Kanina napag-usapan na natin kung ano ang kapangyarihan ng isang numero. Ito ay may ilang mga katangian na kapaki-pakinabang sa paglutas ng mga problema: ito ay sila at lahat ng posibleng exponent na aming susuriin sa artikulong ito. Ipapakita rin namin sa pamamagitan ng mga halimbawa kung paano ito mapapatunayan at mailalapat nang tama sa pagsasanay.
Alalahanin natin ang konsepto ng isang degree na may natural na exponent, na nabalangkas na natin kanina: ito ang produkto ng ika-n na bilang ng mga salik, na ang bawat isa ay katumbas ng a. Kailangan din nating tandaan kung paano tama ang pagpaparami ng mga tunay na numero. Ang lahat ng ito ay makakatulong sa amin na bumalangkas ng mga sumusunod na katangian para sa isang degree na may natural na tagapagpahiwatig:
Kahulugan 1
1. Ang pangunahing katangian ng degree: a m a n = a m + n
Maaaring gawing pangkalahatan sa: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .
2. Ang quotient property para sa mga kapangyarihan na may parehong base: a m: a n = a m − n
3. Pag-aari ng antas ng produkto: (a b) n = a n b n
Ang pagkakapantay-pantay ay maaaring palawigin sa: (a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n
4. Pag-aari ng natural na antas: (a: b) n = a n: b n
5. Itinataas namin ang kapangyarihan sa kapangyarihan: (a m) n = a m n ,
Maaaring gawing pangkalahatan sa: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 n 2 … n k
6. Ihambing ang antas sa zero:
- kung a > 0, kung gayon para sa anumang natural na n, ang isang n ay mas malaki sa zero;
- na may katumbas na 0, ang isang n ay magiging katumbas din ng zero;
- para sa< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
- para sa< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.
7. Pagkakapantay-pantay a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.
8. Magiging totoo ang hindi pagkakapantay-pantay na a m > a n sa kondisyon na ang m at n ay natural na mga numero, ang m ay mas malaki sa n at ang a ay mas malaki sa zero at hindi bababa sa isa.
Bilang resulta, nakakuha kami ng ilang pagkakapantay-pantay; kung matutugunan mo ang lahat ng mga kundisyong nakasaad sa itaas, magkapareho ang mga ito. Para sa bawat isa sa mga pagkakapantay-pantay, halimbawa, para sa pangunahing ari-arian, maaari mong palitan ang kanan at kaliwang bahagi: a m · a n = a m + n - kapareho ng a m + n = a m · a n . Sa form na ito, madalas itong ginagamit kapag pinasimple ang mga expression.
1. Magsimula tayo sa pangunahing katangian ng degree: ang pagkakapantay-pantay a m · a n = a m + n ay magiging totoo para sa anumang natural na m at n at real a . Paano patunayan ang pahayag na ito?
Ang pangunahing kahulugan ng mga kapangyarihan na may natural na mga exponent ay magbibigay-daan sa amin na i-convert ang pagkakapantay-pantay sa isang produkto ng mga kadahilanan. Makakakuha tayo ng entry na ganito:
Maaari itong paikliin sa 
(tandaan ang mga pangunahing katangian ng multiplikasyon). Bilang resulta, nakuha namin ang antas ng numero a na may natural na exponent m + n. Kaya, a m + n , na nangangahulugan na ang pangunahing pag-aari ng degree ay napatunayan.
Kumuha tayo ng konkretong halimbawa para patunayan ito.
Halimbawa 1
Kaya mayroon kaming dalawang kapangyarihan na may base 2. Ang kanilang mga likas na tagapagpahiwatig ay 2 at 3, ayon sa pagkakabanggit. Nakuha namin ang pagkakapantay-pantay: 2 2 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Kalkulahin natin ang mga halaga upang suriin ang kawastuhan ng pagkakapantay-pantay na ito.
Isagawa natin ang mga kinakailangang operasyong matematika: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 at 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32
Bilang resulta, nakuha namin ang: 2 2 2 3 = 2 5 . Ang ari-arian ay napatunayan na.
Dahil sa mga katangian ng multiplikasyon, maaari nating gawing pangkalahatan ang ari-arian sa pamamagitan ng pagbabalangkas nito sa anyo ng tatlo o higit pang mga kapangyarihan, kung saan ang mga exponent ay mga natural na numero, at ang mga base ay pareho. Kung tinutukoy natin ang bilang ng mga natural na numero n 1, n 2, atbp. sa pamamagitan ng letrang k, nakukuha natin ang tamang pagkakapantay-pantay:
a n 1 a n 2 … a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .
Halimbawa 2
2. Susunod, kailangan nating patunayan ang sumusunod na ari-arian, na tinatawag na quotient property at likas sa mga kapangyarihan na may parehong mga batayan: ito ang pagkakapantay-pantay a m: a n = a m − n , na wasto para sa anumang natural na m at n (at m ay mas malaki kaysa sa n)) at anumang non-zero real a .
Upang magsimula, ipaliwanag natin kung ano ang eksaktong kahulugan ng mga kondisyon na binanggit sa pagbabalangkas. Kung kukuha tayo ng katumbas ng zero, sa huli ay makakakuha tayo ng dibisyon ng zero, na hindi magagawa (pagkatapos ng lahat, 0 n = 0). Ang kondisyon na ang bilang na m ay dapat na mas malaki kaysa sa n ay kinakailangan upang manatili tayo sa loob ng mga natural na exponent: sa pamamagitan ng pagbabawas ng n mula sa m, makakakuha tayo ng natural na numero. Kung hindi matugunan ang kundisyon, makakakuha tayo ng negatibong numero o zero, at muli ay lalampas tayo sa pag-aaral ng mga degree na may natural na mga tagapagpahiwatig.
Ngayon ay maaari tayong magpatuloy sa patunay. Mula sa naunang pinag-aralan, naaalala natin ang mga pangunahing katangian ng mga fraction at bumalangkas ng pagkakapantay-pantay tulad ng sumusunod:
a m − n a n = a (m − n) + n = a m
Mula rito ay mahihinuha natin: a m − n a n = a m
Alalahanin ang koneksyon sa pagitan ng paghahati at pagpaparami. Ito ay sumusunod mula dito na ang a m − n ay isang quotient ng mga kapangyarihan a m at a n . Ito ang patunay ng second degree property.
Halimbawa 3
Palitan ang mga partikular na numero para sa kalinawan sa mga indicator, at tukuyin ang base ng degree π: π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3
3. Susunod, susuriin natin ang katangian ng antas ng produkto: (a · b) n = a n · b n para sa anumang real a at b at natural n .
Ayon sa pangunahing kahulugan ng isang degree na may natural na exponent, maaari nating baguhin ang pagkakapantay-pantay tulad ng sumusunod:
Ang pag-alala sa mga katangian ng pagpaparami, isinusulat namin: 
. Ang ibig sabihin nito ay pareho ng a n · b n .
Halimbawa 4
2 3 - 4 2 5 4 = 2 3 4 - 4 2 5 4
Kung mayroon kaming tatlo o higit pang mga salik, ang property na ito ay nalalapat din sa kasong ito. Ipinakilala namin ang notasyon k para sa bilang ng mga kadahilanan at isulat:
(a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n
Halimbawa 5
Sa mga partikular na numero, nakukuha natin ang sumusunod na tamang pagkakapantay-pantay: (2 (- 2 , 3) a) 7 = 2 7 (- 2 , 3) 7 a
4. Pagkatapos nito, susubukan naming patunayan ang quotient property: (a: b) n = a n: b n para sa anumang real a at b kung ang b ay hindi katumbas ng 0 at n ay isang natural na numero.
Para sa patunay, maaari nating gamitin ang dating degree na ari-arian. Kung (a: b) n b n = ((a: b) b) n = a n , at (a: b) n b n = a n , pagkatapos ay sumusunod na ang (a: b) n ay isang quotient ng paghahati ng a n sa b n .
Halimbawa 6
Bilangin natin ang halimbawa: 3 1 2: - 0 . 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3
Halimbawa 7
Magsimula tayo kaagad sa isang halimbawa: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6
At ngayon ay bumubuo kami ng isang hanay ng mga pagkakapantay-pantay na magpapatunay sa amin ng kawastuhan ng pagkakapantay-pantay: 
Kung mayroon tayong mga degree ng degree sa halimbawa, ang property na ito ay totoo rin para sa kanila. Kung mayroon tayong anumang mga natural na numero p, q, r, s, kung gayon ito ay magiging totoo:
a p q y s = a p q y s
Halimbawa 8
Magdagdag tayo ng mga detalye: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 2 5 = (5 , 2) 30
6. Ang isa pang katangian ng mga degree na may natural na exponent na kailangan nating patunayan ay ang paghahambing na ari-arian.
Una, ihambing natin ang exponent sa zero. Bakit ang a n > 0 sa kondisyon na ang a ay mas malaki sa 0?
Kung i-multiply natin ang isang positibong numero sa isa pa, makakakuha din tayo ng positibong numero. Alam ang katotohanang ito, maaari nating sabihin na hindi ito nakasalalay sa bilang ng mga kadahilanan - ang resulta ng pagpaparami ng anumang bilang ng mga positibong numero ay isang positibong numero. At ano ang isang degree, kung hindi ang resulta ng pagpaparami ng mga numero? Pagkatapos para sa anumang kapangyarihan na may positibong base at isang natural na exponent, ito ay magiging totoo.
Halimbawa 9
3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 at 34 9 13 51 > 0
Malinaw din na ang isang kapangyarihan na may base na katumbas ng zero ay zero mismo. Sa anumang kapangyarihan na itaas natin ang zero, mananatili itong zero.
Halimbawa 10
0 3 = 0 at 0 762 = 0
Kung ang base ng degree ay isang negatibong numero, kung gayon ang patunay ay medyo mas kumplikado, dahil ang konsepto ng even / odd exponent ay nagiging mahalaga. Magsimula tayo sa kaso kapag ang exponent ay pantay at tukuyin ito ng 2 · m , kung saan ang m ay isang natural na numero.
Tandaan natin kung paano tama ang pagpaparami ng mga negatibong numero: ang produkto a · a ay katumbas ng produkto ng mga module, at, samakatuwid, ito ay magiging isang positibong numero. Pagkatapos 
at ang digri a 2 · m ay positibo rin.
Halimbawa 11
Halimbawa, (− 6) 4 > 0 , (− 2 , 2) 12 > 0 at - 2 9 6 > 0
Paano kung ang exponent na may negatibong base ay isang kakaibang numero? Tukuyin natin ito 2 · m − 1 .
Pagkatapos 
Lahat ng mga produkto a · a , ayon sa mga katangian ng multiplikasyon, ay positibo, at gayundin ang kanilang produkto. Ngunit kung i-multiply natin ito sa natitirang bilang na a , ang huling resulta ay magiging negatibo.
Pagkatapos ay nakukuha natin ang: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0
Paano ito patunayan?
isang n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .
Halimbawa 12
Halimbawa, ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay totoo: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124
8. Ito ay nananatiling para sa amin upang patunayan ang huling pag-aari: kung mayroon kaming dalawang degree, ang mga base nito ay pareho at positibo, at ang mga exponent ay natural na mga numero, kung gayon ang isa sa mga ito ay mas malaki, ang exponent na kung saan ay mas mababa; at ng dalawang degree na may natural na mga tagapagpahiwatig at ang parehong mga base na mas malaki kaysa sa isa, ang antas ay mas malaki, ang tagapagpahiwatig kung saan ay mas malaki.
