IKALAWANG SEKSYON.

MGA PAGBABAGO NG IDENTIDAD

(UNANG APAT NA ALGEBRAIC ACTIONS).

Unang kabanata.

Polynomial at monomial.

42. Polinomyal at monomial. Ang isang algebraic expression na binubuo ng ilang iba pang mga expression na konektado ng + o - sign ay tinatawag na polynomial. Halimbawa, ito ang expression:

Ang mga hiwalay na expression, mula sa kumbinasyon kung saan ang + o - sign ay naging isang polynomial, ay tinatawag na mga miyembro nito. Karaniwan ang mga termino ng isang polynomial ay isinasaalang-alang kasama ang mga palatandaan na nakatayo sa harap nila; halimbawa, sinasabi nila: miyembro - a , miyembro + b 2, atbp. Bago ang unang miyembro, kung walang nakalagay na karatula sa harap nito, ang ibig sabihin ay enak +; kaya, sa aming halimbawa, ang unang termino ay ab o + ab .

Ang isang expression na binubuo ng isang miyembro lamang ay tinatawag na isang termino, ng dalawang miyembro - dalawang termino, ng tatlo - tatlong termino, atbp. Ang monomial ay alinman sa isang solong numero na ipinahayag ng isang titik o mga numero (halimbawa - a , + 10), o isang produkto (hal. ab ), o pribado (hal. a-b / 2 ) o digri (hal. b 2); ngunit ang isang monomial ay hindi dapat ang kabuuan o ang pagkakaiba , dahil kung hindi, ito ay magiging isang binomial, isang trinomial, isang polynomial sa pangkalahatan.

Kung ang isang monomial ay isang quotient, kung gayon ito ay tinatawag na isang fractional monomial; lahat ng iba pang monomial ay tinatawag na mga layunin. Kaya, sa aming halimbawa, ang monomial a-b / 2 ay fractional, at lahat ng iba pang miyembro ng polynomial ay mga integer. Dahil sa simula ng algebra magsasalita lamang tayo ng integer monomials, para sa kaiklian tatawagin lang natin silang "monomials".

Kung ang lahat ng miyembro ng isang polynomial ay mga integer, kung gayon ito ay tinatawag ding mga integer.

43. Coefficient. Ipagpalagay na binigyan tayo ng isang produkto:

a 3ab (- 2) ,

kung saan ang ilang mga kadahilanan ay ipinahayag sa mga numero, ang iba sa mga titik. Ang mga naturang produkto ay maaaring mabago (gamit ang associative at commutative properties ng multiplication) sa pamamagitan ng pagsasama-sama sa isang grupo ng lahat ng mga salik na ipinahayag sa mga numero, sa ibang grupo - lahat ng mga kadahilanan na ipinahayag sa mga titik a, atbp.:

3 (- 2) (aa) b ,

ano ang maaaring isulat sa maikling salita:- 6a 2 b ;. Ganito:

-l0 axx (- 2) = + 20Oh 2 , atbp.

Ang kadahilanan na ipinahayag sa mga numero, na inilagay sa harap ng mga alpabetikong kadahilanan, ay tinatawag na monomial coefficient. Kaya, sa isang monomial - 6a 2 b numero - 6 may coefficient.

Tandaan na kung ang coefficient ay isang positive integer, nangangahulugan ito kung gaano karaming beses ay inuulit ng termino ang literal na pagpapahayag na tinutukoy nito; Kaya, 3 ab = 3(ab) =(ab) 3 =ab + ab + ab . Kung ang koepisyent ay isang fraction, pagkatapos ay ipinapahayag nito kung aling fraction ang kinuha mula sa numerical na halaga ng literal na expression. Kaya:
2 / 3 Oh = Oh 2 / 3 , at magparami Oh sa 2 / 3 ibig sabihin ay kumuha 2 / 3 mula sa numero Oh .

44. Mga katangian ng isang polynomial. Anumang polynomial ay maaaring ituring bilang isang algebraic na kabuuan ng mga termino nito. Halimbawa, isang polynomial

2a - b + kasama

mayroong isang kabuuan: 2a + (- b) + (+ kasama ) kasi yung expression + (- b) ay katumbas ng expression - b at pagpapahayag + (+ kasama ) pareho ang ibig sabihin ng + kasama . Bilang resulta, ang lahat ng katangian ng kabuuan ng mga kamag-anak na numero (Sec. 1 § 25) ay nabibilang din sa polynomial. Alalahanin natin ang pinakamahalaga sa mga katangiang ito:

a) Maglipat ng ari-arian: hindi nagbabago ang numerical value ng polynomial kapag inililipat ang mga miyembro nito (kasama ang kanilang mga palatandaan).

Ipagpalagay, halimbawa, nakita natin ang numerical value ng polynomial

2a 2 - ab + b 2 - 1 / 2 a

sa a = - 4 at b = - 3. Upang gawin ito, kalkulahin muna namin ang bawat termino nang hiwalay:

2a 2 = 2(- 4) 2 = 2(- 4)(- 4) = 32 ; - ab = - (- 4) (- 3)= -12 ;

b 2 =(- 3) 2 = (- 3)(- 3)= +9 ; - 1 / 2 a = - 1 / 2 (- 4)= +2 .

Ngayon idagdag natin ang lahat ng mga numerong nakuha o sa pagkakasunud-sunod kung saan nakasulat ang mga miyembro ng polynomial:

32 - 12 + 9 + 2 = 31,

o sa ibang pagkakasunud-sunod, palagi kaming nakakakuha ng parehong numero 31.

b) nag-uugnay na ari-arian: hindi magbabago ang numerical value ng polynomial kung papalitan natin ang alinman sa mga termino nito ng kanilang algebraic sum.

Kaya, kung sa polynomial na kinuha ngayon ay pinapalitan natin ang mga termino - ab , + b 2 at - 1 / 2 a kanilang algebraic sum, ibig sabihin, kunin ang polynomial na ito sa sumusunod na anyo:

2a 2 + (- ab + b 2 - 1 / 2 a )

pagkatapos ay sa a = - 4 at b = - 3 makuha natin:

32 + (- 12 + 9 + 2) = 32 + (- 1) = 31,

ibig sabihin, nakukuha natin ang parehong numero 31 na nakuha natin noon. Pansinin din namin ang sumusunod na mahalagang katangian ng polynomial:

sa) Kung bago ang bawat miyembro ng polynomial ay binago natin ang sign sa kabaligtaran, kung gayon ang numerical na halaga ng polynomial ay babaguhin din ang sign sa kabaligtaran, at ang ganap na halaga nito ay hindi magbabago.

Halimbawa, ang numerical na halaga ng polynomial 2a 2 - ab + b 2 - 1 / 2 a
sa a = - 4 at b Ang = - 3 ay, tulad ng nakita natin, 31, at ang numerical na halaga ng polynomial - 2a 2 + ab- b 2 + 1 / 2 a na may parehong mga halaga ng mga titik ay katumbas ng -31.

45. Pagbawas ng mga katulad na termino. Minsan sa isang polynomial may mga ganoong termino na naiiba sa bawat isa lamang sa mga coefficient, o mga palatandaan, o kahit na hindi naiiba sa lahat; ang mga naturang miyembro ay tinatawag na magkatulad. Halimbawa, sa isang polynomial

ang unang termino ay katulad ng pangatlo (sila ay sinalungguhitan ng isang linya), ang pangalawang termino ay katulad ng ikaapat at ikaanim (nakasalungguhit ng dalawang linya), at ang ikalimang termino ay walang mga analogue.

Kung ang isang polynomial ay naglalaman ng mga katulad na termino, maaari silang pagsamahin sa isang termino. Kaya, sa halimbawang ibinigay ngayon, maaari nating (batay sa nauugnay na pag-aari ng isang polynomial) na pagsamahin ang mga miyembro sa naturang mga grupo:

(4a + 0,5a) + (- 3x + 8x - 2X) + 3 palakol .

Ngunit malinaw na 4 sa ilang numero at 0.5 ng parehong numero ay 4.5 ng parehong numero. Ibig sabihin, 4a + 0,5a = 4,5a . pare-pareho - 3x + 8x = 5X at 5X - 2X =3X . Kaya ang polynomial ay maaaring kinakatawan bilang mga sumusunod:

4,5a + 3X+ 3 palakol .

Tandaan na ang kumbinasyon ng lahat ng magkakatulad na miyembro ng isang polynomial sa isang miyembro ay karaniwang tinatawag na pagbabawas ng mga katulad na miyembro ng isang polynomial.

Magkomento. Dalawang magkatulad na termino na may parehong coefficient, ngunit may magkaibang mga termino (kinakansela nila ang isa't isa sa pamamagitan ng mga palatandaan, tulad, halimbawa, ay ang mga termino + 2 a at 2 a, o - 1/2 X 2 at + 1/2 X 2 .

Mga halimbawa.

Ikalawang Kabanata.

Algebraic na pagdaragdag at pagbabawas.

46. ​​​​Ano ang "algebraic operations".

Sa aritmetika, ang mga operasyon ay ginagawa sa mga numero, at ang resulta ay isang bagong numero. Sa algebra, ang mga aksyon ay ginagawa hindi sa mga numero, ngunit sa mga algebraic na expression, at ang resulta ay isang bagong algebraic expression. Halimbawa, i-multiply ang monomial 3 a sa isang monomial 2 a - ibig sabihin, una, upang ipahiwatig ang pagpaparami ng tinatanggap na mga palatandaan:

(3a) (2a)

at, pangalawa, upang baguhin, kung maaari, ang resultang algebraic expression sa isa pa, mas simple. Sa aming halimbawa, ang pagbabago ay maaaring gawin sa pamamagitan ng pangangatwiran tulad nito: upang i-multiply ang ilang numero sa produkto 2 a , maaari mong i-multiply muna ang numerong ito sa pamamagitan ng 2 at pagkatapos ay i-multiply ang resulta sa a .

(3a) (2a) = (3a) 2a .

Sa huling expression, maaari nating itapon ang mga bracket, dahil hindi nito binabago ang kahulugan ng expression; pagkatapos makuha namin 3a 2a .. Ngayon, gamit ang associative property ng multiplication, pinapangkat natin ang mga salik gaya ng sumusunod: (3 2) (aa) , na malinaw naman 6a 2 .

Kahit anong numero ang titik a ni nangangahulugan ng numerical value ng expression (3a) (2a) ay palaging katumbas ng numerical value ng expression 6a 2 , ibig sabihin, magkapareho ang mga ekspresyong ito.

Kaya, ang algebraic na aksyon sa aming halimbawa ng multiplikasyon ay binubuo, una, sa pagpapahiwatig ng pagkilos na ito sa pamamagitan ng mga senyales na tinatanggap sa algebra at, pangalawa, sa pagbabago, kung maaari, ang resultang algebraic expression sa isa pa, na kapareho nito.

47. Pagdaragdag ng monomials. Hayaang kailanganin na magdagdag ng ilang monomials:

3a, - 5b, + 0.2a, -7b at kasama . Ang kanilang kabuuan ay ipinahayag tulad ng sumusunod:

3isang +(- 5b) + (+ 0.2a) + (-7b ) + kasama

Ngunit ang mga expression: + (- 5b), + (+ 0.2a) at + (- 7b ) ay katumbas ng: - 5b, + 0.2a at - 7b samakatuwid, ang kabuuan ng mga monomial na ito ay maaaring muling isulat sa mas simpleng paraan:

na, pagkatapos mag-cast ng mga katulad na termino, ay nagbibigay ng: 3,2a - 12b+ kasama ang. Ibig sabihin, upang magdagdag ng ilang mga monomial, sapat na upang isulat ang mga ito nang sunud-sunod sa kanilang mga palatandaan at gumawa ng pagbawas ng mga katulad na termino.

48. Pagdaragdag ng polynomials. Hayaang kailanganin ito sa ilang numero o algebraic expression m magdagdag ng polynomial a - b + c . Ang nais na halaga ay maaaring ipahayag tulad ng sumusunod:

m + (a - b + c ).

Upang baguhin ang expression na ito, isinasaalang-alang namin na ang polynomial
a - b + c ay ang kabuuan a + (- b) + c , at upang idagdag ang kabuuan, maaari mong idagdag ang bawat termino nang paisa-isa; kaya naman:

m + (a - b + c ) = m +a + (- b) + c

Ngunit idagdag -b kahit anong ibawas b ; kaya naman:

m + (a - b + c ) = m + a - b + c

Panuntunan. Upang magdagdag ng polynomial sa ilang allebraic expression, kinakailangang italaga sa expression na ito ang lahat ng mga termino ng polynomial nang sunud-sunod kasama ng kanilang mga palatandaan (higit pa rito, bago ang unang miyembro ng polynomial, kung walang sign sa harap nito, dapat na ipahiwatig ang + sign) at maglagay ng mga katulad na miyembro, kung babalik sila.

Halimbawa.

3a 2 - 5ab + b 2 + (4ab - b 2 + 7a 2).

Ang unang termino, na tinutukoy natin ngayon ng isang titik m, na ibinigay sa halimbawang ito bilang isang polynomial 3a 2 - 5ab + b 2 . Sa paglalapat ng panuntunang ito, makikita namin:

3a 2 - 5ab + b 2 + (4ab - b 2 + 7a 2) = 3a 2 - 5ab + b 2 + 4ab - b 2 + 7a 2 = 10a 2 - ab

Kung ang polynomial data para sa karagdagan ay naglalaman ng mga katulad na miyembro (tulad ng sa aming halimbawa), kung gayon ito ay kapaki-pakinabang na isulat ang mga termino sa ilalim ng isa upang ang mga katulad na termino ay nasa ilalim ng mga katulad:

49. Pagbabawas ng monomials. Hayaang kailanganin ito mula sa monomial 10 palakol ibawas ang monomial - 3 palakol . Ang nais na pagkakaiba ay ipinahayag tulad ng sumusunod:

10 palakol - (- 3 palakol ).

Ayon sa tuntunin ng pagbabawas, ang pagbabawas ay 3 palakol maaaring palitan sa pamamagitan ng pagdaragdag ng isang numero na kabaligtaran ng numero - 3 palakol . May ganyang numero + 3 palakol , Kaya naman:

10 palakol - (- 3 palakol ) = 10 palakol + (+ 3 palakol ) = 10 palakol + 3 palakol = 13 palakol .

Ibig sabihin, upang ibawas ang isang monomial, sapat na upang italaga ito sa minuend na may kabaligtaran na pag-sign (at upang gumawa ng pagbawas ng mga katulad na termino, kung lilitaw ang mga ito).

50. Pagbabawas ng polynomials. Hayaang kailanganin ito mula sa ilang numero o algebraic expression m ibawas ang polynomial a - b + c , na maaaring ipahayag bilang mga sumusunod:

m- (a - b + c ).

Upang gawin ito, ayon sa panuntunan ng pagbabawas (Seksyon 1 § 22), sapat na upang idagdag sa m ang kabaligtaran na numero a - b + c . May ganyang numero - a + b - c (); ibig sabihin:

m- (a - b + c ) = m+ (- a + b - c )

Ang paglalapat ngayon ng panuntunan ng pagdaragdag ng mga polynomial, nakukuha natin:

m- (a - b + c ) = m - a + b - c .

Ibig sabihin, upang ibawas ang isang polynomial mula sa ilang algebraic na expression, sapat na upang maiugnay sa expression na ito ang lahat ng mga termino ng subtrahend polynomial na may kabaligtaran na mga palatandaan (at gumawa ng pagbawas).

Kung kinakailangan na ibawas ang isa pang polynomial mula sa isang polynomial at ang mga polynomial na ito ay may magkatulad na mga termino, kung gayon ito ay kapaki-pakinabang na isulat ang bawas na polynomial sa ilalim ng pinababang polynomial, binabago ang mga palatandaan ng bawas na polynomial sa kabaligtaran, at upang ang mga katulad na termino ay tumayo sa ilalim ng mga katulad. Halimbawa, pagbabawas
(7a 2 - 2ab + b 2) - (5a 2 + 4ab - 2b 2) ay pinakamahusay na inilagay tulad nito:

(sa polynomial na ibawas, ang itaas na mga palatandaan ay itinakda tulad ng ibinigay sa kanila, at sa ibaba ay binabaligtad ang mga ito).

51. Pagpapalawak ng panaklong na sinusundan ng tandang + o -.

Hayaan ang expression

2 a + (a- 3 b + c ) - (2 a - b + 2 kasama )

kailangang buksan ang mga bracket. Dapat itong maunawaan sa paraang kinakailangan na gawin sa mga polynomial sa loob ng mga bracket ang mga pagkilos na ipinahiwatig ng mga palatandaan sa harap ng mga bracket. Sa aming halimbawa, ang unang panaklong ay pinangungunahan ng isang tanda na +, at ang pangalawang panaklong ay pinangungunahan ng isang - tanda. Pagkatapos ng pagdaragdag at pagbabawas ayon sa mga panuntunang ibinigay namin, nakakakuha kami ng isang expression na walang mga bracket:

2 a + a- 3 b + c - 2 a + b - 2 c = a - 2 b - c

Kaya, dapat nating tandaan na, pagpapalawak ng mga bracket na pinangungunahan ng + sign, hindi natin dapat baguhin ang mga sign sa loob ng bracket, at ang pagpapalawak ng mga bracket na pinangungunahan ng - sign, dapat nating baguhin ang mga sign sa kabaligtaran bago ang lahat ng miyembro sa loob ng bracket.

