Para sa isang materyal na punto, ang pangunahing batas ng dinamika ay maaaring katawanin bilang
Ang pagpaparami ng magkabilang panig ng kaugnayang ito sa kaliwang vectorially ng radius vector (Larawan 3.9), nakuha namin
(3.32)
Sa kanang bahagi ng formula na ito mayroon tayong moment of force na may kaugnayan sa point O. Binabago natin ang kaliwang bahagi sa pamamagitan ng paglalapat ng formula para sa derivative ng isang produkto ng vector
Pero 
bilang produkto ng vector ng mga parallel na vector. Pagkatapos nito makuha namin
(3.33)
Ang unang derivative na may paggalang sa oras ng sandali ng momentum ng isang punto na may kaugnayan sa anumang sentro ay katumbas ng sandali ng puwersa na nauugnay sa parehong sentro.
 |
Isang halimbawa ng pagkalkula ng angular momentum ng isang system. Kalkulahin ang kinetic moment na may kaugnayan sa point O ng isang system na binubuo ng isang cylindrical shaft ng mass M = 20 kg at radius R = 0.5 m at isang pababang load ng mass m = 60 kg (Figure 3.12). Ang baras ay umiikot sa paligid ng Oz axis na may angular na bilis ω = 10 s -1.
Larawan 3.12
; ; 
Para sa ibinigay na data ng input, ang angular na momentum ng system
Theorem sa pagbabago sa angular momentum ng isang sistema. Inilalapat namin ang mga resultang panlabas at panloob na puwersa sa bawat punto ng system. Para sa bawat punto ng system, maaari mong ilapat ang theorem sa pagbabago sa angular momentum, halimbawa sa anyo (3.33)
Pagsusuma sa lahat ng punto ng system at isinasaalang-alang na ang kabuuan ng mga derivative ay katumbas ng derivative ng kabuuan, nakukuha namin
Sa pamamagitan ng pagtukoy ng kinetic moment ng system at ang mga katangian ng panlabas at panloob na pwersa
Samakatuwid, ang resultang relasyon ay maaaring ilarawan bilang
Ang unang pagkakataon na derivative ng angular momentum ng isang sistema na may kaugnayan sa anumang punto ay katumbas ng pangunahing sandali ng mga panlabas na puwersa na kumikilos sa sistema na may kaugnayan sa parehong punto.
3.3.5. Trabaho ng puwersa
1) Ang elementarya na gawain ng isang puwersa ay katumbas ng scalar product ng puwersa at ang differential radius ng vector ng punto ng aplikasyon ng puwersa (Fig. 3.13)
Larawan 3.13
Ang pagpapahayag (3.36) ay maaari ding isulat sa mga sumusunod na katumbas na anyo
kung saan ang projection ng puwersa papunta sa direksyon ng bilis ng punto ng paglalapat ng puwersa.
2) Trabaho ng puwersa sa huling pag-alis
Pagsasama ng elementarya na gawain ng puwersa, nakukuha namin ang mga sumusunod na expression para sa gawain ng puwersa sa huling pag-alis mula sa punto A hanggang sa punto B
3) Gawain ng patuloy na puwersa
Kung ang puwersa ay pare-pareho, pagkatapos ay mula sa (3.38) ito ay sumusunod
Ang gawain ng isang pare-parehong puwersa ay hindi nakasalalay sa hugis ng tilapon, ngunit nakasalalay lamang sa displacement vector ng punto ng aplikasyon ng puwersa.
4) Trabaho ng puwersa ng timbang
Para sa puwersa ng timbang (Larawan 3.14) at mula sa (3.39) nakukuha namin
Larawan 3.14
Kung ang paggalaw ay nangyayari mula sa punto B hanggang sa punto A, kung gayon
Sa pangkalahatan
Ang “+” sign ay tumutugma sa pababang paggalaw ng force application point, ang “-” sign – pataas.
