :

isang + bi = r (cos φ + i kasalanan φ ), (1)

kung saan ang r = √a 2 + b 2 , at ang anggulo φ tinutukoy mula sa kondisyon:

Ang ganitong paraan ng pagsulat ng mga kumplikadong numero ay tinatawag trigonometriko.

Numero r sa formula (1) ay tinatawag modyul, at ang anggulo φ - argumento, kumplikadong numero isang + bi .

Kung isang kumplikadong numero isang + bi ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang modulus nito ay positibo; kung isang + bi = 0, pagkatapos a = b = 0 at pagkatapos r = 0.

Ang modulus ng anumang kumplikadong numero ay natatanging tinutukoy.

Kung isang kumplikadong numero isang + bi ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang argumento nito ay tinutukoy ng mga formula (2) tiyak hanggang sa isang angle multiple ng 2 π . Kung isang + bi = 0, pagkatapos a = b = 0. Sa kasong ito r = 0. Mula sa pormula (1) madaling maunawaan iyon bilang isang argumento φ sa kasong ito, maaari kang pumili ng anumang anggulo: pagkatapos ng lahat, para sa alinman φ

0 (cos φ + i kasalanan φ ) = 0.

Samakatuwid, ang zero argument ay hindi tinukoy.

Complex number modulus r minsan ay nagsasaad ng | z |, at ang argumento arg z . Tingnan natin ang ilang mga halimbawa ng representasyon ng mga kumplikadong numero sa anyong trigonometriko.

Halimbawa. isa. 1 + i .

Hanapin natin ang modyul r at argumento φ itong numero.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Samakatuwid kasalanan φ = 1 / √ 2 , cos φ = 1 / √ 2 , kung saan φ = π / 4 + 2nπ .

kaya,

1 + i = √ 2 ,

saan P - anumang integer. Karaniwan, mula sa isang walang katapusang hanay ng mga halaga ng argumento ng isang kumplikadong numero, ang isa ay pinili na nasa pagitan ng 0 at 2 π . Sa kasong ito, ang halagang ito ay π / 4 . Kaya

1 + i = √ 2 (cos π / 4 + i kasalanan π / 4)

Halimbawa 2 Isulat sa anyong trigonometriko ang isang kumplikadong numero √ 3 - i . Meron kami:

r = √ 3+1 = 2 cos φ = √ 3 / 2 , kasalanan φ = - 1 / 2

Samakatuwid, hanggang sa isang anggulo na mahahati ng 2 π , φ = 11 / 6 π ; kaya naman,

√ 3 - i = 2(cos 11 / 6 π + i kasalanan 11/6 π ).

Halimbawa 3 Isulat sa anyong trigonometriko ang isang kumplikadong numero ako.

kumplikadong numero i tumutugma sa vector OA> nagtatapos sa punto A ng axis sa na may ordinate 1 (Larawan 333). Ang haba ng naturang vector ay katumbas ng 1, at ang anggulo na nabuo sa abscissa axis ay katumbas ng π / 2. Kaya

i = cos π / 2 + i kasalanan π / 2 .

Halimbawa 4 Isulat ang complex number 3 sa trigonometric form.

Ang kumplikadong numero 3 ay tumutugma sa vector OA > X abscissa 3 (Larawan 334).

Ang haba ng naturang vector ay 3, at ang anggulo na ginagawa nito sa x-axis ay 0. Samakatuwid

3 = 3 (cos 0 + i kasalanan 0),

Halimbawa 5 Isulat sa anyong trigonometriko ang kumplikadong numero -5.

Ang kumplikadong numero -5 ay tumutugma sa vector OA> nagtatapos sa axis point X na may abscissa -5 (Larawan 335). Ang haba ng naturang vector ay 5, at ang anggulo na ginagawa nito sa x-axis ay π . Kaya

5 = 5(cos π + i kasalanan π ).

Mga ehersisyo

2047. Isulat ang mga kumplikadong numerong ito sa anyong trigonometriko, na tinutukoy ang kanilang mga module at argumento:

1) 2 + 2√3 i , 4) 12i - 5; 7).3i ;

2) √3 + i ; 5) 25; 8) -2i ;

3) 6 - 6i ; 6) - 4; 9) 3i - 4.

2048. Ipahiwatig sa eroplano ang mga hanay ng mga puntos na kumakatawan sa mga kumplikadong numero na ang mga module r at argumento φ ay nakakatugon sa mga kundisyon:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Ang mga numero ba ay maaaring maging module ng isang kumplikadong numero nang sabay-sabay? r at - r ?

