Layunin ng aralin: pagpapakilala ng konsepto ng isang dihedral na anggulo at ang linear na anggulo nito.
Mga gawain:
Pang-edukasyon: upang isaalang-alang ang mga gawain para sa aplikasyon ng mga konseptong ito, upang bumuo ng isang nakabubuo na kasanayan sa paghahanap ng anggulo sa pagitan ng mga eroplano;
Pagbuo: pag-unlad ng malikhaing pag-iisip ng mga mag-aaral, personal na pag-unlad ng sarili ng mga mag-aaral, pag-unlad ng pagsasalita ng mga mag-aaral;
Pang-edukasyon: edukasyon ng kultura ng gawaing pangkaisipan, kultura ng komunikasyon, kultura ng mapanimdim.
Uri ng aralin: isang aral sa pag-aaral ng bagong kaalaman
Mga pamamaraan ng pagtuturo: nagpapaliwanag at naglalarawan
Kagamitan: computer, interactive na whiteboard.
Panitikan:
Geometry. Baitang 10-11: aklat-aralin. para sa 10-11 na mga cell. Pangkalahatang edukasyon institusyon: basic at profile. mga antas / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev at iba pa] - ika-18 na ed. - M. : Edukasyon, 2009. - 255 p.
Plano ng aralin:
sandali ng organisasyon (2 min)
Pag-update ng kaalaman (5 min)
Pag-aaral ng bagong materyal (12 min)
Pagsasama-sama ng pinag-aralan na materyal (21 min)
Takdang-Aralin (2 min)
Pagbubuod (3 min)
Sa panahon ng mga klase:
1. Organisasyon sandali.
May kasamang pagbati ng guro ng klase, paghahanda ng silid para sa aralin, pagsuri sa pagliban.
2. Aktwalisasyon ng pangunahing kaalaman.
Guro: Sa huling aralin, sumulat ka ng isang malayang akda. Sa pangkalahatan, mahusay ang pagkakasulat ng gawain. Ngayon ulitin natin ng kaunti. Ano ang tinatawag na anggulo sa isang eroplano?
Mag-aaral: Ang anggulo sa isang eroplano ay isang pigura na nabuo sa pamamagitan ng dalawang sinag na nagmumula sa isang punto.
Guro: Ano ang tawag sa anggulo sa pagitan ng mga linya sa espasyo?
Mag-aaral: Ang anggulo sa pagitan ng dalawang intersecting na linya sa espasyo ay ang pinakamaliit sa mga anggulo na nabuo ng mga sinag ng mga linyang ito na may vertex sa punto ng kanilang intersection.
Mag-aaral: Ang anggulo sa pagitan ng mga intersecting na linya ay ang anggulo sa pagitan ng mga intersecting na linya, ayon sa pagkakabanggit, parallel sa data.
Guro: Ano ang tawag sa anggulo sa pagitan ng linya at eroplano?
Mag-aaral: Anggulo sa pagitan ng linya at eroplanoAnumang anggulo sa pagitan ng isang tuwid na linya at ang projection nito sa eroplanong ito ay tinatawag.
3. Pag-aaral ng bagong materyal.
Guro: Sa stereometry, kasama ang mga naturang anggulo, isa pang uri ng mga anggulo ang isinasaalang-alang - mga anggulo ng dihedral. Marahil ay nahulaan mo na kung ano ang paksa ng aralin ngayon, kaya buksan mo ang iyong mga kuwaderno, isulat ang petsa ngayong araw at ang paksa ng aralin.
Pagsusulat sa pisara at sa mga kuwaderno:
10.12.14.
Dihedral anggulo.
Guro : Upang ipakilala ang konsepto ng isang dihedral na anggulo, dapat itong alalahanin na ang anumang tuwid na linya na iginuhit sa isang partikular na eroplano ay naghahati sa eroplanong ito sa dalawang kalahating eroplano.(Larawan 1a)
Guro : Isipin na baluktot namin ang eroplano sa isang tuwid na linya upang ang dalawang kalahating eroplano na may hangganan ay lumabas na hindi na nakahiga sa parehong eroplano (Larawan 1, b). Ang resultang figure ay ang dihedral angle. Ang dihedral angle ay isang figure na nabuo sa pamamagitan ng isang tuwid na linya at dalawang kalahating eroplano na may isang karaniwang hangganan na hindi kabilang sa parehong eroplano. Ang mga kalahating eroplano na bumubuo ng isang dihedral na anggulo ay tinatawag na mga mukha nito. Ang isang dihedral angle ay may dalawang mukha, kaya ang pangalan ay dihedral angle. Ang tuwid na linya - ang karaniwang hangganan ng kalahating eroplano - ay tinatawag na gilid ng anggulo ng dihedral. Isulat ang kahulugan sa iyong kuwaderno.
