Hayaang sabay na lumahok ang punto sa dalawang harmonic oscillations ng parehong panahon, na nakadirekta sa isang tuwid na linya.

Ang pagdaragdag ng mga oscillations ay isasagawa sa pamamagitan ng paraan ng mga diagram ng vector (Larawan 2.2). Hayaang ang mga oscillations ay ibigay ng mga equation

at

(2.2.1)

Itabi sa punto O isang vector sa isang anggulo φ 1 sa reference na linya at isang vector sa isang anggulo φ 2 . Ang parehong mga vector ay umiikot nang pakaliwa na may parehong angular na bilis ω, kaya ang kanilang pagkakaiba sa phase ay hindi nakasalalay sa oras (). Ang ganitong mga vibrations ay tinatawag na magkakaugnay.

Alam namin na ang kabuuang projection ng isang vector ay katumbas ng kabuuan ng mga projection sa parehong axis. Samakatuwid, ang nagresultang oscillation ay maaaring kinakatawan ng isang amplitude vector na umiikot sa paligid ng punto O na may parehong angular velocity ω bilang , at . Ang resultang oscillation ay dapat ding harmonic sa frequency ω:

.

Sa pamamagitan ng panuntunan ng pagdaragdag ng vector, nakita namin ang kabuuang amplitude:

Ang resultang amplitude ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula

Kaya, ang katawan, na nakikilahok sa dalawang harmonic oscillations ng parehong direksyon at parehong frequency, ay nagsasagawa rin ng harmonic oscillation sa parehong direksyon at may parehong frequency ng summed oscillations.

Mula sa (2.2.2) sumusunod na ang amplitude PERO ang resultang oscillation ay depende sa pagkakaiba sa mga unang yugto. Mga posibleng halaga PERO namamalagi sa hanay (ang amplitude ay hindi maaaring negatibo).

Isaalang-alang natin ang ilang mga simpleng kaso.

1. Ang pagkakaiba ng phase ay zero o kahit na numeroπ, ibig sabihin, kung saan . Pagkatapos at

,

(2.2.4)

since , i.e. nagresultang oscillation amplitude PERO ay katumbas ng kabuuan ng mga amplitude ng mga idinagdag na oscillations (oscillations nasa yugto) (Larawan 2.3).

2. Ang pagkakaiba sa bahagi ay isang kakaibang numeroπ , i.e , saan . Pagkatapos . Mula rito

.

(2.2.5)

Sa fig. Ipinapakita ng 2.4 ang amplitude ng nagresultang oscillation PERO, katumbas ng pagkakaiba sa mga amplitude ng mga idinagdag na oscillations (oscillations in wala sa yugto).

3. Ang pagkakaiba ng bahagi ay nagbabago sa oras sa isang arbitrary na paraan:

(2.2.6)

Mula sa equation (2.2.6) sinusundan nito iyon at magbabago alinsunod sa halaga ng . Samakatuwid, kapag nagdaragdag ng hindi magkakaugnay na mga oscillations, walang saysay na pag-usapan ang tungkol sa pagdaragdag ng mga amplitude, ngunit sa ilang mga kaso medyo tiyak na mga pattern ay sinusunod. Para sa pagsasanay, ang partikular na interes ay ang kaso kapag ang dalawang idinagdag na oscillations ng parehong direksyon ay naiiba nang kaunti sa dalas. Bilang resulta ng pagdaragdag ng mga oscillations na ito, ang mga oscillations na may pana-panahong pagbabago ng amplitude ay nakuha.

Pana-panahong pagbabago sa amplitude ng oscillation na nagmumula sa pagdaragdag ng dalawang harmonic oscillations na may malapit na frequency, ay tinatawag beats . Sa mahigpit na pagsasalita, ang mga ito ay hindi na harmonic oscillations.

