Panimula

Nang magsimula kaming mag-aral ng mga stereometric figure, hinawakan namin ang paksang "Pyramid". Nagustuhan namin ang temang ito dahil ang pyramid ay kadalasang ginagamit sa arkitektura. At dahil ang aming propesyon sa hinaharap bilang isang arkitekto, na inspirasyon ng figure na ito, sa palagay namin ay magagawa niya kaming itulak sa magagandang proyekto.

Ang lakas ng mga istruktura ng arkitektura, ang kanilang pinakamahalagang kalidad. Ang pag-uugnay ng lakas, una, sa mga materyales kung saan sila nilikha, at, pangalawa, sa mga tampok ng mga solusyon sa disenyo, lumalabas na ang lakas ng isang istraktura ay direktang nauugnay sa geometric na hugis na pangunahing para dito.

Sa madaling salita, pinag-uusapan natin ang geometric figure na maaaring ituring bilang isang modelo ng kaukulang anyo ng arkitektura. Lumalabas na tinutukoy din ng geometric na hugis ang lakas ng istraktura ng arkitektura.

Ang Egyptian pyramids ay matagal nang itinuturing na pinaka matibay na istraktura ng arkitektura. Tulad ng alam mo, mayroon silang hugis ng regular na quadrangular pyramids.

Ito ang geometriko na hugis na nagbibigay ng pinakamalaking katatagan dahil sa malaking lugar ng base. Sa kabilang banda, tinitiyak ng hugis ng pyramid na bumababa ang masa habang tumataas ang taas sa ibabaw ng lupa. Ang dalawang katangiang ito ang nagpapatatag sa pyramid, at samakatuwid ay malakas sa mga kondisyon ng grabidad.

Layunin ng proyekto: matuto ng bago tungkol sa mga pyramids, palalimin ang kaalaman at maghanap ng mga praktikal na aplikasyon.

Upang makamit ang layuning ito, kinakailangan upang malutas ang mga sumusunod na gawain:

Alamin ang makasaysayang impormasyon tungkol sa pyramid

Isaalang-alang ang pyramid bilang isang geometric na pigura

Maghanap ng aplikasyon sa buhay at arkitektura

Maghanap ng mga pagkakatulad at pagkakaiba sa pagitan ng mga pyramids na matatagpuan sa iba't ibang bahagi ng mundo

Teoretikal na bahagi

Makasaysayang impormasyon

Ang simula ng geometry ng pyramid ay inilatag sa sinaunang Egypt at Babylon, ngunit ito ay aktibong binuo sa sinaunang Greece. Ang unang nagtaguyod kung ano ang katumbas ng dami ng pyramid ay si Democritus, at pinatunayan ito ni Eudoxus ng Cnidus. Ang sinaunang Greek mathematician na si Euclid ay nag-systematize ng kaalaman tungkol sa pyramid sa XII volume ng kanyang "Beginnings", at inilabas din ang unang kahulugan ng pyramid: isang pigura ng katawan na napapalibutan ng mga eroplano na nagtatagpo mula sa isang eroplano sa isang punto.

Ang mga libingan ng mga pharaoh ng Egypt. Ang pinakamalaki sa kanila - ang mga pyramids ng Cheops, Khafre at Mikerin sa El Giza noong sinaunang panahon ay itinuturing na isa sa Pitong Kababalaghan ng Mundo. Ang pagtatayo ng piramide, kung saan nakita na ng mga Griyego at Romano ang isang monumento sa walang uliran na pagmamataas ng mga hari at kalupitan, na nagpahamak sa buong mga tao ng Ehipto sa walang kabuluhang pagtatayo, ay ang pinakamahalagang kilos ng kulto at dapat na ipahayag, tila, ang mystical identity ng bansa at ang pinuno nito. Ang populasyon ng bansa ay nagtrabaho sa pagtatayo ng libingan sa bahagi ng taon na walang trabaho sa agrikultura. Ang ilang mga teksto ay nagpapatotoo sa atensyon at pagmamalasakit na ibinayad ng mga hari mismo (bagaman sa ibang pagkakataon) sa pagtatayo ng kanilang libingan at ng mga tagapagtayo nito. Ito ay kilala rin tungkol sa mga espesyal na parangal sa kulto na naging mismong pyramid.