Ang dihedral angle ay isang figure na nabuo sa pamamagitan ng isang tuwid na linya at dalawang kalahating eroplano na may isang karaniwang hangganan na hindi kabilang sa parehong eroplano.
Guro : Sa pang-araw-araw na buhay, madalas tayong makatagpo ng mga bagay na may hugis ng dihedral na anggulo. Magbigay ng halimbawa.
Mag-aaral : Kalahating bukas na folder.
Mag-aaral : Ang dingding ng silid kasama ang sahig.
Mag-aaral : Gable na bubong ng mga gusali.
Guro : Tama. At mayroong maraming tulad na mga halimbawa.
Guro : Tulad ng alam mo, ang mga anggulo sa isang eroplano ay sinusukat sa mga degree. Marahil ay may tanong ka, ngunit paano sinusukat ang mga anggulo ng dihedral? Ginagawa ito sa sumusunod na paraan.Minarkahan namin ang ilang punto sa gilid ng anggulo ng dihedral, at sa bawat mukha mula sa puntong ito gumuhit kami ng isang ray na patayo sa gilid. Ang anggulo na nabuo ng mga sinag na ito ay tinatawag na linear na anggulo ng dihedral angle. Gumawa ng isang guhit sa iyong mga kuwaderno.
Pagsusulat sa pisara at sa kuwaderno.
O ∈ a, AO ⊥ a, VO ⊥ a, SABD- anggulo ng dihedral,∠ AOBay ang linear na anggulo ng dihedral angle.
Guro : Ang lahat ng mga linear na anggulo ng isang dihedral na anggulo ay pantay. Gawin ang iyong sarili ng isang bagay na tulad nito.
Guro : Patunayan natin. Isaalang-alang ang dalawang linear na anggulo AOB atPQR. Sinag OA atQPnakahiga sa parehong mukha at patayoOQ, na nangangahulugang sila ay nakahanay. Katulad nito, ang mga sinag OB atQRco-directed. Ibig sabihin,∠ AOB= ∠ PQR(tulad ng mga anggulo na may codirectional na panig).
Guro : Well, ngayon ang sagot sa aming tanong ay kung paano sinusukat ang dihedral angle.Ang sukat ng antas ng isang dihedral na anggulo ay ang sukat ng antas ng linear na anggulo nito. Muling iguhit ang mga guhit ng acute, right, at obtuse dihedral angle mula sa textbook sa pahina 48.
4. Pagsasama-sama ng pinag-aralan na materyal.
Guro : Gumawa ng mga guhit para sa mga gawain.
№ 1 . Ibinigay: ΔABC, AC = BC, AB ay nasa eroplanoα, CD ⊥ α, C∉ a. Bumuo ng Linear Angle ng Dihedral AngleCABD.
Mag-aaral : Desisyon:CM ⊥ AB, DC ⊥ AB.∠ cmd - ninanais.
№ 2. Ibinigay: ΔABC, ∠ C= 90°, ang BC ay nasa eroplanoα, AO⊥ α, A∈ α.
Bumuo ng Linear Angle ng Dihedral AngleAVSO.
Mag-aaral : Desisyon:AB ⊥ BC, JSC⊥ Ang ibig sabihin ng araw ay OS⊥ Araw.∠ ACO - ninanais.
№ 3 . Ibinigay: ΔABC, ∠ C \u003d 90 °, AB ay namamalagi sa eroplanoα, CD⊥ α, C∉ a. Bumuolinear dihedral angguloDABC.
Mag-aaral : Desisyon: CK ⊥ AB, DC ⊥ AB,DK ⊥ Ibig sabihin ng AB∠ DKC - ninanais.
№ 4
. Ibinigay:DABC- tetrahedron,GAWIN⊥
ABC.Buuin ang linear na anggulo ng dihedral angleA B C D.