Hayaang kailanganin ding buksan ang mga bracket sa expression:

10r - .

Upang gawin ito, ito ay pinaka-maginhawa upang buksan muna ang mga panloob na bracket, at pagkatapos ay ang mga panlabas:

10r - = 10p - 3p - 5p + 10 + 4] = 2p+14.

52. Pag-bracket ng isang bahagi ng isang polynomial. Upang ibahin ang anyo ng isang polynomial, kung minsan ay kapaki-pakinabang na i-bracket ang hanay ng ilan sa mga miyembro nito, at kung minsan ay kanais-nais na ilagay ang + sa harap ng mga bracket, ibig sabihin, upang ilarawan ang polynomial bilang isang kabuuan, at kung minsan ang - sign, i.e. kumakatawan sa polynomial bilang isang pagkakaiba. Hayaan, halimbawa, sa isang polynomial a + b - c gusto naming i-bracket ang huling dalawang termino sa pamamagitan ng paglalagay ng prefix sa mga bracket na may + sign. Pagkatapos ay sumulat kami ng ganito:

a + b - c = a + (b - c) ,

ibig sabihin, sa loob ng mga bracket ay iniiwan namin ang parehong mga palatandaan na nasa polynomial na ito. Na ang ganitong pagbabago ay totoo, sisiguraduhin natin kung bubuksan natin ang mga bracket ayon sa tuntunin ng karagdagan; pagkatapos ay makuha namin muli ang ibinigay na polynomial.

Ipagpalagay na sa parehong polynomial kinakailangan na i-bracket ang huling dalawang numero sa pamamagitan ng paglalagay ng minus sign sa harap ng mga bracket.

Pagkatapos ay sumulat kami ng ganito:

a + b - c = a - (- b + c) = a - ( kasama - b) ,

ibig sabihin, sa loob ng mga bracket sa harap ng lahat ng miyembro, binabago namin ang mga palatandaan sa kabaligtaran. Na totoo ang ganitong pagbabago, sisiguraduhin natin kung bubuksan natin ang mga bracket ayon sa tuntunin ng pagbabawas; pagkatapos ay makuha namin muli ang ibinigay na polynomial.

Magkomento. Maaari mo ring ilakip ang buong polynomial sa mga bracket sa pamamagitan ng paglalagay ng + o - sign sa harap ng mga ito. Halimbawa, maaari kang sumulat:

a - b + c = + (a - b + c ) at a - b + c = - (- a + b - c ).

Ikatlong Kabanata.

Algebraic multiplication.

53. Pagpaparami ng mga kapangyarihan ng parehong bilang. Paramihin natin a 3 sa a 2, na maaaring ipahayag tulad ng sumusunod: a 3 a 2, o higit pa :( ahh ) (aa ). Narito ang gawain ahh pinarami ng iba aa . Ngunit upang i-multiply ang ilang numero sa isang produkto, maaaring i-multiply ng isa ang numerong ito sa unang salik, i-multiply ang resulta sa pangalawang salik, at iba pa; kaya naman:

a 3 a 2 = (ahh )(aa ) = (ahh ) aa ,

na maaaring isulat nang walang mga bracket, dahil ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon ay nananatiling pareho nang walang mga bracket tulad ng ipinahiwatig ng mga bracket:

a 3 a 2 = aaaaa = a 5 .

Ibig sabihin, kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan ng parehong numero, ang kanilang mga exponent ay nagdaragdag.

kaya: X 3 X = X 4 , m 2 m 3 = m 5 , y 2 y y 3 = y 6, atbp.

54. Pagpaparami ng monomials. Nasabi na namin noon () kung paano mo mababago ang produkto ng monomials (3a) (2a) sa monomial 6 a 2. Ulitin natin ngayon ang sinabi noon sa isa pang halimbawa. Paramihin natin:

Mula noong monomial 5abx ay isang produkto, kung gayon sapat na upang i-multiply ang multiplicand sa unang kadahilanan - 5 , i-multiply ang resulta sa pangalawang salik a , atbp. Kaya:

3Oh 2 (- 5abx) = 3Oh 2 (- 5)abx .

Sa produktong ito, gamit ang nauugnay na pag-aari ng multiplikasyon, pinapangkat namin ang mga salik sa mga sumusunod na pangkat:

(+3)(- 5) (aa) b (X 2 X).

Pagkatapos ng pagpaparami sa bawat pangkat, nakukuha natin ang:

- 15 a 2 b X 3 .

Ibig sabihin, upang i-multiply ang isang monomial sa isang monomial, kailangan mong i-multiply ang kanilang mga coefficient, idagdag ang mga tagapagpahiwatig ng magkatulad na mga titik, at ang mga titik na kasama lamang sa multiplicand o lamang sa kadahilanan, ilipat sa produkto kasama ang kanilang mga tagapagpahiwatig.

Mga halimbawa.

1) 0,7a 3 X (3a 4 X 2 sa 2) = 2,1a 7 X 3 sa 2

2) (1 / 2 m x 3) 2 = 1 / 2 m x 3 (1 / 2 m x 3) = 1 / 4 m 2 x 6

3) -3,5 X 2 sa (3 / 4 X 3) = - 21 / 8 X 5 sa

55. Pagpaparami ng isang polynomial sa isang monomial.

Hayaan itong ibigay upang i-multiply ang polynomial a + b - c sa isang monomial m , na maaaring ipahayag bilang mga sumusunod:

(a + b - c ) m .

Polinomyal a + b - c ay ang kabuuan ng mga relatibong numero a + b + (- kasama) . Ngunit, upang i-multiply ang kabuuan, maaari mong i-multiply ang bawat termino nang hiwalay at idagdag ang mga resulta (distributive property); ibig sabihin:

(a + b - c ) m = [ a + b + (- kasama) ] m = a m +b m + (- kasama)m .

Pero (- kasama)m = - cm at + (- cm ) = - cm ; kaya lang

(a + b - c ) m = a m +b m - kasamam .

Panuntunan. Upang i-multiply ang polynomial sa monomial, kinakailangang i-multiply ang bawat termino ng polynomial sa monomial na ito at idagdag ang mga resultang produkto.

Dahil ang produkto ay hindi nagbabago mula sa isang permutasyon ng mga lugar ng mga salik, ang panuntunang ito ay nalalapat din sa pagpaparami ng isang monomial sa isang polynomial; kaya:

m (a + b - c ) = m a + m b m - mc .

Mga halimbawa.

1) (3x 2 - 2Oh + 5a 2) (-4Oh) .

Dito, ang pagpaparami ng mga termino ng isang polynomial sa isang naibigay na monomial ay dapat isagawa ayon sa panuntunan ng pagpaparami ng mga monomial, na isinasaalang-alang din ang panuntunan ng mga palatandaan: kapag pinarami, ang parehong mga palatandaan ay nagbibigay ng +, at iba't ibang mga palatandaan ay nagbibigay - . Hiwalay naming i-multiply ang bawat termino ng polynomial sa monomial:

(3x 2)(-4Oh) = - 12palakol 3 ; (- 2Oh) (-4Oh) == + 8a 2 x 2 ; (+ 5a 2) (-4Oh) = - 20a 3 x .

Ngayon ay buuin natin ang mga resulta:

- 12palakol 3 + 8a 2 x 2 - 20a 3 x .

2) (a 2 - ab + b 2) (3a) = a 2 (3a) - (ab ) (3a) + b 2 (3a) = 3a 3 - 3a 2 b+ 3ab 2

3) (7x 3 + 3 / 4 Oh - 0,3) (2,l a 2 x) = (7x 3 ) (2,l a 2 x) + (3 / 4 Oh) (2,l a 2 x) - 0,3 (2,l a 2 x) =
= 14,7a 2 x 4 + 1,575a 3 x 2 - 0,63 a 2 x .

4) 2a (3a - 4 Oh + 1 / 2 x 2) = 6a 2 - 8a 2 x + ax 2

56. Pagpaparami ng isang polynomial sa isang polynomial. Gawin natin ang multiplikasyon:

(a + b - c ) (m-n ).

Isinasaalang-alang ang multiplier m-n bilang isang solong numero (bilang isang monomial), inilalapat namin ang panuntunan para sa pagpaparami ng polynomial sa isang monomial:

a (m - n) + b (m - n) - c (m - n).

Isinasaalang-alang ngayon ang ekspresyon m-n bilang isang polynomial (binomial), inilalapat namin ang panuntunan ng pagpaparami ng isang monomial sa isang polynomial:

(am - an) + (bm - bn) - (cm - cn).

Sa wakas, ang pagbubukas ng mga bracket ayon sa mga patakaran ng pagdaragdag at pagbabawas, sa wakas ay nakita namin:

(a + b - c) (m - n) = am - an + bm - bn - cm + cn

Panuntunan. Upang i-multiply ang isang polynomial sa isang polynomial, kinakailangang i-multiply ang bawat termino ng unang polynomial sa bawat termino ng pangalawang polynomial at idagdag ang mga resultang produkto.

Siyempre, kapag pinarami ang mga tuntunin ng unang polynomial sa mga tuntunin ng pangalawang polynomial, ang isa ay dapat magabayan ng mga patakaran ng mga palatandaan: ang parehong mga palatandaan ay nagbibigay ng + iba't ibang mga palatandaan -.

Halimbawa, (a 2 - 5ab + b 2 - 3) (a 3 - 3ab 2 + b 3)

I-multiply muna namin ang lahat ng termino ng multiplican sa unang termino ng multiplier:

(a 2 - 5ab + b 2 - 3) a 3 = a 5 - 5a 4 b + a 3 b 2 - 3a 3

Pagkatapos ay i-multiply namin ang lahat ng mga termino ng multiplicand sa ika-2 termino ng multiplier:

(a 2 - 5ab + b 2 - 3) (- 3ab 2) = - 3isang 3 b 2 + 15isang 2 b 3 - 3ab 4 + 9ab 2

(a 2 - 5ab + b 2 - 3) (b 3) = a 2 b 3 - 5ab 4 + b 5 - 3b 3

Sa wakas, idinaragdag namin ang lahat ng mga resultang produkto at gumawa ng pagbawas ng mga katulad na termino; ang huling resulta ay:

a 5 - 5a 4 b- 2isang 3 b 2 - 3a 3 + 16isang 2 b 3 - 8ab 4 + 9ab 2 + b 5 - 3b 3

Remarks. 1) Upang hindi makaligtaan ang alinman sa mga produkto ng mga termino kapag nagpaparami ng polynomial sa isang polynomial, kapaki-pakinabang na palaging sumunod sa isang pagkakasunud-sunod ng multiplikasyon; halimbawa, gaya ng ginawa natin ngayon, i-multiply muna ang lahat ng terms ng multiplier sa 1st term ng multiplier, pagkatapos ay i-multiply ang lahat ng terms sa 2nd term ng multiplier, atbp.

2) Kapag inilapat sa mga numero ng aritmetika, ang panuntunan sa pagpaparami para sa mga polynomial ay maaaring malinaw na bigyang-kahulugan sa geometrically. Kunin, halimbawa, ang 4 na mga segment ng linya a, b, m at n at bumuo ng dalawang parihaba: ang isa ay may base a + b at taas m+n , isa pang may base a + b , at taas m-n .

Ang lugar ng una ay ( a + b ) (m+n ), at ang lugar ng pangalawa ay ( a + b ) (m-n ). Direktang nakikita mula sa mga guhit na ang unang lugar ay katumbas ng am + bm + an + bn , at ang pangalawa ay am + bm - an - bn .

Mga halimbawa.

1) (a - b) (m - n - p) \u003d am - bm - an + bn - ap + bp.

2) (x 2 - y 2) (x + y) \u003d x 3 - xy 2 + x 2 y - y 3

3) (3an + 2n 2 - 4a 2) (n 2 - 5an) = 3an 3 + 2n 4 - 4a 2 n 2 - 15a 2 n 2 - 10an 3 + 20a 3 n =
\u003d -7an 3 + 2n 4 - 19a 2 n 2 + 20a 3 n

4) (2a 2 - 3) 2 = (2a 2 - 3) (2a 2 - 3) = (2a 2) 2 - 3 (2a 2) - (2a 2) 3 + 9 =
= 4a 4 - 6a 2 - 6a 2 + 9 = 4a 4 - 12a 2 + 9

57. Matatagpuan ang polynomial. Upang ayusin ang isang polynomial sa mga kapangyarihan ng ilang titik ay nangangahulugan, kung maaari, upang isulat ang mga termino nito sa isang pagkakasunud-sunod na ang mga exponents ng liham na ito ay tumaas o bumaba mula sa unang termino hanggang sa huli. Oo, polynomial 1 + 2x + x 2 - x 3 matatagpuan sa pagtaas ng kapangyarihan ng liham X . Ang parehong polynomial ay isasaayos sa pababang kapangyarihan ng titik X , kung isusulat natin ang mga miyembro nito sa reverse order: -x 3 +x2 + 2x + 1 .

Ang titik kung saan matatagpuan ang polynomial ay tinatawag na pangunahing titik nito. Ang terminong naglalaman ng malaking titik na may pinakamalaking exponent ay tinatawag na pinakamataas na termino ng polynomial; ang terminong naglalaman ng pangunahing titik na may pinakamaliit na exponent o hindi naglalaman nito ay tinatawag na pinakamababang termino ng polynomial.

58. Multiplikasyon ng mga matatagpuang polynomial ito ay pinaka-maginhawa upang makabuo tulad ng ipahiwatig sa sumusunod na halimbawa.

Paramihin

3x - 5 + 7x 2 - x 3 sa 2 - 8x 2 + x.

Pag-aayos ng parehong polynomial sa pagbaba ng kapangyarihan ng liham X , isulat ang multiplier sa ilalim ng multiplicand at gumuhit ng linya sa ilalim ng mga ito:

I-multiply ang lahat ng termino ng multiplicand sa unang termino ng multiplier (sa pamamagitan ng - 8x2 ) at ang resultang produkto ay nakasulat sa ilalim ng linya. Pagkatapos ang lahat ng mga termino ng multiplicand ay pinarami ng 2nd term ng multiplier (sa pamamagitan ng + x ) at ang resultang pangalawang produkto ay isinusulat sa ilalim ng una upang ang mga katulad na termino ay nasa ilalim ng mga katulad. Patuloy din nila itong ginagawa. Sa ilalim ng huling gawain (sa + 2 ) gumuhit ng isang linya kung saan isinusulat nila ang kumpletong gawain, pagdaragdag ng lahat ng iba pang mga gawa.

Posible rin na ayusin ang parehong polynomial sa mga pataas na kapangyarihan ng pangunahing titik at pagkatapos ay i-multiply sa parehong pagkakasunud-sunod tulad ng ipinahiwatig.

59. Mas mataas at mas mababang miyembro ng isang akda. Mula sa mga halimbawang ito ay sumusunod:

Ang pinakamataas na termino ng produkto ay katumbas ng produkto ng pinakamataas na termino na pinarami ng pinakamataas na termino ng multiplier.

Ang pinakamababang termino ng produkto ay katumbas ng produkto ng pinakamababang termino ng multiplier ng pinakamababang termino ng multiplier.

Ang natitirang mga miyembro ng gawain ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng ilang katulad na mga miyembro sa isa. Maaaring mangyari pa na sa isang produkto, pagkatapos ng pagbabawas ng mga katulad na termino, ang lahat ng mga termino ay nawasak, maliban sa una at huli (mas mataas at mas mababa), tulad ng makikita sa sumusunod na halimbawa:

60. Bilang ng mga miyembro ng gawain. Hayaang ang multiplicand ay may limang termino, at ang multiplier ay may tatlong termino. Ang pag-multiply ng bawat termino ng multiplicand sa unang termino ng multiplier, makakakuha tayo ng 5 termino ng produkto; pagkatapos ay i-multiply ang bawat termino ng multiplicand sa ika-2 termino ng multiplier, makakakuha tayo ng 6 pang termino ng produkto, atbp.; samakatuwid, ang lahat ng termino sa produkto ay magiging 5 3, ibig sabihin, 15. Sa pangkalahatan, ang bilang ng mga miyembro ng produkto, bago ang kumbinasyon ng mga katulad na miyembro dito, ay katumbas ng produkto ng bilang ng mga miyembro na pinarami ng bilang ng mga miyembro ng multiplier.

Dahil ang pinakamataas at pinakamababang miyembro ng isang gawain ay hindi maaaring magkaroon ng mga miyembrong tulad nila, at lahat ng iba pang miyembro ay maaaring lipulin, kung gayon Ang pinakamaliit na bilang ng mga termino sa isang produkto pagkatapos ng pagbabawas ng mga katulad na termino dito ay 2.