Pangunahing konsepto

Pyramid Ang isang polyhedron ay tinatawag, ang base nito ay isang polygon, at ang natitirang mga mukha ay mga tatsulok na may isang karaniwang vertex.

Apothem- ang taas ng gilid na mukha ng isang regular na pyramid, na iginuhit mula sa tuktok nito;

Mga mukha sa gilid- mga tatsulok na nagtatagpo sa tuktok;

Mga tadyang sa gilid- karaniwang mga gilid ng mga gilid na mukha;

tuktok ng pyramid- isang punto na nagkokonekta sa mga gilid ng gilid at hindi nakahiga sa eroplano ng base;

taas- isang segment ng isang patayo na iginuhit sa tuktok ng pyramid hanggang sa eroplano ng base nito (ang mga dulo ng segment na ito ay ang tuktok ng pyramid at ang base ng patayo);

Diagonal na seksyon ng isang pyramid- seksyon ng pyramid na dumadaan sa tuktok at ang dayagonal ng base;

Base- isang polygon na hindi kabilang sa tuktok ng pyramid.

Ang mga pangunahing katangian ng tamang pyramid

Ang mga gilid ng gilid, mga mukha sa gilid at mga apothem ay pantay, ayon sa pagkakabanggit.

Ang mga anggulo ng dihedral sa base ay pantay.

Ang mga anggulo ng dihedral sa mga gilid ng gilid ay pantay.

Ang bawat taas na punto ay katumbas ng layo mula sa lahat ng base vertices.

Ang bawat taas na punto ay katumbas ng layo mula sa lahat ng panig na mukha.

Mga pangunahing pormula ng pyramid

Ang lugar ng lateral at buong ibabaw ng pyramid.

Ang lugar ng lateral surface ng pyramid (puno at pinutol) ay ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga lateral na mukha nito, ang kabuuang lugar ng ibabaw ay ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga mukha nito.

Theorem: Ang lugar ng lateral surface ng isang regular na pyramid ay katumbas ng kalahati ng produkto ng perimeter ng base at ang apothem ng pyramid.

p- perimeter ng base;

h- apothem.

Ang lugar ng lateral at buong ibabaw ng isang pinutol na pyramid.

p1, p 2 - base perimeter;

h- apothem.

R- kabuuang lugar sa ibabaw ng isang regular na pinutol na pyramid;

S gilid- lugar ng lateral surface ng isang regular na pinutol na pyramid;

S1 + S2- base na lugar

Dami ng Pyramid

Form Ang sukat ng volume ay ginagamit para sa mga pyramids ng anumang uri.

H ay ang taas ng pyramid.

Mga anggulo ng pyramid

Ang mga anggulo na nabuo sa gilid ng mukha at ang base ng pyramid ay tinatawag na dihedral na mga anggulo sa base ng pyramid.

Ang isang dihedral na anggulo ay nabuo sa pamamagitan ng dalawang perpendicular.

Upang matukoy ang anggulong ito, madalas mong kailangang gamitin ang tatlong perpendicular theorem.

Ang mga anggulo na nabuo sa pamamagitan ng isang gilid na gilid at ang projection nito sa eroplano ng base ay tinatawag mga anggulo sa pagitan ng lateral edge at ng eroplano ng base.

Ang anggulo na nabuo ng dalawang panig na mukha ay tinatawag dihedral angle sa lateral edge ng pyramid.

Ang anggulo, na nabuo sa pamamagitan ng dalawang gilid na gilid ng isang mukha ng pyramid, ay tinatawag sulok sa tuktok ng pyramid.

Mga seksyon ng pyramid

Ang ibabaw ng isang pyramid ay ang ibabaw ng isang polyhedron. Ang bawat mukha nito ay isang eroplano, kaya ang seksyon ng pyramid na ibinigay ng secant plane ay isang putol na linya na binubuo ng magkahiwalay na mga tuwid na linya.

Diagonal na seksyon

Ang seksyon ng isang pyramid sa pamamagitan ng isang eroplano na dumadaan sa dalawang gilid na gilid na hindi nakahiga sa parehong mukha ay tinatawag na diagonal na seksyon mga pyramid.