Mag-aaral : Desisyon:DM ⊥ araw,GAWIN ⊥ Ang ibig sabihin ng BC ay OM⊥ araw;∠ OMD - ninanais.
5. Pagbubuod.
Guro: Ano ang bagong natutunan mo sa aralin ngayon?
Mga mag-aaral : Ano ang tinatawag na dihedral angle, linear angle, paano sinusukat ang dihedral angle.
Guro : Ano ang inulit mo?
Mga mag-aaral : Ano ang tinatawag na anggulo sa isang eroplano; anggulo sa pagitan ng mga linya.
6. Takdang-Aralin.
Pagsusulat sa pisara at sa mga talaarawan: aytem 22, blg. 167, blg. 170.
Ang konsepto ng isang dihedral anggulo
Upang ipakilala ang konsepto ng isang anggulo ng dihedral, una nating naaalala ang isa sa mga axiom ng stereometry.
Anumang eroplano ay maaaring hatiin sa dalawang kalahating eroplano ng linyang $a$ na nakahiga sa eroplanong ito. Sa kasong ito, ang mga puntong nakahiga sa parehong kalahating eroplano ay nasa parehong gilid ng tuwid na linya $a$, at ang mga puntong nakahiga sa magkakaibang kalahating eroplano ay nasa magkabilang panig ng tuwid na linya $a$ (Fig. 1 ).
Larawan 1.
Ang prinsipyo ng pagbuo ng isang dihedral na anggulo ay batay sa axiom na ito.
Kahulugan 1
Ang pigura ay tinatawag dihedral na anggulo kung ito ay binubuo ng isang linya at dalawang kalahating eroplano ng linyang ito na hindi kabilang sa parehong eroplano.
Sa kasong ito, ang kalahating eroplano ng anggulo ng dihedral ay tinatawag mga mukha, at ang tuwid na linya na naghihiwalay sa kalahating eroplano - gilid ng dihedral(Larawan 1).
Figure 2. Dihedral angle
Degree na sukat ng isang dihedral angle
Kahulugan 2
Pumili kami ng arbitrary na punto $A$ sa gilid. Ang anggulo sa pagitan ng dalawang linya na nakahiga sa magkaibang kalahating eroplano, patayo sa gilid at intersecting sa puntong $A$ ay tinatawag linear angle dihedral angle(Larawan 3).
Larawan 3
Malinaw, ang bawat anggulo ng dihedral ay may walang katapusang bilang ng mga linear na anggulo.
Teorama 1
Ang lahat ng mga linear na anggulo ng isang dihedral na anggulo ay katumbas ng bawat isa.
Patunay.
Isaalang-alang ang dalawang linear na anggulo $AOB$ at $A_1(OB)_1$ (Larawan 4).
Larawan 4
Dahil ang mga sinag na $OA$ at $(OA)_1$ ay nasa parehong kalahating eroplanong $\alpha $ at patayo sa isang tuwid na linya, ang mga ito ay codirectional. Dahil ang mga sinag na $OB$ at $(OB)_1$ ay nasa parehong kalahating eroplanong $\beta $ at patayo sa isang tuwid na linya, sila ay codirectional. Kaya naman
\[\angle AOB=\angle A_1(OB)_1\]
Dahil sa arbitrariness ng pagpili ng mga linear na anggulo. Ang lahat ng mga linear na anggulo ng isang dihedral na anggulo ay katumbas ng bawat isa.
Napatunayan na ang theorem.
Kahulugan 3
Ang sukat ng antas ng isang anggulo ng dihedral ay ang sukat ng antas ng isang linear na anggulo ng isang anggulo ng dihedral.
Mga halimbawa ng gawain
Halimbawa 1
Bigyan tayo ng dalawang di-perpendikular na eroplano na $\alpha $ at $\beta $ na nagsalubong sa linyang $m$. Ang puntong $A$ ay kabilang sa eroplanong $\beta $. Ang $AB$ ay patayo sa linyang $m$. Ang $AC$ ay patayo sa eroplanong $\alpha $ (point $C$ ay kabilang sa $\alpha $). Patunayan na ang anggulong $ABC$ ay isang linear na anggulo ng dihedral angle.
Patunay.
Gumuhit tayo ng isang larawan ayon sa kalagayan ng problema (Larawan 5).
