Sa artikulong ito mahahanap namin ang mga sagot sa mga tanong tungkol sa kung paano lumikha ng isang projection ng isang punto sa isang eroplano at kung paano matukoy ang mga coordinate ng projection na ito. Sa teoretikal na bahagi ay aasa tayo sa konsepto ng projection. Tutukuyin namin ang mga tuntunin at magbibigay ng impormasyon na may mga paglalarawan. Pagsamahin natin ang nakuhang kaalaman sa pamamagitan ng paglutas ng mga halimbawa.

Projection, mga uri ng projection

Para sa kaginhawahan ng pagtingin sa mga spatial na figure, ang mga guhit na naglalarawan sa mga figure na ito ay ginagamit.

Kahulugan 1

Projection ng isang figure papunta sa isang eroplano– pagguhit ng spatial figure.

Malinaw, mayroong ilang mga panuntunan na ginagamit upang bumuo ng isang projection.

Kahulugan 2

Projection– ang proseso ng paggawa ng drawing ng spatial figure sa isang eroplano gamit ang mga panuntunan sa konstruksyon.

Plano ng projection- ito ang eroplano kung saan itinayo ang imahe.

Tinutukoy ng paggamit ng ilang partikular na panuntunan ang uri ng projection: sentral o parallel.

Ang isang espesyal na kaso ng parallel projection ay perpendicular projection o orthogonal: sa geometry ito ay pangunahing ginagamit. Para sa kadahilanang ito, ang pang-uri na "perpendicular" mismo ay madalas na tinanggal sa pagsasalita: sa geometry ay sinasabi lang nila ang "projection ng isang figure" at sa pamamagitan nito ay nangangahulugan sila ng pagbuo ng isang projection gamit ang paraan ng perpendicular projection. Sa mga espesyal na kaso, siyempre, iba pa ang maaaring sumang-ayon.

Tandaan natin ang katotohanan na ang projection ng isang figure papunta sa isang eroplano ay mahalagang projection ng lahat ng mga punto ng figure na ito. Samakatuwid, upang makapag-aral ng spatial figure sa isang drawing, kinakailangan na makuha ang pangunahing kasanayan sa pag-project ng isang punto sa isang eroplano. Kung ano ang pag-uusapan natin sa ibaba.

Alalahanin natin na kadalasan sa geometry, kapag nagsasalita tungkol sa projection sa isang eroplano, ang ibig nilang sabihin ay ang paggamit ng perpendicular projection.

Gumawa tayo ng mga konstruksyon na magbibigay sa atin ng pagkakataong makakuha ng kahulugan ng projection ng isang punto sa isang eroplano.

Sabihin nating isang tatlong-dimensional na espasyo ang ibinigay, at sa loob nito ay mayroong isang eroplanong α at isang puntong M 1 na hindi kabilang sa eroplanong α. Gumuhit ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng ibinigay na punto M A patayo sa isang ibinigay na eroplano α. Tinutukoy namin ang punto ng intersection ng tuwid na linya a at eroplano α bilang H 1; sa pamamagitan ng pagbuo, ito ay magsisilbing base ng isang patayo na bumaba mula sa punto M 1 hanggang sa eroplano α.

Kung ang isang puntong M 2 ay ibinigay, na kabilang sa isang ibinigay na eroplano α, ang M 2 ay magsisilbing isang projection ng sarili nito papunta sa eroplanong α.

Kahulugan 3

- ito ay alinman sa punto mismo (kung ito ay kabilang sa isang partikular na eroplano), o ang base ng isang patayo na bumaba mula sa isang partikular na punto patungo sa isang partikular na eroplano.

Paghahanap ng mga coordinate ng projection ng isang punto sa isang eroplano, mga halimbawa

Hayaang ibigay ang mga sumusunod sa three-dimensional na espasyo: isang rectangular coordinate system O x y z, isang plane α, isang point M 1 (x 1, y 1, z 1). Kinakailangang hanapin ang mga coordinate ng projection ng point M 1 sa isang naibigay na eroplano.

Malinaw na sumusunod ang solusyon mula sa kahulugang ibinigay sa itaas ng projection ng isang punto papunta sa isang eroplano.

Tukuyin natin ang projection ng point M 1 papunta sa eroplano α bilang H 1 . Ayon sa kahulugan, ang H 1 ay ang intersection point ng isang ibinigay na eroplano α at isang tuwid na linya na iginuhit sa puntong M 1 (patayo sa eroplano). Yung. Ang mga coordinate ng projection ng point M1 na kailangan namin ay ang mga coordinate ng point of intersection ng straight line a at plane α.

