Kapag naghahanda para sa pagsusulit sa matematika, kailangang i-systematize ng mga mag-aaral ang kanilang kaalaman sa algebra at geometry. Nais kong pagsamahin ang lahat ng kilalang impormasyon, halimbawa, kung paano kalkulahin ang lugar ng isang pyramid. Bukod dito, simula sa base at gilid na mga mukha hanggang sa buong lugar sa ibabaw. Kung ang sitwasyon ay malinaw sa mga mukha sa gilid, dahil sila ay mga tatsulok, kung gayon ang base ay palaging naiiba.
Ano ang gagawin kapag hinahanap ang lugar ng base ng pyramid?
Maaari itong maging ganap na anumang pigura: mula sa isang arbitrary na tatsulok hanggang sa isang n-gon. At ang base na ito, bilang karagdagan sa pagkakaiba sa bilang ng mga anggulo, ay maaaring maging isang regular na figure o isang hindi tama. Sa mga gawain ng PAGGAMIT na interesado sa mga mag-aaral, mayroon lamang mga gawain na may tamang mga numero sa base. Samakatuwid, pag-uusapan lamang natin ang tungkol sa kanila.
kanang tatsulok
Equilateral yan. Isa kung saan ang lahat ng panig ay pantay-pantay at tinutukoy ng letrang "a". Sa kasong ito, ang lugar ng base ng pyramid ay kinakalkula ng formula:
S = (a 2 * √3) / 4.
parisukat
Ang formula para sa pagkalkula ng lugar nito ay ang pinakasimpleng, narito ang "a" ay ang panig muli:
Arbitrary regular n-gon
Ang gilid ng isang polygon ay may parehong pagtatalaga. Para sa bilang ng mga sulok, ginagamit ang Latin na letrang n.
S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).
Paano magpapatuloy kapag kinakalkula ang lateral at kabuuang ibabaw na lugar?
Dahil ang base ay isang regular na pigura, ang lahat ng mga mukha ng pyramid ay pantay. Bukod dito, ang bawat isa sa kanila ay isang isosceles triangle, dahil ang mga gilid ng gilid ay pantay. Pagkatapos, upang makalkula ang lateral area ng pyramid, kailangan mo ng isang formula na binubuo ng kabuuan ng magkaparehong monomials. Ang bilang ng mga termino ay tinutukoy ng bilang ng mga gilid ng base.
Ang lugar ng isang isosceles triangle ay kinakalkula ng formula kung saan ang kalahati ng produkto ng base ay pinarami ng taas. Ang taas na ito sa pyramid ay tinatawag na apothem. Ang pagtatalaga nito ay "A". Ang pangkalahatang formula para sa lateral surface area ay:
S \u003d ½ P * A, kung saan ang P ay ang perimeter ng base ng pyramid.
May mga sitwasyon kapag ang mga gilid ng base ay hindi alam, ngunit ang mga gilid ng gilid (c) at ang flat angle sa tuktok nito (α) ay ibinigay. Pagkatapos ay dapat na gumamit ng tulad ng isang formula upang makalkula ang lateral area ng pyramid:
S = n/2 * sa 2 sin α .
Gawain 1
Kundisyon. Hanapin ang kabuuang lugar ng pyramid kung ang base nito ay nasa gilid na 4 cm, at ang apothem ay may halaga na √3 cm.
Desisyon. Kailangan mong magsimula sa pamamagitan ng pagkalkula ng perimeter ng base. Dahil ito ay isang regular na tatsulok, pagkatapos ay P \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm Dahil ang apothem ay kilala, maaari mong agad na kalkulahin ang lugar ng buong lateral surface: ½ * 12 * √3 = 6 √3 cm 2.
Para sa isang tatsulok sa base, ang sumusunod na halaga ng lugar ay makukuha: (4 2 * √3) / 4 \u003d 4√3 cm 2.
Upang matukoy ang buong lugar, kakailanganin mong idagdag ang dalawang resultang value: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.