Larawan 5
Upang patunayan ito, naaalala natin ang sumusunod na teorama
Teorama 2: Ang isang tuwid na linya na dumadaan sa base ng isang hilig, patayo dito, ay patayo sa projection nito.
Dahil ang $AC$ ay patayo sa $\alpha $ plane, ang puntong $C$ ay ang projection ng point $A$ papunta sa $\alpha $ plane. Kaya ang $BC$ ay ang projection ng pahilig na $AB$. Sa pamamagitan ng Theorem 2, ang $BC$ ay patayo sa isang gilid ng isang dihedral na anggulo.
Pagkatapos, ang anggulo na $ABC$ ay nakakatugon sa lahat ng mga kinakailangan para sa pagtukoy sa linear na anggulo ng isang dihedral na anggulo.
Halimbawa 2
Ang anggulo ng dihedral ay $30^\circ$. Nasa isa sa mga mukha ang puntong $A$, na nasa layong $4$ cm mula sa kabilang mukha. Hanapin ang distansya mula sa puntong $A$ hanggang sa gilid ng dihedral na anggulo.
Desisyon.
Tingnan natin ang Figure 5.
Sa pagpapalagay, mayroon kaming $AC=4\ cm$.
Sa pamamagitan ng kahulugan ng sukat ng antas ng isang dihedral na anggulo, mayroon tayong anggulong $ABC$ ay katumbas ng $30^\circ$.
Ang Triangle $ABC$ ay isang right triangle. Sa pamamagitan ng kahulugan ng sine ng isang matinding anggulo
\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \
Upang gamitin ang preview ng mga presentasyon, lumikha ng isang Google account (account) at mag-sign in: https://accounts.google.com
Mga slide caption:
DOUBLE ANGLE Guro sa matematika GOU sekondaryang paaralan №10 Eremenko M.A.
Ang mga pangunahing layunin ng aralin: Ipakilala ang konsepto ng isang dihedral angle at ang linear na anggulo nito Isaalang-alang ang mga gawain para sa aplikasyon ng mga konseptong ito.
Kahulugan: Ang anggulo ng dihedral ay isang pigura na nabuo ng dalawang kalahating eroplano na may karaniwang linya ng hangganan.
Ang halaga ng isang dihedral na anggulo ay ang halaga ng linear na anggulo nito. AF ⊥ CD BF ⊥ CD AFB ay ang linear na anggulo ng dihedral angle ACD B
Patunayan natin na ang lahat ng mga linear na anggulo ng isang dihedral na anggulo ay pantay sa bawat isa. Isaalang-alang ang dalawang linear na anggulo AOB at A 1 OB 1 . Ang Rays OA at OA 1 ay nakahiga sa parehong mukha at patayo sa OO 1, kaya sila ay co-directed. Ang Rays OB at OB 1 ay co-direct din. Samakatuwid, ∠ AOB = ∠ A 1 OB 1 (bilang mga anggulo na may mga panig na magkakaugnay).
Mga halimbawa ng dihedral na anggulo:
Kahulugan: Ang anggulo sa pagitan ng dalawang intersecting na eroplano ay ang pinakamaliit sa mga dihedral na anggulo na nabuo ng mga eroplanong ito.
Gawain 1: Sa kubo A ... D 1 hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga eroplanong ABC at CDD 1 . Sagot: 90o.
Gawain 2: Sa kubo A ... D 1 hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga eroplanong ABC at CDA 1 . Sagot: 45o.
Gawain 3: Sa kubo A ... D 1 hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga eroplanong ABC at BDD 1 . Sagot: 90o.
Gawain 4: Sa kubo A ... D 1 hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga eroplanong ACC 1 at BDD 1 . Sagot: 90o.
Gawain 5: Sa kubo A ... D 1 hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano BC 1 D at BA 1 D . Solusyon: Hayaan ang O ang midpoint ng B D. A 1 OC 1 ay ang linear na anggulo ng dihedral angle A 1 B D C 1 .
Problema 6: Sa tetrahedron DABC lahat ng mga gilid ay pantay, ang punto M ay ang gitnang punto ng gilid AC. Patunayan na ang ∠ DMB ay isang linear na anggulo ng dihedral angle BACD .
Solusyon: Ang mga Triangles ABC at ADC ay regular, kaya ang BM ⊥ AC at DM ⊥ AC at samakatuwid ∠ DMB ay isang linear na anggulo ng dihedral angle DACB .