Kaya, upang mahanap ang mga coordinate ng projection ng isang punto sa isang eroplano ito ay kinakailangan:

Kunin ang equation ng plane α (kung hindi ito tinukoy). Ang isang artikulo tungkol sa mga uri ng mga equation ng eroplano ay makakatulong sa iyo dito;

Tukuyin ang equation ng isang linya na dumadaan sa punto M 1 at patayo sa eroplanong α (pag-aralan ang paksa tungkol sa equation ng isang linya na dumadaan sa isang partikular na puntong patayo sa isang partikular na eroplano);

Hanapin ang mga coordinate ng punto ng intersection ng tuwid na linya a at ang eroplano α (artikulo - paghahanap ng mga coordinate ng punto ng intersection ng eroplano at linya). Ang data na nakuha ay ang mga coordinate na kailangan namin para sa projection ng point M 1 papunta sa eroplano α.

Tingnan natin ang teorya na may mga praktikal na halimbawa.

Halimbawa 1

Tukuyin ang mga coordinate ng projection ng point M 1 (- 2, 4, 4) papunta sa eroplano 2 x – 3 y + z - 2 = 0.

Solusyon

Tulad ng nakikita natin, ang equation ng eroplano ay ibinigay sa atin, i.e. hindi na kailangang i-compile ito.

Isulat natin ang mga canonical equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa punto M 1 at patayo sa ibinigay na eroplano. Para sa mga layuning ito, tinutukoy namin ang mga coordinate ng nagdidirekta na vector ng tuwid na linya a. Dahil ang linya a ay patayo sa isang naibigay na eroplano, ang vector ng direksyon ng linya a ay ang normal na vector ng eroplano 2 x - 3 y + z - 2 = 0. kaya, a → = (2, - 3, 1) – vector ng direksyon ng tuwid na linya a.

Ngayon, buuin natin ang mga canonical equation ng isang linya sa espasyo na dumadaan sa punto M 1 (- 2, 4, 4) at pagkakaroon ng vector ng direksyon. a → = (2 , - 3 , 1):

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1

Upang mahanap ang kinakailangang mga coordinate, ang susunod na hakbang ay upang matukoy ang mga coordinate ng intersection point ng tuwid na linya x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 at ang eroplano 2 x - 3 y + z - 2 = 0 . Para sa mga layuning ito, lumipat tayo mula sa mga canonical equation patungo sa mga equation ng dalawang intersecting na eroplano:

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 · (x + 2) = 2 · (y - 4) 1 · (x + 2) = 2 · (z - 4) 1 · ( y - 4) = - 3 (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0

Gumawa tayo ng isang sistema ng mga equation:

3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2

At lutasin natin ito gamit ang paraan ng Cramer:

∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 3 2 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ z ∆ 140 - 28 = 5

Kaya, ang mga kinakailangang coordinate ng isang naibigay na punto M 1 sa isang naibigay na eroplano α ay magiging: (0, 1, 5).

Sagot: (0 , 1 , 5) .

Halimbawa 2

Sa isang rectangular coordinate system O x y z ng three-dimensional space, ang mga puntos A (0, 0, 2) ay ibinibigay; B (2, - 1, 0); C (4, 1, 1) at M 1 (-1, -2, 5). Kinakailangang hanapin ang mga coordinate ng projection M 1 sa eroplano A B C

Solusyon

Una sa lahat, isinulat namin ang equation ng isang eroplano na dumadaan sa tatlong ibinigay na mga punto:

x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6 y + 6 z - 12 = 0 ⇔ x - 2 y + 2 z - 4 = 0

Isulat natin ang mga parametric equation ng linya a, na dadaan sa puntong M 1 patayo sa eroplano A B C. Ang eroplano x – 2 y + 2 z – 4 = 0 ay may normal na vector na may mga coordinate (1, - 2, 2), ibig sabihin. vector a → = (1, - 2, 2) – vector ng direksyon ng tuwid na linya a.

Ngayon, ang pagkakaroon ng mga coordinate ng punto ng linya M 1 at ang mga coordinate ng vector ng direksyon ng linyang ito, isinulat namin ang mga parametric equation ng linya sa espasyo:

Pagkatapos ay tinutukoy namin ang mga coordinate ng intersection point ng eroplano x – 2 y + 2 z – 4 = 0 at ang tuwid na linya

x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ

Upang gawin ito, pinapalitan namin ang equation ng eroplano:

x = - 1 + λ, y = - 2 - 2 λ, z = 5 + 2 λ

Ngayon, gamit ang mga parametric equation x = - 1 + λ y = - 2 - 2 · λ z = 5 + 2 · λ, hinahanap namin ang mga halaga ng mga variable na x, y at z para sa λ = - 1: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 · (- 1) z = 5 + 2 · (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3

Kaya, ang projection ng point M 1 papunta sa eroplano A B C ay magkakaroon ng mga coordinate (- 2, 0, 3).

Sagot: (- 2 , 0 , 3) .

Magkahiwalay nating pag-isipan ang isyu ng paghahanap ng mga coordinate ng projection ng isang punto sa mga coordinate na eroplano at mga eroplano na parallel sa mga coordinate na eroplano.