Sagot. 10√3 cm2.
Gawain #2
Kundisyon. Mayroong regular na quadrangular pyramid. Ang haba ng gilid ng base ay 7 mm, ang gilid ng gilid ay 16 mm. Kailangan mong malaman ang surface area nito.
Desisyon. Dahil ang polyhedron ay quadrangular at regular, kung gayon ang base nito ay isang parisukat. Ang pagkakaroon ng natutunan ang mga lugar ng base at gilid na mga mukha, posible na kalkulahin ang lugar ng pyramid. Ang formula para sa parisukat ay ibinigay sa itaas. At sa mga gilid na mukha, ang lahat ng panig ng tatsulok ay kilala. Samakatuwid, maaari mong gamitin ang formula ng Heron upang kalkulahin ang kanilang mga lugar.
Ang mga unang kalkulasyon ay simple at humahantong sa numerong ito: 49 mm 2. Para sa pangalawang halaga, kakailanganin mong kalkulahin ang semi-perimeter: (7 + 16 * 2): 2 = 19.5 mm. Ngayon ay maaari mong kalkulahin ang lugar ng isang isosceles triangle: √ (19.5 * (19.5-7) * (19.5-16) 2) = √2985.9375 = 54.644 mm 2. Mayroon lamang apat na tatsulok, kaya kapag kinakalkula ang panghuling numero, kakailanganin mong i-multiply ito ng 4.
Ito ay lumalabas: 49 + 4 * 54.644 \u003d 267.576 mm 2.
Sagot. Ang nais na halaga ay 267.576 mm 2.
Gawain #3
Kundisyon. Para sa isang regular na quadrangular pyramid, kailangan mong kalkulahin ang lugar. Sa loob nito, ang gilid ng parisukat ay 6 cm at ang taas ay 4 cm.
Desisyon. Ang pinakamadaling paraan ay ang paggamit ng formula na may produkto ng perimeter at apothem. Ang unang halaga ay madaling mahanap. Ang pangalawa ay medyo mas mahirap.
Kailangan nating tandaan ang Pythagorean theorem at isaalang-alang Ito ay nabuo sa pamamagitan ng taas ng pyramid at ang apothem, na kung saan ay ang hypotenuse. Ang pangalawang binti ay katumbas ng kalahati ng gilid ng parisukat, dahil ang taas ng polyhedron ay nahuhulog sa gitna nito.
Ang gustong apothem (ang hypotenuse ng right triangle) ay √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).
Ngayon ay maaari mong kalkulahin ang nais na halaga: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (cm 2).
Sagot. 96 cm2.
Gawain #4
Kundisyon. Ang tamang bahagi ng base nito ay 22 mm, ang mga gilid ng tadyang ay 61 mm. Ano ang lugar ng lateral surface ng polyhedron na ito?
Desisyon. Ang pangangatwiran dito ay kapareho ng inilarawan sa problema Blg. 2. Lamang doon ay ibinigay ng isang pyramid na may isang parisukat sa base, at ngayon ito ay isang heksagono.
Una sa lahat, ang lugar ng base ay kinakalkula gamit ang formula sa itaas: (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) \u003d 726 / (tg30º) \u003d 726√3 cm 2.
Ngayon ay kailangan mong malaman ang semi-perimeter ng isang isosceles triangle, na isang lateral na mukha. (22 + 61 * 2): 2 = 72 cm. Nananatili itong kalkulahin ang lugar ng naturang tatsulok gamit ang formula ng Heron, at pagkatapos ay i-multiply ito ng anim at idagdag ito sa isa na lumabas para sa base.
Mga kalkulasyon gamit ang formula ng Heron: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d √ 435600 \u003d 660 cm 2. Mga kalkulasyon na magbibigay ng lateral surface area: 660 * 6 \u003d 3960 cm 2. Nananatili itong pagdaragdag ng mga ito upang malaman ang buong ibabaw: 5217.47≈5217 cm 2.