Patunayan natin ang mga pahayag na ito.
Una kailangan nating tiyakin na ang isang m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n
Kinukuha namin ang isang n mula sa mga bracket, pagkatapos kung saan ang aming pagkakaiba ay magkakaroon ng form na a n · (am − n − 1) . Magiging negatibo ang resulta nito (dahil ang resulta ng pagpaparami ng positibong numero sa negatibong numero ay negatibo). Sa katunayan, ayon sa mga paunang kondisyon, m − n > 0, pagkatapos ay negatibo ang a m − n − 1, at ang unang salik ay positibo, tulad ng anumang likas na kapangyarihan na may positibong base.
Ito pala ay isang m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.
Ito ay nananatiling patunayan ang pangalawang bahagi ng pahayag na binalangkas sa itaas: a m > a ay totoo para sa m > n at a > 1 . Ipinapahiwatig namin ang pagkakaiba at kumukuha ng isang n mula sa mga bracket: (a m - n - 1) Ang kapangyarihan ng isang n na may mas malaki kaysa sa isa ay magbibigay ng positibong resulta; at ang pagkakaiba mismo ay magiging positibo din dahil sa mga paunang kondisyon, at para sa isang > 1 ang antas ng isang m - n ay mas malaki kaysa sa isa. Lumalabas na a m − a n > 0 at a m > a n , na kailangan naming patunayan.
Halimbawa 13
Halimbawa na may mga partikular na numero: 3 7 > 3 2
Mga pangunahing katangian ng mga degree na may mga integer exponent
Para sa mga degree na may mga positibong integer exponent, ang mga katangian ay magiging magkatulad, dahil ang mga positibong integer ay natural, na nangangahulugan na ang lahat ng mga pagkakapantay-pantay na napatunayan sa itaas ay wasto din para sa kanila. Angkop din ang mga ito para sa mga kaso kung saan ang mga exponent ay negatibo o katumbas ng zero (sa kondisyon na ang base ng degree mismo ay hindi zero).
Kaya, ang mga katangian ng mga kapangyarihan ay pareho para sa anumang mga base a at b (sa kondisyon na ang mga numerong ito ay totoo at hindi katumbas ng 0) at anumang mga exponent na m at n (sa kondisyon na ang mga ito ay integer). Isinulat namin ang mga ito nang maikli sa anyo ng mga formula:
Kahulugan 2
1. a m a n = a m + n
2. a m: a n = a m − n
3. (a b) n = a n b n
4. (a: b) n = a n: b n
5. (am) n = isang m n
6. isang n< b n и a − n >b − n na may positive integer n , positive a at b , a< b
7. isang m< a n , при условии целых m и n , m >n at 0< a < 1 , при a >1 a m > a n .
Kung ang base ng degree ay katumbas ng zero, kung gayon ang mga entry na a m at a n ay may katuturan lamang sa kaso ng natural at positibong m at n. Bilang resulta, nalaman namin na ang mga pormulasyon sa itaas ay angkop din para sa mga kaso na may antas na may zero base, kung ang lahat ng iba pang kundisyon ay natutugunan.
Ang mga patunay ng mga katangiang ito sa kasong ito ay simple. Kakailanganin nating tandaan kung ano ang isang degree na may natural at integer exponent, pati na rin ang mga katangian ng mga aksyon na may totoong mga numero.
Suriin natin ang property ng degree sa degree at patunayan na ito ay totoo para sa parehong positive integer at non-positive integer. Magsisimula tayo sa pamamagitan ng pagpapatunay ng mga pagkakapantay-pantay (a p) q = a p q , (a − p) q = a (− p) q , (a p) − q = a p (− q) at (a − p) − q = a (− p) (−q)
Mga kondisyon: p = 0 o natural na numero; q - pareho.
Kung ang mga halaga ng p at q ay mas malaki kaysa sa 0, pagkatapos ay makukuha natin ang (a p) q = a p · q . Napatunayan na natin ang isang katulad na pagkakapantay-pantay dati. Kung p = 0 kung gayon:
(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1
Samakatuwid, (a 0) q = a 0 q
Para sa q = 0 lahat ay eksaktong pareho:
(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1
Resulta: (a p) 0 = a p 0 .
Kung ang parehong mga tagapagpahiwatig ay zero, kung gayon (a 0) 0 = 1 0 = 1 at isang 0 0 = a 0 = 1, kung gayon (a 0) 0 = a 0 0 .
Alalahanin ang ari-arian ng quotient sa kapangyarihan na napatunayan sa itaas at isulat:
1 a p q = 1 q a p q
Kung 1 p = 1 1 … 1 = 1 at a p q = a p q , pagkatapos ay 1 q a p q = 1 a p q
Maaari nating baguhin ang notasyong ito sa bisa ng mga pangunahing tuntunin ng multiplikasyon sa isang (− p) · q .
Gayundin: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p q = a - (p q) = a p (- q) .
AT (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)
Ang natitirang mga katangian ng antas ay maaaring patunayan sa katulad na paraan sa pamamagitan ng pagbabago ng mga umiiral na hindi pagkakapantay-pantay. Hindi namin ito tatalakayin nang detalyado, ipahiwatig lamang namin ang mga mahihirap na punto.
Patunay ng penultimate property: alalahanin na ang a − n > b − n ay totoo para sa anumang negatibong integer na halaga ng n at anumang positibong a at b, sa kondisyon na ang a ay mas mababa sa b .
Pagkatapos ang hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring mabago tulad ng sumusunod:
1 a n > 1 b n
Isinulat namin ang kanan at kaliwang bahagi bilang pagkakaiba at ginagawa ang mga kinakailangang pagbabago:
1 a n - 1 b n = b n - a n a n b n
Alalahanin na sa kondisyong a ay mas mababa sa b , kung gayon, ayon sa kahulugan ng isang degree na may natural na exponent: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .
Ang a n · b n ay nagiging positibong numero dahil positibo ang mga salik nito. Bilang resulta, mayroon tayong fraction b n - a n a n · b n , na sa huli ay nagbibigay din ng positibong resulta. Kaya naman 1 a n > 1 b n kung saan a − n > b − n , na kailangan nating patunayan.
Ang huling pag-aari ng mga degree na may mga integer na exponent ay napatunayang katulad ng pag-aari ng mga degree na may mga natural na exponent.
Mga pangunahing katangian ng mga degree na may mga rational exponent
Sa mga nakaraang artikulo, tinalakay namin kung ano ang isang degree na may rational (fractional) exponent. Ang kanilang mga pag-aari ay pareho sa mga degree na may mga integer exponent. Sumulat tayo:
Kahulugan 3
1. a m 1 n 1 a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 para sa a > 0, at kung m 1 n 1 > 0 at m 2 n 2 > 0, pagkatapos ay para sa isang ≥ 0 (mga kapangyarihan ng ari-arian ng produkto na may parehong base).
2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2 kung a > 0 (quotient property).
3. a b m n = a m n b m n para sa a > 0 at b > 0, at kung m 1 n 1 > 0 at m 2 n 2 > 0, pagkatapos ay para sa ≥ 0 at (o) b ≥ 0 (pag-aari ng produkto sa fractional degree).
4. a: b m n \u003d a m n: b m n para sa a > 0 at b > 0, at kung m n > 0, pagkatapos ay para sa isang ≥ 0 at b > 0 (pag-aari ng isang quotient sa isang fractional na kapangyarihan).
5. a m 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 m 2 n 2 para sa isang > 0, at kung m 1 n 1 > 0 at m 2 n 2 > 0, pagkatapos ay para sa isang ≥ 0 (degree na ari-arian sa degrees).
6.ap< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0; kung p< 0 - a p >b p (ang pag-aari ng paghahambing ng mga degree na may pantay na rational exponents).
7.ap< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q sa 0< a < 1 ; если a >0 – a p > a q
Upang patunayan ang mga probisyong ito, kailangan nating tandaan kung ano ang isang degree na may fractional exponent, ano ang mga katangian ng arithmetic root ng nth degree, at ano ang mga katangian ng isang degree na may integer exponent. Tingnan natin ang bawat ari-arian.
Ayon sa kung ano ang antas na may fractional exponent, nakukuha natin ang:
a m 1 n 1 \u003d am 1 n 1 at a m 2 n 2 \u003d am 2 n 2, samakatuwid, a m 1 n 1 a m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 a m 2 n 2
Ang mga katangian ng ugat ay magbibigay-daan sa amin upang makakuha ng mga pagkakapantay-pantay:
a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 = a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2
Mula dito nakukuha natin ang: a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2
Ibahin natin:
a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2
Ang exponent ay maaaring isulat bilang:
m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2
Ito ang patunay. Ang pangalawang pag-aari ay napatunayan sa eksaktong parehong paraan. Isulat natin ang kadena ng pagkakapantay-pantay:
a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2
Mga patunay ng natitirang pagkakapantay-pantay:
a b m n = (a b) m n = a m b m n = a m n b m n = a m n b m n ; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n ; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 n 1 m 2 n 2
Susunod na pag-aari: patunayan natin na para sa anumang mga halaga ng a at b na mas malaki kaysa sa 0 , kung ang a ay mas mababa sa b , ang isang p ay isasagawa< b p , а для p больше 0 - a p >bp
Katawanin natin ang isang rational number p bilang m n . Sa kasong ito, ang m ay isang integer, ang n ay isang natural na numero. Pagkatapos ang mga kondisyon p< 0 и p >0 ay mapapalawig sa m< 0 и m >0 . Para sa m > 0 at a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .
Ginagamit namin ang pag-aari ng mga ugat at nagmula: a m n< b m n
Isinasaalang-alang ang pagiging positibo ng mga halaga a at b, muling isinulat namin ang hindi pagkakapantay-pantay bilang isang m n< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .
Sa parehong paraan, para sa m< 0 имеем a a m >b m , nakakakuha tayo ng a m n > b m n so a m n > b m n at a p > b p .
Ito ay nananatiling para sa amin upang patunayan ang huling pag-aari. Patunayan natin na para sa mga rational na numero p at q , p > q sa 0< a < 1 a p < a q , а при a >0 ay magiging totoo a p > a q .
Ang mga rational na numerong p at q ay maaaring bawasan sa isang karaniwang denominator at makakuha ng mga praksiyon m 1 n at m 2 n
Dito ang m 1 at m 2 ay mga integer, at ang n ay isang natural na numero. Kung p > q, pagkatapos ay m 1 > m 2 (isinasaalang-alang ang panuntunan para sa paghahambing ng mga fraction). Pagkatapos sa 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – hindi pagkakapantay-pantay a 1 m > a 2 m .
Maaari silang muling isulat sa sumusunod na anyo:
isang m 1 n< a m 2 n a m 1 n >isang m 2 n
Pagkatapos ay maaari kang gumawa ng mga pagbabago at makakuha bilang isang resulta:
isang m 1 n< a m 2 n a m 1 n >isang m 2 n
Upang ibuod: para sa p > q at 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q .