Gawain 7: Mula sa vertex B ng tatsulok na ABC, ang gilid na AC kung saan ay nasa eroplanong α, isang patayo na BB 1 ang iginuhit sa eroplanong ito. Hanapin ang distansya mula sa punto B hanggang sa linyang AC at sa eroplano αif AB=2, ∠BAC=150 0 at ang dihedral na anggulo BACB 1 ay 45 0 .
Solusyon: Ang ABC ay isang obtuse triangle na may obtuse angle A, kaya ang base ng taas na BK ay nasa extension ng side AC. Ang VC ay ang distansya mula sa punto B hanggang AC. BB 1 - distansya mula sa punto B hanggang sa eroplano α
2) Dahil ang AS ⊥VK, pagkatapos ay AS⊥KV 1 (sa pamamagitan ng theorem ay nakikipag-usap sa tatlong perpendiculars theorem). Samakatuwid, ang ∠VKV 1 ay ang linear na anggulo ng dihedral na anggulo BACB 1 at ∠VKV 1 =45 0 . 3) ∆VAK: ∠A=30 0 , VK=VA sin 30 0 , VK =1. ∆VKV 1: VV 1 \u003d VK sin 45 0, VV 1 \u003d
Sa geometry, dalawang mahalagang katangian ang ginagamit upang pag-aralan ang mga figure: ang haba ng mga gilid at ang mga anggulo sa pagitan ng mga ito. Sa kaso ng mga spatial figure, ang mga anggulo ng dihedral ay idinagdag sa mga katangiang ito. Isaalang-alang natin kung ano ito, at ilarawan din ang paraan para sa pagtukoy ng mga anggulong ito gamit ang halimbawa ng isang pyramid.
Ang konsepto ng dihedral angle
Alam ng lahat na ang dalawang intersecting na linya ay bumubuo ng isang anggulo na may vertex sa punto ng kanilang intersection. Ang anggulong ito ay maaaring masukat gamit ang isang protractor, o maaari mong gamitin ang mga trigonometric function upang kalkulahin ito. Ang isang anggulo na nabuo ng dalawang tamang anggulo ay tinatawag na linear na anggulo.
Ngayon isipin na sa tatlong-dimensional na espasyo mayroong dalawang eroplano na nagsalubong sa isang tuwid na linya. Ang mga ito ay ipinapakita sa larawan.
Ang dihedral angle ay ang anggulo sa pagitan ng dalawang intersecting na eroplano. Tulad ng linear, sinusukat ito sa mga degree o radian. Kung sa anumang punto ng tuwid na linya kung saan ang mga eroplano ay bumalandra, ibalik ang dalawang patayo na nakahiga sa mga eroplanong ito, kung gayon ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay ang kinakailangang dihedral. Ang pinakamadaling paraan upang matukoy ang anggulong ito ay ang paggamit ng mga pangkalahatang equation ng mga eroplano.
Ang equation ng mga eroplano at ang formula para sa anggulo sa pagitan nila
Ang equation ng anumang eroplano sa espasyo sa pangkalahatang mga termino ay nakasulat tulad ng sumusunod:
A × x + B × y + C × z + D = 0.
Narito ang x, y, z ay ang mga coordinate ng mga puntos na kabilang sa eroplano, ang mga coefficient A, B, C, D ay ilang mga kilalang numero. Ang kaginhawahan ng pagkakapantay-pantay na ito para sa pagkalkula ng mga anggulo ng dihedral ay tahasang naglalaman ito ng mga coordinate ng vector ng direksyon ng eroplano. Ipakikilala natin ito sa pamamagitan ng n¯. Pagkatapos:
Ang vector n¯ ay patayo sa eroplano. Ang anggulo sa pagitan ng dalawang eroplano ay katumbas ng anggulo sa pagitan ng kanilang n 1 at n 2 ¯. Ito ay kilala mula sa matematika na ang anggulo na nabuo ng dalawang vectors ay natatanging tinutukoy mula sa kanilang scalar product. Pinapayagan ka nitong magsulat ng isang formula para sa pagkalkula ng anggulo ng dihedral sa pagitan ng dalawang eroplano:
φ = arccos (|(n 1 ¯ × n 2 ¯)| / (|n 1 ¯| × |n 2 ¯|)).
