Exponential function ay isang paglalahat ng produkto ng n bilang na katumbas ng a :
y (n) = a n = a a a a,
sa hanay ng mga tunay na numero x :
y (x) = x.
Narito ang isang nakapirming tunay na numero, na tinatawag ang base ng exponential function.
Tinatawag din ang exponential function na may base a exponent sa base a.

Ang paglalahat ay isinasagawa bilang mga sumusunod.
Para sa natural na x = 1, 2, 3,... , ang exponential function ay ang produkto ng x factor:
.
Bukod dito, mayroon itong mga katangian (1.5-8) (), na sumusunod mula sa mga patakaran para sa pagpaparami ng mga numero. Sa zero at negatibong halaga ng mga integer , ang exponential function ay tinutukoy ng mga formula (1.9-10). Para sa mga fractional na halaga x = m/n ng mga rational na numero, , ito ay tinutukoy ng formula (1.11). Para sa real , ang exponential function ay tinukoy bilang ang limitasyon ng sequence:
,
kung saan ay isang di-makatwirang pagkakasunod-sunod ng mga rational na numero na nagtatagpo sa x : .
Sa kahulugang ito, ang exponential function ay tinukoy para sa lahat , at natutugunan ang mga katangian (1.5-8), pati na rin para sa natural na x .

Ang isang mahigpit na pagbabalangkas sa matematika ng kahulugan ng isang exponential function at isang patunay ng mga katangian nito ay ibinibigay sa pahinang "Kahulugan at patunay ng mga katangian ng isang exponential function".

Mga katangian ng exponential function

Ang exponential function na y = a x ay may mga sumusunod na katangian sa hanay ng mga tunay na numero () :
(1.1) ay tinukoy at tuloy-tuloy, para sa , para sa lahat;
(1.2) kapag ang isang ≠ 1 ay may maraming kahulugan;
(1.3) mahigpit na tumataas sa , mahigpit na bumababa sa ,
ay pare-pareho sa ;
(1.4) sa ;
sa ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Iba pang mga kapaki-pakinabang na formula
.
Ang formula para sa pag-convert sa isang exponential function na may ibang power base:

Para sa b = e , nakukuha namin ang pagpapahayag ng exponential function sa mga tuntunin ng exponent:

Mga pribadong halaga

, , , , .

Ipinapakita ng figure ang mga graph ng exponential function
y (x) = x
para sa apat na halaga mga batayan ng degree:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 at a = 1/8 . Makikita na para sa isang > 1 monotonically tumataas ang exponential function. Kung mas malaki ang base ng degree a, mas malakas ang paglago. Sa 0 < a < 1 Ang exponential function ay monotonically bumababa. Kung mas maliit ang exponent a, mas malakas ang pagbaba.

Pataas pababa

Ang exponential function sa ay mahigpit na monotoniko, kaya wala itong extrema. Ang mga pangunahing katangian nito ay ipinakita sa talahanayan.

	y = a x , a > 1	y = x, 0 < a < 1
Domain	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Saklaw ng mga halaga	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Monotone	tumataas monotonically	bumababa nang monotoniko
Mga zero, y= 0	Hindi	Hindi
Mga punto ng intersection sa y-axis, x = 0	y= 1	y= 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Baliktad na pag-andar

Ang reciprocal ng isang exponential function na may base ng degree a ay ang logarithm sa base a.

Kung , kung gayon
.
Kung , kung gayon
.

Differentiation ng exponential function

Upang pag-iba-ibahin ang isang exponential function, ang base nito ay dapat na bawasan sa bilang na e, ilapat ang talahanayan ng mga derivatives at ang panuntunan para sa pagkakaiba ng isang kumplikadong function.

Upang gawin ito, kailangan mong gamitin ang pag-aari ng logarithms
at ang formula mula sa talahanayan ng mga derivatives:
.

Hayaang magbigay ng exponential function:
.
Dinala namin ito sa base e:

Inilapat namin ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong function. Upang gawin ito, ipinakilala namin ang isang variable

Pagkatapos

Mula sa talahanayan ng mga derivatives mayroon tayo (palitan ang variable x ng z ):
.
Dahil ay isang pare-pareho, ang derivative ng z na may paggalang sa x ay
.
Ayon sa panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong pag-andar:
.

Derivative ng exponential function

.
Derivative ng ika-na order:
.
Pinagmulan ng mga formula > > >

Isang halimbawa ng pagkakaiba-iba ng exponential function

Hanapin ang derivative ng isang function
y= 35 x

Desisyon

Ipinapahayag namin ang base ng exponential function sa mga tuntunin ng numero e.
3 = e log 3
Pagkatapos
.
Ipinakilala namin ang isang variable
.
Pagkatapos

Mula sa talahanayan ng mga derivatives makikita natin:
.
Sa abot ng 5ln 3 ay isang pare-pareho, kung gayon ang derivative ng z na may paggalang sa x ay:
.
Ayon sa panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong pag-andar, mayroon kaming:
.

Sagot

integral

Mga expression sa mga tuntunin ng kumplikadong mga numero

Isaalang-alang ang complex number function z:
f (z) = az
kung saan z = x + iy ; i 2 = - 1 .
Ipinapahayag namin ang complex constant a sa mga tuntunin ng modulus r at ang argumento φ :
a = r e i φ
Pagkatapos


.
Ang argumento φ ay hindi natatanging tinukoy. Sa pangkalahatan
φ = φ 0 + 2 pn,
kung saan ang n ay isang integer. Samakatuwid, ang function na f (z) ay malabo rin. Kadalasang isinasaalang-alang ang pangunahing kahalagahan nito
.

Pagpapalawak sa serye

.

Mga sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng Mathematics para sa mga Inhinyero at Mag-aaral ng Mas Mataas na Institusyon ng Edukasyon, Lan, 2009.

Hypothesis: Kung pag-aaralan mo ang paggalaw ng graph sa panahon ng pagbuo ng equation ng mga function, mapapansin mo na ang lahat ng mga graph ay sumusunod sa mga karaniwang batas, samakatuwid, maaari kang bumalangkas ng mga pangkalahatang batas anuman ang mga function, na hindi lamang magpapadali sa pagbuo ng mga graph. ng iba't ibang mga function, ngunit ginagamit din ang mga ito sa paglutas ng mga problema.

Layunin: Upang pag-aralan ang paggalaw ng mga graph ng mga function:

1) Ang gawain ng pag-aaral ng panitikan

2) Matutong bumuo ng mga graph ng iba't ibang function

3) Matutong mag-convert ng mga graph ng mga linear na function

4) Isaalang-alang ang paggamit ng mga graph sa paglutas ng mga problema

Layunin ng pag-aaral: Mga graph ng mga function

Paksa ng pananaliksik: Mga paggalaw ng mga graph ng mga function

Kaugnayan: Ang pagtatayo ng mga function graph, bilang panuntunan, ay tumatagal ng maraming oras at nangangailangan ng atensyon mula sa mag-aaral, ngunit ang pag-alam sa mga patakaran para sa pagbabago ng mga function graph at mga graph ng mga pangunahing function, maaari mong mabilis at madaling bumuo ng mga function graph, na magbibigay-daan hindi mo lamang kumpletuhin ang mga gawain para sa pag-plot ng mga function graph, ngunit lutasin din ang mga kaugnay na problema (upang mahanap ang maximum (minimum na taas ng oras at meeting point))

Ang proyektong ito ay kapaki-pakinabang sa lahat ng mga mag-aaral ng paaralan.

Pagsusuri sa panitikan:

Tinatalakay ng panitikan ang mga paraan upang makabuo ng graph ng iba't ibang function, gayundin ang mga halimbawa ng pagbabago ng mga graph ng mga function na ito. Ang mga graph ng halos lahat ng pangunahing pag-andar ay ginagamit sa iba't ibang mga teknikal na proseso, na ginagawang posible upang mas malinaw na ipakita ang kurso ng proseso at programa ang resulta

Permanenteng pag-andar. Ang function na ito ay ibinibigay ng formula na y = b, kung saan ang b ay ilang numero. Ang graph ng isang constant function ay isang tuwid na linya na kahanay ng x-axis at dumadaan sa punto (0; b) sa y-axis. Ang graph ng function na y \u003d 0 ay ang abscissa axis.

Mga uri ng function 1Direktang proporsyonalidad. Ang function na ito ay ibinibigay ng formula y \u003d kx, kung saan ang coefficient ng proportionality k ≠ 0. Ang direct proportionality graph ay isang tuwid na linya na dumadaan sa pinanggalingan.

Linear function. Ang ganitong function ay ibinibigay ng formula y = kx + b, kung saan ang k at b ay mga tunay na numero. Ang graph ng isang linear function ay isang tuwid na linya.

Ang mga linear na function graph ay maaaring mag-intersect o maging parallel.

Kaya, ang mga linya ng mga graph ng mga linear na function y \u003d k 1 x + b 1 at y \u003d k 2 x + b 2 ay bumalandra kung k 1 ≠ k 2; kung k 1 = k 2 , kung gayon ang mga linya ay parallel.

2Ang inverse proportionality ay isang function na ibinibigay ng formula y \u003d k / x, kung saan ang k ≠ 0. K ay tinatawag na inverse proportionality coefficient. Ang inverse proportionality graph ay isang hyperbola.

Ang function na y \u003d x 2 ay kinakatawan ng isang graph na tinatawag na parabola: sa pagitan [-~; 0] ang function ay bumababa, sa pagitan ang function ay tumataas.

Ang function na y \u003d x 3 ay tumataas kasama ang buong linya ng numero at graphic na kinakatawan ng isang cubic parabola.

Power function na may natural na exponent. Ang function na ito ay ibinibigay ng formula y \u003d x n, kung saan ang n ay isang natural na numero. Ang mga graph ng power function na may natural na exponent ay nakadepende sa n. Halimbawa, kung n = 1, ang graph ay magiging isang tuwid na linya (y = x), kung n = 2, ang graph ay magiging isang parabola, atbp.

Ang isang power function na may negatibong integer exponent ay kinakatawan ng formula y \u003d x -n, kung saan ang n ay isang natural na numero. Ang function na ito ay tinukoy para sa lahat ng x ≠ 0. Ang graph ng function ay nakasalalay din sa exponent n.

Power function na may positibong fractional exponent. Ang function na ito ay kinakatawan ng formula y \u003d x r, kung saan ang r ay isang positibong hindi mababawasang bahagi. Ang function na ito ay hindi rin kahit na o kakaiba.

Graph-line na nagpapakita ng ugnayan ng dependent at independent variable sa coordinate plane. Ang graph ay nagsisilbing biswal na ipakita ang mga elementong ito.

Ang isang independiyenteng variable ay isang variable na maaaring tumagal sa anumang halaga sa saklaw ng mga function (kung saan ang ibinigay na function ay may katuturan (hindi maaaring hatiin ng zero))

Upang mag-plot ng function graph,

1) Maghanap ng ODZ (saklaw ng mga katanggap-tanggap na halaga)

2) kumuha ng ilang di-makatwirang halaga para sa malayang variable

3) Hanapin ang halaga ng dependent variable

4) Gumawa ng isang coordinate plane, markahan ang mga puntong ito dito

5) Ikonekta ang kanilang mga linya kung kinakailangan, siyasatin ang resultang graph. Pagbabago ng mga graph ng elementarya na mga function.

Conversion ng Graph

Sa kanilang dalisay na anyo, ang mga pangunahing pag-andar ng elementarya ay, sa kasamaang-palad, hindi gaanong karaniwan. Mas madalas na kailangang harapin ng isang tao ang mga elementong pag-andar na nakuha mula sa mga pangunahing pag-andar ng elementarya sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga constant at coefficient. Ang mga graph ng naturang mga function ay maaaring buuin sa pamamagitan ng paglalapat ng mga geometric na pagbabagong-anyo sa mga graph ng mga kaukulang pangunahing elementarya na function (o sa pamamagitan ng paglipat sa isang bagong coordinate system). Halimbawa, ang quadratic function formula ay isang quadratic parabola formula, tatlong beses na naka-compress na may kaugnayan sa ordinate axis, simetriko na ipinapakita na may kaugnayan sa abscissa axis, inilipat laban sa direksyon ng axis na ito ng 2/3 units at inilipat sa direksyon ng ordinate axis ng 2 unit.

Unawain natin ang mga geometric na pagbabagong ito ng isang function graph hakbang-hakbang gamit ang mga partikular na halimbawa.

Sa tulong ng mga geometric na pagbabagong-anyo ng graph ng function na f (x), maaaring makabuo ng graph ng anumang function ng form formula, kung saan ang formula ay ang compression o expansion coefficients kasama ang oy at ox axes, ayon sa pagkakabanggit, ang minus ang mga palatandaan sa harap ng mga coefficient na formula at formula ay nagpapahiwatig ng simetriko na pagpapakita ng graph na may kaugnayan sa mga coordinate axes , a at b tukuyin ang shift na nauugnay sa abscissa at ordinate axes, ayon sa pagkakabanggit.

Kaya, mayroong tatlong uri ng geometric na pagbabagong-anyo ng function graph:

Ang unang uri ay scaling (compression o expansion) kasama ang abscissa at ordinate axes.

Ang pangangailangan para sa scaling ay ipinahiwatig ng mga formula coefficients maliban sa isa, kung ang numero ay mas mababa sa 1, pagkatapos ay ang graph ay naka-compress na may kaugnayan sa oy at nakaunat na may kaugnayan sa ox, kung ang numero ay mas malaki kaysa sa 1, pagkatapos ay mag-stretch kami sa kahabaan ng ordinate axis at pag-urong kasama ang abscissa axis.

Ang pangalawang uri ay isang simetriko (salamin) na pagpapakita na may paggalang sa mga coordinate axes.

Ang pangangailangan para sa pagbabagong ito ay ipinahiwatig ng mga minus na palatandaan sa harap ng mga coefficient ng formula (sa kasong ito, ipinapakita namin ang graph nang simetriko na may paggalang sa axis ng baka) at ang formula (sa kasong ito, ipinapakita namin ang graph na simetriko na may paggalang sa y axis). Kung walang mga minus sign, nilalaktawan ang hakbang na ito.

Pagbabago ng Function Graph

Sa artikulong ito, ipapakilala ko sa iyo ang mga linear na pagbabagong-anyo ng mga function graph at ipakita kung paano gamitin ang mga pagbabagong ito mula sa isang function graph upang makakuha ng isang function graph.

Ang linear transformation ng isang function ay isang transformation ng function mismo at/o ang argumento nito sa form , pati na rin ang isang pagbabagong naglalaman ng module ng argumento at/o mga function.

Ang mga sumusunod na aksyon ay nagdudulot ng pinakamalaking kahirapan sa pag-plot ng mga graph gamit ang mga linear na pagbabago:

1. Ang paghihiwalay ng base function, sa katunayan, ang graph kung saan namin binabago.
2. Mga kahulugan ng pagkakasunud-sunod ng mga pagbabago.

At Sa mga puntong ito ay tatalakayin natin nang mas detalyado.

Tingnan natin ang pag-andar

Ito ay batay sa isang function. Tawagan natin siya pangunahing pag-andar.

Kapag nagpaplano ng isang function gumagawa kami ng mga pagbabago sa graph ng base function .

Kung babaguhin natin ang function sa parehong pagkakasunud-sunod kung saan natagpuan ang halaga nito para sa isang tiyak na halaga ng argumento, kung gayon

Isaalang-alang natin kung anong mga uri ng linear argument at mga pagbabago sa function ang umiiral, at kung paano isasagawa ang mga ito.

Mga pagbabago sa argumento.

1. f(x) f(x+b)

1. Bumubuo kami ng graph ng isang function

2. Inilipat namin ang graph ng function sa kahabaan ng axis ng OX sa pamamagitan ng |b| mga yunit

• kaliwa kung b>0
• tama kung b<0

I-plot natin ang function

1. I-plot namin ang function

2. Ilipat ito ng 2 unit pakanan:

2. f(x) f(kx)

1. Bumubuo kami ng graph ng isang function

2. Hatiin ang abscissas ng mga punto ng graph sa pamamagitan ng k, iwanan ang mga ordinate ng mga puntos na hindi nagbabago.

I-plot natin ang function.

1. I-plot namin ang function

2. Hatiin ang lahat ng abscissas ng mga graph point sa 2, iwanan ang mga ordinate na hindi nagbabago:

3. f(x) f(-x)

1. Bumubuo kami ng graph ng isang function

2. Ipinapakita namin ito nang simetriko tungkol sa axis ng OY.

I-plot natin ang function.

1. I-plot namin ang function

2. Ipinapakita namin ito nang simetriko tungkol sa axis ng OY:

4. f(x) f(|x|)

1. I-plot namin ang function

2. Buburahin namin ang bahagi ng graph na matatagpuan sa kaliwa ng OY axis, ang bahagi ng graph na matatagpuan sa kanan ng OY axis Kinukumpleto namin ito nang simetriko tungkol sa OY axis:

Ang graph ng function ay ganito ang hitsura:

I-plot natin ang function

1. Bumubuo kami ng function graph (ito ay isang function graph na inilipat sa kahabaan ng axis ng OX ng 2 unit sa kaliwa):

2. Bahagi ng graph na matatagpuan sa kaliwa ng OY (x<0) стираем:

3. Ang bahagi ng graph na matatagpuan sa kanan ng OY axis (x>0) ay nakumpleto nang simetriko na may kinalaman sa OY axis:

Mahalaga! Ang dalawang pangunahing panuntunan para sa conversion ng argumento.

1. Ang lahat ng mga pagbabagong-anyo ng argumento ay ginagawa sa kahabaan ng axis ng OX

2. Ang lahat ng pagbabago ng argumento ay ginaganap "vice versa" at "in reverse order".

Halimbawa, sa isang function, ang pagkakasunod-sunod ng mga pagbabagong-anyo ng argumento ay ang mga sumusunod:

1. Kinukuha namin ang module mula sa x.

2. Idagdag ang numero 2 sa modulo x.

Ngunit ginawa namin ang paglalagay sa reverse order:

Una, ginawa namin ang pagbabagong-anyo 2. - inilipat ang graph sa pamamagitan ng 2 mga yunit sa kaliwa (iyon ay, ang abscissas ng mga puntos ay nabawasan ng 2, na parang "vice versa")

Pagkatapos ay ginawa namin ang pagbabagong-anyo f(x) f(|x|).

Sa madaling sabi, ang pagkakasunud-sunod ng mga pagbabago ay nakasulat bilang mga sumusunod:

Ngayon pag-usapan natin pagbabago ng function . Ang mga pagbabago ay ginagawa

1. Sa kahabaan ng OY axis.

2. Sa parehong pagkakasunud-sunod kung saan ang mga aksyon ay ginanap.

Ito ang mga pagbabagong-anyo:

1. f(x)f(x)+D

2. Ilipat ito sa kahabaan ng OY axis ng |D| mga yunit

• pataas kung D>0
• pababa kung D<0

I-plot natin ang function

1. I-plot namin ang function

2. Ilipat ito sa kahabaan ng OY axis ng 2 units pataas:

2. f(x)Af(x)

1. Binabalangkas namin ang function na y=f(x)

2. Pina-multiply namin ang mga ordinate ng lahat ng punto ng graph sa A, iniiwan namin ang abscissas na hindi nagbabago.

I-plot natin ang function

1. I-graph ang function

2. Pina-multiply namin ang mga ordinate ng lahat ng punto ng graph sa 2:

3.f(x)-f(x)

1. Binabalangkas namin ang function na y=f(x)

I-plot natin ang function.

1. Bumubuo kami ng function graph.

2. Ipinapakita namin ito nang simetriko tungkol sa axis ng OX.

4. f(x)|f(x)|

1. Binabalangkas namin ang function na y=f(x)

2. Ang bahagi ng graph na matatagpuan sa itaas ng OX axis ay hindi nababago, ang bahagi ng graph na nasa ibaba ng OX axis ay ipinapakita nang simetriko tungkol sa axis na ito.

I-plot natin ang function

1. Bumubuo kami ng function graph. Nakukuha ito sa pamamagitan ng paglilipat ng graph ng function kasama ang OY axis ng 2 unit pababa:

2. Ngayon, ang bahagi ng graph na matatagpuan sa ibaba ng OX axis ay ipapakita nang simetriko na may kinalaman sa axis na ito:

At ang huling pagbabagong-anyo, na, mahigpit na pagsasalita, ay hindi matatawag na pagbabagong-anyo ng function, dahil ang resulta ng pagbabagong ito ay hindi na isang function:

|y|=f(x)

1. Binabalangkas namin ang function na y=f(x)

2. Binubura namin ang bahagi ng graph na matatagpuan sa ibaba ng axis ng OX, pagkatapos ay kinukumpleto namin ang bahagi ng graph na matatagpuan sa itaas ng axis ng OX nang simetriko tungkol sa axis na ito.

Bumuo tayo ng isang graph ng equation

1. Bumubuo kami ng function graph:

2. Binubura namin ang bahagi ng graph na matatagpuan sa ibaba ng axis ng OX:

3. Ang bahagi ng graph na matatagpuan sa itaas ng OX axis ay nakumpleto nang simetriko tungkol sa axis na ito.

At sa wakas, iminumungkahi kong panoorin mo ang VIDEO LESSON kung saan nagpapakita ako ng step-by-step na algorithm para sa pag-plot ng function graph

Ang graph ng function na ito ay ganito ang hitsura:

Alin sa mga function na ito ang may kabaligtaran? Para sa mga naturang function, hanapin ang mga inverse function:

4.12. a)	y=x;					b) y = 6 −3x;
d) y =						e) y \u003d 2 x 3 +5;
4.13. a)	y = 4x − 5 ;						y \u003d 9 - 2 x - x 2;
	y = sign x ;						y=1 + lg(x + 2) ;

	y = 2 x 2 +1 ;
			x − 2
						sa x< 0
c) y =		−x
						para sa x ≥ 0

Alamin kung alin sa mga function na ito ang monotonic, na mahigpit na monotonic, at alin ang may hangganan:

4.14. a)

f (x) = c, c R ;

b) f (x) \u003d cos 2 x;

c) f (x) \u003d arctg x;

d) f (x) \u003d e 2 x;

e) f (x) \u003d -x 2 + 2 x;

e) f(x) =

2x+5

y = ctg7 x .

4.15. a)

f(x) = 3− x

b) f(x) =

f(x)=

x + 3

x+6

x< 0,

3x+5

d) f (x) \u003d 3 x 3 - x;

− 10 ng

f(x)=

e) f(x) =

x 2 sa

x ≥ 0;

x+1

f(x) = tg(sinx).

4.2. elementarya na pag-andar. Pagbabago ng Function Graph

Alalahanin na ang graph ng function na f (x) sa Cartesian rectangular coordinate system na Oxy ay ang hanay ng lahat ng mga punto sa eroplano na may mga coordinate (x, f (x)).

Kadalasan ang graph ng function na y \u003d f (x) ay maaaring itayo gamit ang mga pagbabagong-anyo (shift, stretching) ng graph ng ilang kilalang function.

Sa partikular, mula sa graph ng function y \u003d f (x), nakuha ang graph ng function:

1) y \u003d f (x) + a - shift kasama ang Oy axis ng isang unit (pataas kung a > 0, at pababa kung a< 0 ;

2) y \u003d f (x − b) - shift sa kahabaan ng Ox axis ng b unit (sa kanan, kung b > 0,

at sa kaliwa kung b< 0 ;

3) y \u003d kf (x) - sa pamamagitan ng pag-uunat sa kahabaan ng axis ng Oy nang k beses;

4) y \u003d f (mx) - compression kasama ang Ox axis sa m beses;

5) y \u003d - f (x) - simetriko na pagmuni-muni tungkol sa axis Ox;

6) y \u003d f (−x) - simetriko na pagmuni-muni tungkol sa axis Oy;

7) y \u003d f (x), tulad ng sumusunod: ang bahagi ng graph ay hindi matatagpuan

sa ibaba ng axis ng Ox, ay nananatiling hindi nagbabago, at ang "ibaba" na bahagi ng graph ay ipinapakita nang simetriko tungkol sa axis ng Ox;

8) y = f (x ) , tulad ng sumusunod: ang kanang bahagi ng graph (para sa x ≥ 0 )

nananatiling hindi nagbabago, at sa halip na "kaliwa" ay binuo ang isang simetriko na pagmuni-muni ng "kanan" tungkol sa axis Oy.

Ang mga pangunahing pag-andar ng elementarya ay tinatawag na:

1) pare-pareho ang pag-andar y = c;

2) power function y = x α , α R ;

3) exponential function y \u003d a x, a ≠ 0, a ≠1;

4) logarithmic function y = log a x , a > 0, a ≠ 1 ;

5) trigonometriko functions y = sin x , y = cos x , y = tg x ,

y = ctg x , y = sec x (kung saan sec x = cos 1 x ), y = cosec x (kung saan cosec x = sin 1 x );

6) kabaligtaran na mga function ng trigonometriko y \u003d arcsin x, y \u003d arccos x, y \u003d arctg x, y \u003d arcctg x.

elementarya na mga pag-andar tinatawag na mga function na nakuha mula sa mga pangunahing elementarya na pag-andar sa tulong ng isang may hangganang bilang ng mga pagpapatakbo ng arithmetic (+, − , ÷) at mga komposisyon (i.e., ang pagbuo ng mga kumplikadong function f g ).

Halimbawa 4.6. I-plot ang isang function

1) y \u003d x 2 + 6 x + 7; 2) y = −2sin 4 x .

Solusyon: 1) sa pamamagitan ng pag-highlight sa buong square, ang function ay na-convert sa form na y = (x +3) 2 − 2, kaya ang graph ng function na ito ay maaaring makuha mula sa graph ng function na y = x 2 . Ito ay sapat na upang unang ilipat ang parabola y \u003d x 2 tatlong mga yunit sa kaliwa (nakukuha namin ang graph ng function na y \u003d (x +3) 2), at pagkatapos ay dalawang yunit pababa (Larawan 4.1);

	pamantayan	sinusoid						y = kasalanan x	apat na beses sa kahabaan ng axis		baka,
nakukuha namin ang graph ng function y \u003d sin 4 x (Fig. 4.2).
										y=sin4x
										y=sin x

Ang pag-stretch ng nagresultang graph nang dalawang beses sa kahabaan ng Oy axis, nakuha namin ang graph ng function na y \u003d 2sin 4 x (Larawan 4.3). Nananatili itong sumasalamin sa huling graph na nauugnay sa axis ng Ox. Ang magiging resulta ay ang gustong graph (tingnan ang Fig. 4.3).

						y=2sin4x

y=–2sin4x

Mga gawain para sa malayang solusyon

Bumuo ng mga graph ng mga sumusunod na function, batay sa mga graph ng pangunahing elementary function:

4.16. a) y \u003d x 2 -6 x +11;

4.17. a) y = −2sin(x −π );

4.18. a) y = − 4 x −1 ;

4.19. a) y = log 2 (−x );

4.20. a) y = x +5 ;

4.21. a) y \u003d tg x;

4.22. a) y = tanda x ;

4.23. a) y = x x + + 4 2 ;

y = 3 - 2 x - x 2 .

y = 2 cos 2 x .

Depende sa mga kondisyon ng kurso ng mga pisikal na proseso, ang ilang mga dami ay tumatagal ng mga pare-parehong halaga at tinatawag na mga pare-pareho, ang iba ay nagbabago sa ilalim ng ilang mga kundisyon at tinatawag na mga variable.

Ang isang maingat na pag-aaral ng kapaligiran ay nagpapakita na ang mga pisikal na dami ay nakasalalay sa isa't isa, ibig sabihin, ang pagbabago sa ilang dami ay nangangailangan ng pagbabago sa iba.

Ang pagsusuri sa matematika ay pinag-aaralan ang quantitative na mga relasyon ng magkaparehong pagbabago ng mga dami, na nag-abstract mula sa tiyak na pisikal na kahulugan. Ang isa sa mga pangunahing konsepto ng pagsusuri sa matematika ay ang konsepto ng isang function.

Isaalang-alang ang mga elemento ng set at ang mga elemento ng set
(Larawan 3.1).

Kung ang ilang mga sulat ay itinatag sa pagitan ng mga elemento ng mga set
at bilang panuntunan , pagkatapos ay tandaan namin na ang function ay tinukoy
.

Kahulugan 3.1. Pagkakasundo , na nauugnay sa bawat elemento hindi isang bakanteng set
ilang mahusay na tinukoy na elemento hindi isang bakanteng set , ay tinatawag na function o pagmamapa
sa .

Simbolikong ipinapakita
sa ay nakasulat tulad ng sumusunod:

.

Kasabay nito, marami
ay tinatawag na domain ng function at ay denoted
.

Sa turn, marami ay tinatawag na hanay ng pag-andar at ipinapahiwatig
.

Bilang karagdagan, dapat tandaan na ang mga elemento ng set
ay tinatawag na mga independent variable, ang mga elemento ng set tinatawag na dependent variables.

Mga paraan upang magtakda ng isang function

Maaaring tukuyin ang function sa mga sumusunod na pangunahing paraan: tabular, graphical, analytical.

Kung, sa batayan ng pang-eksperimentong data, ang mga talahanayan ay pinagsama-sama na naglalaman ng mga halaga ng function at ang kaukulang mga halaga ng argumento, kung gayon ang pamamaraang ito ng pagtukoy ng function ay tinatawag na tabular.

Kasabay nito, kung ang ilang mga pag-aaral ng resulta ng eksperimento ay output sa registrar (oscilloscope, recorder, atbp.), pagkatapos ay nabanggit na ang function ay nakatakda nang graphical.

Ang pinakakaraniwan ay ang analytical na paraan ng pagtukoy sa isang function, i.e. isang paraan kung saan ang isang pormula ay ginagamit upang iugnay ang mga independyente at umaasa na mga variable. Sa kasong ito, ang domain ng kahulugan ng function ay gumaganap ng isang mahalagang papel:

magkaiba, kahit na ang mga ito ay ibinibigay ng parehong analytical na relasyon.

Kung ibinigay lamang ang formula ng function
, pagkatapos ay isinasaalang-alang namin na ang domain ng kahulugan ng function na ito ay tumutugma sa hanay ng mga halagang iyon ng variable , kung saan ang expression
may kahulugan. Sa pagsasaalang-alang na ito, ang problema sa paghahanap ng domain ng isang function ay gumaganap ng isang espesyal na papel.

Gawain 3.1. Hanapin ang saklaw ng isang function

Desisyon

Ang unang termino ay tumatagal ng mga tunay na halaga sa
, at ang pangalawa sa. Kaya, upang mahanap ang domain ng kahulugan ng isang naibigay na function, kinakailangan upang malutas ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay:

Bilang resulta ng solusyon ng naturang sistema, nakukuha namin ang . Samakatuwid, ang domain ng function ay ang segment
.

Ang pinakasimpleng pagbabago ng mga graph ng mga function

Ang pagbuo ng mga graph ng mga function ay maaaring lubos na pinasimple kung gagamitin natin ang mga kilalang graph ng mga pangunahing elementarya na function. Ang mga sumusunod na function ay tinatawag na basic elementary functions:

1) kapangyarihan function
saan
;

2) exponential function
saan
at
;

3) logarithmic function
, saan - anumang positibong numero maliban sa isa:
at
;

4) trigonometriko function




;
.

5) kabaligtaran trigonometriko function
;
;
;
.

Ang mga elementary function ay tinatawag na function na nakukuha mula sa basic elementary functions gamit ang apat na arithmetic operations at superpositions na inilapat sa isang tiyak na bilang ng beses.

Ang mga simpleng geometric na pagbabagong-anyo ay nagpapasimple rin sa proseso ng pag-plot ng mga function. Ang mga pagbabagong ito ay batay sa mga sumusunod na pahayag:

Ang graph ng function na y=f(x+a) ay ang graph na y=f(x), inilipat (para sa isang >0 sa kaliwa, para sa isang< 0 вправо) на |a| единиц параллельно осиOx.

Ang graph ng function na y=f(x) +b ay may mga graph na y=f(x), inilipat (kung b>0 pataas, kung b< 0 вниз) на |b| единиц параллельно осиOy.

Ang graph ng function na y = mf(x) (m0) ay ang graph na y = f(x), stretch (para sa m>1) m beses o compressed (para sa 0

Ang graph ng function na y = f(kx) ay ang graph na y = f(x), compressed (para sa k > 1) k beses o stretch (para sa 0< k < 1) вдоль оси Ox. При –< k < 0 график функции y = f(kx) есть зеркальное отображение графика y = f(–kx) от оси Oy.