61. Ilang mga formula para sa pagpaparami ng binomials. Kapaki-pakinabang na tandaan ang mga sumusunod na formula para sa pagpaparami ng binomials:

a) (a + b) 2 = (a + b) (a + b) = a 2 + ab + ab + b 2 = isang 2 + 2ab + b 2 .

Halimbawa: 17 2 = (10 + 7) 2 = 10 2 + 2 10 7 + 7 2 = 100 + 140 + 49 = 289.

kaya, ang parisukat ng kabuuan ng dalawang numero ay katumbas ng parisukat ng unang numero, kasama ang dalawang beses sa produkto ng unang numero at ang pangalawa, kasama ang parisukat ng pangalawang numero.

b) (a - b) 2 = (a - b) (a - b) \u003d a 2 - ab - ab + b 2 = a 2 - 2ab + b 2 .

Hal: 19 2 = (20 -1) 2 = 20 2 - 2 20 1 + 1 2 = 400 - 40 + 1 = 361

kaya, ang parisukat ng pagkakaiba sa pagitan ng dalawang numero ay katumbas ng parisukat ng unang numero, binawasan ng dalawang beses ang produkto ng unang numero at ang pangalawa, kasama ang parisukat ng pangalawang numero.

Magkomento. Ito ay kapaki-pakinabang na tandaan na ang pagtaas sa isang kapangyarihan na may paggalang sa karagdagan at pagbabawas ay walang distributive property; Kaya, (2+3) 2 hindi pantay
2 2 + 3 2 , o (8 - 6) 2 hindi katumbas ng 8 2 - 6 2 .

sa) (a + b) (a - b) = a 2 + ab - ab - b 2 = a 2 - b 2

Halimbawa: 25 15 = (20 + 5) (20 - 5) = 20 2 - 5 2 = 400 - 25 = 375.

kaya, ang produkto ng kabuuan ng dalawang numero at ang kanilang pagkakaiba ay katumbas ng pagkakaiba ng mga parisukat ng mga numerong ito.

G) (a + b) 3 = (a + b) 2 (a + b) = (isang 2 + 2ab + b 2 )(a + b) =
= a 3 + 2a 2 b + ab 2 + isang 2b + 2ab 2 + b 3 = a 3 + 3а 2 b + 3ab 2 + b 3

Hal: 12 3 = (10 + 2) 3 = 10 3 + 3 10 2 2 + 3 10 2 2 + 2 3 = 1000 + 600 + 120 + 8=1728.

kaya, ang kubo ng kabuuan ng dalawang numero ay katumbas ng kubo ng unang numero, kasama ang tatlong beses ang produkto ng parisukat ng unang numero at ang pangalawa, kasama ang tatlong beses ang produkto ng unang numero at ang parisukat ng pangalawa, kasama ang kubo ng pangalawang numero.

e) (a - b) 3 = (a - b) 2 (a - b) = (a 2 - 2ab + b 2 )(a - b) =
\u003d a 3 - 2a 2 b + ab 2 - isang 2b + 2ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Hal: 19 3 = (20 - 1) 3 = 20 3 - 3 20 2 1 + 3 20 1 2 - 1 3 = 8000 -1200 + 60 - 1= 6869.

kaya, ang kubo ng pagkakaiba ng dalawang numero ay katumbas ng kubo ng unang numero, binawasan ng tatlong beses ang produkto ng parisukat ng unang numero at ang pangalawa, kasama ang tatlong beses ang produkto ng unang numero at ang parisukat ng pangalawa, minus ang kubo ng pangalawang numero.

62. Geometric na interpretasyon ng ilan sa mga formula na ito.

a) Itabi ang line segment AB = a at dito inilalapat namin ang segment na BC = b, pagkatapos ay bumuo kami ng mga parisukat: ACDE at ABJK, na ang mga lugar ay magiging pantay (a + b) 2 at a 2 . Sa pagpapatuloy ng mga linya ng BJ at KJ patungo sa intersection na may ED at CD, hinahati namin ang mas malaking parisukat sa 4 na bahagi, na ang mga lugar ay magiging: a 2 , b 2 , ab at ab .

(a + b) 2 = a 2 + ab + ab + b 2 = isang 2 + 2ab + b 2 .

b) Itabi AB = a at mula sa AB ay ibawas natin ang BC = b ; pagkatapos ay binubuo namin ang mga parisukat na ACDE, ABFK at KLME na ang mga lugar ay (a - b) 2 , a 2 at b 2 . Ang pagpapatuloy ng CD sa point N, makuha namin ang: pl. ACDE = pl. ABFK + sq. EKLM- sq. CBFN - pl. DNLM.

(a - b) 2 = a 2 + b 2 - ab - ab = a 2 - 2ab + b 2 .

sa) Pagpapaliban (Larawan 13) AB = a , BG = b , AD = a at DE= b , buuin ang rectangle ACJE at ang mga parisukat na ABKD at DEML.

Pagkatapos sq. ACJE = sq. ABKD + sq. BCJN - sq. DEML - pl. LMNK. Ngunit ang mga parihaba na BCJN at LMNK ay pantay, at samakatuwid ang kanilang mga lugar sa pagkakapantay-pantay na isinulat namin ay kanselahin ang isa't isa: sq. ACJE = sq. ABKD - sq. DEML, ibig sabihin.

(a + b) (a-b) \u003d a 2 - b 2.

63. Mga aplikasyon. Sa tulong ng mga formula na ito, kung minsan ay posible na i-multiply ang mga polynomial nang mas simple kaysa sa karaniwang paraan. Narito ang ilang halimbawa:

1) (4a 3 - 1) 2 \u003d (4a 3) 2 - 2 (4a 3) 1 +1 2 \u003d 16a 6 - 8a 3 + 1

2) (x + y)(y - x) = (y + x)(y - x) = y 2 - x 2 .

3) (x + y + 1) (x - y + 1) = [(x + 1) + y] [(x + 1) - y] = (x + 1) 2 - y 2 = x 2 + 2x + 1 - sa 2.

4) (a - b + c) (a + b - c) \u003d [a - (b - c)] [a + (b - c)] \u003d

\u003d a 2 - (b - c) 2 \u003d a 2 - (b 2 - 2bc + c 2) \u003d a 2 - b 2 + 2bc - c 2

Ikaapat na Kabanata.

Algebraic division.

64. Dibisyon ng mga kapangyarihan ng parehong bilang. Hatiin natin:

isang 5: a 2 .

Dahil ang dibidendo ay dapat na katumbas ng divisor na pinarami ng quotient, at kapag pinarami, ang mga tagapagpahiwatig ng magkaparehong mga titik ay idinagdag, kung gayon sa nais na kusyente ng titik a ay dapat mayroong isang numero na, idinagdag sa 2, ay 5; tulad ng isang numero ay katumbas ng pagkakaiba 5 - 2. Kaya:

isang 5: a 2 = isang 5-2 = a 3

Tulad nito nahanap namin: x 3: x 2 \u003d x; y 4: y = y 3 atbp.

Ibig sabihin, kapag naghahati ng mga kapangyarihan ng parehong numero, ang exponent ng divisor ay ibabawas mula sa exponent ng dibidendo .Maliban kung ang bilang na ang mga kapangyarihan ay nahahati ay hindi katumbas ng zero. Kaya, hindi mo maaaring isulat ang: 0 m: 0 n = 0 m-n , dahil ang pagkakapantay-pantay na ito ay mangangahulugan ng: 0:0 = 0, habang ang quotient 0:0 ay maaaring katumbas ng anumang numero

65. Zero indicator. Kung, kapag hinahati ang mga kapangyarihan ng parehong numero, ang tagapagpahiwatig ng divisor ay lumalabas na katumbas ng tagapagpahiwatig ng dibidendo, kung gayon ang kusyente ay dapat na katumbas ng 1; hal: a 3 : a 3 = 1 kasi a 3 = a 3 1. Sumang-ayon tayo na ibawas din ang mga tagapagpahiwatig sa kasong ito; pagkatapos ay sa quotient nakakakuha kami ng isang sulat na may zero exponent:
a 3 : a 3 = a 3-3 = a 0 . Siyempre, ang tagapagpahiwatig na ito ay walang kahulugan na inilakip namin sa mga tagapagpahiwatig nang mas maaga, dahil imposibleng ulitin ang numero na may kadahilanan na 0 beses. Magkasundo kami sa ilalim ng pagkukunwari a 0 maunawaan ang quotient ng paghahati ng parehong kapangyarihan ng isang liham a , at dahil ang quotient na ito ay katumbas ng 1, kukunin namin a 0 para sa 1.

66. Dibisyon ng monomials. Hayaan itong ibigay upang hatiin:

(12a 3 b 2 x): (4a 2 b 2) .

Gayunpaman, para sa kapakanan ng kaiklian, kaugalian na alisin ang mga bracket sa naturang mga notasyon. Ayon sa kahulugan ng paghahati, ang quotient, kapag pinarami ng divisor, ay dapat na ang dibidendo. Samakatuwid, ang nais na kusyente ay dapat magkaroon 12: 4 , ibig sabihin. 3 ; ang indeks ng liham a nakuha sa pamamagitan ng pagbabawas mula sa tagapagpahiwatig ng liham na ito sa dibidendo ng tagapagpahiwatig ng parehong titik sa divisor, ang titik b ay hindi papasok sa quotient sa lahat, o, na kung saan ay ang lahat ng parehong, ay papasok ito na may isang indicator 0 , at ang sulat X ay pupunta sa quotient kasama ang exponent nito.

kaya: 12a 3 b 2 x: 4a 2 b 2 = 3ah . Pagpapatunay: 3ah 4a 2 b 2 = 12а 3 b 2 x

Panuntunan. Upang hatiin ang isang monomial sa isang monomial, kinakailangan upang hatiin ang koepisyent ng dibidendo sa pamamagitan ng koepisyent ng divisor, ibawas ang mga tagapagpahiwatig ng parehong mga titik ng divisor mula sa mga tagapagpahiwatig ng mga titik ng dibidendo at ilipat sa kusyente, without change the indicators, yung mga letters ng dividend na wala sa divisor.

Mga halimbawa.

1) 3m 3 n 4 x: 4m 2 nx = 3 / 4 m n 3

2) - palakol 4 y 3: - 5 / 6 axy 2 \u003d + 6 / 5 x 3 y.

3) 0.8ax n: - 0.02ax = - 40x n-1 .

67. Mga palatandaan ng imposibilidad ng paghahati ng mga monomial. Kung ang quotient ng dibisyon ng integer monomial ay hindi maipahayag nang eksakto ng isang integer monomial, pagkatapos ay sinasabi nila na ang gayong dibisyon ay imposible. Ang paghahati ng mga monomial ay imposible sa dalawang sinag:

a) Kapag may mga letra sa divisor na wala sa dibidendo.

Halimbawa, hindi ka maaaring maghiwalay 4ab 2 sa 2ax , dahil ang anumang monomial na pinarami ng 2ax nagbibigay ng produktong naglalaman ng liham X , at sa aming divisible ay walang ganoong sulat.

b) Kapag ang exponent ng anumang letra sa divisor ay mas malaki kaysa sa exponent ng parehong letra sa dibidendo.

Halimbawa, dibisyon 10a 3 b 2: 5ab 3 imposible, dahil ang anumang monomial ay pinarami ng 5ab 3 , ay nagbibigay sa produkto ng isang monomial na naglalaman ng titik b na may exponent na 3 o may exponent na higit sa 3, habang sa aming divisible ang sulat na ito ay may exponent na 2.

Kapag ang isang monomial ay hindi nahahati ng isa pang monomial, kung gayon ang kusyente ay maaari lamang ipahiwatig ng mga palatandaan ng paghahati; kaya quotient ng division 4a 2 b: 2ac maaaring ipahiwatig

o ganito: 4a 2 b: 2ac , o tulad nito:

68. Dibisyon ng isang polynomial sa pamamagitan ng isang monomial.

Hayaang kailanganin na hatiin ang polynomial a + b - c sa isang monomial m , na maaaring ipahayag bilang mga sumusunod:

(a + b - c) : m , o ,

Polinomyal a + b - c mayroong algebraic sum, at upang hatiin ang algebraic sum sa ilang numero, ang bawat termino ay maaaring hatiin sa numerong ito nang hiwalay; kaya naman:

Maaari itong ma-verify sa pamamagitan ng pag-verify: sa pamamagitan ng pagpaparami ng polynomial a /m+ b /m - c /m sa divisor m , nakukuha natin ang dibidendo a + b - c

Panuntunan. Upang hatiin ang isang polynomial sa isang monomial, kinakailangang hatiin ang bawat termino ng polynomial sa monomial na ito at idagdag ang mga resultang quotient.

Siyempre, ang paghahati ng mga termino ng isang polynomial sa pamamagitan ng isang monomial ay isinasagawa ayon sa panuntunan ng paghahati ng mga monomial.

Mga halimbawa.

69. Dibisyon ng isang monomial sa pamamagitan ng isang polynomial. Hayaang kailanganin ang monomial a hatiin sa pamamagitan ng polynomial b+ c-d . Ang quotient ng naturang dibisyon ay hindi maaaring ipahayag ng alinman sa isang integer monomial o ng isang integer polynomial, dahil kung ipagpalagay natin na ang quotient ay katumbas ng ilang integer monomial o integer polynomial, kung gayon ang produkto ng quotient na ito ng polynomial b+ c-d magbibigay din ng polynomial, at hindi monomial, gaya ng hinihingi ng paghahati. Quotient ng dibisyon a sa b+ c-d maaari lamang ipahiwatig ng mga palatandaan ng paghahati:

a : (b+ c-d ), o

70. Dibisyon ng isang polynomial sa pamamagitan ng isang polynomial. Ang quotient ng paghahati ng polynomial sa isang polynomial ay maaari lamang ipahayag sa mga bihirang kaso bilang isang integer polynomial. Halimbawa:

(isang 2 + 2ab + b 2 ) : (a + b) = a + b

bilang (a + b) (a + b) = (a + b) 2 = isang 2 + 2ab + b 2 .

Sa pangkalahatan, ang mga naturang quotient ay maaari lamang ipahiwatig ng isang tanda ng dibisyon. Halimbawa, ang quotient ng division a - b + c sa d-e ay ipahayag tulad nito:

O ( a - b + c ): (d-e).

Minsan posible na ipahayag ang quotient bilang isang integer polynomial kapag ang parehong polynomial ay matatagpuan sa mga kapangyarihan ng parehong titik. Ipakita natin kung paano ito gagawin gamit ang sumusunod na halimbawa:

(5x 2 - 19x 3 + 17x + 6x 4 - 4) : (1 - 5x + 3x 2) .

Isinulat namin ang parehong polynomial sa pagpapababa ng mga kapangyarihan ng liham X at ayusin ang paghahati gaya nito kapag hinahati ang mga integer:

Ipagpalagay na ang kinakailangang quotient ay katumbas ng ilang polynomial at ang mga termino ng polynomial na ito ay matatagpuan din sa mga nagpapababang kapangyarihan ng titik X .

Ang dibidendo ay dapat katumbas ng produkto ng divisor at ng quotient. Mula sa pagpaparami ng mga nakaayos na polynomial, alam na ang pinakamataas na termino ng produkto ay katumbas ng produkto ng pinakamataas, multiplicand term, at ang pinakamataas na termino ng multiplier. Sa divisible, ang pinakamataas na termino ay ang una, sa divisor at quotient, ang pinakamataas na termino rin ang una. Samakatuwid, ang unang termino ng dibidendo ( 6x 4 ) ay dapat na produkto ng 1st term ng divisor ( 3x 2 ) sa pamamagitan ng 1st term ng quotient. Ito ay sumusunod mula dito: upang mahanap ang 1st term ng quotient, sapat na upang hatiin ang 1st term ng dividend sa 1st term ng divisor. Ang paghahati, nakita namin ang unang miyembro ng quotient 2x 2 . Isinulat namin ito sa ibaba ng linya nang pribado.

I-multiply namin ang lahat ng termino ng divisor sa unang termino ng quotient at ibawas ang resultang produkto mula sa dibidendo. Para magawa ito, isinusulat namin ito sa ilalim ng dibidendo upang ang mga katulad na termino ay nasa ilalim ng mga katulad, at ang lahat ng mga tuntunin ng subtrahend ay nababaligtad. Nakukuha namin pagkatapos ibawas ang 1st na natitira. Kung ang natitira na ito ay naging katumbas ng zero, nangangahulugan ito na walang ibang mga termino sa quotient, maliban sa nahanap na 1st, iyon ay, na ang quotient ay isang monomial. Kung, tulad ng sa aming halimbawa, ang 1st na natitira ay hindi zero, pagkatapos ay magtatalo kami bilang mga sumusunod.

