Lokal na de Moivre-Laplace theorem. 0 at 1, tapos ang probability P t p niyan, na ang kaganapan A ay magaganap nang m beses sa n independiyenteng pagsubok para sa isang sapat na malaking bilang n, ay tinatayang katumbas ng
- Gaussian function at
Ang mas malaki at, mas tumpak ang tinatayang formula (2.7), na tinatawag sa pamamagitan ng lokal na formula ng Moivre-Laplace. Tinatayang probabilidad R TPU na ibinigay ng lokal na formula (2.7) ay ginagamit sa pagsasanay bilang mga eksaktong para sa pru ng pagkakasunud-sunod ng dalawa o higit pang sampu, i.e. Kung ganoon pru > 20.
Upang gawing simple ang mga kalkulasyon na nauugnay sa paggamit ng formula (2.7), isang talahanayan ng mga halaga ng function /(x) ay naipon (Talahanayan I, na ibinigay sa mga apendise). Kapag ginagamit ang talahanayang ito, kinakailangang isaisip ang mga halatang katangian ng function na f(x) (2.8).
- 1. Function/(X) ay pantay, ibig sabihin. /(-x) = /(x).
- 2. Function/(X) - monotonically bumababa para sa mga positibong halaga X, at sa x -> co /(x) -» 0.
- (Sa pagsasagawa, maaari nating ipagpalagay na kahit para sa x > 4 /(x) « 0.)
[> Halimbawa 2.5. Sa ilang lugar, sa bawat 100 pamilya, 80 ang may refrigerator. Hanapin ang posibilidad na sa 400 pamilya 300 ay mayroong refrigerator.
Desisyon. Ang posibilidad na ang isang pamilya ay may refrigerator ay p = 80/100 = 0.8. Bilang P= 100 ay sapat na malaki (kondisyon pru= = 100 0.8(1-0.8) = 64 > 20 nasiyahan), pagkatapos ay ilalapat namin ang lokal na formula ng Moivre-Laplace.
Una, tinutukoy namin sa pamamagitan ng formula (2.9)
Pagkatapos ay sa pamamagitan ng formula (2.7)
(ang halaga /(2.50) ay natagpuan mula sa Talahanayan I ng mga apendise). Ang medyo maliit na halaga ng probabilidad /300,400 ay hindi dapat pagdudahan, dahil bukod sa kaganapan
"eksaktong 300 pamilya sa 400 ang may refrigerator" 400 pang kaganapan ang posible: "0 sa 400", "1 sa 400",..., "400 sa 400" na may sariling mga probabilidad. Magkasama, ang mga kaganapang ito ay bumubuo ng isang kumpletong grupo, na nangangahulugan na ang kabuuan ng kanilang mga probabilidad ay katumbas ng isa. ?
Hayaan, sa mga kondisyon ng Halimbawa 2.5, kinakailangan upang mahanap ang posibilidad na mula 300 hanggang 360 pamilya (kasama) ay may mga refrigerator. Sa kasong ito, ayon sa karagdagan theorem, ang posibilidad ng nais na kaganapan
Sa prinsipyo, ang bawat termino ay maaaring kalkulahin gamit ang lokal na formula ng Moivre-Laplace, ngunit ang malaking bilang ng mga termino ay ginagawang napakahirap ng pagkalkula. Sa ganitong mga kaso, ang sumusunod na theorem ay ginagamit.
Integral theorem ng Moivre - Laplace. Kung ang probabilidad p ng paglitaw ng kaganapan A sa bawat pagsubok ay pare-pareho at iba sa 0 at 1, pagkatapos ay ang posibilidad ng, na ang bilang ng m ng paglitaw ng kaganapan A sa n independiyenteng mga pagsubok ay nasa pagitan ng a at b (kasama), para sa isang sapat na malaking bilang n ay tinatayang katumbas ng
- function(o integral ng mga probabilidad) Laplace",
(Ang patunay ng theorem ay ibinigay sa Seksyon 6.5.)
Ang formula (2.10) ay tinatawag integral na formula ng Moivre-Laplace. Ang higit pa P, mas tumpak ang formula. Kapag ang kondisyon pru >> 20 ang integral formula (2.10), gayundin ang lokal, ay nagbibigay, bilang panuntunan, ng isang error sa pagkalkula ng mga probabilidad na kasiya-siya para sa pagsasanay.
Ang function na Φ(dg) ay naka-tabulate (tingnan ang Talahanayan II ng mga apendise). Upang magamit ang talahanayang ito, kailangan mong malaman ang mga katangian ng function na Ф(х).
1. Function f(x) kakaiba, mga. F(-x) = -F(x).
?
Papalitan ba natin ang variable? = -G. Pagkatapos (k =
= -(12. Ang mga limitasyon ng pagsasama para sa variable 2 ay magiging 0 at X. Kunin
dahil ang halaga ng tiyak na integral ay hindi nakadepende sa pagtatalaga ng integration variable. ?
