Ang solusyon ng mga inilapat na problema ay nabawasan sa pagkalkula ng integral, ngunit hindi laging posible na gawin ito nang tumpak. Minsan kailangang malaman ang halaga ng isang tiyak na integral na may ilang antas ng katumpakan, halimbawa, hanggang sa isang libo.

May mga gawain kung kailan kinakailangan upang mahanap ang tinatayang halaga ng isang tiyak na integral na may kinakailangang katumpakan, pagkatapos ay ginagamit ang numerical integration tulad ng paraan ng Simposn, trapezoids, rectangles. Hindi lahat ng kaso ay nagpapahintulot sa amin na kalkulahin ito nang may tiyak na katumpakan.

Isinasaalang-alang ng artikulong ito ang aplikasyon ng Newton-Leibniz formula. Ito ay kinakailangan para sa eksaktong pagkalkula ng tiyak na integral. Ang mga detalyadong halimbawa ay ibibigay, ang pagbabago ng variable sa tiyak na integral ay isasaalang-alang, at makikita natin ang mga halaga ng tiyak na integral kapag pinagsama ng mga bahagi.

Formula ng Newton-Leibniz

Kahulugan 1

Kapag ang function na y = y (x) ay tuloy-tuloy mula sa segment [ a ; b ], at F (x) ay isa sa mga antiderivatives ng function ng segment na ito, kung gayon Formula ng Newton-Leibniz itinuturing na patas. Isulat natin ito ng ganito ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) .

Ang formula na ito ay isinasaalang-alang ang pangunahing formula ng integral calculus.

Upang patunayan ang formula na ito, kinakailangang gamitin ang konsepto ng isang integral na may magagamit na variable na upper limit.

Kapag ang function na y = f (x) ay tuloy-tuloy mula sa segment [ a ; b ] , pagkatapos ay ang halaga ng argumento x ∈ a ; b , at ang integral ay may anyong ∫ a x f (t) d t at itinuturing na function ng upper limit. Kinakailangang tanggapin ang notasyon ng function ay kukuha ng anyo ∫ a x f (t) d t = Φ (x) , ito ay tuloy-tuloy, at ang hindi pagkakapantay-pantay ng anyo ∫ a x f (t) d t " = Φ " (x) = Ang f (x) ay may bisa para dito.

Inaayos namin na ang pagtaas ng function na Φ (x) ay tumutugma sa pagtaas ng argumento ∆ x , kinakailangang gamitin ang ikalimang pangunahing pag-aari ng isang tiyak na integral at makuha

Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t - ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) x + ∆ x - x = f(c) ∆x

kung saan ang halaga c ∈ x ; x + ∆x .

Inaayos namin ang pagkakapantay-pantay sa anyong Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c) . Sa pamamagitan ng kahulugan ng derivative ng isang function, ito ay kinakailangan upang pumasa sa limitasyon bilang ∆ x → 0, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang formula ng form na matatagpuan sa [ a ; b ] Kung hindi, ang expression ay maaaring isulat

F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C , kung saan pare-pareho ang halaga ng C.

Kalkulahin natin ang F (a) gamit ang unang katangian ng tiyak na integral. Pagkatapos makuha namin iyon

F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C , kaya C = F (a) . Ang resulta ay naaangkop kapag kinakalkula ang F (b) at nakukuha namin ang:

F (b) = Φ (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a) , sa madaling salita, F (b) = ∫ a b f (t) d t + F (a) . Ang pagkakapantay-pantay ay nagpapatunay sa Newton-Leibniz formula ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) .

Ang pagtaas ng function ay kinuha bilang F x a b = F (b) - F (a) . Sa tulong ng notasyon, ang formula ng Newton-Leibniz ay nagiging ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) .

Upang mailapat ang formula, kinakailangang malaman ang isa sa mga antiderivatives y = F (x) ng integrand y = f (x) mula sa segment [ a ; b ] , kalkulahin ang pagtaas ng antiderivative mula sa segment na ito. Isaalang-alang ang ilang mga halimbawa ng mga kalkulasyon gamit ang Newton-Leibniz formula.

Halimbawa 1

Kalkulahin ang tiyak na integral ∫ 1 3 x 2 d x gamit ang Newton-Leibniz formula.

Desisyon

Isaalang-alang na ang integrand ng anyong y = x 2 ay tuloy-tuloy mula sa pagitan [ 1 ; 3 ] , pagkatapos at ay maisasama sa pagitan na ito. Ayon sa talahanayan ng mga hindi tiyak na integral, nakikita natin na ang function na y \u003d x 2 ay may isang hanay ng mga antiderivatives para sa lahat ng mga tunay na halaga ng x, na nangangahulugang x ∈ 1; 3 ay isusulat bilang F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C . Kinakailangang kunin ang antiderivative na may C \u003d 0, pagkatapos ay makuha namin ang F (x) \u003d x 3 3.

Gamitin natin ang formula ng Newton-Leibniz at kunin na ang pagkalkula ng tiyak na integral ay kukuha ng anyong ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3 .

Sagot:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3

Halimbawa 2

Kalkulahin ang tiyak na integral ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x gamit ang Newton-Leibniz formula.

Desisyon

Ang ibinigay na function ay tuloy-tuloy mula sa segment [ - 1 ; 2 ], na nangangahulugan na ito ay maisasama dito. Kinakailangang hanapin ang halaga ng indefinite integral ∫ x e x 2 + 1 d x gamit ang paraan ng pagsusuma sa ilalim ng differential sign, pagkatapos ay makuha natin ang ∫ x e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d (x 2 + 1 ) = 1 2 e x 2+1+C.

Kaya't mayroon tayong isang set ng mga antiderivatives ng function na y = x · e x 2 + 1 , na wasto para sa lahat ng x , x ∈ - 1 ; 2.

Kinakailangang kunin ang antiderivative sa C = 0 at ilapat ang formula ng Newton-Leibniz. Pagkatapos ay nakakakuha kami ng isang pagpapahayag ng form

∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Sagot:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Halimbawa 3

Kalkulahin ang mga integral ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x at ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x .

Desisyon

Segment - 4; - Sinasabi ng 1 2 na ang function sa ilalim ng integral sign ay tuluy-tuloy, na nangangahulugan na ito ay integrable. Mula dito makikita natin ang hanay ng mga antiderivatives ng function na y = 4 x 3 + 2 x 2 . Nakukuha namin iyon

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C

Kinakailangang kunin ang antiderivative F (x) \u003d 2 x 2 - 2 x, pagkatapos, ilapat ang formula ng Newton-Leibniz, makuha namin ang integral, na kinakalkula namin:

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

Ginagawa namin ang paglipat sa pagkalkula ng pangalawang integral.

Mula sa segment [ - 1 ; 1 ] mayroon kaming na ang integrand ay itinuturing na walang hangganan, dahil lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , pagkatapos ay sumusunod mula dito na ang isang kinakailangang kondisyon para sa integrability mula sa segment. Kung gayon ang F (x) = 2 x 2 - 2 x ay hindi isang antiderivative para sa y = 4 x 3 + 2 x 2 mula sa pagitan [ - 1 ; 1 ] , dahil ang puntong O ay kabilang sa segment, ngunit hindi kasama sa domain ng kahulugan. Nangangahulugan ito na mayroong isang tiyak na integral ng Riemann at Newton-Leibniz para sa function na y = 4 x 3 + 2 x 2 mula sa pagitan [ - 1 ; isa ].