Mga parallel na seksyon

Teorama:

Kung ang pyramid ay tinawid ng isang eroplanong parallel sa base, kung gayon ang mga gilid ng gilid at taas ng pyramid ay hinati ng eroplanong ito sa mga proporsyonal na bahagi;

Ang seksyon ng eroplanong ito ay isang polygon na katulad ng base;

Ang mga lugar ng seksyon at ang base ay nauugnay sa isa't isa bilang mga parisukat ng kanilang mga distansya mula sa itaas.

Mga uri ng pyramid

Tamang pyramid- isang pyramid, kung saan ang base ay isang regular na polygon, at ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa gitna ng base.

Sa tamang pyramid:

1. magkapantay ang side ribs

2. magkapantay ang mga mukha sa gilid

3. pantay-pantay ang mga apothems

4. pantay ang mga anggulo ng dihedral sa base

5. pantay ang mga anggulo ng dihedral sa mga gilid ng gilid

6. ang bawat taas na punto ay katumbas ng layo mula sa lahat ng base vertices

7. ang bawat taas na punto ay katumbas ng layo mula sa lahat ng panig na mukha

Pinutol na pyramid- ang bahagi ng pyramid na nakapaloob sa pagitan ng base nito at ng cutting plane na kahanay ng base.

Ang base at kaukulang seksyon ng isang pinutol na pyramid ay tinatawag mga base ng isang pinutol na piramide.

Ang isang patayo na iginuhit mula sa anumang punto ng isang base patungo sa eroplano ng isa pa ay tinatawag ang taas ng pinutol na pyramid.

Mga gawain

No. 1. Sa isang regular na quadrangular pyramid, ang point O ay ang sentro ng base, SO=8 cm, BD=30 cm. Hanapin ang gilid na gilid SA.

Pagtugon sa suliranin

No. 1. Sa isang regular na pyramid, lahat ng mga mukha at gilid ay pantay.

Isaalang-alang natin ang OSB: OSB-rectangular rectangle, dahil.

SB 2 \u003d SO 2 + OB 2

SB2=64+225=289

Pyramid sa arkitektura

Pyramid - isang monumental na istraktura sa anyo ng isang ordinaryong regular na geometric pyramid, kung saan ang mga gilid ay nagtatagpo sa isang punto. Ayon sa functional na layunin, ang mga pyramid noong sinaunang panahon ay isang lugar ng libing o pagsamba sa kulto. Ang base ng isang pyramid ay maaaring triangular, quadrangular, o polygonal na may arbitrary na bilang ng vertices, ngunit ang pinakakaraniwang bersyon ay ang quadrangular base.

Ang isang malaking bilang ng mga pyramid ay kilala, na binuo ng iba't ibang kultura ng Sinaunang Mundo, pangunahin bilang mga templo o monumento. Ang pinakamalaking pyramids ay ang Egyptian pyramids.

Sa buong Earth ay makikita mo ang mga istrukturang arkitektura sa anyo ng mga pyramids. Ang mga pyramid na gusali ay nakapagpapaalaala sa sinaunang panahon at napakaganda ng hitsura.

Ang Egyptian pyramids ay ang pinakadakilang architectural monuments ng Sinaunang Egypt, kung saan ang isa sa "Seven Wonders of the World" ay ang pyramid ng Cheops. Mula sa paa hanggang sa tuktok, umabot ito sa 137.3 m, at bago ito nawala sa tuktok, ang taas nito ay 146.7 m.

Ang gusali ng istasyon ng radyo sa kabisera ng Slovakia, na kahawig ng isang baligtad na pyramid, ay itinayo noong 1983. Bilang karagdagan sa mga tanggapan at lugar ng serbisyo, mayroong isang medyo maluwang na bulwagan ng konsiyerto sa loob ng volume, na may isa sa pinakamalaking organo sa Slovakia .

Ang Louvre, na "kasing tahimik at kahanga-hanga tulad ng isang pyramid" ay dumaan sa maraming pagbabago sa paglipas ng mga siglo bago naging pinakadakilang museo sa mundo. Ito ay ipinanganak bilang isang kuta, na itinayo ni Philip Augustus noong 1190, na sa lalong madaling panahon ay naging isang maharlikang tirahan. Noong 1793 ang palasyo ay naging museo. Ang mga koleksyon ay pinayaman sa pamamagitan ng mga pamana o pagbili.