Kung papalitan natin ang mga coordinate ng mga vector, ang formula ay isusulat nang tahasan:
φ = arccos (|A 1 × A 2 + B 1 × B 2 + C 1 × C 2 | / (√(A 1 2 + B 1 2 + C 1 2) × √(A 2 2 + B 2 2 + C 2 2))).
Ang modulo sign sa numerator ay ginagamit upang tukuyin lamang ang isang matinding anggulo, dahil ang isang dihedral na anggulo ay palaging mas mababa o katumbas ng 90 o .
Pyramid at ang mga sulok nito
Ang pyramid ay isang pigura na nabuo sa pamamagitan ng isang n-gon at n tatsulok. Narito ang n ay isang integer na katumbas ng bilang ng mga gilid ng polygon na ang base ng pyramid. Ang spatial figure na ito ay isang polyhedron o polyhedron, dahil binubuo ito ng mga patag na mukha (mga gilid).
Ang Pyramid polyhedra ay maaaring may dalawang uri:
- sa pagitan ng base at ng gilid (tatsulok);
- sa pagitan ng dalawang panig.
Kung ang pyramid ay itinuturing na tama, kung gayon hindi mahirap matukoy ang mga pinangalanang anggulo para dito. Upang gawin ito, ayon sa mga coordinate ng tatlong kilalang mga punto, ang isang equation ng mga eroplano ay dapat na iguguhit, at pagkatapos ay gamitin ang formula na ibinigay sa talata sa itaas para sa anggulo φ.
Sa ibaba ay nagbibigay kami ng isang halimbawa kung saan ipinapakita namin kung paano maghanap ng mga dihedral na anggulo sa base ng isang quadrangular regular pyramid.
Quadrangular at ang anggulo sa base nito
Ipagpalagay na binigyan tayo ng isang regular na pyramid na may square base. Ang haba ng gilid ng parisukat ay a, ang taas ng pigura ay h. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng base ng pyramid at sa gilid nito.
Inilalagay namin ang pinagmulan ng sistema ng coordinate sa gitna ng parisukat. Pagkatapos ang mga coordinate ng mga puntos A, B, C, D na ipinapakita sa figure ay magiging katumbas ng:
A = (a/2; -a/2; 0);
B = (a/2; a/2; 0);
C = (-a/2; a/2; 0);
Isaalang-alang ang mga eroplanong ACB at ADB. Malinaw, ang vector ng direksyon n 1 ¯ para sa eroplano ng ACB ay magiging katumbas ng:
Upang matukoy ang vector ng direksyon n 2 ¯ ng eroplano ng ADB, magpapatuloy tayo sa mga sumusunod: maghanap ng dalawang di-makatwirang vector na kabilang dito, halimbawa, AD¯ at AB¯, pagkatapos ay kalkulahin ang kanilang cross product. Ang resulta nito ay magbibigay ng mga coordinate n 2 ¯. Meron kami:
AD¯ = D - A = (0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0) = (-a/2; a/2; h);
AB¯ = B - A = (a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0) = (0; a; 0);
n 2 ¯ = = [(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)] = (-a × h; 0; -a 2 /2).
Dahil ang multiplikasyon at paghahati ng isang vector sa isang numero ay hindi nagbabago ng direksyon nito, binabago namin ang resultang n 2 ¯, na hinahati ang mga coordinate nito sa -a, nakukuha namin ang:
Tinukoy namin ang mga vector ng direksyon n 1 ¯ at n 2 ¯ para sa mga base plane na ACB at ang lateral side ADB. Nananatili itong gamitin ang formula para sa anggulo φ:
φ = arccos (|(n 1 ¯ × n 2 ¯)| / (|n 1 ¯| × |n 2 ¯|)) = arccos (a / (2 × √h 2 + a 2 /4)).
Ibahin natin ang resultang expression at muling isulat ito tulad nito:
φ \u003d arccos (a / √ (a 2 + 4 × h 2)).
Nakuha namin ang formula para sa dihedral angle sa base para sa isang regular na quadrangular pyramid. Alam ang taas ng pigura at ang haba ng gilid nito, maaari mong kalkulahin ang anggulo φ. Halimbawa, para sa pyramid ng Cheops, ang gilid ng base kung saan ay 230.4 metro, at ang paunang taas ay 146.5 metro, ang anggulo φ ay magiging katumbas ng 51.8 o.