Hayaang ibigay ang mga puntos na M 1 (x 1, y 1, z 1) at coordinate planes O x y, O x z at O ​​y z. Ang mga coordinate ng projection ng puntong ito sa mga eroplanong ito ay magiging, ayon sa pagkakabanggit: (x 1, y 1, 0), (x 1, 0, z 1) at (0, y 1, z 1). Isaalang-alang din natin ang mga eroplano na parallel sa ibinigay na mga coordinate na eroplano:

C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B

At ang mga projection ng isang ibinigay na punto M 1 sa mga eroplanong ito ay magiging mga puntos na may mga coordinate x 1, y 1, - D C, x 1, - D B, z 1 at - D A, y 1, z 1.

Ipakita natin kung paano nakuha ang resultang ito.

Bilang halimbawa, tukuyin natin ang projection ng point M 1 (x 1, y 1, z 1) sa eroplano A x + D = 0. Ang natitirang mga kaso ay magkatulad.

Ang ibinigay na eroplano ay parallel sa coordinate plane O y z at i → = (1, 0, 0) ay ang normal na vector nito. Ang parehong vector ay nagsisilbing vector ng direksyon ng linya na patayo sa O y z plane. Pagkatapos ang mga parametric equation ng isang tuwid na linya na iginuhit sa puntong M 1 at patayo sa isang naibigay na eroplano ay magkakaroon ng anyo:

x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1

Hanapin natin ang mga coordinate ng intersection point ng linyang ito at ang ibinigay na eroplano. Palitan muna natin ang equalities sa equation na A x + D = 0: x = x 1 + λ , y = y 1 , z = z 1 at makuha ang: A · (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - D A - x 1

Pagkatapos ay kinakalkula namin ang mga kinakailangang coordinate gamit ang mga parametric equation ng tuwid na linya na may λ = - D A - x 1:

x = x 1 + - D A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D A y = y 1 z = z 1

Iyon ay, ang projection ng point M 1 (x 1, y 1, z 1) papunta sa eroplano ay magiging isang punto na may mga coordinate - D A, y 1, z 1.

Halimbawa 2

Kinakailangang matukoy ang mga coordinate ng projection ng point M 1 (- 6, 0, 1 2) sa coordinate plane O x y at sa eroplano 2 y - 3 = 0.

Solusyon

Ang coordinate plane O x y ay tumutugma sa hindi kumpletong pangkalahatang equation ng plane z = 0. Ang projection ng point M 1 papunta sa plane z = 0 ay magkakaroon ng mga coordinate (- 6, 0, 0).

Ang plane equation 2 y - 3 = 0 ay maaaring isulat bilang y = 3 2 2. Ngayon isulat lamang ang mga coordinate ng projection ng point M 1 (- 6, 0, 1 2) sa eroplano y = 3 2 2:

6 , 3 2 2 , 1 2

Sagot:(- 6 , 0 , 0) at - 6 , 3 2 2 , 1 2

Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Hanapin ang acute angle sa pagitan ng mga diagonal ng isang paralelogram na binuo gamit ang mga vectors

5) Tukuyin ang mga coordinate ng vector c, na nakadirekta sa kahabaan ng bisector ng anggulo sa pagitan ng mga vectors a at b, kung ang vector c = 3 mga ugat ng 42. a=(2;-3;6), b=(-1;2; -2)

Hanapin natin ang unit vector e_a codirectional na may:

katulad ng e_b = b/|b|,

pagkatapos ang nais na vector ay ididirekta sa parehong paraan tulad ng vector sum e_a+e_b, dahil (e_a+e_b) ay ang dayagonal ng isang rhombus, na bisector ng anggulo nito.

Ipahiwatig natin ang (e_a+e_b)=d,

Maghanap tayo ng unit vector na nakadirekta sa kahabaan ng bisector: e_c = d/|d|

Kung |c| = 3*sqrt(42), pagkatapos ay c = |c|*e_c. Iyon lang.

Hanapin ang linear na relasyon sa pagitan ng apat na non-coplanar vector na ito: p=a+b; q=b-c; r=a-b+c; s=b+(1/2)*c

Mula sa unang tatlong pagkakapantay-pantay, subukang ipahayag ang `a,b,c` sa mga tuntunin ng `p,q,r` (magsimula sa pamamagitan ng pagdaragdag ng pangalawa at pangatlong equation). Pagkatapos ay palitan ang `b` at `c` sa huling equation ng mga expression na nakita mo sa mga tuntunin ng `p,q,r`.