2. Ang function na Ф(х) ay monotonically tumataas, at para sa x ->+co f(.g) -> 1 (sa pagsasagawa, maaari nating ipagpalagay na nasa x > 4 φ(x)~ 1).
Dahil ang derivative ng integral na may paggalang sa variable na upper limit ay katumbas ng integrand sa halaga ng upper limit, r.s.
, at palaging positibo, pagkatapos ay monotonically tumataas ang Ф(х).
kasama ang buong linya ng numero.
Gumagawa kami ng pagbabago ng variable, pagkatapos ay hindi nagbabago ang mga limitasyon ng pagsasama at
(dahil ang integral ng isang even function
Kung ganoon 
(Euler integral - Poisson), nakukuha natin
?
O Halimbawa 2.6. Gamit ang data ng Halimbawa 2.5, kalkulahin ang posibilidad na mula 300 hanggang 360 (kasama) pamilya sa 400 ay may mga refrigerator.
Desisyon. Inilapat namin ang integral theorem ng Moivre - Laplace (pr= 64 > 20). Una, tinutukoy namin sa pamamagitan ng mga formula (2.12)
Ngayon, ayon sa formula (2.10), isinasaalang-alang ang mga katangian ng Ф(.т), nakukuha namin
(ayon sa Talahanayan II ng mga apendise?
Isaalang-alang ang isang kinahinatnan ng integral theorem ng Moivre - Laplace. Bunga. Kung ang probabilidad p ng paglitaw ng kaganapan A sa bawat pagsubok ay pare-pareho at iba sa 0 at ako, pagkatapos ay para sa isang sapat na malaking bilang n ng mga independiyenteng pagsubok, ang posibilidad na:
a) ang bilang ng m ng mga paglitaw ng kaganapan A ay naiiba sa produkto pr nang hindi hihigit sa e > 0 (sa ganap na halaga), mga.
b) ang dalas ng t / n kaganapan A ay nasa loob mula a hanggang r ( kasama ang- nang may paggalang, ibig sabihin.
sa) ang dalas ng kaganapan A ay naiiba sa probabilidad nito na p nang hindi hihigit sa A > 0 (sa ganap na halaga), ibig sabihin.
A) Hindi pagkakapantay-pantay |/?7-7?/?| ay katumbas ng dobleng hindi pagkakapantay-pantay pr-e Samakatuwid, sa pamamagitan ng integral formula (2.10)
- b) Hindi pagkakapantay-pantay at katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay at sa a = pa at b= /?r. Pinapalitan sa mga formula (2.10), (2.12) ang mga dami a at b nakuha ang mga expression, nakuha namin ang mga provable formula (2.14) at (2.15).
- c) Hindi pagkakapantay-pantay Ang mjn-p ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay t-pr Pagpapalit sa formula (2.13) r = Ap, nakukuha natin ang formula (2.16) na patunayan. ?
[> Halimbawa 2.7. Gamit ang data sa Halimbawa 2.5, kalkulahin ang posibilidad na 280 hanggang 360 na pamilya sa 400 ay may mga refrigerator.
Desisyon. Kalkulahin ang posibilidad na Р 400 (280 t pr \u003d 320. Pagkatapos ay ayon sa formula (2.13)
[> Halimbawa 2.8. Ayon sa istatistika, sa karaniwan, 87% ng mga bagong silang ay nabubuhay hanggang 50 taong gulang.
- 1. Hanapin ang posibilidad na sa 1000 bagong panganak ang proporsyon (dalas) ng mga nakaligtas hanggang 50 taong gulang ay: a) nasa saklaw mula 0.9 hanggang 0.95; b) ay mag-iiba mula sa posibilidad ng kaganapang ito ng hindi hihigit sa 0.04 (ngunit sa ganap na halaga).
- 2. Sa anong bilang ng mga bagong silang na may reliability na 0.95 ang proporsyon ng mga nakaligtas hanggang 50 taong gulang ay nasa mga limitasyon mula 0.86 hanggang 0.88?
Desisyon. 1a) Probability R na ang isang bagong panganak ay mabubuhay hanggang 50 taon ay 0.87. Bilang P= 1000 malaki (kondisyon prd=1000 0.87 0.13 = 113.1 > 20 nasiyahan), pagkatapos ay ginagamit namin ang corollary ng integral theorem ng Moivre - Laplace. Una, tinutukoy namin sa pamamagitan ng mga formula (2.15)
Ngayon ayon sa formula (2.14)
1, b) Sa pamamagitan ng formula (2.16)
Dahil hindi pagkakapantay-pantay 
ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay
ang resultang nakuha ay nangangahulugan na halos tiyak na mula 0.83 hanggang 0.91 ng bilang ng mga bagong silang sa 1000 ay mabubuhay hanggang 50 taon. ?