4) Trabaho ng nababanat na puwersa
Hayaang ang axis ng spring ay nakadirekta sa x axis (Larawan 3.15), at ang dulo ng spring ay gumagalaw mula sa punto 1 hanggang sa punto 2, pagkatapos ay mula sa (3.38) makuha namin 
Kung ang spring stiffness ay Sa, kaya pagkatapos
A 
(3.41)
Kung ang dulo ng tagsibol ay gumagalaw mula sa punto 0 hanggang sa punto 1, pagkatapos ay sa pagpapahayag na ito ay pinapalitan natin , , Kung gayon ang gawain ng nababanat na puwersa ay kukuha ng anyo
(3.42)
nasaan ang pagpahaba ng tagsibol.
Larawan 3.15
5) Ang gawain ng puwersa na inilapat sa isang umiikot na katawan. Ang gawain ng sandali.
Sa Fig. Ang Figure 3.16 ay nagpapakita ng umiikot na katawan kung saan inilalapat ang isang arbitrary na puwersa. Sa panahon ng pag-ikot, ang punto ng paggamit ng puwersang ito ay gumagalaw sa isang bilog.
Sa ilang mga problema, sa halip na ang momentum mismo, ang sandali nito na nauugnay sa ilang sentro o axis ay itinuturing na isang dynamic na katangian ng isang gumagalaw na punto. Ang mga sandaling ito ay tinukoy sa parehong paraan tulad ng mga sandali ng puwersa.
Momentum dami ng paggalaw Ang materyal na punto na nauugnay sa ilang sentro O ay tinatawag na isang vector na tinukoy ng pagkakapantay-pantay
Ang angular momentum ng isang punto ay tinatawag din kinetic na sandali .
Momentum kamag-anak sa anumang axis, na dumadaan sa sentro O, ay katumbas ng projection ng momentum vector sa axis na ito.
Kung ang momentum ay ibinibigay sa pamamagitan ng mga projection nito sa mga coordinate axes at ang mga coordinate ng punto sa espasyo ay ibinigay, kung gayon ang angular na momentum na nauugnay sa pinagmulan ay kinakalkula tulad ng sumusunod:
Ang mga projection ng angular momentum sa mga coordinate axes ay katumbas ng:
Ang SI unit ng momentum ay – .
Pagtatapos ng trabaho -
Ang paksang ito ay kabilang sa seksyon:
Dynamics
Lecture.. summary introduction to dynamics, axioms of classical mechanics.. introduction..
Kung kailangan mo ng karagdagang materyal sa paksang ito, o hindi mo nakita ang iyong hinahanap, inirerekumenda namin ang paggamit ng paghahanap sa aming database ng mga gawa:
Ano ang gagawin natin sa natanggap na materyal:
Kung ang materyal na ito ay kapaki-pakinabang sa iyo, maaari mo itong i-save sa iyong pahina sa mga social network:
| Tweet |
Lahat ng mga paksa sa seksyong ito:
Mga sistema ng yunit
SGS Si Teknikal [L] cm m m [M]
Differential equation ng paggalaw ng isang punto
Ang pangunahing equation ng dynamics ay maaaring isulat bilang mga sumusunod
Mga pangunahing gawain ng dinamika
Una o direktang problema: Ang masa ng isang punto at ang batas ng paggalaw nito ay kilala; ito ay kinakailangan upang mahanap ang puwersa na kumikilos sa punto. m
Ang pinakamahalagang kaso
1. Ang puwersa ay pare-pareho.
Dami ng paggalaw ng punto
Ang dami ng paggalaw ng isang materyal na punto ay isang vector na katumbas ng produkto m
Elementarya at buong puwersang salpok
Ang pagkilos ng isang puwersa sa isang materyal na punto sa paglipas ng panahon
Theorem sa pagbabago sa momentum ng isang punto
Teorama. Ang derivative ng oras ng momentum ng isang punto ay katumbas ng puwersang kumikilos sa punto. Isulat natin ang pangunahing batas ng dinamika
Theorem sa pagbabago sa angular momentum ng isang punto
Teorama. Ang derivative ng oras ng sandali ng momentum ng isang punto na kinuha na may kaugnayan sa ilang sentro ay katumbas ng sandali ng puwersa na kumikilos sa punto na may kaugnayan sa parehong
Trabaho ng puwersa. kapangyarihan
Isa sa mga pangunahing katangian ng puwersa na sinusuri ang epekto ng puwersa sa isang katawan sa panahon ng ilang paggalaw.