Hayaan ang mga amplitudes ng idinagdag na mga oscillations ay katumbas ng PERO, at ang mga frequency ay katumbas ng ω at , at . Pinipili namin ang reference point upang ang mga unang yugto ng parehong mga oscillation ay katumbas ng zero:

Idinaragdag namin ang mga expression na ito, pinababayaan ang , dahil .

Ang kalikasan ng pag-asa (2.2.8) ay ipinapakita sa Fig. 2.5, kung saan ang mga solidong makapal na linya ay nagbibigay ng graph ng nagresultang oscillation, at ang kanilang mga sobre - isang graph ng dahan-dahang pagbabago ng amplitude ayon sa equation (2.2.7).

Ang pagtukoy sa dalas ng tono (tunog ng isang tiyak na taas) ng mga beats sa pagitan ng reference at mga sinusukat na oscillations ay ang pinakamalawak na ginagamit na paraan sa pagsasanay para sa paghahambing ng sinusukat na halaga sa reference. Ang pamamaraan ng beat ay ginagamit para sa pag-tune ng mga instrumentong pangmusika, pagsusuri sa pandinig, atbp.

Sa pangkalahatan, ang mga oscillations ng isang species ay tinatawag modulated . Mga espesyal na kaso: amplitude modulation at phase o frequency modulation. matalo ay ang pinakasimpleng anyo ng modulated oscillations.

Ang anumang kumplikadong periodic oscillations ay maaaring katawanin bilang isang superposisyon ng sabay-sabay na nagaganap na harmonic oscillations na may iba't ibang amplitude, mga paunang yugto, at mga frequency din na multiple ng cyclic frequency ω:

.

Ang representasyon ng isang periodic function sa form na ito ay nauugnay sa konsepto harmonic analysis ng isang kumplikadong periodic oscillation, o Fourier expansion(iyon ay, ang representasyon ng kumplikadong modulated oscillations bilang isang serye (sum) ng simpleng harmonic oscillations). Ang mga termino ng seryeng Fourier, na tumutukoy sa mga harmonic oscillations na may mga frequency na ω, 2ω, 3ω, ..., ay tinatawag una(o pangunahing), pangalawa, pangatlo atbp. harmonika kumplikadong pana-panahong oscillation.

Kasama ang pagsasalin at pag-ikot na mga galaw ng mga katawan sa mekanika, ang mga oscillatory na galaw ay may malaking interes din. Mga mekanikal na panginginig ng boses tinatawag na mga paggalaw ng mga katawan na umuulit nang eksakto (o humigit-kumulang) sa mga regular na pagitan. Ang batas ng paggalaw ng isang oscillating body ay ibinibigay ng ilang pana-panahong paggana ng oras x = f (t). Ang graphic na representasyon ng function na ito ay nagbibigay ng visual na representasyon ng kurso ng proseso ng oscillatory sa oras.

Ang mga halimbawa ng mga simpleng oscillatory system ay isang load sa isang spring o isang mathematical pendulum (Fig. 2.1.1).

Ang mga mekanikal na oscillations, tulad ng mga oscillatory na proseso ng anumang iba pang pisikal na kalikasan, ay maaaring libre at pilit. Libreng vibrations ay ginawa sa ilalim ng impluwensya panloob na pwersa sistema pagkatapos na mailabas ang sistema sa ekwilibriyo. Ang mga oscillations ng isang timbang sa isang spring o ang mga oscillations ng isang pendulum ay libreng oscillations. vibrations sa ilalim ng aksyon panlabas pana-panahong nagbabagong pwersa ay tinatawag pilit .

Ang pinakasimpleng uri ng proseso ng oscillatory ay simple harmonic vibrations , na inilalarawan ng equation

x = x m cos (ω t + φ 0).

