Kung saan sinuri namin ang pinakasimpleng mga derivatives, at nakilala din ang mga patakaran ng pagkita ng kaibhan at ilang mga diskarte para sa paghahanap ng mga derivatives. Kaya, kung hindi ka masyadong mahusay sa mga derivatives ng mga function o ilang mga punto ng artikulong ito ay hindi lubos na malinaw, pagkatapos ay basahin muna ang aralin sa itaas. Mangyaring tune in sa isang seryosong mood - ang materyal ay hindi madali, ngunit susubukan ko pa ring ipakita ito nang simple at malinaw.

Sa pagsasagawa, kailangan mong harapin ang derivative ng isang kumplikadong function nang napakadalas, sasabihin ko pa nga halos palagi, kapag binigyan ka ng mga gawain upang makahanap ng mga derivatives.

Tinitingnan namin sa talahanayan ang panuntunan (No. 5) para sa pagkakaiba ng isang kumplikadong function:

Nakakaintindi kami. Una sa lahat, tingnan natin ang notasyon. Narito mayroon kaming dalawang function - at , at ang function, sa makasagisag na pagsasalita, ay naka-nest sa function . Ang isang function ng ganitong uri (kapag ang isang function ay nested sa loob ng isa pa) ay tinatawag na isang kumplikadong function.

Tatawagin ko ang function panlabas na pag-andar, at ang function – panloob (o nested) function.

! Ang mga kahulugang ito ay hindi teoretikal at hindi dapat lumabas sa panghuling disenyo ng mga takdang-aralin. Gumagamit ako ng mga impormal na expression na "external function", "internal" na function para lang gawing mas madali para sa iyo na maunawaan ang materyal.

Upang linawin ang sitwasyon, isaalang-alang:

Halimbawa 1

Hanapin ang derivative ng isang function

Sa ilalim ng sine, mayroon kaming hindi lamang titik na "x", ngunit ang buong expression, kaya ang paghahanap ng hinango kaagad mula sa talahanayan ay hindi gagana. Napansin din namin na imposibleng ilapat ang unang apat na panuntunan dito, tila may pagkakaiba, ngunit ang katotohanan ay imposibleng "punitin" ang sine:

Sa halimbawang ito, mula na sa aking mga paliwanag, malinaw na malinaw na ang function ay isang kumplikadong function, at ang polynomial ay isang panloob na function (pag-embed), at isang panlabas na function.

Unang hakbang, na dapat gawin kapag hinahanap ang derivative ng isang kumplikadong function ay to maunawaan kung aling function ang panloob at alin ang panlabas.

Sa kaso ng mga simpleng halimbawa, tila malinaw na ang isang polynomial ay naka-nest sa ilalim ng sine. Pero paano kung hindi halata? Paano matukoy nang eksakto kung aling pag-andar ang panlabas at alin ang panloob? Upang gawin ito, ipinapanukala kong gamitin ang sumusunod na pamamaraan, na maaaring isagawa sa pag-iisip o sa isang draft.

Isipin natin na kailangan nating kalkulahin ang halaga ng expression gamit ang isang calculator (sa halip na isa, maaaring mayroong anumang numero).

Ano ang una nating kalkulahin? Pangunahin kakailanganin mong gawin ang sumusunod na aksyon: , kaya ang polynomial ay magiging isang panloob na function:

Pangalawa kakailanganin mong hanapin, kaya ang sine - ay magiging isang panlabas na function:

Pagkatapos nating UNAWAIN na may mga panloob at panlabas na pag-andar, oras na para ilapat ang panuntunan sa pagkakaiba-iba ng compound function .

Magsisimula kaming magdesisyon. Mula sa aralin Paano mahahanap ang derivative? naaalala namin na ang disenyo ng solusyon ng anumang derivative ay palaging nagsisimula tulad nito - isinasama namin ang expression sa mga bracket at naglalagay ng isang stroke sa kanang tuktok:

Sa simula nakita natin ang derivative ng external function (sine), tingnan ang table ng derivatives ng elementary functions at mapansin na . Ang lahat ng mga formula sa tabular ay naaangkop kahit na ang "x" ay pinalitan ng isang kumplikadong expression, sa kasong ito:

Tandaan na ang panloob na pag-andar ay hindi nagbago, hindi namin ito ginagalaw.

Well, ito ay medyo halata na

Ang resulta ng paglalapat ng formula malinis ang hitsura nito:

Ang pare-parehong kadahilanan ay karaniwang inilalagay sa simula ng expression:

Kung mayroong anumang hindi pagkakaunawaan, isulat ang desisyon sa papel at basahin muli ang mga paliwanag.

Halimbawa 2

Hanapin ang derivative ng isang function

Halimbawa 3

Hanapin ang derivative ng isang function

Gaya ng nakasanayan, isinusulat namin:

Inaalam namin kung saan mayroon kaming panlabas na function, at kung saan ang panloob. Upang gawin ito, sinusubukan namin (sa isip o sa isang draft) na kalkulahin ang halaga ng expression para sa . Ano ang kailangang gawin muna? Una sa lahat, kailangan mong kalkulahin kung ano ang katumbas ng base:, na nangangahulugang ang polynomial ay ang panloob na pag-andar:

At, pagkatapos lamang maisagawa ang exponentiation, samakatuwid, ang power function ay isang panlabas na function:

Ayon sa formula , kailangan mo munang hanapin ang derivative ng panlabas na function, sa kasong ito, ang degree. Hinahanap namin ang nais na formula sa talahanayan:. Ulitin namin muli: anumang tabular formula ay may bisa hindi lamang para sa "x", ngunit para din sa isang kumplikadong expression. Kaya, ang resulta ng paglalapat ng panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong function susunod:

Muli kong binibigyang-diin na kapag kinuha natin ang derivative ng panlabas na function, ang panloob na function ay hindi nagbabago:

Ngayon ay nananatiling makahanap ng isang napaka-simpleng derivative ng panloob na pag-andar at "suklayin" ang resulta ng kaunti:

Halimbawa 4

Hanapin ang derivative ng isang function

Ito ay isang halimbawa para sa paglutas sa sarili (sagutin sa katapusan ng aralin).

Upang pagsamahin ang pag-unawa sa derivative ng isang kumplikadong pag-andar, magbibigay ako ng isang halimbawa nang walang mga komento, subukang malaman ito sa iyong sarili, dahilan, nasaan ang panlabas at nasaan ang panloob na pag-andar, bakit nalutas ang mga gawain sa ganoong paraan?