2. Sa kondisyon 
o
Ayon sa formula (2.16)
sa A = 0.01 
Ayon sa talahanayan II mga aplikasyon F(G) = 0.95 sa G = 1.96, samakatuwid,
saan 
mga. ang kondisyon (*) ay maaaring garantisadong may makabuluhang pagtaas sa bilang ng mga itinuturing na bagong silang hanggang sa P = 4345. ?
- Ang patunay ng theorem ay ibinigay sa Seksyon 6.5. Ang probabilistikong kahulugan ng mga dami pr, prs( ay itinatag sa talata 4.1 (tingnan ang tala sa p. 130).
- Ang probabilistikong kahulugan ng halagang pf/n ay itinatag sa talata 4.1.
ang presyon nang direkta sa ilalim ng matambok na ibabaw ng likido ay mas malaki kaysa sa presyon sa ilalim ng patag na ibabaw ng likido, at ang presyon sa ilalim ng malukong ibabaw ng likido ay mas mababa kaysa sa presyon sa ilalim ng patag na ibabaw.
Pagkalkula ng presyon sa ilalim ng spherical na ibabaw ng isang likido
Ito ay isang manipis na layer ng tubig, na may dalawang hangganan na ibabaw: panloob at panlabas. Ang radii ng curvature ng mga ibabaw na ito ay maaaring ituring na pareho, dahil ang kapal ng pelikula ay libu-libong beses na mas maliit kaysa sa bubble radius. Ang tubig mula sa layer na ito ay unti-unting umaagos, ang layer ay nagiging mas manipis at sa wakas ay nasira. Kaya't ang mga bula ay hindi lumulutang sa tubig nang napakatagal: mula sa mga fraction ng isang segundo hanggang sampung segundo. Dapat pansinin na habang ang film ng tubig ay nagiging mas manipis, ang laki ng bula ay halos hindi nagbabago.
Kalkulahin natin ang labis na presyon sa naturang bula. Para sa pagiging simple, isaalang-alang ang isang solong-layer na hemisphere ng radius r, na matatagpuan sa isang pahalang na ibabaw, ipagpalagay din namin na walang hangin sa labas. Ang pelikula ay gaganapin sa may kulay na ibabaw dahil sa basa (Larawan 2.3). Sa kasong ito, kasama ang hangganan ng pakikipag-ugnay sa ibabaw, isang puwersa ng pag-igting sa ibabaw na katumbas ng
kung saan ang koepisyent ng pag-igting sa ibabaw ng likido,
Ang haba ng film-surface interface ay katumbas ng .
Ibig sabihin, mayroon tayong:
.
Ang puwersang ito na kumikilos sa pelikula, at sa pamamagitan nito sa hangin, ay nakadirekta patayo sa ibabaw (tingnan ang Fig. 2.3). Kaya ang presyon ng hangin sa ibabaw at samakatuwid sa loob ng bula ay maaaring kalkulahin tulad ng sumusunod:
Kung saan ang F ay ang puwersa ng pag-igting sa ibabaw na katumbas ng,
S - lugar sa ibabaw: .
Ang pagpapalit ng halaga ng puwersa F at ang lugar S sa formula para sa pagkalkula ng presyon, nakukuha natin:
at sa wakas.
Sa aming halimbawa na may bula ng hangin sa ibabaw ng tubig, ang pelikula ay doble at, samakatuwid, ang labis na presyon ay .
Ang Figure 2.4 ay nagpapakita ng mga halimbawa ng single-layer spherical surface na maaaring mabuo sa ibabaw ng isang likido. Sa itaas ng likido ay isang gas na may presyon.
Capillarity (mula sa Latin capillaris - buhok), epekto ng capillary - isang pisikal na kababalaghan, na binubuo sa kakayahan ng mga likido na baguhin ang antas sa mga tubo, makitid na mga channel ng di-makatwirang hugis, mga buhaghag na katawan. Ang pagtaas ng likido ay nangyayari kapag ang mga channel ay nabasa ng mga likido, halimbawa, tubig sa mga glass tube, buhangin, lupa, atbp. Ang pagbaba ng likido ay nangyayari sa mga tubo at mga channel na hindi nabasa ng likido, halimbawa, mercury sa isang glass tube.
Sa batayan ng capillarity, ang mahahalagang aktibidad ng mga hayop at halaman, mga teknolohiyang kemikal, at pang-araw-araw na phenomena ay nakabatay (halimbawa, ang pagtaas ng kerosene sa kahabaan ng wick sa isang lampara ng kerosene, pagpupunas ng mga kamay ng isang tuwalya). Ang capillarity ng lupa ay tinutukoy ng bilis ng pagtaas ng tubig sa lupa at depende sa laki ng mga puwang sa pagitan ng mga particle ng lupa.