Dito x- pag-aalis ng katawan mula sa posisyon ng balanse, x m - amplitude ng oscillation, ibig sabihin, ang maximum na pag-aalis mula sa posisyon ng equilibrium, ω - cyclic o circular frequency pag-aatubili, t- oras. Ang halaga sa ilalim ng cosine sign φ = ω t+ φ 0 ay tinatawag yugto maharmonya na proseso. Sa t= 0 φ = φ 0 , kaya tinatawag na φ 0 unang bahagi. Ang pinakamababang agwat ng oras pagkatapos kung saan ang paggalaw ng katawan ay paulit-ulit ay tinatawag panahon ng oscillation T. Ang pisikal na dami na katumbas ng panahon ng oscillation ay tinatawag dalas ng oscillation:

Dalas ng oscillation f nagpapakita kung gaano karaming mga vibrations ang nagagawa sa 1 s. Unit ng dalas - hertz(Hz). Dalas ng oscillation f ay nauugnay sa cyclic frequency ω at ang oscillation period T ratios:

Sa fig. 2.1.2 ay nagpapakita ng mga posisyon ng katawan sa mga regular na pagitan na may harmonic vibrations. Ang ganitong larawan ay maaaring makuha sa eksperimento sa pamamagitan ng pag-iilaw sa isang oscillating body na may maikling pana-panahong pagkislap ng liwanag ( stroboscopic na pag-iilaw). Ang mga arrow ay kumakatawan sa mga vector ng bilis ng katawan sa iba't ibang mga punto ng oras.

kanin. 2.1.3 inilalarawan ang mga pagbabagong nagaganap sa graph ng isang harmonic na proseso kung ang alinman sa amplitude ng mga oscillations ay nagbabago x m , o panahon T(o dalas f), o ang paunang yugto φ 0 .

Kapag ang katawan ay nag-oscillate sa isang tuwid na linya (axis OX) ang velocity vector ay palaging nakadirekta sa tuwid na linyang ito. Bilis υ = υ x Ang galaw ng katawan ay natutukoy sa pamamagitan ng ekspresyon

Sa matematika, ang pamamaraan para sa paghahanap ng limitasyon ng ratio sa Δ t Ang → 0 ay tinatawag na pagkalkula ng derivative ng function x (t) ayon sa panahon t at tinutukoy bilang o bilang x"(t) o sa wakas bilang . Para sa harmonic law of motion Ang pagkalkula ng derivative ay humahantong sa sumusunod na resulta:

Ang hitsura ng term + π / 2 sa cosine argument ay nangangahulugan ng pagbabago sa paunang yugto. Pinakamataas na mga halaga ng modulo ng bilis υ = ω x m ay nakakamit sa mga sandaling iyon kapag ang katawan ay dumaan sa mga posisyon ng balanse ( x= 0). Ang acceleration ay tinukoy sa katulad na paraan a = ax mga katawan na may harmonic vibrations:

kaya ang acceleration a ay katumbas ng derivative ng function na υ ( t) ayon sa panahon t, o ang pangalawang derivative ng function x (t). Ang mga kalkulasyon ay nagbibigay ng:

Ang minus sign sa expression na ito ay nangangahulugan na ang acceleration a (t) palaging may kabaligtaran na tanda ng offset x (t), at, samakatuwid, ayon sa ikalawang batas ni Newton, ang puwersa na nagiging sanhi ng katawan na magsagawa ng mga harmonic oscillations ay palaging nakadirekta sa posisyon ng balanse ( x = 0).

a) Nakikilahok ang katawan sa dalawang harmonic oscillations na may parehong pabilog na frequencyw , ngunit may iba't ibang mga amplitude at paunang yugto.

Ang equation ng mga oscillation na ito ay isusulat tulad ng sumusunod:

x 1 \u003d isang 1 cos (wt + j 1)

x 2 \u003d isang 2 cos (wt + j 2),

saan x 1 at x 2- mga offset; a 1 at a 2- amplitudes; w- pabilog na dalas ng parehong mga oscillation; j1 at j2- mga paunang yugto ng mga oscillation.