Ang dibidendo ay produkto ng lahat ng termino ng divisor at bawat termino ng quotient. Ibinawas namin mula sa dibidendo ang produkto ng lahat ng miyembro ng divisor ng unang miyembro ng quotient; samakatuwid, ang 1st remainder ay naglalaman ng produkto ng lahat ng termino ng divisor sa pamamagitan ng ika-2, ng ika-8 at ang mga sumusunod na miyembro ng quotient. Ang pinakamataas na termino sa natitira ay ang 1st; ang pinakamataas na miyembro ng divisor ay ang 1st din; ang pinakamataas na termino sa quotient (hindi binibilang ang 1st) ay ang 2nd term. Kaya ang unang termino ng natitira (- 9x 3 ) ay dapat na katumbas ng produkto ng 1st term ng divisor sa pamamagitan ng 2nd term ng quotient. Mula dito napagpasyahan namin: upang mahanap ang ika-2 miyembro ng quotient, sapat na upang hatiin ang unang miyembro ng 1st na natitira sa unang miyembro ng divisor. Sa paghahati, makikita natin ang ika-2 miyembro ng quotient - Zx . Isinulat namin ito nang pribado.

I-multiply namin sa ika-2 miyembro ng quotient ang lahat ng miyembro ng divisor at ibawas ang resultang produkto mula sa 1st remainder. Nakukuha namin ang 2nd na natitira. Kung ang natitira ay zero, pagkatapos ay ang dibisyon ay tapos na; kung, tulad ng sa aming halimbawa, ang 2nd natitira ay hindi katumbas ng zero, pagkatapos ay magtatalo kami bilang mga sumusunod.

Ang 2nd remainder ay ang produkto ng lahat ng termino ng divisor at ang 3rd, 4th at mga sumusunod na termino ng quotient. Dahil sa mga miyembrong ito ng quotient ang pinakamataas ay ang ika-3, kung gayon, tulad ng nauna, makikita natin ang ika-3 termino ng quotient kung hahatiin natin ang 1st term ng 2nd remainder sa unang termino ng divisor. Paghahati, hanapin natin - 4 . Pagpaparami ng -4 lahat ng mga tuntunin ng divisor at pagbabawas ng produkto mula sa natitira, makuha namin ang ika-3 natitira. Sa aming halimbawa, ang natitira ay naging zero; ito ay nagpapakita na ang pribado ay hindi maaaring maglaman ng iba pang mga miyembro kaysa sa mga natagpuan. Kung ang ika-3 natitira ay hindi 0, kung gayon, tulad ng nauna, kakailanganing hatiin ang unang termino ng natitira na ito sa unang termino ng divisor; ito ay magbibigay ng ika-4 na termino ng quotient, at iba pa.

Magiging posible na ayusin ang dibidendo at ang divisor sa pataas na kapangyarihan ng parehong titik, at pagkatapos ay magpatuloy tulad ng sinabi; sa kasong ito, ang isa ay kailangang umasa sa katotohanan na ang pinakamababang termino ng produkto ay katumbas ng produkto ng pinakamababang termino ng multiplicand ng pinakamababang termino ng multiplier.

71. Mga halimbawa.

Hindi namin isinulat dito ang mga produkto ng 1st member ng divisor sa pamamagitan ng 1st, by the 2nd, atbp., mga miyembro ng quotient, dahil ang mga produktong ito ay palaging katumbas ng mga termino kung saan nilalagdaan ang mga ito, at palaging nababawasan kapag ibinawas. Karaniwan nilang ginagawa iyon. Bilang karagdagan, kapag pumirma ng mga subtrahends, direktang isinulat namin ang mga ito gamit ang mga reverse sign.

Sa katulad na paraan, maaari naming i-verify na ang mga pagkakaiba x 5 - a 5 , x 6 - a 6 ... at sa pangkalahatan
x m - isang m hinati nang walang natitira sa pagkakaiba x - a , ibig sabihin. na ang pagkakaiba ng parehong kapangyarihan ng dalawang numero ay nahahati sa pagkakaiba ng mga bilang na ito nang walang nalalabi .

72. Mga palatandaan ng imposibilidad ng paghahati ng mga polynomial. Mula sa inilarawang proseso, makikita na ang paghahati ng isang polynomial sa isang polynomial ay hindi maaaring gawin sa mga sumusunod na kaso:

a) Kung ang exponent ng malaking titik sa pinakamataas na termino ng dibidendo ay mas mababa kaysa sa exponent ng parehong titik sa pinakamataas na termino ng divisor, dahil hindi makukuha ang pinakamataas na termino ng quotient.

b) Kung ang exponent ng capital letter sa pinakamababang termino ng dividend ay mas mababa sa exponent. ng parehong titik sa pinakamababang termino ng divisor, dahil imposibleng matutunan ang pinakamababang termino ng quotient.

c) Kung ang mga tagapagpahiwatig ng pangunahing titik sa pinakamataas at pinakamababang termino ng dibidendo ay hindi mas mababa, ayon sa pagkakabanggit, kaysa sa mga tagapagpahiwatig ng liham na ito sa pinakamataas at pinakamababang termino ng divisor, kung gayon hindi pa masasabi na ang paghahati ay posible. . Sa kasong ito, upang hatulan ang posibilidad o imposibilidad ng paghahati, dapat nating simulan ang mismong pagkilos at ipagpatuloy ito hanggang sa wakas ay kumbinsido tayo sa posibilidad o imposibilidad na makakuha ng quotient sa anyo ng polynomial.

Sa kasong ito, dapat na makilala ang dalawang kaso:

I. Kapag ang mga polynomial ay nakaayos sa pababang kapangyarihan ng pangunahing titik, ipinagpapatuloy nila ang pagkilos hanggang sa ang natitira ay 0 (pagkatapos ang dibisyon ay posible at kumpleto), o hanggang sa maabot nila ang naturang natitira, ang unang termino ay naglalaman ng pangunahing sulat na may indicator na mas mababa kaysa sa index ng 1st term ng divisor (kung gayon imposible ang paghahati). Halimbawa:

Imposible ang dibisyon, dahil naabot na natin ang ganoong natitira, kung saan ang 1st term ay hindi nahahati ng 1st term ng divisor.

II. Kapag ang mga polynomial ay nakaayos sa pagtaas ng mga kapangyarihan, kung gayon, gaano man natin ipagpatuloy ang paghahati, hindi tayo makakakuha ng ganoong natitira, kung saan ang exponent ng unang miyembro ay magiging mas mababa kaysa sa exponent ng unang miyembro ng divisor, dahil sa ganitong arrangement, tumataas ang mga index ng capital letter sa mga first members residues. Halimbawa:

Sa pagpapatuloy ng aksyon, papasok kami sa isang pribadong miyembro - 4a 3 , ngunit kung posible na makakuha ng integer quotient (nang walang natitira), ang huling miyembro nito ay kailangang maging 5a 2 (mula sa paghahati ng pinakamataas na miyembro ng dibidendo ng pinakamataas na miyembro ng divisor); kaya imposible ang paghahati.

Magkomento. Ang dibisyon ng mga polynomial ay inilarawan nang mas detalyado sa ika-2 bahagi, § 390 et seq.

Kabanata limang.

Factorization.

73. Paunang pangungusap. Sa pagsasalita ng algebraic division, itinuro namin na sa ilang mga kaso ang quotient ay maaari lamang ipahiwatig ng tanda ng dibisyon. Ang mga resultang expression ay ganito:

atbp.,

tinawag algebraic fractions sa pamamagitan ng pagkakatulad ng mga expression na ito sa mga arithmetic fraction.

Makikita natin sa lalong madaling panahon na ang mga algebraic fraction, tulad ng mga arithmetic, ay maaaring pasimplehin kung minsan sa pamamagitan ng pagbabawas (i.e., paghahati) ng dibidendo at paghahati sa kanilang mga karaniwang salik, kung mayroon man. Upang gawing posible ang gayong pagbabawas nang walang kahirapan, dapat matutunan ng isang tao na i-factor ang mga algebraic na expression (tulad ng sa aritmetika, upang bawasan ang mga fraction, dapat na magawa ng isa na mai-factorize ang mga integer sa kanilang mga constituent factor).

74. Decomposition ng integer monomials. Kumuha ng ilang integer monomial, halimbawa. 6a2b 3 . Dahil ito ay isang produkto, kung gayon sa pamamagitan ng isa sa mga uri nito maaari itong agad na mabulok sa mga constituent factor. Kaya:

6a2b 3 =2 3 (aa) (bbb) = 2 3aabbb.

Ang pagsasama-sama ng mga salik na ito sa ilang grupo (gamit ang nauugnay na pag-aari ng multiplikasyon), maaari naming ipahiwatig ang iba't ibang mga pagpapalawak para sa monomial na ito, halimbawa:

6a2b 3 =(6a) (ab 3) \u003d (2a 2 b) (3b 2) \u003d (Zab 2) (2ab) atbp.

75. Pagkabulok ng mga polynomial. Ipahiwatig natin ang pinakasimpleng mga kaso kapag ang isang polynomial ay maaaring i-factorize.

a) Bilang (a + b - c) m = am + bm - cm , at kabaliktaran:

am + bm - cm = (a + b - c) m .

kaya, kung ang lahat ng mga termino ng polynomial ay naglalaman ng isang karaniwang kadahilanan, pagkatapos ay maaari itong alisin sa mga bracket.

Halimbawa: 1) x 6 -2x 2 + 3x \u003d x (x 5 -2x + 3).

2) 16a 2 - 4a 3 \u003d 4a 2 (4 - a).

3) 5m(x - 1) + 3n (x - 1) = (x - 1) (5m - 3n).

b) Bilang

(a + b) (a-b) \u003d a 2 - b 2

at kabaliktaran:

a 2 - b 2 \u003d (a + b) (a-b)

kaya, ang binomial, na siyang parisukat ng isang numero na walang parisukat ng isa pang numero, ay maaaring mapalitan ng produkto ng kabuuan ng mga numerong ito sa kanilang pagkakaiba.

sa) Bilang (a + b) 2 = isang 2 + 2ab + b 2 at (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 , at kabaliktaran:

isang 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 = (a + b) (a + b) at

a 2 - 2ab + b 2 = (a - b) 2 ==(a - b) (a - b) ,

Kaya ang trinomial, which is ang kabuuan ng mga parisukat ng anumang dalawang numero, na nadagdagan o nabawasan ng dalawang beses sa produkto ng mga numerong ito, ay makikita bilang parisukat ng kabuuan o pagkakaiba ng mga numerong ito.

Mga halimbawa.

1) isang 2 + 2a +1 . Bilang 1=1 2 at 2a = 2a 1 , pagkatapos

a 2 + 2a +1 = (a + 1) 2 .

2) x 4 + 4 - 4x 2 . Dito x 4 \u003d (x 2) 2, 4 \u003d 2 2 at 4x 2 \u003d 2x 2 2 ;

kaya naman: x 4 + 4 - 4x 2 = (x 2 - 2) 2 . Maaari ding isulat iyon ng isa

x 4 + 4 - 4x 2 = (2x2) 2 , dahil ang mga ito ay binomial. x 2 - 2 at 2x2 , na itinataas sa parisukat, magbigay ng mga trinomyal na naiiba lamang sa pagkakasunud-sunod ng mga termino:

(x 2 - 2) 2 = x 4 + 4 - 4x 2 ; (2x2) 2 = 4 - 4x 2 + x4 .

3) -x + 25x 2 + 0.01 . Mayroong dalawang parisukat dito: 25x 2 = (5x) 2 at 0,01 = 0,1 2 . Ang dobleng produkto ng mga numerong 5x at 0.1 ay: 2 5x 0.1 = x . Dahil sa trinomial na ito ang parehong mga parisukat ay may + sign, at ang dobleng produkto (i.e. X ) na may tanda -, pagkatapos

-x + 25x 2 + 0.01 = 25x 2 - X + 0,01 = (5x - 0.1) 2 = (0.1 - 5x) 2 .

4) - x 2 - y 2 + 2xy. Ilagay natin ang sign - out sa mga bracket: - ( x 2 + y 2 - 2xy ). Ang trinomial sa mga bracket ay malinaw naman (x-y) 2 .

- x 2 - y 2 + 2xy = - (x 2 + y 2 - 2xy ) = - (x - y) 2 = - (y-x) 2 .

d) Minsan ang isang polynomial ay maaaring i-factorize sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng mga miyembro nito sa ilang mga grupo.

Ika-anim na Kabanata.

Algebraic fractions.

76. Ang pagkakaiba sa pagitan ng algebraic fraction at arithmetic. Tulad ng sinabi namin dati, ang quotient ng dibisyon ng dalawang algebraic na expression sa kaso kapag ang dibisyon ay ipinahiwatig lamang ay tinatawag na algebraic fraction. Ito ay, halimbawa, ang mga expression:

Sa ganitong mga expression, ang dibidendo ay tinatawag na numerator, ang divisor ay ang denominator, at pareho ang mga termino ng fraction.

Alalahanin na ang isang arithmetic fraction ay ang quotient din ng paghahati ng numerator sa denominator. Kaya, ang fraction na 3/5 ay hindi lamang nangangahulugan ng tatlong katulad na bahagi, na nakapaloob sa unit five; Ang fraction na ito ay nangangahulugan din ng ikalimang bahagi ng tatlong yunit, ibig sabihin, ito ay isang quotient ng paghahati ng 3 sa 5. Ngunit ang pagkakaiba sa pagitan ng isang algebraic fraction at isang arithmetic ay ang isang arithmetic fraction ay isang quotient ng paghahati ng isang positive integer sa isa pang positive integer , kung gayon tulad ng isang algebraic fraction ay isang quotient ng dibisyon ng anumang mga numero, parehong integer at fractional, parehong positibo at negatibo. Halimbawa, mga expression:

hindi matatawag na arithmetic fractions; ito ay magiging mga espesyal na kaso ng algebraic fractions. Kaya, ang isang algebraic fraction ay isang mas malawak na konsepto kaysa sa isang arithmetic fraction; kabilang dito ang isang arithmetic fraction bilang isang espesyal na kaso.

Gayunpaman, sa kabila ng pagkakaibang ito, ang lahat ng katangian ng isang arithmetic fraction ay nabibilang, gaya ng makikita natin sa kabanatang ito, sa isang algebraic fraction.

77. Ang pangunahing katangian ng isang fraction. Dahil ang fraction ay ang quotient ng paghahati ng numerator sa denominator, at ang quotient ay hindi nagbabago mula sa multiply (o paghahati) ng dibidendo at ang divisor sa parehong numero (maliban sa zero) (Seksyon 1 § 34, e), kung gayon ang ang parehong ari-arian ay kabilang sa fraction, i.e. ang halaga ng isang fraction ay hindi nagbabago kung ang numerator at denominator nito ay i-multiply (o hinati) sa parehong numero (maliban sa zero) . Halimbawa, kung i-multiply natin ang numerator at denominator ng isang fraction

isuot natin - 4 / 9 , pagkatapos ay magkakaroon tayo ng: ang dating fraction

bagong fraction:

nakikita natin na ang halaga ng fraction ay nananatiling pareho.

Gamit ang property na ito ng isang fraction, maaari nating gawin ang parehong mga pagbabago sa algebraic fraction gaya ng ipinahiwatig sa arithmetic para sa arithmetic fraction, iyon ay, maaari nating bawasan, kung maaari, ang mga fraction at dalhin ang mga ito, kung kinakailangan, sa isang denominator. Isaalang-alang natin ang mga pagbabagong ito at ituro ang ilan pa na hindi ginagamit sa aritmetika.

78. Pagbawas ng mga miyembro ng isang fraction sa isang integer form. Kung nangyari na ang mga miyembro ng isang fraction mismo ay naglalaman ng mga fraction, pagkatapos ay sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga ito sa isang wastong napiling numero o sa pamamagitan ng isang algebraic expression, maaari nating alisin ang mga fraction na ito.

Mga halimbawa.

79. Pagbabago ng mga palatandaan ng mga miyembro ng isang fraction. Ang pag-reverse ng sign sa harap ng numerator at denominator ng isang fraction ay tulad ng pagpaparami ng mga ito sa -1, na hindi nagbabago sa halaga ng fraction. Kaya:

Tandaan na kung babaguhin natin ang sign sa harap ng sinumang miyembro ng fraction at sabay na babaguhin ang sign sa harap ng fraction mismo, hindi rin magbabago ang value ng fraction; hal:

Ang mga katangiang ito ng isang fraction ay maaaring gamitin minsan para sa ilang pagbabago nito; hal:

80. Pagbawas ng mga fraction. Upang bawasan ang isang algebraic fraction, ito ay kinakailangan, kung maaari, upang unang mahanap ang tulad ng isang algebraic expression kung saan ang parehong mga termino ng fraction ay nahahati, at pagkatapos ay hatiin ang mga ito sa pamamagitan ng expression na ito. Isaalang-alang kung paano ito pinaka-maginhawang gawin ito sa sumusunod na dalawang kaso.

a) Kumuha ng fraction kung saan ang parehong termino ay integer monomials; hal:

Odds 12 at 20 ay nahahati sa 4, at ang mga literal na expression ay nahahati ng a at sa x 2 , Kaya ang fraction na ito ay maaaring bawasan ng 4ax 2 :

(sa itaas ng fraction isinulat namin ang mga karaniwang salik kung saan binabawasan namin ang fraction; sa halip na hatiin 3 palakol sa 5 hinati namin sa 5 koepisyent lamang 3 ).

b) Kung ang fraction ay may numerator o denominator (o pareho) ay mga polynomial, dapat munang i-factor ang mga polynomial na ito (tulad ng ipinahiwatig sa); kung sa kanila ay pareho, kung gayon ang fraction ay maaaring mabawasan sa kanila.