Formula ng Laplace
Isaalang-alang ang isang manipis na likidong pelikula na ang kapal ay maaaring mapabayaan. Sa pagsisikap na mabawasan ang libreng enerhiya nito, lumilikha ang pelikula ng pagkakaiba sa presyon mula sa iba't ibang panig. Ipinapaliwanag nito ang pagkakaroon ng mga bula ng sabon: ang pelikula ay na-compress hanggang ang presyon sa loob ng bubble ay lumampas sa atmospheric pressure sa pamamagitan ng halaga ng karagdagang presyon ng pelikula. Ang karagdagang presyon sa isang punto sa ibabaw ay nakasalalay sa average na curvature sa puntong iyon at ibinibigay ng Laplace formula:
Narito ang R 1,2 ay ang radii ng mga pangunahing curvature sa isang punto. Ang mga ito ay may parehong tanda kung ang kaukulang mga sentro ng kurbada ay nasa parehong gilid ng tangent na eroplano sa punto, at mayroon silang ibang palatandaan kung sila ay nakahiga sa tapat. Halimbawa, para sa isang globo, ang mga sentro ng curvature sa anumang punto sa ibabaw ay nag-tutugma sa gitna ng globo, kaya
Para sa kaso ng ibabaw ng isang pabilog na silindro ng radius R, mayroon kami
Ito ay kilala na ang ibabaw ng likido malapit sa mga dingding ng sisidlan ay hubog. Ang libreng ibabaw ng isang likido na nakakurba malapit sa mga dingding ng sisidlan ay tinatawag na meniscus.(Larawan 145).
Isaalang-alang ang isang manipis na likidong pelikula na ang kapal ay maaaring mapabayaan. Sa pagsisikap na mabawasan ang libreng enerhiya nito, lumilikha ang pelikula ng pagkakaiba sa presyon mula sa iba't ibang panig. Dahil sa pagkilos ng mga puwersa ng pag-igting sa ibabaw sa mga patak ng likido at sa loob ng mga bula ng sabon, karagdagang presyon(ang pelikula ay na-compress hanggang ang presyon sa loob ng bubble ay hindi lumampas sa atmospheric pressure sa pamamagitan ng halaga ng karagdagang presyon ng pelikula).
 kanin. 146. |
Isaalang-alang ang ibabaw ng isang likido na nakapatong sa ilang flat contour (Larawan 146, a). Kung ang ibabaw ng likido ay hindi patag, kung gayon ang pagkahilig nito sa pag-ikli at hahantong sa hitsura ng presyon, karagdagang sa naranasan ng isang likido na may patag na ibabaw. Sa kaso ng isang matambok na ibabaw, ang karagdagang presyon na ito ay positibo (Larawan 146, b), sa kaso ng isang malukong ibabaw - negatibo (Larawan 146, sa). Sa huling kaso, ang ibabaw na layer, na naghahanap upang makontrata, ay umaabot sa likido.
Ang magnitude ng karagdagang presyon, malinaw naman, ay dapat tumaas na may pagtaas sa koepisyent ng pag-igting sa ibabaw at kurbada ng ibabaw .
 kanin. 147. |
.
Idiniin ng puwersang ito ang parehong hemispheres sa isa't isa sa ibabaw at, samakatuwid, ay nagdudulot ng karagdagang presyon: 
Ang curvature ng isang spherical surface ay pareho sa lahat ng dako at tinutukoy ng radius ng sphere. Malinaw, ang mas maliit, mas malaki ang curvature ng spherical surface.
Ang labis na presyon sa loob ng bubble ng sabon ay dalawang beses na mas malaki, dahil ang pelikula ay may dalawang ibabaw:
Ang karagdagang presyon ay nagdudulot ng pagbabago sa antas ng likido sa makitid na mga tubo (mga capillary), bilang isang resulta kung saan kung minsan ay tinatawag itong presyon ng capillary.
Ang curvature ng isang di-makatwirang ibabaw ay karaniwang nailalarawan sa pamamagitan ng tinatawag na average curvature, na maaaring iba para sa iba't ibang mga punto sa ibabaw.
Ang halaga ay nagbibigay ng curvature ng globo. Sa geometry, napatunayan na ang kalahating kabuuan ng reciprocal radii ng curvature para sa anumang pares ng magkaparehong patayo na normal na mga seksyon ay may parehong halaga:
. (1)
Ang halagang ito ay ang average na curvature ng surface sa isang partikular na punto. Sa formula na ito, ang radii ay mga algebraic na dami. Kung ang sentro ng curvature ng isang normal na seksyon ay nasa ibaba ng isang partikular na ibabaw, ang kaukulang radius ng curvature ay positibo; kung ang sentro ng curvature ay nasa itaas ng ibabaw, ang radius ng curvature ay negatibo (Fig. 148).
 kanin. 148. |
Halimbawa, para sa isang globo, ang mga sentro ng curvature sa anumang punto sa ibabaw ay nag-tutugma sa gitna ng globo, at samakatuwid . Para sa kaso ng ibabaw ng isang pabilog na silindro ng radius, mayroon kaming: , at .