2050. Maaari bang ang argumento ng isang kumplikadong numero ay mga anggulo sa parehong oras φ at - φ ?

Ipakita ang mga kumplikadong numerong ito sa trigonometrikong anyo sa pamamagitan ng pagtukoy sa kanilang mga module at argumento:

2051*. 1 + cos α + i kasalanan α . 2054*. 2(cos 20° - i kasalanan 20°).

2052*. kasalanan φ + i cos φ . 2055*. 3(- cos 15° - i kasalanan 15°).

2.3. Trigonometric na anyo ng mga kumplikadong numero

Hayaang ibigay ang vector sa kumplikadong eroplano sa pamamagitan ng numero.

Tukuyin sa pamamagitan ng φ ang anggulo sa pagitan ng positibong semi-axis na Ox at ng vector (ang anggulo φ ay itinuturing na positibo kung ito ay binibilang na pakaliwa, at negatibo kung hindi).

Tukuyin ang haba ng vector sa pamamagitan ng r. Tapos . Tinutukoy din namin

Pagsusulat ng non-zero complex number z bilang

ay tinatawag na trigonometric form ng complex number z. Ang numerong r ay tinatawag na modulus ng complex number z, at ang numerong φ ay tinatawag na argumento ng complex number na ito at tinutukoy ng Arg z.

Ang trigonometriko na anyo ng pagsulat ng isang kumplikadong numero - (pormula ni Euler) - isang exponential na paraan ng pagsulat ng isang kumplikadong numero:

Ang kumplikadong numerong z ay may walang katapusang maraming mga argumento: kung ang φ0 ay anumang argumento ng numerong z, kung gayon ang lahat ng iba ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula

Para sa isang kumplikadong numero, ang argumento at trigonometric form ay hindi tinukoy.

Kaya, ang argumento ng isang non-zero complex number ay anumang solusyon sa sistema ng mga equation:

(3)

Ang halaga φ ng argumento ng isang kumplikadong numero z na nakakatugon sa mga hindi pagkakapantay-pantay ay tinatawag na pangunahing halaga at tinutukoy ng arg z.

Mga Argumento Arg z at arg z ay nauugnay sa pagkakapantay-pantay

, (4)

Ang formula (5) ay resulta ng system (3), kaya lahat ng argumento ng complex number ay nakakatugon sa pagkakapantay-pantay (5), ngunit hindi lahat ng solusyon φ ng equation (5) ay mga argumento ng numerong z.

Ang pangunahing halaga ng argumento ng isang non-zero complex number ay matatagpuan sa pamamagitan ng mga formula:

Ang mga formula para sa multiplikasyon at paghahati ng mga kumplikadong numero sa trigonometriko na anyo ay ang mga sumusunod:

. (7)

Kapag tinataas ang isang kumplikadong numero sa isang natural na kapangyarihan, ginagamit ang formula ni de Moivre:

Kapag kumukuha ng ugat mula sa isang kumplikadong numero, ginagamit ang formula:

, (9)

kung saan k=0, 1, 2, …, n-1.

Suliranin 54. Kalkulahin ang , kung saan .

Katawanin natin ang solusyon ng expression na ito sa exponential form ng pagsulat ng complex number: .

Kung , kung gayon .

tapos , . Samakatuwid, kung gayon at , saan .

Sagot: , sa .

Suliranin 55. Sumulat ng mga kumplikadong numero sa anyong trigonometriko:

a) ; b); sa) ; G); e); e) ; g).

Dahil ang trigonometriko na anyo ng isang kumplikadong numero ay , kung gayon:

a) Sa isang kumplikadong numero: .

Kaya

b) , saan ,

G) , saan ,

e) .

g) , a , pagkatapos .

Kaya

Sagot: ; 4; ; ; ; ; .

Problema 56. Hanapin ang trigonometriko na anyo ng isang kumplikadong numero

Hayaan , .

tapos , , .

Dahil at , , pagkatapos , at

Samakatuwid, samakatuwid

Sagot: , saan .

Suliranin 57. Gamit ang trigonometric form ng complex number, gawin ang mga sumusunod na aksyon: .

Isipin ang mga numero at sa trigonometrikong anyo.

1) , saan pagkatapos

Paghahanap ng halaga ng pangunahing argumento:

Palitan ang mga halaga at sa expression, nakukuha namin

2) saan naman

Pagkatapos

3) Hanapin ang quotient

Sa pag-aakalang k=0, 1, 2, nakakakuha tayo ng tatlong magkakaibang halaga ng nais na ugat:

Kung , kung gayon

kung , kung gayon

kung , kung gayon .

Sagot: :

: .