Theorem sa pagbabago sa kinetic energy ng isang punto
Teorama. Ang pagkakaiba ng kinetic energy ng isang punto ay katumbas ng elementarya na gawain ng puwersang kumikilos sa punto.
Prinsipyo ni D'Alembert para sa isang materyal na punto
Ang equation ng paggalaw ng isang materyal na punto na nauugnay sa isang inertial na sistema ng sanggunian sa ilalim ng pagkilos ng inilapat na mga aktibong pwersa at pagsasama ng mga puwersa ng reaksyon ay may anyo:
Dynamics ng isang hindi-libreng materyal na punto
Ang isang di-libreng materyal na punto ay isang punto na ang kalayaan sa paggalaw ay limitado. Ang mga katawan na naglilimita sa kalayaan ng paggalaw ng isang punto ay tinatawag na mga koneksyon
Kamag-anak na paggalaw ng isang materyal na punto
Sa maraming mga problema sa dinamika, ang paggalaw ng isang materyal na punto ay itinuturing na nauugnay sa isang reference frame na gumagalaw na may kaugnayan sa isang inertial reference frame.
Mga espesyal na kaso ng kamag-anak na paggalaw
1. Relative motion by inertia Kung ang isang materyal na point ay gumagalaw na may kaugnayan sa isang gumagalaw na reference frame nang rectilinearly at pare-pareho, kung gayon ang naturang paggalaw ay tinatawag na relative
Geometry ng masa
Isaalang-alang ang isang mekanikal na sistema na binubuo ng isang tiyak na bilang ng mga materyal na puntos na may masa
Mga sandali ng pagkawalang-galaw
Upang makilala ang pamamahagi ng mga masa sa mga katawan kapag isinasaalang-alang ang mga paggalaw ng pag-ikot, kinakailangan upang ipakilala ang mga konsepto ng mga sandali ng pagkawalang-galaw. Sandali ng pagkawalang-galaw tungkol sa isang punto
Mga sandali ng pagkawalang-galaw ng pinakasimpleng katawan
1. Uniform rod 2. Parihabang plato 3. Uniform round disk
Dami ng paggalaw ng system
Ang dami ng paggalaw ng isang sistema ng mga materyal na puntos ay ang vector sum ng mga dami
Theorem sa pagbabago ng momentum ng isang sistema
Ang teorama na ito ay dumating sa tatlong magkakaibang anyo. Teorama. Ang derivative ng oras ng momentum ng system ay katumbas ng vector sum ng lahat ng panlabas na pwersa na kumikilos
Mga batas ng konserbasyon ng momentum
1. Kung ang pangunahing vector ng lahat ng panlabas na puwersa ng system ay zero (), kung gayon ang dami ng paggalaw ng system ay pare-pareho
Theorem sa paggalaw ng sentro ng masa
Theorem Ang sentro ng masa ng isang sistema ay gumagalaw sa parehong paraan tulad ng isang materyal na punto, ang masa nito ay katumbas ng masa ng buong sistema, kung ang lahat ng panlabas na puwersa ay inilapat sa punto ay kumikilos sa punto.
Momentum ng system
Ang angular momentum ng isang sistema ng mga materyal na puntos na may kaugnayan sa ilan
Saglit ng momentum ng isang matibay na katawan na may kaugnayan sa axis ng pag-ikot sa panahon ng pag-ikot ng paggalaw ng isang matibay na katawan
Kalkulahin natin ang angular na momentum ng isang matibay na katawan na may kaugnayan sa axis ng pag-ikot.
Theorem sa pagbabago sa angular momentum ng isang sistema
Teorama. Ang derivative ng oras ng momentum ng system, na kinuha kaugnay sa ilang sentro, ay katumbas ng vector sum ng mga sandali ng mga panlabas na puwersa na kumikilos sa
Mga batas ng konserbasyon ng angular momentum
1. Kung ang pangunahing sandali ng mga panlabas na puwersa ng system na may kaugnayan sa punto ay katumbas ng zero (
Kinetic energy ng system
Ang kinetic energy ng isang system ay ang kabuuan ng mga kinetic energies ng lahat ng mga punto ng system.