Mapapatunayan na para sa isang ibabaw ng anumang hugis ang kaugnayan ay totoo:
Ang pagpapalit ng expression (1) sa formula (2), makuha namin ang formula para sa karagdagang presyon sa ilalim ng arbitrary na ibabaw, na tinatawag Formula ng Laplace(Larawan 148):
. (3)
Ang radii at sa formula (3) ay mga algebraic na dami. Kung ang sentro ng curvature ng isang normal na seksyon ay nasa ibaba ng isang partikular na ibabaw, ang kaukulang radius ng curvature ay positibo; kung ang sentro ng curvature ay nasa itaas ng ibabaw, ang radius ng curvature ay negatibo.
Halimbawa. Kung mayroong isang bula ng gas sa likido, kung gayon ang ibabaw ng bula, na sinusubukang pag-urong, ay magbibigay ng karagdagang presyon sa gas .
Hanapin natin ang radius ng bula sa tubig kung saan ang karagdagang presyon ay 1 atm. .Coefficient ng surface tension ng tubig sa pantay 
. Samakatuwid, para sa sumusunod na halaga ay nakuha: .
Para sa sapat na laki, ang Bernoulli formula ay nagbibigay ng masalimuot na mga kalkulasyon. Samakatuwid, sa ganitong mga kaso, ang lokal na Laplace theorem ay ginagamit.
Teorama(lokal na Laplace theorem). Kung ang probabilidad p ng paglitaw ng kaganapan A sa bawat pagsubok ay pare-pareho at iba sa 0 at 1, kung gayon ang posibilidad 
ang katotohanan na ang kaganapan A ay lilitaw nang eksakto k beses sa n independiyenteng mga pagsubok ay humigit-kumulang katumbas ng halaga ng function:
,
.
Mayroong mga talahanayan na naglalaman ng mga halaga ng pag-andar 
, para sa mga positibong halaga ng x.
Tandaan na ang function 
kahit.
Kaya, ang posibilidad na ang kaganapan A ay lilitaw nang eksakto k beses sa n pagsubok ay humigit-kumulang katumbas ng
, saan 
.
Halimbawa. 1500 buto ang naihasik sa experimental field. Hanapin ang posibilidad na ang mga punla ay makagawa ng 1200 na buto kung ang posibilidad na tumubo ang isang buto ay 0.9.
Desisyon. 
Laplace integral theorem
Ang posibilidad na sa n independiyenteng mga pagsubok na kaganapan A ay magaganap ng hindi bababa sa k1 beses at hindi hihigit sa k2 beses ay kinakalkula ng integral theorem ni Laplace.
Teorama(Laplace integral theorem). Kung ang probabilidad p ng paglitaw ng kaganapan a sa bawat pagsubok ay pare-pareho at naiiba sa 0 at 1, kung gayon ang posibilidad na ang kaganapan A sa n pagsubok ay lilitaw ng hindi bababa sa k 1 beses at hindi hihigit sa k 2 beses ay humigit-kumulang katumbas ng halaga ng isang tiyak na integral:
.
Function 
ay tinatawag na Laplace integral function, ito ay kakaiba at ang halaga nito ay matatagpuan sa talahanayan para sa mga positibong halaga ng x.
Halimbawa. Sa laboratoryo, mula sa isang batch ng mga buto na may rate ng pagtubo na 90%, 600 na buto ang naihasik, na sumibol, hindi bababa sa 520 at hindi hihigit sa 570.
Desisyon.
Poisson formula
Hayaang magsagawa ng n independiyenteng pagsubok, ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapan A sa bawat pagsubok ay pare-pareho at katumbas ng p. Tulad ng nasabi na natin, ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapan A sa n independiyenteng mga pagsubok na eksaktong k beses ay matatagpuan gamit ang Bernoulli formula. Para sa sapat na malaking n, ang lokal na Laplace theorem ay ginagamit. Gayunpaman, ang formula na ito ay hindi angkop kapag ang posibilidad ng isang kaganapan na magaganap sa bawat pagsubok ay maliit o malapit sa 1. At kapag p=0 o p=1, ito ay hindi naaangkop sa lahat. Sa ganitong mga kaso, ang Poisson theorem ay ginagamit.
Teorama(Teorama ni Poisson). Kung ang probabilidad p ng paglitaw ng kaganapan A sa bawat pagsubok ay pare-pareho at malapit sa 0 o 1, at ang bilang ng mga pagsubok ay sapat na malaki, kung gayon ang posibilidad na sa n independiyenteng mga pagsubok na kaganapan A ay magaganap nang eksaktong k beses ay matatagpuan ng formula:
.
Halimbawa. Ang 1,000-pahinang naka-typewritten na manuscript ay naglalaman ng 1,000 typographical errors. Hanapin ang posibilidad na ang isang random na napiling pahina ay naglalaman ng hindi bababa sa isang maling pagkaka-print.
Desisyon.
Mga tanong para sa Pagsusulit sa sarili
Bumuo ng klasikal na kahulugan ng posibilidad ng isang kaganapan.
Bumuo ng mga teorema ng pagdaragdag at pagpaparami ng mga probabilidad.
