Ang mga pangyayari (phenomena) na naobserbahan natin ay maaaring hatiin sa sumusunod na tatlong uri: maaasahan, imposible at random.

mapagkakatiwalaan tumawag sa isang kaganapan na tiyak na magaganap kung ang isang tiyak na hanay ng mga kundisyon S ay ipinatupad. Halimbawa, kung ang isang sisidlan ay naglalaman ng tubig sa normal na presyon ng atmospera at isang temperatura na 20 °, kung gayon ang kaganapan na "ang tubig sa sisidlan ay nasa isang likidong estado. ” ay tiyak. Sa halimbawang ito, ang tinukoy na atmospheric pressure at temperatura ng tubig ay bumubuo sa hanay ng mga kondisyon S.

Imposible tumawag sa isang kaganapan na tiyak na hindi mangyayari kung ang hanay ng mga kundisyon S ay ipinatupad. Halimbawa, ang kaganapang "tubig sa sisidlan ay nasa isang solidong estado" ay tiyak na hindi mangyayari kung ang set ng mga kondisyon ng nakaraang halimbawa ay ipinatupad.

Random Ang isang kaganapan ay tinatawag na isang kaganapan na, sa ilalim ng pagpapatupad ng isang hanay ng mga kondisyon S, ay maaaring mangyari o hindi mangyari. Halimbawa, kung ang isang barya ay itinapon, kung gayon maaari itong mahulog upang ang alinman sa isang amerikana o isang inskripsiyon ay nasa itaas. Samakatuwid, ang kaganapan na "kapag naghagis ng barya, isang" coat of arms" ay nahulog ay random. Ang bawat random na kaganapan, lalo na ang pagbagsak ng "coat of arms", ay resulta ng pagkilos ng napakaraming random na dahilan (sa aming halimbawa: ang puwersa kung saan itinapon ang barya, ang hugis ng barya, at marami pang iba. ). Imposibleng isaalang-alang ang impluwensya ng lahat ng mga sanhi na ito sa resulta, dahil ang kanilang bilang ay napakalaki at ang mga batas ng kanilang pagkilos ay hindi alam. Samakatuwid, ang teorya ng probabilidad ay hindi nagtatakda ng sarili nitong gawain ng paghula kung ang isang kaganapan ay magaganap o hindi - hindi nito magagawa ito.

Iba ang sitwasyon kung isasaalang-alang natin ang mga random na kaganapan na maaaring paulit-ulit na maobserbahan sa ilalim ng parehong mga kondisyon S, ibig sabihin, kung pinag-uusapan natin ang napakalaking homogenous na random na mga kaganapan. Lumalabas na ang isang sapat na malaking bilang ng mga homogenous na random na mga kaganapan, anuman ang kanilang partikular na kalikasan, ay sumusunod sa ilang mga batas, ibig sabihin, mga probabilistikong batas. Ito ang teorya ng probabilidad na tumatalakay sa pagtatatag ng mga regularidad na ito.

Kaya, ang paksa ng teorya ng posibilidad ay ang pag-aaral ng mga probabilistikong regularidad ng napakalaking homogenous na random na mga kaganapan.

Ang mga pamamaraan ng teorya ng posibilidad ay malawakang ginagamit sa iba't ibang sangay ng natural na agham at teknolohiya. Ang teorya ng probabilidad ay nagsisilbi rin upang patunayan ang matematikal at inilapat na mga istatistika.

Mga uri ng random na kaganapan. Tinatawag ang mga kaganapan hindi magkatugma kung ang paglitaw ng isa sa mga ito ay hindi kasama ang paglitaw ng iba pang mga kaganapan sa parehong pagsubok.

Halimbawa. Naghagis ng barya. Ang hitsura ng "coat of arms" ay hindi kasama ang hitsura ng inskripsiyon. Hindi magkatugma ang mga pangyayaring "lumitaw ang isang coat of arms" at "isang inskripsiyon".

Ang ilang mga kaganapan ay nabuo buong grupo, kung hindi bababa sa isa sa mga ito ang lumabas bilang resulta ng pagsubok. Sa partikular, kung ang mga kaganapang bumubuo ng isang kumpletong pangkat ay magkapares na hindi magkatugma, isa at isa lamang sa mga kaganapang ito ang lalabas bilang resulta ng pagsubok. Ang partikular na kaso na ito ay higit na interesado sa amin, dahil ito ay gagamitin sa ibaba.

Halimbawa 2. Dalawang tiket para sa cash at loterya ng damit ang binili. Isa at isa lamang sa mga sumusunod na kaganapan ang kinakailangang mangyari: "ang mga panalo ay nahulog sa unang tiket at hindi nahulog sa pangalawa", "ang mga panalo ay hindi nahulog sa unang tiket at nahulog sa pangalawa", "ang mga panalo ay nahulog sa parehong mga tiket", "ang mga panalo ay hindi nanalo sa parehong mga tiket". nahulog." Ang mga kaganapang ito ay bumubuo ng isang kumpletong pangkat ng magkapares na hindi magkatugma na mga kaganapan.

Halimbawa 3. Pinaputukan ng bumaril ang target. Isa sa sumusunod na dalawang kaganapan ay tiyak na mangyayari: hit, miss. Ang dalawang magkahiwalay na pangyayaring ito ay bumubuo ng isang kumpletong grupo.

Tinatawag ang mga kaganapan pare-parehong posible kung may dahilan upang paniwalaan na wala ang mas posible kaysa sa isa.

Halimbawa 4. Ang hitsura ng isang "coat of arms" at ang hitsura ng isang inskripsiyon kapag ang isang barya ay inihagis ay pantay na posibleng mga kaganapan. Sa katunayan, ipinapalagay na ang barya ay gawa sa isang homogenous na materyal, ay may regular na cylindrical na hugis, at ang pagkakaroon ng isang coinage ay hindi nakakaapekto sa pagkawala ng isa o ibang bahagi ng barya.

Pagtukoy sa sarili sa malalaking titik ng alpabetong Latin: A, B, C, .. A 1, A 2 ..

Ang mga magkasalungat ay tinatawag na 2 natatanging posibleng kaya-I, na bumubuo ng isang kumpletong grupo. Kung ang isa sa dalawang kabaligtaran Ang mga kaganapan ay tinutukoy ng A, at ang ibang mga pagtatalaga ay A`.

Halimbawa 5. Hit at miss kapag nagpapaputok sa isang target - opposite sex. sariling.

Baitang 5 Panimula sa Probability (4 na oras)

(pagbuo ng 4 na aralin sa paksang ito)

mga layunin sa pag-aaral : - ipakilala ang kahulugan ng isang random, maaasahan at imposibleng kaganapan;

Pangunahan ang mga unang ideya tungkol sa paglutas ng mga problemang kombinatorial: paggamit ng puno ng mga opsyon at paggamit ng panuntunan sa pagpaparami.

layuning pang-edukasyon: pag-unlad ng kaisipan ng mga mag-aaral.

Layunin ng pag-unlad : pag-unlad ng spatial na imahinasyon, pagpapabuti ng kasanayan sa pagtatrabaho sa isang pinuno.

Maaasahan, Imposible at Random na Mga Kaganapan (2 oras)

Mga gawaing kombinatorial (2 oras)

Maaasahan, imposible at random na mga kaganapan.

Unang aralin

Mga kagamitan sa aralin: dice, barya, backgammon.

Ang ating buhay ay higit na binubuo ng mga aksidente. Mayroong ganoong agham na "Probability Theory". Gamit ang wika nito, posibleng ilarawan ang maraming phenomena at sitwasyon.

Kahit na ang primitive na pinuno ay naunawaan na ang isang dosenang mangangaso ay may mas malaking "probability" ng paghampas ng isang bison gamit ang isang sibat kaysa sa isa. Kaya naman, sama-sama silang nanghuli noon.

Ang mga sinaunang kumander tulad ni Alexander the Great o Dmitry Donskoy, na naghahanda para sa labanan, ay umaasa hindi lamang sa kagitingan at kasanayan ng mga mandirigma, kundi pati na rin sa pagkakataon.

Maraming tao ang mahilig sa matematika para sa mga walang hanggang katotohanan na dalawang beses dalawa ay palaging apat, ang kabuuan ng mga numero ay pantay, ang lugar ng isang parihaba ay katumbas ng produkto ng mga katabing panig nito, atbp. Sa anumang problemang iyong lutasin, lahat ay makakakuha ang parehong sagot - kailangan mo lang na huwag magkamali sa desisyon.

Ang totoong buhay ay hindi gaanong simple at hindi malabo. Ang mga resulta ng maraming mga kaganapan ay hindi maaaring mahulaan nang maaga. Imposible, halimbawa, na tiyaking masasabi kung aling bahagi ang ibinabato ng barya, kung kailan babagsak ang unang snow sa susunod na taon, o kung gaano karaming tao sa lungsod ang gustong tumawag sa loob ng susunod na oras. Ang mga ganitong hindi inaasahang pangyayari ay tinatawag random .

Gayunpaman, ang kaso ay mayroon ding sariling mga batas, na nagsisimulang magpakita ng kanilang mga sarili sa paulit-ulit na pag-uulit ng mga random na phenomena. Kung ihagis mo ang isang barya ng 1000 beses, kung gayon ang "agila" ay mahuhulog nang halos kalahati ng oras, na hindi masasabi tungkol sa dalawa o kahit sampung paghahagis. Ang "humigit-kumulang" ay hindi nangangahulugang kalahati. Ito, bilang panuntunan, ay maaaring mangyari o hindi. Ang batas sa pangkalahatan ay hindi nagsasaad ng anumang bagay para sigurado, ngunit nagbibigay ng isang tiyak na antas ng katiyakan na ang ilang random na kaganapan ay magaganap. Ang ganitong mga regularidad ay pinag-aaralan ng isang espesyal na sangay ng matematika - Teorya ng posibilidad . Gamit ito, maaari mong mas kumpiyansa (ngunit hindi pa rin tiyak) mahulaan ang parehong petsa ng unang ulan ng niyebe at ang bilang ng mga tawag sa telepono.

Ang teorya ng probabilidad ay hindi mapaghihiwalay na nauugnay sa ating pang-araw-araw na buhay. Nagbibigay ito sa amin ng magandang pagkakataon na magtatag ng maraming probabilistikong batas sa empirikal na paraan, paulit-ulit na inuulit ang mga random na eksperimento. Ang mga materyales para sa mga eksperimentong ito ay kadalasang isang ordinaryong barya, isang dice, isang set ng mga domino, backgammon, roulette, o kahit isang deck ng mga baraha. Ang bawat isa sa mga item na ito ay nauugnay sa mga laro sa isang paraan o iba pa. Ang katotohanan ay ang kaso dito ay lumilitaw sa pinakamadalas na anyo. At ang mga unang probabilistikong gawain ay nauugnay sa pagtatasa ng mga pagkakataon ng mga manlalaro na manalo.

Ang modernong teorya ng posibilidad ay lumayo sa pagsusugal, ngunit ang kanilang mga props ay ang pinakasimple at pinaka-maaasahang mapagkukunan ng pagkakataon. Sa pamamagitan ng pagsasanay gamit ang isang roulette wheel at isang die, matututunan mo kung paano kalkulahin ang posibilidad ng mga random na kaganapan sa totoong mga sitwasyon sa buhay, na magbibigay-daan sa iyo upang masuri ang iyong mga pagkakataon na magtagumpay, subukan ang mga hypotheses, at gumawa ng pinakamainam na mga desisyon hindi lamang sa mga laro at lottery .

Kapag nilulutas ang mga probabilistikong problema, maging maingat, subukang bigyang-katwiran ang bawat hakbang, dahil walang ibang larangan ng matematika ang naglalaman ng ganoong bilang ng mga kabalintunaan. Tulad ng probability theory. At marahil ang pangunahing paliwanag para dito ay ang koneksyon nito sa totoong mundo kung saan tayo nakatira.

Sa maraming laro, isang die ang ginagamit, na may iba't ibang bilang ng mga puntos mula 1 hanggang 6 sa bawat panig. Ipapagulong ng manlalaro ang die, tinitingnan kung ilang puntos ang nahulog (sa gilid na matatagpuan sa itaas), at ginagawa ang naaangkop na bilang ng mga galaw: 1,2,3 ,4,5, o 6. Ang paghagis ng die ay maaaring ituring na isang karanasan, isang eksperimento, isang pagsubok, at ang resulta na nakuha ay maaaring ituring na isang kaganapan. Ang mga tao ay kadalasang napaka-interesado sa paghula sa simula ng isang kaganapan, paghula sa kinalabasan nito. Anong mga hula ang maaari nilang gawin kapag ang isang dice ay pinagsama? Unang hula: mahuhulog ang isa sa mga numerong 1,2,3,4,5, o 6. Sa tingin mo, darating ba ang hinulaang pangyayari o hindi? Siyempre darating talaga. Ang isang kaganapan na tiyak na magaganap sa isang naibigay na karanasan ay tinatawag mapagkakatiwalaang kaganapan.

Pangalawang hula : mahuhulog ang numero 7. Sa tingin mo ba ay darating o hindi ang hinulaang pangyayari? Syempre hindi, imposible lang. Ang isang kaganapan na hindi maaaring mangyari sa isang naibigay na eksperimento ay tinatawag imposibleng pangyayari.

Pangatlong Hula : mahuhulog ang numero 1. Sa tingin mo ba ay darating o hindi ang hinulaang pangyayari? Hindi namin masasagot ang tanong na ito nang may kumpletong katiyakan, dahil ang hinulaang kaganapan ay maaaring mangyari o hindi. Ang isang kaganapan na maaaring mangyari o hindi maaaring mangyari sa isang naibigay na karanasan ay tinatawag random na pangyayari.

Mag-ehersisyo : ilarawan ang mga pangyayaring tinalakay sa mga gawain sa ibaba. Bilang tiyak, imposible o random.

Naghahagis kami ng barya. Lumitaw ang coat of arms. (random)

Binaril ng mangangaso ang lobo at tinamaan. (random)

Ang estudyante ay namamasyal tuwing gabi. Habang naglalakad, noong Lunes, may nakilala siyang tatlong kakilala. (random)

Isagawa natin sa isip ang sumusunod na eksperimento: baligtarin ang isang basong tubig. Kung ang eksperimentong ito ay isinasagawa hindi sa kalawakan, ngunit sa bahay o sa isang silid-aralan, pagkatapos ay bubuhos ang tubig. (tunay)

Tatlong putok ang nagpaputok sa target. Mayroong limang mga hit" (imposible)

Ibinabato namin ang bato. Ang bato ay nananatiling nakabitin sa hangin. (imposible)

Ang mga titik ng salitang "antagonism" ay muling inayos nang random. Kunin ang salitang "anachroism". (imposible)

№959. Naisip ni Petya ang isang natural na numero. Ang kaganapan ay ang mga sumusunod:

a) isang kahit na numero ay conceived; (random) b) isang kakaibang numero ay conceived; (random)

c) isang numero ay conceived na ay hindi kahit na o kakaiba; (imposible)

d) ang isang numero na even o odd ay conceived. (tunay)

№ 961. Inihambing nina Petya at Tolya ang kanilang mga kaarawan. Ang kaganapan ay ang mga sumusunod:

a) hindi magkatugma ang kanilang mga kaarawan; (random) b) pareho ang kanilang mga kaarawan; (random)

d) ang parehong kaarawan ay nahuhulog sa mga pista opisyal - Bagong Taon (Enero 1) at Araw ng Kalayaan ng Russia (Hunyo 12). (random)

№ 962. Kapag naglalaro ng backgammon, dalawang dice ang ginagamit. Ang bilang ng mga galaw na ginagawa ng isang kalahok sa laro ay natutukoy sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga numero sa dalawang mukha ng die na nahulog, at kung ang isang "double" ay bumagsak (1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6), pagkatapos ay doble ang bilang ng mga galaw. Igulong mo ang dice at kalkulahin kung gaano karaming mga galaw ang kailangan mong gawin. Ang kaganapan ay ang mga sumusunod:

a) kailangan mong gumawa ng isang galaw; b) kailangan mong gumawa ng 7 galaw;

c) kailangan mong gumawa ng 24 na galaw; d) dapat kang gumawa ng 13 galaw.

a) - imposible (1 paglipat ay maaaring gawin kung ang kumbinasyon 1 + 0 ay bumagsak, ngunit walang numero 0 sa dice).

b) - random (kung bumagsak ang 1 + 6 o 2 + 5).

c) - random (kung ang kumbinasyon 6 +6 ay bumagsak).

d) - imposible (walang mga kumbinasyon ng mga numero mula 1 hanggang 6, ang kabuuan nito ay 13; ang numerong ito ay hindi makukuha kahit na ang isang "doble" ay pinagsama, dahil ito ay kakaiba).

Suriin ang iyong sarili. (pagdidikta sa matematika)

1) Ipahiwatig kung alin sa mga sumusunod na kaganapan ang imposible, na tiyak, na random:

Ang laban sa football na "Spartak" - "Dynamo" ay magtatapos sa isang draw. (random)

Ikaw ay mananalo sa pamamagitan ng pagsali sa win-win lottery (authentic)

Babagsak ang snow sa hatinggabi, at sisikat ang araw pagkalipas ng 24 na oras. (imposible)

May pagsusulit sa math bukas. (random)

Ikaw ay mahalal na Pangulo ng Estados Unidos. (imposible)

Ikaw ay mahalal na pangulo ng Russia. (random)

2) Bumili ka ng TV sa isang tindahan, kung saan ang tagagawa ay nagbibigay ng dalawang taong warranty. Alin sa mga sumusunod na kaganapan ang imposible, na random, na tiyak:

Hindi masisira ang TV sa loob ng isang taon. (random)

Hindi masisira ang TV sa loob ng dalawang taon. (random)

Sa loob ng dalawang taon, hindi mo na kailangang magbayad para sa pagpapaayos ng TV. (tunay)

Masisira ang TV sa ikatlong taon. (random)

3) Ang bus na may lulan na 15 pasahero ay may 10 hintuan. Alin sa mga sumusunod na kaganapan ang imposible, na random, na tiyak:

Lahat ng pasahero ay bababa sa bus sa iba't ibang hintuan. (imposible)

Lahat ng pasahero ay bababa sa parehong hintuan. (random)

Sa bawat paghinto, may bababa. (random)

May hihinto kung saan walang bababa. (random)

Sa lahat ng hintuan, pare-parehong bilang ng mga pasahero ang bababa. (imposible)

Sa lahat ng hintuan, kakaibang bilang ng mga pasahero ang bababa. (imposible)

Takdang aralin : 53 No. 960, 963, 965 (magkaroon ng dalawang maaasahan, random at imposibleng mga kaganapan sa iyong sarili).

Pangalawang aralin.

Sinusuri ang takdang-aralin. (pasalita)

a) Ipaliwanag kung ano ang tiyak, random at imposibleng mga pangyayari.

b) Ipahiwatig kung alin sa mga sumusunod na kaganapan ang tiyak, na imposible, na random:

Hindi magkakaroon ng summer holidays. (imposible)

Ang sanwits ay mahuhulog sa gilid ng mantikilya. (random)

Matatapos din ang school year. (tunay)

Tatanungin ako sa klase bukas. (random)

May nakilala akong itim na pusa ngayon. (random)

№ 960. Binuksan mo ang aklat-aralin na ito sa anumang pahina at pinili ang unang pangngalan na dumating sa kabuuan. Ang kaganapan ay ang mga sumusunod:

a) may patinig sa ispeling ng napiling salita. ((tunay)

b) sa ispeling ng napiling salita ay may letrang "o". (random)

c) walang patinig sa ispeling ng napiling salita. (imposible)

d) may malambot na tanda sa pagbabaybay ng napiling salita. (random)

№ 963. Naglalaro ka na naman ng backgammon. Ilarawan ang sumusunod na pangyayari:

a) ang manlalaro ay dapat gumawa ng hindi hihigit sa dalawang galaw. (imposible - sa kumbinasyon ng pinakamaliit na numero 1 + 1, ang manlalaro ay gumagawa ng 4 na galaw; ang kumbinasyon 1 + 2 ay nagbibigay ng 3 galaw; lahat ng iba pang kumbinasyon ay nagbibigay ng higit sa 3 galaw)

b) ang manlalaro ay dapat gumawa ng higit sa dalawang galaw. (maaasahan - anumang kumbinasyon ay nagbibigay ng 3 o higit pang mga galaw)

c) ang manlalaro ay dapat gumawa ng hindi hihigit sa 24 na galaw. (maaasahan - ang kumbinasyon ng pinakamalaking numero 6 + 6 ay nagbibigay ng 24 na galaw, at lahat ng iba pa - mas mababa sa 24 na galaw)

d) ang manlalaro ay dapat gumawa ng dalawang-digit na bilang ng mga galaw. (random - halimbawa, ang kumbinasyon ng 2 + 3 ay nagbibigay ng isang digit na bilang ng mga galaw: 5, at ang pagbagsak ng dalawang apat ay nagbibigay ng dalawang digit na bilang ng mga galaw)

2. Paglutas ng problema.

№ 964. Mayroong 10 bola sa isang bag: 3 asul, 3 puti at 4 pula. Ilarawan ang sumusunod na pangyayari:

a) 4 na bola ang kinuha sa bag, at lahat ng mga ito ay asul; (imposible)

b) 4 na bola ang inilabas sa bag, at lahat sila ay pula; (random)

c) 4 na bola ang kinuha sa bag, at lahat sila ay may iba't ibang kulay; (imposible)

d) 4 na bola ang inilabas sa bag, at walang itim na bola sa kanila. (tunay)

Gawain 1 . Ang kahon ay naglalaman ng 10 pula, 1 berde at 2 asul na panulat. Dalawang bagay ang kinuha nang random mula sa kahon. Alin sa mga sumusunod na kaganapan ang imposible, na random, na tiyak:

a) dalawang pulang hawakan ang kinuha (random)

b) dalawang berdeng hawakan ang inilabas; (imposible)

c) dalawang asul na hawakan ang inilabas; (random)

d) ang mga hawakan ng dalawang magkaibang kulay ay inilabas; (random)

e) dalawang hawakan ang inilabas; (tunay)

e) Dalawang lapis ang inilabas. (imposible)

Gawain 2. Winnie the Pooh, Piglet at lahat - lahat - lahat ay nakaupo sa isang round table para ipagdiwang ang isang kaarawan. Sa anong bilang ng lahat - lahat - lahat ng kaganapan na "Magkatabi ang Winnie the Pooh at Piglet" ay maaasahan, at sa ano - random?

(kung mayroon lamang 1 sa lahat - lahat - lahat, kung gayon ang kaganapan ay maaasahan, kung higit sa 1, kung gayon ito ay random).

Gawain 3. Sa 100 charity lottery ticket, 20 nanalo Ilang ticket ang kailangan mong bilhin para maging imposible ang kaganapang "wala kang panalo"?

Gawain 4. Mayroong 10 lalaki at 20 babae sa klase. Alin sa mga sumusunod na kaganapan ang imposible para sa naturang klase, na random, na tiyak

Mayroong dalawang tao sa klase na ipinanganak sa magkaibang buwan. (random)

Mayroong dalawang tao sa klase na ipinanganak sa parehong buwan. (tunay)

May dalawang lalaki sa klase na ipinanganak sa parehong buwan. (random)

May dalawang babae sa klase na ipinanganak sa parehong buwan. (tunay)

Ang lahat ng mga lalaki ay ipinanganak sa iba't ibang buwan. (tunay)

Ang lahat ng mga batang babae ay ipinanganak sa iba't ibang buwan. (random)

May isang lalaki at isang babae na ipinanganak sa parehong buwan. (random)

May isang lalaki at isang babae na ipinanganak sa magkaibang buwan. (random)

Gawain 5. Mayroong 3 pula, 3 dilaw, 3 berdeng bola sa isang kahon. Gumuhit ng 4 na bola nang random. Isaalang-alang ang kaganapan na "Sa mga iginuhit na bola ay magkakaroon ng mga bola ng eksaktong M na kulay". Para sa bawat M mula 1 hanggang 4, tukuyin kung aling kaganapan ito - imposible, tiyak o random, at punan ang talahanayan:

Pansariling gawain.

akoopsyon

a) ang kaarawan ng iyong kaibigan ay wala pang 32;

c) magkakaroon ng pagsusulit sa matematika bukas;

d) Sa susunod na taon, ang unang snow sa Moscow ay babagsak sa Linggo.

Maghagis ng dice. Ilarawan ang kaganapan:

a) ang kubo, na bumagsak, ay tatayo sa gilid nito;

b) ang isa sa mga numero ay mahuhulog: 1, 2, 3, 4, 5, 6;

c) ang numero 6 ay mahuhulog;

d) lalabas ang isang numero na multiple ng 7.

Ang isang kahon ay naglalaman ng 3 pula, 3 dilaw at 3 berdeng bola. Ilarawan ang kaganapan:

a) lahat ng iginuhit na bola ay may parehong kulay;

b) lahat ng iginuhit na bola na may iba't ibang kulay;

c) sa mga iginuhit na bola mayroong mga bola ng iba't ibang kulay;

c) sa mga iginuhit na bola mayroong pula, dilaw at berdeng bola.

IIopsyon

Ilarawan ang pinag-uusapang kaganapan bilang tiyak, imposible, o random:

a) ang isang sandwich na nahulog mula sa mesa ay mahuhulog sa sahig, butter-side down;

b) babagsak ang niyebe sa Moscow sa hatinggabi, at sa loob ng 24 na oras ay sisikat ang araw;

c) manalo ka sa pamamagitan ng pagsali sa isang win-win lottery;

d) sa susunod na taon sa Mayo, maririnig ang unang kulog sa tagsibol.

Ang lahat ng dalawang-digit na numero ay nakasulat sa mga card. Isang card ang pinipili nang random. Ilarawan ang kaganapan:

a) ang card ay naging zero;

b) mayroong isang numero sa card na isang multiple ng 5;

c) mayroong isang numero sa card na isang multiple ng 100;

d) ang card ay naglalaman ng isang numerong higit sa 9 at mas mababa sa 100.

Ang kahon ay naglalaman ng 10 pula, 1 berde at 2 asul na panulat. Dalawang bagay ang kinuha nang random mula sa kahon. Ilarawan ang kaganapan:

a) dalawang asul na hawakan ang inilabas;

b) dalawang pulang hawakan ang inilabas;

c) dalawang berdeng hawakan ang inilabas;

d) ang berde at itim na mga hawakan ay inilabas.

Takdang aralin: 1). Gumawa ng dalawang maaasahan, random at imposibleng mga kaganapan.

2). Gawain . Mayroong 3 pula, 3 dilaw, 3 berdeng bola sa isang kahon. Gumuhit kami ng N bola nang random. Isaalang-alang ang kaganapan "sa mga iginuhit na bola magkakaroon ng mga bola na eksaktong tatlong kulay." Para sa bawat N mula 1 hanggang 9, tukuyin kung aling kaganapan ito - imposible, tiyak o random, at punan ang talahanayan:

kombinatoryal na mga gawain.

Unang aralin

Sinusuri ang takdang-aralin. (pasalita)

a) Sinusuri namin ang mga problemang naisip ng mga mag-aaral.

b) karagdagang gawain.

Nagbabasa ako ng sipi mula sa aklat ni V. Levshin na "Three Days in Karlikanii".

"Una, sa mga tunog ng isang makinis na waltz, ang mga numero ay nabuo ng isang grupo: 1+ 3 + 4 + 2 = 10. Pagkatapos ang mga batang skater ay nagsimulang magpalit ng mga lugar, na bumubuo ng mas maraming mga bagong grupo: 2 + 3 + 4 + 1 = 10

3 + 1 + 2 + 4 = 10

4 + 1 + 3 + 2 = 10

1 + 4 + 2 + 3 = 10 atbp.

Nagpatuloy ito hanggang sa bumalik ang mga skater sa kanilang orihinal na posisyon.

Ilang beses na silang nagpalit ng pwesto?

Ngayon sa aralin ay matututuhan natin kung paano lutasin ang mga ganitong problema. Tinatawag sila kombinatoryal.

3. Pag-aaral ng bagong materyal.

Gawain 1. Ilang dalawang-digit na numero ang mabubuo mula sa mga numero 1, 2, 3?

Desisyon: 11, 12, 13

31, 32, 33. 9 na numero lamang.

Kapag nilulutas ang problemang ito, binanggit namin ang lahat ng posibleng opsyon, o, gaya ng karaniwan nilang sinasabi sa mga kasong ito. Lahat ng posibleng kumbinasyon. Samakatuwid, ang mga naturang gawain ay tinatawag kombinatoryal. Karaniwang kalkulahin ang mga posibleng (o imposible) na mga opsyon sa buhay, kaya kapaki-pakinabang na pamilyar sa mga problemang kombinatoryal.

№ 967. Maraming mga bansa ang nagpasya na gamitin para sa kanilang mga simbolo ng pambansang watawat sa anyo ng tatlong pahalang na guhitan ng parehong lapad sa iba't ibang kulay - puti, asul, pula. Ilang bansa ang maaaring gumamit ng gayong mga simbolo, sa kondisyon na ang bawat bansa ay may sariling bandila?

Desisyon. Ipagpalagay natin na ang unang guhit ay puti. Pagkatapos ang pangalawang guhit ay maaaring asul o pula, at ang ikatlong guhit, ayon sa pagkakabanggit, pula o asul. Ito ay naging dalawang pagpipilian: puti, asul, pula o puti, pula, asul.

Ngayon hayaan ang unang guhit na maging asul, pagkatapos ay muli tayong makakakuha ng dalawang pagpipilian: puti, pula, asul o asul, pula, puti.

Hayaang maging pula ang unang guhit, pagkatapos ay dalawa pang opsyon: pula, puti, asul o pula, asul, puti.

Mayroong 6 na posibleng opsyon sa kabuuan. Ang watawat na ito ay maaaring gamitin ng 6 na bansa.

Kaya, kapag nilulutas ang problemang ito, naghahanap kami ng paraan upang mabilang ang mga posibleng opsyon. Sa maraming mga kaso, lumalabas na kapaki-pakinabang ang pagbuo ng isang larawan - isang pamamaraan para sa mga pagpipilian sa pag-enumerate. Ito, una, ay visual, at pangalawa, pinapayagan kaming isaalang-alang ang lahat, hindi makaligtaan ang anuman.

Ang pamamaraan na ito ay tinatawag ding isang puno ng mga posibleng pagpipilian.

Unang pahina

Pangalawang lane

ikatlong lane

Natanggap na kumbinasyon

№ 968. Ilang dalawang-digit na numero ang maaaring gawin mula sa mga numero 1, 2, 4, 6, 8?

Desisyon. Para sa dalawang-digit na numero ng interes sa amin, alinman sa mga ibinigay na numero ay maaaring nasa unang lugar, maliban sa 0. Kung ilalagay namin ang numero 2 sa unang lugar, kung gayon ang alinman sa mga ibinigay na numero ay maaaring nasa pangalawang lugar. Magkakaroon ng limang dalawang-digit na numero: 2.,22, 24, 26, 28. Katulad nito, magkakaroon ng limang dalawang-digit na numero na may unang digit na 4, limang dalawang-digit na numero na may unang digit na 6 at limang dalawang- digit na mga numero na may unang digit na 8.

Sagot: Mayroong 20 numero sa kabuuan.

Bumuo tayo ng isang puno ng mga posibleng opsyon para sa paglutas ng problemang ito.

Dobleng pigura

Unang digit

Pangalawang digit

Nakatanggap ng mga numero

20, 22, 24, 26, 28, 60, 62, 64, 66, 68,

40, 42, 44, 46, 48, 80, 82, 84, 86, 88.

Lutasin ang mga sumusunod na problema sa pamamagitan ng pagbuo ng isang puno ng mga posibleng opsyon.

№ 971. Nagpasya ang pamunuan ng ilang bansa na gawin ang pambansang watawat nito tulad nito: sa isang kulay na hugis-parihaba na background, isang bilog na may ibang kulay ang inilalagay sa isa sa mga sulok. Napagpasyahan na pumili ng mga kulay mula sa tatlong posibleng mga: pula, dilaw, berde. Ilang variant ng flag na ito

umiiral? Ipinapakita ng figure ang ilan sa mga posibleng opsyon.

Sagot: 24 na pagpipilian.

№ 973. a) Ilang tatlong-digit na numero ang maaaring gawin mula sa mga numerong 1,3, 5,? (27 numero)

b) Ilang tatlong-digit na mga numero ang maaaring gawin mula sa mga numero 1,3, 5, sa kondisyon na ang mga numero ay hindi dapat ulitin? (6 na numero)

№ 979. Ang mga modernong pentathlete ay nakikipagkumpitensya sa loob ng dalawang araw sa limang sports: show jumping, fencing, swimming, shooting, at running.

a) Ilang mga pagpipilian ang mayroon para sa pagkakasunud-sunod ng pagpasa sa mga uri ng kompetisyon? (120 pagpipilian)

b) Ilang mga pagpipilian ang mayroon para sa pagkakasunud-sunod ng pagpasa sa mga kaganapan ng kumpetisyon, kung alam na ang huling kaganapan ay dapat na isang run? (24 na pagpipilian)

c) Gaano karaming mga pagpipilian ang mayroon para sa pagkakasunud-sunod ng pagpasa sa mga uri ng kumpetisyon, kung alam na ang huling uri ay dapat na tumatakbo, at ang una - palabas na paglukso? (6 na pagpipilian)

№ 981. Ang dalawang urn ay naglalaman ng limang bola bawat isa sa limang magkakaibang kulay: puti, asul, pula, dilaw, berde. Isang bola ang kinukuha mula sa bawat urn sa isang pagkakataon.

a) gaano karaming magkakaibang kumbinasyon ng mga iginuhit na bola ang naroroon (ang mga kumbinasyon tulad ng "puti-pula" at "pula-puti" ay itinuturing na pareho)?

(15 kumbinasyon)

b) Ilang kumbinasyon ang mayroon kung saan ang mga iginuhit na bola ay may parehong kulay?

(5 kumbinasyon)

c) ilang kumbinasyon ang mayroon kung saan ang mga iginuhit na bola ay may iba't ibang kulay?

(15 - 5 = 10 kumbinasyon)

Takdang aralin: 54, No. 969, 972, tayo mismo ang gumawa ng combinatorial problem.

№ 969. Nagpasya ang ilang bansa na gumamit ng mga simbolo sa anyo ng tatlong patayong guhit na may parehong lapad sa iba't ibang kulay para sa kanilang pambansang watawat: berde, itim, dilaw. Ilang bansa ang maaaring gumamit ng gayong mga simbolo, sa kondisyon na ang bawat bansa ay may sariling bandila?

№ 972. a) Ilang dalawang-digit na numero ang mabubuo mula sa mga bilang na 1, 3, 5, 7, 9?

b) Ilang dalawang-digit na mga numero ang maaaring gawin mula sa mga numero 1, 3, 5, 7, 9, sa kondisyon na ang mga numero ay hindi dapat ulitin?

Pangalawang aralin

Sinusuri ang takdang-aralin. a) No. 969 at No. 972a) at No. 972b) - bumuo ng isang puno ng mga posibleng opsyon sa pisara.

b) pasalitang suriin ang mga pinagsama-samang gawain.

Pagtugon sa suliranin.

Kaya, bago iyon, natutunan namin kung paano lutasin ang mga problemang kombinatorial gamit ang isang puno ng mga pagpipilian. Ito ba ay isang magandang paraan? Marahil oo, ngunit napakahirap. Subukan nating lutasin ang problema sa tahanan No. 972 sa ibang paraan. Sino ang makahuhula kung paano ito magagawa?

Sagot: Para sa bawat isa sa limang kulay ng T-shirt, mayroong 4 na kulay ng shorts. Kabuuan: 4 * 5 = 20 opsyon.

№ 980. Ang mga urn ay naglalaman ng limang bola bawat isa sa limang magkakaibang kulay: puti, asul, pula, dilaw, berde. Isang bola ang kinukuha mula sa bawat urn sa isang pagkakataon. Ilarawan ang sumusunod na kaganapan bilang tiyak, random, o imposible:

a) iginuhit na mga bola ng iba't ibang kulay; (random)

b) iginuhit na mga bola ng parehong kulay; (random)

c) ang mga itim at puting bola ay iginuhit; (imposible)

d) dalawang bola ang inilabas, at pareho ang kulay sa isa sa mga sumusunod na kulay: puti, asul, pula, dilaw, berde. (tunay)

№ 982. Isang grupo ng mga turista ang nagpaplanong maglakbay sa rutang Antonovo - Borisovo - Vlasovo - Gribovo. Mula Antonovo hanggang Borisovo maaari kang mag-raft sa ilog o maglakad. Mula sa Borisovo hanggang Vlasovo maaari kang maglakad o sumakay ng mga bisikleta. Mula Vlasovo hanggang Gribovo maaari kang lumangoy sa tabi ng ilog, sumakay ng bisikleta o maglakad. Ilang mga opsyon sa hiking ang maaaring piliin ng mga turista? Gaano karaming mga opsyon sa paglalakad ang maaaring piliin ng mga turista, sa kondisyon na kahit isa sa mga seksyon ng ruta ay dapat nilang gamitin ang mga bisikleta?

(12 opsyon sa ruta, 8 sa mga ito ay gumagamit ng mga bisikleta)

Pansariling gawain.

1 opsyon

a) Ilang tatlong-digit na numero ang maaaring gawin mula sa mga numero: 0, 1, 3, 5, 7?

b) Ilang tatlong-digit na numero ang maaaring gawin mula sa mga numero: 0, 1, 3, 5, 7, sa kondisyon na ang mga numero ay hindi dapat ulitin?

Ang Athos, Porthos at Aramis ay mayroon lamang isang espada, isang punyal at isang pistola.

a) Sa ilang paraan maaaring armado ang mga musketeer?

b) Ilang mga pagpipilian sa armas ang mayroon kung ang Aramis ay kailangang humawak ng espada?

c) Ilang mga pagpipilian sa armas ang mayroon kung ang Aramis ay dapat magkaroon ng isang espada at ang Porthos ay dapat magkaroon ng isang pistola?

Sa isang lugar, nagpadala ang Diyos ng isang piraso ng keso sa isang uwak, gayundin ng keso, sausage, puti at itim na tinapay. Dumapo sa isang puno ng fir, ang isang uwak ay malapit nang mag-almusal, ngunit naisip niya ito: gaano karaming mga paraan ang maaaring gawin ng mga sandwich mula sa mga produktong ito?

Opsyon 2

a) Ilang tatlong-digit na numero ang maaaring gawin mula sa mga numero: 0, 2, 4, 6, 8?

b) Ilang tatlong-digit na numero ang maaaring gawin mula sa mga numero: 0, 2, 4, 6, 8, sa kondisyon na ang mga numero ay hindi dapat ulitin?

Nagpasya si Count Monte Cristo na bigyan si Princess Hyde ng mga hikaw, isang kuwintas at isang pulseras. Ang bawat piraso ng alahas ay dapat maglaman ng isa sa mga sumusunod na uri ng hiyas: diamante, rubi o garnet.

a) Ilang kumbinasyon ng alahas na bato ang mayroon?

b) Ilang mga pagpipilian sa alahas ang mayroon kung ang mga hikaw ay dapat na diyamante?

c) Ilang mga pagpipilian sa alahas ang mayroon kung ang mga hikaw ay dapat na brilyante at ang bracelet na garnet?

Para sa almusal, maaari kang pumili ng tinapay, sanwits o gingerbread na may kape o kefir. Gaano karaming mga pagpipilian sa almusal ang maaari mong gawin?

Takdang aralin : No. 974, 975. (sa pamamagitan ng pag-compile ng tree of options at paggamit ng multiplication rule)

№ 974 . a) Ilang tatlong-digit na numero ang mabubuo mula sa mga numerong 0, 2, 4?

b) Ilang tatlong-digit na numero ang maaaring gawin mula sa mga numero 0, 2, 4, sa kondisyon na ang mga numero ay hindi dapat ulitin?

№ 975 . a) Ilang tatlong-digit na numero ang maaaring gawin mula sa mga numerong 1.3, 5.7?

b) Ilang tatlong-digit na numero ang maaaring gawin mula sa mga numerong 1.3, 5.7, na ibinigay. Anong mga numero ang hindi dapat ulitin?

Ang mga numero ng problema ay kinuha mula sa aklat-aralin

"Mathematics-5", I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich, 2004.

Ang teorya ng probabilidad, tulad ng anumang sangay ng matematika, ay gumagana sa isang tiyak na hanay ng mga konsepto. Karamihan sa mga konsepto ng teorya ng posibilidad ay tinukoy, ngunit ang ilan ay kinuha bilang pangunahin, hindi tinukoy, tulad ng sa geometry isang punto, isang linya, isang eroplano. Ang pangunahing konsepto ng teorya ng posibilidad ay isang kaganapan. Ang isang kaganapan ay isang bagay tungkol sa kung saan, pagkatapos ng isang tiyak na oras, isa at isa lamang sa dalawa ang masasabing:

• · Oo, nangyari ito.
• · Hindi, hindi ito nangyari.

Halimbawa, mayroon akong tiket sa lottery. Matapos ang paglalathala ng mga resulta ng draw ng lottery, ang kaganapan na interesado sa akin - ang pagpanalo ng isang libong rubles ay maaaring mangyari o hindi mangyayari. Ang anumang kaganapan ay nangyayari bilang isang resulta ng isang pagsubok (o karanasan). Sa ilalim ng pagsubok (o karanasan) maunawaan ang mga kundisyong iyon bilang resulta kung saan naganap ang isang kaganapan. Halimbawa, ang paghahagis ng barya ay isang pagsubok, at ang paglitaw ng isang "estado" dito ay isang kaganapan. Ang kaganapan ay karaniwang tinutukoy ng malalaking letrang Latin: A, B, C, .... Ang mga kaganapan sa materyal na mundo ay maaaring nahahati sa tatlong kategorya - tiyak, imposible at random.

Ang isang tiyak na kaganapan ay isa na alam nang maaga na magaganap. Ito ay tinutukoy ng titik W. Kaya, hindi hihigit sa anim na puntos ang maaasahan kapag naghahagis ng ordinaryong dice, ang hitsura ng isang puting bola kapag iginuhit mula sa isang urn na naglalaman lamang ng mga puting bola, atbp.

Ang imposibleng kaganapan ay isang pangyayari na alam nang maaga na hindi ito mangyayari. Ito ay tinutukoy ng letrang E. Ang mga halimbawa ng imposibleng mga kaganapan ay ang pagguhit ng higit sa apat na ace mula sa isang ordinaryong deck ng mga baraha, ang hitsura ng isang pulang bola mula sa isang urn na naglalaman lamang ng mga puti at itim na bola, atbp.

Ang isang random na kaganapan ay isang kaganapan na maaaring mangyari o hindi maaaring mangyari bilang isang resulta ng isang pagsubok. Ang mga kaganapang A at B ay tinatawag na hindi magkatugma kung ang paglitaw ng isa sa mga ito ay hindi kasama ang posibilidad ng paglitaw ng isa pa. Kaya ang hitsura ng anumang posibleng bilang ng mga puntos kapag naghahagis ng dice (kaganapan A) ay hindi naaayon sa hitsura ng isa pang numero (kaganapan B). Ang pag-roll ng kahit na bilang ng mga puntos ay hindi tugma sa pag-roll ng isang kakaibang numero. Sa kabaligtaran, ang pantay na bilang ng mga puntos (kaganapan A) at isang bilang ng mga puntos na mahahati ng tatlo (kaganapan B) ay hindi magiging magkatugma, dahil ang pagkawala ng anim na puntos ay nangangahulugan ng paglitaw ng parehong mga kaganapan A at kaganapan B, kaya ang paglitaw ng isa sa kanila ay hindi ibinubukod ang paglitaw ng iba. Maaaring isagawa ang mga operasyon sa mga kaganapan. Ang pagsasama-sama ng dalawang pangyayari C=AUB ay isang pangyayari C na nagaganap kung at kung maganap lamang ang isa sa mga pangyayaring ito A at B. Ang intersection ng dalawang pangyayari D=A?? Ang B ay isang kaganapan na nangyayari kung at kung ang parehong mga kaganapan A at B ay nangyari.

1.1. Ilang impormasyon mula sa combinatorics

1.1.1. Mga tirahan

Isaalang-alang ang pinakasimpleng konsepto na nauugnay sa pagpili at lokasyon ng isang tiyak na hanay ng mga bagay.
Ang pagbibilang ng bilang ng mga paraan kung saan maaaring maisagawa ang mga pagkilos na ito ay kadalasang ginagawa kapag nilulutas ang mga probabilistikong problema.
Kahulugan. Akomodasyon mula sa n mga elemento sa pamamagitan ng k (k ≤n) ay anumang nakaayos na subset ng k mga elemento ng isang set na binubuo ng n iba't ibang elemento.
Halimbawa. Ang mga sumusunod na pagkakasunud-sunod ng mga numero ay mga pagsasaayos ng 2 elemento mula sa 3 elemento ng set (1;2;3): 12, 13, 23, 21, 31, 32.
Tandaan na ang mga pagkakalagay ay naiiba sa pagkakasunud-sunod ng kanilang mga sangkap na bumubuo at ang kanilang komposisyon. Ang mga placement 12 at 21 ay naglalaman ng parehong mga numero, ngunit ang kanilang pagkakasunud-sunod ay naiiba. Samakatuwid, ang mga pagkakalagay na ito ay itinuturing na iba.
Bilang ng iba't ibang placement mula sa n mga elemento sa pamamagitan ng k tinutukoy at kinakalkula ng formula:
,
saan n! = 1∙2∙...∙(n - 1)∙n(basahin" n factorial).
Ang bilang ng dalawang-digit na numero na maaaring binubuo ng mga digit 1, 2, 3, sa kondisyon na walang digit na mauulit ay: .

1.1.2. Mga permutasyon

Kahulugan. Mga permutasyon mula sa n ang mga elemento ay tinatawag na ganoong mga pagkakalagay mula sa n mga elemento na naiiba lamang sa pagkakaayos ng mga elemento.
Bilang ng mga permutasyon mula sa n mga elemento P n kinakalkula ng formula: P n=n!
Halimbawa. Sa ilang paraan maaaring pumila ang 5 tao? Ang bilang ng mga paraan ay katumbas ng bilang ng mga permutasyon ng 5 elemento, i.e.
P 5 =5!=1∙2∙3∙4∙5=120.
Kahulugan. Kung kabilang n mga elemento k magkapareho, pagkatapos ay ang permutasyon ng mga ito n Ang mga elemento ay tinatawag na permutasyon na may mga pag-uulit.
Halimbawa. Ipagpalagay na sa 6 na aklat 2 ay pareho. Ang anumang pag-aayos ng lahat ng mga libro sa istante ay isang permutasyon na may mga pag-uulit.
Ang bilang ng iba't ibang permutasyon na may mga pag-uulit (sa labas ng n mga elemento, bukod sa kung saan k magkapareho) ay kinakalkula ng formula: .
Sa aming halimbawa, ang bilang ng mga paraan kung saan maaaring ayusin ang mga aklat sa isang istante ay: .

1.1.3. Mga kumbinasyon

Kahulugan. Mga kumbinasyon mula sa n mga elemento sa pamamagitan ng k ang mga naturang placement ay tinatawag n mga elemento sa pamamagitan ng k, na naiiba sa isa't isa sa pamamagitan ng hindi bababa sa isang elemento.
Bilang ng iba't ibang kumbinasyon ng n mga elemento sa pamamagitan ng k tinutukoy at kinakalkula ng formula: .
Sa pamamagitan ng kahulugan, 0!=1.
Ang mga kumbinasyon ay may mga sumusunod na katangian:
1.
2.
3.
4.
Halimbawa. Mayroong 5 bulaklak na may iba't ibang kulay. Para sa isang palumpon, 3 bulaklak ang napili. Ang bilang ng iba't ibang bouquet ng 3 bulaklak sa 5 ay: .

1.2. mga random na pangyayari

1.2.1. Mga kaganapan

Ang pagkilala sa katotohanan sa mga natural na agham ay nangyayari bilang isang resulta ng mga pagsubok (eksperimento, pagmamasid, karanasan).
pagsusulit o karanasan ay ang pagpapatupad ng ilang partikular na hanay ng mga kundisyon na maaaring kopyahin ng arbitraryong maraming beses.
Random tinatawag na pangyayari na maaaring mangyari o hindi bilang resulta ng ilang pagsubok (karanasan).
Kaya, ang kaganapan ay itinuturing na resulta ng isang pagsubok.
Halimbawa. Ang paghagis ng barya ay isang pagsubok. Ang hitsura ng isang agila kapag itinapon ay isang kaganapan.
Ang mga kaganapang naobserbahan natin ay naiiba sa antas ng posibilidad ng kanilang paglitaw at sa likas na katangian ng kanilang relasyon.
Ang kaganapan ay tinatawag na maaasahan kung ito ay siguradong mangyayari bilang resulta ng pagsusulit.
Halimbawa. Ang isang mag-aaral na tumatanggap ng positibo o negatibong marka sa isang pagsusulit ay isang tiyak na kaganapan kung magpapatuloy ang pagsusulit ayon sa karaniwang mga tuntunin.
Ang kaganapan ay tinatawag na imposible kung hindi ito maaaring mangyari bilang resulta ng pagsusulit na ito.
Halimbawa. Ang pagkuha ng isang puting bola mula sa isang urn na naglalaman lamang ng mga kulay (hindi puti) na mga bola ay isang imposibleng kaganapan. Tandaan na sa ilalim ng iba pang mga kundisyon ng eksperimento, ang hitsura ng isang puting bola ay hindi ibinukod; kaya, ang kaganapang ito ay imposible lamang sa mga kondisyon ng aming karanasan.
Ang mga karagdagang random na kaganapan ay ilalarawan ng malaking Latin na titik A,B,C... Ang isang partikular na kaganapan ay ilalarawan ng titik Ω, isang imposibleng kaganapan sa pamamagitan ng Ø.
Dalawa o higit pang pangyayari ang tinatawag pare-parehong posible sa isang ibinigay na pagsubok, kung may dahilan upang maniwala na wala sa mga kaganapang ito ang mas malamang o mas malamang kaysa sa iba.
Halimbawa. Sa isang paghagis ng isang dice, ang hitsura ng 1, 2, 3, 4, 5 at 6 na puntos ay pantay na posibleng mga kaganapan. Ipinapalagay, siyempre, na ang die ay gawa sa isang homogenous na materyal at may regular na hugis.
Tinatawag ang dalawang pangyayari hindi magkatugma sa isang naibigay na pagsubok, kung ang paglitaw ng isa sa mga ito ay hindi kasama ang paglitaw ng isa pa, at magkadugtong kung hindi.
Halimbawa. Ang kahon ay naglalaman ng mga pamantayan at hindi karaniwang mga bahagi. Kumuha tayo ng isang detalye. Ang hitsura ng isang karaniwang bahagi ay hindi kasama ang hitsura ng isang hindi karaniwang bahagi. Ang mga kaganapang ito ay hindi magkatugma.
Ang ilang mga kaganapan ay nabuo buong pangkat ng mga kaganapan sa pagsusulit na ito, kung bilang resulta ng pagsusulit na ito, kahit isa sa mga ito ay kinakailangang mangyari.
Halimbawa. Ang mga kaganapan mula sa halimbawa ay bumubuo ng isang kumpletong pangkat ng pantay na posible at magkapares na hindi magkatugma na mga kaganapan.
Dalawang magkahiwalay na kaganapan na bumubuo ng isang kumpletong pangkat ng mga kaganapan sa isang naibigay na pagsubok ay tinatawag magkasalungat na pangyayari.
Kung ang isa sa kanila ay tinutukoy ng A, kung gayon ang isa ay karaniwang tinutukoy sa pamamagitan ng (ito ay nagbabasa ng "hindi A»).
Halimbawa. Ang pagtama at pagkawala ng isang shot sa isang target ay magkasalungat na kaganapan.

1.2.2. Ang klasikal na kahulugan ng posibilidad

Probability ng Kaganapan ay isang numerical na sukatan ng posibilidad ng paglitaw nito.
Kaganapan PERO tinawag kanais-nais kaganapan AT kung sa tuwing may pangyayari PERO, nangyayari ang kaganapan AT.
Mga kaganapan PERO 1 , PERO 2 , ..., PEROn anyo tsart ng kaso , kung sila:
1) ay pantay na posible;
2) ay magkapares na hindi magkatugma;
3) bumuo ng isang kumpletong grupo.
Sa pamamaraan ng mga kaso (at tanging sa pamamaraang ito) ang klasikal na kahulugan ng posibilidad ay nagaganap P(A) mga pangyayari PERO. Dito, ang bawat isa sa mga kaganapang kabilang sa napiling kumpletong pangkat ng pantay na posible at magkapares na hindi tugmang mga kaganapan ay tinatawag na isang kaso.
Kung ang n ay ang bilang ng lahat ng kaso sa scheme, at m- ang bilang ng mga kaso na paborable sa kaganapan PERO, pagkatapos posibilidad ng kaganapan PERO ay tinukoy ng pagkakapantay-pantay:

Ang mga sumusunod na katangian ay sumusunod mula sa kahulugan ng posibilidad:
1. Ang posibilidad ng isang tiyak na kaganapan ay katumbas ng isa.
Sa katunayan, kung ang isang kaganapan ay tiyak, kung gayon ang bawat pangyayari sa pamamaraan ng mga pangyayari ay pumapabor sa kaganapan. Sa kasong ito m = n at samakatuwid

2. Ang posibilidad ng isang imposibleng kaganapan ay zero.
Sa katunayan, kung imposible ang kaganapan, wala sa mga kaso mula sa scheme ng mga kaso ang pumapabor sa kaganapan. Kaya m=0 at, samakatuwid,

Ang posibilidad ng isang random na kaganapan ay isang positibong numero sa pagitan ng zero at isa.
Sa katunayan, ang isang random na kaganapan ay pinapaboran ng isang maliit na bahagi lamang ng kabuuang bilang ng mga kaso sa scheme ng mga kaso. Samakatuwid 0<m<n, na nangangahulugang 0<m/n<1 и, следовательно, 0 < P(A) < 1.
Kaya, ang posibilidad ng anumang kaganapan ay nakakatugon sa mga hindi pagkakapantay-pantay
0 ≤ P(A) ≤ 1.
Sa kasalukuyan, ang mga katangian ng posibilidad ay tinukoy sa anyo ng mga axiom na binuo ni A.N. Kolmogorov.
Ang isa sa mga pangunahing bentahe ng klasikal na kahulugan ng posibilidad ay ang kakayahang direktang kalkulahin ang posibilidad ng isang kaganapan, i.e. nang hindi gumagamit ng mga eksperimento, na pinapalitan ng lohikal na pangangatwiran.

Mga problema sa direktang pagkalkula ng mga probabilidad

Gawain 1.1. Ano ang posibilidad na makakuha ng pantay na bilang ng mga puntos (kaganapan A) sa isang rolyo ng isang die?
Desisyon. Isaalang-alang ang mga kaganapan PEROi- nag-drop out i puntos, i= 1, 2, …, 6. Malinaw, ang mga kaganapang ito ay bumubuo ng isang pattern ng mga kaso. Pagkatapos ang bilang ng lahat ng kaso n= 6. Ang pantay na bilang ng mga puntos ay pinapaboran ng mga kaso PERO 2 , PERO 4 , PERO 6 , ibig sabihin. m= 3. Pagkatapos .
Gawain 1.2. Ang isang urn ay naglalaman ng 5 puti at 10 itim na bola. Ang mga bola ay lubusang pinaghalo at pagkatapos ay 1 bola ay kinuha nang random. Ano ang posibilidad na puti ang iginuhit na bola?
Desisyon. Mayroong 15 kaso sa kabuuan, na bumubuo sa pattern ng mga kaso. At ang inaasahang pangyayari PERO- ang hitsura ng isang puting bola ay pinapaboran ng 5 sa kanila, samakatuwid .
Gawain 1.3. Ang bata ay naglalaro ng anim na letra ng alpabeto: A, A, E, K, P, T. Hanapin ang posibilidad na random niyang maidagdag ang salitang CARRIAGE (kaganapan A).
Desisyon. Ang desisyon ay kumplikado sa pamamagitan ng katotohanan na sa mga titik ay may pareho - dalawang titik na "A". Samakatuwid, ang bilang ng lahat ng posibleng kaso sa pagsubok na ito ay katumbas ng bilang ng mga permutasyon na may mga pag-uulit ng 6 na titik:
.
Ang mga kasong ito ay pantay na posible, magkapares na hindi magkatugma, at bumubuo ng kumpletong pangkat ng mga kaganapan, i.e. bumuo ng isang diagram ng kaso. Isang pagkakataon lamang ang pabor sa kaganapan PERO. Kaya
.
Gawain 1.4. Sina Tanya at Vanya ay sumang-ayon na ipagdiwang ang Bagong Taon sa isang kumpanya ng 10 katao. Gusto talaga nilang magkatabi. Ano ang posibilidad na matupad ang kanilang hiling kung nakaugalian na ang pamamahagi ng mga lugar sa kanilang mga kaibigan sa pamamagitan ng palabunutan?
Desisyon. Tukuyin ng PERO kaganapan "katuparan ng pagnanais nina Tanya at Vanya." 10 tao ay maaaring umupo sa isang mesa ng 10! iba't ibang paraan. Ilan sa mga ito n= 10! pare-pareho bang posibleng paraan ang pabor para kina Tanya at Vanya? Sina Tanya at Vanya, na magkatabi, ay maaaring kumuha ng 20 magkakaibang posisyon. Sa parehong oras, walo sa kanilang mga kaibigan ay maaaring umupo sa table 8! iba't ibang paraan, kaya m= 20∙8!. Kaya naman,
.
Gawain 1.5. Isang grupo ng 5 babae at 20 lalaki ang pumipili ng tatlong delegado. Ipagpalagay na ang bawat isa sa mga naroroon ay pantay na malamang na mapili, hanapin ang posibilidad na dalawang babae at isang lalaki ang pipiliin.
Desisyon. Ang kabuuang bilang ng pantay na malamang na mga resulta ng pagsusulit ay katumbas ng bilang ng mga paraan kung saan maaaring pumili ang tatlong delegado mula sa 25 tao, i.e. . Kalkulahin natin ngayon ang bilang ng mga paborableng kaso, i.e. ang bilang ng beses na nangyari ang kaganapan ng interes. Maaaring mapili ang lalaking delegado sa dalawampung paraan. Kasabay nito, dapat na mga babae ang natitirang dalawang delegado, at maaari kang pumili ng dalawang babae sa lima. Kaya naman, . Kaya
.
Suliranin 1.6. Apat na bola ang random na nakakalat sa apat na butas, ang bawat bola ay nahuhulog sa isa o isa pang butas na may parehong posibilidad at hiwalay sa iba (walang mga hadlang sa pagkuha ng ilang bola sa parehong butas). Hanapin ang posibilidad na magkakaroon ng tatlong bola sa isa sa mga butas, isa - sa isa pa, at walang bola sa dalawa pang butas.
Desisyon. Kabuuang bilang ng mga kaso n=4 4 . Ang bilang ng mga paraan kung saan maaaring pumili ng isang butas, kung saan magkakaroon ng tatlong bola, . Ang bilang ng mga paraan kung saan maaari mong piliin ang butas kung saan magkakaroon ng isang bola, . Ang bilang ng mga paraan kung saan maaari kang pumili ng tatlong bola mula sa apat na bola upang ilagay ang mga ito sa unang butas, . Ang kabuuang bilang ng mga paborableng kaso. Probability ng Event:
Suliranin 1.7. Mayroong 10 magkaparehong bola sa kahon, na may marka ng mga numero 1, 2, ..., 10. Anim na bola ang iginuhit para sa suwerte. Hanapin ang posibilidad na sa mga nakuhang bola ay magkakaroon ng: a) bola No. 1; b) mga bola #1 at #2.
Desisyon. a) Ang kabuuang bilang ng mga posibleng elementarya na resulta ng pagsusulit ay katumbas ng bilang ng mga paraan kung saan maaaring makuha ang anim na bola sa sampu, i.e.
Hanapin natin ang bilang ng mga resulta na pumapabor sa kaganapang kung saan interesado tayo: sa mga napiling anim na bola mayroong bola No. 1 at, dahil dito, ang natitirang limang bola ay may iba't ibang numero. Ang bilang ng mga naturang resulta ay malinaw na katumbas ng bilang ng mga paraan kung saan ang limang bola ay maaaring mapili mula sa natitirang siyam, i.e.
Ang gustong probabilidad ay katumbas ng ratio ng bilang ng mga kinalabasan na pumapabor sa kaganapang isinasaalang-alang sa kabuuang bilang ng mga posibleng elementarya na resulta:
b) Ang bilang ng mga kinalabasan na pumapabor sa kaganapan ng interes sa amin (kabilang sa mga napiling bola mayroong mga bola No. 1 at No. 2, samakatuwid, ang apat na bola ay may magkakaibang mga numero) ay katumbas ng bilang ng mga paraan kung saan ang apat na bola ay maaaring maging kinuha mula sa natitirang walo, i.e. Ninanais na posibilidad

1.2.3. Statistical Probability

Ang istatistikal na kahulugan ng posibilidad ay ginagamit kapag ang mga resulta ng isang eksperimento ay hindi pantay na posibilidad.
Kaugnay na dalas ng kaganapan PERO ay tinukoy ng pagkakapantay-pantay:
,
saan m ay ang bilang ng mga pagsubok kung saan ang kaganapan PERO ito ay dumating n ay ang kabuuang bilang ng mga pagsubok na isinagawa.
Pinatunayan ni J. Bernoulli na sa isang walang limitasyong pagtaas sa bilang ng mga eksperimento, ang relatibong dalas ng paglitaw ng isang kaganapan ay halos arbitraryong mag-iiba mula sa ilang pare-parehong numero. Ito ay lumabas na ang pare-parehong bilang na ito ay ang posibilidad ng paglitaw ng isang kaganapan. Samakatuwid, natural, ang kamag-anak na dalas ng paglitaw ng isang kaganapan na may sapat na malaking bilang ng mga pagsubok ay tinatawag na istatistikal na posibilidad, sa kaibahan sa naunang ipinakilala na posibilidad.
Halimbawa 1.8. Paano mo matantya ang bilang ng mga isda sa isang lawa?
Ipasok sa lawa X isda. Itinapon namin ang network at, sabihin nating, nahanap namin ito n isda. Minarkahan namin ang bawat isa sa kanila at pinakawalan ito pabalik. Pagkalipas ng ilang araw, sa parehong panahon at sa parehong lugar, itinapon namin ang parehong lambat. Ipagpalagay na nakakita tayo ng m isda sa loob nito, kung saan k may label. Hayaan ang kaganapan PERO- "May label na nahuling isda." Pagkatapos ay sa pamamagitan ng kahulugan ng relatibong dalas .
Ngunit kung sa lawa X isda at binitawan namin ito n may label, pagkatapos .
Bilang R * (PERO) » R(PERO), pagkatapos .

1.2.4. Mga operasyon sa mga kaganapan. Pagdaragdag ng teorama

sum, o isang unyon, ng ilang mga kaganapan ay isang kaganapan na binubuo sa paglitaw ng hindi bababa sa isa sa mga kaganapang ito (sa parehong pagsubok).
Sum PERO 1 + PERO 2 + … + PEROn ipinapahiwatig ng ganito:
o .
Halimbawa. Dalawang dice ang itinapon. Hayaan ang kaganapan PERO binubuo ng rolling 4 na puntos sa 1 die, at ang kaganapan AT- sa isang roll ng 5 puntos sa isa pang mamatay. Mga kaganapan PERO at AT magkadugtong. Samakatuwid ang kaganapan PERO +AT binubuo ng pag-roll ng 4 na puntos sa unang die, o 5 puntos sa pangalawang die, o 4 na puntos sa unang die at 5 puntos sa pangalawang die sa parehong oras.
Halimbawa. Kaganapan PERO– manalo sa 1 loan, event AT- manalo sa 2 pautang. Tapos yung event A+B- nanalo ng hindi bababa sa isang pautang (maaaring dalawa nang sabay-sabay).
trabaho o ang intersection ng ilang mga kaganapan ay isang kaganapan na binubuo sa magkasanib na paglitaw ng lahat ng mga kaganapang ito (sa parehong pagsubok).
Trabaho AT mga pangyayari PERO 1 , PERO 2 , …, PEROn ipinapahiwatig ng ganito:
.
Halimbawa. Mga kaganapan PERO at AT binubuo sa matagumpay na pagpasa ng I at II round, ayon sa pagkakabanggit, sa pagpasok sa institute. Tapos yung event PERO×B ay binubuo sa matagumpay na pagkumpleto ng parehong round.
Ang mga konsepto ng kabuuan at produkto ng mga kaganapan ay may malinaw na geometric na interpretasyon. Hayaan ang kaganapan PERO mayroong isang hit ng isang punto sa lugar PERO, at ang kaganapan AT- pagtama ng isang punto sa lugar AT. Tapos yung event A+B mayroong isang hit ng isang punto sa unyon ng mga lugar na ito (Fig. 2.1), at ang kaganapan PEROAT mayroong isang hit ng isang punto sa intersection ng mga lugar na ito (Fig. 2.2).

kanin. 2.1 Fig. 2.2
Teorama. Kung mga pangyayari A i(i = 1, 2, …, n) ay magkapares na hindi magkatugma, kung gayon ang posibilidad ng kabuuan ng mga kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito:
.
Hayaan PERO at Ā – magkasalungat na mga kaganapan, i.e. A + a= Ω, kung saan ang Ω ay isang tiyak na kaganapan. Mula sa karagdagan teorama ito ay sumusunod na
P(Ω) = R(PERO) + R(Ā ) = 1, samakatuwid
R(Ā ) = 1 – R(PERO).
Kung mga pangyayari PERO 1 at PERO 2 ay magkasanib, kung gayon ang posibilidad ng kabuuan ng dalawang magkasanib na kaganapan ay katumbas ng:
R(PERO 1 + PERO 2) = R(PERO 1) + R(PERO 2) – P( PERO 1× PERO 2).
Ang mga probabilidad na karagdagan theorems ay ginagawang posible na lumipat mula sa isang direktang pagkalkula ng mga probabilidad sa pagtukoy ng mga probabilidad ng paglitaw ng mga kumplikadong kaganapan.
Gawain 1.8. Ang tagabaril ay nagpaputok ng isang putok sa target. Ang posibilidad na ma-knock out ang 10 puntos (kaganapan PERO), 9 na puntos (kaganapan AT) at 8 puntos (kaganapan Sa) ay katumbas ng 0.11, ayon sa pagkakabanggit; 0.23; 0.17. Hanapin ang posibilidad na sa isang shot ang tagabaril ay nakakuha ng mas mababa sa 8 puntos (kaganapan D).
Desisyon. Lumipat tayo sa kabaligtaran na kaganapan - sa isang shot, ang tagabaril ay magpapatumba ng hindi bababa sa 8 puntos. Nagaganap ang kaganapan kung PERO o AT, o Sa, ibig sabihin. . Mula sa mga pangyayari A, B, Sa ay magkapares na hindi magkatugma, kung gayon, sa pamamagitan ng teorem ng karagdagan,
, saan .
Gawain 1.9. Mula sa pangkat ng brigada, na binubuo ng 6 na lalaki at 4 na babae, dalawang tao ang napili para sa kumperensya ng unyon ng manggagawa. Ano ang posibilidad na hindi bababa sa isang babae sa mga napili (ang kaganapan PERO).
Desisyon. Kung may mangyari PERO, kung gayon ang isa sa mga sumusunod na hindi tugmang kaganapan ay tiyak na magaganap: AT- "isang lalaki at isang babae ay pinili"; Sa"Dalawang babae ang napili." Samakatuwid, maaari tayong sumulat: A=B+C. Hanapin ang posibilidad ng mga kaganapan AT at Sa. Dalawang tao sa 10 ang maaaring mapili sa mga paraan. Dalawang babae sa 4 ang maaaring piliin sa mga paraan. Maaaring piliin ang lalaki at babae sa 6×4 na paraan. Tapos . Mula sa mga pangyayari AT at Sa ay hindi naaayon, kung gayon, sa pamamagitan ng teorama ng karagdagan,
P(A) = P(B + C) = P(B) + P(C) = 8/15 + 2/15 = 2/3.
Suliranin 1.10. Mayroong 15 mga aklat-aralin na random na nakaayos sa isang istante sa silid-aklatan, lima sa mga ito ay nakatali. Ang librarian ay kumukuha ng tatlong aklat-aralin nang random. Hanapin ang posibilidad na hindi bababa sa isa sa mga kinuhang aklat-aralin ang maitali (kaganapan PERO).
Desisyon. Unang paraan. Ang kinakailangan - hindi bababa sa isa sa tatlong nakatali na mga aklat-aralin na kinuha - ay matutupad kung ang alinman sa mga sumusunod na tatlong hindi magkatugma na mga kaganapan ay magaganap: AT- 1 nakatali na aklat-aralin Sa- dalawang nakatali na aklat-aralin D- Tatlong nakagapos na mga aklat-aralin.
Kaganapang interesado kami PERO ay maaaring katawanin bilang isang kabuuan ng mga kaganapan: A=B+C+D. Sa pamamagitan ng teorem ng karagdagan,
P(A) = P(B) + P(C) + P(D). (2.1)
Hanapin ang posibilidad ng mga kaganapan B, C at D(tingnan ang combinatorial scheme):

Kinakatawan ang mga probabilidad na ito sa pagkakapantay-pantay (2.1), sa wakas ay nakuha natin
P(A)= 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
Ang pangalawang paraan. Kaganapan PERO(kahit isa man lang sa tatlong aklat na kinuha ay may binding) at Ā (wala sa mga aklat-aralin na kinuha ang may bisa) ay kabaligtaran, samakatuwid P(A) + P(Ā) = 1 (ang kabuuan ng mga probabilidad ng dalawang magkasalungat na kaganapan ay katumbas ng 1). Mula rito P(A) = 1 – P(a). Probability ng isang kaganapan na naganap Ā (wala sa mga textbook na kinuha ang nakatali)
Ninanais na posibilidad
P(A) = 1 – P(Ā) = 1 – 24/91 = 67/91.

1.2.5. Kondisyon na maaaring mangyari. Probability multiplication theorem

Kondisyon na maaaring mangyari P(B/PERO) ay ang posibilidad ng kaganapan B, na kinakalkula sa palagay na ang kaganapan A ay naganap na.
Teorama. Ang posibilidad ng magkasanib na paglitaw ng dalawang mga kaganapan ay katumbas ng produkto ng mga probabilidad ng isa sa mga ito sa pamamagitan ng kondisyon na posibilidad ng isa pa, na kinakalkula sa pagpapalagay na ang unang kaganapan ay naganap na:
P(A∙B) = P(A)∙P( AT/PERO). (2.2)
Ang dalawang kaganapan ay tinatawag na independyente kung ang paglitaw ng alinman sa mga ito ay hindi nagbabago sa posibilidad ng paglitaw ng isa pa, i.e.
P(A) = P(A/B) o P(B) = P(B/PERO). (2.3)
Kung mga pangyayari PERO at AT ay independyente, pagkatapos ay ipinahihiwatig ng mga formula (2.2) at (2.3).
P(A∙B) = P(A)∙P(B). (2.4)
Ang kabaligtaran na pahayag ay totoo rin, i.e. kung ang pagkakapantay-pantay (2.4) ay humahawak para sa dalawang kaganapan, ang mga kaganapang ito ay independyente. Sa katunayan, ang mga formula (2.4) at (2.2) ay nagpapahiwatig
P(A∙B) = P(A)∙P(B) = P(A) × P(B/PERO), saan P(A) = P(B/PERO).
Ang Formula (2.2) ay maaaring gawing pangkalahatan sa kaso ng isang may hangganang bilang ng mga kaganapan PERO 1 , PERO 2 ,…,Isang n:
P(A 1 ∙PERO 2 ∙…∙Isang n)=P(A 1)∙P(A 2 /PERO 1)∙P(A 3 /PERO 1 PERO 2)∙…∙P(A n/PERO 1 PERO 2 …Isang n -1).
Gawain 1.11. Mula sa isang urn na naglalaman ng 5 puti at 10 itim na bola, dalawang bola ang iguguhit nang magkasunod. Hanapin ang posibilidad na ang parehong bola ay puti (kaganapan PERO).
Desisyon. Isaalang-alang ang mga kaganapan: AT- ang unang bola na iginuhit ay puti; Sa– ang pangalawang iginuhit na bola ay puti. Pagkatapos A = BC.
Ang karanasan ay maaaring gawin sa dalawang paraan:
1) na may pagbabalik: pagkatapos ayusin ang kulay, ang iginuhit na bola ay ibinalik sa urn. Sa kasong ito, ang mga kaganapan AT at Sa malaya:
P(A) = P(B)∙P(C) = 5/15 × 5/15 = 1/9;
2) walang kapalit: ang iginuhit na bola ay itabi. Sa kasong ito, ang mga kaganapan AT at Sa umaasa:
P(A) = P(B)∙P(C/AT).
Para sa isang kaganapan AT ang mga kondisyon ay pareho, at para sa Sa nagbago ang sitwasyon. Nangyari AT, kaya may natitira pang 14 na bola sa urn, 4 sa mga ito ay puti.
Kaya, .
Gawain 1.12. Sa 50 bombilya, 3 ay hindi karaniwan. Hanapin ang posibilidad na ang dalawang bombilya na kinuha sa parehong oras ay hindi karaniwan.
Desisyon. Isaalang-alang ang mga kaganapan: PERO- ang unang bombilya ay hindi karaniwan, AT- ang pangalawang bombilya ay hindi karaniwan, Sa- ang parehong mga bombilya ay hindi karaniwan. Malinaw na C = A∙AT. kaganapan PERO pabor sa 3 kaso sa 50 posible, i.e. P(A) = 3/50. Kung ang kaganapan PERO nangyari na, ang kaganapan AT pabor sa dalawang kaso sa 49 na posible, i.e. P(B/PERO) = 2/49. Kaya naman,
.
Gawain 1.13. Dalawang atleta ang nakapag-iisang bumaril sa parehong target. Ang posibilidad na matamaan ang target ng unang atleta ay 0.7, at ang pangalawa ay 0.8. Ano ang posibilidad na matamaan ang target?
Desisyon. Ang target ay matatamaan kung ang unang tagabaril, o ang pangalawa, o pareho ang tamaan, i.e. isang kaganapan ang mangyayari A+B, kung saan ang kaganapan PERO ay binubuo sa pagpindot sa target ng unang atleta, at ang kaganapan AT- pangalawa. Pagkatapos
P(A+AT)=P(A)+P(B)–P(A∙AT)=0, 7+0, 8–0, 7∙0,8=0,94.
Suliranin 1.14. Mayroong anim na aklat-aralin sa teorya ng posibilidad sa silid ng pagbabasa, tatlo sa mga ito ay nakatali. Kinuha ng librarian ang dalawang textbook nang random. Hanapin ang posibilidad na ang dalawang aklat-aralin ay magkakatali.
Desisyon. Ipakilala natin ang notasyon ng mga kaganapan : A- ang unang aklat-aralin na kinuha ay may bisa, AT- Ang pangalawang aklat-aralin ay nakatali. Ang posibilidad na ang unang aklat-aralin ay may bisa,
P(A) = 3/6 = 1/2.
Ang posibilidad na ang pangalawang aklat-aralin ay nakatali, na ibinigay na ang unang aklat na kinuha ay nakatali, i.e. kondisyon na posibilidad ng isang kaganapan AT, ito ba: P(B/PERO) = 2/5.
Ang nais na posibilidad na ang parehong mga aklat-aralin ay may bisa, ayon sa multiplication theorem para sa mga probabilidad ng mga kaganapan, ay katumbas ng
P(AB) = P(A) ∙ P(B/PERO)= 1/2 ∙ 2/5 = 0.2.
Suliranin 1.15. Ang tindahan ay gumagamit ng 7 lalaki at 3 babae. Tatlong tao ang random na pinili ayon sa mga numero ng tauhan. Hanapin ang posibilidad na ang lahat ng napiling tao ay mga lalaki.
Desisyon. Ipakilala natin ang notasyon ng mga kaganapan: A- lalaki ang unang napili AT- ang pangalawang napiling lalaki, MAY- ang pangatlong napiling lalaki. Ang posibilidad na ang isang lalaki ang unang napili P(A) = 7/10.
Ang posibilidad na ang isang lalaki ay napiling pangalawa, sa kondisyon na ang isang lalaki ay napili na muna, i.e. kondisyon na posibilidad ng isang kaganapan AT susunod : P(B/A) = 6/9 = 2/3.
Ang posibilidad na ang isang lalaki ay mapipili sa pangatlo, sa kondisyon na ang dalawang lalaki ay napili na, i.e. kondisyon na posibilidad ng isang kaganapan Sa ay: P(C/AB) = 5/8.
Ang nais na posibilidad na ang lahat ng tatlong napiling tao ay mga lalaki, P(ABC) = P(A) P(B/PERO) P(C/AB) = 7/10 2/3 5/8 = 7/24.

1.2.6. Total probability formula at Bayes formula

Hayaan B 1 , B 2 ,…, B n ay magkapares na hindi magkatugma na mga pangyayari (hypotheses) at PERO- isang kaganapan na maaari lamang mangyari kasabay ng isa sa mga ito.
Ipaalam din sa amin Р(B i) at P(A/B i) (i = 1, 2, …, n).
Sa ilalim ng mga kundisyong ito, ang mga formula ay wasto:
(2.5)
(2.6)
Formula (2.5) ay tinatawag kabuuang pormula ng posibilidad . Kinakalkula nito ang posibilidad ng isang kaganapan PERO(buong posibilidad).
Ang formula (2.6) ay tinatawag Formula ng Bayes . Ito ay nagpapahintulot sa iyo na muling kalkulahin ang mga probabilidad ng mga hypotheses kung ang kaganapan PERO nangyari.
Kapag nag-iipon ng mga halimbawa, maginhawang isaalang-alang na ang mga hypotheses ay bumubuo ng isang kumpletong grupo.
Gawain 1.16. Ang basket ay naglalaman ng mga mansanas mula sa apat na puno ng parehong uri. Mula sa una - 15% ng lahat ng mansanas, mula sa pangalawa - 35%, mula sa pangatlo - 20%, mula sa ikaapat - 30%. Ang mga hinog na mansanas ay ayon sa pagkakabanggit 99%, 97%, 98%, 95%.
a) Ano ang posibilidad na ang isang mansanas na pinili nang random ay hinog na? PERO).
b) Sa kondisyon na ang isang mansanas na kinuha nang random ay naging hinog, kalkulahin ang posibilidad na ito ay mula sa unang puno.
Desisyon. a) Mayroon kaming 4 na hypotheses:
B 1 - isang mansanas na kinuha nang random ay kinuha mula sa 1st tree;
B 2 - isang mansanas na kinuha nang random ay kinuha mula sa 2nd tree;
B 3 - isang mansanas na kinuha nang random ay kinuha mula sa ika-3 puno;
B 4 - isang mansanas na kinuha nang random ay kinuha mula sa ika-4 na puno.
Ang kanilang mga probabilidad ayon sa kondisyon: P(B 1) = 0,15; P(B 2) = 0,35; P(B 3) = 0,2; P(B 4) = 0,3.
Mga probabilidad ng may kondisyong kaganapan PERO:
P(A/B 1) = 0,99; P(A/B 2) = 0,97; P(A/B 3) = 0,98; P(A/B 4) = 0,95.
Ang posibilidad na ang isang mansanas na pinili nang random ay hinog ay matatagpuan sa kabuuang pormula ng posibilidad:
P(A)=P(B 1)∙P(A/B 1)+P(B 2)∙P(A/B 2)+P(B 3)∙P(A/B 3)+P(B 4)∙P(A/B 4)=0,969.
b) Ang formula ng Bayes para sa aming kaso ay may anyo:
.
Suliranin 1.17. Ang isang puting bola ay ibinabagsak sa isang urn na naglalaman ng dalawang bola, pagkatapos ay ang isang bola ay iguguhit nang random. Hanapin ang posibilidad na ang iginuhit na bola ay magiging puti kung ang lahat ng posibleng pagpapalagay tungkol sa paunang komposisyon ng mga bola (ayon sa kulay) ay pantay na posible.
Desisyon. Tukuyin ng PERO kaganapan - isang puting bola ang iginuhit. Ang mga sumusunod na pagpapalagay (hypotheses) tungkol sa paunang komposisyon ng mga bola ay posible: B1 walang puting bola SA 2- isang puting bola SA 3- dalawang puting bola.
Dahil mayroong tatlong hypotheses sa kabuuan, at ang kabuuan ng mga probabilities ng hypotheses ay katumbas ng 1 (dahil sila ay bumubuo ng isang kumpletong grupo ng mga kaganapan), kung gayon ang probabilidad ng bawat isa sa mga hypotheses ay katumbas ng 1/3, i.e.
P(B 1) = P(B 2)= P(B 3) = 1/3.
Ang kondisyon na posibilidad na ang isang puting bola ay mabubunot, dahil walang mga puting bola sa urn sa simula, P(A/B 1)=1/3. Ang kondisyon na posibilidad na ang isang puting bola ay mabubunot, dahil ang urn ay orihinal na naglalaman ng isang puting bola, P(A/B 2)=2/3. Ang kondisyong posibilidad na mabubunot ang isang puting bola, dahil ang urn ay orihinal na naglalaman ng dalawang puting bola. P(A/B 3)=3/ 3=1.
Ang nais na posibilidad na ang isang puting bola ay mabubunot ay matatagpuan sa pamamagitan ng kabuuang pormula ng posibilidad:
R(PERO)=P(B 1)∙P(A/B 1)+P(B 2)∙P(A/B 2)+P(B 3)∙P(A/B 3)=1/3 1/3+1/3 2/3+1/3 1=2/3 .
Gawain 1.18. Dalawang makina ang gumagawa ng parehong mga bahagi na pinapakain sa isang karaniwang conveyor. Ang pagganap ng unang makina ay dalawang beses kaysa sa pangalawa. Ang unang makina ay gumagawa ng isang average ng 60% ng mga bahagi ng mahusay na kalidad, at ang pangalawa - 84%. Ang bahagi na kinuha nang random mula sa linya ng pagpupulong ay naging mahusay na kalidad. Hanapin ang posibilidad na ang item na ito ay ginawa ng unang makina.
Desisyon. Tukuyin ng PERO ang kaganapan ay isang mahusay na kalidad ng item. Dalawang pagpapalagay ang maaaring gawin: B1- ang bahagi ay ginawa ng unang makina, at (dahil ang unang makina ay gumagawa ng dalawang beses na mas maraming bahagi kaysa sa pangalawa) P(A/B 1) = 2/3; B 2 - ang bahagi ay ginawa ng pangalawang makina, at P(B 2) = 1/3.
Ang kondisyon na posibilidad na ang bahagi ay magiging may mahusay na kalidad kung ito ay ginawa ng unang makina, P(A/B 1)=0,6.
Ang kondisyon na posibilidad na ang bahagi ay magiging may mahusay na kalidad kung ito ay ginawa ng pangalawang makina, P(A/B 1)=0,84.
Ang posibilidad na ang isang random na napiling bahagi ay magiging may mahusay na kalidad, ayon sa kabuuang pormula ng posibilidad, ay katumbas ng
P(A)=P(B 1) ∙P(A/B 1)+P(B 2) ∙P(A/B 2)=2/3 0.6+1/3 0.84 = 0.68.
Ang nais na posibilidad na ang mahusay na bahagi na kinuha ay ginawa ng unang automat, ayon sa formula ng Bayes, ay katumbas ng

Gawain 1.19. Mayroong tatlong batch ng mga bahagi na may 20 bahagi bawat isa. Ang bilang ng mga karaniwang bahagi sa una, pangalawa at pangatlong batch ay 20, 15, 10, ayon sa pagkakabanggit. Ang isang bahagi na naging pamantayan ay random na kinuha mula sa napiling batch. Ang mga bahagi ay ibinalik sa batch at ang isang bahagi ay random na inalis mula sa parehong batch para sa pangalawang pagkakataon, na lumalabas din na pamantayan. Hanapin ang posibilidad na ang mga bahagi ay kinuha mula sa ikatlong batch.
Desisyon. Tukuyin ng PERO kaganapan - sa bawat isa sa dalawang pagsubok (na may pagbabalik), isang karaniwang bahagi ang nakuha. Tatlong hypotheses ang maaaring gawin: B 1 - ang mga bahagi ay tinanggal mula sa unang batch, AT 2 - ang mga bahagi ay kinuha mula sa pangalawang batch, AT 3 - ang mga bahagi ay tinanggal mula sa ikatlong batch.
Ang mga detalye ay kinuha nang random mula sa batch na kinuha, kaya ang mga probabilidad ng mga hypotheses ay pareho: P(B 1) = P(B 2) = P(B 3) = 1/3.
Hanapin ang conditional probability P(A/B 1), ibig sabihin. ang posibilidad na magkasunod na kukunin ang dalawang karaniwang bahagi mula sa unang batch. Ang kaganapang ito ay maaasahan, dahil. sa unang batch, lahat ng mga bahagi ay karaniwang, kaya P(A/B 1) = 1.
Hanapin ang conditional probability P(A/B 2), ibig sabihin. ang posibilidad na ang dalawang karaniwang bahagi ay sunud-sunod na makukuha (kasama ang pagbabalik) mula sa pangalawang batch: P(A/B 2)= 15/20 ∙ 15/20 = 9/16.
Hanapin ang conditional probability P(A/B 3), ibig sabihin. ang posibilidad na ang dalawang karaniwang bahagi ay magkakasunod na aalisin (kasama ang pagbabalik) mula sa ikatlong batch: P(A/B 3) = 10/20 10/20 = 1/4.
Ang ninanais na posibilidad na ang parehong nakuhang mga karaniwang bahagi ay kinuha mula sa ikatlong batch, ayon sa formula ng Bayes, ay katumbas ng

1.2.7. Muling pagsubok

Kung maraming pagsubok ang ginawa, at ang posibilidad ng isang kaganapan PERO sa bawat pagsubok ay hindi nakasalalay sa mga kinalabasan ng iba pang mga pagsubok, kung gayon ang mga ganitong pagsubok ay tinatawag independyente kaugnay ng pangyayari A. Sa iba't ibang mga independiyenteng pagsubok, ang kaganapan PERO maaaring may magkaibang probabilidad o magkaparehong probabilidad. Isasaalang-alang lamang namin ang mga independiyenteng pagsubok kung saan ang kaganapan PERO ay may parehong posibilidad.
Hayaan itong mabuo P mga independyenteng pagsubok, kung saan ang bawat isa ay isang kaganapan PERO maaaring lumitaw o hindi. Ipagpalagay natin na ang posibilidad ng isang kaganapan PERO sa bawat pagsubok ay pareho, lalo na katumbas ng R. Samakatuwid, ang posibilidad ng hindi paglitaw ng kaganapan PERO sa bawat pagsubok ay pare-pareho din at katumbas ng 1– R. Ang ganitong probabilistic scheme ay tinatawag Bernoulli scheme. Itakda natin sa ating sarili ang gawain ng pagkalkula ng posibilidad na P Mga pagsubok sa kaganapan sa Bernoulli PERO ay magkatotoo nang eksakto k minsan ( k- ang bilang ng mga tagumpay) at, samakatuwid, ay hindi maisasakatuparan P- minsan. Mahalagang bigyang-diin na hindi kinakailangan na ang kaganapan PERO eksaktong paulit-ulit k beses sa isang tiyak na pagkakasunod-sunod. Ipahiwatig ang nais na posibilidad R p (k). Halimbawa, ang simbolo R 5 (3) ay nangangahulugan ng posibilidad na sa limang pagsubok ang kaganapan ay lilitaw nang eksaktong 3 beses at, samakatuwid, ay hindi mangyayari nang 2 beses.
Ang problema ay maaaring malutas gamit ang tinatawag na Bernoulli formula, na mukhang:
.
Problema 1.20. Ang posibilidad na ang pagkonsumo ng kuryente sa kurso ng isang araw ay hindi lalampas sa itinatag na pamantayan ay katumbas ng R=0.75. Hanapin ang posibilidad na sa susunod na 6 na araw ang konsumo ng kuryente sa loob ng 4 na araw ay hindi lalampas sa pamantayan.
Desisyon. Ang posibilidad ng normal na pagkonsumo ng kuryente sa bawat 6 na araw ay pare-pareho at katumbas ng R=0.75. Samakatuwid, ang posibilidad ng labis na paggasta ng kuryente araw-araw ay pare-pareho din at katumbas ng q= 1–R=1–0,75=0,25.
Ang nais na posibilidad ayon sa Bernoulli formula ay katumbas ng
.
Gawain 1.21. Dalawang pantay na manlalaro ng chess ang naglalaro ng chess. Alin ang mas malamang: manalo ng dalawang laro sa apat o tatlong laro sa anim (hindi isinasaalang-alang ang mga draw)?
Desisyon. Ang mga pantay na manlalaro ng chess ay naglalaro, kaya ang posibilidad na manalo R= 1/2, kaya ang posibilidad na matalo q ay katumbas din ng 1/2. kasi sa lahat ng laro ang posibilidad na manalo ay pare-pareho at hindi mahalaga kung anong pagkakasunud-sunod ang mga laro ay napanalunan, kung gayon ang Bernoulli formula ay naaangkop.
Hanapin ang posibilidad na ang dalawang laro sa apat ay mapanalunan:

Hanapin ang posibilidad na tatlo sa anim na laro ang mapanalunan:

kasi P 4 (2) > P 6 (3), mas malamang na manalo ng dalawang laro sa apat kaysa tatlo sa anim.
Gayunpaman, makikita ng isa na ang paggamit ng Bernoulli formula para sa malalaking halaga n ito ay medyo mahirap, dahil ang formula ay nangangailangan ng pagganap ng mga operasyon sa malalaking numero at samakatuwid ang mga error ay naipon sa proseso ng mga kalkulasyon; bilang isang resulta, ang huling resulta ay maaaring mag-iba nang malaki mula sa tunay.
Upang malutas ang problemang ito, mayroong ilang mga limitasyon ng theorems na ginagamit para sa kaso ng isang malaking bilang ng mga pagsubok.
1. Poisson's theorem
Kapag nagsasagawa ng isang malaking bilang ng mga pagsubok ayon sa Bernoulli scheme (na may n=> ∞) at may maliit na bilang ng mga kanais-nais na resulta k(ipagpalagay na ang posibilidad ng tagumpay p maliit), ang Bernoulli formula ay lumalapit sa Poisson formula
.
Halimbawa 1.22. Ang posibilidad ng kasal sa paggawa ng isang yunit ng produksyon ng negosyo ay katumbas ng p=0.001. Ano ang posibilidad na sa paggawa ng 5000 mga yunit ng mga produkto ay magkakaroon ng mas mababa sa 4 na may sira (kaganapan PERO Desisyon. kasi n ay malaki, ginagamit namin ang lokal na Laplace theorem:

Compute x:
Function ay pantay, samakatuwid φ(–1.67) = φ(1.67).
Ayon sa talahanayan ng Appendix A.1, makikita natin ang φ(1.67) = 0.0989.
Ninanais na posibilidad P 2400 (1400) = 0,0989.
3. Laplace integral theorem
Kung ang posibilidad R paglitaw ng isang pangyayari A sa bawat pagsubok ayon sa Bernoulli scheme ay pare-pareho at naiiba sa zero at isa, pagkatapos ay may malaking bilang ng mga pagsubok n, posibilidad R p (k 1 , k 2) pangyayari sa pangyayari A sa mga pagsubok na ito k 1 hanggang k 2 beses tinatayang katumbas
R p(k 1 , k 2) = Φ ( x"") – Φ ( x"), saan
ay ang Laplace function,

Ang tiyak na integral sa Laplace function ay hindi kinakalkula sa klase ng analytic function, kaya ang Talahanayan 1 ay ginagamit upang kalkulahin ito. Clause 2, na ibinigay sa apendiks.
Halimbawa 1.24. Ang posibilidad ng isang kaganapan na nagaganap sa bawat isa sa isang daang independiyenteng pagsubok ay pare-pareho at katumbas ng p= 0.8. Hanapin ang posibilidad na mangyari ang kaganapan: a) hindi bababa sa 75 beses at hindi hihigit sa 90 beses; b) hindi bababa sa 75 beses; c) hindi hihigit sa 74 beses.
Desisyon. Gamitin natin ang integral theorem ni Laplace:
R p(k 1 , k 2) = Φ ( x"") – Φ( x"), kung saan Ф( x) ay ang Laplace function,

a) Sa kondisyon n = 100, p = 0,8, q = 0,2, k 1 = 75, k 2 = 90. Kalkulahin x"" at x" :


Isinasaalang-alang na ang Laplace function ay kakaiba, i.e. F(- x) = – F( x), nakukuha namin
P 100 (75; 90) \u003d F (2.5) - F (-1.25) \u003d F (2.5) + F (1.25).
Ayon sa talahanayan P.2. maghanap ng mga application:
F(2.5) = 0.4938; Ф(1.25) = 0.3944.
Ninanais na posibilidad
P 100 (75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
b) Ang pangangailangan na ang kaganapan ay maganap nang hindi bababa sa 75 beses ay nangangahulugan na ang bilang ng mga pangyayari ng kaganapan ay maaaring katumbas ng 75, o 76, ..., o 100. Kaya, sa kasong isinasaalang-alang, ang isa ay dapat kumuha k 1 = 75, k 2 = 100. Pagkatapos

.
Ayon sa talahanayan P.2. mga aplikasyon, nakita namin ang Ф (1.25) = 0.3944; Ф(5) = 0.5.
Ninanais na posibilidad
P 100 (75;100) = (5) – (–1,25) = (5) + (1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
c) Kaganapan - " PERO lumitaw ng hindi bababa sa 75 beses" at " PERO lumitaw nang hindi hihigit sa 74 na beses” ay kabaligtaran, kaya ang kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito ay 1. Samakatuwid, ang nais na posibilidad
P 100 (0;74) = 1 – P 100 (75; 100) = 1 – 0,8944 = 0,1056.

Tema ng aralin: "Random, maaasahan at imposibleng mga kaganapan"

Lugar ng aralin sa kurikulum: "Kombinatorika. Random na mga pangyayari” aralin 5/8

Uri ng aralin: Aral sa pagbuo ng bagong kaalaman

Layunin ng Aralin:

Pang-edukasyon:

o ipakilala ang isang kahulugan ng isang random, tiyak at imposibleng kaganapan;

o magturo sa proseso ng isang tunay na sitwasyon upang tukuyin ang mga tuntunin ng probability theory: maaasahan, imposible, equiprobable na mga kaganapan;

Pagbuo:

o itaguyod ang pag-unlad ng lohikal na pag-iisip,

o nagbibigay-malay na interes ng mga mag-aaral,

o kakayahang maghambing at magsuri,

Pang-edukasyon:

o pagpapaunlad ng interes sa pag-aaral ng matematika,

o pag-unlad ng pananaw sa mundo ng mga mag-aaral.

o pagkakaroon ng mga kasanayang intelektwal at mga operasyong pangkaisipan;

Mga pamamaraan ng pagtuturo: explanatory-illustrative, reproductive, mathematical dictation.

UMC: Matematika: aklat-aralin para sa 6 na mga cell. sa ilalim ng editorship, atbp., publishing house "Enlightenment", 2008, Mathematics, 5-6: libro. para sa guro / [, [ , ]. - M.: Edukasyon, 2006.

Didactic na materyal: mga poster ng board.

Panitikan:

1. Matematika: aklat-aralin. para sa 6 na mga cell. Pangkalahatang edukasyon institusyon/, atbp.]; ed. , ; Ros. acad. Agham, Ros. acad. edukasyon, publishing house na "Enlightenment". - ika-10 ed. - M.: Enlightenment, 2008.-302 p.: ill. - (Academic school textbook).

2. Matematika, 5-b: aklat. para sa guro / [, ]. - M. : Edukasyon, 2006. - 191 p. : may sakit.

4. Paglutas ng mga problema sa mga istatistika, combinatorics at probability theory. 7-9 baitang. / auth.- comp. . Ed. Ika-2, rev. - Volgograd: Guro, 2006. -428 p.

5. Mga aralin sa matematika gamit ang information technology. 5-10 baitang. Methodical - isang manwal na may elektronikong aplikasyon / at iba pa. 2nd ed., stereotype. - M.: Globus Publishing House, 2010. - 266 p. (Modernong paaralan).

6. Pagtuturo ng matematika sa isang modernong paaralan. Mga Alituntunin. Vladivostok: PIPPCRO Publishing House, 2003.

LESSON PLAN

I. Pansamahang sandali.

II. gawaing pasalita.

III. Pag-aaral ng bagong materyal.

IV. Pagbuo ng mga kasanayan at kakayahan.

V. Ang mga resulta ng aralin.

V. Takdang-Aralin.

SA PANAHON NG MGA KLASE

1. Saglit sa pagsasaayos

2. Pag-update ng kaalaman

15*(-100)

Oral na gawain:

3. Pagpapaliwanag ng bagong materyal

Guro: Ang ating buhay ay higit na binubuo ng mga aksidente. Mayroong ganoong agham na "Probability Theory". Gamit ang wika nito, posibleng ilarawan ang maraming phenomena at sitwasyon.

Ang mga sinaunang kumander tulad ni Alexander the Great o Dmitry Donskoy, na naghahanda para sa labanan, ay umaasa hindi lamang sa kagitingan at kasanayan ng mga mandirigma, kundi pati na rin sa pagkakataon.

Maraming tao ang mahilig sa matematika para sa mga walang hanggang katotohanang dalawang beses ang dalawa ay palaging apat, ang kabuuan ng mga numero ay pantay, ang lugar ng isang parihaba ay katumbas ng produkto ng mga katabing gilid nito, atbp. Sa anumang mga problema na iyong nalutas, lahat nakakakuha ng parehong sagot - kailangan mo lang na huwag magkamali sa desisyon.

Ang totoong buhay ay hindi gaanong simple at hindi malabo. Ang mga resulta ng maraming mga kaganapan ay hindi maaaring mahulaan nang maaga. Imposible, halimbawa, na tiyaking masasabi kung aling bahagi ang ibinabato ng barya, kung kailan babagsak ang unang snow sa susunod na taon, o kung gaano karaming tao sa lungsod ang gustong tumawag sa loob ng susunod na oras. Ang mga ganitong hindi inaasahang pangyayari ay tinatawag random .

Gayunpaman, ang kaso ay mayroon ding sariling mga batas, na nagsisimulang magpakita ng kanilang mga sarili sa paulit-ulit na pag-uulit ng mga random na phenomena. Kung ihagis mo ang isang barya ng 1000 beses, kung gayon ang "agila" ay mahuhulog nang halos kalahati ng oras, na hindi masasabi tungkol sa dalawa o kahit sampung paghahagis. Ang "humigit-kumulang" ay hindi nangangahulugang kalahati. Ito, bilang panuntunan, ay maaaring mangyari o hindi. Ang batas sa pangkalahatan ay hindi nagsasaad ng anumang bagay para sigurado, ngunit nagbibigay ng isang tiyak na antas ng katiyakan na ang ilang random na kaganapan ay magaganap.

Ang ganitong mga regularidad ay pinag-aaralan ng isang espesyal na sangay ng matematika - Teorya ng posibilidad . Gamit ito, maaari mong mas kumpiyansa (ngunit hindi pa rin tiyak) mahulaan ang parehong petsa ng unang ulan ng niyebe at ang bilang ng mga tawag sa telepono.

Ang teorya ng probabilidad ay hindi mapaghihiwalay na nauugnay sa ating pang-araw-araw na buhay. Nagbibigay ito sa amin ng magandang pagkakataon na magtatag ng maraming probabilistikong batas sa empirikal na paraan, paulit-ulit na inuulit ang mga random na eksperimento. Ang mga materyales para sa mga eksperimentong ito ay kadalasang isang ordinaryong barya, isang dice, isang set ng mga domino, backgammon, roulette, o kahit isang deck ng mga baraha. Ang bawat isa sa mga item na ito, sa isang paraan o iba pa, ay konektado sa mga laro. Ang katotohanan ay ang kaso dito ay lumilitaw sa pinakamadalas na anyo. At ang mga unang probabilistikong gawain ay nauugnay sa pagtatasa ng mga pagkakataon ng mga manlalaro na manalo.

Ang modernong teorya ng posibilidad ay lumayo sa pagsusugal, ngunit ang kanilang mga props ay ang pinakasimple at pinaka-maaasahang mapagkukunan ng pagkakataon. Sa pamamagitan ng pagsasanay gamit ang isang roulette wheel at isang die, matututunan mo kung paano kalkulahin ang posibilidad ng mga random na kaganapan sa totoong mga sitwasyon sa buhay, na magbibigay-daan sa iyo upang masuri ang iyong mga pagkakataon na magtagumpay, subukan ang mga hypotheses, at gumawa ng pinakamainam na mga desisyon hindi lamang sa mga laro at lottery .

Kapag nilulutas ang mga probabilistikong problema, maging maingat, subukang bigyang-katwiran ang bawat hakbang, dahil walang ibang larangan ng matematika ang naglalaman ng ganoong bilang ng mga kabalintunaan. Tulad ng probability theory. At, marahil, ang pangunahing paliwanag para dito ay ang koneksyon nito sa totoong mundo kung saan tayo nakatira.

Sa maraming laro, isang die ang ginagamit, na may iba't ibang bilang ng mga puntos mula 1 hanggang 6 sa bawat panig. Ipapagulong ng manlalaro ang die, tinitingnan kung ilang puntos ang nahulog (sa gilid na matatagpuan sa itaas), at ginagawa ang naaangkop na bilang ng mga galaw: 1,2,3 ,4,5, o 6. Ang paghagis ng die ay maaaring ituring na isang karanasan, isang eksperimento, isang pagsubok, at ang resulta na nakuha ay maaaring ituring na isang kaganapan. Ang mga tao ay kadalasang napaka-interesado sa paghula sa simula ng isang kaganapan, paghula sa kinalabasan nito. Anong mga hula ang maaari nilang gawin kapag ang isang dice ay pinagsama?

Unang hula: mahuhulog ang isa sa mga numerong 1,2,3,4,5, o 6. Sa tingin mo, darating ba ang hinulaang pangyayari o hindi? Siyempre darating talaga.

Ang isang kaganapan na tiyak na magaganap sa isang naibigay na karanasan ay tinatawag maaasahan kaganapan.

Pangalawang hula : mahuhulog ang numero 7. Sa tingin mo ba ay darating o hindi ang hinulaang pangyayari? Syempre hindi, imposible lang.

Ang isang kaganapan na hindi maaaring mangyari sa isang naibigay na eksperimento ay tinatawag imposible kaganapan.

Pangatlong Hula : mahuhulog ang numero 1. Sa tingin mo ba ay darating o hindi ang hinulaang pangyayari? Hindi namin masasagot ang tanong na ito nang may kumpletong katiyakan, dahil ang hinulaang kaganapan ay maaaring mangyari o hindi.

Tinatawag ang mga kaganapan na maaaring mangyari o hindi sa ilalim ng parehong mga kundisyon random.

Halimbawa. Ang kahon ay naglalaman ng 5 tsokolate sa isang asul na pambalot at isa sa puti. Nang hindi tumitingin sa kahon, random silang kumuha ng isang kendi. Posible bang sabihin nang maaga kung ano ang magiging kulay nito?

Mag-ehersisyo : ilarawan ang mga pangyayaring tinalakay sa mga gawain sa ibaba. Bilang tiyak, imposible o random.

1. I-flip ang isang barya. Lumitaw ang coat of arms. (random)

2. Binaril ng mangangaso ang lobo at tinamaan. (random)

3. Isang batang mag-aaral ang namamasyal tuwing gabi. Habang naglalakad, noong Lunes, may nakilala siyang tatlong kakilala. (random)

4. Isagawa natin sa isip ang sumusunod na eksperimento: baligtarin ang isang basong tubig. Kung ang eksperimentong ito ay isinasagawa hindi sa kalawakan, ngunit sa bahay o sa isang silid-aralan, pagkatapos ay bubuhos ang tubig. (tunay)

5. Tatlong putok ang nagpaputok sa target.” Mayroong limang hit." (imposible)

6. Ihagis ang bato. Ang bato ay nananatiling nakabitin sa hangin. (imposible)

Halimbawa Naisip ni Petya ang isang natural na numero. Ang kaganapan ay ang mga sumusunod:

a) isang kahit na numero ay conceived; (random)

b) ang isang kakaibang numero ay ipinaglihi; (random)

c) isang numero ay conceived na ay hindi kahit na o kakaiba; (imposible)

d) ang isang numero na even o odd ay conceived. (tunay)

Ang mga kaganapan na sa ilalim ng mga ibinigay na kundisyon ay may pantay na pagkakataon ay tinatawag equiprobable.

Ang mga random na kaganapan na may pantay na pagkakataon ay tinatawag pare-parehong posible o equiprobable .

Ilagay ang poster sa pisara.

Sa oral exam, kinukuha ng estudyante ang isa sa mga tiket na inilatag sa harap niya. Ang mga pagkakataong kunin ang alinman sa mga tiket sa pagsusulit ay pantay. Ang pantay na posibilidad ay ang pagkawala ng anumang bilang ng mga puntos mula 1 hanggang 6 kapag naghahagis ng dice, pati na rin ang mga ulo o buntot kapag naghagis ng barya.

Pero hindi lahat ng pangyayari pare-parehong posible. Ang alarm clock ay maaaring hindi tumunog, ang bumbilya ay masunog, ang bus ay masira, ngunit sa ilalim ng normal na mga kondisyon, ang mga naturang kaganapan malabong. Ito ay mas malamang na ang alarm clock ay magri-ring, ang ilaw ay bumukas, ang bus ay pupunta.

Ilang mga kaganapan pagkakataon mas maraming nangyayari, na nangangahulugang mas malamang sila - mas malapit sa maaasahan. At ang iba ay may mas kaunting mga pagkakataon, sila ay mas malamang - mas malapit sa imposible.

Ang mga imposibleng kaganapan ay walang pagkakataon na mangyari, at ang ilang mga kaganapan ay may bawat pagkakataon na mangyari, sa ilalim ng ilang mga kundisyon ay tiyak na mangyayari ang mga ito.

Halimbawa Inihambing nina Petya at Kolya ang kanilang mga kaarawan. Ang kaganapan ay ang mga sumusunod:

a) hindi magkatugma ang kanilang mga kaarawan; (random)

b) pareho ang kanilang mga kaarawan; (random)

d) ang parehong kaarawan ay nahuhulog sa mga pista opisyal - Bagong Taon (Enero 1) at Araw ng Kalayaan ng Russia (Hunyo 12). (random)

3. Pagbuo ng mga kasanayan at kakayahan

Gawain mula sa aklat-aralin Blg. 000. Alin sa mga sumusunod na random na kaganapan ang maaasahan, posible:

a) ang pagong ay matututong magsalita;

b) kumukulo ang tubig sa takure sa kalan;

d) manalo ka sa pamamagitan ng pagsali sa lottery;

e) hindi ka mananalo sa pamamagitan ng pagsali sa win-win lottery;

f) matatalo ka sa larong chess;

g) makakatagpo ka ng dayuhan bukas;

h) lalala ang panahon sa susunod na linggo; i) pinindot mo ang kampana, ngunit hindi ito tumunog; j) ngayon - Huwebes;

k) pagkatapos ng Huwebes ay magkakaroon ng Biyernes; m) magkakaroon ba ng Huwebes pagkatapos ng Biyernes?

Ang mga kahon ay naglalaman ng 2 pula, 1 dilaw at 4 na berdeng bola. Tatlong bola ang iginuhit nang random mula sa kahon. Alin sa mga sumusunod na kaganapan ang imposible, random, tiyak:

A: Tatlong berdeng bola ang mabubunot;

B: Tatlong pulang bola ang mabubunot;

C: ang mga bola ng dalawang kulay ay iguguhit;

D: ang mga bola ng parehong kulay ay iguguhit;

E: sa mga iginuhit na bola mayroong isang asul;

F: sa mga iginuhit ay may mga bola ng tatlong kulay;

G: Mayroon bang dalawang dilaw na bola sa mga iginuhit na bola?

Suriin ang iyong sarili. (pagdidikta sa matematika)

1) Ipahiwatig kung alin sa mga sumusunod na kaganapan ang imposible, na tiyak, na random:

Ang laban sa football na "Spartak" - "Dynamo" ay magtatapos sa isang draw (random)

Ikaw ay mananalo sa pamamagitan ng pagsali sa win-win lottery ( tunay)

Sa hatinggabi ito ay mag-snow, at pagkatapos ng 24 na oras ang araw ay sisikat (imposible)

· Magkakaroon ng pagsusulit sa matematika bukas. (random)

· Ikaw ay ihahalal na Pangulo ng Estados Unidos. (imposible)

· Ikaw ay mahalal na pangulo ng Russia. (random)

2) Bumili ka ng TV sa isang tindahan, kung saan ang tagagawa ay nagbibigay ng dalawang taong warranty. Alin sa mga sumusunod na kaganapan ang imposible, na random, na tiyak:

· Hindi masisira ang TV sa loob ng isang taon. (random)

Hindi masisira ang TV sa loob ng dalawang taon . (random)

· Sa loob ng dalawang taon hindi mo kailangang magbayad para sa pagkumpuni ng TV. (tunay)

Masisira ang TV sa ikatlong taon. (random)

3) Ang bus na may lulan na 15 pasahero ay may 10 hintuan. Alin sa mga sumusunod na kaganapan ang imposible, na random, na tiyak:

· Lahat ng pasahero ay bababa sa bus sa iba't ibang hintuan. (imposible)

Lahat ng pasahero ay bababa sa parehong hintuan. (random)

Sa bawat paghinto, at least may bababa. (random)

May hihinto kung saan walang bababa. (random)

Kahit na ang bilang ng mga pasahero ay bababa sa lahat ng hintuan. (imposible)

Kakaibang bilang ng mga pasahero ang bababa sa lahat ng hintuan. (imposible)

Buod ng aralin

Mga tanong para sa mga mag-aaral:

Anong mga pangyayari ang tinatawag na random?

Anong mga pangyayari ang tinatawag na equiprobable?

Anong mga kaganapan ang itinuturing na maaasahan? imposible?

Aling mga kaganapan ang itinuturing na mas malamang? malabong?

Takdang aralin : sugnay 9.3

Hindi. 000. Gumawa ng tatlong halimbawa ng tiyak, imposibleng mga pangyayari, pati na rin ang mga pangyayaring hindi masasabing kinakailangang mangyari.

902. Mayroong 10 pula, 1 berde at 2 asul na panulat sa isang kahon. Dalawang panulat ang random na inilabas sa kahon. Alin sa mga sumusunod na kaganapan ang imposible, tiyak:

A: Dalawang pulang hawakan ang aalisin; B: Dalawang berdeng hawakan ang bubunutin; C: dalawang asul na hawakan ang bubunutin; D: Dalawang hawakan ng iba't ibang kulay ang aalisin;

E: Dalawa bang lapis ang ilalabas? 03. Sumang-ayon sina Egor at Danila: kung ang turntable arrow (Larawan 205) ay huminto sa isang puting patlang, pagkatapos ay ipinta ni Egor ang bakod, at kung sa isang asul na bukid, si Danila. Sinong batang lalaki ang mas malamang na magpinta ng bakod?