Kinetic energy ng isang solid
1. Pasulong na paggalaw ng katawan. Ang kinetic energy ng isang matibay na katawan sa panahon ng paggalaw ng pagsasalin ay kinakalkula sa parehong paraan tulad ng para sa isang punto na ang masa ay katumbas ng masa ng katawan na ito.
Theorem sa pagbabago sa kinetic energy ng isang system
Ang teorama na ito ay dumating sa dalawang anyo. Teorama. Ang pagkakaiba ng kinetic energy ng system ay katumbas ng kabuuan ng elementarya na gawa ng lahat ng panlabas at panloob na pwersa na kumikilos sa system
Una, isaalang-alang natin ang kaso ng isang materyal na punto. Hayaan ang masa ng materyal na punto M, ang bilis nito, at ang dami ng paggalaw.
Pumili tayo ng isang punto O sa nakapalibot na espasyo at buuin ang sandali ng vector na may kaugnayan sa puntong ito ayon sa parehong mga patakaran kung saan ang sandali ng puwersa ay kinakalkula sa statics. Nakukuha namin ang dami ng vector
na tinatawag na angular momentum ng materyal na punto na may kaugnayan sa sentro O (Larawan 31).
Bumuo tayo ng isang Cartesian rectangular coordinate system na Oxyz na may pinagmulan sa gitnang O at i-project ang vector ko sa mga ax na ito. Ang mga projection nito sa mga ax na ito, na katumbas ng mga sandali ng vector na nauugnay sa kaukulang coordinate axes, ay tinatawag na mga momentum ng momentum ng materyal na punto na nauugnay sa mga coordinate axes:
Magkaroon tayo ngayon ng isang mekanikal na sistema na binubuo ng N mga punto ng materyal. Sa kasong ito, maaaring matukoy ang angular momentum para sa bawat punto ng system:
Ang geometric na kabuuan ng angular momentum ng lahat ng materyal na punto na bumubuo sa system ay tinatawag na principal angular momentum o kinetic moment ng system.
Ang dami ng paggalaw ng system, bilang isang dami ng vector, ay tinutukoy ng mga formula (4.12) at (4.13).
Teorama. Ang derivative ng momentum ng system na may paggalang sa oras ay katumbas ng geometric na kabuuan ng lahat ng panlabas na pwersa na kumikilos dito.
Sa mga projection ng Cartesian axes nakakakuha tayo ng mga scalar equation.
Maaari kang magsulat ng isang vector
(4.28)
at scalar equation
Na nagpapahayag ng theorem tungkol sa pagbabago sa momentum ng system sa integral form: ang pagbabago sa momentum ng system sa isang tiyak na tagal ng panahon ay katumbas ng kabuuan ng mga impulses sa parehong tagal ng panahon. Sa paglutas ng mga problema, ang mga equation (4.27) ay mas madalas na ginagamit
Batas ng konserbasyon ng momentum
Theorem sa pagbabago sa angular momentum
Ang theorem sa pagbabago sa angular momentum ng isang punto na may kaugnayan sa sentro: ang time derivative ng angular momentum ng isang point na may kaugnayan sa isang fixed center ay katumbas ng vector moment of force na kumikilos sa punto na may kaugnayan sa parehong center.
O kaya 
(4.30)
Kung ihahambing ang (4.23) at (4.30), makikita natin na ang mga sandali ng mga vector at nauugnay sa parehong pag-asa gaya ng mga vector at ang kanilang mga sarili ay magkakaugnay (Fig. 4.1). Kung ipapakita namin ang pagkakapantay-pantay sa axis na dumadaan sa gitnang O, nakukuha namin
(4.31)
Ang pagkakapantay-pantay na ito ay nagpapahayag ng angular momentum theorem ng isang punto na may kaugnayan sa isang axis.
|
(4.32)
Kung ipapalabas natin ang expression (4.32) sa axis na dumadaan sa gitna O, makakakuha tayo ng pagkakapantay-pantay na nagpapakilala sa theorem sa pagbabago sa angular momentum na nauugnay sa axis.
(4.33)
Ang pagpapalit ng (4.10) sa pagkakapantay-pantay (4.33), maaari nating isulat ang differential equation ng umiikot na matibay na katawan (mga gulong, axle, shaft, rotor, atbp.) sa tatlong anyo.