Mga pangunahing katangian ng mga degree na may mga hindi makatwirang exponent
Ang lahat ng mga pag-aari na inilarawan sa itaas na isang degree na may mga rational exponents ay maaaring palawigin sa ganoong antas. Ito ay sumusunod sa mismong kahulugan nito, na ibinigay namin sa isa sa mga naunang artikulo. Sa madaling sabi, bumalangkas tayo sa mga katangiang ito (mga kundisyon: a > 0 , b > 0 , ang mga indicator na p at q ay mga hindi makatwirang numero):
Kahulugan 4
1. a p a q = a p + q
2. a p: a q = a p − q
3. (a b) p = a p b p
4. (a: b) p = a p: b p
5. (a p) q = a p q
6.ap< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >bp
7.ap< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0 , pagkatapos ay a p > a q .
Kaya, ang lahat ng kapangyarihan na ang mga exponents na p at q ay tunay na mga numero, sa kondisyon na ang a > 0, ay may parehong mga katangian.
Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter
Nilalaman ng aralinAno ang isang degree?
Degree tinatawag na produkto ng ilang magkaparehong salik. Halimbawa:
2×2×2
Ang halaga ng expression na ito ay 8
2 x 2 x 2 = 8
Ang kaliwang bahagi ng equation na ito ay maaaring gawing mas maikli - isulat muna ang paulit-ulit na kadahilanan at ipahiwatig sa ibabaw nito kung gaano karaming beses ito umuulit. Ang repeating multiplier sa kasong ito ay 2. Ito ay umuulit ng tatlong beses. Samakatuwid, sa ibabaw ng deuce, isinusulat namin ang triple:
2 3 = 8
Ang expression na ito ay nagbabasa ng ganito: dalawa hanggang ikatlong kapangyarihan ay katumbas ng walo o" ang pangatlong kapangyarihan ng 2 ay 8.
Ang maikling anyo ng pagsulat ng multiplikasyon ng parehong mga kadahilanan ay ginagamit nang mas madalas. Samakatuwid, dapat nating tandaan na kung ang isa pang numero ay nakasulat sa ilang numero, kung gayon ito ang pagpaparami ng ilang magkaparehong mga kadahilanan.
Halimbawa, kung ibinigay ang expression na 5 3, dapat tandaan na ang expression na ito ay katumbas ng pagsulat ng 5 × 5 × 5.
Ang numerong umuulit ay tinatawag base ng degree. Sa expression na 5 3 ang base ng degree ay ang numero 5 .
At ang numero na nakasulat sa itaas ng numero 5 ay tinatawag exponent. Sa expression na 5 3, ang exponent ay ang numero 3. Ipinapakita ng exponent kung ilang beses inuulit ang base ng degree. Sa aming kaso, ang base 5 ay paulit-ulit nang tatlong beses.
Ang operasyon ng pagpaparami ng magkaparehong mga kadahilanan ay tinatawag pagpaparami.
Halimbawa, kung kailangan mong hanapin ang produkto ng apat na magkaparehong mga kadahilanan, ang bawat isa ay katumbas ng 2, pagkatapos ay sinasabi nila na ang numero 2 itinaas sa ikaapat na kapangyarihan:
Nakikita natin na ang numero 2 hanggang sa ikaapat na kapangyarihan ay ang numero 16.
Tandaan na sa araling ito ay tinitingnan natin degree na may natural na tagapagpahiwatig. Ito ay isang uri ng degree, ang exponent nito ay isang natural na numero. Alalahanin na ang mga natural na numero ay mga integer na mas malaki sa zero. Halimbawa, 1, 2, 3 at iba pa.
Sa pangkalahatan, ang kahulugan ng isang degree na may natural na tagapagpahiwatig ay ang mga sumusunod:
Degree ng a na may likas na tagapagpahiwatig n ay isang pagpapahayag ng anyo isang n, na katumbas ng produkto n multiplier, ang bawat isa ay katumbas ng a
Mga halimbawa:
Mag-ingat sa pagtataas ng isang numero sa isang kapangyarihan. Kadalasan, sa pamamagitan ng kawalan ng pansin, pinarami ng isang tao ang base ng antas ng exponent.
Halimbawa, ang numero 5 hanggang sa pangalawang kapangyarihan ay produkto ng dalawang salik, ang bawat isa ay katumbas ng 5. Ang produktong ito ay katumbas ng 25
Ngayon isipin na hindi namin sinasadyang pinarami ang base 5 sa exponent 2
Nagkaroon ng error, dahil ang numero 5 hanggang sa pangalawang kapangyarihan ay hindi katumbas ng 10.
Bilang karagdagan, dapat itong banggitin na ang kapangyarihan ng isang numero na may exponent na 1 ay ang numero mismo:
Halimbawa, ang numero 5 sa unang kapangyarihan ay ang numero 5 mismo.
Alinsunod dito, kung ang numero ay walang tagapagpahiwatig, dapat nating ipagpalagay na ang tagapagpahiwatig ay katumbas ng isa.
Halimbawa, ang mga numero 1, 2, 3 ay ibinibigay nang walang exponent, kaya ang kanilang mga exponent ay magiging katumbas ng isa. Ang bawat isa sa mga numerong ito ay maaaring isulat na may exponent na 1
At kung itataas mo ang 0 sa anumang kapangyarihan, makakakuha ka ng 0. Sa katunayan, gaano man karaming beses walang pinarami sa sarili nito, walang lalabas. Mga halimbawa:
At ang expression na 0 0 ay walang kahulugan. Ngunit sa ilang sangay ng matematika, sa partikular na pagsusuri at teorya ng set, ang ekspresyong 0 0 ay maaaring magkaroon ng kahulugan.
Para sa pagsasanay, malulutas namin ang ilang halimbawa ng pagpapataas ng mga numero sa isang kapangyarihan.
Halimbawa 1 Itaas ang numero 3 sa pangalawang kapangyarihan.
Ang numero 3 hanggang sa pangalawang kapangyarihan ay produkto ng dalawang salik, na ang bawat isa ay katumbas ng 3
3 2 = 3 × 3 = 9
Halimbawa 2 Itaas ang numero 2 sa ikaapat na kapangyarihan.
Ang numero 2 hanggang ikaapat na kapangyarihan ay produkto ng apat na salik, na ang bawat isa ay katumbas ng 2
2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
Halimbawa 3 Itaas ang numero 2 sa ikatlong kapangyarihan.
Ang numero 2 hanggang sa ikatlong kapangyarihan ay ang produkto ng tatlong mga kadahilanan, na ang bawat isa ay katumbas ng 2
2 3 = 2 × 2 × 2 = 8
Exponentiation ng numero 10
Upang itaas ang numero 10 sa isang kapangyarihan, ito ay sapat na upang idagdag ang bilang ng mga zero pagkatapos ng yunit, katumbas ng exponent.
Halimbawa, itaas natin ang numero 10 sa pangalawang kapangyarihan. Una, isinulat namin ang numero 10 mismo at ipahiwatig ang numero 2 bilang isang tagapagpahiwatig
10 2
Ngayon naglalagay kami ng pantay na tanda, isulat ang isa at pagkatapos nito isulat namin ang dalawang zero, dahil ang bilang ng mga zero ay dapat na katumbas ng exponent
10 2 = 100
Kaya ang numero 10 hanggang sa pangalawang kapangyarihan ay ang bilang 100. Ito ay dahil sa katotohanan na ang numero 10 hanggang sa pangalawang kapangyarihan ay produkto ng dalawang salik, na ang bawat isa ay katumbas ng 10
10 2 = 10 × 10 = 100
Halimbawa 2. Itaas natin ang numerong 10 sa ikatlong kapangyarihan.
Sa kasong ito, magkakaroon ng tatlong zero pagkatapos ng isa:
10 3 = 1000
Halimbawa 3. Itaas natin ang numerong 10 sa ikaapat na kapangyarihan.
Sa kasong ito, magkakaroon ng apat na zero pagkatapos ng isa:
10 4 = 10000
Halimbawa 4. Itaas natin ang numerong 10 sa unang kapangyarihan.
Sa kasong ito, magkakaroon ng isang zero pagkatapos ng isa:
10 1 = 10
Kinakatawan ang mga numero 10, 100, 1000 bilang isang kapangyarihan na may base 10
Upang kumatawan sa mga numero 10, 100, 1000, at 10000 bilang isang kapangyarihan na may base 10, kailangan mong isulat ang base 10, at tukuyin ang isang numero na katumbas ng bilang ng mga zero sa orihinal na numero bilang isang exponent.
Katawanin natin ang numero 10 bilang isang kapangyarihan na may base 10. Nakita natin na mayroon itong isang zero. Kaya ang numero 10 bilang isang kapangyarihan na may base 10 ay kakatawanin bilang 10 1
10 = 10 1
Halimbawa 2. Katawanin natin ang bilang na 100 bilang isang kapangyarihan na may base 10. Nakikita natin na ang bilang 100 ay naglalaman ng dalawang zero. Kaya ang bilang na 100 bilang isang kapangyarihan na may base 10 ay kakatawanin bilang 10 2
100 = 10 2
Halimbawa 3. Katawanin natin ang bilang na 1000 bilang isang kapangyarihan na may base 10.
1 000 = 10 3
Halimbawa 4. Katawanin natin ang bilang na 10,000 bilang isang kapangyarihan na may base 10.
10 000 = 10 4
Exponentiation ng isang negatibong numero
Kapag tinataasan ang isang negatibong numero sa isang kapangyarihan, dapat itong nakapaloob sa mga panaklong.
Halimbawa, itaas natin ang negatibong numero −2 sa pangalawang kapangyarihan. Ang bilang na −2 hanggang sa pangalawang kapangyarihan ay produkto ng dalawang salik, na ang bawat isa ay katumbas ng (−2)
(−2) 2 = (−2) × (−2) = 4
Kung hindi namin nilagyan ng panaklong ang numero -2 , lalabas na kalkulahin namin ang expression -2 2 , na hindi pantay 4 . Ang expression -2² ay magiging katumbas ng -4 . Upang maunawaan kung bakit, hawakan natin ang ilang mga punto.
Kapag naglagay kami ng minus sa harap ng isang positibong numero, sa gayon ay gumaganap kami ang operasyon ng pagkuha ng kabaligtaran na halaga.
Sabihin nating ang numero 2 ay ibinigay, at kailangan mong hanapin ang kabaligtaran na numero nito. Alam natin na ang kabaligtaran ng 2 ay −2. Sa madaling salita, upang mahanap ang kabaligtaran na numero para sa 2, sapat na upang maglagay ng minus sa harap ng numerong ito. Ang paglalagay ng minus sa harap ng isang numero ay itinuturing na isang ganap na operasyon sa matematika. Ang operasyong ito, tulad ng nabanggit sa itaas, ay tinatawag na operasyon ng pagkuha ng kabaligtaran na halaga.
Sa kaso ng expression -2 2, dalawang operasyon ang nagaganap: ang operasyon ng pagkuha ng kabaligtaran na halaga at exponentiation. Ang pagtaas sa isang kapangyarihan ay isang mas mataas na priyoridad na operasyon kaysa sa pagkuha ng kabaligtaran na halaga.
Samakatuwid, ang expression −2 2 ay kinakalkula sa dalawang hakbang. Una, isinasagawa ang pagpaparami ng operasyon. Sa kasong ito, ang positibong numero 2 ay itinaas sa pangalawang kapangyarihan.