13) Hanapin ang equation ng eroplanong dumadaan sa mga puntong A(2, -1, 4) at B(3, 2, -1) patayo sa eroplanong x + y + 2z – 3 = 0. Ang kinakailangang equation ng eroplano ay may anyo: Ax + By + Cz + D = 0, ang normal na vector sa eroplanong ito (A, B, C). Ang vector (1, 3, -5) ay kabilang sa eroplano. Ang eroplano na ibinigay sa amin, patayo sa ninanais, ay may normal na vector (1, 1, 2). kasi Ang mga puntong A at B ay nabibilang sa parehong mga eroplano, at ang mga eroplano ay magkaparehong patayo, pagkatapos ang normal na vector ay (11, -7, -2). kasi Ang punto A ay kabilang sa nais na eroplano, kung gayon ang mga coordinate nito ay dapat matugunan ang equation ng eroplanong ito, i.e. 11×2 + 7×1 - 2×4 + D = 0; D = -21. Sa kabuuan, nakukuha natin ang equation ng eroplano: 11x - 7y – 2z – 21 = 0.

14) Ang equation ng isang eroplano na dumadaan sa isang linya na kahanay ng isang vector.

Hayaang dumaan ang nais na eroplano sa tuwid na linya (x-x1)/a1 = (y-y1)/b1 = (z-z1)/c1 parallel sa tuwid na linya (x-x2)/a2 = (y-y2) /b2 = (z -z2)/c2 .

Kung gayon ang normal na vector ng eroplano ay ang produkto ng vector ng mga vector ng direksyon ng mga linyang ito:

Hayaang ang mga coordinate ng produkto ng vector ay (A;B;C). Ang nais na eroplano ay dumadaan sa punto (x1;y1;z1). Ang normal na vector at ang punto kung saan dumadaan ang eroplano ay natatanging tinutukoy ang equation ng nais na eroplano:

A·(x-x1) + B·(y-y1) + C·(z-z1) = 0

17) Hanapin ang equation ng linyang dumadaan sa puntong A(5, -1) patayo sa linyang 3x - 7y + 14 = 0.

18) Sumulat ng isang equation para sa isang tuwid na linya na dumadaan sa punto M patayo sa ibinigay na eroplano M(4,3,1) x+3y+5z-42=0

(x - x0) / n = (y - y0) / m = (z - z0) / p

M(x0,y0,z0) - ang iyong punto M(4,3,1)

(n, m, p) - ang nagdidirekta na vector ng linya, na kilala rin bilang normal na vector para sa isang partikular na ibabaw (1, 3, 5) (mga coefficient para sa mga variable na x, y, z sa equation ng eroplano)

Hanapin ang projection ng isang punto sa isang eroplano

Point M(1,-3,2), eroplano 2x+5y-3z-19=0

Ang pag-aaral ng mga katangian ng mga figure sa kalawakan at sa isang eroplano ay imposible nang hindi nalalaman ang mga distansya sa pagitan ng isang punto at tulad ng mga geometric na bagay bilang isang tuwid na linya at isang eroplano. Sa artikulong ito ipapakita namin kung paano hanapin ang mga distansyang ito sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa projection ng isang punto sa isang eroplano at papunta sa isang tuwid na linya.

Equation ng isang tuwid na linya para sa dalawang-dimensional at tatlong-dimensional na espasyo

Ang pagkalkula ng mga distansya ng isang punto sa isang tuwid na linya at isang eroplano ay isinasagawa gamit ang projection nito sa mga bagay na ito. Upang mahanap ang mga projection na ito, dapat mong malaman kung anong anyo ang ibinigay na mga equation para sa mga linya at eroplano. Magsimula tayo sa mga una.

Ang isang tuwid na linya ay isang koleksyon ng mga puntos, ang bawat isa ay maaaring makuha mula sa nauna sa pamamagitan ng paglilipat nito sa mga vectors na kahanay sa bawat isa. Halimbawa, mayroong isang puntong M at N. Ang vector MN¯ na kumukonekta sa kanila ay tumatagal ng M hanggang N. Mayroon ding ikatlong puntong P. Kung ang vector MP¯ o NP¯ ay parallel sa MN¯, kung gayon ang lahat ng tatlong puntos ay nasa ibabaw. ang parehong linya at bumuo nito.

Depende sa dimensyon ng espasyo, ang equation na tumutukoy sa linya ay maaaring magbago ng anyo nito. Kaya, ang kilalang linear dependence ng coordinate y sa x sa espasyo ay naglalarawan ng isang eroplano na parallel sa ikatlong axis z. Kaugnay nito, sa artikulong ito ay isasaalang-alang lamang natin ang vector equation para sa linya. Ito ay may parehong hitsura para sa isang eroplano at tatlong-dimensional na espasyo.

Sa espasyo, ang isang tuwid na linya ay maaaring tukuyin sa pamamagitan ng sumusunod na expression:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α*(a; b; c)

Dito, ang mga halaga ng coordinate na may mga zero na indeks ay tumutugma sa isang tiyak na punto na kabilang sa linya, u¯(a; b; c) ay ang mga coordinate ng vector ng direksyon na nasa linyang ito, ang α ay isang arbitrary na tunay na numero, sa pamamagitan ng pagbabago na maaari mong makuha ang lahat ng mga punto ng linya. Ang equation na ito ay tinatawag na vector equation.