Sagot: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x \u003d - 28, mayroong isang tiyak na integral ng Riemann at Newton-Leibniz para sa function na y = 4 x 3 + 2 x 2 mula sa pagitan [ - 1 ; isa ].

Bago gamitin ang formula ng Newton-Leibniz, kailangan mong malaman nang eksakto ang tungkol sa pagkakaroon ng isang tiyak na integral.

Pagbabago ng variable sa isang tiyak na integral

Kapag ang function na y = f (x) ay tinukoy at tuloy-tuloy mula sa segment [ a ; b ] , pagkatapos ay ang umiiral na set [ a ; b ] ay itinuturing na hanay ng function na x = g (z) na tinukoy sa pagitan α ; β kasama ang umiiral na tuloy-tuloy na derivative, kung saan ang g (α) = a at g β = b , kaya't nakuha natin na ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z .

Ginagamit ang formula na ito kapag kinakailangan upang kalkulahin ang integral ∫ a b f (x) d x , kung saan ang di-tiyak na integral ay may anyo na ∫ f (x) d x , kinakalkula namin gamit ang paraan ng pagpapalit.

Halimbawa 4

Kalkulahin ang isang tiyak na integral ng anyo ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x .

Desisyon

Ang integrand ay itinuturing na tuloy-tuloy sa integration interval, na nangangahulugan na ang tiyak na integral ay umiiral. Ibigay natin ang notasyon na 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2 . Ang halaga ng x \u003d 9 ay nangangahulugan na z \u003d 2 9 - 9 \u003d 9 \u003d 3, at para sa x \u003d 18 makuha namin iyon z \u003d 2 18 - 9 \u003d 27 \u003d 3 \3, pagkatapos ay g 3 u003d g (3) \u003d 9 , g β = g 3 3 = 18 . Ang pagpapalit ng mga nakuhang halaga sa formula ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g "(z) d z, nakuha namin iyon

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z 2 + 9 2 "d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z d z = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z

Ayon sa talahanayan ng mga indefinite integral, mayroon tayong isa sa mga antiderivatives ng function na 2 z 2 + 9 na kumukuha ng value na 2 3 a r c t g z 3 . Pagkatapos, paglalapat ng Newton-Leibniz formula, nakuha namin iyon

∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 π π 1 = 2 3 π

Ang paghahanap ay maaaring gawin nang hindi gumagamit ng formula ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z .

Kung ang paraan ng pagpapalit ay gumagamit ng integral ng anyong ∫ 1 x 2 x - 9 d x , pagkatapos ay makakarating tayo sa resulta ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C .

Mula dito magsasagawa kami ng mga kalkulasyon gamit ang Newton-Leibniz formula at kalkulahin ang tiyak na integral. Nakukuha namin iyon

∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 18 - 9 3 - a r c t g 2 9 - 9 3 = = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 \u003d π 18

Nagtugma ang mga resulta.

Sagot: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18

Pagsasama ng mga bahagi sa pagkalkula ng isang tiyak na integral

Kung sa segment [a ; b ] ang mga function na u (x) at v (x) ay tinukoy at tuluy-tuloy, pagkatapos ang kanilang mga first-order derivatives na v " (x) u (x) ay mapagsasama, kaya mula sa pagitan na ito para sa integrable function na u " (x) v ( x) ang pagkakapantay-pantay ∫ a b v " (x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a b u " (x) v (x) d x ay totoo.

Ang formula ay maaaring gamitin pagkatapos, ito ay kinakailangan upang kalkulahin ang integral ∫ a b f (x) d x , at ∫ f (x) d x ito ay kinakailangan upang mahanap ito gamit ang integration sa pamamagitan ng mga bahagi.

Halimbawa 5

Kalkulahin ang tiyak na integral ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x .

Desisyon

Ang function na x sin x 3 + π 6 ay maisasama sa segment - π 2; 3 π 2 , kaya ito ay tuloy-tuloy.

Hayaan u (x) \u003d x, pagkatapos ay d (v (x)) \u003d v "(x) d x \u003d sin x 3 + π 6 d x, at d (u (x)) \u003d u "(x) d x \u003d d x, at v (x) = - 3 cos π 3 + π 6 . Mula sa formula ∫ a b v "(x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a b u " (x) v (x) d x makuha natin iyon

∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 x cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 d x \u003 \u003d - 3 3 π 2 cos π 2 + π 6 - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 \u003d 9 π 4 - 3 π 9 sin π 2 + π 6 - sin - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

Ang solusyon ng halimbawa ay maaaring gawin sa ibang paraan.

Hanapin ang hanay ng mga antiderivatives ng function x sin x 3 + π 6 gamit ang integration ng mga bahagi gamit ang Newton-Leibniz formula:

∫ x sin x x 3 + π 6 d x = u = x, d v = sin x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x , v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2

Sagot: ∫ x sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Ang teksto ng trabaho ay inilalagay nang walang mga imahe at mga formula.
Ang buong bersyon ng trabaho ay magagamit sa tab na "Mga File ng Trabaho" sa format na PDF

"Ako rin, ang binomial ni Newton!»

mula sa The Master at Margarita

“Napakasimple ng triangle ni Pascal na kahit isang sampung taong gulang na bata ay kayang isulat ito. Kasabay nito, itinatago nito ang hindi mauubos na mga kayamanan at pinag-uugnay ang iba't ibang aspeto ng matematika na sa unang tingin ay walang pagkakatulad sa isa't isa. Ang ganitong mga hindi pangkaraniwang katangian ay nagpapahintulot sa amin na isaalang-alang ang tatsulok ni Pascal na isa sa mga pinaka-eleganteng scheme sa lahat ng matematika.

Martin Gardner.

Layunin: gawing pangkalahatan ang mga formula ng pinaikling multiplikasyon, ipakita ang kanilang aplikasyon sa paglutas ng mga problema.

Mga gawain:

1) pag-aralan at gawing sistematiko ang impormasyon sa isyung ito;

2) pag-aralan ang mga halimbawa ng mga problema para sa paggamit ng binomial ni Newton at mga formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng mga digri.

Mga bagay sa pananaliksik: Binomial ni Newton, mga formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng mga degree.

Mga pamamaraan ng pananaliksik:

Paggawa gamit ang pang-edukasyon at sikat na literatura sa agham, mga mapagkukunan sa Internet.

Pagkalkula, paghahambing, pagsusuri, pagkakatulad.

Kaugnayan. Ang isang tao ay madalas na kailangang harapin ang mga problema kung saan kinakailangang bilangin ang bilang ng lahat ng posibleng paraan upang ayusin ang ilang bagay o ang bilang ng lahat ng posibleng paraan upang maisagawa ang ilang aksyon. Ang iba't ibang mga landas o opsyon na dapat piliin ng isang tao ay nagdaragdag sa isang malawak na iba't ibang mga kumbinasyon. At ang isang buong sangay ng matematika, na tinatawag na combinatorics, ay abala sa paghahanap ng mga sagot sa mga tanong: kung gaano karaming mga kumbinasyon ang mayroon sa isa o ibang kaso.