Pagkatapos ay kinuha ang kabaligtaran na halaga. Ang kabaligtaran na halaga na ito ay natagpuan para sa halaga 4. At ang kabaligtaran na halaga para sa 4 ay −4
−2 2 = −4
Ang mga panaklong ay may pinakamataas na execution precedence. Samakatuwid, sa kaso ng pagkalkula ng expression (−2) 2, ang kabaligtaran na halaga ay unang kinuha, at pagkatapos ay ang negatibong numero −2 ay itinaas sa pangalawang kapangyarihan. Ang resulta ay isang positibong sagot na 4, dahil ang produkto ng mga negatibong numero ay isang positibong numero.
Halimbawa 2. Itaas ang numero −2 sa ikatlong kapangyarihan.
Ang bilang na −2 hanggang sa ikatlong kapangyarihan ay produkto ng tatlong salik, na ang bawat isa ay katumbas ng (−2)
(−2) 3 = (−2) × (−2) × (−2) = −8
Halimbawa 3. Itaas ang numero −2 sa ikaapat na kapangyarihan.
Ang bilang na −2 hanggang sa ikaapat na kapangyarihan ay produkto ng apat na salik, na ang bawat isa ay katumbas ng (−2)
(−2) 4 = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16
Madaling makita na kapag tinataas ang isang negatibong numero sa isang kapangyarihan, alinman sa isang positibong sagot o isang negatibong isa ay maaaring makuha. Ang tanda ng sagot ay depende sa exponent ng paunang antas.
Kung ang exponent ay pantay, ang sagot ay oo. Kung ang exponent ay kakaiba, ang sagot ay negatibo. Ipakita natin ito sa halimbawa ng numero −3
Sa una at pangatlong kaso, ang tagapagpahiwatig ay kakaiba numero, kaya naging sagot negatibo.
Sa pangalawa at pang-apat na kaso, ang tagapagpahiwatig ay kahit numero, kaya naging sagot positibo.
Halimbawa 7 Itaas ang numero -5 sa ikatlong kapangyarihan.
Ang bilang -5 sa ikatlong kapangyarihan ay ang produkto ng tatlong mga kadahilanan, ang bawat isa ay katumbas ng -5. Ang exponent 3 ay isang kakaibang numero, kaya maaari nating sabihin nang maaga na ang sagot ay magiging negatibo:
(−5) 3 = (−5) × (−5) × (−5) = −125
Halimbawa 8 Itaas ang numero -4 sa ikaapat na kapangyarihan.
Ang bilang -4 hanggang sa ikaapat na kapangyarihan ay produkto ng apat na salik, na ang bawat isa ay katumbas ng -4. Sa kasong ito, ang indicator 4 ay pantay, kaya maaari nating sabihin nang maaga na ang sagot ay magiging positibo:
(−4) 4 = (−4) × (−4) × (−4) × (−4) = 256
Paghahanap ng mga Halaga ng Pagpapahayag
Kapag naghahanap ng mga halaga ng mga expression na hindi naglalaman ng mga bracket, isasagawa muna ang exponentiation, pagkatapos ay multiplikasyon at paghahati sa kanilang pagkakasunud-sunod, at pagkatapos ay pagdaragdag at pagbabawas sa kanilang pagkakasunud-sunod.
Halimbawa 1. Hanapin ang halaga ng expression na 2 + 5 2
Una, isinasagawa ang exponentiation. Sa kasong ito, ang numero 5 ay itinaas sa pangalawang kapangyarihan - lumalabas na 25. Pagkatapos ang resulta na ito ay idinagdag sa numero 2
2 + 5 2 = 2 + 25 = 27
Halimbawa 10. Hanapin ang halaga ng expression na −6 2 × (−12)
Una, isinasagawa ang exponentiation. Tandaan na ang numero −6 ay wala sa mga bracket, kaya ang numero 6 ay itataas sa pangalawang kapangyarihan, pagkatapos ay isang minus ang ilalagay sa harap ng resulta:
−6 2 × (−12) = −36 × (−12)
Kinukumpleto namin ang halimbawa sa pamamagitan ng pagpaparami ng −36 sa (−12)
−6 2 × (−12) = −36 × (−12) = 432
Halimbawa 11. Hanapin ang halaga ng expression na −3 × 2 2
Una, isinasagawa ang exponentiation. Pagkatapos ang resulta ay pinarami sa bilang na −3
−3 × 2 2 = −3 × 4 = −12
Kung ang expression ay naglalaman ng mga bracket, kailangan mo munang magsagawa ng mga operasyon sa mga bracket na ito, pagkatapos ay exponentiation, pagkatapos ay multiplikasyon at paghahati, at pagkatapos ay pagdaragdag at pagbabawas.
Halimbawa 12. Hanapin ang halaga ng expression (3 2 + 1 × 3) − 15 + 5
Gawin muna natin ang mga panaklong. Sa loob ng mga bracket, inilalapat namin ang mga naunang natutunan na panuntunan, ibig sabihin, itaas muna ang numero 3 sa pangalawang kapangyarihan, pagkatapos ay isagawa ang multiplikasyon 1 × 3, pagkatapos ay idagdag ang mga resulta ng pagtaas ng numero 3 sa kapangyarihan at pagpaparami ng 1 × 3. Pagkatapos ang pagbabawas at pagdaragdag ay isinasagawa sa pagkakasunud-sunod kung saan sila lumilitaw. Ayusin natin ang sumusunod na pagkakasunud-sunod ng pagsasagawa ng aksyon sa orihinal na expression:
(3 2 + 1 × 3) - 15 + 5 = 12 - 15 + 5 = 2
Halimbawa 13. Hanapin ang halaga ng expression na 2 × 5 3 + 5 × 2 3
Una, itinataas namin ang mga numero sa isang kapangyarihan, pagkatapos ay ginagawa namin ang multiplikasyon at idagdag ang mga resulta:
2 x 5 3 + 5 x 2 3 = 2 x 125 + 5 x 8 = 250 + 40 = 290
Mga pagbabago sa pagkakakilanlan ng mga kapangyarihan
Maaaring gawin ang iba't ibang magkakaparehong pagbabago sa mga kapangyarihan, sa gayon ay pinapasimple ang mga ito.
Ipagpalagay na kinakailangan upang kalkulahin ang expression (2 3) 2 . Sa halimbawang ito, ang dalawa hanggang ikatlong kapangyarihan ay itinaas sa pangalawang kapangyarihan. Sa madaling salita, ang isang degree ay itinaas sa ibang antas.
Ang (2 3) 2 ay produkto ng dalawang kapangyarihan, ang bawat isa ay katumbas ng 2 3
Bukod dito, ang bawat isa sa mga kapangyarihang ito ay produkto ng tatlong salik, na ang bawat isa ay katumbas ng 2
Nakuha namin ang produkto 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 , na katumbas ng 64. Kaya ang halaga ng expression (2 3) 2 o katumbas ng 64
Ang halimbawang ito ay maaaring lubos na pinasimple. Para dito, ang mga indicator ng expression (2 3) 2 ay maaaring i-multiply at ang produktong ito ay maaaring isulat sa base 2
Nakakuha ng 2 6 . Dalawa hanggang ikaanim na kapangyarihan ang produkto ng anim na salik, ang bawat isa ay katumbas ng 2. Ang produktong ito ay katumbas ng 64
Gumagana ang property na ito dahil ang 2 3 ay ang produkto ng 2 × 2 × 2 , na kung saan ay inuulit ng dalawang beses. Pagkatapos ay lumabas na ang base 2 ay paulit-ulit ng anim na beses. Mula dito maaari nating isulat na ang 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 ay 2 6
Sa pangkalahatan, para sa anumang kadahilanan a na may mga tagapagpahiwatig m at n, ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay pinanghahawakan:
(isang n)m = a n × m
Ang magkatulad na pagbabagong ito ay tinatawag pagpaparami. Mababasa ito tulad nito: "Kapag itinaas ang isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan, ang base ay hindi nababago, at ang mga exponent ay pinarami" .
Matapos i-multiply ang mga tagapagpahiwatig, makakakuha ka ng isa pang degree, ang halaga nito ay matatagpuan.
Halimbawa 2. Hanapin ang halaga ng expression (3 2) 2
Sa halimbawang ito, ang base ay 3, at ang mga numero 2 at 2 ay ang mga exponent. Gamitin natin ang panuntunan ng exponentiation. Iniwan namin ang base na hindi nagbabago, at i-multiply ang mga tagapagpahiwatig:
Nakakuha ng 3 4 . At ang numero 3 hanggang sa ikaapat na kapangyarihan ay 81
Tingnan natin ang iba pang mga pagbabago.
Pagpaparami ng kapangyarihan
Upang i-multiply ang mga degree, kailangan mong hiwalay na kalkulahin ang bawat degree, at i-multiply ang mga resulta.
Halimbawa, i-multiply natin ang 2 2 sa 3 3 .
Ang 2 2 ay ang bilang 4 at ang 3 3 ay ang bilang na 27 . I-multiply natin ang mga numero 4 at 27, makakakuha tayo ng 108
2 2 x 3 3 = 4 x 27 = 108
Sa halimbawang ito, iba ang mga batayan ng mga kapangyarihan. Kung ang mga base ay pareho, kung gayon ang isang base ay maaaring isulat, at bilang isang tagapagpahiwatig, isulat ang kabuuan ng mga tagapagpahiwatig ng mga unang degree.
Halimbawa, i-multiply ang 2 2 sa 2 3
Sa halimbawang ito, ang mga exponent ay may parehong base. Sa kasong ito, maaari kang sumulat ng isang base 2 at isulat ang kabuuan ng mga exponent 2 2 at 2 3 bilang indicator. Sa madaling salita, iwanan ang base na hindi nagbabago, at idagdag ang mga exponent ng orihinal na degree. Magiging ganito ang hitsura:
Nakakuha ng 2 5 . Ang numero 2 hanggang sa ikalimang kapangyarihan ay 32
Gumagana ang property na ito dahil ang 2 2 ay ang produkto ng 2 × 2 at ang 2 3 ay ang produkto ng 2 × 2 × 2 . Pagkatapos ang produkto ng limang magkaparehong mga kadahilanan ay nakuha, ang bawat isa ay katumbas ng 2. Ang produktong ito ay maaaring katawanin bilang 2 5
Sa pangkalahatan, para sa anuman a at mga tagapagpahiwatig m at n sumusunod ang pagkakapantay-pantay:
Ang magkatulad na pagbabagong ito ay tinatawag ang pangunahing pag-aari ng degree. Mababasa ito tulad nito: PKapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang base ay hindi nababago, at ang mga exponent ay idinagdag. .
Tandaan na ang pagbabagong ito ay maaaring ilapat sa anumang bilang ng mga degree. Ang pangunahing bagay ay ang base ay pareho.
Halimbawa, hanapin natin ang halaga ng expression na 2 1 × 2 2 × 2 3 . Pundasyon 2
Sa ilang mga problema, maaaring sapat na upang maisagawa ang kaukulang pagbabagong-anyo nang hindi kinakalkula ang panghuling antas. Ito ay siyempre napaka-maginhawa, dahil hindi ito napakadaling kalkulahin ang malalaking kapangyarihan.