Sagot. Base - 726√3 cm 2, ibabaw ng gilid - 3960 cm 2, buong lugar - 5217 cm 2.
tatsulok na pyramid Ang polyhedron ay tinatawag na polyhedron na ang base ay isang regular na tatsulok.
Sa naturang pyramid, ang mga mukha ng base at ang mga gilid ng mga gilid ay pantay sa bawat isa. Alinsunod dito, ang lugar ng mga gilid na mukha ay matatagpuan mula sa kabuuan ng mga lugar ng tatlong magkaparehong tatsulok. Maaari mong mahanap ang lateral surface area ng isang regular na pyramid gamit ang formula. At maaari mong gawin ang pagkalkula nang maraming beses nang mas mabilis. Upang gawin ito, ilapat ang formula para sa lugar ng lateral surface ng isang triangular pyramid:
kung saan ang p ay ang perimeter ng base, ang lahat ng panig nito ay katumbas ng b, ang a ay ang apothem na ibinaba mula sa itaas hanggang sa base na ito. Isaalang-alang ang isang halimbawa ng pagkalkula ng lugar ng isang tatsulok na pyramid.
Gawain: Ibigay ang tamang pyramid. Ang gilid ng tatsulok na nakahiga sa base ay b = 4 cm. Ang apothem ng pyramid ay a = 7 cm. Hanapin ang lugar ng lateral surface ng pyramid.
Dahil, ayon sa mga kondisyon ng problema, alam natin ang haba ng lahat ng kinakailangang elemento, makikita natin ang perimeter. Tandaan na sa isang regular na tatsulok, ang lahat ng panig ay pantay, at, samakatuwid, ang perimeter ay kinakalkula ng formula:
Palitan ang data at hanapin ang halaga:
Ngayon, alam ang perimeter, maaari nating kalkulahin ang lateral surface area: 
Upang mailapat ang formula para sa lugar ng isang tatsulok na pyramid upang makalkula ang buong halaga, kailangan mong hanapin ang lugar ng base ng polyhedron. Para dito, ginagamit ang formula: 
Ang formula para sa lugar ng base ng isang tatsulok na pyramid ay maaaring iba. Pinapayagan na gumamit ng anumang pagkalkula ng mga parameter para sa isang naibigay na figure, ngunit kadalasan ay hindi ito kinakailangan. Isaalang-alang ang isang halimbawa ng pagkalkula ng lugar ng base ng isang tatsulok na pyramid.
Gawain: Sa isang regular na pyramid, ang gilid ng tatsulok na nakahiga sa base ay a = 6 cm. Kalkulahin ang lugar ng base.
Upang kalkulahin, kailangan lang namin ang haba ng gilid ng isang regular na tatsulok na matatagpuan sa base ng pyramid. Palitan ang data sa formula: 
Medyo madalas na kinakailangan upang mahanap ang kabuuang lugar ng isang polyhedron. Upang gawin ito, kailangan mong idagdag ang lugar ng gilid na ibabaw at ang base. 
Isaalang-alang ang isang halimbawa ng pagkalkula ng lugar ng isang tatsulok na pyramid.
Problema: Hayaang magbigay ng regular na triangular pyramid. Ang gilid ng base ay b = 4 cm, ang apothem ay a = 6 cm. Hanapin ang kabuuang lugar ng pyramid.
Una, hanapin natin ang lateral surface area gamit ang alam na formula. Kalkulahin ang perimeter:
Pinapalitan namin ang data sa formula: 
Ngayon hanapin ang lugar ng base: 
Alam ang lugar ng base at lateral surface, nakita namin ang kabuuang lugar ng pyramid: 
Kapag kinakalkula ang lugar ng isang regular na pyramid, hindi dapat kalimutan ng isa na ang base ay isang regular na tatsulok at maraming mga elemento ng polyhedron na ito ay katumbas ng bawat isa.
Kahulugan. Nakatagilid na mukha- ito ay isang tatsulok kung saan ang isang anggulo ay namamalagi sa tuktok ng pyramid, at ang kabaligtaran na bahagi nito ay tumutugma sa gilid ng base (polygon).