Ang equation sa itaas ay madalas na nakasulat sa pinalawak na anyo:

Sa katulad na paraan, maaari mong isulat ang equation para sa isang linya na matatagpuan sa isang eroplano, iyon ay, sa dalawang-dimensional na espasyo:

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α*(a; b);

Equation ng eroplano

Upang mahanap ang distansya mula sa isang punto hanggang sa mga projection na eroplano, kailangan mong malaman kung paano tinukoy ang isang eroplano. Tulad ng isang tuwid na linya, maaari itong ilarawan sa maraming paraan. Isa lamang ang isasaalang-alang natin dito: ang pangkalahatang equation.

Ipagpalagay na ang puntong M(x 0 ; y 0 ; z 0) ay kabilang sa eroplano, at ang vector n¯(A; B; C) ay patayo dito, pagkatapos ay para sa lahat ng puntos (x; y; z) ng eroplano ang pagkakapantay-pantay ay magiging wasto:

A*x + B*y + C*z + D = 0, kung saan D = -1*(A*x 0 + B*y 0 + C*z 0)

Dapat tandaan na sa pangkalahatang equation ng eroplano na ito, ang mga coefficient A, B at C ay ang mga coordinate ng normal na vector sa eroplano.

Pagkalkula ng mga distansya sa pamamagitan ng mga coordinate

Bago magpatuloy sa pagsasaalang-alang ng mga projection papunta sa eroplano ng isang punto at papunta sa isang tuwid na linya, ito ay nagkakahalaga ng pag-alala kung paano kalkulahin ang distansya sa pagitan ng dalawang kilalang mga punto.

Hayaang mayroong dalawang spatial na punto:

A 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) at A 2 (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2)

Pagkatapos ang distansya sa pagitan ng mga ito ay kinakalkula ng formula:

A 1 A 2 = √((x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2 +(z 2 -z 1) 2)

Gamit ang expression na ito, tinutukoy din ang haba ng vector A 1 A 2 ¯.

Para sa kaso sa eroplano, kapag ang dalawang punto ay tinukoy sa pamamagitan lamang ng isang pares ng mga coordinate, maaari tayong magsulat ng isang katulad na pagkakapantay-pantay nang walang pagkakaroon ng isang term na may z sa loob nito:

A 1 A 2 = √((x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2)

Ngayon isaalang-alang natin ang iba't ibang mga kaso ng projection sa isang eroplano ng isang punto papunta sa isang tuwid na linya at papunta sa isang eroplano sa kalawakan.

Punto, linya at distansya sa pagitan nila

Ipagpalagay na mayroong isang punto at isang linya:

P 2 (x 1 ; y 1);

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α*(a; b)

Ang distansya sa pagitan ng mga geometric na bagay na ito ay tumutugma sa haba ng vector, ang simula nito ay nasa punto P 2, at ang dulo ay nasa punto P sa tinukoy na linya kung saan ang vector P 2 P ¯ ay patayo dito. linya. Point P ay tinatawag na projection ng point P 2 papunta sa linya na isinasaalang-alang.

Nasa ibaba ang figure na nagpapakita ng point P 2, ang distansya nito d sa linya, pati na rin ang vector ng direksyon v 1 ¯. Gayundin, ang isang di-makatwirang punto P 1 ay pinili sa linya at ang isang vector ay iginuhit mula dito patungo sa P 2. Ang punto P dito ay tumutugma sa lugar kung saan ang perpendicular ay nagsalubong sa linya.

Makikita na ang orange at pulang arrow ay bumubuo ng parallelogram, ang mga gilid nito ay ang mga vectors P 1 P 2 ¯ at v 1 ¯, at ang taas ay d. Ito ay kilala mula sa geometry na upang mahanap ang taas ng isang paralelogram, ang lugar nito ay dapat na hatiin sa haba ng base kung saan ibinababa ang patayo. Dahil ang lugar ng isang paralelogram ay kinakalkula bilang produkto ng vector ng mga panig nito, nakakakuha kami ng isang formula para sa pagkalkula ng d:

d = ||/|v 1 ¯|

Ang lahat ng mga vector at coordinate ng mga punto sa expression na ito ay kilala, kaya maaari mong gamitin ito nang hindi nagsasagawa ng anumang mga pagbabago.

Ang problemang ito ay maaaring malutas sa ibang paraan. Upang gawin ito, sumulat ng dalawang equation:

• ang scalar product ng P 2 P ¯ ng v 1 ¯ ay dapat na katumbas ng zero, dahil ang mga vector na ito ay magkaparehong patayo;
• ang mga coordinate ng point P ay dapat matugunan ang equation ng linya.