Idagdag natin ang mga pagbabagong ito gamit ang isang vector diagram. Katawan natin ang parehong mga oscillation bilang mga amplitude vectors. Upang gawin ito, mula sa isang di-makatwirang punto O nakahiga sa axis X, nagtabi kami ng dalawang vectors 1 at 2, ayon sa pagkakabanggit, sa mga anggulo j1 at j2 sa axis na ito (Larawan 2).

Ang mga projection ng mga vector na ito papunta sa axis X ay magiging katumbas ng mga displacement x 1 at x 2 ayon sa expression (2). Kapag ang parehong mga vector ay umiikot nang pakaliwa sa angular na bilis w projection ng kanilang mga dulo papunta sa axis X gagawa ng harmonic vibrations. Dahil ang parehong mga vector ay umiikot na may parehong angular na bilis w, pagkatapos ay ang anggulo sa pagitan nila j=j 1 -j 2 nananatiling pare-pareho. Ang pagdaragdag ng parehong vectors 1 at 2 ayon sa parallelogram rule, makuha namin ang resultang vector . Tulad ng makikita mula sa Fig. 2, ang projection ng vector na ito papunta sa axis X ay katumbas ng kabuuan ng mga projection ng mga tuntunin ng mga vectors x \u003d x 1 + x 2. Sa kabila: x \u003d a cos (wt + j o).

Dahil dito, ang vector ay umiikot na may parehong angular velocity gaya ng mga vector 1 at 2 at nagsasagawa ng isang harmonic oscillation na nangyayari kasama ang parehong tuwid na linya bilang ang mga tuntunin ng mga oscillations, at may dalas na katumbas ng dalas ng orihinal na mga oscillations. Dito j o - ang unang yugto ng nagresultang oscillation.

Tulad ng makikita mula sa Fig. 2, upang matukoy ang amplitude ng nagresultang oscillation, maaari mong gamitin ang cosine theorem, ayon sa kung saan mayroon tayo:

a 2 \u003d a 1 2 + a 2 2 - 2a 1 a 2 cos

a \u003d a 1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 cos (j 2 - j 1)(3)

Makikita mula sa expression (3) na ang amplitude ng nagresultang oscillation ay nakasalalay sa pagkakaiba sa mga unang yugto ( j 2 - j 1) mga tuntunin ng mga oscillation. Kung ang mga paunang yugto ay pantay ( j 2 = j 1), pagkatapos ay ipinapakita ng formula (3) na ang amplitude a ay katumbas ng kabuuan a 1 at a 2. Kung ang pagkakaiba ng bahagi ( j 2 - j 1) ay katumbas ng ±180 o (ibig sabihin, ang parehong mga oscillations ay nasa antiphase), kung gayon ang amplitude ng nagresultang oscillation ay katumbas ng ganap na halaga ng pagkakaiba sa mga amplitude ng mga termino ng oscillation : a = |a 1 - a 2 |.

b) Ang katawan ay nakikilahok sa dalawang oscillations na may parehong amplitudes, mga paunang yugto na katumbas ng zero, at magkaibang mga frequency.

Ang mga equation para sa mga oscillation na ito ay magiging ganito:

x 1 \u003d isang sinw 1 t,

x 2 \u003d isang sinw 2 t.

Sa paggawa nito, ipinapalagay na w 1 maliit na naiiba sa laki mula sa w 2. Ang pagdaragdag ng mga expression na ito, makakakuha tayo ng:

x \u003d x 1 + x 2 \u003d 2a cos[(w 1 -w 2)/2]t+kasalanan[(w 1 +w 2)/2]t=

=2а cos[(w 1 -w 2)/2]t kasalanan wt (4)

Ang nagresultang paggalaw ay isang kumplikadong oscillation na tinatawag beats(Larawan 3) Dahil ang halaga w1-w2 maliit kumpara sa laki w1+w2, kung gayon ang paggalaw na ito ay maaaring ituring bilang isang harmonic oscillation na may dalas na katumbas ng kalahati ng kabuuan ng mga frequency ng mga idinagdag na oscillation w=(w1+w2)/2, at variable amplitude.