Halimbawa 5

a) Hanapin ang derivative ng isang function

b) Hanapin ang derivative ng function

Halimbawa 6

Hanapin ang derivative ng isang function

Dito mayroon tayong ugat, at upang maiiba ang ugat, dapat itong irepresenta bilang isang antas. Kaya, dinadala muna namin ang function sa tamang anyo para sa pagkita ng kaibhan:

Ang pag-aaral ng function, dumating tayo sa konklusyon na ang kabuuan ng tatlong termino ay isang panloob na function, at ang exponentiation ay isang panlabas na function. Inilapat namin ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong function :

Ang antas ay muling kinakatawan bilang isang radikal (ugat), at para sa hinango ng panloob na pag-andar, nag-aaplay kami ng isang simpleng panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng kabuuan:

handa na. Maaari mo ring dalhin ang expression sa isang common denominator sa mga bracket at isulat ang lahat bilang isang fraction. Maganda ito, siyempre, ngunit kapag nakuha ang masalimuot na mahabang derivatives, mas mahusay na huwag gawin ito (madaling malito, gumawa ng hindi kinakailangang pagkakamali, at magiging abala para sa guro na suriin).

Halimbawa 7

Hanapin ang derivative ng isang function

Ito ay isang halimbawa para sa paglutas sa sarili (sagutin sa katapusan ng aralin).

Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na kung minsan, sa halip na ang panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng isang kumplikadong function, ang isa ay maaaring gumamit ng panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng isang kusyente , ngunit ang ganitong solusyon ay magmumukhang hindi pangkaraniwan na perversion. Narito ang isang tipikal na halimbawa:

Halimbawa 8

Hanapin ang derivative ng isang function

Dito maaari mong gamitin ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng quotient , ngunit ito ay higit na kumikita upang mahanap ang derivative sa pamamagitan ng panuntunan ng pagkita ng kaibahan ng isang kumplikadong function:

Inihahanda namin ang function para sa pagkita ng kaibhan - kinuha namin ang minus sign ng derivative, at itinaas ang cosine sa numerator:

Ang cosine ay isang panloob na pag-andar, ang exponentiation ay isang panlabas na pag-andar.
Gamitin natin ang ating panuntunan :

Nahanap namin ang derivative ng panloob na function, i-reset ang cosine pabalik pababa:

handa na. Sa isinasaalang-alang na halimbawa, mahalagang huwag malito sa mga palatandaan. Sa pamamagitan ng paraan, subukang lutasin ito gamit ang panuntunan , dapat magkatugma ang mga sagot.

Halimbawa 9

Hanapin ang derivative ng isang function

Ito ay isang halimbawa para sa paglutas sa sarili (sagutin sa katapusan ng aralin).

Sa ngayon, isinasaalang-alang namin ang mga kaso kung saan nagkaroon lamang kami ng isang pugad sa isang kumplikadong function. Sa mga praktikal na gawain, madalas kang makakahanap ng mga derivatives, kung saan, tulad ng mga nesting doll, isa sa loob ng isa, 3 o kahit 4-5 na function ay nakapugad nang sabay-sabay.

Halimbawa 10

Hanapin ang derivative ng isang function

Naiintindihan namin ang mga attachment ng function na ito. Sinusubukan naming suriin ang expression gamit ang pang-eksperimentong halaga. Paano tayo mabibilang sa isang calculator?

Una kailangan mong hanapin, na nangangahulugan na ang arcsine ay ang pinakamalalim na pugad:

Ang arcsine ng pagkakaisa na ito ay dapat na kuwadrado:

At sa wakas, itinataas natin ang pito sa kapangyarihan:

Ibig sabihin, sa halimbawang ito mayroon tayong tatlong magkakaibang function at dalawang nesting, habang ang pinakaloob na function ay ang arcsine, at ang pinakalabas na function ay ang exponential function.

Magsisimula kaming magdesisyon

Ayon sa tuntunin kailangan mo munang kunin ang derivative ng panlabas na function. Tinitingnan namin ang talahanayan ng mga derivatives at hinahanap ang derivative ng exponential function: Ang pagkakaiba lamang ay sa halip na "x" mayroon kaming isang kumplikadong expression, na hindi binabalewala ang bisa ng formula na ito. Kaya, ang resulta ng paglalapat ng panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong function susunod.

Pagkatapos ng paunang paghahanda ng artilerya, ang mga halimbawa na may 3-4-5 na attachment ng mga function ay hindi gaanong nakakatakot. Marahil ang sumusunod na dalawang halimbawa ay mukhang kumplikado sa ilan, ngunit kung sila ay naiintindihan (may naghihirap), halos lahat ng iba pa sa differential calculus ay magmumukhang biro ng isang bata.

Halimbawa 2

Hanapin ang derivative ng isang function

Tulad ng nabanggit na, kapag naghahanap ng derivative ng isang kumplikadong function, una sa lahat, ito ay kinakailangan tama UNAWAIN ANG MGA INVESTMENT. Sa mga kaso kung saan may mga pagdududa, ipinaaalala ko sa iyo ang isang kapaki-pakinabang na trick: kinukuha namin ang pang-eksperimentong halaga na "x", halimbawa, at subukan (sa isip o sa isang draft) na palitan ang halagang ito sa "kakila-kilabot na expression".

1) Una kailangan nating kalkulahin ang expression, kaya ang kabuuan ay ang pinakamalalim na pugad.

2) Pagkatapos ay kailangan mong kalkulahin ang logarithm:

4) Pagkatapos ay i-cube ang cosine:

5) Sa ikalimang hakbang, ang pagkakaiba:

6) At sa wakas, ang pinakalabas na function ay ang square root:

Complex Function Differentiation Formula ay inilapat sa reverse order, mula sa pinakalabas na function hanggang sa pinakaloob. Nagpasya kami:

Mukhang walang error:

1) Kinukuha namin ang derivative ng square root.

2) Kinukuha namin ang derivative ng pagkakaiba gamit ang panuntunan

3) Ang derivative ng triple ay katumbas ng zero. Sa pangalawang termino, kinukuha namin ang derivative ng degree (kubo).

4) Kinukuha namin ang derivative ng cosine.

6) At sa wakas, kinukuha namin ang derivative ng pinakamalalim na nesting .

Maaaring mukhang napakahirap, ngunit hindi ito ang pinaka-brutal na halimbawa. Kunin, halimbawa, ang koleksyon ni Kuznetsov at mapapahalagahan mo ang lahat ng kagandahan at pagiging simple ng nasuri na hinalaw. Napansin ko na gusto nilang magbigay ng katulad na bagay sa pagsusulit upang suriin kung naiintindihan ng estudyante kung paano hanapin ang derivative ng isang kumplikadong function, o hindi naiintindihan.

Ang sumusunod na halimbawa ay para sa isang nakapag-iisang solusyon.

Halimbawa 3

Hanapin ang derivative ng isang function

Hint: Una, inilalapat namin ang mga patakaran ng linearity at ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng produkto

Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Oras na para lumipat sa isang bagay na mas compact at mas maganda.
Ito ay hindi pangkaraniwan para sa isang sitwasyon kung saan ang produkto ng hindi dalawa, ngunit tatlong mga function ay ibinigay sa isang halimbawa. Paano mahahanap ang derivative ng produkto ng tatlong mga kadahilanan?