Ang mga equation na ito ay sapat na upang mahanap ang mga coordinate P, at pagkatapos ay ang haba d gamit ang formula na ibinigay sa nakaraang talata.

Ang gawain ng paghahanap ng distansya sa pagitan ng isang linya at isang punto

Ipapakita namin kung paano gamitin ang teoretikal na impormasyong ito upang malutas ang isang partikular na problema. Ipagpalagay na ang sumusunod na punto at linya ay kilala:

(x; y) = (3; 1) - α*(0; 2)

Kinakailangang hanapin ang mga punto ng projection sa isang tuwid na linya sa eroplano, pati na rin ang distansya mula M hanggang sa tuwid na linya.

Tukuyin natin ang projection na makikita sa puntong M 1 (x 1 ; y 1). Lutasin natin ang problemang ito sa dalawang paraan, na inilarawan sa nakaraang talata.

Paraan 1. Ang vector ng direksyon v 1 ¯ ay may mga coordinate (0; 2). Upang makabuo ng paralelogram, pumili kami ng ilang punto na kabilang sa linya. Halimbawa, isang punto na may mga coordinate (3; 1). Pagkatapos ang vector ng pangalawang bahagi ng paralelogram ay magkakaroon ng mga coordinate:

(5; -3) - (3; 1) = (2; -4)

Ngayon ay kailangan mong kalkulahin ang produkto ng mga vector na tumutukoy sa mga gilid ng paralelogram:

Pinapalitan namin ang halagang ito sa formula at makuha ang distansya d mula sa M hanggang sa tuwid na linya:

Paraan 2. Ngayon hanapin natin sa ibang paraan hindi lamang ang distansya, kundi pati na rin ang mga coordinate ng projection M sa tuwid na linya, ayon sa hinihiling ng kondisyon ng problema. Tulad ng nabanggit sa itaas, upang malutas ang problema ito ay kinakailangan upang lumikha ng isang sistema ng mga equation. Magmumukha itong:

(x 1 -5)*0+(y 1 +3)*2 = 0;

(x 1 ; y 1) = (3; 1)-α*(0; 2)

Lutasin natin ang sistemang ito:

Ang projection ng orihinal na coordinate point ay may M 1 (3; -3). Kung gayon ang kinakailangang distansya ay:

d = |MM 1 ¯| = √(4+0) = 2

Tulad ng nakikita mo, ang parehong mga pamamaraan ng solusyon ay nagbigay ng parehong resulta, na nagpapahiwatig ng kawastuhan ng mga operasyong matematikal na isinagawa.

Projection ng isang punto sa isang eroplano

Ngayon isaalang-alang natin kung ano ang projection ng isang punto na ibinigay sa espasyo papunta sa isang tiyak na eroplano. Madaling hulaan na ang projection na ito ay isa ring punto na, kasama ang orihinal, ay bumubuo ng isang vector na patayo sa eroplano.

Ipagpalagay natin na ang projection sa eroplano ng point M ay may mga sumusunod na coordinate:

Ang eroplano mismo ay inilarawan ng equation:

A*x + B*y + C*z + D = 0

Batay sa mga datos na ito, maaari tayong lumikha ng isang equation para sa isang linya na nagsasalubong sa eroplano sa tamang anggulo at dumadaan sa M at M 1:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α*(A; B; C)

Dito, ang mga variable na may zero na mga indeks ay ang mga coordinate ng point M. Ang posisyon sa eroplano ng point M 1 ay maaaring kalkulahin batay sa katotohanan na ang mga coordinate nito ay dapat matugunan ang parehong nakasulat na equation. Kung ang mga equation na ito ay hindi sapat upang malutas ang problema, maaari mong gamitin ang kundisyon ng parallelism sa pagitan ng MM 1 ¯ at ng gabay na vector para sa isang partikular na eroplano.

Malinaw, ang projection ng isang punto na kabilang sa eroplano ay tumutugma sa sarili nito, at ang katumbas na distansya ay zero.

Problema sa isang punto at isang eroplano

Hayaang magbigay ng isang puntong M(1; -1; 3) at isang eroplano, na inilalarawan ng sumusunod na pangkalahatang equation:

Kinakailangang kalkulahin ang mga coordinate ng projection sa eroplano ng punto at kalkulahin ang distansya sa pagitan ng mga geometric na bagay na ito.