(4.34)
(4.35)
(4.36)
Kaya, ipinapayong gamitin ang theorem sa pagbabago sa kinetic moment upang pag-aralan ang paggalaw ng isang matibay na katawan, na karaniwan sa teknolohiya, ang pag-ikot nito sa paligid ng isang nakapirming axis.
Batas ng konserbasyon ng angular momentum ng isang sistema
1. Hayaan sa pagpapahayag (4.32) .
Pagkatapos mula sa equation (4.32) ito ay sumusunod na, i.e. kung ang kabuuan ng mga sandali ng lahat ng mga panlabas na puwersa na inilapat sa system na may kaugnayan sa isang naibigay na sentro ay katumbas ng zero, kung gayon ang kinetic moment ng system na nauugnay sa sentro na ito ay magiging pare-pareho ayon sa numero at direksyon.
2. Kung , kung gayon . Kaya, kung ang kabuuan ng mga sandali ng mga panlabas na puwersa na kumikilos sa system na may kaugnayan sa isang tiyak na axis ay zero, kung gayon ang kinetic moment ng system na nauugnay sa axis na ito ay magiging isang pare-parehong halaga.
Ang mga resultang ito ay nagpapahayag ng batas ng konserbasyon ng angular momentum.
Sa kaso ng umiikot na matibay na katawan, sumusunod ito mula sa pagkakapantay-pantay (4.34) na, kung , pagkatapos . Mula dito dumating tayo sa mga sumusunod na konklusyon:
Kung ang sistema ay hindi nababago (ganap na matibay na katawan), kung gayon, ang matibay na katawan ay umiikot sa paligid ng isang nakapirming axis na may pare-pareho ang angular na bilis.
Kung ang sistema ay nababago, kung gayon . Sa isang pagtaas (pagkatapos ang mga indibidwal na elemento ng system ay lumayo mula sa axis ng pag-ikot), bumababa ang angular velocity, dahil , at kapag bumababa ito ay tumataas, kaya, sa kaso ng isang variable na sistema, sa tulong ng mga panloob na pwersa posible na baguhin ang angular na bilis.
Ang pangalawang gawain D2 ng pagsubok ay nakatuon sa theorem sa pagbabago sa angular momentum ng system na may kaugnayan sa axis.
Problema D2
Isang homogenous horizontal platform (circular na may radius R o rectangular na may gilid R at 2R, kung saan ang R = 1.2 m) na may mass na kg ay umiikot na may angular velocity sa paligid ng vertical axis z, na may pagitan mula sa gitna ng mass C ng platform sa isang distansya OC = b (Larawan E2.0 – D2.9, talahanayan D2); Ang mga sukat para sa lahat ng mga hugis-parihaba na platform ay ipinapakita sa Fig. D2.0a (top view).
Sa sandali ng oras, ang isang load D na may mass ng kg ay nagsisimulang gumalaw kasama ang platform chute (sa ilalim ng impluwensya ng mga panloob na pwersa) ayon sa batas, kung saan ang s ay ipinahayag sa metro, t - sa mga segundo. Kasabay nito, ang isang pares ng pwersa na may isang sandali M (tinukoy sa mga newtonometer; sa M< 0 его направление противоположно показанному на рисунках).
Tukuyin, pagpapabaya sa masa ng baras, ang pagtitiwala i.e. angular velocity ng platform bilang isang function ng oras.
Sa lahat ng mga figure, ang load D ay ipinapakita sa isang posisyon kung saan s > 0 (kapag s< 0, груз находится по другую сторону от точки А). Изображая чертеж решаемой задачи, провести ось z на заданном расстоянии OC = b от центра C.
Mga direksyon. Problema D2 – upang ilapat ang theorem sa pagbabago sa angular momentum ng system. Kapag inilalapat ang theorem sa isang system na binubuo ng isang platform at isang load, ang angular momentum ng system na may kaugnayan sa z axis ay tinutukoy bilang ang kabuuan ng mga sandali ng platform at ang load. Dapat itong isaalang-alang na ang ganap na bilis ng pagkarga ay ang kabuuan ng kamag-anak at portable na bilis, i.e. . Samakatuwid, ang dami ng paggalaw ng load na ito 
. Pagkatapos ay maaari mong gamitin ang Varignon's theorem (statics), ayon sa kung saan ; ang mga sandaling ito ay kinakalkula sa parehong paraan tulad ng mga sandali ng pwersa. Ang solusyon ay ipinaliwanag nang mas detalyado sa halimbawa D2.