Ang mga kinatawan ng maraming specialty ay kailangang harapin ang mga combinatorial na dami: scientist-chemist, biologist, designer, dispatcher, atbp. Ang lumalaking interes sa combinatorics sa mga nakaraang taon ay dahil sa mabilis na pag-unlad ng cybernetics at computer technology.

Panimula

Kapag nais nilang bigyang-diin na pinalalaki ng kausap ang pagiging kumplikado ng mga gawaing kinaharap niya, sinasabi nila: "Kailangan ko rin ang binomial ni Newton!" Sabihin, narito ang binomial ni Newton, mahirap, ngunit anong mga problema ang mayroon ka! Kahit na ang mga tao na ang mga interes ay walang kinalaman sa matematika ay narinig ang tungkol sa binomial ni Newton.

Ang salitang "binomial" ay nangangahulugang isang binomial, i.e. ang kabuuan ng dalawang termino. Mula sa kurso sa paaralan, ang tinatawag na pinaikling mga pormula ng pagpaparami ay kilala:

( a+ b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , (a+b) 3 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 .

Ang generalization ng mga formula na ito ay isang formula na tinatawag na Newton's binomial formula. Ang mga pormula para sa pagsasaliksik ng pagkakaiba ng mga parisukat, ang kabuuan at pagkakaiba ng mga cube ay ginagamit din sa paaralan. Mayroon ba silang generalization para sa ibang mga degree? Oo, may mga ganitong formula, kadalasang ginagamit ang mga ito sa paglutas ng iba't ibang mga problema: pagpapatunay ng divisibility, pagbabawas ng mga fraction, tinatayang mga kalkulasyon.

Ang pag-aaral ng pag-generalize ng mga pormula ay bubuo ng deduktibo-matematika na pag-iisip at pangkalahatang kakayahan sa pag-iisip.

SEKSYON 1. NEWTON'S BINOMIAL FORMULA

Mga kumbinasyon at ang kanilang mga katangian

Hayaang ang X ay isang set na binubuo ng n elemento. Anumang subset Y ng set X na naglalaman ng k elemento ay tinatawag na kumbinasyon ng k elemento mula sa n , at k ≤ n .

Ang bilang ng iba't ibang kumbinasyon ng k elemento sa n ay denoted C n k . Ang isa sa pinakamahalagang pormula ng combinatorics ay ang sumusunod na pormula para sa bilang na C n k:

Maaari itong isulat pagkatapos ng malinaw na mga pagdadaglat tulad ng sumusunod:

Sa partikular,

Ito ay medyo pare-pareho sa katotohanan na sa set X mayroon lamang isang subset ng 0 elemento - ang walang laman na subset.

Ang mga numerong C n k ay may bilang ng mga kapansin-pansing katangian.

Ang formula С n k = С n - k n ay wasto, (3)

Ang kahulugan ng formula (3) ay mayroong one-to-one na pagsusulatan sa pagitan ng set ng lahat ng k-member subset mula sa X at ng set ng lahat ng (n - k)-member subset mula sa X: upang maitatag ang sulat na ito, sapat na ito para sa bawat k-member subset ng Y na tumutugma sa komplemento nito sa set X.

Ang formula na С 0 n + С 1 n + С 2 n + ... + С n n = 2 n ay wasto (4)

Ang kabuuan sa kaliwang bahagi ay nagpapahayag ng bilang ng lahat ng subset ng set X (C 0 n ay ang bilang ng 0-member subset, C 1 n ay ang bilang ng single-member subset, atbp.).

Para sa anumang k, 1≤ k≤ n , ang pagkakapantay-pantay

C k n \u003d C n -1 k + C n -1 k -1 (5)

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay madaling makuha gamit ang formula (1). talaga,

1.2. Derivation ng binomial formula ni Newton

Isaalang-alang ang mga kapangyarihan ng binomial isang +b .

n = 0, (a +b ) 0 = 1

n = 1, (a +b ) 1 = 1a+1b

n = 2(isang +b ) 2 = 1a 2 + 2ab +1 b 2

n = 3(isang +b ) 3 = 1 a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 +1 b 3

n = 4(isang +b ) 4 = 1a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 +4ab 3 +1 b 4

n=5(isang +b ) 5 = 1a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + 1 b 5

Tandaan ang mga sumusunod na regularidad:

Ang bilang ng mga termino ng nagresultang polynomial ay isang mas malaki kaysa sa exponent ng binomial;

Ang exponent ng unang termino ay bumababa mula n hanggang 0, ang exponent ng pangalawang termino ay tumataas mula 0 hanggang n;

Ang mga antas ng lahat ng monomial ay katumbas ng mga antas ng binomial sa kondisyon;

Ang bawat monomial ay produkto ng una at pangalawang expression sa iba't ibang kapangyarihan at isang tiyak na numero - ang binomial coefficient;

Ang mga binomial coefficient na katumbas ng layo mula sa simula at dulo ng pagpapalawak ay pantay.

Ang generalization ng mga formula na ito ay ang sumusunod na formula, na tinatawag na Newton's binomial formula:

(a + b ) n = C 0 n a n b 0 + C 1 n a n -1 b + C 2 n a n -2 b 2 + ... + C n -1 n ab n -1 + C n n a 0 b n . (6)

Sa formula na ito n maaaring anumang natural na numero.

Nakukuha namin ang formula (6). Una sa lahat, isulat natin:

(a + b ) n = (a + b )(a + b ) ... (a + b ), (7)

kung saan ang bilang ng mga bracket na paramihin ay n. Mula sa karaniwang tuntunin para sa pagpaparami ng isang kabuuan sa isang kabuuan, sumusunod na ang expression (7) ay katumbas ng kabuuan ng lahat ng posibleng mga produkto, na maaaring binubuo ng mga sumusunod: anumang termino sa una sa mga kabuuan a + b pinarami ng anumang termino ng pangalawang kabuuan a+b, sa anumang termino ng ikatlong kabuuan, atbp.

Mula sa nasabi, malinaw na ang termino sa ekspresyong para sa (a + b ) n tugma (one-to-one) na mga string ng haba n, na binubuo ng mga titik a at b. Kabilang sa mga termino ay magkakaroon ng mga katulad na termino; malinaw na ang mga naturang miyembro ay tumutugma sa mga string na naglalaman ng parehong bilang ng mga titik a. Ngunit ang bilang ng mga linya na naglalaman ng eksaktong k beses ng titik a, ay katumbas ng C n k . Samakatuwid, ang kabuuan ng lahat ng mga terminong naglalaman ng letrang a na may salik na eksaktong k beses ay katumbas ng С n k a n - k b k . Dahil ang k ay maaaring kunin ang mga halaga 0, 1, 2, ..., n-1, n, formula (6) ay sumusunod mula sa aming pangangatwiran. Tandaan na ang (6) ay maaaring isulat nang mas maikli: (8)

Bagama't ang pormula (6) ay tinatawag na pangalan ni Newton, sa katotohanan ay natuklasan ito bago pa man si Newton (halimbawa, alam ito ni Pascal). Ang merito ni Newton ay nakasalalay sa katotohanan na nakahanap siya ng generalization ng formula na ito para sa kaso ng mga non-integer exponents. Ito ay I. Newton noong 1664-1665. nagmula ng isang formula na nagpapahayag ng antas ng binomial para sa mga arbitrary na fractional at negatibong exponent.