Suliranin 58. Hayaan ang , , , ay magkaibang mga kumplikadong numero at . Patunayan mo yan

isang numero ay isang tunay na positibong numero;

b) nagaganap ang pagkakapantay-pantay:

a) Katawanin natin ang mga kumplikadong numerong ito sa anyong trigonometriko:

Bilang .

Magpanggap na lang tayo. Pagkatapos

Ang huling expression ay isang positibong numero, dahil may mga numero mula sa pagitan sa ilalim ng mga palatandaan ng sine.

kasi ang dami totoo at positibo. Sa katunayan, kung ang a at b ay kumplikadong mga numero at totoo at mas malaki sa zero, kung gayon .

Bukod sa,

kaya napatunayan ang kinakailangang pagkakapantay-pantay.

Suliranin 59. Isulat ang numero sa anyong algebraic .

Kinakatawan namin ang numero sa trigonometric form, at pagkatapos ay hanapin ang algebraic form nito. Meron kami . Para sa nakuha namin ang sistema:

Mula dito sumusunod ang pagkakapantay-pantay: .

Paglalapat ng formula ni De Moivre:

nakukuha namin

Ang trigonometriko na anyo ng ibinigay na numero ay matatagpuan.

Isinulat namin ngayon ang numerong ito sa algebraic form:

Sagot: .

Problema 60. Hanapin ang kabuuan , ,

Isaalang-alang ang kabuuan

Ang paglalapat ng De Moivre formula, nakita namin

Ang kabuuan na ito ay ang kabuuan ng n termino ng isang geometric na pag-unlad na may denominator at unang miyembro .

Ang paglalapat ng formula para sa kabuuan ng mga tuntunin ng naturang pag-unlad, mayroon tayo

Ang paghihiwalay ng haka-haka na bahagi sa huling expression, nakita namin

Sa paghihiwalay ng tunay na bahagi, nakukuha rin natin ang sumusunod na formula: , , .

Problema 61. Hanapin ang kabuuan:

a) ; b) .

Ayon sa formula ni Newton para sa pagtaas sa isang kapangyarihan, mayroon tayo

Ayon sa pormula ni De Moivre, makikita natin:

Ang equating ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng nakuha na mga expression para sa , mayroon kaming:

at .

Ang mga formula na ito ay maaaring isulat sa isang compact form tulad ng sumusunod:

, nasaan ang integer na bahagi ng numero a.

Problema 62. Hanapin ang lahat kung saan .

Sa abot ng , pagkatapos, paglalapat ng formula

, Upang kunin ang mga ugat, nakukuha namin ,

Kaya naman, , ,

, .

Ang mga puntos na tumutugma sa mga numero ay matatagpuan sa mga vertices ng isang parisukat na nakasulat sa isang bilog na radius 2 na nakasentro sa punto (0;0) (Larawan 30).

Sagot: , ,

, .

Suliranin 63. Lutasin ang equation , .

Sa pamamagitan ng kondisyon; samakatuwid, ang equation na ito ay walang ugat, at, samakatuwid, ito ay katumbas ng equation.

Upang ang numerong z ay maging ugat ng equation na ito, ang numero ay dapat na ika-n ugat ng numero 1.

Kaya't napagpasyahan namin na ang orihinal na equation ay may mga ugat na tinutukoy mula sa mga pagkakapantay-pantay

kaya,

i.e. ,

Sagot: .

Suliranin 64. Lutasin ang equation sa hanay ng mga kumplikadong numero.

Dahil ang numero ay hindi ang ugat ng equation na ito, kung gayon para sa equation na ito ay katumbas ng equation

Iyon ay, ang equation.

Ang lahat ng mga ugat ng equation na ito ay nakuha mula sa formula (tingnan ang problema 62):

; ; ; ; .

Suliranin 65. Gumuhit sa kumplikadong eroplano ng isang hanay ng mga puntos na nagbibigay-kasiyahan sa mga hindi pagkakapantay-pantay: . (Ikalawang paraan upang malutas ang problema 45)

Hayaan .

Ang mga kumplikadong numero na may parehong mga module ay tumutugma sa mga punto ng eroplano na nakahiga sa isang bilog na nakasentro sa pinagmulan, kaya ang hindi pagkakapantay-pantay masiyahan ang lahat ng mga punto ng isang bukas na singsing na nakatali ng mga bilog na may karaniwang sentro sa pinanggalingan at radii at (Larawan 31). Hayaang tumutugma ang ilang punto ng kumplikadong eroplano sa bilang na w0. Numero , ay may isang modulus na beses na mas maliit kaysa sa modulus w0, isang argumento na mas malaki kaysa sa argument na w0. Mula sa isang geometric na punto ng view, ang punto na tumutugma sa w1 ay maaaring makuha gamit ang isang homothety na nakasentro sa pinanggalingan at koepisyent , pati na rin sa isang counterclockwise na pag-ikot na nauugnay sa pinanggalingan. Bilang resulta ng paglalapat ng dalawang pagbabagong ito sa mga punto ng singsing (Larawan 31), ang huli ay magiging isang singsing na napapalibutan ng mga bilog na may parehong sentro at radii 1 at 2 (Larawan 32).