Una, buuin natin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa M at patayo sa ipinahiwatig na eroplano. Mukhang:

(x; y; z) = (1; -1; 3) + α*(-1; 3; -2)

Tukuyin natin ang punto kung saan ang linyang ito ay nag-intersect sa eroplano bilang M 1 . Ang mga pagkakapantay-pantay para sa eroplano at ang linya ay dapat masiyahan kung ang mga coordinate M 1 ay pinapalitan sa kanila. Sa tahasang pagsulat ng equation ng linya, nakukuha namin ang sumusunod na apat na pagkakapantay-pantay:

X 1 + 3*y 1 -2*z 1 + 4 = 0;

y 1 = -1 + 3*α;

Mula sa huling pagkakapantay-pantay ay nakuha natin ang parameter na α, pagkatapos ay pinapalitan natin ito sa penultimate at pangalawang expression, nakukuha natin:

y 1 = -1 + 3*(3-z 1)/2 = -3/2*z 1 + 3.5;

x 1 = 1 - (3-z 1)/2 = 1/2*z 1 - 1/2

Pinapalitan namin ang expression para sa y 1 at x 1 sa equation para sa eroplano, mayroon kaming:

1*(1/2*z 1 - 1/2) + 3*(-3/2*z 1 + 3.5) -2*z 1 + 4 = 0

Saan natin ito makukuha:

y 1 = -3/2*15/7 + 3.5 = 2/7;

x 1 = 1/2*15/7 - 1/2 = 4/7

Natukoy namin na ang projection ng point M sa isang naibigay na eroplano ay tumutugma sa mga coordinate (4/7; 2/7; 15/7).

Ngayon kalkulahin natin ang distansya |MM 1 ¯|. Ang mga coordinate ng kaukulang vector ay:

MM 1 ¯(-3/7; 9/7; -6/7)

Ang kinakailangang distansya ay:

d = |MM 1 ¯| = √126/7 ≈ 1.6

Tatlong puntong projection

Sa panahon ng paggawa ng mga guhit, madalas na kinakailangan upang makakuha ng mga projection ng mga seksyon sa magkaparehong patayo na tatlong eroplano. Samakatuwid, kapaki-pakinabang na isaalang-alang kung ano ang magiging katumbas ng mga projection ng isang tiyak na punto M na may mga coordinate (x 0 ; y 0 ; z 0) sa tatlong coordinate plane.

Hindi mahirap ipakita na ang xy plane ay inilalarawan ng equation z = 0, ang xz plane ay tumutugma sa expression na y = 0, at ang natitirang yz plane ay tinutukoy ng x = 0. Hindi mahirap hulaan na ang Ang mga projection ng isang punto sa 3 eroplano ay magiging pantay:

para sa x = 0: (0; y 0; z 0);

para sa y = 0: (x 0 ; 0 ; z 0);

para sa z = 0: (x 0 ; y 0 ; 0)

Saan mahalagang malaman ang projection ng isang punto at ang distansya nito sa mga eroplano?

Ang pagtukoy sa posisyon ng projection ng mga puntos sa isang partikular na eroplano ay mahalaga kapag naghahanap ng mga dami tulad ng surface area at volume para sa mga inclined prisms at pyramids. Halimbawa, ang distansya mula sa tuktok ng pyramid hanggang sa base plane ay ang taas. Ang huli ay kasama sa formula para sa dami ng figure na ito.

Ang itinuturing na mga formula at pamamaraan para sa pagtukoy ng mga projection at mga distansya mula sa isang punto hanggang sa isang tuwid na linya at eroplano ay medyo simple. Mahalaga lamang na tandaan ang mga kaukulang anyo ng mga equation ng isang eroplano at isang tuwid na linya, gayundin ang magkaroon ng magandang spatial na imahinasyon upang matagumpay na mailapat ang mga ito.

Kapag nilulutas ang mga problemang geometriko sa espasyo, madalas na lumitaw ang problema sa pagtukoy ng distansya sa pagitan ng isang eroplano at isang punto. Sa ilang mga kaso ito ay kinakailangan para sa isang komprehensibong solusyon. Ang halagang ito ay maaaring kalkulahin sa pamamagitan ng paghahanap ng projection sa eroplano ng punto. Tingnan natin ang isyung ito nang mas detalyado sa artikulo.

Equation upang ilarawan ang isang eroplano

Bago magpatuloy upang isaalang-alang ang tanong kung paano hanapin ang projection ng isang punto sa isang eroplano, dapat kang maging pamilyar sa mga uri ng mga equation na tumutukoy sa huli sa tatlong-dimensional na espasyo. Higit pang mga detalye sa ibaba.

Ang isang pangkalahatang equation na tumutukoy sa lahat ng mga punto na kabilang sa isang partikular na eroplano ay ang mga sumusunod:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Ang unang tatlong coefficient ay ang mga coordinate ng vector, na tinatawag na gabay para sa eroplano. Ito ay kasabay ng normal para dito, iyon ay, ito ay patayo. Ang vector na ito ay tinutukoy ng n¯(A; B; C). Ang libreng coefficient D ay natatanging tinutukoy mula sa kaalaman sa mga coordinate ng anumang puntong kabilang sa eroplano.