Ang mga numerong C 0 n , C 1 n , ..., C n n , kasama sa formula (6), ay karaniwang tinatawag na binomial coefficients, na tinukoy bilang mga sumusunod:

Mula sa formula (6) ang isa ay maaaring makakuha ng isang bilang ng mga katangian ng mga coefficient na ito. Halimbawa, ipagpalagay a=1, b = 1, nakukuha natin:

2 n = C 0 n + C 1 n + C 2 n + C 3 n + ... + C n n ,

mga. pormula (4). Kung ilalagay natin a= 1, b = -1, pagkatapos ay magkakaroon tayo ng:

0 \u003d C 0 n - C 1 n + C 2 n - C 3 n + ... + (-1) n C n n

o С 0 n + C 2 n + C 4 n + ... = C 1 n + C 3 n + + C 5 n + ... .

Nangangahulugan ito na ang kabuuan ng mga coefficient ng even terms ng expansion ay katumbas ng sum ng coefficients ng mga kakaibang termino ng expansion; bawat isa sa kanila ay katumbas ng 2 n -1 .

Ang mga coefficient ng mga terminong katumbas ng layo mula sa mga dulo ng pagpapalawak ay pantay. Ang ari-arian na ito ay sumusunod mula sa kaugnayan: С n k = С n n - k

Isang kawili-wiling espesyal na kaso

(x + 1) n = C 0 n x n + C 1 n x n-1 + ... + C k n x n - k + ... + C n n x 0

o mas maikli (x +1) n = ∑C n k x n - k .

1.3. Polynomial theorem

Teorama.

Patunay.

Upang makakuha ng monomial pagkatapos buksan ang mga bracket, kailangan mong piliin ang mga bracket kung saan ito kinuha, ang mga bracket kung saan ito kinuha, atbp. at ang mga bracket kung saan ito kinuha. Ang koepisyent ng monomial na ito pagkatapos ng pagbabawas ng mga katulad na termino ay katumbas ng bilang ng mga paraan kung saan maaaring gawin ang naturang pagpili. Ang unang hakbang ng pagkakasunud-sunod ng mga pagpipilian ay maaaring gawin sa mga paraan, ang pangalawang hakbang - , ang pangatlo - atbp., ang -ika hakbang - sa mga paraan. Ang nais na koepisyent ay katumbas ng produkto

SEKSYON 2. Mga derivatives ng mas matataas na order.

Ang konsepto ng mga derivatives ng mas mataas na mga order.

Hayaang maging differentiable ang function sa ilang pagitan. Kung gayon ang hinango nito, sa pangkalahatan, ay nakasalalay sa X, ibig sabihin, ay isang function ng X. Samakatuwid, may paggalang dito, maaari nating muling itaas ang tanong ng pagkakaroon ng isang derivative.

Kahulugan . Ang derivative ng unang derivative ay tinatawag derivative ng pangalawang order o pangalawang derivative at tinutukoy ng simbolo o, i.e.

Kahulugan . Ang derivative ng pangalawang derivative ay tinatawag na third order derivative o ang third derivative at tinutukoy ng o simbolo.

Kahulugan . derivativen ika-utos mga function ay tinatawag na unang derivative ng derivative (n -1)-ika-kasunod-sunod ng function na ito at tinutukoy ng simbolo o:

Kahulugan . Ang mga derivatives ng order na mas mataas kaysa sa una ay tinatawag mas mataas na derivatives.

Magkomento. Katulad nito, maaaring makuha ng isa ang formula n-th derivative ng function:

Ang pangalawang derivative ng isang parametrically tinukoy na function

Kung ang isang function ay binibigyan ng parametrically sa pamamagitan ng mga equation, pagkatapos ay upang mahanap ang pangalawang order derivative, ito ay kinakailangan upang pag-iba-ibahin ang expression para sa kanyang unang derivative bilang isang kumplikadong function ng isang independent variable.

Simula noon

at kung isasaalang-alang na,

Nakukuha namin ito, iyon ay.

Katulad nito, mahahanap natin ang pangatlong derivative.

Pagkakaiba ng kabuuan, produkto at kusyente.

Dahil ang differential ay nakuha mula sa derivative sa pamamagitan ng multiply nito sa differential ng isang independent variable, kung gayon, ang pag-alam sa mga derivatives ng mga pangunahing elementary function, pati na rin ang mga patakaran para sa paghahanap ng mga derivatives, ang isa ay maaaring makarating sa mga katulad na panuntunan para sa paghahanap ng mga kaugalian.

1 0 . Ang pagkakaiba ng isang pare-pareho ay zero.

2 0 . Ang differential ng algebraic sum ng isang finite number of differentiable functions ay katumbas ng algebraic sum ng differentials ng mga function na ito. .

3 0 . Ang differential ng produkto ng dalawang differentiable function ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng unang function at ang differential ng pangalawa at pangalawang function at ang differential ng una .

Bunga. Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa tanda ng kaugalian.

2.3. Mga function na ibinigay parametrically, ang kanilang pagkita ng kaibhan.

Kahulugan . Ang isang function ay sinasabing parametrically na tinukoy kung ang parehong mga variable X at Ang y ay tinukoy nang hiwalay bilang single-valued function ng parehong auxiliary variable - ang parametert :

saant pagbabago sa loob.

Magkomento . Ipinakita namin ang mga parametric equation ng isang bilog at isang ellipse.

a) Bilog na nakasentro sa pinanggalingan at radius r may mga parametric equation:

b) Isulat natin ang mga parametric equation para sa ellipse:

Sa pamamagitan ng pagbubukod ng parameter t Mula sa mga parametric equation ng mga linyang isinasaalang-alang, ang isa ay makakarating sa kanilang mga canonical equation.

Teorama . Kung ang function y mula sa argumento Ang x ay binibigyan ng parametrically ng mga equation, kung saan at naiba-iba kaugnay ngt mga function at pagkatapos.

2.4. Leibniz formula

Upang mahanap ang derivative n ika-order ng produkto ng dalawang function, ang Leibniz formula ay may malaking praktikal na kahalagahan.

Hayaan u at v- ilang mga function mula sa isang variable X pagkakaroon ng derivatives ng anumang order at y = UV. Express n-th derivative sa pamamagitan ng derivatives ng mga function u at v .

Kami ay may pare-pareho

Madaling mapansin ang pagkakatulad sa pagitan ng mga expression para sa ikalawa at pangatlong derivatives at ang pagpapalawak ng binomial ni Newton sa pangalawa at pangatlong kapangyarihan, ayon sa pagkakabanggit, ngunit sa halip na mga exponents ay may mga numero na tumutukoy sa pagkakasunud-sunod ng derivative, at ang mga function. ang kanilang mga sarili ay maaaring ituring bilang "zero-order derivatives". Dahil dito, nakukuha namin ang Leibniz formula:

Ang formula na ito ay maaaring patunayan sa pamamagitan ng mathematical induction.