Maaari mo ring matukoy ang dihedral angle para sa isang quadrangular regular pyramid gamit ang geometric na paraan. Upang gawin ito, sapat na upang isaalang-alang ang isang right-angled triangle na nabuo sa pamamagitan ng taas h, kalahati ng haba ng base a/2 at ang apothem ng isang isosceles triangle.
TEKSTO NA PALIWANAG NG ARALIN:
Sa planimetry, ang mga pangunahing bagay ay mga linya, mga segment, ray at mga punto. Ang mga sinag na nagmumula sa isang punto ay bumubuo ng isa sa kanilang mga geometric na hugis - isang anggulo.
Alam namin na ang isang linear na anggulo ay sinusukat sa mga degree at radian.
Sa stereometry, ang isang eroplano ay idinagdag sa mga bagay. Ang figure na nabuo sa pamamagitan ng tuwid na linya a at dalawang kalahating eroplano na may isang karaniwang hangganan a na hindi kabilang sa parehong eroplano sa geometry ay tinatawag na dihedral angle. Ang kalahating eroplano ay ang mga mukha ng isang dihedral na anggulo. Ang tuwid na linya a ay ang gilid ng dihedral na anggulo.
Ang isang dihedral na anggulo, tulad ng isang linear na anggulo, ay maaaring pangalanan, sukatin, itayo. Ito ang ating aalamin sa araling ito.
Hanapin ang dihedral angle sa ABCD tetrahedron model.
Ang isang dihedral na anggulo na may gilid AB ay tinatawag na CABD, kung saan ang C at D na mga puntos ay nabibilang sa magkaibang mukha ng anggulo at ang gilid AB ay tinatawag sa gitna.
Sa paligid natin ay maraming mga bagay na may mga elemento sa anyo ng isang dihedral na anggulo.
Sa maraming lungsod, ang mga espesyal na bangko para sa pagkakasundo ay inilagay sa mga parke. Ang bangko ay ginawa sa anyo ng dalawang hilig na eroplano na nagtatagpo patungo sa gitna.
Sa pagtatayo ng mga bahay, kadalasang ginagamit ang tinatawag na gable roof. Ang bubong ng bahay na ito ay ginawa sa anyo ng isang dihedral anggulo ng 90 degrees.
Ang dihedral angle ay sinusukat din sa degrees o radians, ngunit kung paano ito susukatin.
Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na ang mga bubong ng mga bahay ay nakahiga sa mga rafters. At ang crate ng mga rafters ay bumubuo ng dalawang slope ng bubong sa isang naibigay na anggulo.
Ilipat natin ang larawan sa pagguhit. Sa pagguhit, upang makahanap ng isang dihedral na anggulo, ang punto B ay minarkahan sa gilid nito. Mula sa puntong ito, dalawang beam na BA at BC ay iginuhit patayo sa gilid ng anggulo. Ang anggulong ABC na nabuo ng mga sinag na ito ay tinatawag na linear na anggulo ng dihedral angle.
Ang sukat ng antas ng isang dihedral na anggulo ay katumbas ng sukat ng antas ng linear na anggulo nito.
Sukatin natin ang anggulong AOB.
Ang sukat ng antas ng isang naibigay na anggulo ng dihedral ay animnapung degree.
Ang mga linear na anggulo para sa isang dihedral na anggulo ay maaaring iguhit sa isang walang katapusang bilang, mahalagang malaman na silang lahat ay pantay.
Isaalang-alang ang dalawang linear na anggulo AOB at A1O1B1. Ang mga sinag na OA at O1A1 ay nasa parehong mukha at patayo sa tuwid na linya OO1, kaya sila ay nakadirekta. Ang Rays OB at O1B1 ay co-direct din. Samakatuwid, ang anggulong AOB ay katumbas ng anggulong A1O1B1 bilang mga anggulo na may mga codirectional na panig.
Kaya ang isang dihedral na anggulo ay nailalarawan sa pamamagitan ng isang linear na anggulo, at ang mga linear na anggulo ay acute, obtuse at right. Isaalang-alang ang mga modelo ng dihedral na anggulo.
Ang obtuse angle ay isa na ang linear na anggulo ay nasa pagitan ng 90 at 180 degrees.
Isang tamang anggulo kung ang linear na anggulo nito ay 90 degrees.
Isang matinding anggulo, kung ang linear na anggulo nito ay nasa pagitan ng 0 at 90 degrees.