Tukuyin ang isang kumpletong pangkat ng mga kaganapan.
Isulat ang formula para sa kabuuang posibilidad.
Isulat ang formula ng Bayes.
Isulat ang Bernoulli formula.
Isulat ang formula ni Poisson.
Isulat ang lokal na formula ng Laplace.
Isulat ang integral formula ni Laplace.
Paksa 13. Random na baryabol at ang mga numerical na katangian nito
Panitikan: ,,,,,.
Ang isa sa mga pangunahing konsepto sa teorya ng posibilidad ay ang konsepto ng isang random variable. Kaya't kaugalian na tumawag sa isang variable na tumatagal sa mga halaga nito depende sa kaso. Mayroong dalawang uri ng mga random na variable: discrete at tuloy-tuloy. Ang mga random na variable ay karaniwang tinutukoy ng X,Y,Z.
Ang isang random na variable X ay tinatawag na tuloy-tuloy (discrete) kung maaari itong tumagal lamang ng isang may hangganan o mabibilang na bilang ng mga halaga. Ang isang discrete random variable X ay tinukoy kung ang lahat ng posibleng mga halaga nito x 1 , x 2 , x 3 ,…x n ay ibinigay (ang bilang nito ay maaaring may hangganan o walang katapusan) at ang mga katumbas na probabilities p 1 , p 2 , p 3 ,… p n.
Ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable X ay karaniwang ibinibigay ng talahanayan:
Ang unang linya ay naglalaman ng mga posibleng halaga ng random na variable X, at ang pangalawang linya ay naglalaman ng mga probabilidad ng mga halagang ito. Ang kabuuan ng mga probabilidad kung saan ang random variable X ay tumatagal sa lahat ng mga halaga nito ay katumbas ng isa, iyon ay
p 1 + p 2 + p 3 + ... + p n \u003d 1.
Ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable X ay maaaring ilarawan sa grapiko. Upang gawin ito, ang mga puntos na M 1 (x 1, p 1), M 2 (x 2, p 2), M 3 (x 3, p 3), ... M n (x n, p n) ay itinayo sa isang hugis-parihaba coordinate system at ikonekta ang mga ito sa direktang mga segment. Ang resultang figure ay tinatawag na distribution polygon ng random variable X.
Halimbawa. Ang discrete value X ay ibinibigay ng sumusunod na batas sa pamamahagi:
Kinakailangang kalkulahin ang: a) mathematical expectation M(X), b) variance D(X), c) standard deviation σ.
Desisyon . a) Ang mathematical expectation ng M(X), isang discrete random variable X ay ang kabuuan ng pairwise na produkto ng lahat ng posibleng value ng random variable at ang kaukulang probabilities ng mga posibleng value na ito. Kung ang isang discrete random variable X ay ibinigay gamit ang talahanayan (1), kung gayon ang mathematical expectation na M(X) ay kinakalkula ng formula
М(Х)=х 1 ∙р 1 +х 2 ∙р 2 +х 3 ∙р 3 +…+х n ∙p n . (2)
Ang mathematical expectation na M(X) ay tinatawag ding average na halaga ng random variable X. Kapag nag-aaplay (2), makukuha natin ang:
М(Х)=48∙0.2+53∙0.4+57∙0.3 +61∙0.1=54.
b) Kung ang M(X) ay ang inaasahan ng isang random variable X, kung gayon ang pagkakaiba X-M(X) ay tinatawag paglihis random variable X mula sa average na halaga. Ang pagkakaibang ito ay nagpapakilala sa pagkakalat ng isang random na variable.
pagpapakalat(scattering) ng isang discrete random variable X ay ang mathematical expectation (mean value) ng squared deviation ng random variable mula sa mathematical expectation nito. Kaya, ayon sa kahulugan, mayroon tayong:
D(X)=M 2 . (3)
Kinakalkula namin ang lahat ng posibleng mga halaga ng parisukat ng paglihis.
2 =(48-54) 2 =36
2 =(53-54) 2 =1
2 =(57-54) 2 =9
2 =(61-54) 2 =49
Upang kalkulahin ang variance D(X), binubuo namin ang batas ng pamamahagi ng squared deviation at pagkatapos ay ilapat ang formula (2).
D(X)= 36∙0.2+1∙0.4+9∙0.3 +49∙0.1=15.2.
Dapat tandaan na ang sumusunod na katangian ay kadalasang ginagamit upang kalkulahin ang pagkakaiba: ang pagkakaiba D(X) ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng matematikal na inaasahan ng parisukat ng random na variable X at ang parisukat ng matematikal na inaasahan nito, iyon ay
D(X)-M(X 2)- 2 . (4)
Upang kalkulahin ang pagkakaiba gamit ang formula (4), binubuo namin ang batas ng pamamahagi ng random variable X 2:
Ngayon, hanapin natin ang mathematical expectation na M(X 2).