Kahulugan. Mga tadyang sa gilid ay ang karaniwang mga gilid ng mga gilid na mukha. Ang isang pyramid ay may kasing dami ng mga gilid gaya ng mga sulok sa isang polygon.
Kahulugan. taas ng pyramid ay isang patayo na bumaba mula sa itaas hanggang sa base ng pyramid.
Kahulugan. Apothem- ito ang patayo ng gilid na mukha ng pyramid, na ibinaba mula sa tuktok ng pyramid hanggang sa gilid ng base.
Kahulugan. Diagonal na seksyon- ito ay isang seksyon ng pyramid sa pamamagitan ng isang eroplano na dumadaan sa tuktok ng pyramid at ang dayagonal ng base.
Kahulugan. Tamang pyramid- Ito ay isang pyramid kung saan ang base ay isang regular na polygon, at ang taas ay bumababa sa gitna ng base.
Dami at lugar sa ibabaw ng pyramid
Formula. dami ng pyramid sa pamamagitan ng base area at taas:
mga katangian ng pyramid
Kung ang lahat ng mga gilid ng gilid ay pantay, kung gayon ang isang bilog ay maaaring circumscribed sa paligid ng base ng pyramid, at ang gitna ng base ay tumutugma sa gitna ng bilog. Gayundin, ang patayo na bumaba mula sa itaas ay dumadaan sa gitna ng base (bilog).
Kung ang lahat ng mga tadyang sa gilid ay pantay, kung gayon sila ay nakakiling sa base plane sa parehong mga anggulo.
Ang mga lateral ribs ay pantay-pantay kapag bumubuo sila ng pantay na mga anggulo sa base plane, o kung ang isang bilog ay maaaring ilarawan sa paligid ng base ng pyramid.
Kung ang mga gilid ng mukha ay nakakiling sa eroplano ng base sa isang anggulo, kung gayon ang isang bilog ay maaaring nakasulat sa base ng pyramid, at ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa gitna nito.
Kung ang mga mukha sa gilid ay nakakiling sa base plane sa isang anggulo, kung gayon ang mga apothems ng mga gilid na mukha ay pantay.
Mga katangian ng isang regular na pyramid
1. Ang tuktok ng pyramid ay katumbas ng layo mula sa lahat ng sulok ng base.
2. Ang lahat ng gilid ng gilid ay pantay.
3. Ang lahat ng mga tadyang sa gilid ay nakakiling sa parehong mga anggulo sa base.
4. Ang mga apothems ng lahat ng side face ay pantay.
5. Ang mga lugar ng lahat ng panig na mukha ay pantay.
6. Ang lahat ng mga mukha ay may parehong dihedral (flat) na anggulo.
7. Ang isang sphere ay maaaring ilarawan sa paligid ng pyramid. Ang gitna ng inilarawang globo ay ang intersection point ng mga patayo na dumadaan sa gitna ng mga gilid.
8. Ang isang sphere ay maaaring nakasulat sa isang pyramid. Ang gitna ng inscribed sphere ay ang intersection point ng mga bisector na nagmumula sa anggulo sa pagitan ng gilid at base.
9. Kung ang gitna ng inscribed sphere ay tumutugma sa gitna ng circumscribed sphere, kung gayon ang kabuuan ng mga flat na anggulo sa tuktok ay katumbas ng π o vice versa, ang isang anggulo ay katumbas ng π / n, kung saan n ang numero ng mga anggulo sa base ng pyramid.
Ang koneksyon ng pyramid sa globo
Ang isang globo ay maaaring ilarawan sa paligid ng pyramid kapag nasa base ng pyramid ang isang polyhedron sa paligid kung saan ang isang bilog ay maaaring ilarawan (isang kinakailangan at sapat na kondisyon). Ang gitna ng globo ay magiging punto ng intersection ng mga eroplano na dumaraan nang patayo sa mga midpoint ng mga gilid na gilid ng pyramid.