pagbabagong-anyo ay ipinatupad gamit ang parallel translation sa vector . Ang paglilipat ng singsing na nakasentro sa isang punto sa ipinahiwatig na vector, nakakakuha kami ng singsing na may parehong laki na nakasentro sa isang punto (Larawan 22).

Ang iminungkahing pamamaraan, na gumagamit ng ideya ng mga geometric na pagbabagong-anyo ng eroplano, ay malamang na hindi gaanong maginhawa sa paglalarawan, ngunit ito ay napaka-eleganteng at mahusay.

Suliranin 66. Hanapin kung .

Hayaan , pagkatapos at . Ang orihinal na pagkakapantay-pantay ay kukuha ng anyo . Mula sa kondisyon ng pagkakapantay-pantay ng dalawang kumplikadong numero, nakukuha natin ang , , kung saan , . Kaya, .

Isulat natin ang numerong z sa trigonometric form:

, saan , . Ayon sa pormula ni De Moivre, makikita natin ang .

Sagot: - 64.

Problema 67. Para sa isang kumplikadong numero, hanapin ang lahat ng mga kumplikadong numero tulad ng , at .

Katawanin natin ang numero sa trigonometric form:

. Kaya naman . Para sa isang numerong nakukuha natin , maaaring katumbas ng alinman .

Sa unang kaso , sa pangalawa

Sagot: , .

Suliranin 68. Hanapin ang kabuuan ng mga bilang na . Tukuyin ang isa sa mga numerong ito.

Tandaan na mula sa mismong pagbabalangkas ng problema ay mauunawaan na ang kabuuan ng mga ugat ng equation ay matatagpuan nang hindi kinakalkula ang mga ugat mismo. Sa katunayan, ang kabuuan ng mga ugat ng equation ay ang koepisyent ng , kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda (ang pangkalahatang Vieta theorem), i.e.

Ang mga mag-aaral, dokumentasyon ng paaralan, ay gumuhit ng mga konklusyon tungkol sa antas ng asimilasyon ng konseptong ito. Ibuod ang pag-aaral ng mga tampok ng pag-iisip ng matematika at ang proseso ng pagbuo ng konsepto ng isang kumplikadong numero. Paglalarawan ng mga pamamaraan. Diagnostic: I stage. Isinagawa ang panayam sa isang guro sa matematika na nagtuturo ng algebra at geometry sa ika-10 baitang. Naganap ang pag-uusap pagkatapos ng ilang oras...

Resonance "(!)), na kinabibilangan din ng pagtatasa ng sariling pag-uugali. 4. Kritikal na pagtatasa ng pag-unawa ng isang tao sa sitwasyon (mga pagdududa). 5. Panghuli, ang paggamit ng mga rekomendasyon ng legal na sikolohiya (ang account ng isang abogado ng ang sikolohikal na aspeto ng mga propesyonal na aksyon na ginawa ay propesyonal na sikolohikal na paghahanda). Isaalang-alang natin ngayon ang sikolohikal na pagsusuri ng mga legal na katotohanan. ...

Matematika ng trigonometric substitution at pagpapatunay ng pagiging epektibo ng binuo na pamamaraan ng pagtuturo. Mga yugto ng trabaho: 1. Pagbuo ng isang opsyonal na kurso sa paksa: "Aplikasyon ng trigonometriko na pagpapalit para sa paglutas ng mga problema sa algebraic" sa mga mag-aaral sa mga klase na may malalim na pag-aaral ng matematika. 2. Pagsasagawa ng binuong opsyonal na kurso. 3. Nagsasagawa ng diagnostic control...

Ang mga gawaing nagbibigay-malay ay inilaan lamang upang madagdagan ang mga kasalukuyang pantulong sa pagtuturo at dapat ay nasa isang naaangkop na kumbinasyon sa lahat ng tradisyonal na paraan at elemento ng proseso ng edukasyon. Ang pagkakaiba sa pagitan ng mga problemang pang-edukasyon sa pagtuturo ng humanities mula sa eksaktong, mga problema sa matematika ay walang mga formula, matibay na algorithm, atbp. sa mga problema sa kasaysayan, na nagpapalubha sa kanilang solusyon. ...