Kapag nilulutas ang isang problema, kapaki-pakinabang na ilarawan sa isang pantulong na pagguhit ng isang view ng platform mula sa itaas (mula sa z dulo), tulad ng ginagawa sa Fig. D2.0, a – D2.9, a.
Ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang plato na may mass m na nauugnay sa axis Cz, patayo sa plato at dumadaan sa gitna ng masa nito, ay katumbas ng: para sa isang hugis-parihaba na plato na may mga gilid at
;
Para sa isang bilog na plato ng radius R
| Numero ng kundisyon | b | s = F(t) | M |
| R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 | -0.4 0.6 0.8 10 t 0.4 -0.5t -0.6t 0.8t 0.4 0.5 | 4t -6 -8t -9 6 -10 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Halimbawa D2. Ang isang homogenous na pahalang na platform (parihaba na may mga gilid na 2l at l), na may isang masa, ay mahigpit na nakakabit sa isang patayong baras at umiikot kasama nito sa paligid ng isang axis z na may angular velocity (Fig. E2a ). Sa sandali ng oras, ang isang metalikang kuwintas M ay nagsisimulang kumilos sa baras, na nakadirekta sa tapat ; sabay karga D masa na matatagpuan sa trench AB sa punto SA, nagsisimulang gumalaw kasama ang chute (sa ilalim ng impluwensya ng mga panloob na pwersa) ayon sa batas s = CD = F(t).
Ibinigay: m 1 = 16 kg, t 2= 10 kg, l= 0.5 m, = 2, s = 0.4t 2 (s - sa metro, t - sa segundo), M= kt, saan k=6 Nm/s. Tukuyin: - ang batas ng pagbabago sa angular velocity ng platform.
Solusyon. Isaalang-alang ang isang mekanikal na sistema na binubuo ng isang platform at isang load D. Upang matukoy ang w, inilalapat namin ang theorem sa pagbabago sa angular momentum ng system na may kaugnayan sa axis z:
(1)
Ilarawan natin ang mga panlabas na puwersa na kumikilos sa system: ang gravitational force ng reaksyon at ang torque M. Dahil ang mga pwersa at ay kahanay sa z axis, at ang mga reaksyon ay nagsalubong sa axis na ito, ang kanilang mga sandali na nauugnay sa z axis ay katumbas ng sero. Pagkatapos, kung isasaalang-alang ang positibong direksyon para sa sandaling ito (i.e., counterclockwise), nakukuha namin 
at ang equation (1) ay kukuha ng form na ito.
Ang direksyon at magnitude ng sandali ng momentum ay natutukoy sa eksaktong parehong paraan tulad ng sa kaso ng pagtantya ng sandali ng puwersa (seksyon 1.2.2).
Sa parehong oras ay tinukoy namin ( pangunahing) angular na momentum bilang vector sum ng mga sandali ng bilang ng mga paggalaw ng mga punto ng system na isinasaalang-alang. Mayroon din itong pangalawang pangalan - kinetic na sandali :
Hanapin natin ang time derivative ng expression (3.40), gamit ang mga panuntunan para sa pagkakaiba ng produkto ng dalawang function, at gayundin ang katotohanan na ang derivative ng isang sum ay katumbas ng sum ng derivatives (i.e., ang sign ng kabuuan ay maaaring inilipat bilang isang koepisyent sa panahon ng pagkita ng kaibhan):
.
Isaalang-alang natin ang malinaw na pagkakapantay-pantay ng kinematic: 
. Pagkatapos: 
. Ginagamit namin ang average na equation mula sa mga formula (3.26) 
, at gayundin ang katotohanan na ang produkto ng vector ng dalawang collinear vectors ( at ) ay katumbas ng zero, nakuha namin ang:
Ang paglalapat ng pag-aari ng mga panloob na puwersa (3.36) sa ika-2 termino, nakakakuha tayo ng isang expression para sa theorem sa pagbabago sa pangunahing sandali ng momentum ng isang mekanikal na sistema:
 .
| (3.42) |
Ang derivative ng oras ng kinetic moment ay katumbas ng kabuuan ng mga sandali ng lahat ng panlabas na pwersa na kumikilos sa system.