Halimbawa 1. Ipahayag bilang kapangyarihan ang expression na 5 8 × 25
Sa problemang ito, kailangan mong gawin ito upang sa halip na ang expression na 5 8 × 25, isang degree ang nakuha.
Ang bilang na 25 ay maaaring katawanin bilang 5 2 . Pagkatapos ay nakuha namin ang sumusunod na expression:
Sa expression na ito, maaari mong ilapat ang pangunahing pag-aari ng degree - iwanan ang base 5 na hindi nagbabago, at idagdag ang mga tagapagpahiwatig 8 at 2:
Isulat natin ang solusyon sa maikling salita:
Halimbawa 2. Ipahayag bilang kapangyarihan ang ekspresyong 2 9 × 32
Ang bilang na 32 ay maaaring katawanin bilang 2 5 . Pagkatapos ay makuha natin ang expression na 2 9 × 2 5 . Susunod, maaari mong ilapat ang base property ng degree - iwanan ang base 2 na hindi nagbabago, at idagdag ang mga indicator 9 at 5. Magreresulta ito sa sumusunod na solusyon:
Halimbawa 3. Kalkulahin ang 3 × 3 na produkto gamit ang pangunahing katangian ng kapangyarihan.
Alam ng lahat na ang tatlong beses na tatlo ay katumbas ng siyam, ngunit ang gawain ay nangangailangan ng paggamit ng pangunahing pag-aari ng antas sa kurso ng paglutas. Paano ito gagawin?
Naaalala namin na kung ang isang numero ay ibinigay nang walang tagapagpahiwatig, kung gayon ang tagapagpahiwatig ay dapat ituring na katumbas ng isa. Kaya ang mga kadahilanan 3 at 3 ay maaaring isulat bilang 3 1 at 3 1
3 1 × 3 1
Ngayon ginagamit namin ang pangunahing pag-aari ng degree. Iniwan namin ang base 3 na hindi nagbabago, at idagdag ang mga tagapagpahiwatig 1 at 1:
3 1 × 3 1 = 3 2 = 9
Halimbawa 4. Kalkulahin ang produkto 2 × 2 × 3 2 × 3 3 gamit ang pangunahing katangian ng kapangyarihan.
Pinapalitan namin ang produkto 2 × 2 ng 2 1 × 2 1 , pagkatapos ay may 2 1 + 1 , at pagkatapos ay may 2 2 . Ang produkto ng 3 2 × 3 3 ay pinapalitan ng 3 2 + 3 at pagkatapos ay ng 3 5
Halimbawa 5. Magsagawa ng multiplikasyon x × x
Ito ay dalawang magkaparehong alpabetikong salik na may mga tagapagpahiwatig 1. Para sa kalinawan, isusulat namin ang mga tagapagpahiwatig na ito. Karagdagang base x iwanan itong hindi nagbabago, at idagdag ang mga tagapagpahiwatig:
Ang pagiging nasa pisara, hindi dapat isulat ng isa ang pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong mga batayan sa detalye tulad ng ginagawa dito. Ang ganitong mga kalkulasyon ay dapat gawin sa isip. Ang isang detalyadong entry ay malamang na makakainis sa guro at ibababa niya ang marka para dito. Dito, ibinibigay ang isang detalyadong tala upang ang materyal ay madaling ma-access hangga't maaari para sa pag-unawa.
Ang solusyon sa halimbawang ito ay dapat na nakasulat tulad nito:
Halimbawa 6. Magsagawa ng multiplikasyon x 2 × x
Ang index ng pangalawang kadahilanan ay katumbas ng isa. Isulat natin ito para sa kalinawan. Susunod, iniiwan namin ang base na hindi nagbabago, at idagdag ang mga tagapagpahiwatig:
Halimbawa 7. Magsagawa ng multiplikasyon y 3 y 2 y
Ang index ng ikatlong salik ay katumbas ng isa. Isulat natin ito para sa kalinawan. Susunod, iniiwan namin ang base na hindi nagbabago, at idagdag ang mga tagapagpahiwatig:
Halimbawa 8. Magsagawa ng multiplikasyon aa 3 a 2 a 5
Ang index ng unang kadahilanan ay katumbas ng isa. Isulat natin ito para sa kalinawan. Susunod, iniiwan namin ang base na hindi nagbabago, at idagdag ang mga tagapagpahiwatig:
Halimbawa 9. Ipahayag ang kapangyarihan ng 3 8 bilang produkto ng mga kapangyarihan na may parehong base.
Sa problemang ito, kailangan mong gumawa ng isang produkto ng mga kapangyarihan, ang mga base nito ay magiging katumbas ng 3, at ang kabuuan ng mga exponents na kung saan ay magiging katumbas ng 8. Maaari mong gamitin ang anumang mga tagapagpahiwatig. Kinakatawan namin ang degree 3 8 bilang produkto ng mga kapangyarihan 3 5 at 3 3
Sa halimbawang ito, muli kaming umasa sa pangunahing pag-aari ng degree. Pagkatapos ng lahat, ang expression na 3 5 × 3 3 ay maaaring isulat bilang 3 5 + 3, kung saan 3 8 .
Siyempre, posible na kumatawan sa kapangyarihan 3 8 bilang produkto ng iba pang mga kapangyarihan. Halimbawa, sa anyong 3 7 × 3 1 , dahil ang produktong ito ay 3 8 din
Ang kumakatawan sa isang degree bilang isang produkto ng mga kapangyarihan na may parehong batayan ay kadalasang malikhaing gawa. Kaya huwag matakot mag-eksperimento.
Halimbawa 10. Isumite ang Degree x 12 bilang iba't ibang produkto ng mga kapangyarihan na may mga base x .
Gamitin natin ang pangunahing katangian ng degree. Imagine x 12 bilang mga produkto na may mga base x, at ang kabuuan ng mga exponent nito ay katumbas ng 12
Ang mga konstruksyon na may mga kabuuan ng mga tagapagpahiwatig ay naitala para sa kalinawan. Kadalasan maaari silang laktawan. Pagkatapos ay nakakakuha kami ng isang compact na solusyon:
Exponentiation ng isang produkto
Upang itaas ang isang produkto sa isang kapangyarihan, kailangan mong itaas ang bawat kadahilanan ng produktong ito sa tinukoy na kapangyarihan at i-multiply ang mga resulta.
Halimbawa, itaas natin ang produkto 2 × 3 sa pangalawang kapangyarihan. Kinukuha namin ang produktong ito sa mga bracket at ipahiwatig ang 2 bilang isang tagapagpahiwatig
Ngayon, itaas natin ang bawat kadahilanan ng 2 × 3 na produkto sa pangalawang kapangyarihan at i-multiply ang mga resulta:
Ang prinsipyo ng pagpapatakbo ng panuntunang ito ay batay sa kahulugan ng antas, na ibinigay sa pinakadulo simula.
Ang pagtaas ng produkto ng 2 × 3 sa pangalawang kapangyarihan ay nangangahulugang ulitin ang produktong ito nang dalawang beses. At kung ulitin mo ito ng dalawang beses, maaari mong makuha ang sumusunod:
2×3×2×3
Mula sa permutasyon ng mga lugar ng mga kadahilanan, ang produkto ay hindi nagbabago. Binibigyang-daan ka nitong pagpangkatin ang parehong mga multiplier:
2×2×3×3
Ang mga umuulit na multiplier ay maaaring mapalitan ng mga maiikling entry - mga base na may mga exponent. Ang 2 × 2 na produkto ay maaaring palitan ng 2 2 , at ang 3 × 3 na produkto ay maaaring palitan ng 3 2 . Pagkatapos ang expression na 2 × 2 × 3 × 3 ay nagiging expression 2 2 × 3 2 .
Hayaan ab orihinal na gawa. Upang itaas ang produktong ito sa kapangyarihan n, kailangan mong hiwalay na itaas ang mga salik a at b sa tinukoy na antas n
Ang ari-arian na ito ay may bisa para sa anumang bilang ng mga kadahilanan. Ang mga sumusunod na expression ay wasto din:
Halimbawa 2. Hanapin ang halaga ng expression (2 × 3 × 4) 2
Sa halimbawang ito, kailangan mong itaas ang produkto 2 × 3 × 4 sa pangalawang kapangyarihan. Upang gawin ito, kailangan mong itaas ang bawat kadahilanan ng produktong ito sa pangalawang kapangyarihan at i-multiply ang mga resulta:
Halimbawa 3. Itaas ang produkto sa ikatlong kapangyarihan a×b×c
Inilalagay namin ang produktong ito sa mga bracket, at ipinapahiwatig ang numero 3 bilang isang tagapagpahiwatig
Halimbawa 4. Itaas ang produkto sa ikatlong kapangyarihan 3 xyz
Inilalagay namin ang produktong ito sa mga bracket, at ipinapahiwatig ang 3 bilang isang tagapagpahiwatig
(3xyz) 3
Itaas natin ang bawat salik ng produktong ito sa ikatlong kapangyarihan:
(3xyz) 3 = 3 3 x 3 y 3 z 3
Ang numero 3 hanggang sa ikatlong kapangyarihan ay katumbas ng numero 27. Iniwan namin ang natitira na hindi nagbabago:
(3xyz) 3 = 3 3 x 3 y 3 z 3 = 27x 3 y 3 z 3
Sa ilang mga halimbawa, ang pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong exponent ay maaaring palitan ng produkto ng mga base na may parehong exponent.
Halimbawa, kalkulahin natin ang halaga ng expression 5 2 × 3 2 . Itaas ang bawat numero sa pangalawang kapangyarihan at i-multiply ang mga resulta:
5 2 x 3 2 = 25 x 9 = 225
Ngunit hindi mo maaaring kalkulahin ang bawat antas nang hiwalay. Sa halip, ang produktong ito ng mga kapangyarihan ay maaaring palitan ng isang produkto na may isang exponent (5 × 3) 2 . Susunod, kalkulahin ang halaga sa mga bracket at itaas ang resulta sa pangalawang kapangyarihan:
5 2 × 3 2 = (5 × 3) 2 = (15) 2 = 225
Sa kasong ito, muling ginamit ang panuntunan ng exponentiation ng produkto. Pagkatapos ng lahat, kung (a x b)n = a n × b n , pagkatapos a n × b n = (a × b) n. Ibig sabihin, ang kaliwa at kanang bahagi ng equation ay baligtad.
Exponentiation
Itinuring namin ang pagbabagong ito bilang isang halimbawa noong sinubukan naming maunawaan ang kakanyahan ng magkaparehong pagbabago ng mga degree.
Kapag nagtataas ng kapangyarihan sa isang kapangyarihan, ang base ay hindi nababago, at ang mga exponent ay pinarami:
(isang n)m = a n × m
Halimbawa, ang expression (2 3) 2 ay nagtataas ng isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan - dalawa hanggang sa ikatlong kapangyarihan ay itinaas sa pangalawang kapangyarihan. Upang mahanap ang halaga ng expression na ito, ang base ay maaaring iwanang hindi nagbabago, at ang mga exponent ay maaaring i-multiply:
(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6
(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6 = 64
Nakabatay ang panuntunang ito sa mga nakaraang panuntunan: exponentiation ng produkto at ang pangunahing katangian ng degree.