Ito ay sumusunod mula sa (4) na ang amplitude ng nagresultang oscillation ay nagbabago ayon sa periodic cosine law. Ang isang buong cycle ng pagbabago ng mga value ng cosine function ay nangyayari kapag ang argument ay nagbabago ng 360 0 , habang ang function ay nagpapasa ng mga value mula +1 hanggang -1. Ang estado ng system na tumibok sa mga sandali ng oras na tumutugma sa tinukoy na mga halaga ng cosine function sa formula (4) ay hindi naiiba sa anumang paraan. Sa madaling salita, ang mga beat cycle ay nagaganap na may dalas na katumbas ng pagbabago sa cosine argument sa formula (4) ng 180 0 . Kaya ang panahon T a Ang mga pagbabago sa amplitude sa panahon ng mga beats (beat period) ay tinutukoy mula sa kondisyon:

T a \u003d 2p / (w 1 - w 2).

Kung ganoon w=2pn, makuha namin:

T a \u003d 2 p / 2 p (n 1 - n 2) \u003d 1 / (n 1 - n 2). (5)

Ang dalas ng pagbabago sa amplitude ng nagresultang oscillation ay katumbas ng pagkakaiba sa mga frequency ng idinagdag na oscillations:

n=1/T a =n 1 -n 2 .

Pagdaragdag ng mga harmonic oscillations ng isang direksyon.

beats

Isaalang-alang ang isang oscillatory system na may isang antas ng kalayaan, ang estado kung saan ay natutukoy sa pamamagitan ng pag-asa ng ilang dami sa oras. Hayaang ang oscillation sa sistemang ito ay ang kabuuan ng dalawang harmonic oscillations na may parehong dalas ngunit magkaibang mga amplitude at mga paunang yugto, i.e.

Dahil ang "displacement" ng oscillatory system mula sa equilibrium na posisyon ay nangyayari sa isang solong "direksyon", sa kasong ito ang isa ay nagsasalita tungkol sa pagdaragdag ng mga harmonic oscillations ng isang direksyon. Sa vector diagram, ang mga idinagdag na oscillations ay ipapakita bilang dalawang vectors at , rotated relative to each other by an angle (Larawan 6.1). Dahil ang mga frequency ng pinagsamang oscillations ay pareho, ang kanilang magkaparehong posisyon ay mananatiling hindi nagbabago anumang oras, at ang magreresultang oscillation ay kakatawanin ng isang vector na katumbas ng kabuuan ng mga vectors at . Ang pagdaragdag ng mga vectors ayon sa parallelogram rule at gamit ang cosine theorem, nakukuha natin

. (6.3)

kaya, kapag ang dalawang harmonic oscillations ng parehong direksyon na may parehong mga frequency ay idinagdag, isang harmonic oscillation ng parehong frequency ay nakuha, ang amplitude at paunang yugto ng kung saan ay tinutukoy ng mga expression(6.2), (6.3).

Tinatawag na dalawang harmonic oscillations na nangyayari sa parehong frequency at may pare-parehong phase difference magkakaugnay. Dahil dito, kapag nagdaragdag ng magkakaugnay na mga oscillation, ang isang harmonic oscillation ng parehong dalas ay nakuha, ang amplitude at paunang yugto nito ay tinutukoy ng mga amplitude at paunang yugto ng mga idinagdag na oscillations.

Kung ang mga idinagdag na oscillations ay may iba't ibang mga frequency at , ngunit ang parehong amplitudes , pagkatapos, gamit ang expression na kilala mula sa trigonometrya para sa kabuuan ng mga cosine ng dalawang anggulo, nakukuha namin

Ito ay makikita mula sa nagresultang expression na ang nagresultang oscillation ay hindi harmonic.