Halimbawa 4

Hanapin ang derivative ng isang function

Una, tinitingnan natin, ngunit posible bang gawing produkto ng dalawang function ang produkto ng tatlong function? Halimbawa, kung mayroon kaming dalawang polynomial sa produkto, maaari naming buksan ang mga bracket. Ngunit sa halimbawang ito, ang lahat ng mga function ay iba: degree, exponent at logarithm.

Sa ganitong mga kaso, ito ay kinakailangan sunud-sunod ilapat ang panuntunan sa pagkakaiba-iba ng produkto dalawang beses

Ang lansihin ay para sa "y" tinutukoy namin ang produkto ng dalawang function: , at para sa "ve" - ​​​​ang logarithm:. Bakit ito magagawa? ito ba - hindi ito produkto ng dalawang salik at hindi gumagana ang panuntunan?! Walang kumplikado:

Ngayon ay nananatiling ilapat ang panuntunan sa pangalawang pagkakataon sa bracket:

Maaari ka pa ring maglihis at kumuha ng isang bagay mula sa mga bracket, ngunit sa kasong ito ay mas mahusay na iwanan ang sagot sa form na ito - mas madaling suriin.

Ang halimbawa sa itaas ay maaaring malutas sa pangalawang paraan:

Ang parehong mga solusyon ay ganap na katumbas.

Halimbawa 5

Hanapin ang derivative ng isang function

Ito ay isang halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon, sa sample ito ay nalutas sa unang paraan.

Isaalang-alang ang mga katulad na halimbawa na may mga fraction.

Halimbawa 6

Hanapin ang derivative ng isang function

Dito maaari kang pumunta sa maraming paraan:

O ganito:

Ngunit ang solusyon ay maaaring maisulat nang mas compact kung, una sa lahat, ginagamit namin ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng quotient , pagkuha para sa buong numerator:

Sa prinsipyo, ang halimbawa ay nalutas, at kung ito ay naiwan sa form na ito, hindi ito magiging isang pagkakamali. Ngunit kung mayroon kang oras, palaging ipinapayong suriin ang isang draft, ngunit posible bang gawing simple ang sagot?

Dinadala namin ang expression ng numerator sa isang karaniwang denominator at inaalis ang tatlong-kuwento na fraction:

Ang kawalan ng mga karagdagang pagpapasimple ay mayroong panganib na magkamali hindi kapag naghahanap ng isang hinalaw, ngunit kapag ang mga pagbabago sa paaralan ay karaniwan. Sa kabilang banda, madalas na tinatanggihan ng mga guro ang gawain at hinihiling na "isaalang-alang" ang hinalaw.

Isang mas simpleng halimbawa para sa isang do-it-yourself na solusyon:

Halimbawa 7

Hanapin ang derivative ng isang function

Patuloy naming pinagkadalubhasaan ang mga diskarte para sa paghahanap ng derivative, at ngayon ay isasaalang-alang namin ang isang tipikal na kaso kapag ang isang "kakila-kilabot" logarithm ay iminungkahi para sa pagkita ng kaibhan.

kumplikadong derivatives. Logarithmic derivative.
Derivative ng exponential function

Patuloy naming pinapabuti ang aming diskarte sa pagkita ng kaibhan. Sa araling ito, pagsasama-samahin natin ang materyal na sakop, isaalang-alang ang mas kumplikadong mga derivatives, at makikilala din ang mga bagong trick at trick para sa paghahanap ng derivative, lalo na, sa logarithmic derivative.

Ang mga mambabasa na may mababang antas ng paghahanda ay dapat sumangguni sa artikulo Paano mahahanap ang derivative? Mga halimbawa ng solusyon na magbibigay-daan sa iyo na itaas ang iyong mga kasanayan halos mula sa simula. Susunod, kailangan mong maingat na pag-aralan ang pahina Derivative ng isang compound function, unawain at lutasin lahat ang mga halimbawang ibinigay ko. Ang araling ito ay lohikal na ang pangatlo sa isang hilera, at pagkatapos ng mastering ito, ikaw ay may kumpiyansa na iibahin ang medyo kumplikadong mga function. Hindi kanais-nais na manatili sa posisyon na "Saan pa? Oo, at sapat na iyon! ”, Dahil ang lahat ng mga halimbawa at solusyon ay kinuha mula sa mga tunay na pagsubok at madalas na matatagpuan sa pagsasanay.

Magsimula tayo sa pag-uulit. Sa aralin Derivative ng isang compound function isinaalang-alang namin ang ilang mga halimbawa na may mga detalyadong komento. Sa kurso ng pag-aaral ng differential calculus at iba pang mga seksyon ng mathematical analysis, kailangan mong mag-iba nang madalas, at hindi palaging maginhawa (at hindi palaging kinakailangan) upang magpinta ng mga halimbawa nang detalyado. Samakatuwid, magsasanay tayo sa oral na paghahanap ng mga derivatives. Ang pinaka-angkop na "mga kandidato" para dito ay mga derivatives ng pinakasimpleng mga kumplikadong function, halimbawa:

Ayon sa panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong function :

Kapag nag-aaral ng iba pang mga paksa ng matan sa hinaharap, ang gayong detalyadong tala ay kadalasang hindi kinakailangan, ipinapalagay na ang mag-aaral ay makakahanap ng mga katulad na derivatives sa autopilot. Isipin natin na sa alas-3 ng umaga ay nag-ring ang telepono, at isang kaaya-ayang boses ang nagtanong: "Ano ang derivative ng tangent ng dalawang x?". Dapat itong sundan ng halos madalian at magalang na tugon: .

Ang unang halimbawa ay agad na inilaan para sa isang malayang solusyon.

Halimbawa 1

Hanapin ang mga sumusunod na derivative nang pasalita, sa isang hakbang, halimbawa: . Upang makumpleto ang gawain, kailangan mo lamang gamitin talahanayan ng mga derivatives ng elementarya function(kung hindi pa niya naaalala). Kung mayroon kang anumang mga paghihirap, inirerekumenda kong basahin muli ang aralin Derivative ng isang compound function.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Mga sagot sa pagtatapos ng aralin

Mga kumplikadong derivatives

Pagkatapos ng paunang paghahanda ng artilerya, ang mga halimbawa na may 3-4-5 na attachment ng mga function ay hindi gaanong nakakatakot. Marahil ang sumusunod na dalawang halimbawa ay mukhang kumplikado sa ilan, ngunit kung sila ay naiintindihan (may naghihirap), halos lahat ng iba pa sa differential calculus ay magmumukhang biro ng isang bata.

Halimbawa 2

Hanapin ang derivative ng isang function

Tulad ng nabanggit na, kapag naghahanap ng derivative ng isang kumplikadong function, una sa lahat, ito ay kinakailangan tama UNAWAIN ANG MGA INVESTMENT. Sa mga kaso kung saan may mga pagdududa, ipinaaalala ko sa iyo ang isang kapaki-pakinabang na trick: kinukuha namin ang pang-eksperimentong halaga na "x", halimbawa, at subukan (sa isip o sa isang draft) na palitan ang halagang ito sa "kakila-kilabot na expression".