Bumalik tayo sa expression (2 3) 2 . Ang expression sa mga bracket 2 3 ay produkto ng tatlong magkatulad na mga kadahilanan, ang bawat isa ay katumbas ng 2. Pagkatapos ay sa expression (2 3) 2 ang kapangyarihan sa loob ng mga bracket ay maaaring mapalitan ng produkto 2 × 2 × 2.
(2×2×2) 2
At ito ang exponentiation ng produkto na pinag-aralan natin kanina. Alalahanin na upang itaas ang isang produkto sa isang kapangyarihan, kailangan mong itaas ang bawat kadahilanan ng produktong ito sa tinukoy na kapangyarihan at i-multiply ang mga resulta:
(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2
Ngayon ay nakikitungo kami sa pangunahing pag-aari ng degree. Iniwan namin ang base na hindi nagbabago, at idagdag ang mga tagapagpahiwatig:
(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6
Gaya ng dati, nakakuha kami ng 2 6 . Ang halaga ng degree na ito ay 64
(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6 = 64
Ang isang produkto na ang mga kadahilanan ay mga kapangyarihan din ay maaari ding itaas sa isang kapangyarihan.
Halimbawa, hanapin natin ang halaga ng expression (2 2 × 3 2) 3 . Dito, ang mga indicator ng bawat multiplier ay dapat na i-multiply sa kabuuang indicator 3. Susunod, hanapin ang halaga ng bawat antas at kalkulahin ang produkto:
(2 2 x 3 2) 3 = 2 2 x 3 x 3 2 x 3 = 2 6 x 3 6 = 64 x 729 = 46656
Humigit-kumulang ang parehong bagay ang mangyayari kapag ang pagtaas sa kapangyarihan ng isang produkto. Sinabi namin na kapag tinataas ang isang produkto sa isang kapangyarihan, ang bawat salik ng produktong ito ay itataas sa ipinahiwatig na kapangyarihan.
Halimbawa, upang itaas ang produkto ng 2 × 4 sa ikatlong kapangyarihan, kailangan mong isulat ang sumusunod na expression:
Ngunit mas maaga sinabi na kung ang isang numero ay ibinigay nang walang tagapagpahiwatig, kung gayon ang tagapagpahiwatig ay dapat ituring na katumbas ng isa. Lumalabas na ang mga kadahilanan ng produkto 2 × 4 sa una ay may mga exponent na katumbas ng 1. Nangangahulugan ito na ang expression na 2 1 × 4 1 ay itinaas sa ikatlong kapangyarihan. At ito ay ang pagtaas ng antas sa isang kapangyarihan.
Isulat muli natin ang solusyon gamit ang panuntunan ng exponentiation. Dapat nating makuha ang parehong resulta:
Halimbawa 2. Hanapin ang halaga ng expression (3 3) 2
Iniwan namin ang base na hindi nagbabago, at i-multiply ang mga tagapagpahiwatig:
Nakakuha ng 3 6 . Ang numero 3 hanggang sa ikaanim na kapangyarihan ay ang numero 729
Halimbawa 3xy)³
Halimbawa 4. Magsagawa ng exponentiation sa expression ( abc)⁵
Itaas natin ang bawat salik ng produkto sa ikalimang kapangyarihan:
Halimbawa 5palakol) 3
Itaas natin ang bawat salik ng produkto sa ikatlong kapangyarihan:
Dahil ang negatibong numero −2 ay itinaas sa ikatlong kapangyarihan, kinuha ito sa mga bracket.
Halimbawa 6. Magsagawa ng exponentiation sa expression (10 xy) 2
Halimbawa 7. Magsagawa ng exponentiation sa expression (−5 x) 3
Halimbawa 8. Magsagawa ng exponentiation sa expression (−3 y) 4
Halimbawa 9. Magsagawa ng exponentiation sa expression (−2 abx)⁴
Halimbawa 10. Pasimplehin ang expression x 5×( x 2) 3
Degree x 5 ay mananatiling hindi nagbabago sa ngayon, at sa expression ( x 2) 3 isagawa ang exponentiation sa kapangyarihan:
x 5 × (x 2) 3 = x 5 × x 2×3 = x 5 × x 6
Ngayon gawin natin ang pagpaparami x 5 × x 6. Upang gawin ito, ginagamit namin ang pangunahing pag-aari ng degree - ang base x iwanan itong hindi nagbabago, at idagdag ang mga tagapagpahiwatig:
x 5 × (x 2) 3 = x 5 × x 2×3 = x 5 × x 6 = x 5 + 6 = x 11
Halimbawa 9. Hanapin ang halaga ng expression na 4 3 × 2 2 gamit ang pangunahing katangian ng degree.
Ang pangunahing pag-aari ng degree ay maaaring gamitin kung ang mga base ng mga unang degree ay pareho. Sa halimbawang ito, ang mga base ay magkakaiba, samakatuwid, sa simula, ang orihinal na expression ay kailangang bahagyang mabago, ibig sabihin, upang ang mga base ng mga degree ay maging pareho.
Tingnan nating mabuti ang kapangyarihan ng 4 3 . Ang base ng degree na ito ay ang numero 4, na maaaring katawanin bilang 2 2 . Pagkatapos ang orihinal na expression ay kukuha ng anyo (2 2) 3 × 2 2 . Sa pamamagitan ng exponentiating sa isang kapangyarihan sa expression (2 2) 3 , nakukuha natin ang 2 6 . Pagkatapos ang orihinal na expression ay kukuha ng form 2 6 × 2 2 , na maaaring kalkulahin gamit ang pangunahing katangian ng degree.
Isulat natin ang solusyon ng halimbawang ito:
Dibisyon ng mga degree
Upang maisagawa ang paghahati ng kapangyarihan, kailangan mong hanapin ang halaga ng bawat kapangyarihan, pagkatapos ay gawin ang paghahati ng mga ordinaryong numero.
Halimbawa, hatiin natin ang 4 3 sa 2 2 .
Kalkulahin ang 4 3 , makuha natin ang 64 . Kinakalkula namin ang 2 2 , nakukuha namin ang 4. Ngayon hinati namin ang 64 sa 4, nakukuha namin ang 16
Kung, kapag hinahati ang mga degree ng base, sila ay magiging pareho, kung gayon ang base ay maaaring iwanang hindi nagbabago, at ang exponent ng divisor ay maaaring ibawas mula sa exponent ng dividend.
Halimbawa, hanapin natin ang halaga ng expression na 2 3: 2 2
Iniwan namin ang base 2 na hindi nagbabago, at ibawas ang exponent ng divisor mula sa exponent ng dividend:
Kaya ang halaga ng expression na 2 3: 2 2 ay 2 .
Ang pag-aari na ito ay batay sa pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong mga batayan, o, gaya ng dati nating sinasabi, sa pangunahing pag-aari ng antas.
Bumalik tayo sa nakaraang halimbawa 2 3: 2 2 . Dito ang dibidendo ay 2 3 at ang divisor ay 2 2 .
Upang hatiin ang isang numero sa isa pang paraan upang mahanap ang isang numero na, kapag pinarami ng isang divisor, ay magbibigay ng dibidendo bilang isang resulta.
Sa aming kaso, ang paghahati ng 2 3 sa 2 2 ay nangangahulugan ng paghahanap ng kapangyarihan na, kapag pinarami sa divisor 2 2, ay magreresulta sa 2 3 . Anong kapangyarihan ang maaaring i-multiply sa 2 2 upang makakuha ng 2 3 ? Malinaw, tanging ang degree 2 1 . Mula sa pangunahing pag-aari ng degree na mayroon kami:
Maaari mong i-verify na ang halaga ng expression na 2 3: 2 2 ay 2 1 sa pamamagitan ng direktang pagsusuri sa expression na 2 3: 2 2 . Upang gawin ito, una naming hanapin ang halaga ng degree 2 3 , makuha namin ang 8 . Pagkatapos ay nakita natin ang halaga ng degree 2 2 , nakukuha natin ang 4 . Hatiin ang 8 sa 4, makakakuha tayo ng 2 o 2 1 , dahil 2 = 2 1 .
2 3: 2 2 = 8: 4 = 2
Kaya, kapag naghahati ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay humahawak:
Maaaring mangyari din na hindi lamang ang mga base, kundi pati na rin ang mga tagapagpahiwatig ay maaaring pareho. Sa kasong ito, ang sagot ay magiging isa.
Halimbawa, hanapin natin ang halaga ng expression na 2 2: 2 2 . Kalkulahin natin ang halaga ng bawat antas at gawin ang paghahati ng mga resultang numero:
Kapag nilulutas ang halimbawa 2 2: 2 2, maaari mo ring ilapat ang panuntunan para sa paghahati ng mga degree na may parehong mga base. Ang resulta ay isang numero sa zero na kapangyarihan, dahil ang pagkakaiba sa pagitan ng mga exponent ng 2 2 at 2 2 ay zero:
Bakit ang numero 2 hanggang sa zero degree ay katumbas ng isa, nalaman namin sa itaas. Kung kinakalkula mo ang 2 2: 2 2 sa karaniwang paraan, nang hindi ginagamit ang panuntunan para sa paghahati ng mga degree, makakakuha ka ng isa.
Halimbawa 2. Hanapin ang halaga ng expression 4 12: 4 10
Nag-iiwan kami ng 4 na hindi nagbabago, at ibawas ang exponent ng divisor mula sa exponent ng dibidendo:
4 12: 4 10 = 4 12 − 10 = 4 2 = 16
Halimbawa 3. Isumite ang pribado x 3: x bilang isang degree na may batayan x
Gamitin natin ang rule of division of degrees. Base x iwanan itong hindi nagbabago, at ibawas ang exponent ng divisor mula sa exponent ng dibidendo. Ang exponent ng divisor ay katumbas ng isa. Para sa kalinawan, isulat natin ito:
Halimbawa 4. Isumite ang pribado x 3: x 2 bilang isang kapangyarihan na may base x
Gamitin natin ang rule of division of degrees. Base x
Ang paghahati ng mga degree ay maaaring isulat bilang isang fraction. Kaya, ang nakaraang halimbawa ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:
Ang numerator at denominator ng isang fraction ay maaaring isulat sa pinalawak na anyo, lalo na sa anyo ng mga produkto ng magkaparehong mga kadahilanan. Degree x 3 ay maaaring isulat bilang x × x × x, at ang degree x 2 bilang x × x. Tapos yung construction x Maaaring laktawan ang 3 − 2 at gumamit ng fraction reduction. Sa numerator at sa denominator, posibleng bawasan ang dalawang salik bawat isa x. Ang resulta ay magiging isang multiplier x
O kahit na mas maikli:
Gayundin, ito ay kapaki-pakinabang upang mabilis na bawasan ang mga fraction na binubuo ng mga kapangyarihan. Halimbawa, ang isang fraction ay maaaring bawasan sa x 2. Upang bawasan ang isang fraction sa pamamagitan ng x 2 kailangan mong hatiin ang numerator at denominator ng fraction sa pamamagitan ng x 2
Ang dibisyon ng mga degree ay hindi maaaring inilarawan nang detalyado. Ang pagdadaglat sa itaas ay maaaring gawing mas maikli:
O kahit na mas maikli:
Halimbawa 5. Isagawa ang paghahati x 12 :x 3
Gamitin natin ang rule of division of degrees. Base x iwanan itong hindi nagbabago, at ibawas ang exponent ng divisor mula sa exponent ng dibidendo:
Isinulat namin ang solusyon gamit ang pagbawas ng fraction. Dibisyon ng mga degree x 12 :x 3 ay isusulat bilang . Susunod, binabawasan namin ang fraction na ito ng x 3 .