SEKSYON 3. APLIKASYON NG LEIBNIZ FORMULA.

Upang kalkulahin ang derivative ng anumang pagkakasunud-sunod mula sa produkto ng dalawang function, na lampasan ang sequential application ng formula para sa pagkalkula ng derivative ng produkto ng dalawang function, ginagamit namin Leibniz formula.

Gamit ang formula na ito, isaalang-alang ang mga halimbawa ng pagkalkula ng nth derivative ng produkto ng dalawang function.

Halimbawa 1

Hanapin ang pangalawang derivative ng isang function

Sa pamamagitan ng kahulugan, ang pangalawang derivative ay ang unang derivative ng unang derivative, i.e.

Samakatuwid, una nating mahanap ang unang order na derivative ng ibinigay na function ayon sa mga panuntunan sa pagkakaiba-iba at gamit derivative table:

Ngayon nakita namin ang derivative ng first order derivative. Ito ang gustong pangalawang-order na derivative:

Sagot:

Halimbawa 2

Hanapin ang th-order derivative ng isang function

Desisyon.

Sunud-sunod na hahanapin natin ang mga derivative ng una, pangalawa, pangatlo, at iba pa na mga order ng ibinigay na function upang makapagtatag ng pattern na maaaring i-generalize sa -th derivative.

Nahanap namin ang unang order derivative bilang derivative ng quotient:

Dito ang expression ay tinatawag na factorial ng isang numero. Ang factorial ng isang numero ay katumbas ng produkto ng mga numero mula sa isa hanggang, iyon ay,

Ang pangalawang derivative ay ang unang derivative ng unang derivative, ibig sabihin

Derivative ng ikatlong order:

Pang-apat na derivative:

Pansinin ang regularity: ang numerator ay naglalaman ng factorial ng isang numero na katumbas ng pagkakasunud-sunod ng derivative, at ang denominator ay naglalaman ng isang expression sa kapangyarihan ng isang mas malaki kaysa sa order ng derivative, iyon ay.

Sagot.

Halimbawa 3

Hanapin ang halaga ng ikatlong derivative ng isang function sa isang punto.

Desisyon.

Ayon kay talahanayan ng mga derivative na may mataas na pagkakasunud-sunod, meron kami:

Sa halimbawang ito, iyon ay, nakukuha natin

Tandaan na ang isang katulad na resulta ay maaari ding makuha sa pamamagitan ng sunud-sunod na paghahanap ng mga derivatives.

Sa isang naibigay na punto, ang ikatlong derivative ay:

Sagot:

Halimbawa 4

Hanapin ang pangalawang derivative ng isang function

Desisyon. Una, hanapin natin ang unang derivative:

Upang mahanap ang pangalawang derivative, iniiba namin muli ang expression para sa unang derivative:

Sagot:

Halimbawa 5

Hanapin kung

Dahil ang ibinigay na function ay isang produkto ng dalawang function, ito ay ipinapayong ilapat ang Leibniz formula upang mahanap ang fourth-order derivative:

Nahanap namin ang lahat ng mga derivatives at kinakalkula ang mga coefficient ng mga termino.

1) Kalkulahin ang mga coefficient para sa mga termino:

2) Hanapin ang mga derivatives ng function:

3) Hanapin ang mga derivatives ng function:

Sagot:

Halimbawa 6

Ang function na y=x 2 cos3x ay ibinigay. Hanapin ang derivative ng ikatlong order.

Hayaan ang u=cos3x , v=x 2 . Pagkatapos, ayon sa pormula ng Leibniz, nakita namin:

Ang mga derivatives sa expression na ito ay:

(cos3x)′=−3sin3x,

(cos3x)′′=(−3sin3x)′=−9cos3x,

(cos3x)′′′=(−9cos3x)′=27sin3x,

(x2)′=2x,

(x2)′′=2,

(x2)′′′=0.

Samakatuwid, ang ikatlong derivative ng ibinigay na function ay

1 ⋅ 27sin3x ⋅ x2+3 ⋅ (−9cos3x) ⋅ 2x+3 ⋅ (−3sin3x) ⋅ 2+1 ⋅ cos3x ⋅ 0

27x2sin3x−54xcos3x−18sin3x=(27x2−18)sin3x−54xcos3x.

Halimbawa 7

Maghanap ng derivative n -th order function y=x 2 cosx.

Ginagamit namin ang Leibniz formula, settingu=cosx, v=x 2 . Pagkatapos

Ang natitirang mga tuntunin ng serye ay katumbas ng zero, dahil(x2)(i)=0 para sa i>2.

Derivative n -th order cosine function:

Samakatuwid, ang derivative ng ating function ay

KONGKLUSYON

Ang paaralan ay nag-aaral at gumagamit ng tinatawag na pinaikling mga pormula ng pagpaparami: mga parisukat at cube ng kabuuan at pagkakaiba ng dalawang expression at mga formula para sa pagsasaliksik ng pagkakaiba ng mga parisukat, ang kabuuan at pagkakaiba ng mga cube ng dalawang expression. Ang generalization ng mga formula na ito ay isang formula na tinatawag na Newton's binomial formula at ang mga formula para sa factoring ng kabuuan at pagkakaiba ng mga kapangyarihan. Ang mga formula na ito ay kadalasang ginagamit sa paglutas ng iba't ibang problema: pagpapatunay ng divisibility, pagbabawas ng mga fraction, tinatayang mga kalkulasyon. Ang mga kagiliw-giliw na katangian ng tatsulok ni Pascal, na malapit na nauugnay sa binomial ni Newton, ay isinasaalang-alang.

Ang papel ay nag-systematize ng impormasyon sa paksa, nagbibigay ng mga halimbawa ng mga gawain para sa paggamit ng binomial ni Newton at mga formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng mga degree. Maaaring gamitin ang gawain sa gawain ng isang bilog sa matematika, gayundin para sa independiyenteng pag-aaral ng mga mahilig sa matematika.

LISTAHAN NG MGA GINAMIT NA PINAGMULAN

1. Vilenkin N. Ya. Combinatorics. - ed. "Ang agham". - M., 1969

2. Nikolsky S.M., Potapov M.K., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra at simula ng mathematical analysis. Baitang 10: aklat-aralin. para sa pangkalahatang edukasyon mga organisasyon basic at advanced na antas - M.: Education, 2014. - 431 p.

3. Paglutas ng mga problema sa istatistika, combinatorics at probability theory. 7-9 na mga cell / may-akda - compiler V.N. Studentetskaya. - ed. Ika-2, naitama, - Volgograd: Guro, 2009

4. Savushkina I.A., Khugaev K.D., Tishkin S.B. Algebraic Equation of Higher Degrees / Methodological Guide para sa mga Mag-aaral ng Interuniversity Preparatory Department. - St. Petersburg, 2001.

5. Sharygin I.F. Opsyonal na kurso sa matematika: Paglutas ng problema. Textbook para sa 10 cell. sekondaryang paaralan. - M.: Enlightenment, 1989.