Mga halimbawa.

(sa halip na hatiin sa 2, ang multiplikasyon sa 1/2 ay nakatakda, na katumbas ng paghahati sa 2).

81. Pagbabawas ng mga fraction sa isang karaniwang denominator,

a) Hayaang kailanganin na bawasan sa isang karaniwang denominator ang mga fraction na may mga denominador na ipinahayag sa mga numero, halimbawa, tulad ng:

Upang gawin ito, nabubulok namin ang mga denominator sa pangunahing mga kadahilanan:

3; 15 = 3 5; 18 = 2 3 3

at hanapin ang kanilang pinakamaliit na maramihan; ito ay magiging 2 3 3 5 = 90. Ngayon, maghanap para sa bawat denominator ng karagdagang salik kung saan i-multiply ang denominator na ito upang makakuha ng 90. Ang mga karagdagang salik na ito ay:

90:3 = 30; 90:15 = 6, 90:18 = 5.

Upang ang mga praksyon ay hindi magbago ng kanilang halaga, kinakailangan na i-multiply ang mga numerator sa parehong mga numero kung saan pinarami natin ang mga denominador:

(Ang mga karagdagang multiplier ay nakasulat sa itaas ng mga fraction).

b) Kumuha tayo ngayon ng mga fraction na ang mga denominador ay literal na monomial; hal:

Para sa karaniwang denominator, malinaw na maaaring kunin ng isa 30ab 2 . Ang mga karagdagang multiplier ay magiging: 15ab, 10b at 6 :

I-factorize natin ang bawat denominator. Ang unang dalawa ay hindi nabubulok, at ang pangatlo = (a + b) (a - b) . Kaya ang magiging common denominator a 2 - b 2 , at makuha namin ang:

d) Maaaring mangyari na walang pares ng mga denominador ang may karaniwang mga kadahilanan. Pagkatapos ay dapat tayong magpatuloy tulad ng ginagawa sa isang katulad na kaso sa aritmetika, ibig sabihin: i-multiply ang numerator at denominator ng bawat fraction sa produkto ng makabuluhan ng lahat ng iba pang mga fraction. Halimbawa:

82. Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction. Sa pamamagitan ng panuntunan ng paghahati ng polynomial sa isang monomial, maaari nating isulat:

Sa pagbabasa ng mga pagkakapantay-pantay na ito mula kanan pakaliwa, makikita natin ang:

1) Upang magdagdag ng mga fraction na may parehong denominator, maaari mong idagdag ang kanilang mga numerator at lagdaan ang parehong denominator sa ilalim ng kabuuan ;

2) upang ibawas ang mga fraction na may parehong denominator, maaari mong ibawas ang kanilang mga numerator at lagdaan ang parehong denominator sa ilalim ng pagkakaiba;

Kung ang data para sa pagdaragdag o pagbabawas ng isang fraction ay may iba't ibang denominator, dapat munang dalhin ang mga ito sa parehong denominator. Halimbawa:

Bilang resulta ng pagbabawas, nakukuha natin ang:

83. Pagpaparami ng mga fraction. Upang i-multiply ang isang fraction sa isang fraction, maaari mong i-multiply ang numerator sa numerator at ang denominator sa denominator at kunin ang unang produkto bilang numerator at ang pangalawa bilang denominator, i.e.

Alalahanin ang paliwanag ng panuntunang ito bilang inilapat sa mga arithmetic fraction. Hayaang dumami 2 / 3 4 / 5 Ibig sabihin ay maghanap 4 / 5 mula sa 2 / 3 (hal. upang mahanap 4 / 5 haba katumbas ng 2 / 3 metro). Upang gawin ito, kailangan mo munang hanapin 1 / 5 mula sa 2 / 3 at pagkatapos 4 / 5 mula sa 2 / 3 . Hanapin 1 / 5 mula sa 2 / 3 kailangan 2 / 3 bawasan ng 5 beses; nakukuha natin 2 / 15 . Upang mahanap ngayon 4 / 5 mula sa 2 / 3 , kailangan 2 / 15 pagtaas ng 4 na beses; nakukuha natin 8 / 15 . kaya:

Ngayon ay susuriin natin ang panuntunang ito para sa mga algebraic fraction, kapag ang mga numero a, b, c at d magiging anuman. Ipagpalagay muna na ang lahat ng mga numerong ito ay positibo, ngunit hindi buo, ngunit fractional. Hayaan, halimbawa:

Ipalit natin ang mga numerong ito sa pagkakapantay-pantay (1), kalkulahin nang hiwalay ang kaliwa at kanang bahagi nito at ihambing ang mga resultang nakukuha natin (kapag nagkalkula, gagabayan tayo ng mga alituntunin ng paghahati at pagpaparami ng mga arithmetic fraction):

(hindi namin gagawin ang panghuling pagkalkula).

Ngayon hanapin natin ang kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay (1):

Ihambing ang mga resultang nakuha, nakikita natin na pareho ang mga ito, dahil (ayon sa commutative property ng integer multiplication) 2 8 5 4 = 2 5 8 4 at 3 7 6 9 = 3 6 7 9. Samakatuwid, pagkakapantay-pantay (1) nananatiling totoo at sa kasong ito.

Ngayon ipagpalagay na ang ilan sa mga numerong a, b, c at d ay nagiging negatibo. hayaan, halimbawa, a = - 2/3 ( b, c at d may parehong mga halaga). Tapos yung fraction a / b magiging negatibo, at ang buong kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay (1) ay magiging negatibong numero din. Sa kanang bahagi ng trabaho alas nagiging negatibo, at samakatuwid ang buong kanang bahagi ay magiging negatibong numero din. Ang ganap na halaga ng kaliwang bahagi at kanang bahagi ay mananatiling pareho. Samakatuwid, ang pagkakapantay-pantay (1) ay hindi nilalabag. Tinitiyak din namin na ang pagkakapantay-pantay (1) ay nananatiling totoo kahit na ang ibang mga numero ay naging negatibo.

Ang lahat ng sinabi natin tungkol sa isang partikular na halimbawa ay maaaring ulitin tungkol sa anumang iba pang halimbawa; kaya ang pagkakapantay-pantay (1) ay totoo para sa anumang mga halaga ng mga titik a, b, c at d .

84. Dibisyon ng mga fraction. Upang hatiin ang isang fraction sa isang fraction, maaari mong i-multiply ang numerator ng unang fraction sa denominator ng pangalawa, ang denominator ng una sa numerator ng pangalawa, at kunin ang unang produkto bilang numerator at ang pangalawa bilang denominator , ibig sabihin.

Na ang pagkakapantay-pantay na ito ay totoo para sa lahat ng mga numero a B C D , maaari mong tiyakin sa pamamagitan ng isang simpleng pag-verify ng dibisyon: pagpaparami ng quotient sa divisor (ayon sa panuntunan para sa pagpaparami ng mga fraction na napatunayan sa itaas), makuha namin ang dibidendo:

85. Pangungusap. 1) Mula noon Ad /bc=a/bd/ c , kung gayon ang panuntunan sa paghahati ay maaaring ipahayag sa ibang paraan: Upang hatiin ang isang fraction sa isang fraction, maaari mong i-multiply ang unang fraction sa reciprocal ng pangalawa.

2) Anumang integer algebraic expression ay maaaring ituring bilang isang fraction, kung saan ang numerator ay ang integer expression na ito, at ang denominator ay 1; hal.

a = a/1 ; 3x 2 = 3x 2 /1 atbp.

Samakatuwid, ang mga panuntunang ibinigay sa amin para sa mga aksyon sa mga fraction ay maaari ding ilapat sa mga ganitong kaso kapag ang alinman sa mga expression na ito ay isang integer, ito ay kinakailangan lamang upang ilarawan ang integer na ito (hindi bababa sa isip) bilang isang fraction. Halimbawa:

86. Ang paglabas ng equation mula sa mga denominador. Hayaang ibigay ang equation:

Nababaligtad 6 3 / 5 sa isang hindi tamang fraction at dalhin ang lahat ng mga termino sa parehong denominator:

Ngayon i-multiply ang lahat ng termino sa 10; pagkatapos ang denominator 10 ay masisira, at makukuha natin ang equation na walang mga fraction:

Upang maiwasan ang isang error, nagsama kami ng binomial 7x-2 sa mga bracket upang ipakita na ang - sign sa equation na ito sa harap ng pangalawang fraction ay hindi tumutukoy sa 7x , at sa buong binomial 7x-2 (sa numerator ng pangalawang bahagi). Ang pagpapalawak ng mga bracket na ito ayon sa panuntunan ng pagbabawas, makakakuha tayo ng:

kaya, upang palayain ang isang equation mula sa mga denominator, kinakailangang dalhin ang lahat ng mga termino nito sa parehong denominator at pagkatapos ay i-multiply ang mga ito sa denominator na ito (sa ibang salita, ihulog ito ).

Ikapitong kabanata.

ratio at proporsyon.

87. Saloobin. Madalas na kinakailangan upang ihambing ang isang halaga sa isa pang halaga, homogenous dito, upang malaman kung gaano karaming beses ang unang halaga ay naglalaman ng pangalawa.

Halimbawa, para sa layuning ito maaari nating ihambing ang bigat ng isang bagay sa bigat ng isa pang bagay, ang presyo ng isang produkto sa presyo ng isa pang produkto, atbp. Sa lahat ng ganoong kaso, ang resulta ng paghahambing ay ipinahayag bilang isang numero , na maaaring parehong integer at integer na may fraction , at fractional. Hayaan, halimbawa, ihambing natin ang haba a na may iba't ibang haba b , at ang resulta ng paghahambing ay naging integer 3 .

Nangangahulugan ito na ang haba a naglalaman ng haba b eksaktong 3 beses (sa madaling salita, a higit pa b 3 beses).

Kung ang resulta ng paghahambing ay isang integer na may fraction, hal. 2 1 / 2 , ibig sabihin nito a naglalaman ng b 2 1/2 beses ( a higit pa b 2 1/2 beses).

Kung, sa wakas, ang resulta ng paghahambing ay isang fraction, ilagay ang 3 / 4 , pagkatapos a hindi naglalaman ng b hindi isang beses, ngunit 3/4 lamang b .

Sa lahat ng mga kasong ito, ang resulta ng paghahambing ay isang abstract na numero kung saan ang pangalawang halaga ay dapat na i-multiply upang makuha ang una. Kaya, sa aming mga halimbawa:

a = b 3 ; a = b 2 1/2 ; a = b 3 / 4;

Ang resulta ng paghahambing ng isang dami sa isa pang homogenous na dami ay karaniwang tinatawag na ratio ng unang dami sa pangalawa. Ibig sabihin, ang ratio ng isang dami sa isa pang homogenous na dami ay isang abstract na numero kung saan ang pangalawang dami ay dapat na i-multiply upang makuha ang una. Dahil ang numerong ito ay ang quotient ng paghahati ng unang halaga sa pangalawa, ang ratio ay ipinapahiwatig ng tanda ng dibisyon. Kaya, maaari kang sumulat:

a / b (o a:b) =3; a / b = 2 1 / 2 a / b = 3 / 4 . atbp.

Ang mga halaga sa pagitan ng kung saan kinuha ang ratio ay tinatawag na mga miyembro ng kaugnayan, na ang unang halaga ay tinatawag na nakaraang miyembro, at ang pangalawa ay ang susunod.

Kung ang mga dami ay sinusukat ng parehong yunit at ipinahayag sa mga numero, kung gayon ang kanilang ratio ay maaaring mapalitan ng ratio ng mga numerong ito. Halimbawa, ang ratio ng dalawang timbang, isa sa 80 g at ang isa sa 15 g, ay katumbas ng ratio ng mga numero 80 at 15, iyon ay, ito ay katumbas ng quotient 80:15, na kung saan ay 5 1 / 3 ; gayundin, ang ratio ng isang anggulo ng 30 ° sa isang tamang anggulo ay katumbas ng quotient 30:90, ibig sabihin, mga fraction 1 / 3

Ito ay kinakailangan upang ihambing sa kanilang mga sarili para sa karamihan ng mga positibong dami; samakatuwid, ang parehong mga termino ng kaugnayan at ang kaugnayan mismo ay ipagpalagay na ipinahayag bilang positibong mga numero.

88. Pag-asa sa pagitan ng relasyon at mga miyembro nito kapareho ng umiiral sa pagitan ng dibidendo, ang divisor, at ang quotient.

a) Ang nakaraang termino ay katumbas ng susunod na pinarami ng ratio (ang dibidendo ay katumbas ng divisor na pinarami ng quotient). Kung, halimbawa, ang ratio ng ilang hindi kilalang numero X sa numero 100 katumbas 2 1 / 2 , pagkatapos X = 100 2 1 / 2 = 250 .

b) Ang susunod na termino ay katumbas ng nauna na hinati sa ratio (ang divisor ay katumbas ng dibidendo na hinati ng quotient). Kaya, kung ito ay kilala na 15: X = 5, pagkatapos X = 15: 5 = 3.

sa) Ang ratio ay hindi magbabago kung ang parehong miyembro nito ay i-multiply o hinati sa parehong bilang (ang quotient ay hindi magbabago kung...).

89. Dinadala ang mga miyembro ng kaugnayan sa buong anyo. Sa pamamagitan ng pagpaparami ng parehong termino ng kaugnayan sa parehong numero, maaari nating palitan ang kaugnayan sa mga fractional na miyembro sa pamamagitan ng kaugnayan ng mga integer. Oo, ugali 7 / 3 : 5 sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga miyembro nito sa 3, ito ay magiging isang ratio ng integer na 7:15; ang ratio na 9 / 14: 10 / 21, pagkatapos na i-multiply ang mga termino nito sa isang karaniwang denominator 42, ay magiging isang ratio ng mga integer na 27: 20.

90. Pagbawas ng relasyon. Kung ang parehong miyembro ng ugnayan ay mga integer na nahahati ng ilang karaniwang divisor, kung gayon ang gayong kaugnayan ay maaaring bawasan. Kaya, ang ratio ng 42:12 sa pamamagitan ng paghahati sa mga miyembro nito sa 6 ay magiging 7:2.

91. Baliktad na relasyon. Kung muling ayusin ang mga miyembro ng kaugnayan, ibig sabihin, gawin ang nakaraang miyembro na sundin, at kabaliktaran, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang bagong kaugnayan, na tinatawag na kabaligtaran ng nauna. Kaya, ang ratio ng metro sa sentimetro ay kabaligtaran sa ratio ng sentimetro sa metro; ang una ay katumbas ng bilang na 100, ang pangalawa ay katumbas ng reciprocal ng 0.01.

92. Proporsyon. Sa pagpuna na ang ratio ng kilo sa gramo ay 1000 at ang ratio ng kilometro sa metro ay 1000 din, maaari nating isulat ang equation:

o kilo: gramo = kilometro: metro, na ganito ang nakasulat: ang ratio ng isang kilo sa isang gramo ay katumbas ng ratio ng isang kilometro sa isang metro; o tulad nito: ang isang kilo ay nauugnay sa isang gramo bilang isang kilometro ay nauugnay sa isang metro (o kung hindi ganito: ang isang kilo ay mas malaki kaysa sa isang gramo nang maraming beses na ang isang kilometro ay mas malaki kaysa sa isang metro).

Ang pagkakapantay-pantay ng dalawang ratios ay tinatawag na proporsyon. Siyempre, ang mga dami na kasangkot sa bawat ratio ay dapat na homogenous; kaya, sa aming halimbawa, ang mga halaga ng unang ratio ay mga timbang, at ang mga halaga ng pangalawang ratio ay mga haba.

Sa apat na halaga na bumubuo sa proporsyon, ang una at ikaapat ay tinatawag na matinding termino, ang pangalawa at pangatlo ay ang mga gitnang termino, ang una at pangatlo ay ang nauna, ang pangalawa at ikaapat ay ang kasunod. mga. Ang huling dami ay tinatawag ding ikaapat na proporsyonal sa unang tatlong dami.

Ipagpalagay namin na ang lahat ng apat na termino ng proporsyon ay ipinahayag sa mga numero; tatawagin natin ang naturang proporsyon na numerical.

93. Ang pangunahing katangian ng numerical na proporsyon. Ipagpalagay na mayroon kaming mga sumusunod na proporsyon ng numero:

21 / 7 = 15 / 5 (bawat ratio = 3)

Isaalang-alang natin sa bawat proporsyon ang produkto ng mga matinding termino at ang produkto ng mga gitnang termino at ihambing ang mga ito sa isa't isa. Sa unang proporsyon, ang produkto ng mga sukdulan ay

21 5=105 at ang produkto ng ibig sabihin ay 7 15=105; sa pangalawang proporsyon, ang produkto ng mga sukdulan \u003d 2 1 / 2 3 = 7 1/2 at produkto ng mga average = 3/4 10 = 7 1/2

Kaya, sa bawat isa sa mga proporsyon na kinuha, ang produkto ng mga matinding termino ay katumbas ng produkto ng mga gitna.