Pyramid. Pinutol na pyramid

Pyramid ay tinatawag na polyhedron, ang isa sa mga mukha ay isang polygon ( base ), at lahat ng iba pang mukha ay mga tatsulok na may karaniwang vertex ( mga mukha sa gilid ) (Larawan 15). Ang pyramid ay tinatawag tama , kung ang base nito ay isang regular na polygon at ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa gitna ng base (Larawan 16). Ang isang tatsulok na pyramid kung saan ang lahat ng mga gilid ay pantay ay tinatawag tetrahedron .

Tadyang sa gilid Ang pyramid ay tinatawag na gilid ng gilid na mukha na hindi kabilang sa base taas Ang pyramid ay ang distansya mula sa tuktok nito hanggang sa eroplano ng base. Ang lahat ng gilid na gilid ng isang regular na pyramid ay pantay-pantay sa isa't isa, lahat ng panig na mukha ay pantay na isosceles triangles. Ang taas ng gilid na mukha ng isang regular na pyramid na iginuhit mula sa vertex ay tinatawag apothema . diagonal na seksyon Ang isang seksyon ng isang pyramid ay tinatawag na isang eroplano na dumadaan sa dalawang gilid na gilid na hindi kabilang sa parehong mukha.

Side surface area pyramid ay tinatawag na kabuuan ng mga lugar ng lahat ng panig na mukha. Buong lugar sa ibabaw ay ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga gilid na mukha at ang base.

Theorems

1. Kung sa isang pyramid ang lahat ng mga lateral edge ay pantay na nakahilig sa eroplano ng base, pagkatapos ay ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa gitna ng circumscribed na bilog malapit sa base.

2. Kung sa isang pyramid ang lahat ng mga gilid ng gilid ay may pantay na haba, kung gayon ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa gitna ng circumscribed na bilog malapit sa base.

3. Kung sa pyramid ang lahat ng mga mukha ay pantay na nakahilig sa eroplano ng base, pagkatapos ay ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa gitna ng bilog na nakasulat sa base.

Upang kalkulahin ang dami ng isang arbitrary na pyramid, tama ang formula:

saan V- dami;

S pangunahing- base na lugar;

H ay ang taas ng pyramid.

Para sa isang regular na pyramid, ang mga sumusunod na formula ay totoo:

saan p- ang perimeter ng base;

h a- apothem;

H- taas;

S puno

S gilid

S pangunahing- base na lugar;

V ay ang volume ng isang regular na pyramid.

pinutol na pyramid tinatawag na bahagi ng pyramid na nakapaloob sa pagitan ng base at ng cutting plane na kahanay sa base ng pyramid (Fig. 17). Tamang pinutol na pyramid tinatawag na bahagi ng isang regular na pyramid, na nakapaloob sa pagitan ng base at isang cutting plane na kahanay sa base ng pyramid.

Mga pundasyon pinutol na pyramid - mga katulad na polygon. Mga mukha sa gilid - trapezoid. taas ang pinutol na pyramid ay tinatawag na distansya sa pagitan ng mga base nito. dayagonal Ang pinutol na pyramid ay isang segment na nagdudugtong sa mga vertice nito na hindi nakahiga sa parehong mukha. diagonal na seksyon Ang isang seksyon ng isang pinutol na pyramid ay tinatawag na isang eroplano na dumadaan sa dalawang gilid na gilid na hindi kabilang sa parehong mukha.

Para sa isang pinutol na pyramid, ang mga formula ay wasto:

(4)

saan S 1 , S 2 - mga lugar ng upper at lower base;

S puno ay ang kabuuang lugar sa ibabaw;

S gilid ay ang lateral surface area;

H- taas;

V ay ang dami ng pinutol na pyramid.

Para sa isang regular na pinutol na pyramid, ang sumusunod na formula ay totoo:

saan p 1 , p 2 - base perimeter;

h a- ang apothem ng isang regular na pinutol na pyramid.

Halimbawa 1 Sa isang regular na triangular na pyramid, ang dihedral na anggulo sa base ay 60º. Hanapin ang padaplis ng anggulo ng pagkahilig ng gilid na gilid sa eroplano ng base.

Desisyon. Gumawa tayo ng drawing (Larawan 18).