Hayaang ang mga frequency ng mga idinagdag na oscillation ay malapit sa isa't isa upang at . Ang kasong ito ay tinatawag pagkatalo ng dalawang frequency.

Nagpapahiwatig , at , maaaring isulat

. (6.5)

Ito ay sumusunod mula sa expression (6.5) na ang resultang oscillation ay maaaring katawanin bilang isang harmonic oscillation na may isang tiyak na average na frequency , na ang amplitude ay dahan-dahan (na may dalas ) na nagbabago sa oras. Oras tinawag beat period, a – dalas ng beat. Ang beat graph ay ipinapakita sa Figure 6.2. Ang mga palo ay nangyayari kapag sabay-sabay na tunog ng dalawang tuning fork ng parehong key. Maaari silang maobserbahan gamit ang isang oscilloscope kapag nagdaragdag ng mga harmonic oscillations ng dalawang generator na nakatutok sa parehong frequency. Sa parehong mga kaso, ang mga frequency ng mga pinagmumulan ng oscillation ay bahagyang mag-iiba, na magreresulta sa mga beats.

Dahil ang mga oscillations ay nangyayari sa iba't ibang mga frequency, ang phase difference ng mga idinagdag na oscillations ay nagbabago sa oras, samakatuwid, ang mga oscillations ay hindi magkakaugnay. Ang pagbabago sa oras ng amplitude ng mga nagresultang oscillations ay isang katangian na kinahinatnan ng incoherence ng mga idinagdag na oscillations.

Ang pagdaragdag ng mga oscillations ay madalas na sinusunod sa mga de-koryenteng circuit at, lalo na, sa mga aparato sa komunikasyon sa radyo. Sa ilang mga kaso, ito ay ginagawa nang may layunin upang makakuha ng signal na may mga tinukoy na parameter. Kaya, halimbawa, sa isang heterodyne receiver, ang natanggap na signal ay idinagdag (halo) sa lokal na signal ng oscillator upang makakuha ng intermediate frequency oscillation bilang resulta ng kasunod na pagproseso. Sa ibang mga kaso, ang pagdaragdag ng mga oscillation ay nangyayari nang kusang kapag ang ilang uri ng interference ay natanggap sa input ng device, bilang karagdagan sa kapaki-pakinabang na signal. Sa katunayan, ang buong pagkakaiba-iba ng anyo ng mga de-koryenteng signal ay ang resulta ng pagdaragdag ng dalawa o higit pang mga harmonic oscillations.

Ang parehong katawan ay maaaring sabay na lumahok sa dalawa o higit pang mga paggalaw. Ang isang simpleng halimbawa ay ang paggalaw ng bola na inihagis sa isang anggulo sa pahalang. Maaari nating ipagpalagay na ang bola ay nakikilahok sa dalawang independiyenteng magkaparehong patayo na paggalaw: pare-parehong pahalang at pantay na variable nang patayo. Ang isa at ang parehong katawan (materyal na punto) ay maaaring lumahok sa dalawa (o higit pa) na mga paggalaw ng isang uri ng oscillatory.

Sa ilalim pagdaragdag ng mga vibrations maunawaan ang kahulugan ng batas ng nagresultang oscillation, kung ang oscillatory system ay sabay-sabay na nakikilahok sa ilang oscillatory na proseso. Mayroong dalawang paglilimita sa mga kaso - ang pagdaragdag ng mga oscillations ng isang direksyon at ang pagdaragdag ng magkaparehong patayo na mga oscillations.

2.1. Pagdaragdag ng mga harmonic oscillations ng isang direksyon

1. Pagdaragdag ng dalawang oscillations ng parehong direksyon(codirectional vibrations)

ay maaaring gawin gamit ang paraan ng vector diagram (Figure 9) sa halip na idagdag ang dalawang equation.