Upang ipakita na ang pag-aari na ito ay kabilang sa anumang numerical na proporsyon, kunin natin ang proporsyon sa literal na anyo:

a / b = kasama / d

Dahil ang bawat isa sa dalawang ratios na bumubuo sa proporsyon ay ang quotient ng paghahati ng nakaraang termino sa susunod, maaari nating sabihin na ang proporsyon ay ang pagkakapantay-pantay ng dalawang fraction. Dalhin natin ang mga fraction na ito sa isang common denominator bd .

Pinaparami namin ngayon ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng bd (mula sa kung saan ang pagkakapantay-pantay ay hindi lalabagin); pagkatapos ay bababa ang karaniwang denominator, at makuha natin ang pagkakapantay-pantay:

ad = cb ,

na nagpapahayag na sa anumang numerical na proporsyon ang produkto ng mga matinding termino ay katumbas ng produkto ng mga gitna.

Mula dito ay sumusunod na ang bawat matinding miyembro ng proporsyon ay katumbas ng produkto ng mga average na hinati ng iba pang sukdulan, at ang bawat average na miyembro ng proporsyon ay katumbas ng produkto ng mga sukdulan na hinati ng isa pang average. Nagbibigay ito sa amin ng kakayahang mabilis na malutas ang mga equation na ibinigay bilang mga proporsyon; hal. mula sa equation

10 / x = 45 / 20

direktang output: X = 10 20 / 45 = 4 4 / 9 .

94. Baligtarin ang panukala. Ipagpalagay na mayroon kaming 4 na numero na ang produkto ng dalawa sa kanila ay katumbas ng produkto ng iba pang dalawa, halimbawa:

Maaari nating gawing serye ng mga proporsyon ang gayong pagkakapantay-pantay. Upang gawin ito, hinahati namin ang parehong bahagi sa bawat isa sa mga gawaing ito:

5 30; 5 2; 12 30; 12 2,

kung saan ang isang salik ay kinuha mula sa isang ibinigay na produkto, at ang isa ay mula sa isa pa. Pagkatapos ay makakakuha tayo ng 4 na iba pang pagkakapantay-pantay (kung hahatiin natin ang pantay na mga numero sa pantay-pantay, pagkatapos ay makakakuha tayo ng pantay-pantay), ibig sabihin:

Ang pagbabawas ng lahat ng mga fraction na ito, nakita namin:

Makakakuha tayo ng 4 na proporsyon, kung saan ang mga matinding termino ay ang mga salik ng isa sa mga ibinigay na produkto, at ang mga gitnang termino ay ang mga salik ng isa pang ibinigay na produkto.

Sa katulad na paraan, maaari nating palitan ang equation na 0.3 4 = 6 0.2 sa mga sumusunod na proporsyon:

o pagkakapantay-pantay: 5x=3y maaari naming i-convert sa mga proporsyon:

5:3=y:x ; x:y=3:5 , atbp.

Kaya, kung ang produkto ng dalawang numero ay katumbas ng produkto ng dalawang iba pang mga numero, kung gayon ang mga proporsyon ay maaaring gawin mula sa 4 na numerong ito, na kunin ang mga salik ng isang produkto bilang mga matinding termino, at ang mga salik ng iba pang produkto bilang mga gitnang miyembro ng mga proporsyon.

95. Bunga. Sa anumang numerical na proporsyon, maaaring muling ayusin ng isa ang mga gitnang termino sa kanilang mga sarili, ang mga matinding termino sa kanilang mga sarili, o ilagay ang mga average sa lugar ng mga sukdulan, at kabaliktaran, dahil ang gayong mga permutasyon ay hindi lalabag sa pagkakapantay-pantay sa pagitan ng produkto ng mga sukdulan at ang produkto ng mga average at, samakatuwid, ang proporsyonalidad ng mga numero ay hindi lalabagin.

96. Geometric ibig sabihin. Kumuha tayo ng isang proporsyon kung saan ang mga gitnang termino ay pareho; Halimbawa:

Ang paulit-ulit na termino ng naturang proporsyon ay tinatawag geometric na ibig sabihin ang bilang ng iba pang dalawang miyembro ng proporsyon: 12 ay ang geometric mean ng 36 at 4. Kaya, kung gusto mong hanapin ang geometric mean ng dalawang numero a at b , pagkatapos, tinutukoy ito sa pamamagitan ng titik X , maaari nating isulat ang proporsyon:

a:x=x:b

x 2 = ab

Samakatuwid, ang geometric na ibig sabihin ng dalawang ibinigay na mga numero ay tulad ng isang ikatlong numero, ang parisukat na kung saan ay katumbas ng produkto ng mga ibinigay na mga numero. Halimbawa, ang geometric mean ng 25 at 4 ay 10 dahil 10 2 = 25 4 .

97. Arithmetic mean. Ang arithmetic mean ng ilang binigay na numero ay ang quotient ng paghahati ng kabuuan ng mga numerong ito sa kanilang numero. Halimbawa, ang arithmetic mean ng 4 na numero: 10, -2, -8 at 12 ay:

Ang arithmetic mean ay may katangian na kung, kapag idinaragdag ang mga numerong ito, papalitan natin ang bawat isa sa kanila ng arithmetic mean, kung gayon ang kabuuan ay hindi magbabago mula sa kapalit na ito. Kaya, ang kabuuan ng mga numerong 10, -2, -8 at 12 ay katumbas ng 12, at ang kabuuan ng 3+3+3+3 ay katumbas din ng 12. Ipagpalagay, halimbawa, na ang pagiging produktibo ng pabrika sa panahon ng ang unang apat na buwan ng kasalukuyang taon, kumpara sa pagiging produktibo nito noong Disyembre ng nakaraang taon, ay tumaas: noong Enero ng 10 ° / o, noong Pebrero ng -2%, noong Marso ng - 8% (na nangangahulugan na ang pagiging produktibo ay nabawasan. sa nakalipas na 2 buwan) at noong Abril ng + 12%. Pagkatapos ay masasabi natin na ang average na pagtaas ng produktibidad sa loob ng 4 na buwang ito ay 3% bawat buwan. Dapat itong maunawaan sa paraang ang pagiging produktibo ng pabrika para sa lahat ng 4 na buwan ay naging pareho kung ito ay tumaas bawat buwan sa parehong paraan, lalo na ng 3% (kumpara sa pagiging produktibo noong Disyembre). Sa isang katulad na kahulugan, ang isa ay madalas na nagsasalita ng average na kita, average na bilis ng paggalaw, average na density ng populasyon, atbp. Sa lahat ng gayong mga expression, ipinapahiwatig na pinag-uusapan natin ang average na arithmetic.

98. Nagmula sa mga proporsyon. Mula sa anumang proporsyon, bilang karagdagan sa pag-permute sa mga termino nito, maaari kang makakuha ng ilang iba pang mga proporsyon, na tinatawag na derivatives. Ituro natin ang dalawa sa kanila.

Kung ang bawat isa sa mga katumbas na ratio na bumubuo sa proporsyon ay nadagdagan o nababawasan ng 1, kung gayon ang pagkakapantay-pantay sa pagitan ng mga ratio, malinaw naman, ay hindi lalabag. Samakatuwid, kung

Ang pagdadala ng 1 sa isang karaniwang denominator na may bahagi kung saan ito inilapat o kung saan ito ay ibinabawas, makakakuha tayo ng:

Maaari naming ipahayag ang dalawang nagmula na mga proporsyon na aming nakuha bilang mga sumusunod: sa anumang proporsyon, ang kabuuan o pagkakaiba ng mga tuntunin ng unang kaugnayan ay nauugnay sa kasunod na termino ng kaugnayang ito sa parehong paraan tulad ng kabuuan o pagkakaiba ng mga termino ng pangalawang kaugnayan ay nauugnay sa kasunod na termino ng kaugnayan na ito.

Hinahati namin ang pagkakapantay-pantay (1) at (2) sa pagkakapantay-pantay na ito a /b=c/ d pagkatapos ay ang mga denominador b at d bumaba, at nakakakuha tayo ng dalawa pang nagmula na proporsyon:

na maaaring ipahayag tulad nito: ang kabuuan o pagkakaiba ng mga kasapi ng unang ugnayan ay nauugnay sa naunang kasapi ng kaugnayang ito sa parehong paraan na ang kabuuan o pagkakaiba ng mga kasapi ng ikalawang ugnayan ay nauugnay sa naunang kasapi ng kaugnayang ito.

Sa paghahati ng termino sa terminong pagkakapantay-pantay (1) sa pagkakapantay-pantay (2), makikita rin natin ang sumusunod na derivative na proporsyon:

na maaaring ipahayag tulad nito: ang kabuuan ng mga tuntunin ng unang kaugnayan ay nauugnay sa kanilang pagkakaiba sa parehong paraan na ang kabuuan ng mga tuntunin ng pangalawang kaugnayan ay nauugnay sa kanilang pagkakaiba.

Ang muling pagsasaayos ng mga gitnang termino sa dalawang nagmula na mga proporsyon, nakakakuha kami ng iba pang hinango na mga proporsyon na kapaki-pakinabang na tandaan:

99. Pag-aari ng pantay na relasyon. Kumuha tayo ng ilang pantay na ugnayan, halimbawa, tulad ng:

30 / 10 = 6 / 2 = 15 / 5 (bawat ratio = 3).

Idagdag natin ang lahat ng nakaraang termino sa isa't isa at lahat ng kasunod na termino sa isa't isa at tingnan kung ano ang ratio ng dalawang sum na ito. Ang kabuuan ng mga nauna ay: 30 + 6 + 15 = 51; ang kabuuan ng mga sumusunod: 10 + 2 + 5 = 17. Nakikita namin na ang ratio ng unang kabuuan sa pangalawa ay katumbas ng parehong numero 3, na katumbas ng mga ratios na ito, kaya maaari naming isulat:

Upang ipakita na karaniwan ang property na ito, kumuha tayo ng ilang pantay na ugnayan sa literal na anyo:

Dahil ang nakaraang termino ay katumbas ng kasunod na termino na pinarami ng ratio, kung gayon

a = bq, c = dq, e = fq , . . .

at samakatuwid a + c + e + . . . = bq + dq + fq + . . .

i.e. a + c + e. . . =q(b + d + f + . . .)

Hatiin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay na ito sa kabuuan b + d + f + . . .

kaya:

kaya, kung ang ilang mga ratio ay pantay sa isa't isa, kung gayon ang kabuuan ng lahat ng kanilang mga naunang termino ay nauugnay sa kabuuan ng lahat ng mga kasunod, dahil ang alinman sa mga nauna ay nauugnay sa kasunod nito.

Dahil ang bawat proporsyon ay binubuo ng dalawang magkaparehong ratio, ang property na ito ay kabilang din sa proporsyon.

100. Aritmetika na aplikasyon.(Proportional division.) Hayaang hatiin ang numero 60 sa tatlong bahagi ayon sa proporsyon ng mga numerong b, 7 at 8. Dapat itong maunawaan sa paraang kinakailangan na hatiin ang 60 sa naturang tatlong bahagi x, y at z , sa X kaya tinatrato ang 5 bilang sa ay tumutukoy sa 7 at kung paano z ay tumutukoy sa 8, i.e. sa

x / 5 = y / 7 = z / 8

Ang paglalapat ng mga katangian ng pantay na mga ratio, nakita namin:

Pero x + y + z = 60

Mula dito makikita natin:

101. Geometric na aplikasyon. Hayaang magkatulad ang dalawang polygon at maging ang mga gilid ng isa a B C D, ..., at katulad, panig ng isa pa a B C D", ... Pagkatapos

a / a" = b / b" = c / c" = d / d" = ...

i.e. ang mga perimeter ng magkatulad na polygon ay magkakaugnay bilang magkatulad na panig .

Magkomento. Ang mga nagmula na proporsyon at ang pag-aari ng magkaparehong mga ratio ay maaaring gamitin minsan upang mabilis na malutas ang isang equation na ibinigay bilang isang proporsyon. Magbigay tayo ng mga halimbawa.

Gumawa tayo ng derivative proportion: ang kabuuan ng mga miyembro ng unang relasyon ay nauugnay sa kasunod na miyembro ng parehong relasyon sa parehong paraan tulad ng. . .

Pagkatapos makuha namin:

3 /x=47/ 7

saan

x = 21 / 47

Gumawa tayo ng derivative proportion: ang kabuuan ng mga miyembro ng unang relasyon ay nauugnay sa kanilang pagkakaiba sa parehong paraan tulad ng. . . Pagkatapos makuha namin:

Gumawa tayo ng bagong proporsyon: ang kabuuan ng mga nauna ay nauugnay sa kabuuan ng mga kasunod sa parehong paraan tulad ng. . . :

Ngayon ay gumawa tayo ng derivative na proporsyon: ang kabuuan ng mga termino ng unang kaugnayan ay nauugnay sa kasunod na termino ng kaugnayang ito sa parehong paraan tulad ng. . . :

Ika-walong kabanata.

Proporsyonal na pag-asa (direkta at kabaligtaran).

102. Proporsyonal na pag-asa. Alam ng lahat mula sa karanasan na kung ang dami ng tubig ay tumaas (o bumababa) sa anumang ratio, kung gayon ang timbang nito ay tataas (o bababa) sa parehong ratio. Halimbawa, ang 1 litro ng tubig ay tumitimbang ng 1 kg, ang 2 litro ng tubig ay tumitimbang ng 2 kg, ang 2 1/2 litro ng tubig ay tumitimbang ng 2 1/2 kg, atbp. manatiling hindi nagbabago; halimbawa, ang tubig ay kinuha nang pantay na malinis, sa parehong temperatura, atbp.). Ang ugnayang ito sa pagitan ng dami ng tubig at bigat nito ay tinatawag proporsyonal pagkagumon. Sa pangkalahatan, kung sasabihin natin na ang dalawang dami ay proporsyonal sa isa't isa (o proporsyonal sa isa't isa), nangangahulugan ito na sa pagtaas (o pagbaba) ng isa sa kanila sa ilang aspeto, ang isa ay tumataas din (o bumababa) sa parehong paraan . Kaya, ang halaga ng isang kalakal na ibinebenta ayon sa timbang ay proporsyonal sa timbang nito; ang sahod sa mga manggagawa ay proporsyonal sa kanilang bilang (sa ilalim ng parehong iba pang mga kondisyon); ang halaga ng isang fraction ay proporsyonal sa numerator nito (na may pare-parehong denominator); ang lugar ng isang rektanggulo ay proporsyonal sa base nito na may pare-parehong taas at proporsyonal sa taas nito na may pare-parehong base, atbp.

103. Pagpapahayag ng proporsyonal na pag-asa sa pamamagitan ng isang pormula. Ipagpalagay na nilulutas natin ang sumusunod na problema:

Ang isang riles ng tren, na gumagalaw sa pare-parehong bilis, ay bumibiyahe ng 30 km bawat oras. Anong espasyo ang dadaanan ng tren na ito a oras ( a maaaring integer o fractional)?

Papasukin a oras na dadaan ang tren X km.

Ayusin ang data at ang tanong ng problema tulad ng sumusunod:

30 km ay sakop sa 1 oras;

sa a oras " X km.

Sa pare-parehong paggalaw, ang espasyong dinadaanan sa ilang panahon ay proporsyonal sa panahong ito. Kaya x dapat na higit pa o mas mababa sa 30 at kasing dami a higit pa o mas mababa sa 1. Kaya, maaari nating isulat ang proporsyon:

X : 30 = a : 1 ,

x = 30a .

Kaya nakuha namin ang isang formula kung saan maaari naming kalkulahin ang puwang na tinatahak sa anumang numero a oras. Halimbawa, sa 2 o'clock 30 km 2 ang sasakupin, sa 3 1/2 hours 30 km 3 1/2. sa 3/4 na oras 30 km 3/4. Kaya, sa nagmula na formula, ang mga numero X at a magkakaroon ng mga variable (naaayon sa isa't isa), habang ang numero 30 ay pare-pareho (ibig sabihin ang espasyo na dinadaanan ng tren sa loob ng 1 oras, iyon ay, ang bilis ng paggalaw).

Mula sa mga problemang tulad ng ibinigay ngayon, nakikita natin na kung ang dalawang dami ay proporsyonal, kung gayon ang numerical na halaga ng isa sa mga ito ay katumbas ng ilang pare-parehong numero na pinarami ng katumbas na numerical na halaga ng iba pang dami.

Sa kabaligtaran, kung ang relasyon sa pagitan ng anumang dalawang variable, na tinutukoy namin sa at X , ay ipinahayag ng isang formula ng form y = kx , saan k mayroong ilang pare-parehong numero para sa mga dami na ito, kung gayon ang mga naturang dami ay proporsyonal, dahil ipinapakita ng formula na ito na may pagtaas (o pagbaba) sa halaga X ibang halaga sa tumataas din (o bumababa) at, bukod dito, sa parehong ratio. Halimbawa, tulad ng nalalaman mula sa geometry, ang haba Sa radius ng bilog R ipinahayag ng formula:

C = 6.28R (C = 2πR),

kung saan R at C- mga variable, at 6,28 - pare-parehong numero; pagkatapos ay maaari nating tapusin na ang circumference ng isang bilog ay proporsyonal sa radius nito.