Mga aksyon sa mga kumplikadong numero na nakasulat sa algebraic form

Ang algebraic form ng complex number z =(a,b). ay tinatawag na algebraic expression ng form

z = a + bi.

Mga operasyon ng aritmetika sa mga kumplikadong numero z 1 = a 1 +b 1 i at z 2 = a 2 +b 2 i, na nakasulat sa algebraic form, ay isinasagawa bilang mga sumusunod.

1. Kabuuan (pagkakaiba) ng mga kumplikadong numero

z 1 ±z 2 = (a 1 ± a 2) + (b 1 ±b 2)∙i,

mga. Ang karagdagan (pagbabawas) ay isinasagawa ayon sa panuntunan ng pagdaragdag ng mga polynomial na may pagbawas ng mga katulad na miyembro.

2. Produkto ng mga kumplikadong numero

z 1 ∙z 2 = (a 1 ∙a 2 -b 1 ∙b 2) + (a 1 ∙b 2 + a 2 ∙b 1)∙i,

mga. ang pagpaparami ay isinasagawa ayon sa karaniwang tuntunin para sa pagpaparami ng mga polynomial, na isinasaalang-alang ang katotohanan na i 2 = 1.

3. Ang paghahati ng dalawang kumplikadong numero ay isinasagawa ayon sa sumusunod na panuntunan:

, (z 2 ≠ 0),

mga. Ang paghahati ay isinasagawa sa pamamagitan ng pagpaparami ng dibidendo at ang divisor sa conjugate ng divisor.

Ang exponentiation ng mga kumplikadong numero ay tinukoy bilang mga sumusunod:

Madaling ipakita iyon

Mga halimbawa.

1. Hanapin ang kabuuan ng mga kumplikadong numero z 1 = 2 – i at z 2 = – 4 + 3i.

z 1 +z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3i) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) i = –2+2i.

2. Hanapin ang produkto ng mga kumplikadong numero z 1 = 2 – 3i at z 2 = –4 + 5i.

= (2 – 3i) ∙ (–4 + 5i) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3i)+ 2∙5i– 3i∙ 5ako = 7+22i.

3. Maghanap ng pribado z mula sa dibisyon z 1 \u003d 3 - 2 z 2 = 3 – i.

z= .

4. Lutasin ang equation:, x at y Î R.

(2x+y) + (x+y)ako = 2 + 3i.

Dahil sa pagkakapantay-pantay ng mga kumplikadong numero, mayroon tayong:

saan x=–1 , y= 4.

5. Kalkulahin: i 2 ,i 3 ,i 4 ,i 5 ,i 6 ,i -1 , i -2 .

6. Kalkulahin kung .

7. Kalkulahin ang reciprocal ng isang numero z=3-i.

Mga kumplikadong numero sa anyong trigonometriko

kumplikadong eroplano ay tinatawag na eroplanong may mga coordinate ng Cartesian ( x, y), kung ang bawat punto ay may mga coordinate ( a, b) ay itinalaga ng isang kumplikadong numero z = a + bi. Sa kasong ito, ang abscissa axis ay tinatawag totoong axis, at ang y-axis ay haka-haka. Pagkatapos ang bawat kumplikadong numero a+bi geometrical na kinakatawan sa isang eroplano bilang isang punto A (a, b) o vector.

Samakatuwid, ang posisyon ng punto PERO(at samakatuwid ang kumplikadong numero z) ay maaaring itakda ng haba ng vector | | = r at anggulo j nabuo ng vector | | na may positibong direksyon ng totoong axis. Ang haba ng isang vector ay tinatawag complex number modulus at ipinapahiwatig ng | z|=r, at ang anggulo j tinawag kumplikadong argumento ng numero at ipinapahiwatig j = argz.

Malinaw na | z| ³ 0 at | z | = 0 Û z= 0.

Mula sa fig. 2 ay nagpapakita na .

Ang argumento ng isang kumplikadong numero ay hindi malinaw na tinukoy, at hanggang 2 pk,kÎ Z.

Mula sa fig. 2 ay nagpapakita rin na kung z=a+bi at j=argz, pagkatapos

cos j =, kasalanan j =, tg j = .

Kung ang zОR at z > 0 pagkatapos argz = 0 +2pk;

kung z ОR at z< 0 pagkatapos argz = p + 2pk;

kung z= 0,argz hindi determinado.

Ang pangunahing halaga ng argumento ay tinutukoy sa pagitan 0 £argz£2 p,

o -p£ arg z £ p.

Mga halimbawa:

1. Hanapin ang modulus ng mga kumplikadong numero z 1 = 4 – 3i at z 2 = –2–2i.