Ipinapakita ng Figure 2.1 ang mga amplitude vectors PERO 1(t) at PERO 2 (t) summed oscillations sa isang di-makatwirang oras t, kapag ang mga phase ng mga oscillations na ito ay pantay-pantay. at . Ang pagdaragdag ng mga oscillation ay nabawasan sa kahulugan . Gamitin natin ang katotohanan na sa vector diagram ang kabuuan ng mga projection ng mga idinagdag na vectors ay katumbas ng projection ng vector sum ng mga vectors na ito.

Ang nagresultang oscillation tumutugma sa vector diagram sa amplitude vector at phase .

Figure 2.1 - Pagdaragdag ng mga co-directional oscillations.

Laki ng vector PERO(t) ay matatagpuan gamit ang cosine theorem:

Ang yugto ng nagresultang oscillation ay ibinibigay ng formula:

.

Kung ang mga frequency ng idinagdag na oscillations ω 1 at ω 2 ay hindi pantay, kung gayon ang phase φ(t) at ang amplitude PERO(t) Ang magreresultang pagbabagu-bago ay magbabago sa paglipas ng panahon. Ang mga idinagdag na vibrations ay tinatawag hindi magkakaugnay sa kasong ito.

2. Dalawang harmonic oscillations x 1 at x 2 ang tinatawag magkakaugnay, kung ang kanilang pagkakaiba sa bahagi ay hindi nakasalalay sa oras:

Ngunit dahil , pagkatapos ay upang matupad ang kondisyon ng pagkakaugnay ng dalawang oscillations na ito, ang kanilang mga cyclic frequency ay dapat na pantay.

Ang amplitude ng resultang oscillation na nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng codirectional oscillations na may pantay na frequency (coherent oscillations) ay katumbas ng:

Ang unang yugto ng nagresultang oscillation ay madaling mahanap sa pamamagitan ng pag-project ng mga vectors PERO 1 at PERO 2 sa coordinate axes na OX at OY (tingnan ang Figure 9):

.

Kaya, ang resultang oscillation na nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng dalawang harmonic co-directional oscillations na may pantay na frequency ay isa ring harmonic oscillation.

3. Sinisiyasat namin ang dependence ng nagresultang oscillation amplitude sa pagkakaiba sa pagitan ng mga unang yugto ng idinagdag na oscillations.

Kung , kung saan ang n ay anumang non-negatibong integer

(n = 0, 1, 2…), pagkatapos pinakamababa. Ang mga idinagdag na vibrations sa sandali ng karagdagan ay nasa wala sa yugto. Sa , ang resultang amplitude ay zero.

Kung ang , pagkatapos , ibig sabihin. ang magiging resulta ng amplitude maximum. Sa sandali ng karagdagan, ang mga idinagdag na oscillations ay sa isang yugto, ibig sabihin. ay nasa yugto. Kung ang mga amplitudes ng mga idinagdag na oscillations ay pareho , pagkatapos .

4. Pagdaragdag ng mga codirectional vibrations na may hindi pantay ngunit malapit na mga frequency.

Ang mga frequency ng mga idinagdag na oscillation ay hindi pantay, ngunit ang pagkakaiba sa dalas parehong mas maliit ang ω 1 at ω 2. Ang kondisyon para sa pagiging malapit ng mga idinagdag na frequency ay isinulat ng mga relasyon.

Ang isang halimbawa ng pagdaragdag ng mga co-directional oscillations na may malapit na frequency ay ang paggalaw ng isang pahalang na spring pendulum, ang spring stiffness nito ay bahagyang naiiba k 1 at k 2 .

Hayaan ang mga amplitudes ng mga idinagdag na oscillations ay pareho , at ang mga paunang yugto ay katumbas ng zero. Pagkatapos ang mga equation ng idinagdag na mga oscillation ay may anyo:

, .