Ang konsepto ng point projection at pagkalkula nito

Ipagpalagay na ang ilang punto P(x 1 ; y 1 ; z 1) at isang eroplano ay ibinigay. Ito ay tinukoy ng equation sa pangkalahatang anyo. Kung gumuhit tayo ng isang patayo na linya mula sa P patungo sa isang naibigay na eroplano, kung gayon ay malinaw na ito ay magsalubong sa huli sa isang tiyak na punto Q (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2). Ang Q ay tinatawag na projection ng P sa eroplanong isinasaalang-alang. Ang haba ng segment na PQ ay tinatawag na distansya mula sa punto P hanggang sa eroplano. Kaya ang PQ mismo ay patayo sa eroplano.

Paano mo mahahanap ang mga coordinate ng projection ng isang punto sa isang eroplano? Hindi mahirap gawin ito. Una, kailangan mong lumikha ng isang equation para sa isang tuwid na linya na magiging patayo sa eroplano. Mapapabilang dito ang puntong P. Dahil ang normal na vector n¯(A; B; C) ng linyang ito ay dapat magkaparehas, ang equation para dito sa naaangkop na anyo ay isusulat tulad ng sumusunod:

(x; y; z) = (x 1; y 1; z 1) + λ*(A; B; C).

Kung saan ang λ ay isang tunay na numero, na karaniwang tinatawag na parameter ng equation. Sa pamamagitan ng pagbabago nito, maaari kang makakuha ng anumang punto sa linya.

Matapos maisulat ang vector equation para sa isang linyang patayo sa eroplano, kinakailangan upang mahanap ang karaniwang intersection point para sa mga geometric na bagay na isinasaalang-alang. Ang mga coordinate nito ay ang projection P. Dahil dapat nilang matugunan ang parehong pagkakapantay-pantay (para sa linya at para sa eroplano), ang problema ay nabawasan sa paglutas ng kaukulang sistema ng mga linear equation.

Ang konsepto ng projection ay kadalasang ginagamit sa pag-aaral ng mga guhit. Inilalarawan nila ang mga lateral at horizontal projection ng bahagi sa zy, zx, at xy plane.

Kinakalkula ang distansya mula sa isang eroplano hanggang sa isang punto

Tulad ng nabanggit sa itaas, ang pag-alam sa mga coordinate ng projection sa eroplano ng isang punto ay nagpapahintulot sa iyo na matukoy ang distansya sa pagitan nila. Gamit ang notasyong ipinakilala sa nakaraang talata, nakita namin na ang kinakailangang distansya ay katumbas ng haba ng segment na PQ. Upang kalkulahin ito, sapat na upang mahanap ang mga coordinate ng vector PQ¯, at pagkatapos ay kalkulahin ang module nito gamit ang kilalang formula. Ang pangwakas na expression para sa d distansya sa pagitan ng P point at ng eroplano ay nasa anyo:

d = |PQ¯| = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2).

Ang resultang halaga ng d ay ipinakita sa mga yunit kung saan ang kasalukuyang Cartesian xyz coordinate system ay tinukoy.

Halimbawang gawain

Sabihin nating mayroong isang punto N(0; -2; 3) at isang eroplano, na inilalarawan ng sumusunod na equation:

Kailangan mong hanapin ang mga projection point sa eroplano at kalkulahin ang distansya sa pagitan nila.

Una sa lahat, gumawa tayo ng isang equation para sa isang tuwid na linya na nagsa-intersect sa eroplano sa isang anggulo na 90 o. Meron kami:

(x; y; z) = (0; -2; 3) + λ*(2; -1; 1).

Sa tahasang pagsulat ng pagkakapantay-pantay na ito, nakarating tayo sa sumusunod na sistema ng mga equation:

Ang pagpapalit ng mga halaga ng coordinate mula sa unang tatlong pagkakapantay-pantay hanggang sa ikaapat, nakuha namin ang halaga λ, na tumutukoy sa mga coordinate ng karaniwang punto ng linya at ng eroplano:

2*(2*λ) - (-2 - λ) + λ + 3 + 4 = 0 =>

6*λ + 9 = 0 =>

λ = 9/6 = 3/2 = 1.5.

Palitan natin ang nahanap na parameter at hanapin ang mga coordinate ng projection ng panimulang punto sa eroplano:

(x; y; z) = (0; -2; 3) + 1.5*(2; -1; 1) = (3; -3.5; 4.5).

Upang kalkulahin ang distansya sa pagitan ng mga geometric na bagay na tinukoy sa pahayag ng problema, inilalapat namin ang formula para sa d:

d = √((3 - 0) 2 + (-3.5 + 2) 2 + (4.5 - 3) 2) = 3.674.

Sa problemang ito ipinakita namin kung paano hanapin ang projection ng isang punto sa isang arbitrary na eroplano at kung paano kalkulahin ang distansya sa pagitan nila.