М(Х 2)= (48) 2 ∙0.2+(53) 2 ∙0.4+(57) 2 ∙0.3 +(61) 2 ∙0.1=
460,8+1123,6+974,7+372,1=2931,2.
Kapag nag-aaplay (4), makakakuha tayo ng:
D(X)=2931.2-(54) 2=2931.2-2916=15.2.
Tulad ng nakikita mo, nakuha namin ang parehong resulta.
c) Ang dimensyon ng variance ay katumbas ng parisukat ng dimensyon ng random variable. Samakatuwid, upang makilala ang pagpapakalat ng mga posibleng halaga ng isang random na variable sa paligid ng average na halaga nito, mas maginhawang isaalang-alang ang isang halaga na katumbas ng arithmetic na halaga ng square root ng variance, iyon ay 
. Ang halagang ito ay tinatawag na standard deviation ng random variable X at tinutukoy ng σ. Sa gayon
σ= 
. (5)
Ang paglalapat ng (5), mayroon tayong: σ= 
.
Halimbawa. Ang random variable X ay ipinamamahagi ayon sa normal na batas. Pag-asa sa matematika М(Х)=5; pagkakaiba D(X)=0.64. Hanapin ang posibilidad na, bilang resulta ng pagsusulit, ang X ay kukuha ng halaga sa pagitan (4; 7).
Desisyon.Alam na kung ang isang random na variable X ay ibinigay ng isang differential function na f(x), kung gayon ang posibilidad na ang X ay kumuha ng isang halaga na kabilang sa pagitan (α,β) ay kinakalkula ng formula
. (1)
Kung ang halaga ng X ay ibinahagi ayon sa normal na batas, kung gayon ang pag-andar ng kaugalian
,
saan a=M(X) at σ= 
. Sa kasong ito, nakukuha namin mula sa (1)
. (2)
Ang formula (2) ay maaaring mabago gamit ang Laplace function.
Gumawa tayo ng substitution. Hayaan 
. Pagkatapos 
o dx=σ∙
dt.
Kaya naman 
, kung saan ang t 1 at t 2 ay ang kaukulang mga limitasyon para sa variable na t.
Pagbabawas ng σ, mayroon tayo
Mula sa pagpapalit ng input 
sinusundan iyon 
at 
.
kaya,
(3)
Ayon sa kondisyon ng problema, mayroon tayong: a=5; σ= 
=0.8; α=4; β=7. Ang pagpapalit ng mga datos na ito sa (3), makukuha natin ang:
=F(2.5)-F(-1.25)=
\u003d F (2.5) + F (1.25) \u003d 0.4938 + 0.3944 \u003d 0.8882.
Halimbawa. Ito ay pinaniniwalaan na ang paglihis ng haba ng mga ginawang bahagi mula sa pamantayan ay isang random na variable na ibinahagi ayon sa normal na batas. Standard na haba (expectation) a=40 cm, standard deviation σ=0.4 cm. Hanapin ang posibilidad na ang deviation ng haba mula sa standard ay hindi hihigit sa 0.6 cm sa absolute value.
Desisyon.Kung ang X ay ang haba ng bahagi, kung gayon ayon sa kondisyon ng problema, ang halagang ito ay dapat nasa pagitan (a-δ, a + δ), kung saan a=40 at δ=0.6.
Paglalagay sa formula (3) α= a-δ at β= a+δ, nakukuha natin
. (4)
Ang pagpapalit ng magagamit na data sa (4), makuha namin ang:
Samakatuwid, ang posibilidad na ang haba ng mga ginawang bahagi ay nasa hanay mula 39.4 hanggang 40.6 cm ay 0.8664.
Halimbawa. Ang diameter ng mga bahagi na ginawa ng halaman ay isang random na variable na ipinamamahagi ayon sa normal na batas. Karaniwang Diameter Haba a=2.5 cm, karaniwang paglihis σ=0.01. Sa loob ng anong mga limitasyon maaari talagang ginagarantiyahan ng isa ang haba ng diameter ng bahaging ito, kung ang isang kaganapan na may posibilidad na 0.9973 ay kukunin bilang isang maaasahan?
Desisyon. Sa pamamagitan ng kondisyon ng problema, mayroon tayong:
a=2.5; σ=0.01; .
Sa paglalapat ng formula (4), nakukuha natin ang pagkakapantay-pantay:
o 
.
Ayon sa talahanayan 2, nakita namin na ang Laplace function ay may ganoong halaga sa x=3. Kaya naman, 
; saan σ=0.03.
Kaya, masisiguro na ang haba ng diameter ay mag-iiba sa pagitan ng 2.47 at 2.53 cm.
Isaalang-alang ang ibabaw ng isang likido na nakapatong sa isang patag na tabas. Kung ang ibabaw ng likido ay hindi patag, kung gayon ang pagkahilig nito sa pagkontrata ay hahantong sa paglitaw ng presyon, karagdagang sa naranasan ng isang likido na may patag na ibabaw. Sa kaso ng isang matambok na ibabaw, ang karagdagang presyon na ito ay positibo; sa kaso ng isang malukong ibabaw, ito ay negatibo. Sa huling kaso, ang ibabaw na layer, na naghahanap upang makontrata, ay umaabot sa likido. Magtrabaho bilang isang guro ng kursong HR record management Moscow.