Halimbawa 6. Hanapin ang halaga ng isang expression
Sa numerator, ginagawa namin ang pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong mga base:
Ngayon inilalapat namin ang panuntunan para sa paghahati ng mga kapangyarihan na may parehong mga base. Iniwan namin ang base 7 na hindi nagbabago, at ibawas ang exponent ng divisor mula sa exponent ng dividend:
Kinukumpleto namin ang halimbawa sa pamamagitan ng pagkalkula ng kapangyarihan ng 7 2
Halimbawa 7. Hanapin ang halaga ng isang expression
Gawin natin ang exponentiation sa numerator. Kailangan mong gawin ito gamit ang expression (2 3) 4
Ngayon gawin natin ang pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong mga base sa numerator.
Ang konsepto ng isang degree sa matematika ay ipinakilala kasing aga ng ika-7 baitang sa isang aralin sa algebra. At sa hinaharap, sa buong kurso ng pag-aaral ng matematika, ang konseptong ito ay aktibong ginagamit sa iba't ibang anyo nito. Ang mga degree ay isang medyo mahirap na paksa, na nangangailangan ng pagsasaulo ng mga halaga at ang kakayahang magbilang nang tama at mabilis. Para sa mas mabilis at mas mahusay na trabaho sa mga degree sa matematika, nakabuo sila ng mga katangian ng isang degree. Tumutulong sila upang mabawasan ang malalaking kalkulasyon, upang mai-convert ang isang malaking halimbawa sa isang solong numero sa ilang lawak. Walang napakaraming mga pag-aari, at lahat ng mga ito ay madaling matandaan at ilapat sa pagsasanay. Samakatuwid, tinatalakay ng artikulo ang mga pangunahing katangian ng degree, pati na rin kung saan inilalapat ang mga ito.
mga katangian ng degree
Isasaalang-alang namin ang 12 mga katangian ng isang degree, kabilang ang mga katangian ng mga kapangyarihan na may parehong base, at magbibigay ng isang halimbawa para sa bawat ari-arian. Ang bawat isa sa mga pag-aari na ito ay makakatulong sa iyong malutas ang mga problema sa mga degree na mas mabilis, pati na rin i-save ka mula sa maraming mga error sa computational.
1st property.
Maraming tao ang madalas na nakakalimutan ang tungkol sa property na ito, nagkakamali, na kumakatawan sa isang numero sa zero degree bilang zero.
2nd property.
3rd property.
Dapat tandaan na ang ari-arian na ito ay magagamit lamang kapag nagpaparami ng mga numero, hindi ito gumagana sa kabuuan! At hindi natin dapat kalimutan na ito at ang mga sumusunod na katangian ay nalalapat lamang sa mga kapangyarihan na may parehong base.
ika-4 na ari-arian.
Kung ang numero sa denominator ay itinaas sa isang negatibong kapangyarihan, pagkatapos kapag ang pagbabawas, ang antas ng denominator ay kinuha sa mga bracket upang palitan ng tama ang sign sa karagdagang mga kalkulasyon.
Gumagana lang ang property kapag naghahati, hindi kapag nagbabawas!
5th property.
ika-6 na ari-arian.
Ang property na ito ay maaari ding ilapat nang baligtad. Ang isang yunit na hinati sa isang numero sa ilang antas ay ang numerong iyon sa isang negatibong kapangyarihan.
ika-7 ari-arian.
Hindi maaaring ilapat ang property na ito sa kabuuan at pagkakaiba! Kapag nagtataas ng kabuuan o pagkakaiba sa isang kapangyarihan, mga pinaikling pormula ng pagpaparami ang ginagamit, hindi ang mga katangian ng kapangyarihan.
ika-8 ari-arian.
ika-9 na ari-arian.
Gumagana ang property na ito para sa anumang fractional degree na may numerator na katumbas ng isa, magiging pareho ang formula, ang degree lang ng root ang magbabago depende sa denominator ng degree.
Gayundin, ang property na ito ay kadalasang ginagamit sa reverse order. Ang ugat ng anumang kapangyarihan ng isang numero ay maaaring ilarawan bilang numerong iyon sa kapangyarihan ng isa na hinati sa kapangyarihan ng ugat. Ang pag-aari na ito ay lubhang kapaki-pakinabang sa mga kaso kung saan ang ugat ng numero ay hindi nakuha.
ika-10 ari-arian.
Gumagana ang property na ito hindi lamang sa square root at sa pangalawang degree. Kung ang antas ng ugat at ang antas kung saan nakataas ang ugat na ito ay pareho, kung gayon ang sagot ay magiging isang radikal na pagpapahayag.
ika-11 ari-arian.
Kailangan mong makita ang ari-arian na ito sa oras kapag nilulutas ito upang mailigtas ang iyong sarili mula sa malalaking kalkulasyon.
ika-12 ari-arian.
Ang bawat isa sa mga katangiang ito ay makakatagpo sa iyo ng higit sa isang beses sa mga gawain, maaari itong ibigay sa dalisay nitong anyo, o maaaring mangailangan ito ng ilang pagbabago at paggamit ng iba pang mga formula. Samakatuwid, para sa tamang solusyon, hindi sapat na malaman lamang ang mga katangian, kailangan mong magsanay at ikonekta ang natitirang kaalaman sa matematika.
Application ng mga degree at ang kanilang mga katangian
Ang mga ito ay aktibong ginagamit sa algebra at geometry. Ang mga degree sa matematika ay may hiwalay, mahalagang lugar. Sa kanilang tulong, ang mga exponential equation at hindi pagkakapantay-pantay ay nalulutas, gayundin ang mga kapangyarihan ay kadalasang nagpapalubha sa mga equation at mga halimbawa na nauugnay sa ibang mga seksyon ng matematika. Tumutulong ang mga exponent upang maiwasan ang malaki at mahabang mga kalkulasyon, mas madaling bawasan at kalkulahin ang mga exponent. Ngunit upang gumana sa malalaking kapangyarihan, o sa mga kapangyarihan ng malalaking numero, kailangan mong malaman hindi lamang ang mga katangian ng antas, ngunit mahusay din na magtrabaho kasama ang mga base, magagawang mabulok ang mga ito upang gawing mas madali ang iyong gawain. Para sa kaginhawahan, dapat mo ring malaman ang kahulugan ng mga numero na nakataas sa isang kapangyarihan. Bawasan nito ang iyong oras sa paglutas sa pamamagitan ng pag-aalis ng pangangailangan para sa mahabang kalkulasyon.
Ang konsepto ng degree ay gumaganap ng isang espesyal na papel sa logarithms. Dahil ang logarithm, sa esensya, ay ang kapangyarihan ng isang numero.
Ang mga pinaikling pormula ng pagpaparami ay isa pang halimbawa ng paggamit ng mga kapangyarihan. Hindi nila maaaring gamitin ang mga katangian ng mga degree, ang mga ito ay nabubulok ayon sa mga espesyal na patakaran, ngunit sa bawat pinaikling formula ng multiplikasyon mayroong walang paltos na mga degree.
Aktibong ginagamit din ang mga degree sa physics at computer science. Ang lahat ng mga pagsasalin sa sistema ng SI ay ginawa gamit ang mga degree, at sa hinaharap, kapag nilutas ang mga problema, ang mga katangian ng degree ay inilalapat. Sa computer science, ang mga kapangyarihan ng dalawa ay aktibong ginagamit, para sa kaginhawahan ng pagbibilang at pagpapasimple ng pang-unawa ng mga numero. Ang mga karagdagang kalkulasyon para sa mga conversion ng mga yunit ng pagsukat o pagkalkula ng mga problema, tulad ng sa pisika, ay nagaganap gamit ang mga katangian ng antas.
Ang mga degree ay lubhang kapaki-pakinabang din sa astronomy, kung saan bihira mong mahanap ang paggamit ng mga katangian ng isang degree, ngunit ang mga degree mismo ay aktibong ginagamit upang paikliin ang pag-record ng iba't ibang dami at distansya.
Ginagamit din ang mga degree sa pang-araw-araw na buhay, kapag kinakalkula ang mga lugar, volume, distansya.
Sa tulong ng mga degree, napakalaki at napakaliit na mga halaga ay nakasulat sa anumang larangan ng agham.
exponential equation at hindi pagkakapantay-pantay
Ang mga katangian ng degree ay sumasakop sa isang espesyal na lugar nang tumpak sa mga exponential equation at hindi pagkakapantay-pantay. Ang mga gawaing ito ay karaniwan, kapwa sa kurso sa paaralan at sa mga pagsusulit. Ang lahat ng mga ito ay malulutas sa pamamagitan ng paglalapat ng mga katangian ng antas. Ang hindi alam ay palaging nasa antas mismo, samakatuwid, alam ang lahat ng mga katangian, hindi magiging mahirap na lutasin ang gayong equation o hindi pagkakapantay-pantay.
Sa nakaraang artikulo, napag-usapan natin kung ano ang monomials. Sa materyal na ito, susuriin natin kung paano lutasin ang mga halimbawa at problema kung saan ginagamit ang mga ito. Dito ay isasaalang-alang natin ang mga pagkilos tulad ng pagbabawas, pagdaragdag, pagpaparami, paghahati ng mga monomial at pagpapataas sa kanila sa isang kapangyarihan na may natural na exponent. Ipapakita namin kung paano tinukoy ang mga naturang operasyon, ipahiwatig namin ang mga pangunahing patakaran para sa kanilang pagpapatupad at kung ano ang dapat na resulta. Ang lahat ng teoretikal na probisyon, gaya ng dati, ay ilalarawan ng mga halimbawa ng mga problema na may mga paglalarawan ng mga solusyon.
Ito ay pinaka-maginhawa upang gumana sa karaniwang notasyon ng monomials, kaya ipinakita namin ang lahat ng mga expression na gagamitin sa artikulo sa isang karaniwang form. Kung iba ang itinakda sa una, inirerekomenda na dalhin muna ang mga ito sa isang pangkalahatang tinatanggap na form.
Mga panuntunan para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga monomial
Ang pinakasimpleng operasyon na maaaring gawin sa monomials ay pagbabawas at karagdagan. Sa pangkalahatang kaso, ang resulta ng mga pagkilos na ito ay isang polynomial (ang isang monomial ay posible sa ilang mga espesyal na kaso).
Kapag nagdagdag o nagbawas tayo ng mga monomial, isinusulat muna natin ang katumbas na kabuuan at pagkakaiba sa pangkalahatang tinatanggap na anyo, pagkatapos nito ay pinapasimple natin ang resultang expression. Kung may mga katulad na termino, dapat silang ibigay, dapat buksan ang mga bracket. Ipaliwanag natin gamit ang isang halimbawa.
Halimbawa 1
Kundisyon: idagdag ang monomials − 3 · x at 2 , 72 · x 3 · y 5 · z .
Desisyon
Isulat natin ang kabuuan ng mga orihinal na expression. Magdagdag ng mga panaklong at maglagay ng plus sign sa pagitan ng mga ito. Makukuha natin ang mga sumusunod:
(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z)
Kapag pinalawak natin ang mga bracket, makukuha natin - 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z . Ito ay isang polynomial, nakasulat sa karaniwang anyo, na magiging resulta ng pagdaragdag ng mga monomial na ito.