1) Una kailangan nating kalkulahin ang expression, kaya ang kabuuan ay ang pinakamalalim na pugad.

2) Pagkatapos ay kailangan mong kalkulahin ang logarithm:

4) Pagkatapos ay i-cube ang cosine:

5) Sa ikalimang hakbang, ang pagkakaiba:

6) At sa wakas, ang pinakalabas na function ay ang square root:

Complex Function Differentiation Formula ay inilapat sa reverse order, mula sa pinakalabas na function hanggang sa pinakaloob. Nagpasya kami:

Parang walang mali...

(1) Kinukuha namin ang derivative ng square root.

(2) Kinukuha namin ang derivative ng pagkakaiba gamit ang panuntunan

(3) Ang derivative ng triple ay katumbas ng zero. Sa pangalawang termino, kinukuha namin ang derivative ng degree (kubo).

(4) Kinukuha namin ang derivative ng cosine.

(5) Kinukuha namin ang derivative ng logarithm.

(6) Panghuli, kinukuha namin ang derivative ng pinakamalalim na pugad .

Maaaring mukhang napakahirap, ngunit hindi ito ang pinaka-brutal na halimbawa. Kunin, halimbawa, ang koleksyon ni Kuznetsov at mapapahalagahan mo ang lahat ng kagandahan at pagiging simple ng nasuri na hinalaw. Napansin ko na gusto nilang magbigay ng katulad na bagay sa pagsusulit upang suriin kung naiintindihan ng estudyante kung paano hanapin ang derivative ng isang kumplikadong function, o hindi naiintindihan.

Ang sumusunod na halimbawa ay para sa isang nakapag-iisang solusyon.

Halimbawa 3

Hanapin ang derivative ng isang function

Hint: Una, inilalapat namin ang mga patakaran ng linearity at ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng produkto

Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Oras na para lumipat sa isang bagay na mas compact at mas maganda.
Ito ay hindi pangkaraniwan para sa isang sitwasyon kung saan ang produkto ng hindi dalawa, ngunit tatlong mga function ay ibinigay sa isang halimbawa. Paano mahahanap ang derivative ng produkto ng tatlong mga kadahilanan?

Halimbawa 4

Hanapin ang derivative ng isang function

Una, tinitingnan natin, ngunit posible bang gawing produkto ng dalawang function ang produkto ng tatlong function? Halimbawa, kung mayroon kaming dalawang polynomial sa produkto, maaari naming buksan ang mga bracket. Ngunit sa halimbawang ito, ang lahat ng mga function ay iba: degree, exponent at logarithm.

Sa ganitong mga kaso, ito ay kinakailangan sunud-sunod ilapat ang panuntunan sa pagkakaiba-iba ng produkto dalawang beses

Ang lansihin ay para sa "y" tinutukoy namin ang produkto ng dalawang function: , at para sa "ve" - ​​​​ang logarithm:. Bakit ito magagawa? ito ba - hindi ito produkto ng dalawang salik at hindi gumagana ang panuntunan?! Walang kumplikado:

Ngayon ay nananatiling ilapat ang panuntunan sa pangalawang pagkakataon sa bracket:

Maaari ka pa ring maglihis at kumuha ng isang bagay mula sa mga bracket, ngunit sa kasong ito ay mas mahusay na iwanan ang sagot sa form na ito - mas madaling suriin.

Ang halimbawa sa itaas ay maaaring malutas sa pangalawang paraan:

Ang parehong mga solusyon ay ganap na katumbas.

Halimbawa 5

Hanapin ang derivative ng isang function

Ito ay isang halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon, sa sample ito ay nalutas sa unang paraan.

Isaalang-alang ang mga katulad na halimbawa na may mga fraction.

Halimbawa 6

Hanapin ang derivative ng isang function

Dito maaari kang pumunta sa maraming paraan:

O ganito:

Ngunit ang solusyon ay maaaring maisulat nang mas compact kung, una sa lahat, ginagamit namin ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng quotient , pagkuha para sa buong numerator:

Sa prinsipyo, ang halimbawa ay nalutas, at kung ito ay naiwan sa form na ito, hindi ito magiging isang pagkakamali. Ngunit kung mayroon kang oras, palaging ipinapayong suriin ang isang draft, ngunit posible bang gawing simple ang sagot? Dinadala namin ang expression ng numerator sa isang common denominator at tanggalin ang tatlong-palapag na bahagi:

Ang kawalan ng mga karagdagang pagpapasimple ay mayroong panganib na magkamali hindi kapag naghahanap ng isang hinalaw, ngunit kapag ang mga pagbabago sa paaralan ay karaniwan. Sa kabilang banda, madalas na tinatanggihan ng mga guro ang gawain at hinihiling na "isaalang-alang" ang hinalaw.

Isang mas simpleng halimbawa para sa isang do-it-yourself na solusyon:

Halimbawa 7

Hanapin ang derivative ng isang function

Patuloy naming pinagkadalubhasaan ang mga diskarte para sa paghahanap ng derivative, at ngayon ay isasaalang-alang namin ang isang tipikal na kaso kapag ang isang "kakila-kilabot" logarithm ay iminungkahi para sa pagkita ng kaibhan.

Halimbawa 8

Hanapin ang derivative ng isang function

Dito maaari kang pumunta sa isang mahabang paraan, gamit ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong function:

Ngunit ang pinakaunang hakbang ay agad na naglalagay sa iyo sa kawalan ng pag-asa - kailangan mong kumuha ng hindi kasiya-siyang derivative ng isang fractional degree, at pagkatapos ay mula din sa isang fraction.

Kaya dati kung paano kunin ang derivative ng "fancy" logarithm, dati itong pinasimple gamit ang mga kilalang katangian ng paaralan:

! Kung mayroon kang praktikal na notebook, kopyahin ang mga formula na ito doon mismo. Kung wala kang notebook, iguhit ang mga ito sa isang piraso ng papel, dahil ang iba pang mga halimbawa ng aralin ay iikot sa mga formula na ito.

Ang solusyon mismo ay maaaring mabalangkas tulad nito:

Ibahin natin ang function:

Nahanap namin ang derivative:

Ang paunang pagbabago ng function mismo ay lubos na pinasimple ang solusyon. Kaya, kapag ang isang katulad na logarithm ay iminungkahi para sa pagkita ng kaibhan, ito ay palaging ipinapayong "masira ito".

At ngayon isang pares ng mga simpleng halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon:

Halimbawa 9

Hanapin ang derivative ng isang function

Halimbawa 10

Hanapin ang derivative ng isang function

Lahat ng pagbabago at sagot sa pagtatapos ng aralin.

logarithmic derivative

Kung ang derivative ng logarithms ay tulad ng matamis na musika, kung gayon ang tanong ay lumitaw, posible ba sa ilang mga kaso na ayusin ang logarithm nang artipisyal? Pwede! At kahit kailangan.