Ang isang pare-parehong numero na kasama bilang isang kadahilanan sa naturang mga formula ay tinatawag koepisyent ng proporsyonalidad yaong mga variable na tinutukoy ng formula.

104. Baliktad na proporsyon. Minsan nangyayari na ang dalawang variable ay nakasalalay sa isa't isa upang sa pagtaas ng isa sa kanila ang iba ay bumababa at, bukod dito, bumababa sa parehong ratio kung saan ang unang pagtaas. Ang ganitong mga dami ay tinatawag inversely proportional(at ang mga dami na proporsyonal ay kung minsan ay tinatawag na direktang proporsyonal). Halimbawa, ang bilang ng mga oras kung saan ang isang tren ng tren ay naglalakbay mula sa Moscow hanggang Leningrad ay inversely proportional sa average na bilis ng tren na ito, dahil sa pagtaas ng bilis ng 1 1/2 beses, ng 2 beses ... , sa pangkalahatan, sa ilang ratio, ang bilang ng mga oras kung saan sasaklawin ng tren ang distansya mula Moscow hanggang Leningrad ay bababa ng 1 1/2 beses, ng 2 beses ..., sa pangkalahatan, sa parehong ratio kung saan ang tumaas ang bilis. Katulad nito, ang bigat ng isang kalakal na mabibili gamit ang isang naibigay na halaga ng pera, halimbawa, para sa 100 rubles, ay inversely proportional sa presyo ng isang kilo ng kalakal na ito; ang oras kung kailan ginagawa ng mga manggagawa ang gawaing itinalaga sa kanila ay inversely proportional sa bilang ng mga manggagawang ito (siyempre, sa kondisyon na ang lahat ng manggagawa ay gumana nang pantay na matagumpay); ang halaga ng isang fraction ay inversely proportional sa denominator nito (na may pare-parehong numerator), atbp.

Magkomento. Upang ang dalawang dami na nakadepende sa isa't isa ay maging proporsyonal (direkta o baligtad), hindi sapat na magkaroon lamang ng palatandaan na sa pagtaas ng isang dami ay tataas din ang isa pa (para sa direktang proporsyonalidad), o na may pagtaas. sa isang dami ay bumababa ang isa (para sa kabaligtaran na proporsyonalidad). ). Halimbawa, kung tumaas ang anumang termino, tataas din ang kabuuan; ngunit isang pagkakamali na sabihin na ang kabuuan ay proporsyonal sa termino, dahil kung tataas ang termino, ilagay natin ito ng 3 beses, pagkatapos ay ang kabuuan, bagaman tataas ito, ngunit hindi 3 beses. Katulad nito, imposible, halimbawa, na sabihin na ang pagkakaiba ay inversely proportional sa subtrahend, dahil kung ang subtrahend ay tumaas, sabihin nating 2 beses, pagkatapos ay ang pagkakaiba, bagaman ito ay bumababa, ngunit hindi 2 beses. Kinakailangan na ang pagtaas o pagbaba ng parehong mga halaga ay magaganap sa parehong bilang ng beses (sa parehong ratio).

105. Pagpapahayag ng inverse proportionality sa pamamagitan ng formula. Ipagpalagay na nilulutas natin ang isang problema: ang isang manggagawa ay maaaring gumawa ng ilang trabaho sa loob ng 12 araw; sa ilang araw ay gagawin nila ang parehong gawain a manggagawa?

Ipahiwatig ang nais na numero sa pamamagitan ng titik X at ayusin para sa kalinawan ang data at ang tanong ng problema tulad ng sumusunod:

1 manggagawa ang gumagawa ng trabaho sa loob ng 12 araw

a gumaganap ang mga manggagawa "" X araw.

Malinaw, ang bilang ng mga araw na kinakailangan upang gawin ang parehong trabaho ay inversely proportional sa bilang ng mga manggagawa. Kaya ( x dapat mas mababa sa 12 at kasing dami a mas malaki sa 1 (sa madaling salita, anong oras ang 1 mas mababa sa a ). Kaya ang relasyon x :12 ay hindi dapat katumbas ng ratio a:1 , tulad ng magiging direktang proporsyonal na relasyon, at ang kabaligtaran na ratio ay 1: a . Kaya maaari naming isulat ang proporsyon:

x :12 = 1: a

X = 12 / a .

Sa formula na ito mahahanap natin ang bilang ng mga araw X kinakailangan para sa pagganap ng gawaing ito, para sa anumang numero a manggagawa; halimbawa, 2 manggagawa ang matatapos sa trabaho sa loob ng 12/2 araw, 3 manggagawa sa 12/3 araw, atbp. Kaya, ang mga numero X at a sa formula na ito ay mga variable, at ang bilang na 12 ay pare-pareho, ibig sabihin kung gaano karaming araw ang trabaho ay ginagampanan ng isang manggagawa.

Mula sa mga problemang tulad ng nalutas na, makikita natin iyon kung ang alinmang dalawang dami (na ating tutukuyin sa pamamagitan ng mga letrang x at y) ay inversely proportional, kung gayon ang numerical na halaga ng isa sa mga ito ay katumbas ng ilang pare-parehong numero (hayaan nating tukuyin ito k) na hinati sa katumbas na halaga ng iba pang dami , ibig sabihin. y= k / x , kung sa at X kumakatawan sa kaukulang mga halaga ng mga dami na ito.

Dahil sa formula y= k / x ay maaaring katawanin tulad nito: xy = k , kung gayon ang relasyon sa pagitan ng mga inversely proportional na dami ay maaaring ipahayag sa ibang paraan: kung ang dalawang dami ay inversely proportional, kung gayon ang produkto ng dalawang katumbas na numerical values ​​ng mga dami na ito ay katumbas ng pare-parehong numero.

Sa kabaligtaran, kung ang relasyon sa pagitan ng dalawang variable ay ipinahayag ng formula:

y= k / x o xy = k .

saan k ay isang pare-parehong numero, kung gayon ang mga dami na ito ay inversely proportional, dahil makikita mula sa formula na kung ang dami X tataas ng ilang beses, pagkatapos sa bumababa ng parehong halaga.

Halimbawa, ito ay kilala mula sa pisika na sa isang pare-pareho ang temperatura, ang produkto ng volume V ng isang naibigay na masa ng gas at ang pagkalastiko nito h ay isang pare-parehong halaga; ito, sa madaling salita, ay nangangahulugan na ang pagkalastiko ng isang naibigay na masa ng gas ay inversely proporsyonal sa dami nito (sa parehong temperatura).

Magkomento. Pagkakapantay-pantay y= k / x maaaring isulat sa ibang paraan, tulad nito:

y = k 1 / x

Sa form na ito, ipinapahayag nito na ang dami sa direktang proporsyonal sa fraction 1 / x . Kaya kung ang bilang sa inversely proportional sa bilang X , pagkatapos ay maaari ding sabihin na ang numero sa direktang proporsyonal sa kapalit ng numero x , ibig sabihin. 1 / x .

Kabilang sa iba't ibang mga expression na isinasaalang-alang sa algebra, ang mga kabuuan ng monomials ay sumasakop sa isang mahalagang lugar. Narito ang mga halimbawa ng gayong mga expression:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Ang kabuuan ng monomials ay tinatawag na polynomial. Ang mga termino sa isang polynomial ay tinatawag na mga miyembro ng polynomial. Ang mga monomial ay tinutukoy din bilang mga polynomial, na isinasaalang-alang ang isang monomial bilang isang polynomial na binubuo ng isang miyembro.

Halimbawa, polynomial
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
maaaring gawing simple.

Kinakatawan namin ang lahat ng mga termino bilang monomials ng karaniwang anyo:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Nagbibigay kami ng mga katulad na termino sa nagresultang polynomial:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Ang resulta ay isang polynomial, ang lahat ng mga miyembro nito ay monomials ng karaniwang anyo, at kasama ng mga ito ay walang mga katulad. Ang ganitong mga polynomial ay tinatawag polynomial ng karaniwang anyo.

sa likod polynomial degree karaniwang anyo ang pinakamalaki sa mga kapangyarihan ng mga miyembro nito. Kaya, ang binomial \(12a^2b - 7b \) ay may ikatlong antas, at ang trinomial \(2b^2 -7b + 6 \) ay may pangalawa.

Karaniwan, ang mga tuntunin ng mga karaniwang anyo na polynomial na naglalaman ng isang variable ay nakaayos sa pababang pagkakasunud-sunod ng mga exponent nito. Halimbawa:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Ang kabuuan ng ilang polynomial ay maaaring i-convert (pinasimple) sa isang karaniwang anyo na polynomial.

Minsan ang mga miyembro ng isang polynomial ay kailangang hatiin sa mga grupo, na nakapaloob sa bawat pangkat sa mga panaklong. Dahil ang mga panaklong ay kabaligtaran ng mga panaklong, madali itong bumalangkas mga panuntunan sa pagbubukas ng panaklong:

Kung ang + sign ay inilalagay bago ang mga bracket, ang mga terminong nakapaloob sa mga bracket ay nakasulat na may parehong mga palatandaan.

Kung ang isang "-" na palatandaan ay inilagay sa harap ng mga bracket, ang mga termino na nakapaloob sa mga bracket ay nakasulat na may kabaligtaran na mga palatandaan.

Pagbabago (pagpapasimple) ng produkto ng isang monomial at isang polynomial

Gamit ang distributive property ng multiplication, maaaring ibahin (pasimplehin) ng isa ang produkto ng isang monomial at isang polynomial sa isang polynomial. Halimbawa:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Ang produkto ng isang monomial at isang polynomial ay magkaparehong katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng monomial na ito at bawat isa sa mga termino ng polynomial.

Ang resultang ito ay kadalasang binabalangkas bilang panuntunan.

Upang i-multiply ang isang monomial sa isang polynomial, dapat isa paramihin ang monomial na ito sa bawat isa sa mga tuntunin ng polynomial.

Paulit-ulit naming ginamit ang panuntunang ito para sa pagpaparami ng kabuuan.

Ang produkto ng polynomials. Pagbabago (pagpapasimple) ng produkto ng dalawang polynomial

Sa pangkalahatan, ang produkto ng dalawang polynomial ay magkaparehong katumbas ng kabuuan ng produkto ng bawat termino ng isang polynomial at bawat termino ng isa.

Karaniwang gamitin ang sumusunod na panuntunan.

Upang i-multiply ang isang polynomial sa isang polynomial, kailangan mong i-multiply ang bawat termino ng isang polynomial sa bawat termino ng isa at idagdag ang mga resultang produkto.

Mga pinaikling pormula ng pagpaparami. Mga parisukat ng Kabuuan, Pagkakaiba, at Pagkakaiba

Ang ilang mga expression sa algebraic transformations ay kailangang harapin nang mas madalas kaysa sa iba. Marahil ang pinakakaraniwang mga expression ay \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) at \(a^2 - b^2 \), iyon ay, ang parisukat ng kabuuan, ang parisukat ng pagkakaiba, at parisukat na pagkakaiba. Napansin mo na ang mga pangalan ng mga expression na ito ay tila hindi kumpleto, kaya, halimbawa, \((a + b)^2 \) ay, siyempre, hindi lamang ang parisukat ng kabuuan, ngunit ang parisukat ng kabuuan ng a at b. Gayunpaman, ang parisukat ng kabuuan ng a at b ay hindi pangkaraniwan, bilang panuntunan, sa halip na mga titik a at b, naglalaman ito ng iba't ibang, minsan medyo kumplikadong mga expression.

Ang mga ekspresyong \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ay madaling i-convert (pasimplehin) sa mga polynomial ng karaniwang anyo, sa katunayan, natugunan mo na ang ganoong gawain kapag nagpaparami ng mga polynomial :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Ang mga resultang pagkakakilanlan ay kapaki-pakinabang na tandaan at ilapat nang walang mga intermediate na kalkulasyon. Ang mga maikling pormulasyon sa salita ay nakakatulong dito.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - ang parisukat ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat at ang dobleng produkto.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - ang parisukat ng pagkakaiba ay ang kabuuan ng mga parisukat nang hindi nadodoble ang produkto.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - ang pagkakaiba ng mga parisukat ay katumbas ng produkto ng pagkakaiba at ang kabuuan.

Ang tatlong pagkakakilanlang ito ay nagpapahintulot sa mga pagbabagong palitan ang kanilang mga kaliwang bahagi ng mga kanan at vice versa - mga kanang bahagi ng mga kaliwa. Ang pinakamahirap na bagay sa kasong ito ay upang makita ang kaukulang mga expression at maunawaan kung ano ang mga variable na a at b ay pinalitan sa kanila. Tingnan natin ang ilang halimbawa ng paggamit ng mga pinaikling formula ng multiplikasyon.

Unang antas

Pagbabagong ekspresyon. Detalyadong Teorya (2019)

Pagbabagong ekspresyon

Kadalasan naririnig natin ang hindi kasiya-siyang pariralang ito: "pasimplehin ang expression." Karaniwan, sa kasong ito, mayroon kaming ilang uri ng halimaw na tulad nito:

"Oo, mas madali," sabi namin, ngunit ang gayong sagot ay karaniwang hindi gumagana.

Ngayon ituturo ko sa iyo na huwag matakot sa anumang ganoong mga gawain. Bukod dito, sa pagtatapos ng aralin, ikaw mismo ang magpapasimple sa halimbawang ito sa (lamang!) Isang ordinaryong numero (oo, sa impiyerno sa mga titik na iyon).

Ngunit bago mo simulan ang araling ito, kailangan mong mahawakan ang mga fraction at factor polynomial. Samakatuwid, una, kung hindi mo pa ito nagawa noon, siguraduhing makabisado ang mga paksang "" at "".

Basahin? Kung oo, handa ka na.

Pangunahing pagpapasimpleng operasyon

Ngayon ay susuriin natin ang mga pangunahing pamamaraan na ginagamit upang gawing simple ang mga expression.

Ang pinakasimple sa kanila ay

1. Nagdadala ng katulad

Ano ang mga katulad? Napagdaanan mo ito noong ika-7 baitang, noong unang lumitaw ang mga titik sa matematika sa halip na mga numero. Magkatulad ang mga termino (monomial) na may parehong bahagi ng titik. Halimbawa, sa kabuuan, tulad ng mga termino ay at.

Naalala?

Upang magdala ng mga katulad na termino ay nangangahulugang magdagdag ng ilang magkakatulad na termino sa isa't isa at makakuha ng isang termino.

Ngunit paano natin pagsasamahin ang mga titik? - tanong mo.

Ito ay napakadaling maunawaan kung akala mo na ang mga titik ay ilang uri ng mga bagay. Halimbawa, ang liham ay isang upuan. Saka ano ang expression? Dalawang upuan at tatlong upuan, magkano ito? Tama, upuan: .

Ngayon subukan ang expression na ito:

Upang hindi malito, hayaan ang iba't ibang mga titik na magpahiwatig ng iba't ibang mga bagay. Halimbawa, - ito ay (gaya ng dati) isang upuan, at - ito ay isang mesa. Pagkatapos:

upuan tables chair tables chairs chairs tables

Ang mga numero kung saan ang mga titik sa mga naturang termino ay pinarami ay tinatawag coefficients. Halimbawa, sa monomial ang coefficient ay pantay. At siya ay pantay-pantay.

Kaya, ang panuntunan para sa pagdadala ng katulad:

Mga halimbawa:

Magdala ng katulad:

Mga sagot:

2. (at magkatulad, dahil, samakatuwid, ang mga terminong ito ay may parehong bahagi ng titik).

2. Factorization

Kadalasan ito ang pinakamahalagang bahagi sa pagpapasimple ng mga expression. Pagkatapos mong magbigay ng mga katulad, kadalasan ang nagreresultang expression ay dapat na salik, iyon ay, ipinakita bilang isang produkto. Ito ay lalong mahalaga sa mga fraction: pagkatapos ng lahat, upang mabawasan ang isang fraction, ang numerator at denominator ay dapat na kinakatawan bilang isang produkto.

Dumaan ka sa mga detalyadong paraan ng pag-factor ng mga expression sa paksang "", kaya dito mo na lang tandaan kung ano ang iyong natutunan. Upang gawin ito, lutasin ang ilan mga halimbawa(isasaalang-alang):

Mga solusyon:

3. Pagbabawas ng fraction.

Buweno, ano ang maaaring mas maganda kaysa sa ekis ang bahagi ng numerator at denominator, at itapon ang mga ito sa iyong buhay?

Yan ang kagandahan ng abbreviation.

Ito ay simple:

Kung ang numerator at denominator ay naglalaman ng parehong mga kadahilanan, maaari silang bawasan, iyon ay, alisin mula sa fraction.