Sagot:(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z) = − 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z .
Kung mayroon kaming tatlo, apat o higit pang termino na ibinigay, ginagawa namin ang pagkilos na ito sa parehong paraan.
Halimbawa 2
Kundisyon: isagawa ang mga ibinigay na operasyon na may mga polynomial sa tamang pagkakasunud-sunod
3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c
Desisyon
Magsimula tayo sa pagbubukas ng mga panaklong.
3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c
Nakikita namin na ang resultang expression ay maaaring gawing simple sa pamamagitan ng pagbabawas ng mga katulad na termino:
3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = = (3 a 2 + a 2 - 7 a 2) + 4 a c - 2 2 3 a c + 4 9 = = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9
Mayroon kaming polynomial, na magiging resulta ng pagkilos na ito.
Sagot: 3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9
Sa prinsipyo, maaari nating gawin ang pagdaragdag at pagbabawas ng dalawang monomial, na may ilang mga paghihigpit, upang mapunta tayo sa isang monomial. Upang gawin ito, kinakailangan na obserbahan ang ilang mga kundisyon tungkol sa mga tuntunin at ibinawas na mga monomial. Ilalarawan namin kung paano ito ginagawa sa isang hiwalay na artikulo.
Mga panuntunan para sa pagpaparami ng monomials
Ang pagkilos ng pagpaparami ay hindi nagpapataw ng anumang mga paghihigpit sa mga multiplier. Ang mga monomial na paramihin ay hindi dapat matugunan ang anumang karagdagang mga kundisyon upang ang resulta ay maging isang monomial.
Upang maisagawa ang pagpaparami ng mga monomial, kailangan mong gawin ang mga sumusunod na hakbang:
- Itala nang tama ang piraso.
- Palawakin ang mga bracket sa resultang expression.
- Igrupo, kung maaari, ang mga salik na may parehong mga variable at numerical na salik nang hiwalay.
- Isagawa ang mga kinakailangang aksyon na may mga numero at ilapat ang pag-aari ng pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong mga base sa natitirang mga kadahilanan.
Tingnan natin kung paano ito ginagawa sa pagsasanay.
Halimbawa 3
Kundisyon: multiply ang monomials 2 · x 4 · y · z at - 7 16 · t 2 · x 2 · z 11 .
Desisyon
Magsimula tayo sa komposisyon ng trabaho.
Pagbukas ng mga bracket dito at makuha namin ang sumusunod:
2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11
2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11
Ang kailangan lang nating gawin ay i-multiply ang mga numero sa unang bracket at ilapat ang power property sa pangalawa. Bilang resulta, nakukuha namin ang sumusunod:
2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 y z 14
Sagot: 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14 .
Kung mayroon kaming tatlo o higit pang polynomial sa kundisyon, pinaparami namin ang mga ito gamit ang eksaktong parehong algorithm. Isasaalang-alang namin ang isyu ng pagpaparami ng mga monomial nang mas detalyado sa isang hiwalay na materyal.
Mga panuntunan para sa pagpapataas ng isang monomial sa isang kapangyarihan
Alam namin na ang produkto ng isang tiyak na bilang ng magkatulad na mga kadahilanan ay tinatawag na isang degree na may natural na exponent. Ang kanilang numero ay ipinahiwatig ng numero sa index. Ayon sa kahulugang ito, ang pagpapataas ng monomial sa isang kapangyarihan ay katumbas ng pagpaparami ng ipinahiwatig na bilang ng magkaparehong monomial. Tingnan natin kung paano ito ginawa.
Halimbawa 4
Kundisyon: itaas ang monomial − 2 · a · b 4 sa kapangyarihan ng 3 .
Desisyon
Maaari nating palitan ang exponentiation ng multiplication ng 3 monomials − 2 · a · b 4 . Isulat natin at makuha ang gustong sagot:
(− 2 a b 4) 3 = (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) = = ((− 2) (− 2) (− 2)) (a a a) (b 4 b 4 b 4) = − 8 a 3 b 12
Sagot:(− 2 a b 4) 3 = − 8 a 3 b 12 .
Ngunit paano kung ang degree ay may malaking exponent? Ang pag-record ng malaking bilang ng mga multiplier ay hindi maginhawa. Pagkatapos, upang malutas ang gayong problema, kailangan nating ilapat ang mga katangian ng antas, lalo na ang ari-arian ng antas ng produkto at ang ari-arian ng antas sa antas.
Lutasin natin ang problemang binanggit natin sa itaas sa ipinahiwatig na paraan.
Halimbawa 5
Kundisyon: itaas ang − 2 · a · b 4 sa ikatlong kapangyarihan.
Desisyon
Alam ang pag-aari ng degree sa degree, maaari tayong magpatuloy sa pagpapahayag ng sumusunod na anyo:
(− 2 a b 4) 3 = (− 2) 3 a 3 (b 4) 3 .
Pagkatapos nito, itataas namin ang kapangyarihan - 2 at ilapat ang exponent property:
(− 2) 3 (a) 3 (b 4) 3 = − 8 a 3 b 4 3 = − 8 a 3 b 12 .
Sagot:− 2 · a · b 4 = − 8 · a 3 · b 12 .
Inilaan din namin ang isang hiwalay na artikulo sa pagtataas ng isang monomial sa isang kapangyarihan.
Mga panuntunan para sa paghahati ng mga monomial
Ang huling aksyon na may mga monomial na susuriin natin sa materyal na ito ay ang paghahati ng isang monomial sa isang monomial. Bilang resulta, dapat tayong makakuha ng rational (algebraic) na bahagi (sa ilang mga kaso, posibleng makakuha ng monomial). Linawin natin kaagad na ang paghahati sa pamamagitan ng zero monomial ay hindi tinukoy, dahil ang paghahati sa pamamagitan ng 0 ay hindi tinukoy.
Upang maisagawa ang paghahati, kailangan nating isulat ang ipinahiwatig na mga monomial sa anyo ng isang fraction at bawasan ito, kung maaari.
Halimbawa 6
Kundisyon: hatiin ang monomial − 9 x 4 y 3 z 7 sa − 6 p 3 t 5 x 2 y 2 .
Desisyon
Magsimula tayo sa pagsulat ng mga monomial sa anyo ng isang fraction.
9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2
Maaaring bawasan ang fraction na ito. Pagkatapos gawin ito, makakakuha tayo ng:
3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5
Sagot:- 9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 = 3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5 .
Ang mga kondisyon kung saan, bilang resulta ng paghahati ng mga monomial, makakakuha tayo ng isang monomial ay ibinibigay sa isang hiwalay na artikulo.
Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter
Sa huling video tutorial, nalaman namin na ang antas ng base ay isang expression na produkto ng base at mismo, na kinuha sa halagang katumbas ng exponent. Pag-aralan natin ngayon ang ilan sa mga pinakamahalagang katangian at pagpapatakbo ng mga kapangyarihan.
Halimbawa, paramihin natin ang dalawang magkaibang kapangyarihan na may parehong base:
Tingnan natin ang bahaging ito sa kabuuan nito:
(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32
Ang pagkakaroon ng pagkalkula ng halaga ng expression na ito, makakakuha tayo ng numero 32. Sa kabilang banda, tulad ng makikita mula sa parehong halimbawa, 32 ay maaaring kinakatawan bilang isang produkto ng parehong base (dalawa), kinuha ng 5 beses. At sa katunayan, kung bibilangin mo, kung gayon:
Kaya, maaari itong ligtas na mapagpasyahan na:
(2) 3 * (2) 2 = (2) 5
Matagumpay na gumagana ang panuntunang ito para sa anumang mga indicator at anumang batayan. Ang pag-aari na ito ng pagpaparami ng antas ay sumusunod mula sa panuntunan ng pangangalaga ng kahulugan ng mga expression sa panahon ng mga pagbabago sa produkto. Para sa anumang base a, ang produkto ng dalawang expression (a) x at (a) y ay katumbas ng a (x + y). Sa madaling salita, kapag gumagawa ng anumang mga expression na may parehong base, ang panghuling monomial ay may kabuuang antas na nabuo sa pamamagitan ng pagdaragdag ng antas ng una at pangalawang expression.
Ang ipinakita na panuntunan ay mahusay din kapag nagpaparami ng ilang expression. Ang pangunahing kondisyon ay ang mga batayan para sa lahat ay pareho. Halimbawa:
(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8
Imposibleng magdagdag ng mga degree, at sa pangkalahatan ay magsagawa ng anumang mga aksyon na magkasanib na kapangyarihan na may dalawang elemento ng expression, kung ang kanilang mga base ay naiiba.
Tulad ng ipinapakita ng aming video, dahil sa pagkakapareho ng mga proseso ng pagpaparami at paghahati, ang mga patakaran para sa pagdaragdag ng mga kapangyarihan sa panahon ng isang produkto ay perpektong inililipat sa pamamaraan ng paghahati. Isaalang-alang ang halimbawang ito:
Gumawa tayo ng term-by-term na pagbabago ng expression sa isang buong anyo at bawasan ang parehong mga elemento sa dibidendo at divisor:
(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4
Ang resulta ng halimbawang ito ay hindi masyadong kawili-wili, dahil nasa kurso na ng solusyon nito ay malinaw na ang halaga ng expression ay katumbas ng parisukat ng dalawa. At ito ay ang deuce na nakuha sa pamamagitan ng pagbabawas ng antas ng pangalawang expression mula sa antas ng una.
Upang matukoy ang antas ng kusyente, kinakailangang ibawas ang antas ng divisor mula sa antas ng dibidendo. Ang panuntunan ay gumagana nang may parehong batayan para sa lahat ng mga halaga nito at para sa lahat ng natural na kapangyarihan. Sa abstract form, mayroon kaming:
(a) x / (a) y = (a) x - y
Ang kahulugan para sa zero degree ay sumusunod sa panuntunan para sa paghahati ng magkaparehong mga base na may mga kapangyarihan. Malinaw, ang sumusunod na expression ay:
(a) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0
Sa kabilang banda, kung hahatiin natin sa mas visual na paraan, makakakuha tayo ng:
(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1
Kapag binabawasan ang lahat ng nakikitang elemento ng isang fraction, palaging nakukuha ang expression na 1/1, iyon ay, isa. Samakatuwid, karaniwang tinatanggap na ang anumang base na itinaas sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa:
Anuman ang halaga ng a.
Gayunpaman, magiging walang katotohanan kung ang 0 (na nagbibigay pa rin ng 0 para sa anumang multiplikasyon) ay kahit papaano ay katumbas ng isa, kaya ang isang expression tulad ng (0) 0 (zero sa zero degree) ay walang kahulugan, at sa formula (a) 0 = 1 magdagdag ng kundisyon: "kung ang a ay hindi katumbas ng 0".
Gawin natin ang ehersisyo. Hanapin natin ang halaga ng expression:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11
Dahil ang base ay pareho saanman at katumbas ng 34, ang huling halaga ay magkakaroon ng parehong base na may isang degree (ayon sa mga panuntunan sa itaas):
Sa ibang salita:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1
Sagot: Ang ekspresyon ay katumbas ng isa.