Ang isang globo ay palaging maaaring ilarawan sa paligid ng anumang triangular o regular na pyramid.
Ang isang globo ay maaaring isulat sa isang pyramid kung ang mga bisector plane ng mga panloob na dihedral na anggulo ng pyramid ay nagsalubong sa isang punto (isang kinakailangan at sapat na kondisyon). Ang puntong ito ang magiging sentro ng globo.
Ang koneksyon ng pyramid sa kono
Ang isang kono ay tinatawag na inscribed sa isang pyramid kung ang kanilang mga vertices ay nag-tutugma at ang base ng kono ay nakasulat sa base ng pyramid.
Ang isang kono ay maaaring isulat sa isang pyramid kung ang mga apothems ng pyramid ay pantay.
Ang isang kono ay sinasabing napapaligiran sa paligid ng isang pyramid kung ang kanilang mga vertices ay nagsasabay at ang base ng kono ay napapaligiran sa paligid ng base ng pyramid.
Ang isang kono ay maaaring ilarawan sa paligid ng isang pyramid kung ang lahat ng mga gilid na gilid ng pyramid ay pantay sa bawat isa.
Koneksyon ng isang pyramid na may isang silindro
Ang isang pyramid ay sinasabing nakalagay sa isang silindro kung ang tuktok ng pyramid ay namamalagi sa isang base ng silindro, at ang base ng pyramid ay nakalagay sa isa pang base ng cylinder.
Ang isang cylinder ay maaaring paligiran sa paligid ng isang pyramid kung ang isang bilog ay maaaring circumscribed sa paligid ng base ng pyramid.
Ang isang tetrahedron ay may apat na mukha at apat na vertice at anim na gilid, kung saan ang alinmang dalawang gilid ay walang karaniwang vertex ngunit hindi magkadikit.
Ang bawat taluktok ay binubuo ng tatlong mukha at mga gilid na nabuo trihedral na anggulo.
Ang segment na nagkokonekta sa vertex ng tetrahedron sa gitna ng kabaligtaran na mukha ay tinatawag median ng tetrahedron(GM).
Bimedian ay tinatawag na segment na nagdudugtong sa mga midpoint ng magkasalungat na gilid na hindi magkadikit (KL).
Ang lahat ng bimedians at median ng isang tetrahedron ay nagsalubong sa isang punto (S). Sa kasong ito, ang mga bimedian ay nahahati sa kalahati, at ang mga median sa isang ratio na 3: 1 simula sa itaas.
Kahulugan. Acute Angled Pyramid ay isang pyramid kung saan ang apothem ay higit sa kalahati ng haba ng gilid ng base.
Kahulugan. mapurol na pyramid ay isang pyramid kung saan ang apothem ay mas mababa sa kalahati ng haba ng gilid ng base.
Kahulugan. regular na tetrahedron Isang tetrahedron na ang apat na mukha ay equilateral triangles. Isa ito sa limang regular na polygon. Sa isang regular na tetrahedron, lahat ng dihedral na anggulo (sa pagitan ng mga mukha) at trihedral na anggulo (sa isang vertex) ay pantay.
Kahulugan. Parihabang tetrahedron tinatawag ang isang tetrahedron na may tamang anggulo sa pagitan ng tatlong gilid sa vertex (ang mga gilid ay patayo). Tatlong mukha ang nabuo hugis-parihaba trihedral anggulo at ang mga mukha ay tamang tatsulok, at ang base ay isang di-makatwirang tatsulok. Ang apothem ng anumang mukha ay katumbas ng kalahati ng gilid ng base kung saan nahuhulog ang apothem.
Kahulugan. Isohedral tetrahedron Ang isang tetrahedron ay tinatawag kung saan ang mga gilid na mukha ay pantay sa bawat isa, at ang base ay isang regular na tatsulok. Ang mga mukha ng naturang tetrahedron ay isosceles triangles.