Ang nagresultang oscillation ay inilalarawan ng equation:

Ang resultang oscillation equation ay depende sa produkto ng dalawang harmonic function: ang isa ay may frequency , ang isa pa - na may dalas , kung saan ang ω ay malapit sa mga frequency ng idinagdag na oscillations (ω 1 o ω 2). Ang resultang oscillation ay maaaring tingnan bilang harmonic oscillation na may harmonic-changing amplitude. Ang oscillatory process na ito ay tinatawag beats. Sa mahigpit na pagsasalita, ang resultang oscillation ay karaniwang hindi isang harmonic oscillation.

Ang ganap na halaga ng cosine ay kinuha dahil ang amplitude ay isang positibong halaga. Ang likas na katangian ng dependence x res. para sa mga beats ay ipinapakita sa Figure 2.2.

Figure 2.2 - Ang pag-asa ng displacement sa oras sa panahon ng beats.

Mabagal na nagbabago ang beat amplitude sa dalas. Ang ganap na halaga ng cosine ay umuulit, kung ang argumento nito ay nagbabago ng π, kung gayon ang halaga ng resultang amplitude ay mauulit pagkatapos ng isang yugto ng panahon τ b, na tinatawag na beat period(Tingnan ang Larawan 12). Ang halaga ng beat period ay maaaring matukoy mula sa sumusunod na relasyon:

Ang halaga ay ang beat period.

Halaga ay ang panahon ng nagresultang oscillation (Figure 2.4).

2.2. Pagdaragdag ng magkaparehong patayong vibrations

1. Ipinapakita sa Figure 2.3 ang isang modelo na maaaring magpakita ng pagdaragdag ng magkaparehong patayong vibrations. Ang isang pendulum (materyal na punto ng mass m) ay maaaring mag-oscillate sa kahabaan ng OX at OY axes sa ilalim ng pagkilos ng dalawang elastic na puwersa na nakadirekta sa magkabilang patayo.

Larawan 2.3

Ang summed oscillations ay may anyo:

Ang mga oscillation frequency ay tinukoy bilang , , kung saan , ay mga spring stiffness coefficients.

2. Isaalang-alang ang kaso ng pagdaragdag ng dalawa mutually perpendicular vibrations na may parehong frequency , na tumutugma sa kondisyon (ang parehong mga bukal). Pagkatapos ang mga equation ng idinagdag na mga oscillation ay kukuha ng anyo:

Kapag ang isang punto ay lumahok sa dalawang paggalaw nang sabay-sabay, ang tilapon nito ay maaaring magkaiba at medyo kumplikado. Ang equation para sa trajectory ng mga nagresultang oscillations sa OXY plane kapag ang dalawang magkaparehong patayo na may pantay na frequency ay idinagdag ay maaaring matukoy sa pamamagitan ng pagbubukod ng oras t mula sa mga unang equation para sa x at y:

Ang uri ng trajectory ay natutukoy sa pamamagitan ng pagkakaiba sa mga paunang yugto ng mga idinagdag na oscillations, na nakasalalay sa mga paunang kondisyon (tingnan ang § 1.1.2). Isaalang-alang ang mga posibleng opsyon.

at kung , kung saan n = 0, 1, 2…, i.e. ang summed oscillations ay in-phase, kung gayon ang equation ng trajectory ay kukuha ng anyo:

(Larawan 2.3 a).

Larawan 2.3.a	Larawan 2.3 b

b) Kung (n = 0, 1, 2…), ibig sabihin. ang mga summed oscillations ay nasa antiphase, pagkatapos ay ang trajectory equation ay nakasulat tulad ng sumusunod:

(Larawan 2.3b).

Sa parehong mga kaso (a, b), ang magreresultang paggalaw ng punto ay mag-oscillate sa isang tuwid na linya na dumadaan sa puntong O. Ang dalas ng resultang oscillation ay katumbas ng dalas ng mga idinagdag na oscillations ω 0, ang amplitude ay tinutukoy ng ang ratio.