Halimbawa 11

Hanapin ang derivative ng isang function

Katulad na mga halimbawa na aming isinaalang-alang kamakailan. Anong gagawin? Ang isa ay maaaring sunud-sunod na ilapat ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng quotient, at pagkatapos ay ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng produkto. Ang kawalan ng pamamaraang ito ay nakakakuha ka ng isang malaking bahagi ng tatlong palapag, na hindi mo gustong harapin.

Ngunit sa teorya at kasanayan mayroong isang kahanga-hangang bagay tulad ng logarithmic derivative. Ang mga logarithm ay maaaring artipisyal na ayusin sa pamamagitan ng "pagbitin" sa mga ito sa magkabilang panig:

Tandaan : kasi Ang function ay maaaring tumagal ng mga negatibong halaga, kung gayon, sa pangkalahatan, kailangan mong gumamit ng mga module: , na nawawala bilang resulta ng pagkakaiba-iba. Gayunpaman, ang kasalukuyang disenyo ay katanggap-tanggap din, kung saan bilang default ang kumplikado mga halaga. Ngunit kung sa lahat ng mahigpit, pagkatapos ay sa parehong mga kaso ito ay kinakailangan upang gumawa ng isang reserbasyon na.

Ngayon ay kailangan mong "masira" ang logarithm ng kanang bahagi hangga't maaari (mga formula sa harap ng iyong mga mata?). Ilalarawan ko ang prosesong ito nang detalyado:

Magsimula tayo sa pagkakaiba-iba.
Tinatapos namin ang parehong bahagi na may isang stroke:

Ang derivative ng right side ay medyo simple, hindi ako magkokomento tungkol dito, dahil kung binabasa mo ang tekstong ito, dapat mong mahawakan ito nang may kumpiyansa.

Paano ang kaliwang bahagi?

Sa kaliwang bahagi mayroon kami kumplikadong pag-andar. Nakikita ko ang tanong na: "Bakit, may isang letra bang "y" sa ilalim ng logarithm?".

Ang katotohanan ay ang "isang letrang y" na ito - AY ISANG FUNCTION SA SARILI(kung ito ay hindi masyadong malinaw, sumangguni sa artikulong Derivative ng isang function na tahasang tinukoy). Samakatuwid, ang logarithm ay isang panlabas na function, at ang "y" ay isang panloob na function. At ginagamit namin ang panuntunan sa pagkakaiba-iba ng compound function :

Sa kaliwang bahagi, na parang sa pamamagitan ng magic, mayroon kaming isang derivative. Dagdag pa, ayon sa panuntunan ng proporsyon, itinapon namin ang "y" mula sa denominator ng kaliwang bahagi hanggang sa tuktok ng kanang bahagi:

At ngayon naaalala natin kung anong uri ng "laro"-function ang napag-usapan natin kapag nag-iiba? Tingnan natin ang kondisyon:

Panghuling sagot:

Halimbawa 12

Hanapin ang derivative ng isang function

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Halimbawang disenyo ng isang halimbawa ng ganitong uri sa katapusan ng aralin.

Sa tulong ng logarithmic derivative, posible na malutas ang alinman sa mga halimbawa No. 4-7, isa pang bagay ay ang mga function doon ay mas simple, at, marahil, ang paggamit ng logarithmic derivative ay hindi masyadong makatwiran.

Derivative ng exponential function

Hindi pa namin isinasaalang-alang ang function na ito. Ang exponential function ay isang function na mayroon at ang antas at base ay nakasalalay sa "x". Isang klasikong halimbawa na ibibigay sa iyo sa anumang aklat-aralin o sa anumang panayam:

Paano mahahanap ang derivative ng isang exponential function?

Kinakailangang gamitin ang pamamaraan na isinasaalang-alang lamang - ang logarithmic derivative. Nag-hang kami ng mga logarithms sa magkabilang panig:

Bilang isang patakaran, ang antas ay kinuha mula sa ilalim ng logarithm sa kanang bahagi:

Bilang isang resulta, sa kanang bahagi mayroon kaming isang produkto ng dalawang mga pag-andar, na kung saan ay iba-iba ayon sa karaniwang formula .

Natagpuan namin ang derivative, para dito isinama namin ang parehong mga bahagi sa ilalim ng mga stroke:

Ang mga susunod na hakbang ay madali:

Sa wakas:

Kung ang ilang pagbabago ay hindi lubos na malinaw, mangyaring muling basahin nang mabuti ang mga paliwanag ng Halimbawa #11.

Sa mga praktikal na gawain, ang exponential function ay palaging magiging mas kumplikado kaysa sa itinuturing na halimbawa ng lecture.

Halimbawa 13

Hanapin ang derivative ng isang function

Ginagamit namin ang logarithmic derivative.

Sa kanang bahagi mayroon kaming isang pare-pareho at ang produkto ng dalawang mga kadahilanan - "x" at "logarithm ng logarithm ng x" (isa pang logarithm ay nested sa ilalim ng logarithm). Kapag ang pagkakaiba ng isang pare-pareho, tulad ng naaalala natin, mas mahusay na agad na alisin ito sa tanda ng derivative upang hindi ito makasagabal; at, siyempre, ilapat ang pamilyar na panuntunan :

Simula nang dumating ka dito, malamang na nakita mo na ang formula na ito sa textbook

at gumawa ng isang mukha tulad nito:

Kaibigan, huwag kang mag-alala! Sa katunayan, ang lahat ay simple sa kahihiyan. Maiintindihan mo talaga ang lahat. Isang kahilingan lamang - basahin ang artikulo dahan-dahan subukan mong unawain ang bawat hakbang. Sumulat ako nang simple at malinaw hangga't maaari, ngunit kailangan mo pa ring suriin ang ideya. At siguraduhing lutasin ang mga gawain mula sa artikulo.

Ano ang isang kumplikadong function?

Isipin na lilipat ka sa ibang apartment at samakatuwid ay nag-iimpake ka ng mga bagay sa malalaking kahon. Hayaan itong kinakailangan upang mangolekta ng ilang maliliit na bagay, halimbawa, mga kagamitan sa paaralan. Kung itatapon mo lang sila sa isang malaking kahon, maliligaw sila bukod sa iba pang mga bagay. Upang maiwasan ito, ilagay mo muna ang mga ito, halimbawa, sa isang bag, na pagkatapos ay ilagay mo sa isang malaking kahon, pagkatapos ay tatakan mo ito. Ang "pinakamahirap" na prosesong ito ay ipinapakita sa diagram sa ibaba:

Mukhang, nasaan ang matematika? At bukod pa, ang isang kumplikadong function ay nabuo sa PAREHONG paraan! Kami lang ang "nag-iimpake" hindi mga notebook at panulat, ngunit \ (x \), habang ang iba't ibang "mga pakete" at "mga kahon" ay nagsisilbi.