Kahulugan. Orthocentric tetrahedron tinatawag ang isang tetrahedron kung saan ang lahat ng taas (mga patayo) na ibinababa mula sa itaas hanggang sa tapat na mukha ay nagsalubong sa isang punto.
Kahulugan. star pyramid Ang isang polyhedron na ang base ay isang bituin ay tinatawag.
Ang isang pyramid na ang base ay isang regular na heksagono, at ang mga gilid ay nabuo ng mga regular na tatsulok, ay tinatawag na heksagonal.
Ang polyhedron na ito ay may maraming mga katangian:
- Ang lahat ng panig at anggulo ng base ay pantay sa bawat isa;
- Ang lahat ng mga gilid at dihedral coal pyramids ay pantay din sa bawat isa;
- Ang mga tatsulok na bumubuo sa mga gilid ay pareho, ayon sa pagkakabanggit, mayroon silang parehong lugar, gilid at taas.
Upang kalkulahin ang lugar ng isang regular na hexagonal pyramid, ang karaniwang formula para sa lateral surface area ng isang hexagonal pyramid ay ginagamit:
kung saan ang P ay ang perimeter ng base, ang a ay ang haba ng apothem ng pyramid. Sa karamihan ng mga kaso, maaari mong kalkulahin ang bahagi ng gilid gamit ang formula na ito, ngunit kung minsan maaari kang gumamit ng ibang paraan. Dahil ang mga gilid na mukha ng pyramid ay nabuo ng pantay na tatsulok, maaari mong mahanap ang lugar ng isang tatsulok, at pagkatapos ay i-multiply ito sa bilang ng mga gilid. Mayroong 6 sa kanila sa isang hexagonal pyramid. Ngunit ang pamamaraang ito ay maaari ding gamitin sa pagkalkula. Isaalang-alang natin ang isang halimbawa ng pagkalkula ng lateral surface area ng isang hexagonal pyramid.
Hayaang magbigay ng regular na hexagonal pyramid, kung saan ang apothem ay a = 7 cm, ang gilid ng base ay b = 3 cm. Kalkulahin ang lugar ng lateral surface ng polyhedron.
Una, hanapin ang perimeter ng base. Dahil regular ang pyramid, mayroon itong regular na hexagon sa base nito. Kaya, ang lahat ng panig nito ay pantay, at ang perimeter ay kinakalkula ng formula:
Pinapalitan namin ang data sa formula:
Ngayon ay madali nating mahahanap ang lateral surface area sa pamamagitan ng pagpapalit ng nahanap na halaga sa pangunahing formula: 
Gayundin ang isang mahalagang punto ay ang paghahanap para sa lugar ng base. Ang formula para sa lugar ng base ng isang hexagonal pyramid ay nagmula sa mga katangian ng isang regular na hexagon: 
Isaalang-alang natin ang isang halimbawa ng pagkalkula ng lugar ng base ng isang hexagonal pyramid, na isinasaalang-alang ang mga kondisyon mula sa nakaraang halimbawa. Mula sa kanila alam natin na ang gilid ng base ay b = 3 cm. Ipalit natin ang data sa ang formula: 
Ang formula para sa lugar ng isang hexagonal pyramid ay ang kabuuan ng lugar ng base at ang side scan: 
Isaalang-alang ang isang halimbawa ng pagkalkula ng lugar ng isang hexagonal pyramid.
Hayaang magbigay ng isang pyramid, sa base kung saan matatagpuan ang isang regular na hexagon na may gilid b = 4 cm. Ang apothem ng isang binigay na polyhedron ay a = 6 cm. Hanapin ang kabuuang lugar.
Alam namin na ang kabuuang lugar ay binubuo ng mga lugar ng base at ang side sweep. Kaya hanapin muna natin sila. Kalkulahin ang perimeter:
Ngayon hanapin ang lateral surface area: 
Susunod, kinakalkula namin ang lugar ng base kung saan namamalagi ang regular na hexagon: 
Ngayon ay maaari nating idagdag ang mga resulta:
