Kapag nag-solve ng marami mga problema sa matematika, lalo na ang mga nangyari bago ang grade 10, ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na isinagawa na hahantong sa layunin ay malinaw na tinukoy. Kabilang sa mga naturang problema, halimbawa, ang mga linear at quadratic na equation, linear at quadratic inequalities, fractional equation, at mga equation na bumababa sa mga quadratic. Ang prinsipyo ng matagumpay na solusyon ng bawat isa sa mga nabanggit na gawain ay ang mga sumusunod: kinakailangan upang maitatag kung anong uri ng gawain ang nalutas, tandaan ang kinakailangang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na hahantong sa nais na resulta, i.e. sagutin at sundin ang mga hakbang na ito.

Malinaw, ang tagumpay o kabiguan sa paglutas ng isang partikular na problema ay higit sa lahat ay nakasalalay sa kung gaano katama ang uri ng equation na nalutas, kung gaano katama ang pagkakasunud-sunod ng lahat ng mga yugto ng solusyon nito ay muling ginawa. Siyempre, sa kasong ito, kinakailangan na magkaroon ng mga kasanayan upang maisagawa ang magkatulad na mga pagbabago at kalkulasyon.

Iba't ibang sitwasyon ang nangyayari sa trigonometriko equation. Hindi mahirap itatag ang katotohanan na ang equation ay trigonometric. Ang mga paghihirap ay lumitaw kapag tinutukoy ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na hahantong sa tamang sagot.

Minsan mahirap matukoy ang uri nito sa pamamagitan ng hitsura ng isang equation. At nang hindi nalalaman ang uri ng equation, halos imposibleng pumili ng tama mula sa ilang dosenang mga formula ng trigonometriko.

Upang malutas ang trigonometric equation, dapat nating subukan:

1. dalhin ang lahat ng mga function na kasama sa equation sa "parehong anggulo";
2. dalhin ang equation sa "parehong mga function";
3. i-factor ang kaliwang bahagi ng equation, atbp.

Isipin mo mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko.

I. Pagbawas sa pinakasimpleng trigonometric equation

Skema ng solusyon

Hakbang 1. Ipahayag ang trigonometric function sa mga tuntunin ng mga kilalang bahagi.

Hakbang 2 Maghanap ng argumento ng function gamit ang mga formula:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

kasalanan x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Hakbang 3 Maghanap ng hindi kilalang variable.

Halimbawa.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Desisyon.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Sagot: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Pagpapalit ng variable

Skema ng solusyon

Hakbang 1. Dalhin ang equation sa isang algebraic form na may paggalang sa isa sa mga trigonometric function.

Hakbang 2 Tukuyin ang resultang function ng variable na t (kung kinakailangan, ipakilala ang mga paghihigpit sa t).

Hakbang 3 Isulat at lutasin ang resultang algebraic equation.

Hakbang 4 Gumawa ng reverse substitution.

Hakbang 5 Lutasin ang pinakasimpleng trigonometric equation.

Halimbawa.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Desisyon.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Hayaan ang kasalanan (x/2) = t, kung saan |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 o e = -3/2 ay hindi nakakatugon sa kondisyon |t| ≤ 1.

4) kasalanan (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Sagot: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Paraan ng pagbabawas ng pagkakasunud-sunod ng equation

Skema ng solusyon

Hakbang 1. Palitan ang equation na ito ng isang linear gamit ang mga formula ng pagbabawas ng kapangyarihan:

kasalanan 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Hakbang 2 Lutasin ang resultang equation gamit ang mga pamamaraan I at II.

Halimbawa.

cos2x + cos2x = 5/4.

Desisyon.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Sagot: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Mga homogenous na equation

Skema ng solusyon

Hakbang 1. Dalhin ang equation na ito sa form

a) a sin x + b cos x = 0 (homogeneous equation ng unang degree)

o sa view

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (homogeneous equation ng pangalawang degree).

Hakbang 2 Hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

at kunin ang equation para sa tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Hakbang 3 Lutasin ang equation gamit ang mga kilalang pamamaraan.

Halimbawa.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Desisyon.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Hayaan ang tg x = t, pagkatapos

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 o t = -4, kaya

tg x = 1 o tg x = -4.

Mula sa unang equation x = π/4 + πn, n Є Z; mula sa pangalawang equation x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Sagot: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Paraan para sa pagbabago ng isang equation gamit ang mga trigonometric formula

Skema ng solusyon

Hakbang 1. Gamit ang lahat ng uri ng trigonometric formula, dalhin ang equation na ito sa isang equation na maaaring malutas sa pamamagitan ng mga pamamaraan I, II, III, IV.

Hakbang 2 Lutasin ang resultang equation gamit ang mga kilalang pamamaraan.

Halimbawa.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Desisyon.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) kasalanan 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 o 2cos x + 1 = 0;

Mula sa unang equation 2x = π/2 + πn, n Є Z; mula sa pangalawang equation cos x = -1/2.

Mayroon kaming x = π/4 + πn/2, n Є Z; mula sa pangalawang equation x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Bilang resulta, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Sagot: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Ang kakayahan at kasanayan upang malutas ang mga trigonometric equation ay napaka mahalaga, ang kanilang pag-unlad ay nangangailangan ng malaking pagsisikap, kapwa sa bahagi ng mag-aaral at ng guro.

Maraming problema ng stereometry, physics, atbp. ang nauugnay sa solusyon ng mga trigonometric equation. Ang proseso ng paglutas ng mga naturang problema, kumbaga, ay naglalaman ng maraming kaalaman at kasanayan na nakukuha kapag pinag-aaralan ang mga elemento ng trigonometry.

Ang mga equation ng trigonometric ay sumasakop sa isang mahalagang lugar sa proseso ng pagtuturo ng matematika at pag-unlad ng personalidad sa pangkalahatan.

May tanong ka ba? Hindi mo alam kung paano lutasin ang mga equation ng trigonometriko?
Upang makakuha ng tulong mula sa isang tagapagturo -.
Ang unang aralin ay libre!

blog.site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kailangan ng link sa pinagmulan.

Kasama sa video course na "Kumuha ng A" ang lahat ng mga paksang kailangan para sa matagumpay na pagpasa ng pagsusulit sa matematika sa pamamagitan ng 60-65 puntos. Ganap ang lahat ng mga gawain 1-13 ng Profile USE sa matematika. Angkop din para sa pagpasa sa Basic USE sa matematika. Kung gusto mong pumasa sa pagsusulit na may 90-100 puntos, kailangan mong lutasin ang bahagi 1 sa loob ng 30 minuto at walang pagkakamali!

Paghahanda ng kurso para sa pagsusulit para sa mga baitang 10-11, pati na rin para sa mga guro. Lahat ng kailangan mo upang malutas ang bahagi 1 ng pagsusulit sa matematika (ang unang 12 problema) at problema 13 (trigonometry). At ito ay higit sa 70 puntos sa Unified State Examination, at hindi magagawa ng isang daang puntos na mag-aaral o isang humanist kung wala sila.

Lahat ng kinakailangang teorya. Mabilis na solusyon, bitag at sikreto ng pagsusulit. Ang lahat ng nauugnay na gawain ng bahagi 1 mula sa mga gawain ng Bank of FIPI ay nasuri. Ang kurso ay ganap na sumusunod sa mga kinakailangan ng USE-2018.

Ang kurso ay naglalaman ng 5 malalaking paksa, 2.5 oras bawat isa. Ang bawat paksa ay ibinigay mula sa simula, simple at malinaw.

Daan-daang mga gawain sa pagsusulit. Mga problema sa teksto at teorya ng posibilidad. Simple at madaling matandaan ang mga algorithm sa paglutas ng problema. Geometry. Teorya, sangguniang materyal, pagsusuri ng lahat ng uri ng mga gawain sa PAGGAMIT. Stereometry. Mga tusong trick para sa paglutas, kapaki-pakinabang na mga cheat sheet, pagbuo ng spatial na imahinasyon. Trigonometry mula sa simula - hanggang sa gawain 13. Pag-unawa sa halip na pag-cramming. Visual na pagpapaliwanag ng mga kumplikadong konsepto. Algebra. Mga ugat, kapangyarihan at logarithms, function at derivative. Base para sa paglutas ng mga kumplikadong problema ng ika-2 bahagi ng pagsusulit.

Solusyon ng pinakasimpleng trigonometric equation.

Ang solusyon ng trigonometriko equation ng anumang antas ng pagiging kumplikado sa huli ay bumababa sa paglutas ng pinakasimpleng trigonometric equation. At dito, ang trigonometriko na bilog muli ay naging pinakamahusay na katulong.

Alalahanin ang mga kahulugan ng cosine at sine.

Ang cosine ng isang anggulo ay ang abscissa (iyon ay, ang coordinate sa kahabaan ng axis) ng isang punto sa unit circle na tumutugma sa pag-ikot ng isang naibigay na anggulo.

Ang sine ng isang anggulo ay ang ordinate (iyon ay, ang coordinate sa kahabaan ng axis) ng isang punto sa bilog ng yunit na tumutugma sa pag-ikot sa isang naibigay na anggulo.

Ang positibong direksyon ng paggalaw sa kahabaan ng trigonometric na bilog ay itinuturing na counterclockwise. Ang pag-ikot ng 0 degrees (o 0 radians) ay tumutugma sa isang puntong may mga coordinate (1; 0)

Ginagamit namin ang mga kahulugang ito upang malutas ang pinakasimpleng mga equation ng trigonometriko.

1. Lutasin ang equation

Ang equation na ito ay nasiyahan sa lahat ng naturang mga halaga ng anggulo ng pag-ikot, na tumutugma sa mga punto ng bilog, ang ordinate nito ay katumbas ng .

Markahan natin ang isang punto ng ordinate sa y-axis:

Gumuhit ng pahalang na linya parallel sa x-axis hanggang sa mag-intersect ito sa bilog. Makakakuha tayo ng dalawang puntos na nakahiga sa isang bilog at may ordinate. Ang mga puntong ito ay tumutugma sa mga anggulo ng pag-ikot ng at mga radian:

Kung tayo, na iniwan ang punto na tumutugma sa anggulo ng pag-ikot sa bawat radian, ay lumibot sa isang buong bilog, pagkatapos ay darating tayo sa isang punto na tumutugma sa anggulo ng pag-ikot bawat radian at pagkakaroon ng parehong ordinate. Ibig sabihin, ang anggulo ng pag-ikot na ito ay nakakatugon din sa ating equation. Maaari tayong gumawa ng maraming "idle" na mga pagliko hangga't gusto natin, bumalik sa parehong punto, at lahat ng mga halaga ng anggulo na ito ay masisiyahan ang ating equation. Ang bilang ng mga "idle" na rebolusyon ay tinutukoy ng titik (o). Dahil maaari nating gawin ang mga rebolusyong ito sa parehong positibo at negatibong direksyon, (o ) maaaring tumagal sa anumang mga halaga ng integer.

Iyon ay, ang unang serye ng mga solusyon sa orihinal na equation ay may anyo:

, , - set ng mga integer (1)

Katulad nito, ang pangalawang serye ng mga solusyon ay may anyo:

, saan , . (2)

Tulad ng iyong nahulaan, ang seryeng ito ng mga solusyon ay batay sa punto ng bilog na tumutugma sa anggulo ng pag-ikot ng .

Ang dalawang serye ng mga solusyon na ito ay maaaring pagsamahin sa isang entry:

Kung kukunin natin ang entry na ito (iyon ay, kahit), pagkatapos ay makukuha natin ang unang serye ng mga solusyon.

Kung kukunin natin ang entry na ito (iyon ay, kakaiba), pagkatapos ay makukuha natin ang pangalawang serye ng mga solusyon.

2. Ngayon, lutasin natin ang equation

Dahil ang abscissa ng punto ng bilog na yunit ay nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot sa anggulo, minarkahan namin sa axis ang isang punto na may abscissa :

Gumuhit ng patayong linya parallel sa axis hanggang sa mag-intersect ito sa bilog. Makakakuha tayo ng dalawang puntos na nakahiga sa isang bilog at pagkakaroon ng abscissa. Ang mga puntong ito ay tumutugma sa mga anggulo ng pag-ikot ng at mga radian. Alalahanin na kapag gumagalaw nang pakanan, nakakakuha tayo ng negatibong anggulo ng pag-ikot:

Isinulat namin ang dalawang serye ng mga solusyon:

,

,

(Nakarating tayo sa tamang punto sa pamamagitan ng pagpasa mula sa pangunahing buong bilog, iyon ay.

Pagsamahin natin ang dalawang seryeng ito sa isang post:

3. Lutasin ang equation

Ang linya ng mga tangent ay dumadaan sa punto na may mga coordinate (1,0) ng unit circle na kahanay sa OY axis

Markahan ang isang punto dito na may ordinate na katumbas ng 1 (hinahanap namin ang tangent kung saan ang mga anggulo ay 1):

Ikonekta ang puntong ito sa pinanggalingan gamit ang isang tuwid na linya at markahan ang mga punto ng intersection ng linya sa bilog ng yunit. Ang mga punto ng intersection ng linya at ng bilog ay tumutugma sa mga anggulo ng pag-ikot sa at :

Dahil ang mga puntos na tumutugma sa mga anggulo ng pag-ikot na nagbibigay-kasiyahan sa aming equation ay nasa pagitan ng mga radian, maaari naming isulat ang solusyon tulad ng sumusunod:

4. Lutasin ang equation

Ang linya ng mga cotangent ay dumadaan sa punto na may mga coordinate ng unit circle na kahanay sa axis.

Minarkahan namin ang isang punto na may abscissa -1 sa linya ng mga cotangent:

Ikonekta ang puntong ito sa pinanggalingan ng tuwid na linya at ipagpatuloy ito hanggang sa mag-intersect ito sa bilog. Ang linyang ito ay mag-intersect sa bilog sa mga puntong tumutugma sa mga anggulo ng pag-ikot ng at radians:

Dahil ang mga puntong ito ay pinaghihiwalay mula sa isa't isa sa pamamagitan ng isang distansya na katumbas ng , kung gayon maaari nating isulat ang pangkalahatang solusyon ng equation na ito tulad ng sumusunod:

Sa ibinigay na mga halimbawa, na naglalarawan ng solusyon ng pinakasimpleng mga equation ng trigonometriko, ginamit ang mga tabular na halaga ng mga function ng trigonometriko.

Gayunpaman, kung mayroong isang hindi talahanayan na halaga sa kanang bahagi ng equation, pagkatapos ay papalitan namin ang halaga sa pangkalahatang solusyon ng equation:

MGA ESPESYAL NA SOLUSYON:

Markahan ang mga punto sa bilog na ang ordinate ay 0:

Markahan ang isang punto sa bilog, ang ordinate nito ay katumbas ng 1:

Markahan ang isang punto sa bilog, ang ordinate nito ay katumbas ng -1:

Dahil kaugalian na ipahiwatig ang mga halaga na pinakamalapit sa zero, isinusulat namin ang solusyon tulad ng sumusunod:

Markahan ang mga punto sa bilog, na ang abscissa ay 0:

5.
Markahan natin ang isang punto sa bilog, na ang abscissa ay katumbas ng 1:

Markahan ang isang punto sa bilog, na ang abscissa ay katumbas ng -1:

At ilang mas kumplikadong mga halimbawa:

1.

Ang sine ay isa kung ang argumento ay

Ang argumento ng ating sine ay , kaya nakuha natin:

Hatiin ang magkabilang panig ng equation ng 3:

Sagot:

2.

Ang cosine ay zero kung ang cosine argument ay

Ang argumento ng aming cosine ay , kaya nakuha namin:

Ipinapahayag namin , para dito lumipat muna kami sa kanan na may kabaligtaran na palatandaan:

Pasimplehin ang kanang bahagi:

Hatiin ang parehong bahagi ng -2:

Tandaan na ang tanda bago ang termino ay hindi nagbabago, dahil ang k ay maaaring kumuha ng anumang mga halaga ng integer.

Sagot:

At sa konklusyon, panoorin ang video tutorial na "Pagpili ng mga ugat sa isang trigonometric equation gamit ang isang trigonometric circle"

Ito ay nagtatapos sa pag-uusap tungkol sa paglutas ng pinakasimpleng trigonometriko equation. Sa susunod ay pag-usapan natin kung paano i-solve.

Aralin at pagtatanghal sa paksa: "Solusyon ng pinakasimpleng trigonometric equation"

Mga karagdagang materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, puna, mungkahi! Ang lahat ng mga materyales ay sinuri ng isang antivirus program.

Mga manual at simulator sa online na tindahan na "Integral" para sa grade 10 mula 1C
Niresolba namin ang mga problema sa geometry. Mga interactive na gawain para sa pagbuo sa espasyo
Kapaligiran ng software "1C: Mathematical constructor 6.1"

Ano ang ating pag-aaralan:
1. Ano ang mga trigonometric equation?

3. Dalawang pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga trigonometrikong equation.
4. Mga homogenous na trigonometric equation.
5. Mga halimbawa.

Ano ang mga trigonometric equation?

Guys, napag-aralan na natin ang arcsine, arccosine, arctangent at arccotangent. Ngayon tingnan natin ang mga trigonometric equation sa pangkalahatan.

Trigonometric equation - mga equation kung saan ang variable ay nakapaloob sa ilalim ng sign ng trigonometric function.

Inuulit namin ang anyo ng paglutas ng pinakasimpleng mga equation ng trigonometriko:

1) Kung |а|≤ 1, ang equation na cos(x) = a ay may solusyon:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Kung |а|≤ 1, kung gayon ang equation na sin(x) = a ay may solusyon:

3) Kung |a| > 1, kung gayon ang equation na sin(x) = a at cos(x) = a ay walang mga solusyon 4) Ang equation na tg(x)=a ay may solusyon: x=arctg(a)+ πk

5) Ang equation na ctg(x)=a ay may solusyon: x=arcctg(a)+ πk

Para sa lahat ng mga formula, ang k ay isang integer

Ang pinakasimpleng trigonometriko equation ay may anyo: Т(kx+m)=a, T- anumang trigonometriko function.

Halimbawa.

Lutasin ang mga equation: a) sin(3x)= √3/2

Desisyon:

A) Tukuyin natin ang 3x=t, pagkatapos ay muling isusulat natin ang ating equation sa anyo:

Ang solusyon sa equation na ito ay magiging: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Mula sa talahanayan ng mga halaga ay nakukuha natin: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Bumalik tayo sa ating variable: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Pagkatapos x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Sagot: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, kung saan ang n ay isang integer. (-1)^n - minus one sa kapangyarihan ng n.

Higit pang mga halimbawa ng trigonometric equation.

Lutasin ang mga equation: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Desisyon:

A) Sa pagkakataong ito, diretso tayo sa pagkalkula ng mga ugat ng equation kaagad:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Pagkatapos x/5= πk => x=5πk

Sagot: x=5πk, kung saan ang k ay isang integer.

B) Sumulat tayo sa anyong: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Alam namin na: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Sagot: x=2π/9 + πk/3, kung saan ang k ay isang integer.

Lutasin ang mga equation: cos(4x)= √2/2. At hanapin ang lahat ng mga ugat sa segment.

Desisyon:

Lutasin natin ang ating equation sa pangkalahatang anyo: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Ngayon tingnan natin kung anong mga ugat ang nahuhulog sa ating segment. Para sa k Para sa k=0, x= π/16, tayo ay nasa ibinigay na segment .
Sa k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, muli silang tumama.
Para sa k=2, x= π/16+ π=17π/16, ngunit dito hindi kami tumama, ibig sabihin, hindi rin kami tatama para sa malaking k.

Sagot: x= π/16, x= 9π/16

Dalawang pangunahing paraan ng solusyon.

Isinaalang-alang namin ang pinakasimpleng mga equation ng trigonometriko, ngunit may mga mas kumplikado. Upang malutas ang mga ito, ang paraan ng pagpapakilala ng isang bagong variable at ang paraan ng factorization ay ginagamit. Tingnan natin ang mga halimbawa.

Lutasin natin ang equation:

Desisyon:
Upang malutas ang aming equation, ginagamit namin ang paraan ng pagpapakilala ng isang bagong variable, na tinutukoy: t=tg(x).

Bilang resulta ng pagpapalit, nakukuha natin ang: t 2 + 2t -1 = 0

Hanapin ang mga ugat ng quadratic equation: t=-1 at t=1/3

Pagkatapos tg(x)=-1 at tg(x)=1/3, nakuha namin ang pinakasimpleng trigonometric equation, hanapin natin ang mga ugat nito.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Sagot: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Isang halimbawa ng paglutas ng isang equation

Lutasin ang mga equation: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Desisyon:

Gamitin natin ang pagkakakilanlan: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Ang aming equation ay nagiging: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Ipakilala natin ang kapalit na t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Ang solusyon sa ating quadratic equation ay ang mga ugat: t=2 at t=-1/2

Pagkatapos cos(x)=2 at cos(x)=-1/2.

kasi Ang cosine ay hindi maaaring kumuha ng mga halaga na higit sa isa, pagkatapos ay ang cos(x)=2 ay walang mga ugat.

Para sa cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Sagot: x= ±2π/3 + 2πk

Mga homogenous na trigonometric equation.

Kahulugan: Ang isang equation ng anyong sin(x)+b cos(x) ay tinatawag na homogenous na trigonometric equation ng unang degree.

Mga equation ng form

homogenous na trigonometric equation ng pangalawang degree.

Upang malutas ang isang homogenous na trigonometric equation ng unang degree, hinati namin ito sa cos(x): Imposibleng hatiin sa cosine kung ito ay katumbas ng zero, tiyakin natin na hindi ganito:
Hayaan ang cos(x)=0, pagkatapos asin(x)+0=0 => sin(x)=0, ngunit ang sine at cosine ay hindi katumbas ng zero sa parehong oras, nakakuha tayo ng kontradiksyon, upang ligtas nating hatiin sa pamamagitan ng zero.

Lutasin ang equation:
Halimbawa: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Desisyon:

Alisin ang karaniwang salik: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Pagkatapos ay kailangan nating lutasin ang dalawang equation:

cos(x)=0 at cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 para sa x= π/2 + πk;

Isaalang-alang ang equation cos(x)+sin(x)=0 Hatiin ang aming equation sa cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Sagot: x= π/2 + πk at x= -π/4+πk

Paano malutas ang homogenous na trigonometric equation ng pangalawang degree?
Guys, manatili sa mga patakarang ito palagi!