Ang pormulasyon na ito ay madalas na tinatawag na maikli: teorama ng sandali .
Dapat tandaan na ang theorem ng mga sandali ay nabuo sa isang nakapirming frame ng sanggunian na may kaugnayan sa isang tiyak na nakapirming sentro O. Kung ang isang matibay na katawan ay itinuturing bilang isang mekanikal na sistema, kung gayon ito ay maginhawa upang piliin ang sentro O sa axis ng pag-ikot ng katawan.
Isang mahalagang pag-aari ng sandali ang teorama ay dapat tandaan (ipinapakita namin ito nang walang derivation). Ang theorem of moments ay totoo rin sa isang translationally moving reference system kung ang sentro ng masa (point C) ng katawan (mechanical system) ay pinili bilang sentro nito:
Ang pagbabalangkas ng theorem sa kasong ito ay nananatiling halos pareho.
Bunga 1
Hayaang ang kanang bahagi ng expression (3.42) ay katumbas ng zero =0, - ang sistema ay nakahiwalay. Pagkatapos mula sa equation (3.42) ito ay sumusunod na .
Para sa isang nakahiwalay na mekanikal na sistema, ang vector ng kinetic moment ng system ay hindi nagbabago alinman sa direksyon o sa magnitude sa paglipas ng panahon.
Bunga 2
Kung ang kanang bahagi ng alinman sa mga expression (3.44) ay katumbas ng zero, halimbawa, para sa Oz axis: =0 (partially isolated system), pagkatapos ay mula sa equation (3.44) ito ay sumusunod: =const.
Dahil dito, kung ang kabuuan ng mga sandali ng mga panlabas na puwersa na nauugnay sa anumang axis ay zero, kung gayon ang axial kinetic moment ng system kasama ang axis na ito ay hindi nagbabago sa paglipas ng panahon.
Ang mga formulation na ibinigay sa itaas sa corollaries ay ang mga expression batas ng konserbasyon ng angular momentum sa mga nakahiwalay na sistema .
Momentum ng isang matibay na katawan
Isaalang-alang natin ang isang espesyal na kaso - ang pag-ikot ng isang matibay na katawan sa paligid ng axis ng Oz (Larawan 3.4).
Fig.3.4
Isang punto sa isang katawan na nahihiwalay mula sa axis ng pag-ikot ng isang distansya h k, umiikot sa isang eroplanong parallel sa Oxy sa bilis na . Alinsunod sa kahulugan ng axial moment, ginagamit namin ang expression (1.19), na pinapalitan ang projection F Puwersa ng XY sa eroplanong ito sa dami ng paggalaw ng punto 
. Tantyahin natin ang axial kinetic moment ng katawan:
Ayon sa Pythagorean theorem 
, samakatuwid ang (3.46) ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:
 | (3.47) |
Pagkatapos ang expression (3.45) ay kukuha ng form:
| (3.48) |
Kung gagamitin natin ang batas ng konserbasyon ng angular momentum para sa isang bahagyang nakahiwalay na sistema (Corollary 2) na may kaugnayan sa isang solidong katawan (3.48), makukuha natin . Sa kasong ito, maaari mong isaalang-alang ang dalawang pagpipilian:
MGA TANONG PARA SA PAGKONTROL SA SARILI
1. Paano tinutukoy ang angular momentum ng umiikot na matibay na katawan?
2. Paano naiiba ang axial moment of inertia sa axial kinetic moment?
3. Paano nagbabago ang bilis ng pag-ikot ng isang matibay na katawan sa paglipas ng panahon sa kawalan ng mga panlabas na puwersa?