Ang panuntunang ito ay sumusunod mula sa pangunahing katangian ng isang fraction:

Iyon ay, ang kakanyahan ng operasyon ng pagbabawas ay iyon Hinahati namin ang numerator at denominator ng isang fraction sa parehong numero (o sa parehong expression).

Upang bawasan ang isang fraction, kailangan mo:

1) numerator at denominator i-factorize

2) kung ang numerator at denominator ay naglalaman ng karaniwang mga kadahilanan, maaari silang tanggalin.

Ang prinsipyo, sa palagay ko, ay malinaw?

Nais kong ituon ang iyong pansin sa isang tipikal na pagkakamali sa pagdadaglat. Kahit na ang paksang ito ay simple, ngunit maraming mga tao ang gumagawa ng lahat ng mali, hindi napagtatanto iyon gupitin- ibig sabihin hatiin numerator at denominator sa parehong numero.

Walang pagdadaglat kung ang numerator o denominator ay ang kabuuan.

Halimbawa: kailangan mong gawing simple.

Ginagawa ito ng ilan: na talagang mali.

Isa pang halimbawa: bawasan.

"The smartest" will do this:.

Sabihin mo sa akin kung ano ang mali dito? Mukhang: - ito ay isang multiplier, kaya maaari mong bawasan.

Ngunit hindi: - ito ay isang kadahilanan ng isang termino lamang sa numerator, ngunit ang numerator mismo sa kabuuan ay hindi nabubulok sa mga salik.

Narito ang isa pang halimbawa: .

Ang expression na ito ay nabulok sa mga kadahilanan, na nangangahulugan na maaari mong bawasan, iyon ay, hatiin ang numerator at denominator sa pamamagitan ng, at pagkatapos ay sa pamamagitan ng:

Maaari mong agad na hatiin sa pamamagitan ng:

Upang maiwasan ang mga ganitong pagkakamali, tandaan ang isang madaling paraan upang matukoy kung ang isang expression ay naka-factor:

Ang aritmetika na operasyon na huling ginawa kapag kinakalkula ang halaga ng expression ay ang "pangunahing". Iyon ay, kung papalitan mo ang ilang (anumang) numero sa halip na mga titik, at subukang kalkulahin ang halaga ng expression, kung gayon kung ang huling aksyon ay multiplikasyon, pagkatapos ay mayroon kaming isang produkto (ang expression ay nabulok sa mga kadahilanan). Kung ang huling aksyon ay karagdagan o pagbabawas, nangangahulugan ito na ang expression ay hindi factorized (at samakatuwid ay hindi maaaring bawasan).

Upang ayusin ito, lutasin ito sa iyong sarili ng ilang mga halimbawa:

Mga sagot:

1. Sana hindi ka agad sumugod sa pagputol at? Hindi pa rin sapat na "bawasan" ang mga yunit tulad nito:

Ang unang hakbang ay dapat na i-factorize:

4. Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction. Ang pagdadala ng mga fraction sa isang karaniwang denominator.

Ang pagdaragdag at pagbabawas ng mga ordinaryong fraction ay isang kilalang operasyon: naghahanap kami ng isang karaniwang denominator, i-multiply ang bawat fraction sa nawawalang kadahilanan at idagdag / ibawas ang mga numerator. Tandaan natin:

Mga sagot:

1. Ang mga denominator at ay coprime, ibig sabihin, wala silang mga karaniwang kadahilanan. Samakatuwid, ang LCM ng mga numerong ito ay katumbas ng kanilang produkto. Ito ang magiging common denominator:

2. Narito ang karaniwang denominator ay:

3. Dito, una sa lahat, ginagawa namin ang mga halo-halong praksiyon sa mga hindi wasto, at pagkatapos - ayon sa karaniwang pamamaraan:

Ito ay medyo ibang bagay kung ang mga fraction ay naglalaman ng mga titik, halimbawa:

Magsimula tayo sa simple:

a) Ang mga denominator ay hindi naglalaman ng mga titik

Narito ang lahat ay pareho sa mga ordinaryong numerical fraction: nakakahanap kami ng isang karaniwang denominator, i-multiply ang bawat fraction sa nawawalang kadahilanan at idagdag / ibawas ang mga numerator:

ngayon sa numerator maaari kang magdala ng mga katulad, kung mayroon man, at i-factor ang mga ito:

Subukan ito sa iyong sarili:

b) Ang mga denominator ay naglalaman ng mga titik

Tandaan natin ang prinsipyo ng paghahanap ng common denominator na walang mga titik:

Una sa lahat, tinutukoy namin ang mga karaniwang kadahilanan;

Pagkatapos ay isinusulat namin ang lahat ng karaniwang mga kadahilanan nang isang beses;

at i-multiply ang mga ito sa lahat ng iba pang salik, hindi sa karaniwan.

Upang matukoy ang mga karaniwang salik ng mga denominador, una naming i-decompose ang mga ito sa mga pangunahing salik:

Binibigyang-diin namin ang mga karaniwang salik:

Ngayon ay isinusulat namin ang mga karaniwang salik nang isang beses at idinaragdag sa kanila ang lahat ng hindi pangkaraniwan (hindi nakasalungguhit) na mga salik:

Ito ang karaniwang denominador.

Bumalik tayo sa mga titik. Ang mga denominador ay ibinibigay sa eksaktong parehong paraan:

Binubulok namin ang mga denominador sa mga salik;

tukuyin ang mga karaniwang (magkapareho) na multiplier;

isulat ang lahat ng karaniwang mga kadahilanan nang isang beses;

Pinaparami namin ang mga ito sa lahat ng iba pang salik, hindi sa karaniwan.

Kaya, sa pagkakasunud-sunod:

1) i-decompose ang mga denominator sa mga salik:

2) tukuyin ang mga karaniwang (magkapareho) na mga kadahilanan:

3) isulat ang lahat ng karaniwang mga kadahilanan nang isang beses at i-multiply ang mga ito sa lahat ng iba pang (hindi nakasalungguhit) na mga kadahilanan:

Kaya ang karaniwang denominador ay narito. Ang unang bahagi ay dapat na i-multiply sa, ang pangalawa - sa:

Sa pamamagitan ng paraan, mayroong isang trick:

Halimbawa: .

Nakikita natin ang parehong mga kadahilanan sa mga denominator, lahat lamang ay may magkakaibang mga tagapagpahiwatig. Ang karaniwang denominator ay:

hanggang sa

hanggang sa

hanggang sa

sa degree.

Gawin nating kumplikado ang gawain:

Paano gumawa ng mga fraction na may parehong denominator?

Tandaan natin ang pangunahing katangian ng isang fraction:

Wala kahit saan na sinasabi na ang parehong numero ay maaaring ibawas (o idagdag) mula sa numerator at denominator ng isang fraction. Dahil hindi ito totoo!

Tingnan mo ang iyong sarili: kumuha ng anumang fraction, halimbawa, at magdagdag ng ilang numero sa numerator at denominator, halimbawa, . Ano ang natutunan?

Kaya, isa pang hindi matitinag na tuntunin:

Kapag nagdala ka ng mga fraction sa isang common denominator, gamitin lamang ang multiplication operation!

Ngunit ano ang kailangan mong i-multiply para makakuha?

Dito at paramihin. At i-multiply sa:

Ang mga expression na hindi maaaring i-factor ay tatawaging "elementarya na mga kadahilanan". Halimbawa, ay isang elementary factor. - masyadong. Ngunit - hindi: ito ay nabubulok sa mga kadahilanan.

Paano naman ang expression? Elementary ba?

Hindi, dahil maaari itong i-factor:

(nabasa mo na ang tungkol sa factorization sa paksang "").

Kaya, ang elementarya na mga kadahilanan kung saan mo nabubulok ang isang expression na may mga titik ay isang analogue ng mga simpleng kadahilanan kung saan mo nabubulok ang mga numero. At ganoon din ang gagawin natin sa kanila.

Nakikita natin na ang parehong denominator ay may salik. Mapupunta ito sa common denominator sa kapangyarihan (tandaan kung bakit?).

Ang multiplier ay elementarya, at hindi nila ito pagkakatulad, na nangangahulugan na ang unang bahagi ay kailangan lang na i-multiply dito:

Isa pang halimbawa:

Desisyon:

Bago i-multiply ang mga denominator na ito sa isang gulat, kailangan mong isipin kung paano i-factor ang mga ito? Pareho silang kumakatawan:

ayos! Pagkatapos:

Isa pang halimbawa:

Desisyon:

Gaya ng dati, pinapa-factor namin ang mga denominator. Sa unang denominator, inilalagay lang natin ito sa mga bracket; sa pangalawa - ang pagkakaiba ng mga parisukat:

Mukhang walang mga karaniwang kadahilanan. Ngunit kung titingnang mabuti, sila ay magkatulad na ... At ang totoo ay:

Kaya't magsulat tayo:

Iyon ay, naging ganito: sa loob ng bracket, ipinagpalit namin ang mga termino, at sa parehong oras, ang tanda sa harap ng fraction ay nagbago sa kabaligtaran. Tandaan, kailangan mong gawin ito nang madalas.

Ngayon dinadala namin sa isang karaniwang denominator:

Nakuha ko? Ngayon suriin natin.

Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

Mga sagot:

Narito dapat nating tandaan ang isa pang bagay - ang pagkakaiba ng mga cube:

Pakitandaan na ang denominator ng pangalawang fraction ay hindi naglalaman ng formula na "square of the sum"! Ang parisukat ng kabuuan ay magiging ganito:

Ang A ay ang tinatawag na hindi kumpletong parisukat ng kabuuan: ang pangalawang termino dito ay ang produkto ng una at huli, at hindi ang kanilang dobleng produkto. Ang hindi kumpletong parisukat ng kabuuan ay isa sa mga salik sa pagpapalawak ng pagkakaiba ng mga cube:

Paano kung mayroon nang tatlong fraction?

Oo, pareho! Una sa lahat, titiyakin namin na ang maximum na bilang ng mga salik sa mga denominator ay pareho:

Bigyang-pansin: kung babaguhin mo ang mga palatandaan sa loob ng isang bracket, ang sign sa harap ng fraction ay magbabago sa kabaligtaran. Kapag binago natin ang mga senyales sa pangalawang bracket, ang tanda sa harap ng fraction ay mababaligtad muli. Bilang resulta, siya (ang tanda sa harap ng fraction) ay hindi nagbago.

Isinulat namin nang buo ang unang denominator sa karaniwang denamineytor, at pagkatapos ay idinagdag namin dito ang lahat ng mga kadahilanan na hindi pa naisulat, mula sa pangalawa, at pagkatapos ay mula sa pangatlo (at iba pa, kung mayroong higit pang mga praksyon). Ibig sabihin, ito ay ganito:

Hmm ... Sa mga fraction, malinaw kung ano ang gagawin. Ngunit paano ang dalawa?

Ito ay simple: alam mo kung paano magdagdag ng mga fraction, tama? Kaya, kailangan mong tiyakin na ang deuce ay magiging isang fraction! Tandaan: ang fraction ay isang division operation (ang numerator ay hinati sa denominator, kung sakaling bigla mong nakalimutan). At walang mas madali kaysa sa paghahati ng isang numero sa pamamagitan ng. Sa kasong ito, ang numero mismo ay hindi magbabago, ngunit magiging isang fraction:

Eksakto kung ano ang kailangan!

5. Pagpaparami at paghahati ng mga fraction.

Well, ang pinakamahirap na bahagi ay tapos na. At nasa unahan natin ang pinakasimpleng, ngunit sa parehong oras ang pinakamahalaga:

Pamamaraan

Ano ang pamamaraan para sa pagkalkula ng isang numeric na expression? Tandaan, isinasaalang-alang ang halaga ng naturang expression:

Nagbilang ka ba?

Dapat itong gumana.

Kaya, pinaalalahanan kita.

Ang unang hakbang ay upang kalkulahin ang antas.

Ang pangalawa ay multiplication at division. Kung mayroong maraming multiplikasyon at dibisyon sa parehong oras, maaari mong gawin ang mga ito sa anumang pagkakasunud-sunod.

At sa wakas, nagsasagawa kami ng karagdagan at pagbabawas. Muli, sa anumang pagkakasunud-sunod.

Ngunit: ang nakakulong na expression ay sinusuri nang wala sa ayos!

Kung maraming bracket ang pinarami o hinati sa bawat isa, sinusuri muna namin ang expression sa bawat isa sa mga bracket, at pagkatapos ay i-multiply o hatiin ang mga ito.

Paano kung may iba pang panaklong sa loob ng mga bracket? Buweno, isipin natin: ang ilang ekspresyon ay nakasulat sa loob ng mga bracket. Ano ang unang dapat gawin kapag sinusuri ang isang expression? Tama, kalkulahin ang mga bracket. Buweno, naisip namin ito: una naming kalkulahin ang mga panloob na bracket, pagkatapos ang lahat ng iba pa.

Kaya, ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon para sa expression sa itaas ay ang mga sumusunod (ang kasalukuyang aksyon ay naka-highlight sa pula, iyon ay, ang aksyon na ginagawa ko ngayon):

Okay, simple lang lahat.

Ngunit hindi iyon katulad ng isang ekspresyon na may mga titik, hindi ba?

Hindi, pareho lang! Sa halip na mga pagpapatakbo ng aritmetika ay kinakailangan na gawin ang mga pagpapatakbo ng algebraic, iyon ay, ang mga pagpapatakbo na inilarawan sa nakaraang seksyon: nagdadala ng katulad, pagdaragdag ng mga fraction, pagbabawas ng mga fraction, at iba pa. Ang tanging pagkakaiba ay ang pagkilos ng factoring polynomials (madalas nating ginagamit ito kapag nagtatrabaho sa mga fraction). Kadalasan, para sa factorization, kailangan mong gamitin ang i o alisin lang ang common factor sa mga bracket.

Karaniwan ang aming layunin ay upang kumatawan sa isang expression bilang isang produkto o quotient.

Halimbawa:

Pasimplehin natin ang expression.

1) Una, pinasimple namin ang expression sa mga bracket. Doon mayroon tayong pagkakaiba ng mga fraction, at ang layunin natin ay i-represent ito bilang isang produkto o quotient. Kaya, dinadala namin ang mga fraction sa isang karaniwang denominator at idagdag:

Imposibleng pasimplehin ang expression na ito, lahat ng mga kadahilanan dito ay elementarya (naaalala mo pa ba kung ano ang ibig sabihin nito?).

2) Nakukuha namin ang:

Multiplikasyon ng mga fraction: ano ang maaaring maging mas madali.

3) Ngayon ay maaari mong paikliin:

Ayan yun. Walang kumplikado, tama?

Isa pang halimbawa:

Pasimplehin ang expression.

Una, subukang lutasin ito sa iyong sarili, at pagkatapos ay tingnan ang solusyon.

Una sa lahat, tukuyin natin ang pamamaraan. Una, idagdag natin ang mga fraction sa mga bracket, sa halip na dalawang fraction, isa ang lalabas. Pagkatapos ay gagawin natin ang paghahati ng mga fraction. Well, idinagdag namin ang resulta sa huling fraction. Bibilangin ko nang eskematiko ang mga hakbang:

Ngayon ay ipapakita ko ang buong proseso, tinting ang kasalukuyang aksyon na may pula:

Sa wakas, bibigyan kita ng dalawang kapaki-pakinabang na tip:

1. Kung may mga katulad, dapat dalhin agad. Sa anumang sandali na mayroon tayong mga katulad, ipinapayong dalhin ang mga ito kaagad.

2. Ganoon din sa pagbabawas ng mga fraction: sa sandaling magkaroon ng pagkakataon na bawasan, dapat itong gamitin. Ang pagbubukod ay ang mga fraction na iyong idinaragdag o ibinabawas: kung mayroon na silang parehong mga denominator, kung gayon ang pagbawas ay dapat na iwan para sa ibang pagkakataon.

Narito ang ilang mga gawain na dapat mong lutasin nang mag-isa:

At nangako sa simula pa lang:

Mga Solusyon (maikli):

Kung nakayanan mo ang hindi bababa sa unang tatlong halimbawa, kung gayon ikaw, isaalang-alang, ay pinagkadalubhasaan ang paksa.

Ngayon sa pag-aaral!

CONVERSION NG PAGPAPAHAYAG. BUOD AT BATAYANG FORMULA

Pangunahing pagpapasimpleng operasyon:

• Nagdadala ng katulad: upang magdagdag (bawasan) tulad ng mga termino, kailangan mong idagdag ang kanilang mga coefficient at italaga ang bahagi ng titik.
• Factorization: inaalis ang karaniwang kadahilanan sa mga bracket, pag-aaplay, atbp.
• Pagbabawas ng fraction: ang numerator at denominator ng isang fraction ay maaaring i-multiply o hatiin sa parehong di-zero na numero, kung saan ang halaga ng fraction ay hindi nagbabago.
  1) numerator at denominator i-factorize
  2) kung may mga karaniwang salik sa numerator at denominator, maaari silang i-cross out.

  MAHALAGA: ang mga multiplier lamang ang maaaring bawasan!

• Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction:
  ;
• Pagpaparami at paghahati ng mga fraction:
  ;