1. Tingnan kung ano ang katumbas ng coefficient a, kung ang isang \u003d 0 kung gayon ang aming equation ay kukuha ng anyo na cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), isang halimbawa ng solusyon kung saan ay nasa naunang slide

2. Kung a≠0, kailangan mong hatiin ang parehong bahagi ng equation sa pamamagitan ng squared cosine, nakukuha natin ang:

Ginagawa namin ang pagbabago ng variable t=tg(x) nakukuha namin ang equation:

Lutasin ang Halimbawa #:3

Lutasin ang equation:
Desisyon:

Hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng cosine square:

Gumagawa kami ng pagbabago ng variable t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Hanapin ang mga ugat ng quadratic equation: t=-3 at t=1

Pagkatapos: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Sagot: x=-arctg(3) + πk at x= π/4+ πk

Lutasin ang Halimbawa #:4

Lutasin ang equation:

Desisyon:
Ibahin natin ang ating ekspresyon:

Maaari nating lutasin ang mga naturang equation: x= - π/4 + 2πk at x=5π/4 + 2πk

Sagot: x= - π/4 + 2πk at x=5π/4 + 2πk

Lutasin ang Halimbawa #:5

Lutasin ang equation:

Desisyon:
Ibahin natin ang ating ekspresyon:

Ipinakilala namin ang kapalit na tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Ang solusyon sa ating quadratic equation ay ang mga ugat: t=-2 at t=1/2

Pagkatapos ay makukuha natin ang: tg(2x)=-2 at tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Sagot: x=-arctg(2)/2 + πk/2 at x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Mga gawain para sa malayang solusyon.

1) Lutasin ang equation

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0.5x) = -1.7

2) Lutasin ang mga equation: sin(3x)= √3/2. At hanapin ang lahat ng mga ugat sa segment [π/2; π].

3) Lutasin ang equation: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Lutasin ang equation: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Lutasin ang equation: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Lutasin ang equation: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Ang konsepto ng paglutas ng mga trigonometric equation.

• Upang malutas ang isang trigonometric equation, i-convert ito sa isa o higit pang mga pangunahing trigonometric equation. Ang paglutas ng trigonometric equation sa huli ay bumababa sa paglutas ng apat na pangunahing trigonometric equation.

Solusyon ng mga pangunahing trigonometric equation.

• Mayroong 4 na uri ng mga pangunahing trigonometric equation:
• kasalanan x = a; cos x = a
• tan x = a; ctg x = a
• Ang paglutas ng mga pangunahing trigonometric equation ay kinabibilangan ng pagtingin sa iba't ibang x na posisyon sa unit circle, pati na rin ang paggamit ng conversion table (o calculator).
• Halimbawa 1. sin x = 0.866. Gamit ang talahanayan ng conversion (o calculator), makukuha mo ang sagot: x = π/3. Ang bilog ng yunit ay nagbibigay ng isa pang sagot: 2π/3. Tandaan: ang lahat ng mga function ng trigonometriko ay pana-panahon, iyon ay, ang kanilang mga halaga ay paulit-ulit. Halimbawa, ang periodicity ng sin x at cos x ay 2πn, at ang periodicity ng tg x at ctg x ay πn. Kaya ang sagot ay nakasulat tulad nito:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Halimbawa 2 cos x = -1/2. Gamit ang talahanayan ng conversion (o calculator), makukuha mo ang sagot: x = 2π/3. Ang bilog ng yunit ay nagbibigay ng isa pang sagot: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Halimbawa 3. tg (x - π/4) = 0.
• Sagot: x \u003d π / 4 + πn.
• Halimbawa 4. ctg 2x = 1.732.
• Sagot: x \u003d π / 12 + πn.

Mga pagbabagong ginamit sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko.