Ang pyramid ay regular, na nangangahulugan na ang base ay isang equilateral triangle at ang lahat ng mga gilid na mukha ay pantay na isosceles triangles. Ang anggulo ng dihedral sa base ay ang anggulo ng pagkahilig ng gilid na mukha ng pyramid sa eroplano ng base. Ang linear na anggulo ang magiging anggulo a sa pagitan ng dalawang perpendicular: i.e. Ang tuktok ng pyramid ay inaasahang nasa gitna ng tatsulok (ang gitna ng circumscribed na bilog at ang nakasulat na bilog sa triangle ABC). Ang anggulo ng pagkahilig ng gilid na tadyang (halimbawa SB) ay ang anggulo sa pagitan ng gilid mismo at ang projection nito sa base plane. Para sa tadyang SB ang anggulong ito ang magiging anggulo SBD. Upang mahanap ang padaplis kailangan mong malaman ang mga binti KAYA at OB. Hayaan ang haba ng segment BD ay 3 a. tuldok O segment ng linya BD ay nahahati sa mga bahagi: at Mula sa nakita natin KAYA: Mula sa nakita namin:

Sagot:

Halimbawa 2 Hanapin ang volume ng isang regular na truncated quadrangular pyramid kung ang mga diagonal ng mga base nito ay cm at cm at ang taas ay 4 cm.

Desisyon. Upang mahanap ang volume ng isang pinutol na pyramid, ginagamit namin ang formula (4). Upang mahanap ang mga lugar ng mga base, kailangan mong hanapin ang mga gilid ng base square, alam ang kanilang mga diagonal. Ang mga gilid ng mga base ay 2 cm at 8 cm, ayon sa pagkakabanggit. Nangangahulugan ito ng mga lugar ng mga base at Pagpapalit ng lahat ng data sa formula, kinakalkula namin ang dami ng pinutol na pyramid:

Sagot: 112 cm3.

Halimbawa 3 Hanapin ang lugar ng lateral face ng isang regular na triangular truncated pyramid na ang mga gilid ng base ay 10 cm at 4 cm, at ang taas ng pyramid ay 2 cm.

Desisyon. Gumawa tayo ng drawing (Larawan 19).

Ang gilid na mukha ng pyramid na ito ay isang isosceles trapezoid. Upang makalkula ang lugar ng isang trapezoid, kailangan mong malaman ang mga base at taas. Ang mga base ay ibinibigay sa pamamagitan ng kondisyon, tanging ang taas ay nananatiling hindi kilala. Hanapin ito mula sa kung saan PERO 1 E patayo mula sa isang punto PERO 1 sa eroplano ng ibabang base, A 1 D- patayo mula sa PERO 1 sa AC. PERO 1 E\u003d 2 cm, dahil ito ang taas ng pyramid. Para sa paghahanap DE gagawa kami ng karagdagang pagguhit, kung saan ilalarawan namin ang isang tuktok na view (Larawan 20). Dot O- projection ng mga sentro ng upper at lower base. mula noong (tingnan ang Fig. 20) at Sa kabilang banda OK ay ang radius ng inscribed na bilog at OM ay ang radius ng inscribed na bilog:

MK=DE.

Ayon sa Pythagorean theorem mula sa

Lugar sa gilid ng mukha:

Sagot:

Halimbawa 4 Sa base ng pyramid ay namamalagi ang isang isosceles trapezoid, ang mga base nito a at b (a> b). Ang bawat panig na mukha ay bumubuo ng isang anggulo na katumbas ng eroplano ng base ng pyramid j. Hanapin ang kabuuang lugar sa ibabaw ng pyramid.

Desisyon. Gumawa tayo ng drawing (Larawan 21). Kabuuang lugar sa ibabaw ng pyramid SABCD ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar at ang lugar ng trapezoid A B C D.

Ginagamit namin ang pahayag na kung ang lahat ng mga mukha ng pyramid ay pantay na nakakiling sa eroplano ng base, kung gayon ang vertex ay inaasahang papunta sa gitna ng bilog na nakasulat sa base. Dot O- projection ng vertex S sa base ng pyramid. Tatsulok SOD ay ang orthogonal projection ng tatsulok CSD sa base plane. Ayon sa theorem sa lugar ng orthogonal projection ng isang flat figure, nakukuha namin:

Katulad nito, ang ibig sabihin nito Kaya, ang problema ay nabawasan sa paghahanap ng lugar ng trapezoid A B C D. Gumuhit ng trapezoid A B C D hiwalay (Larawan 22). Dot O ay ang sentro ng isang bilog na nakasulat sa isang trapezoid.