Patunayan natin ang isa sa mga mahahalagang katangian ng isang linear na anggulo.
Ang eroplano ng isang linear na anggulo ay patayo sa gilid ng dihedral na anggulo.
Hayaang ang anggulong AOB ay ang linear na anggulo ng ibinigay na anggulo ng dihedral. Sa pamamagitan ng pagbuo, ang mga sinag AO at OB ay patayo sa tuwid na linya a.
Ang eroplanong AOB ay dumadaan sa dalawang intersecting na linya AO at OB ayon sa theorem: Ang isang eroplano ay dumadaan sa dalawang intersecting na linya, at higit pa rito, isa lamang.
Ang linya a ay patayo sa dalawang intersecting na linya na nakahiga sa eroplanong ito, na nangangahulugan na, sa pamamagitan ng tanda ng perpendicularity ng linya at ng eroplano, ang linya a ay patayo sa eroplanong AOB.
Upang malutas ang mga problema, mahalaga na makabuo ng isang linear na anggulo ng isang naibigay na anggulo ng dihedral. Buuin ang linear na anggulo ng dihedral angle na may gilid AB para sa tetrahedron ABCD.
Pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang anggulo ng dihedral, na nabuo, una, sa gilid ng AB, isang facet ABD, ang pangalawang facet ABC.
Narito ang isang paraan upang bumuo.
Gumuhit tayo ng patayo mula sa punto D hanggang sa eroplanong ABC, markahan ang puntong M bilang base ng patayo. Alalahanin na sa isang tetrahedron ang base ng patayo ay tumutugma sa gitna ng nakasulat na bilog sa base ng tetrahedron.
Gumuhit ng slope mula sa punto D patayo sa gilid AB, markahan ang punto N bilang base ng slope.
Sa tatsulok na DMN, ang segment na NM ay ang mga projection ng pahilig na DN papunta sa eroplanong ABC. Ayon sa tatlong perpendicular theorem, ang gilid AB ay magiging patayo sa projection NM.
Nangangahulugan ito na ang mga gilid ng anggulo ng DNM ay patayo sa gilid AB, na nangangahulugang ang itinayong anggulo na DNM ay ang kinakailangang linear na anggulo.
Isaalang-alang ang isang halimbawa ng paglutas ng problema sa pagkalkula ng anggulo ng dihedral.
Isosceles triangle ABC at regular triangle ADB ay hindi nakahiga sa parehong eroplano. Ang segment na CD ay patayo sa eroplanong ADB. Hanapin ang dihedral angle DABC kung AC=CB=2cm, AB=4cm.
Ang dihedral na anggulo DABC ay katumbas ng linear na anggulo nito. Buuin natin itong sulok.
Gumuhit tayo ng isang pahilig na SM na patayo sa gilid ng AB, dahil ang tatsulok na ACB ay isosceles, kung gayon ang puntong M ay magkakasabay sa gitnang punto ng gilid AB.
Ang linyang CD ay patayo sa eroplanong ADB, na nangangahulugang ito ay patayo sa linyang DM na nakahiga sa eroplanong ito. At ang segment na MD ay ang projection ng pahilig na SM papunta sa eroplanong ADB.
Ang linyang AB ay patayo sa pahilig na CM sa pamamagitan ng konstruksyon, na nangangahulugan na sa pamamagitan ng tatlong perpendiculars theorem ito ay patayo sa projection MD.
Kaya, dalawang perpendicular na CM at DM ang matatagpuan sa gilid ng AB. Kaya bumubuo sila ng isang linear na anggulo СMD ng isang dihedral angle DABC. At nananatili para sa amin na hanapin ito mula sa kanang tatsulok na СDM.
Dahil ang segment na SM ay ang median at ang taas ng isosceles triangle ASV, pagkatapos ay ayon sa Pythagorean theorem, ang binti ng SM ay 4 cm.
Mula sa isang kanang tatsulok na DMB, ayon sa Pythagorean theorem, ang leg DM ay katumbas ng dalawang ugat ng tatlo.
Ang cosine ng isang anggulo mula sa isang kanang tatsulok ay katumbas ng ratio ng katabing binti MD sa hypotenuse CM at katumbas ng tatlong ugat ng tatlo sa dalawa. Kaya ang anggulo ng CMD ay 30 degrees.