• Upang baguhin ang mga equation ng trigonometriko, ginagamit ang mga pagbabagong algebraic (factorization, pagbabawas ng mga homogenous na termino, atbp.) at mga pagkakakilanlang trigonometriko.
• Halimbawa 5. Gamit ang mga trigonometrikong pagkakakilanlan, ang equation na sin x + sin 2x + sin 3x = 0 ay na-convert sa equation na 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Kaya, ang mga sumusunod na pangunahing trigonometric equation kailangang lutasin: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Paghahanap ng mga anggulo mula sa mga kilalang halaga ng mga function.

  • Bago matutunan kung paano lutasin ang mga trigonometric equation, kailangan mong matutunan kung paano maghanap ng mga anggulo mula sa mga kilalang halaga ng mga function. Magagawa ito gamit ang isang talahanayan ng conversion o calculator.
  • Halimbawa: cos x = 0.732. Ibibigay ng calculator ang sagot na x = 42.95 degrees. Ang bilog ng yunit ay magbibigay ng karagdagang mga anggulo, ang cosine nito ay katumbas din ng 0.732.

• Itabi ang solusyon sa bilog ng yunit.

  • Maaari kang maglagay ng mga solusyon sa trigonometric equation sa unit circle. Ang mga solusyon ng trigonometric equation sa unit circle ay ang vertices ng isang regular na polygon.
  • Halimbawa: Ang mga solusyon na x = π/3 + πn/2 sa bilog ng yunit ay ang mga vertices ng parisukat.
  • Halimbawa: Ang mga solusyon na x = π/4 + πn/3 sa unit circle ay ang mga vertices ng isang regular na hexagon.

• Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko.

  • Kung ang ibinigay na trigonometric equation ay naglalaman lamang ng isang trigonometric function, lutasin ang equation na ito bilang isang basic trigonometric equation. Kung ang equation na ito ay may kasamang dalawa o higit pang trigonometriko na pag-andar, kung gayon mayroong 2 mga pamamaraan para sa paglutas ng naturang equation (depende sa posibilidad ng pagbabago nito).
    • Paraan 1
  • Ibahin ang equation na ito sa isang equation ng anyo: f(x)*g(x)*h(x) = 0, kung saan ang f(x), g(x), h(x) ay ang mga pangunahing trigonometric equation.
  • Halimbawa 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Desisyon. Gamit ang double angle formula sin 2x = 2*sin x*cos x, palitan ang sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Ngayon lutasin ang dalawang pangunahing trigonometric equation: cos x = 0 at (sin x + 1) = 0.
  • Halimbawa 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Solusyon: Gamit ang mga trigonometrikong pagkakakilanlan, ibahin ang equation na ito sa isang equation ng anyo: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Ngayon ay lutasin ang dalawang pangunahing trigonometric equation: cos 2x = 0 at (2cos x + 1) = 0.
  • Halimbawa 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
  • Solusyon: Gamit ang mga trigonometrikong pagkakakilanlan, ibahin ang equation na ito sa isang equation ng anyo: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Ngayon ay lutasin ang dalawang pangunahing trigonometriko equation: cos 2x = 0 at (2sin x + 1) = 0.
    • Paraan 2
  • I-convert ang ibinigay na trigonometric equation sa isang equation na naglalaman lamang ng isang trigonometric function. Pagkatapos ay palitan ang trigonometrikong function na ito ng ilang hindi alam, halimbawa, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t, atbp.).
  • Halimbawa 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Desisyon. Sa equation na ito, palitan ang (cos^2 x) ng (1 - sin^2 x) (ayon sa pagkakakilanlan). Ang binagong equation ay ganito ang hitsura:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Palitan ang sin x ng t. Ngayon ang equation ay mukhang: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Ito ay isang quadratic equation na may dalawang ugat: t1 = -1 at t2 = 9/5. Ang pangalawang ugat na t2 ay hindi nakakatugon sa hanay ng function (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Halimbawa 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Desisyon. Palitan ang tg x ng t. Isulat muli ang orihinal na equation tulad ng sumusunod: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Ngayon hanapin ang t at pagkatapos ay hanapin ang x para sa t = tg x.