Ang magnitude ng karagdagang presyon, malinaw naman, ay dapat tumaas na may pagtaas sa koepisyent ng pag-igting sa ibabaw α at curvature sa ibabaw. Kalkulahin natin ang karagdagang presyon para sa spherical surface ng likido. Upang gawin ito, pinutol namin ang isang spherical liquid drop ng isang diametral na eroplano sa dalawang hemispheres (Larawan 5).
Cross section ng isang spherical liquid drop.
Dahil sa pag-igting sa ibabaw, ang parehong mga hemisphere ay naaakit sa isa't isa na may puwersang katumbas ng:
Ang puwersang ito ay nagdiin sa magkabilang hemisphere sa isa't isa sa ibabaw ng S=πR2 at, samakatuwid, ay nagdudulot ng karagdagang presyon:
∆p=F/S=(2πRα)/ πR2=2α/R (4)
Ang curvature ng isang spherical surface ay pareho sa lahat ng dako at tinutukoy ng radius ng sphere R. Malinaw, ang mas maliit na R, mas malaki ang curvature ng spherical surface. Ang curvature ng isang di-makatwirang ibabaw ay karaniwang nailalarawan sa pamamagitan ng tinatawag na average curvature, na maaaring iba para sa iba't ibang mga punto sa ibabaw.
Ang average na curvature ay tinutukoy sa pamamagitan ng curvature ng mga normal na seksyon. Ang normal na seksyon ng isang ibabaw sa ilang mga punto ay ang linya ng intersection ng ibabaw na ito na may isang eroplanong dumadaan sa normal patungo sa ibabaw sa puntong isinasaalang-alang. Para sa isang globo, anumang normal na seksyon ay isang bilog ng radius R (R ay ang radius ng globo). Ang halaga H=1/R ay nagbibigay ng curvature ng globo. Sa pangkalahatan, ang iba't ibang mga seksyon na iginuhit sa parehong punto ay may iba't ibang mga curvature. Sa geometry, pinatunayan na ang kalahating kabuuan ng reciprocal radii ng curvature
H=0.5(1/R1+1/R2) (5)
para sa anumang pares ng magkaparehong patayo na normal na mga seksyon ay may parehong halaga. Ang halagang ito ay ang average na curvature ng surface sa isang partikular na punto.
Ang radii R1 at R2 sa formula (5) ay mga algebraic na dami. Kung ang sentro ng curvature ng isang normal na seksyon ay nasa ibaba ng ibinigay na ibabaw, ang kaukulang radius ng curvature ay positibo, kung ang sentro ng curvature ay nasa itaas ng ibabaw, ang radius ng curvature ay negatibo.
Para sa sphere R1=R2=R, kaya ayon sa (5) H=1/R. Ang pagpapalit ng 1/R hanggang H sa (4), makuha natin iyon
Pinatunayan ni Laplace na ang formula (6) ay wasto para sa isang ibabaw ng anumang hugis, kung sa pamamagitan ng H ang ibig sabihin natin ay ang average na curvature ng ibabaw sa puntong ito, kung saan ang karagdagang presyon ay tinutukoy. Ang pagpapalit ng expression (5) para sa average na curvature sa (6), nakuha namin ang formula para sa karagdagang presyon sa ilalim ng isang arbitrary na ibabaw:
∆p=α(1/R1+1/R2) (7)
Ito ay tinatawag na Laplace formula.
Ang karagdagang presyon (7) ay nagdudulot ng pagbabago sa antas ng likido sa capillary, bilang resulta kung minsan ay tinatawag itong presyon ng capillary.
Ang pagkakaroon ng anggulo ng contact ay humahantong sa kurbada ng likidong ibabaw malapit sa mga dingding ng sisidlan. Sa isang capillary o sa isang makitid na agwat sa pagitan ng dalawang pader, ang buong ibabaw ay hubog. Kung binabasa ng likido ang mga dingding, ang ibabaw ay may malukong hugis, kung hindi ito basa, ito ay matambok (Larawan 4). Ang ganitong mga curved liquid surface ay tinatawag na menisci.
Kung ang capillary ay nahuhulog sa isang dulo sa isang likido na ibinuhos sa isang malawak na sisidlan, pagkatapos ay sa ilalim ng hubog na ibabaw sa capillary ang presyon ay mag-iiba mula sa presyon sa kahabaan ng patag na ibabaw sa malawak na sisidlan sa pamamagitan ng halaga ∆p na tinukoy ng formula (7 ). Bilang resulta, kapag ang capillary ay nabasa, ang antas ng likido sa loob nito ay mas mataas kaysa sa sisidlan, at kapag hindi nabasa, ito ay magiging mas mababa.