Dahil ang isang bilog ay maaaring nakasulat sa isang trapezoid, kung gayon o Sa pamamagitan ng Pythagorean theorem mayroon tayo

Narito ang mga nakolektang pangunahing impormasyon tungkol sa mga pyramids at mga kaugnay na formula at konsepto. Lahat sila ay pinag-aaralan sa isang tutor sa matematika bilang paghahanda sa pagsusulit.

Isaalang-alang ang isang eroplano, isang polygon nakahiga dito at isang punto S na hindi nakahiga dito. Ikonekta ang S sa lahat ng vertices ng polygon. Ang nagresultang polyhedron ay tinatawag na isang pyramid. Ang mga segment ay tinatawag na lateral edges. Ang polygon ay tinatawag na base, at ang puntong S ay tinatawag na tuktok ng pyramid. Depende sa bilang n, ang pyramid ay tinatawag na triangular (n=3), quadrangular (n=4), pentagonal (n=5) at iba pa. Alternatibong pangalan para sa triangular na pyramid - tetrahedron. Ang taas ng isang pyramid ay ang perpendikular na iginuhit mula sa tuktok nito hanggang sa base plane.

Ang isang pyramid ay tinatawag na tama kung isang regular na polygon, at ang base ng taas ng pyramid (ang base ng patayo) ay ang sentro nito.

Komento ng tutor:
Huwag malito ang konsepto ng "regular pyramid" at "regular tetrahedron". Sa isang regular na pyramid, ang mga gilid ng gilid ay hindi kinakailangang katumbas ng mga gilid ng base, ngunit sa isang regular na tetrahedron, lahat ng 6 na gilid ng mga gilid ay pantay. Ito ang kanyang kahulugan. Madaling patunayan na ang pagkakapantay-pantay ay nagpapahiwatig na ang sentro P ng polygon na may base ng taas, kaya ang isang regular na tetrahedron ay isang regular na pyramid.

Ano ang apothem?
Ang apothem ng isang pyramid ay ang taas ng gilid ng mukha nito. Kung regular ang pyramid, pantay ang lahat ng apothems nito. Ang kabaligtaran ay hindi totoo.

Tutor sa matematika tungkol sa kanyang terminolohiya: ang pagtatrabaho sa mga pyramids ay 80% na binuo sa pamamagitan ng dalawang uri ng mga tatsulok:
1) Naglalaman ng apothem SK at taas SP
2) Naglalaman ng lateral edge SA at ang projection na PA nito

Upang gawing simple ang mga sanggunian sa mga tatsulok na ito, mas maginhawa para sa isang math tutor na pangalanan ang una sa mga ito. apothemic, at pangalawa costal. Sa kasamaang palad, hindi mo mahahanap ang terminolohiya na ito sa alinman sa mga aklat-aralin, at kailangang ipakilala ito ng guro nang unilaterally.

Pyramid volume formula:
1) , kung saan ang lugar ng base ng pyramid, at ang taas ng pyramid
2) , kung saan ang radius ng inscribed sphere, at ang kabuuang lugar sa ibabaw ng pyramid.
3) , kung saan ang MN ay ang distansya ng alinmang dalawang crossing edge, at ang lugar ng parallelogram na nabuo ng mga midpoint ng apat na natitirang mga gilid.

Pyramid Height Base Property:

Ang punto P (tingnan ang figure) ay tumutugma sa gitna ng naka-inscribe na bilog sa base ng pyramid kung ang isa sa mga sumusunod na kondisyon ay natutugunan:
1) Lahat ng apothems ay pantay
2) Ang lahat ng mga gilid na mukha ay pantay na nakahilig patungo sa base
3) Ang lahat ng apothems ay pantay na nakahilig sa taas ng pyramid
4) Ang taas ng pyramid ay pantay na nakahilig sa lahat ng panig na mukha

komento ng math tutor: tandaan na ang lahat ng mga punto ay pinagsama ng isang karaniwang pag-aari: isang paraan o iba pa, ang mga mukha sa gilid ay nakikilahok sa lahat ng dako (apothems ang kanilang mga elemento). Samakatuwid, ang tagapagturo ay maaaring mag-alok ng isang hindi gaanong tumpak, ngunit mas maginhawang pagbabalangkas para sa pagsasaulo: ang puntong P ay tumutugma sa gitna ng naka-inscribe na bilog, ang base ng pyramid, kung mayroong anumang pantay na impormasyon tungkol sa mga lateral na mukha nito. Upang patunayan ito, sapat na upang ipakita na ang lahat ng apothemic triangles ay pantay.

Ang puntong P ay tumutugma sa gitna ng circumscribed na bilog malapit sa base ng pyramid, kung ang isa sa tatlong kundisyon ay totoo:
1) Ang lahat ng gilid ng gilid ay pantay
2) Ang lahat ng mga tadyang sa gilid ay pantay na nakahilig patungo sa base
3) Ang lahat ng mga tadyang sa gilid ay pantay na nakahilig sa taas

Video aralin 2: Pyramid challenge. Dami ng Pyramid

Video aralin 3: Pyramid challenge. Tamang pyramid

Lecture: Pyramid, base nito, lateral edges, taas, lateral surface; tatsulok na pyramid; kanang pyramid

Pyramid, ang mga katangian nito

Pyramid- Ito ay isang three-dimensional na katawan na may polygon sa base, at lahat ng mukha nito ay binubuo ng mga tatsulok.

Ang isang espesyal na kaso ng isang pyramid ay isang kono, sa base nito ay isang bilog.

Isaalang-alang ang mga pangunahing elemento ng pyramid:

Apothem ay isang segment na nag-uugnay sa tuktok ng pyramid sa gitna ng ibabang gilid ng gilid na mukha. Sa madaling salita, ito ang taas ng mukha ng pyramid.

Sa figure makikita mo ang mga tatsulok na ADS, ABS, BCS, CDS. Kung titingnang mabuti ang mga pangalan, makikita mo na ang bawat tatsulok ay may isang karaniwang titik sa pangalan nito - S. Ibig sabihin, ang lahat ng mga gilid na mukha (tatsulok) ay nagtatagpo sa isang punto, na tinatawag na tuktok ng pyramid.

Ang segment na OS, na nag-uugnay sa vertex sa punto ng intersection ng mga diagonal ng base (sa kaso ng mga triangles, sa punto ng intersection ng mga taas), ay tinatawag taas ng pyramid.

Ang isang diagonal na seksyon ay isang eroplano na dumadaan sa tuktok ng pyramid, pati na rin ang isa sa mga diagonal ng base.

Dahil ang lateral surface ng pyramid ay binubuo ng mga triangles, upang mahanap ang kabuuang lugar ng lateral surface, kinakailangan upang mahanap ang mga lugar ng bawat mukha at idagdag ang mga ito. Ang bilang at hugis ng mga mukha ay depende sa hugis at sukat ng mga gilid ng polygon na nasa base.

Ang tanging eroplano sa isang pyramid na walang vertex ay tinatawag batayan mga pyramid.

Sa figure, nakita namin na ang base ay isang paralelogram, gayunpaman, maaaring mayroong anumang arbitrary polygon.

Ari-arian:

Isaalang-alang ang unang kaso ng isang pyramid, kung saan mayroon itong mga gilid ng parehong haba:

• Ang isang bilog ay maaaring ilarawan sa paligid ng base ng naturang pyramid. Kung i-project mo ang tuktok ng naturang pyramid, ang projection nito ay matatagpuan sa gitna ng bilog.
• Ang mga anggulo sa base ng pyramid ay pareho para sa bawat mukha.
• Kasabay nito, ang isang sapat na kondisyon para sa katotohanan na ang isang bilog ay maaaring inilarawan sa paligid ng base ng pyramid, at gayundin na ang lahat ng mga gilid ay may iba't ibang haba, ay maaaring isaalang-alang ang parehong mga anggulo sa pagitan ng base at bawat gilid ng mga mukha. .

Kung nakatagpo ka ng isang pyramid kung saan ang mga anggulo sa pagitan ng mga gilid na mukha at base ay pantay, kung gayon ang mga sumusunod na katangian ay totoo:

• Magagawa mong ilarawan ang isang bilog sa paligid ng base ng pyramid, kung saan ang tuktok nito ay eksaktong inaasahang nasa gitna.
• Kung gumuhit ka sa bawat gilid na mukha ng taas hanggang sa base, kung gayon sila ay magiging pantay na haba.
• Upang mahanap ang lateral surface area ng naturang pyramid, sapat na upang mahanap ang perimeter ng base at i-multiply ito sa kalahati ng haba ng taas.
• Sbp \u003d 0.5P oc H.
• Mga uri ng pyramid.
• Depende sa kung aling polygon ang nasa base ng pyramid, maaari silang maging triangular, quadrangular, atbp. Kung ang isang regular na polygon (na may pantay na panig) ay nasa base ng pyramid, kung gayon ang naturang pyramid ay tatawaging regular.

Regular na triangular na pyramid

• apothem- ang taas ng gilid na mukha ng isang regular na pyramid, na iginuhit mula sa tuktok nito (bilang karagdagan, ang apothem ay ang haba ng patayo, na ibinaba mula sa gitna ng isang regular na polygon hanggang 1 sa mga gilid nito);
• mga mukha sa gilid (ASB, BSC, CSD, DSA) - mga tatsulok na nagtatagpo sa tuktok;
• gilid tadyang ( AS , BS , CS , D.S. ) - karaniwang mga gilid ng mga gilid na mukha;
• tuktok ng pyramid (v. S) - isang punto na nag-uugnay sa mga gilid ng gilid at hindi namamalagi sa eroplano ng base;
• taas ( KAYA ) - isang segment ng patayo, na iginuhit sa tuktok ng pyramid hanggang sa eroplano ng base nito (ang mga dulo ng naturang segment ay magiging tuktok ng pyramid at ang base ng patayo);
• diagonal na seksyon ng isang pyramid- seksyon ng pyramid, na dumadaan sa tuktok at sa dayagonal ng base;
• base (A B C D) ay isang polygon kung saan hindi kabilang ang tuktok ng pyramid.

mga katangian ng pyramid.

1. Kapag ang lahat ng gilid ng gilid ay magkapareho ang laki, pagkatapos ay:

• malapit sa base ng pyramid ay madaling ilarawan ang isang bilog, habang ang tuktok ng pyramid ay ipapakita sa gitna ng bilog na ito;
• Ang mga tadyang sa gilid ay bumubuo ng pantay na mga anggulo sa base plane;
• sa karagdagan, ang kabaligtaran ay totoo rin, i.e. kapag ang mga gilid ng gilid ay bumubuo ng pantay na mga anggulo sa base plane, o kapag ang isang bilog ay maaaring ilarawan malapit sa base ng pyramid at ang tuktok ng pyramid ay ipapakita sa gitna ng bilog na ito, kung gayon ang lahat ng mga gilid na gilid ng pyramid ay may parehong laki.

2. Kapag ang mga mukha sa gilid ay may anggulo ng pagkahilig sa eroplano ng base ng parehong halaga, kung gayon:

• malapit sa base ng pyramid, madaling ilarawan ang isang bilog, habang ang tuktok ng pyramid ay ipapakita sa gitna ng bilog na ito;
• ang taas ng mga gilid na mukha ay pantay na haba;
• ang lugar ng side surface ay ½ ang produkto ng perimeter ng base at ang taas ng side face.

3. Ang isang sphere ay maaaring ilarawan malapit sa pyramid kung ang base ng pyramid ay isang polygon sa paligid kung saan ang isang bilog ay maaaring ilarawan (isang kinakailangan at sapat na kondisyon). Ang gitna ng globo ay magiging punto ng intersection ng mga eroplano na dumadaan sa mga midpoint ng mga gilid ng pyramid na patayo sa kanila. Mula sa teorama na ito, napagpasyahan namin na ang isang globo ay maaaring ilarawan kapwa sa paligid ng anumang tatsulok at sa paligid ng anumang regular na pyramid.

4. Maaaring maglagay ng sphere sa isang pyramid kung ang mga bisector plane ng mga panloob na dihedral na anggulo ng pyramid ay magsalubong sa 1st point (isang kinakailangan at sapat na kondisyon). Ang puntong ito ay magiging sentro ng globo.

Ang pinakasimpleng pyramid.

Ayon sa bilang ng mga sulok ng base ng pyramid, nahahati sila sa triangular, quadrangular, at iba pa.

Ang pyramid ay tatsulok, quadrangular, at iba pa, kapag ang base ng pyramid ay isang tatsulok, isang quadrilateral, at iba pa. Ang isang tatsulok na pyramid ay isang tetrahedron - isang tetrahedron. Quadrangular - pentahedron at iba pa.