Halimbawa, kunin natin ang x at "i-pack" ito sa isang function:

Bilang resulta, nakukuha namin, siyempre, \(\cos⁡x\). Ito ang aming "bag of things". At ngayon inilalagay namin ito sa isang "kahon" - i-pack namin ito, halimbawa, sa isang cubic function.

Ano ang mangyayari sa huli? Oo, tama, magkakaroon ng "package na may mga bagay sa isang kahon", iyon ay, "cosine ng x cubed."

Ang resultang konstruksiyon ay isang kumplikadong pag-andar. Ito ay naiiba mula sa simpleng isa sa na ILANG "mga epekto" (mga pakete) ang inilapat sa isang X sa isang hilera at ito ay lumalabas, bilang ito ay, "isang function mula sa isang function" - "isang pakete sa isang pakete".

Sa kurso sa paaralan, kakaunti ang mga uri ng parehong "mga pakete", apat lamang:

"I-pack" muna natin ang x sa isang exponential function na may base 7, at pagkatapos ay sa isang trigonometric function. Nakukuha namin:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

At ngayon, "i-pack" natin ang x nang dalawang beses sa mga function na trigonometric, una sa at pagkatapos ay sa:

\(x → sin⁡x → ctg⁡ (sin⁡x)\)

Simple lang diba?

Ngayon isulat ang mga function sa iyong sarili, kung saan x:
- una ito ay "naka-pack" sa isang cosine, at pagkatapos ay sa isang exponential function na may base \(3\);
- una sa ikalimang kapangyarihan, at pagkatapos ay sa padaplis;
- una sa base logarithm \(4\) , pagkatapos ay sa kapangyarihan \(-2\).

Tingnan ang mga sagot sa tanong na ito sa dulo ng artikulo.

Ngunit maaari ba tayong "mag-pack" x hindi dalawa, ngunit tatlong beses? Walang problema! At apat, at lima, at dalawampu't limang beses. Narito, halimbawa, ay isang function kung saan ang x ay "naka-pack" ng \(4\) beses:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Ngunit ang mga naturang formula ay hindi makikita sa pagsasanay sa paaralan (mas mapalad ang mga mag-aaral - maaari silang maging mas mahirap☺).

"Pag-unpack" ng isang kumplikadong function

Tingnan muli ang nakaraang function. Maaari mo bang malaman ang pagkakasunud-sunod ng "pag-iimpake"? Kung ano ang X ay unang pinalamanan, kung ano pagkatapos, at iba pa hanggang sa pinakadulo. Ibig sabihin, aling function ang naka-nest? Kumuha ng isang piraso ng papel at isulat kung ano ang iniisip mo. Magagawa mo ito sa isang kadena ng mga arrow, tulad ng isinulat namin sa itaas, o sa anumang iba pang paraan.

Ngayon ang tamang sagot ay: unang x ay "naka-pack" sa \(4\)th kapangyarihan, pagkatapos ay ang resulta ay naka-pack sa sine, ito naman, ay inilagay sa logarithm base \(2\), at sa sa dulo ang buong konstruksiyon ay itinulak sa power fives.

Ibig sabihin, kailangang i-unwind ang sequence SA REVERSE ORDER. At narito ang isang pahiwatig kung paano gawin ito nang mas madali: tingnan lamang ang X - kailangan mong sumayaw mula dito. Tingnan natin ang ilang halimbawa.

Halimbawa, narito ang isang function: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Tumingin kami kay X - ano ang unang nangyari sa kanya? Kinuha sa kanya. At pagkatapos? Ang tangent ng resulta ay kinuha. At ang pagkakasunud-sunod ay magiging pareho:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Isa pang halimbawa: \(y=\cos⁡((x^3))\). Sinusuri namin - unang x ay nakakubo, at pagkatapos ay kinuha ang cosine mula sa resulta. Kaya ang sequence ay magiging: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Bigyang-pansin, ang pag-andar ay tila katulad sa pinakaunang isa (kung saan may mga larawan). Ngunit ito ay isang ganap na naiibang function: dito sa cube x (iyon ay, \(\cos⁡((x x x)))\), at doon sa cube ang cosine \(x\) (iyon ay, \(\ cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Ang pagkakaibang ito ay nagmumula sa iba't ibang mga "packing" na pagkakasunud-sunod.

Ang huling halimbawa (na may mahalagang impormasyon dito): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Malinaw na dito una naming isinagawa ang mga operasyon ng aritmetika na may x, pagkatapos ay kinuha nila ang sine mula sa resulta: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). At ito ay isang mahalagang punto: sa kabila ng katotohanan na ang mga operasyon ng aritmetika ay hindi mga pag-andar sa kanilang sarili, narito din sila ay kumikilos bilang isang paraan ng "pag-iimpake". Suriin natin nang kaunti pa ang subtlety na ito.

Tulad ng sinabi ko sa itaas, sa mga simpleng function x ay "naka-pack" nang isang beses, at sa mga kumplikadong function - dalawa o higit pa. Bukod dito, ang anumang kumbinasyon ng mga simpleng function (iyon ay, ang kanilang kabuuan, pagkakaiba, multiplikasyon o dibisyon) ay isa ring simpleng function. Halimbawa, ang \(x^7\) ay isang simpleng function, at gayundin ang \(ctg x\). Samakatuwid, ang lahat ng kanilang mga kumbinasyon ay mga simpleng pag-andar:

\(x^7+ ctg x\) - simple,
Ang \(x^7 ctg x\) ay simple,
Ang \(\frac(x^7)(ctg x)\) ay simple, at iba pa.

Gayunpaman, kung ang isa pang function ay inilapat sa naturang kumbinasyon, ito ay magiging isang kumplikadong function, dahil magkakaroon ng dalawang "mga pakete". Tingnan ang diagram:

Okay, ipagpatuloy natin ito ngayon. Isulat ang pagkakasunud-sunod ng mga function na "pambalot":
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Ang mga sagot ay muli sa dulo ng artikulo.

Panloob at panlabas na pag-andar

Bakit kailangan nating maunawaan ang function nesting? Ano ang ibinibigay nito sa atin? Ang punto ay na kung walang ganoong pagsusuri ay hindi natin mapagkakatiwalaang mahanap ang mga derivatives ng mga function na tinalakay sa itaas.

At upang magpatuloy, kakailanganin natin ng dalawa pang konsepto: panloob at panlabas na mga pag-andar. Ito ay isang napaka-simpleng bagay, bukod pa, sa katunayan, nasuri na natin ang mga ito sa itaas: kung naaalala natin ang ating pagkakatulad sa pinakadulo simula, kung gayon ang panloob na pag-andar ay ang "package" at ang panlabas ay ang "kahon". Yung. kung ano ang unang "nakabalot" sa X ay isang panloob na function, at kung ano ang "nakabalot" sa loob ay nasa panlabas na. Well, maliwanag kung bakit - ito ay nasa labas, nangangahulugan ito ng panlabas.

Dito sa halimbawang ito: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), ang function na \(\log_2⁡x\) ay panloob, at
- panlabas.