Axial moment of inertia ng isang matibay na katawan
Tulad ng makikita natin sa ibang pagkakataon, ang axial moment ng inertia ng isang katawan ay may parehong kahalagahan para sa rotational motion ng isang katawan bilang ang masa ng isang katawan sa panahon ng translational motion nito. Ito ay isa sa mga pinakamahalagang katangian ng katawan, na tinutukoy ang pagkawalang-kilos ng katawan sa panahon ng pag-ikot nito. Tulad ng makikita mula sa kahulugan (3.45), ito ay isang positibong scalar na dami, na nakasalalay sa masa ng mga punto ng system, ngunit sa isang mas malaking lawak sa distansya ng mga puntos mula sa axis ng pag-ikot.
Para sa tuluy-tuloy na homogenous na katawan ng mga simpleng hugis, ang halaga ng axial moment ng inertia, tulad ng sa kaso ng pagtantya ng posisyon ng sentro ng masa (3.8), ay kinakalkula ng paraan ng pagsasama, gamit ang mass ng elementary volume sa halip na isang discrete mass dm=ρdV:
 | (3.49) |
Para sa sanggunian, ipinakita namin ang mga halaga ng mga sandali ng pagkawalang-galaw para sa ilang mga simpleng katawan:
m at haba l may kaugnayan sa axis na dumadaan patayo sa baras sa gitna nito (Larawan 3.5).
Fig.3.5
Ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang manipis na homogenous rod na may masa m at haba l may kaugnayan sa axis na dumadaan patayo sa baras sa dulo nito (Larawan 3.6).
Fig.3.6
Ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang manipis na homogenous na singsing ng masa m at radius R may kaugnayan sa axis na dumadaan sa gitna nito patayo sa eroplano ng singsing (Larawan 3.7).
Fig.3.7
Ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang manipis na homogenous na disk na may masa m at radius R may kaugnayan sa axis na dumadaan sa gitna nito patayo sa eroplano ng disk (Larawan 3.7).
Fig.3.8
· Sandali ng pagkawalang-galaw ng isang katawan na may di-makatwirang hugis.
Para sa mga katawan ng di-makatwirang hugis, ang sandali ng pagkawalang-kilos ay nakasulat sa sumusunod na anyo:
saan ρ - tinatawag na radius ng gyration katawan, o ang radius ng isang tiyak na karaniwang singsing na may masa m, ang axial moment ng inertia na kung saan ay katumbas ng moment of inertia ng ibinigay na katawan.
Huygens–Steiner theorem
Fig.3.9
Iugnay natin ang dalawang parallel coordinate system sa katawan. Ang unang Cx"y"z", na may pinagmulan sa gitna ng masa, ay tinatawag na sentral, at ang pangalawang Oxyz, na may gitnang O, na nakahiga sa Cx" axis sa layo CO = d(Larawan 3.9). Madaling magtatag ng mga koneksyon sa pagitan ng mga coordinate ng mga body point sa mga system na ito:
Alinsunod sa formula (3.47), ang sandali ng pagkawalang-kilos ng katawan na may kaugnayan sa Oz axis:
Dito ang mga kadahilanan 2 ay pare-pareho para sa lahat ng mga tuntunin ng ika-2 at ika-3 na kabuuan ng kanang bahagi d At d kinuha mula sa kaukulang mga halaga. Ang kabuuan ng masa sa ikatlong termino ay ang masa ng katawan. Ang pangalawang kabuuan, alinsunod sa (3.7), ay tumutukoy sa coordinate ng sentro ng mass C sa axis Cx" (), at ang pagkakapantay-pantay ay halata: . Isinasaalang-alang na ang 1st term, sa pamamagitan ng kahulugan, ay ang sandali ng pagkawalang-kilos ng katawan na may kaugnayan sa gitnang axis Cz" (o Z C ) 
, nakuha namin ang pagbabalangkas ng Huygens - Steiner theorem:
 | (3.50) |
Ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang katawan na may kaugnayan sa isang tiyak na axis ay katumbas ng kabuuan ng sandali ng pagkawalang-galaw ng katawan na may kaugnayan sa isang parallel na gitnang axis at ang produkto ng masa ng katawan sa pamamagitan ng parisukat ng distansya sa pagitan ng mga ax na ito.
MGA TANONG PARA SA PAGKONTROL SA SARILI
1. Magbigay ng mga formula para sa axial moments ng inertia ng isang baras, singsing, disk.
2. Hanapin ang radius ng gyration ng isang bilog na solid cylinder na may kaugnayan sa gitnang axis nito.