6.Agham at buhay, Newton's binomial at Pascal's triangle[Electronic na mapagkukunan]. - Access mode: http://www.nkj.ru/archive/articles/13598/

Derivatives ng mas mataas na mga order

Sa araling ito, matututunan natin kung paano maghanap ng mga derivatives ng mas matataas na order, gayundin ang pagsulat ng pangkalahatang formula para sa "nth" derivative. Bilang karagdagan, ang pormula ng Leibniz para sa naturang derivative ay isasaalang-alang at, sa pamamagitan ng popular na demand, ang mga mas mataas na order na derivative ng implicit function. Iminumungkahi ko na agad kang kumuha ng mini-test:

Narito ang function: at narito ang unang derivative nito:

Kung sakaling mayroon kang anumang mga paghihirap/hindi pagkakaunawaan tungkol sa halimbawang ito, mangyaring magsimula sa dalawang pangunahing artikulo ng aking kurso: Paano mahahanap ang derivative? at Derivative ng isang kumplikadong function. Pagkatapos ng mastering elementary derivatives, inirerekomenda ko na basahin mo ang aralin Ang pinakasimpleng problema sa isang derivative, kung saan tayo ay nakipag-usap, sa partikular pangalawang derivative.

Hindi mahirap kahit na hulaan na ang pangalawang derivative ay ang derivative ng 1st derivative:

Sa prinsipyo, ang pangalawang derivative ay itinuturing na derivative ng mas mataas na order.

Katulad nito: ang pangatlong derivative ay ang derivative ng 2nd derivative:

Ang pang-apat na derivative ay ang derivative ng 3rd derivative:

Ikalimang derivative: , at malinaw na ang lahat ng derivatives ng mas matataas na order ay magiging katumbas din ng zero:

Bilang karagdagan sa Roman numeration, ang mga sumusunod na pagtatalaga ay kadalasang ginagamit sa pagsasanay:
, habang ang derivative ng "nth" order ay tinutukoy ng . Sa kasong ito, ang superscript index ay dapat na nakapaloob sa mga bracket.- upang makilala ang derivative mula sa "y" sa antas.

Minsan may entry na ganito: - pangatlo, pang-apat, panglima, ..., "nth" derivatives, ayon sa pagkakabanggit.

Pasulong nang walang takot at pag-aalinlangan:

Halimbawa 1

Nabigyan ng function. Hanapin .

Desisyon: ano ang masasabi mo ... - pasulong para sa ikaapat na hinalaw :)

Hindi na kaugalian na maglagay ng apat na stroke, kaya nagpapatuloy tayo sa mga numerical na indeks:

Sagot:

Okay, ngayon pag-isipan natin ang tanong na ito: ano ang gagawin kung, ayon sa kondisyon, kinakailangan na hanapin hindi ang ika-4, ngunit, halimbawa, ang ika-20 na derivative? Kung para sa derivative ng 3-4-5th (maximum, ika-6-7) order, ang solusyon ay iginuhit nang mabilis, pagkatapos ay "makakakuha" tayo sa mga derivatives ng mas mataas na mga order, oh, paano hindi sa lalong madaling panahon. Huwag isulat, sa katunayan, 20 linya! Sa ganoong sitwasyon, kailangan mong pag-aralan ang ilang nahanap na derivatives, tingnan ang pattern at gumuhit ng formula para sa "nth" derivative. Kaya, sa Halimbawa Blg. 1, madaling maunawaan na sa bawat kasunod na pagkita ng kaibhan, ang karagdagang "triple" ay "tumalon" bago ang exponent, at sa anumang hakbang ang antas ng "triple" ay katumbas ng bilang ng ang derivative, samakatuwid:

Nasaan ang isang arbitrary na natural na numero.

At sa katunayan, kung , kung gayon ang eksaktong 1st derivative ay nakuha: , kung - pagkatapos ay ika-2: atbp. Kaya, ang ikadalawampu derivative ay agad na tinutukoy: - at walang "kilometrong sheet"!

Warming up sa ating sarili:

Halimbawa 2

Maghanap ng mga tampok. Isulat ang order derivative

Solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Pagkatapos ng isang nakapagpapalakas na warm-up, isasaalang-alang namin ang mas kumplikadong mga halimbawa kung saan gagawin namin ang algorithm ng solusyon sa itaas. Para sa mga nakabasa ng aralin Limitasyon ng pagkakasunud-sunod, magiging mas madali ito:

Halimbawa 3

Maghanap ng function.

Desisyon: upang linawin ang sitwasyon, nakita namin ang ilang mga derivatives:

Hindi kami nagmamadaling i-multiply ang mga resultang numero! ;-)


Marahil sapat na. ... medyo nasobrahan ko pa.

Sa susunod na hakbang, pinakamahusay na isulat ang formula para sa "nth" derivative (sa sandaling hindi ito kailanganin ng kundisyon, maaari kang makayanan gamit ang isang draft). Upang gawin ito, tinitingnan namin ang mga resultang nakuha at tinutukoy ang mga pattern kung saan nakuha ang bawat susunod na derivative.

Una, pumirma sila. Nagbibigay ang interleaving "flasher", at dahil positibo ang 1st derivative, ang sumusunod na salik ay papasok sa pangkalahatang formula: . Ang isang katumbas na opsyon ay magagawa, ngunit sa personal, bilang isang optimist, gusto ko ang plus sign =)

Pangalawa, sa numerator na "hangin" factorial, at ito ay "nahuhuli" sa bilang ng derivative ng isang yunit:

At pangatlo, ang kapangyarihan ng "dalawa" ay lumalaki sa numerator, na katumbas ng bilang ng derivative. Ang parehong ay maaaring sinabi tungkol sa antas ng denominator. Sa wakas:

Para sa mga layunin ng pag-verify, palitan natin ang isang pares ng mga halaga \u200b\u200b"en", halimbawa, at:

Mahusay, ngayon ang magkamali ay kasalanan lamang:

Sagot:

Isang mas simpleng function para sa isang do-it-yourself na solusyon:

Halimbawa 4

Maghanap ng mga tampok.

At isang mas nakakalito na problema:

Halimbawa 5

Maghanap ng mga tampok.

Ulitin natin ang pamamaraan ng isa pang beses:

1) Una, nakahanap kami ng ilang mga derivatives. Ang tatlo o apat ay kadalasang sapat upang makahuli ng mga pattern.

2) Pagkatapos ay lubos kong inirerekumenda ang pag-compile (kahit sa draft)"nth" derivative - ito ay garantisadong maprotektahan laban sa mga error. Ngunit magagawa mo nang wala, i.e. isip tantiyahin at agad na isulat, halimbawa, ang ikadalawampu o ikawalong hinalaw. Bukod dito, ang ilang mga tao sa pangkalahatan ay kayang lutasin ang mga problemang isinasaalang-alang nang pasalita. Gayunpaman, dapat tandaan na ang "mabilis" na mga pamamaraan ay puno, at mas mahusay na i-play ito nang ligtas.