At sa isang ito: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), ang \(x^3+2x+1\) ay panloob, at
- panlabas.

Gawin ang huling kasanayan sa pagsusuri ng mga kumplikadong function, at sa wakas, magpatuloy tayo sa punto kung saan nagsimula ang lahat - makakahanap tayo ng mga derivatives ng mga kumplikadong function:

Punan ang mga puwang sa talahanayan:

Derivative ng isang compound function

Bravo sa amin, nakarating pa rin kami sa "boss" ng paksang ito - sa katunayan, ang hinango ng isang kumplikadong function, at partikular, sa napakasamang formula na iyon mula sa simula ng artikulo.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Ang formula na ito ay nagbabasa ng ganito:

Ang derivative ng isang complex function ay katumbas ng produkto ng derivative ng external function na may paggalang sa constant internal function at ang derivative ng internal function.

At agad na tingnan ang parsing scheme "sa pamamagitan ng mga salita" upang maunawaan kung ano ang maiuugnay sa:

Umaasa ako na ang mga terminong "derivative" at "produkto" ay hindi maging sanhi ng mga paghihirap. "Complex function" - na-dismantle na namin. Ang catch ay nasa "derivative ng panlabas na function na may paggalang sa pare-pareho ang panloob." Ano ito?

Sagot: ito ang karaniwang derivative ng panlabas na function, kung saan ang panlabas na function lamang ang nagbabago, habang ang panloob ay nananatiling pareho. Hindi pa rin malinaw? Okay, kumuha tayo ng isang halimbawa.

Sabihin nating mayroon tayong function na \(y=\sin⁡(x^3)\). Malinaw na ang panloob na function dito ay \(x^3\), at ang panlabas
. Hanapin natin ngayon ang derivative ng panlabas na may paggalang sa patuloy na panloob.

Ang operasyon ng paghahanap ng derivative ay tinatawag na differentiation.

Bilang resulta ng paglutas ng mga problema sa paghahanap ng mga derivatives ng pinakasimpleng (at hindi masyadong simple) na mga pag-andar sa pamamagitan ng pagtukoy sa derivative bilang limitasyon ng ratio ng pagtaas sa pagtaas ng argumento, lumitaw ang isang talahanayan ng mga derivative at tiyak na tinukoy na mga panuntunan ng pagkita ng kaibhan. . Sina Isaac Newton (1643-1727) at Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) ang unang nagtrabaho sa larangan ng paghahanap ng mga derivatives.

Samakatuwid, sa ating panahon, upang mahanap ang derivative ng anumang function, hindi kinakailangang kalkulahin ang nabanggit na limitasyon ng ratio ng pagtaas ng function sa pagtaas ng argumento, ngunit kailangan lamang gamitin ang talahanayan. ng mga derivatives at ang mga patakaran ng pagkita ng kaibhan. Ang sumusunod na algorithm ay angkop para sa paghahanap ng derivative.

Upang mahanap ang derivative, kailangan mo ng expression sa ilalim ng stroke sign hatiin ang mga simpleng function at tukuyin kung anong mga aksyon (produkto, kabuuan, kusyente) magkaugnay ang mga function na ito. Dagdag pa, makikita natin ang mga derivatives ng elementary functions sa talahanayan ng mga derivatives, at ang mga formula para sa derivatives ng produkto, sum at quotient - sa mga patakaran ng pagkita ng kaibhan. Ang talahanayan ng mga derivatives at mga panuntunan sa pagkakaiba-iba ay ibinigay pagkatapos ng unang dalawang halimbawa.

Halimbawa 1 Hanapin ang derivative ng isang function

Desisyon. Mula sa mga patakaran ng pagkita ng kaibhan nalaman natin na ang hinango ng kabuuan ng mga pag-andar ay ang kabuuan ng mga derivatives ng mga pag-andar, i.e.

Mula sa talahanayan ng mga derivatives, nalaman namin na ang derivative ng "X" ay katumbas ng isa, at ang derivative ng sine ay cosine. Pinapalitan namin ang mga halagang ito sa kabuuan ng mga derivative at hinahanap ang hinango na kinakailangan ng kondisyon ng problema:

Halimbawa 2 Hanapin ang derivative ng isang function

Desisyon. I-differentiate bilang derivative ng kabuuan, kung saan ang pangalawang termino na may pare-parehong salik, maaari itong alisin sa tanda ng derivative:

Kung mayroon pa ring mga katanungan tungkol sa kung saan nagmula ang isang bagay, sila, bilang panuntunan, ay nagiging malinaw pagkatapos basahin ang talahanayan ng mga derivatives at ang pinakasimpleng mga patakaran ng pagkita ng kaibhan. Pupunta kami sa kanila ngayon.

Talaan ng mga derivatives ng mga simpleng function

1. Derivative ng isang pare-pareho (numero). Anumang numero (1, 2, 5, 200...) na nasa expression ng function. Laging zero. Napakahalagang tandaan ito, dahil madalas itong kinakailangan
2. Derivative ng independent variable. Kadalasan ay "x". Laging katumbas ng isa. Mahalaga rin itong tandaan
3. Derivative ng degree. Kapag nilulutas ang mga problema, kailangan mong i-convert ang mga di-square na ugat sa isang kapangyarihan.
4. Derivative ng isang variable sa kapangyarihan ng -1
5. Derivative ng square root
6. Sine derivative
7. Cosine derivative
8. Tangent derivative
9. Derivative ng cotangent
10. Derivative ng arcsine
11. Derivative ng arc cosine
12. Derivative ng arc tangent
13. Derivative ng inverse tangent
14. Derivative ng natural logarithm
15. Derivative ng isang logarithmic function
16. Derivative ng exponent
17. Derivative ng exponential function

Mga panuntunan sa pagkakaiba-iba

1. Derivative ng kabuuan o pagkakaiba
2. Derivative ng isang produkto
2a. Derivative ng isang expression na pinarami ng isang pare-parehong kadahilanan
3. Derivative ng quotient
4. Derivative ng isang kumplikadong function

Panuntunan 1Kung functions

ay differentiable sa ilang mga punto , pagkatapos ay sa parehong punto ang mga function

at

mga. ang derivative ng algebraic sum of functions ay katumbas ng algebraic sum ng derivatives ng mga function na ito.

Bunga. Kung ang dalawang naiba-iba na pag-andar ay naiiba sa pamamagitan ng isang pare-pareho, kung gayon ang kanilang mga derivatives ay, ibig sabihin.

Panuntunan 2Kung functions

ay naiba-iba sa isang punto , pagkatapos ang kanilang produkto ay naiba-iba din sa parehong punto

at

mga. ang derivative ng produkto ng dalawang function ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng bawat isa sa mga function na ito at ang derivative ng isa pa.

Bunga 1. Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa tanda ng derivative:

Bunga 2. Ang derivative ng produkto ng ilang differentiable function ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng derivative ng bawat salik at lahat ng iba pa.

Halimbawa, para sa tatlong multiplier:

Panuntunan 3Kung functions

naiba sa isang punto at , pagkatapos sa puntong ito ang kanilang quotient ay din differentiable.u/v , at

mga. ang derivative ng isang quotient ng dalawang function ay katumbas ng isang fraction na ang numerator ay ang pagkakaiba sa pagitan ng mga produkto ng denominator at ang derivative ng numerator at numerator at ang derivative ng denominator, at ang denominator ay ang parisukat ng dating numerator .

Kung saan titingin sa ibang mga pahina

Kapag nahanap ang derivative ng produkto at ang quotient sa mga totoong problema, palaging kinakailangan na maglapat ng ilang mga panuntunan sa pagkita ng kaibhan nang sabay-sabay, kaya higit pang mga halimbawa sa mga derivatives na ito ang nasa artikulo."Ang derivative ng isang produkto at isang quotient".

Magkomento. Hindi mo dapat malito ang isang pare-pareho (iyon ay, isang numero) bilang isang termino sa kabuuan at bilang isang pare-parehong kadahilanan! Sa kaso ng isang termino, ang derivative nito ay katumbas ng zero, at sa kaso ng pare-parehong salik, ito ay inalis sa tanda ng mga derivatives. Isa itong tipikal na pagkakamali na nangyayari sa paunang yugto ng pag-aaral ng mga derivatives, ngunit habang ang karaniwang mag-aaral ay nilulutas ang ilang isa-dalawang bahagi na halimbawa, ang pagkakamaling ito ay hindi na nagagawa.

At kung, kapag iniiba ang isang produkto o isang quotient, mayroon kang termino u"v, kung saan u- isang numero, halimbawa, 2 o 5, iyon ay, isang pare-pareho, kung gayon ang derivative ng numerong ito ay magiging katumbas ng zero at, samakatuwid, ang buong termino ay magiging katumbas ng zero (ang ganitong kaso ay sinusuri sa halimbawa 10) .

Ang isa pang karaniwang pagkakamali ay ang mekanikal na solusyon ng derivative ng isang complex function bilang derivative ng isang simpleng function. Kaya derivative ng isang kumplikadong function nakatuon sa isang hiwalay na artikulo. Ngunit matututunan muna nating maghanap ng mga derivatives ng mga simpleng function.

Kasama ang paraan, hindi mo magagawa nang walang pagbabago ng mga expression. Upang gawin ito, maaaring kailanganin mong buksan sa mga bagong window ang mga manual Mga aksyon na may kapangyarihan at ugat at Mga aksyon na may mga fraction .

Kung naghahanap ka ng mga solusyon sa mga derivative na may mga kapangyarihan at ugat, iyon ay, kapag ang function ay mukhang , pagkatapos ay sundan ang aralin na " Derivative of the sum of fractions with powers and roots".

Kung mayroon kang gawain tulad ng , pagkatapos ay mayroon kang aralin na "Derivatives ng simpleng trigonometric functions".

Hakbang-hakbang na mga halimbawa - kung paano hanapin ang derivative

Halimbawa 3 Hanapin ang derivative ng isang function

Desisyon. Tinutukoy namin ang mga bahagi ng pagpapahayag ng function: ang buong expression ay kumakatawan sa produkto, at ang mga salik nito ay mga kabuuan, sa pangalawa kung saan ang isa sa mga termino ay naglalaman ng pare-parehong kadahilanan. Inilapat namin ang panuntunan sa pagkakaiba-iba ng produkto: ang derivative ng produkto ng dalawang function ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng bawat isa sa mga function na ito at ang derivative ng isa pa:

Susunod, inilalapat namin ang tuntunin ng pagkita ng kaibhan ng kabuuan: ang derivative ng algebraic sum ng mga function ay katumbas ng algebraic sum ng mga derivatives ng mga function na ito. Sa aming kaso, sa bawat kabuuan, ang pangalawang termino na may minus sign. Sa bawat kabuuan, makikita natin ang parehong independiyenteng variable, ang derivative nito ay katumbas ng isa, at isang pare-pareho (numero), ang derivative nito ay katumbas ng zero. Kaya, ang "x" ay nagiging isa, at minus 5 - sa zero. Sa pangalawang expression, ang "x" ay pinarami ng 2, kaya pinarami namin ang dalawa sa parehong yunit bilang derivative ng "x". Nakukuha namin ang mga sumusunod na halaga ng mga derivatives:

Pinapalitan namin ang mga nahanap na derivative sa kabuuan ng mga produkto at nakuha ang derivative ng buong function na kinakailangan ng kondisyon ng problema:

At maaari mong suriin ang solusyon ng problema sa derivative sa .

Halimbawa 4 Hanapin ang derivative ng isang function

Desisyon. Kinakailangan nating hanapin ang derivative ng quotient. Inilapat namin ang pormula para sa pagkakaiba-iba ng quotient: ang derivative ng isang quotient ng dalawang function ay katumbas ng isang fraction na ang numerator ay ang pagkakaiba sa pagitan ng mga produkto ng denominator at derivative ng numerator at numerator at ang derivative ng denominator, at ang denominator ay ang parisukat ng dating numerator. Nakukuha namin:

Natagpuan na natin ang derivative ng mga salik sa numerator sa Halimbawa 2. Huwag din nating kalimutan na ang produkto, na siyang pangalawang salik sa numerator, ay kinuha na may minus sign sa kasalukuyang halimbawa:

Kung naghahanap ka ng mga solusyon sa mga problema kung saan kailangan mong hanapin ang derivative ng isang function, kung saan mayroong tuluy-tuloy na tumpok ng mga ugat at degree, tulad ng, halimbawa, pagkatapos ay maligayang pagdating sa klase "Ang derivative ng kabuuan ng mga fraction na may kapangyarihan at ugat" .

Kung kailangan mong matuto nang higit pa tungkol sa mga derivatives ng mga sine, cosine, tangent at iba pang trigonometric function, iyon ay, kapag ang function ay parang , tapos may lesson ka "Mga derivative ng simpleng trigonometric function" .

Halimbawa 5 Hanapin ang derivative ng isang function

Desisyon. Sa function na ito, nakikita natin ang isang produkto, isa sa mga salik kung saan ay ang square root ng independent variable, na may derivative kung saan pamilyar tayo sa talahanayan ng mga derivatives. Ayon sa panuntunan sa pagkita ng kaibhan ng produkto at ang halaga ng tabular ng derivative ng square root, nakukuha natin:

Maaari mong suriin ang solusyon ng derivative na problema sa derivative calculator online .

Halimbawa 6 Hanapin ang derivative ng isang function

Desisyon. Sa function na ito, makikita natin ang quotient, na ang dibidendo ay ang square root ng independent variable. Ayon sa panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng quotient, na inulit namin at inilapat sa halimbawa 4, at ang halaga ng tabular ng derivative ng square root, nakukuha namin:

Upang maalis ang fraction sa numerator, i-multiply ang numerator at denominator sa .