3) Sa huling yugto, sinusuri namin ang "nth" derivative - kumukuha kami ng isang pares ng mga halaga "en" (mas mahusay kaysa sa mga kalapit) at nagsasagawa ng pagpapalit. At mas maaasahan ay suriin ang lahat ng mga derivatives na natagpuan nang mas maaga. Pagkatapos ay pinapalitan namin ang nais na halaga, halimbawa, o, at maingat na suklayin ang resulta.

Maikling solusyon ng ika-4 at ika-5 halimbawa sa katapusan ng aralin.

Sa ilang mga gawain, upang maiwasan ang mga problema, kailangan mong gumawa ng kaunting magic sa function:

Halimbawa 6

Desisyon: Hindi ko nais na pag-iba-ibahin ang iminungkahing function, dahil ito ay magiging isang "masamang" fraction, na magiging napakahirap na makahanap ng kasunod na mga derivatives.

Sa bagay na ito, ipinapayong magsagawa ng mga paunang pagbabago: ginagamit namin pagkakaiba ng formula ng mga parisukat at ari-arian ng logarithm :

Medyo ibang bagay:

At mga dating kaibigan:

Lahat yata ay tinitingnan. Tandaan na ang 2nd fraction ay nilagdaan, ngunit ang 1st ay hindi. Binubuo namin ang order derivative:

Ang kontrol:

Well, para sa kagandahan, inaalis namin ang factorial sa mga bracket:

Sagot:

Isang kawili-wiling gawain para sa isang malayang solusyon:

Halimbawa 7

Isulat ang order derivative formula para sa function

At ngayon tungkol sa hindi matitinag na responsibilidad sa isa't isa, na kahit na ang Italian mafia ay inggit:

Halimbawa 8

Nabigyan ng function. Hanapin

Ang ikalabing walong derivative sa punto . Basta.

Desisyon: una, malinaw naman, kailangan mong hanapin . Pumunta:

Nagsimula sila sa sine, at dumating sila sa sine. Malinaw na sa karagdagang pagkita ng kaibhan, ang cycle na ito ay magpapatuloy hanggang sa kawalang-hanggan, at ang sumusunod na tanong ay lumitaw: paano pinakamahusay na "makakakuha" sa ikalabing walong derivative?

Ang "amateur" na pamamaraan: mabilis naming isulat ang mga numero ng kasunod na mga derivatives sa kanan sa hanay:

kaya:

Ngunit ito ay gumagana kung ang pagkakasunud-sunod ng derivative ay hindi masyadong malaki. Kung kailangan mong hanapin, sabihin nating, ang hundredth derivative, dapat mong gamitin ang divisibility ng 4. Ang isang daan ay nahahati sa 4 na walang natitira, at madaling makita na ang mga naturang numero ay matatagpuan sa ilalim na linya, samakatuwid: .

Sa pamamagitan ng paraan, ang 18th derivative ay maaari ding matukoy mula sa mga katulad na pagsasaalang-alang:
Ang pangalawang linya ay naglalaman ng mga numero na nahahati sa 4 na may natitirang 2.

Isa pa, mas akademikong pamamaraan ang nakabatay sa periodicity ng sine at mga formula ng pagbabawas. Ginagamit namin ang handa na formula na "nth" derivative ng sine , kung saan ang nais na numero ay pinapalitan lamang. Halimbawa:
(pormula ng pagbabawas ) ;
(pormula ng pagbabawas )

Sa kaso natin:

(1) Dahil ang sine ay isang panaka-nakang pag-andar na may tuldok, kung gayon ang argumento ay maaaring walang sakit na "i-unscrew" sa 4 na tuldok (i.e.).

Ang order derivative ng produkto ng dalawang function ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

Sa partikular:

Hindi mo kailangang tandaan ang anumang bagay na espesyal, dahil mas maraming formula ang alam mo, mas mababa ang iyong naiintindihan. Mas mabuting malaman binomial ni Newton, dahil ang formula ni Leibniz ay napaka, halos kapareho sa kanya. Well, ang mga masuwerteng nakakakuha ng derivative ng ika-7 o mas mataas na mga order (na talagang malabong mangyari) ay mapipilitang gawin ito. Gayunpaman, pagdating ng panahon combinatorics- kailangan mo pa =)

Hanapin natin ang pangatlong derivative ng function . Ginagamit namin ang Leibniz formula:

Sa kasong ito: . Ang mga derivative ay madaling i-click sa salita:

Ngayon ay maingat at MAINGAY naming ginagawa ang pagpapalit at pinasimple ang resulta:

Sagot:

Ang isang katulad na gawain para sa isang independiyenteng solusyon:

Halimbawa 11

Maghanap ng mga tampok

Kung sa nakaraang halimbawa ang solusyon na "sa noo" ay nakikipagkumpitensya pa rin sa pormula ng Leibniz, kung gayon narito na ito ay talagang hindi kanais-nais. At mas hindi kasiya-siya - sa kaso ng isang mas mataas na pagkakasunud-sunod ng derivative:

Halimbawa 12

Hanapin ang derivative ng tinukoy na order

Desisyon: ang una at mahalagang pangungusap - upang magpasya tulad nito, marahil, ito ay hindi kinakailangan =) =)

Isulat natin ang mga function at hanapin ang kanilang mga derivatives hanggang sa ika-5 na order kasama. Ipinapalagay ko na ang mga derivatives ng kanang column ay naging oral para sa iyo:

Sa kaliwang hanay, ang "live" na mga derivative ay mabilis na "natapos" at ito ay napakahusay - sa Leibniz formula, tatlong termino ang ise-zero:

Tatalakayin ko muli ang dilemma na lumitaw sa artikulo sa kumplikadong derivatives: para gawing simple ang resulta? Sa prinsipyo, maaari mong iwanan ito nang ganoon - mas madali para sa guro na suriin. Ngunit maaaring kailanganin niyang isaisip ang desisyon. Sa kabilang banda, ang pagpapasimple sa sariling inisyatiba ay puno ng mga algebraic error. Gayunpaman, mayroon kaming sagot na nakuha sa isang "primal" na paraan =) (tingnan ang link sa simula) at sana ay tama ito:

Mahusay, nagtagumpay ang lahat.

Sagot:

Maligayang gawain para sa paglutas sa sarili:

Halimbawa 13

Para sa function:
a) hanapin sa pamamagitan ng direktang pagkita ng kaibhan;
b) hanapin sa pamamagitan ng Leibniz formula;
c) kalkulahin.

Hindi, hindi ako sadista - ang "a" dito ay medyo simple =)

Ngunit seryoso, ang "direktang" solusyon sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagkakaiba-iba ay mayroon ding "karapatan sa buhay" - sa ilang mga kaso ang pagiging kumplikado nito ay maihahambing sa pagiging kumplikado ng paglalapat ng formula ng Leibniz. Gamitin kung nakikita mong angkop - ito ay malamang na hindi maging batayan para sa hindi pagbibilang ng gawain.

Maikling solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Upang itaas ang huling talata kailangan mong magawa ibahin ang mga implicit na function:

Higher order derivatives ng implicit functions

Marami sa atin ang gumugol ng mahabang oras, araw at linggo ng ating buhay sa pag-aaral mga bilog, parabola, hyperbole- at kung minsan ay tila isang tunay na parusa. Kaya't maghiganti tayo at ibahin sila ng maayos!

Magsimula tayo sa "paaralan" na parabola nito canonical na posisyon:

Halimbawa 14

Ang isang equation ay ibinigay. Hanapin .

Desisyon: pamilyar ang unang hakbang:

Ang katotohanan na ang function at ang derivative nito ay ipinahayag nang tahasan ay hindi nagbabago sa esensya ng bagay, ang pangalawang derivative ay ang derivative ng 1st derivative:

Gayunpaman, may mga patakaran ng laro: ang mga derivatives ng ika-2 at mas mataas na mga order ay karaniwang ipinahayag sa pamamagitan lamang ng "x" at "y". Samakatuwid, pinapalitan namin ang nagresultang 2nd derivative:

Ang pangatlong derivative ay ang derivative ng 2nd derivative:

Katulad nito, palitan natin:

Sagot:

"School" hyperbole in canonical na posisyon- para sa independiyenteng trabaho:

Halimbawa 15

Ang isang equation ay ibinigay. Hanapin .

Inuulit ko na ang 2nd derivative at ang resulta ay dapat ipahayag lamang sa pamamagitan ng "x" / "y"!

Maikling solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Pagkatapos ng mga kalokohan ng mga bata, tingnan natin ang German pornography @ fia, tingnan natin ang higit pang mga adultong halimbawa, kung saan natututo tayo ng isa pang mahalagang solusyon:

Halimbawa 16

Ellipse kanyang sarili.

Desisyon: hanapin ang 1st derivative:

At ngayon, huminto tayo at suriin ang susunod na sandali: ngayon kailangan nating pag-iba-ibahin ang bahagi, na hindi naman nakapagpapatibay. Sa kasong ito, siyempre, ito ay simple, ngunit sa totoong buhay na mga problema mayroon lamang dalawang ganoong mga regalo. Mayroon bang paraan upang maiwasan ang paghahanap ng masalimuot na derivative? umiral! Kinukuha namin ang equation at ginagamit ang parehong pamamaraan tulad ng kapag naghahanap ng 1st derivative - "nag-hang" kami ng mga stroke sa parehong bahagi:

Ang pangalawang derivative ay dapat na ipahayag lamang sa pamamagitan ng at , kaya ngayon (ngayon na) ito ay maginhawa upang mapupuksa ang 1st derivative. Upang gawin ito, pinapalitan namin ang resultang equation:

Upang maiwasan ang mga hindi kinakailangang teknikal na paghihirap, pinaparami namin ang parehong bahagi sa pamamagitan ng:

At sa huling yugto lamang ay gumuhit kami ng isang bahagi:

Ngayon ay tinitingnan natin ang orihinal na equation at napansin na ang resulta na nakuha ay maaaring gawing simple:

Sagot:

Paano mahanap ang halaga ng 2nd derivative sa isang punto (na, siyempre, ay kabilang sa ellipse), halimbawa, sa punto ? Napakadaling! Ang motif na ito ay nakatagpo na sa aralin tungkol sa normal na equation: sa pagpapahayag ng 2nd derivative kailangan mong palitan :

Siyempre, sa lahat ng tatlong mga kaso, maaari kang makakuha ng tahasang ibinigay na mga pag-andar at pag-iba-ibahin ang mga ito, ngunit pagkatapos ay maghanda sa pag-iisip upang gumana sa dalawang pag-andar na naglalaman ng mga ugat. Sa palagay ko, ang solusyon ay mas maginhawa upang isagawa ang "implicitly".

Pangwakas na halimbawa para sa sariling solusyon:

Halimbawa 17

Maghanap ng implicit function

Ang pormula ng Leibniz para sa pagkalkula ng nth derivative ng produkto ng dalawang function ay ibinigay. Ang patunay nito ay ibinibigay sa dalawang paraan. Isaalang-alang ang isang halimbawa ng pagkalkula ng derivative ng nth order.

Nilalaman

Tingnan din: Derivative ng produkto ng dalawang function

Leibniz formula

Gamit ang Leibniz formula, maaari mong kalkulahin ang nth derivative ng produkto ng dalawang function. Mukhang ganito:
(1) ,
saan
ay binomial coefficients.

Ang binomial coefficients ay ang mga coefficient ng pagpapalawak ng binomial sa mga kapangyarihan ng at :
.
Gayundin ang numero ay ang bilang ng mga kumbinasyon mula n hanggang k .

Patunay ng Leibniz formula

Naaangkop ang formula para sa derivative ng produkto ng dalawang function :
(2) .
Isulat muli natin ang formula (2) sa sumusunod na anyo:
.
Iyon ay, isinasaalang-alang namin na ang isang function ay depende sa x variable, at ang isa ay depende sa y variable. Sa pagtatapos ng pagkalkula, ipinapalagay namin . Pagkatapos ang nakaraang formula ay maaaring isulat bilang:
(3) .
Dahil ang derivative ay katumbas ng kabuuan ng mga termino, at ang bawat termino ay produkto ng dalawang function, pagkatapos ay upang kalkulahin ang mga derivatives ng mas matataas na mga order, maaari mong patuloy na ilapat ang panuntunan (3).

Pagkatapos para sa nth order derivative mayroon kami:

.
Dahil doon at , nakukuha namin ang Leibniz formula:
(1) .

Patunay sa pamamagitan ng induction

Ipinakita namin ang patunay ng formula ng Leibniz sa pamamagitan ng pamamaraan ng induction ng matematika.

Isulat muli natin ang Leibniz formula:
(4) .
Para sa n = 1 mayroon kaming:
.
Ito ang formula para sa derivative ng produkto ng dalawang function. Siya ay patas.

Ipagpalagay natin na ang formula (4) ay wasto para sa nth order derivative. Patunayan natin na ito ay wasto para sa derivative n + 1 -ika-utos.

Ibahin ang (4):
;



.
Kaya natagpuan namin:
(5) .

Palitan sa (5) at isaalang-alang na:

.
Ipinapakita nito na ang formula (4) ay may parehong anyo para sa derivative n + 1 -ika-utos.

Kaya, ang formula (4) ay wasto para sa n = 1 . Mula sa pagpapalagay na ito ay totoo para sa ilang numero n = m, ito ay sumusunod na ito ay totoo para sa n = m + 1 .
Ang Leibniz formula ay napatunayan na.

Halimbawa

Kalkulahin ang nth derivative ng isang function
.

Inilapat namin ang Leibniz formula
(2) .
Sa kaso natin
;
.

Sa pamamagitan ng derivative table meron kami:
.
Mag-apply mga katangian ng trigonometriko function :
.
Pagkatapos
.
Ipinapakita nito na ang pagkita ng kaibahan ng function ng sine ay humahantong sa paglilipat nito sa pamamagitan ng . Pagkatapos
.

Nakahanap kami ng mga derivatives ng function.
;
;
;
, .

Dahil para sa , ang unang tatlong termino lamang sa formula ng Leibniz ay nonzero. Paghahanap ng binomial coefficients.
;
.

Ayon sa pormula ng Leibniz, mayroon kaming:

.

Tingnan din: