Isang maikling kurso sa descriptive geometry

Ang mga lektura ay inilaan para sa mga mag-aaral ng engineering at teknikal na mga specialty

Paraan ng Monge

Kung ang impormasyon tungkol sa distansya ng isang punto na may kaugnayan sa projection plane ay ibinigay hindi sa tulong ng isang numerical mark, ngunit sa tulong ng pangalawang projection ng point, na binuo sa pangalawang projection plane, kung gayon ang pagguhit ay tinatawag na two- larawan o kumplikado. Ang mga pangunahing prinsipyo para sa pagbuo ng gayong mga guhit ay itinakda ni G. Monge.
Ang pamamaraan na itinakda ni Monge - ang paraan ng orthogonal projection, at dalawang projection ay kinuha sa dalawang magkaparehong patayo na projection plane - na nagbibigay ng pagpapahayag, katumpakan at pagiging madaling mabasa ng mga larawan ng mga bagay sa isang eroplano, ay at nananatiling pangunahing paraan para sa pagguhit ng mga teknikal na guhit

Figure 1.1 Point sa sistema ng tatlong projection planes

Ang modelo ng tatlong projection planes ay ipinapakita sa Figure 1.1. Ang ikatlong eroplano, patayo sa parehong P1 at P2, ay tinutukoy ng letrang P3 at tinatawag na profile plane. Ang mga projection ng mga punto sa eroplanong ito ay tinutukoy ng malalaking titik o mga numero na may index 3. Ang mga projection plane, na nagsa-intersecting sa mga pares, ay tumutukoy sa tatlong axes 0x, 0y at 0z, na maaaring ituring bilang isang sistema ng Cartesian coordinate sa espasyo na may pinagmulan. sa punto 0. Hinahati ng tatlong projection plane ang espasyo sa walong trihedral na anggulo - octants. Tulad ng dati, ipagpalagay natin na ang tumitingin sa bagay ay nasa unang octant. Upang makakuha ng diagram, ang mga punto sa sistema ng tatlong projection plane ng P1 at P3 na eroplano ay iniikot hanggang sa magkasabay sila sa P2 plane. Kapag nagtatalaga ng mga palakol sa isang diagram, karaniwang hindi ipinapahiwatig ang mga negatibong semiax. Kung ang imahe lamang ng bagay mismo ay makabuluhan, at hindi ang posisyon nito na nauugnay sa mga projection planes, kung gayon ang mga axes sa diagram ay hindi ipinapakita. Ang mga coordinate ay mga numero na tumutugma sa isang punto upang matukoy ang posisyon nito sa kalawakan o sa ibabaw. Sa tatlong-dimensional na espasyo, ang posisyon ng isang punto ay itinakda gamit ang hugis-parihaba na Cartesian coordinates x, y, at z (abscissa, ordinate, at applicate).

Upang matukoy ang posisyon ng isang tuwid na linya sa espasyo, mayroong mga sumusunod na pamamaraan: 1. Dalawang puntos (A at B). Isaalang-alang ang dalawang punto sa espasyo A at B (Larawan 2.1). Sa pamamagitan ng mga puntong ito maaari tayong gumuhit ng isang tuwid na linya, makakakuha tayo ng isang segment. Upang mahanap ang mga projection ng segment na ito sa projection plane, kinakailangan upang mahanap ang mga projection ng mga puntos A at B at ikonekta ang mga ito sa isang tuwid na linya. Ang bawat isa sa mga projection ng segment sa projection plane ay mas maliit kaysa sa segment mismo:<; <; <.

Figure 2.1 Pagtukoy sa posisyon ng isang tuwid na linya mula sa dalawang puntos

2. Dalawang eroplano (a; b). Ang pamamaraang ito ng pagtatakda ay tinutukoy ng katotohanan na ang dalawang di-parallel na eroplano ay nagsalubong sa espasyo sa isang tuwid na linya (ang pamamaraang ito ay tinalakay nang detalyado sa kurso ng elementarya na geometry).

3. Point at mga anggulo ng pagkahilig sa projection planes. Ang pag-alam sa mga coordinate ng isang punto na kabilang sa linya at ang anggulo ng pagkahilig nito sa mga projection planes, maaari mong mahanap ang posisyon ng linya sa espasyo.

Depende sa posisyon ng tuwid na linya na may kaugnayan sa mga projection planes, maaari itong sakupin ang parehong pangkalahatan at partikular na mga posisyon. 1. Ang isang tuwid na linya na hindi parallel sa anumang projection plane ay tinatawag na isang tuwid na linya sa pangkalahatang posisyon (Larawan 3.1).

2. Ang mga tuwid na linya na parallel sa projection planes ay sumasakop sa isang partikular na posisyon sa kalawakan at tinatawag na level lines. Depende sa kung aling projection plane ang ibinigay na linya ay kahanay, mayroong:

2.1. Ang mga direktang projection na kahanay sa pahalang na eroplano ay tinatawag na pahalang o mga linya ng tabas (Larawan 3.2).

Larawan 3.2 Pahalang na tuwid na linya

2.2. Ang mga direktang projection na parallel sa frontal plane ay tinatawag na frontal o frontals (Fig. 3.3).

Larawan 3.3 Pangharap na tuwid

2.3. Ang mga direktang projection na parallel sa profile plane ay tinatawag na profile projection (Larawan 3.4).

Larawan 3.4 Diretso ang profile

3. Ang mga tuwid na linya na patayo sa projection planes ay tinatawag na projecting. Ang isang linya na patayo sa isang projection plane ay parallel sa iba pang dalawa. Depende sa kung aling projection plane ang inimbestigahang linya ay patayo, mayroong:

3.1. Frontally projecting straight line - AB (Fig. 3.5).

Figure 3.5 Front projection line

3.2. Profile projecting straight line - AB (Fig. 3.6).

Figure 3.6 Profile-projecting line

3.3. Pahalang na pag-project ng tuwid na linya - AB (Larawan 3.7).

Figure 3.7 Pahalang na projecting na linya

Ang eroplano ay isa sa mga pangunahing konsepto ng geometry. Sa isang sistematikong paglalahad ng geometry, ang konsepto ng isang eroplano ay karaniwang kinukuha bilang isa sa mga paunang konsepto, na hindi direktang tinutukoy ng mga axiom ng geometry. Ilang katangian ng isang eroplano: 1. Ang eroplano ay isang ibabaw na ganap na naglalaman ng bawat linya na nagdudugtong sa alinman sa mga punto nito; 2. Ang eroplano ay isang hanay ng mga puntos na katumbas ng layo mula sa dalawang ibinigay na mga punto.

Mga paraan ng graphical na kahulugan ng mga eroplano Ang posisyon ng isang eroplano sa kalawakan ay maaaring matukoy:

1. Tatlong puntos na hindi nakahiga sa isang tuwid na linya (Fig. 4.1).

Figure 4.1 Plane na tinukoy ng tatlong puntos na hindi nakahiga sa isang tuwid na linya

2. Isang tuwid na linya at isang punto na hindi kabilang sa tuwid na linyang ito (Larawan 4.2).

Figure 4.2 Plane na tinukoy ng isang tuwid na linya at isang punto na hindi kabilang sa linyang ito

3. Dalawang intersecting na tuwid na linya (Larawan 4.3).

Figure 4.3 Plane na tinukoy sa pamamagitan ng dalawang intersecting na tuwid na linya

4. Dalawang parallel na linya (Larawan 4.4).

Figure 4.4 Plane na tinukoy ng dalawang parallel na tuwid na linya

Iba't ibang posisyon ng eroplano na nauugnay sa mga projection planes

Depende sa posisyon ng eroplano na may kaugnayan sa mga projection planes, maaari itong sakupin ang parehong pangkalahatan at partikular na mga posisyon.

1. Ang isang eroplanong hindi patayo sa anumang projection plane ay tinatawag na isang eroplano sa pangkalahatang posisyon. Ang nasabing eroplano ay sumasalubong sa lahat ng mga projection planes (may tatlong bakas: - pahalang S 1; - frontal S 2; - profile S 3). Ang mga bakas ng generic na eroplano ay nagsalubong nang magkapares sa mga palakol sa mga puntong palakol,ay,az. Ang mga puntong ito ay tinatawag na naglalaho na mga punto, maaari silang ituring na mga vertices ng trihedral na mga anggulo na nabuo ng ibinigay na eroplano na may dalawa sa tatlong projection na eroplano. Ang bawat isa sa mga bakas ng eroplano ay tumutugma sa projection nito ng parehong pangalan, at ang iba pang dalawang projection ng magkasalungat na pangalan ay namamalagi sa mga palakol (Larawan 5.1).

2. Mga eroplanong patayo sa mga eroplano ng mga projection - sumasakop sa isang partikular na posisyon sa kalawakan at tinatawag na projecting. Depende sa kung aling projection plane ang ibinigay na eroplano ay patayo, mayroong:

2.1. Ang eroplanong patayo sa horizontal projection plane (S ^ П1) ay tinatawag na horizontally projecting plane. Ang pahalang na projection ng naturang eroplano ay isang tuwid na linya, na siyang pahalang na track nito. Ang mga pahalang na projection ng lahat ng mga punto ng anumang mga figure sa eroplanong ito ay nag-tutugma sa pahalang na bakas (Larawan 5.2).

Figure 5.2 Pahalang na projection plane

2.2. Ang eroplanong patayo sa frontal plane ng mga projection (S ^ P2) ay ang front-projecting plane. Ang frontal projection ng eroplano S ay isang tuwid na linya na tumutugma sa trace S 2 (Larawan 5.3).

Figure 5.3 Front projection plane

2.3. Ang eroplanong patayo sa profile plane (S ^ П3) ay ang profile-projecting plane. Ang isang espesyal na kaso ng naturang eroplano ay ang bisector plane (Larawan 5.4).

Figure 5.4 Profile-projecting plane

3. Mga eroplanong parallel sa mga eroplano ng projection - sumasakop sa isang partikular na posisyon sa kalawakan at tinatawag na mga antas ng eroplano. Depende sa kung aling eroplano ang eroplanong pinag-aaralan ay parallel, mayroong:

3.1. Pahalang na eroplano - isang eroplanong parallel sa horizontal projection plane (S //P1) - (S ^P2, S ^P3). Anumang figure sa eroplanong ito ay inaasahang papunta sa eroplano P1 nang walang pagbaluktot, at sa eroplano P2 at P3 sa mga tuwid na linya - mga bakas ng eroplano S 2 at S 3 (Larawan 5.5).

Figure 5.5 Pahalang na eroplano

3.2. Frontal plane - isang eroplanong parallel sa frontal projection plane (S //P2), (S ^P1, S ^P3). Anumang figure sa eroplanong ito ay inaasahang papunta sa eroplano P2 nang walang pagbaluktot, at sa eroplano P1 at P3 sa mga tuwid na linya - mga bakas ng eroplano S 1 at S 3 (Larawan 5.6).

Larawan 5.6 Pangharap na eroplano

3.3. Profile plane - isang eroplanong parallel sa profile plane ng mga projection (S //P3), (S ^P1, S ^P2). Anumang figure sa eroplanong ito ay inaasahang papunta sa eroplano P3 nang walang pagbaluktot, at sa eroplano P1 at P2 sa mga tuwid na linya - mga bakas ng eroplano S 1 at S 2 (Larawan 5.7).

Larawan 5.7 Profile plane

Mga bakas ng eroplano

Ang bakas ng eroplano ay ang linya ng intersection ng eroplano sa mga projection planes. Depende sa kung alin sa mga projection plane ang binigay na nagsa-intersect, nakikilala nila ang: pahalang, frontal at profile na mga bakas ng eroplano.

Ang bawat bakas ng eroplano ay isang tuwid na linya, para sa pagtatayo kung saan kinakailangan na malaman ang dalawang punto, o isang punto at ang direksyon ng tuwid na linya (tulad ng para sa pagtatayo ng anumang tuwid na linya). Ipinapakita ng Figure 5.8 ang paghahanap ng mga bakas ng eroplano S (ABC). Ang frontal trace ng eroplano S 2 ay itinayo bilang isang linya na nagkokonekta sa dalawang puntos 12 at 22, na mga frontal na bakas ng kaukulang mga linya na kabilang sa eroplano S . Ang pahalang na bakas S 1 ay isang tuwid na linya na dumadaan sa pahalang na bakas ng tuwid na linya AB at S x. Profile trace S 3 - isang tuwid na linya na nagkokonekta sa mga punto (S y at S z) ng intersection ng pahalang at pangharap na mga bakas na may mga palakol.

Figure 5.8 Konstruksyon ng mga bakas ng eroplano

Ang pagtukoy sa kamag-anak na posisyon ng isang tuwid na linya at isang eroplano ay isang positional na problema, para sa solusyon kung saan ginagamit ang paraan ng mga auxiliary cutting planes. Ang kakanyahan ng pamamaraan ay ang mga sumusunod: gumuhit ng isang auxiliary secant plane Q sa pamamagitan ng linya at itakda ang kamag-anak na posisyon ng dalawang linya a at b, ang huli ay ang linya ng intersection ng auxiliary secant plane Q at ang eroplanong T ( Larawan 6.1).

Figure 6.1 Paraan ng auxiliary cutting plane

Ang bawat isa sa tatlong posibleng mga kaso ng kamag-anak na posisyon ng mga linyang ito ay tumutugma sa isang katulad na kaso ng magkaparehong posisyon ng linya at ng eroplano. Kaya, kung ang parehong mga linya ay nag-tutugma, kung gayon ang linya a ay namamalagi sa eroplano T, ang parallelism ng mga linya ay nagpapahiwatig ng parallelism ng linya at ang eroplano, at, sa wakas, ang intersection ng mga linya ay tumutugma sa kaso kapag ang linya ay nag-intersect. ang eroplano T. Kaya, mayroong tatlong mga kaso ng kamag-anak na posisyon ng linya at ang eroplano: nabibilang sa eroplano; Ang linya ay parallel sa eroplano; Ang isang tuwid na linya ay bumalandra sa isang eroplano, isang espesyal na kaso - isang tuwid na linya ay patayo sa eroplano. Isaalang-alang natin ang bawat kaso.

Tuwid na linya na kabilang sa eroplano

Axiom 1. Ang isang linya ay kabilang sa isang eroplano kung ang dalawa sa mga punto nito ay kabilang sa parehong eroplano (fig.6.2).

Gawain. Ibinigay ang isang eroplano (n,k) at isang projection ng linyang m2. Kinakailangang hanapin ang nawawalang mga projection ng linyang m kung alam na ito ay kabilang sa eroplano na ibinigay ng mga intersecting na linya n at k. Ang projection ng linya m2 intersects ang mga linya n at k sa mga punto B2 at C2, upang mahanap ang nawawalang projection ng linya, ito ay kinakailangan upang mahanap ang nawawalang projection ng mga puntos B at C bilang mga puntos na nakahiga sa mga linya n at k , ayon sa pagkakabanggit. Kaya, ang mga puntos na B at C ay nabibilang sa eroplano na ibinigay ng mga intersecting na linya n at k, at ang linyang m ay dumadaan sa mga puntong ito, na nangangahulugan na, ayon sa axiom, ang linya ay kabilang sa eroplanong ito.

Axiom 2. Ang isang linya ay kabilang sa isang eroplano kung ito ay may isang karaniwang punto sa eroplano at parallel sa anumang linya na matatagpuan sa eroplanong ito (Larawan 6.3).

Gawain. Gumuhit ng isang linya na m hanggang sa punto B kung alam na ito ay kabilang sa eroplano na ibinigay ng mga intersecting na linya n at k. Hayaang ang B ay kabilang sa linya n nakahiga sa eroplano na ibinigay ng mga intersecting na linya n at k. Sa pamamagitan ng projection B2 iginuhit namin ang projection ng linya m2 parallel sa linya k2, upang mahanap ang nawawalang projection ng linya, kinakailangan upang bumuo ng projection ng point B1 bilang isang punto na nakahiga sa projection ng linya n1 at iguhit ang projection ng linya m1 sa pamamagitan nito parallel sa projection k1. Kaya, ang mga puntos na B ay nabibilang sa eroplano na ibinigay ng mga intersecting na linya n at k, at ang linyang m ay dumadaan sa puntong ito at kahanay ng linya k, na nangangahulugan na, ayon sa axiom, ang linya ay kabilang sa eroplanong ito.

Figure 6.3 Ang isang tuwid na linya ay may isang karaniwang punto na may isang eroplano at ay parallel sa isang tuwid na linya na matatagpuan sa eroplanong ito

Mga pangunahing linya sa eroplano

Kabilang sa mga tuwid na linya na kabilang sa eroplano, ang isang espesyal na lugar ay inookupahan ng mga tuwid na linya na sumasakop sa isang partikular na posisyon sa espasyo:

1. Horizontals h - mga tuwid na linya na nakahiga sa isang naibigay na eroplano at parallel sa pahalang na eroplano ng mga projection (h / / P1) (Larawan 6.4).

Larawan 6.4 Pahalang

2. Frontals f - mga tuwid na linya na matatagpuan sa eroplano at parallel sa frontal plane ng mga projection (f//P2) (Fig. 6.5).

Larawan 6.5 Pangharap

3. Profile straight lines p - tuwid na linya na nasa isang ibinigay na eroplano at parallel sa profile plane ng mga projection (p / / P3) (Fig. 6.6). Dapat pansinin na ang mga bakas ng eroplano ay maaari ding maiugnay sa mga pangunahing linya. Ang pahalang na bakas ay ang pahalang ng eroplano, ang frontal ay ang harap at ang profile ay ang profile line ng eroplano.

Larawan 6.6 Diretso ang profile

4. Ang linya ng pinakamalaking slope at ang pahalang na projection nito ay bumubuo ng isang linear na anggulo j, na sumusukat sa dihedral na anggulo na binubuo ng eroplanong ito at ang pahalang na eroplano ng mga projection (Larawan 6.7). Malinaw, kung ang isang linya ay walang dalawang karaniwang mga punto sa isang eroplano, kung gayon ito ay kahanay sa eroplano o intersects ito.

Figure 6.7 Ang linya ng pinakamalaking slope

Parehong posisyon ng isang punto at isang eroplano

Mayroong dalawang mga pagpipilian para sa magkaparehong pag-aayos ng isang punto at isang eroplano: alinman sa punto ay kabilang sa eroplano, o hindi. Kung ang punto ay kabilang sa eroplano, kung gayon isa lamang sa tatlong projection na tumutukoy sa posisyon ng punto sa kalawakan ang maaaring arbitraryong itakda. Isaalang-alang ang isang halimbawa (Fig.6.8): Konstruksyon ng projection ng isang punto A na kabilang sa isang eroplano ng pangkalahatang posisyon na ibinigay ng dalawang magkatulad na tuwid na linya a(a//b).

Gawain. Ibinigay: ang eroplanong T(a,b) at ang projection ng puntong A2. Kinakailangang buuin ang projection A1 kung alam na ang punto A ay nasa eroplano c,a. Sa pamamagitan ng punto A2 iginuhit namin ang projection ng linya m2, na intersects ang mga projection ng mga linya a2 at b2 sa mga punto C2 at B2. Ang pagkakaroon ng pagbuo ng mga projection ng mga puntos C1 at B1, na tumutukoy sa posisyon ng m1, nakita namin ang pahalang na projection ng punto A.

Larawan 6.8. Punto na kabilang sa eroplano

Ang dalawang eroplano sa kalawakan ay maaaring magkapareho, sa isang partikular na kaso na nagtutugma sa isa't isa, o magsalubong. Ang magkaparehong patayo na mga eroplano ay isang espesyal na kaso ng mga intersecting na eroplano.

1. Parallel na eroplano. Ang mga eroplano ay parallel kung ang dalawang intersecting na linya ng isang eroplano ay parallel sa dalawang intersecting na linya ng isa pang eroplano. Ang kahulugan na ito ay mahusay na inilalarawan ng gawain, sa pamamagitan ng punto B, upang gumuhit ng isang eroplanong parallel sa eroplano na ibinigay ng dalawang intersecting na tuwid na linya ab (Larawan 7.1). Gawain. Ibinigay: isang eroplano sa pangkalahatang posisyon na ibinigay ng dalawang intersecting na linya ab at point B. Kinakailangang gumuhit ng eroplano sa punto B na kahanay sa eroplano ab at tukuyin ito sa pamamagitan ng dalawang intersecting na linya c at d. Ayon sa depinisyon, kung ang dalawang intersecting na linya ng isang eroplano ay parallel sa dalawang intersecting na linya ng isa pang eroplano, kung gayon ang mga eroplanong ito ay parallel sa isa't isa. Upang gumuhit ng mga parallel na linya sa diagram, kinakailangang gamitin ang property ng parallel projection - ang mga projection ng parallel lines ay parallel sa isa't isa d||a, c||b; d1||a1,с1||b1; d2||a2 ,с2||b2; d3||a3,с3||b3.

Larawan 7.1. Parallel na eroplano

2. Mga intersecting na eroplano, isang espesyal na kaso - magkaparehong patayo na mga eroplano. Ang linya ng intersection ng dalawang eroplano ay isang tuwid na linya, para sa pagtatayo kung saan ito ay sapat na upang matukoy ang dalawang punto nito na karaniwan sa parehong mga eroplano, o isang punto at ang direksyon ng linya ng intersection ng mga eroplano. Isaalang-alang ang pagtatayo ng linya ng intersection ng dalawang eroplano, kapag ang isa sa kanila ay projecting (Larawan 7.2).

Gawain. Ibinigay: ang isang eroplano sa pangkalahatang posisyon ay ibinibigay ng isang tatsulok na ABC, at ang pangalawang eroplano ay isang pahalang na projecting T. Ito ay kinakailangan upang bumuo ng isang linya ng intersection ng mga eroplano. Ang solusyon sa problema ay ang paghahanap ng dalawang puntong karaniwan sa mga eroplanong ito kung saan maaaring gumuhit ng isang tuwid na linya. Ang eroplanong tinukoy ng tatsulok na ABC ay maaaring katawanin bilang mga tuwid na linya (AB), (AC), (BC). Ang punto ng intersection ng linya (AB) sa eroplano T - punto D, ang linya (AC) -F. Tinutukoy ng segment ang linya ng intersection ng mga eroplano. Dahil ang T ay isang horizontally projecting plane, ang projection na D1F1 ay kasabay ng trace ng plane T1, kaya nananatili lamang ang pagbuo ng mga nawawalang projection sa P2 at P3.

Larawan 7.2. Intersection ng generic plane na may horizontally projecting plane

Lumipat tayo sa pangkalahatang kaso. Hayaang magbigay ng dalawang generic na eroplano a(m,n) at b (ABC) sa espasyo (Larawan 7.3).

Larawan 7.3. Intersection ng mga eroplano sa pangkalahatang posisyon

Isaalang-alang ang pagkakasunod-sunod ng pagbuo ng linya ng intersection ng mga eroplanong a(m//n) at b(ABC). Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa nakaraang problema, upang mahanap ang linya ng intersection ng mga eroplanong ito, gumuhit kami ng mga auxiliary secant na eroplano g at d. Hanapin natin ang mga linya ng intersection ng mga eroplanong ito sa mga eroplanong isinasaalang-alang. Ang eroplanong g ay nag-intersect sa eroplanong a sa isang tuwid na linya (12), at sa eroplano b - kasama ng isang tuwid na linya (34). Point K - ang punto ng intersection ng mga linyang ito nang sabay-sabay ay kabilang sa tatlong eroplanong a, b at g, na sa gayon ay isang puntong kabilang sa linya ng intersection ng mga eroplano a at b. Ang eroplanong d ay nag-intersect sa mga eroplanong a at b sa mga linya (56) at (7C), ayon sa pagkakabanggit, ang kanilang intersection point M ay matatagpuan nang sabay-sabay sa tatlong eroplano a, b, d at kabilang sa tuwid na linya ng intersection ng mga eroplano a at b. Kaya, ang dalawang punto ay matatagpuan na kabilang sa linya ng intersection ng mga eroplano a at b - isang tuwid na linya (KM).

Ang ilang pagpapasimple sa paggawa ng linya ng intersection ng mga eroplano ay maaaring makamit kung ang auxiliary secant na mga eroplano ay iguguhit sa pamamagitan ng mga tuwid na linya na tumutukoy sa eroplano.

Parehong patayo na mga eroplano. Ito ay kilala mula sa stereometry na ang dalawang eroplano ay magkaparehong patayo kung ang isa sa mga ito ay dumaan sa isang patayo sa isa. Sa pamamagitan ng puntong A, maaari kang gumuhit ng isang set ng mga eroplano na patayo sa ibinigay na eroplano a (f, h). Ang mga eroplanong ito ay bumubuo ng isang bundle ng mga eroplano sa kalawakan, ang axis nito ay ang patayo na bumaba mula sa puntong A hanggang sa eroplano a. Upang gumuhit ng isang eroplanong patayo sa eroplano na ibinigay ng dalawang intersecting na linya hf mula sa punto A, kinakailangan na gumuhit ng isang tuwid na linya n patayo sa eroplano hf mula sa punto A (ang pahalang na projection n ay patayo sa pahalang na projection ng pahalang h, ang frontal projection n ay patayo sa frontal projection ng frontal f). Anumang eroplano na dumadaan sa linya n ay magiging patayo sa eroplano hf, samakatuwid, upang itakda ang eroplano sa pamamagitan ng mga puntos A, gumuhit kami ng isang arbitrary na linya m. Ang eroplano na ibinigay ng dalawang intersecting na tuwid na linya mn ay magiging patayo sa hf plane (Larawan 7.4).

Larawan 7.4. Parehong patayo na mga eroplano

Paraan ng paggalaw ng plane-parallel

Ang pagbabago ng kamag-anak na posisyon ng projected object at ang projection planes sa pamamagitan ng paraan ng plane-parallel movement ay isinasagawa sa pamamagitan ng pagbabago ng posisyon ng geometric object upang ang trajectory ng mga punto nito ay nasa parallel planes. Ang mga carrier plane ng mga trajectory ng mga gumagalaw na punto ay parallel sa anumang projection plane (Fig. 8.1). Ang trajectory ay isang arbitrary na linya. Sa isang parallel transfer ng isang geometric na bagay na may kaugnayan sa projection planes, ang projection ng figure, bagama't binago nito ang posisyon nito, ay nananatiling congruent sa projection ng figure sa orihinal nitong posisyon.

Figure 8.1 Pagtukoy ng natural na sukat ng segment sa pamamagitan ng paraan ng plane-parallel na paggalaw

Mga katangian ng plane-parallel na paggalaw:

1. Sa anumang paggalaw ng mga punto sa isang eroplanong parallel sa eroplanong P1, ang frontal projection nito ay gumagalaw sa isang tuwid na linya na parallel sa x axis.

2. Sa kaso ng isang arbitrary na paggalaw ng isang punto sa isang eroplanong parallel sa P2, ang pahalang na projection nito ay gumagalaw sa isang tuwid na linya na kahanay ng x axis.

Paraan ng pag-ikot sa paligid ng isang axis na patayo sa projection plane

Ang mga eroplano ng carrier ng mga trajectory ng paggalaw ng mga puntos ay kahanay sa projection plane. Trajectory - isang arko ng isang bilog, ang gitna nito ay matatagpuan sa axis na patayo sa eroplano ng mga projection. Upang matukoy ang natural na laki ng isang segment ng linya sa pangkalahatang posisyon AB (Larawan 8.2), pipiliin namin ang axis ng pag-ikot (i) patayo sa pahalang na projection plane at dumadaan sa B1. Iikot natin ang segment upang ito ay maging parallel sa frontal projection plane (ang pahalang na projection ng segment ay parallel sa x-axis). Sa kasong ito, ang point A1 ay lilipat sa A "1, at ang point B ay hindi magbabago sa posisyon nito. Ang posisyon ng point A" 2 ay nasa intersection ng frontal projection ng trajectory ng paggalaw ng point A (isang straight line parallel sa x axis) at ang linya ng komunikasyon na iginuhit mula sa A "1. Tinutukoy ng resultang projection B2 A "2 ang aktwal na laki ng segment mismo.

Figure 8.2 Pagtukoy sa natural na laki ng isang segment sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng isang axis na patayo sa pahalang na eroplano ng mga projection

Paraan ng pag-ikot sa paligid ng isang axis na parallel sa projection plane

Isaalang-alang ang pamamaraang ito gamit ang halimbawa ng pagtukoy ng anggulo sa pagitan ng mga intersecting na linya (Larawan 8.3). Isaalang-alang ang dalawang projection ng mga intersecting na linya a at kung saan nag-intersect sa punto K. Upang matukoy ang natural na halaga ng anggulo sa pagitan ng mga linyang ito, kinakailangan na baguhin ang orthogonal projection upang ang mga linya ay maging parallel sa projection plane. Gamitin natin ang paraan ng pag-ikot sa paligid ng linya ng antas - pahalang. Gumuhit tayo ng isang arbitrary na frontal projection ng pahalang na h2 na kahanay sa axis ng Ox, na nagsa-intersect sa mga linya sa mga punto 12 at 22. Nang matukoy ang mga projection 11 at 11, bumuo kami ng pahalang na projection ng pahalang na h1 . Ang trajectory ng paggalaw ng lahat ng mga punto sa panahon ng pag-ikot sa pahalang ay isang bilog na naka-project sa P1 plane sa anyo ng isang tuwid na linya na patayo sa pahalang na projection ng pahalang.

Figure 8.3 Pagtukoy ng anggulo sa pagitan ng mga intersecting na linya, pag-ikot sa paligid ng isang axis na parallel sa horizontal projection plane

Kaya, ang tilapon ng punto K1 ay tinutukoy ng tuwid na linya K1O1, ang punto O ay ang sentro ng bilog - ang mga tilapon ng punto K. Upang mahanap ang radius ng bilog na ito, nakita namin ang natural na halaga ng segment KO sa pamamagitan ng paraan ng tatsulok. Ang puntong K "1 ay tumutugma sa puntong K, kapag ang mga linya a at b ay nasa isang eroplanong kahanay sa P1 at iginuhit sa pahalang - ang axis ng pag-ikot. Sa pag-iisip na ito, gumuhit kami ng mga tuwid na linya sa pamamagitan ng puntong K "1 at mga puntos na 11 at 21, na ngayon ay nasa isang eroplanong parallel sa P1, at samakatuwid ang anggulo ng phi ay ang natural na halaga ng anggulo sa pagitan ng mga linya a at b.

Paraan para sa pagpapalit ng mga projection plane

Ang pagbabago ng relatibong posisyon ng inaasahang figure at ang projection plane sa pamamagitan ng pagpapalit ng projection plane ay makakamit sa pamamagitan ng pagpapalit ng P1 at P2 na eroplano ng bagong P4 na eroplano (Fig. 8.4). Ang mga bagong eroplano ay pinili patayo sa mga luma. Ang ilang mga pagbabago sa projection ay nangangailangan ng dobleng pagpapalit ng mga projection planes (Larawan 8.5). Ang sunud-sunod na paglipat mula sa isang sistema ng projection planes patungo sa isa pa ay dapat isagawa sa pamamagitan ng pagsunod sa sumusunod na panuntunan: ang distansya mula sa bagong point projection hanggang sa bagong axis ay dapat na katumbas ng distansya mula sa pinalitan na point projection sa pinalitan na axis.

Gawain 1: Tukuyin ang aktwal na sukat ng segment AB ng isang tuwid na linya sa pangkalahatang posisyon (Larawan 8.4). Mula sa pag-aari ng parallel projection, alam na ang isang segment ay naka-project sa isang eroplano sa buong laki kung ito ay parallel sa eroplanong ito. Pumili kami ng bagong projection plane P4, parallel sa segment AB at patayo sa plane P1. Sa pamamagitan ng pagpapakilala ng bagong eroplano, pumasa tayo mula sa sistema ng mga eroplanong P1P2 patungo sa sistemang P1P4, at sa bagong sistema ng mga eroplano, ang projection ng segment na A4B4 ay ang natural na halaga ng segment na AB.

Larawan 8.4. Pagpapasiya ng natural na sukat ng isang tuwid na linya ng segment sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga projection planes

Gawain 2: Tukuyin ang distansya mula sa punto C hanggang sa isang linya sa pangkalahatang posisyon na ibinigay ng segment AB (Larawan 8.5).

Larawan 8.5. Pagpapasiya ng natural na sukat ng isang tuwid na linya ng segment sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga projection planes

anyo ng salita	Graphic na anyo
1. Itabi sa X, Y, Ζ axes ang kaukulang mga coordinate ng point A. Nakukuha namin ang mga puntos A x , A y , A z
2. Ang pahalang na projection A 1 ay matatagpuan sa intersection ng mga linya ng komunikasyon mula sa mga puntong A x at A y na iginuhit parallel sa X at Y axes
3. Ang frontal projection A 2 ay matatagpuan sa intersection ng mga linya ng komunikasyon mula sa mga puntong A x at A z, na iginuhit parallel sa mga axes X at z
4. Ang projection ng profile A 3 ay matatagpuan sa intersection ng mga linya ng komunikasyon mula sa mga puntong A z at A y na iginuhit parallel sa mga axes Ζ at Y

3.2. Posisyon ng punto na nauugnay sa mga projection planes

Ang posisyon ng isang punto sa espasyo na may kaugnayan sa mga projection planes ay tinutukoy ng mga coordinate nito. Tinutukoy ng X coordinate ang distansya ng punto mula sa P 3 plane (projection sa P 2 o P 1), ang Y coordinate - ang distansya mula sa P 2 plane (projection sa P 3 o P 1), ang Z coordinate - ang distansya mula sa P 1 plane (projection sa P 3 o P 2). Depende sa halaga ng mga coordinate na ito, maaaring sakupin ng isang punto ang parehong pangkalahatan at isang partikular na posisyon sa espasyo na may paggalang sa mga projection planes (Larawan 3.1).

kanin. 3.1. Pag-uuri ng punto

Tpuntospangkalahatanmga probisyon. Ang mga coordinate ng isang punto sa pangkalahatang posisyon ay hindi katumbas ng zero ( x≠0, y≠0, z≠0 ), at depende sa tanda ng coordinate, ang punto ay matatagpuan sa isa sa walong octants (Talahanayan 2.1).

Sa fig. 3.2 Ang mga guhit ng mga puntos sa pangkalahatang posisyon ay ibinigay. Ang pagsusuri ng kanilang mga larawan ay nagbibigay-daan sa amin upang tapusin na sila ay matatagpuan sa mga sumusunod na octants ng espasyo: A(+X;+Y; +Z(  Ioctant;B(+X;+Y;-Z(  IVoctant;C(-X;+Y; +Z(  Voctant;D(+X;+Y; +Z(  IIoctant.

Mga punto ng pribadong posisyon. Ang isa sa mga coordinate ng isang partikular na punto ng posisyon ay katumbas ng zero, kaya ang projection ng punto ay namamalagi sa kaukulang projection field, ang iba pang dalawa ay nasa projection axes. Sa fig. 3.3 ang mga nasabing puntos ay mga puntos A, B, C, D, G.A  P 3, pagkatapos ay ang punto X A \u003d 0; AT  P 3, pagkatapos ay ang punto X B \u003d 0; Sa  P 2, pagkatapos ay ituro ang Y C \u003d 0; D  P 1, pagkatapos ay ituro ang Z D \u003d 0.

Ang isang punto ay maaaring kabilang sa dalawang projection plane nang sabay-sabay, kung ito ay nasa linya ng intersection ng mga eroplanong ito - ang projection axis. Para sa mga naturang punto, tanging ang coordinate sa axis na ito ay hindi katumbas ng zero. Sa fig. 3.3, ang gayong punto ay ang puntong G(G  OZ, pagkatapos ay ituro ang X G =0, Y G =0).

3.3. Parehong posisyon ng mga puntos sa espasyo

Isaalang-alang natin ang tatlong mga pagpipilian para sa magkaparehong pag-aayos ng mga puntos depende sa ratio ng mga coordinate na tumutukoy sa kanilang posisyon sa espasyo.

Sa fig. 3.4 puntos A at B ay may magkaibang mga coordinate.

Ang kanilang kamag-anak na posisyon ay maaaring matantya sa pamamagitan ng distansya sa projection planes: Y A >Y B, pagkatapos ay ang point A ay matatagpuan mas malayo mula sa plane P 2 at mas malapit sa observer kaysa sa point B; Z A >Z B, pagkatapos ay ang punto A ay matatagpuan mas malayo mula sa eroplano P 1 at mas malapit sa tagamasid kaysa sa punto B; X A

Sa fig. Ang 3.5 ay nagpapakita ng mga puntos A, B, C, D, kung saan ang isa sa mga coordinate ay pareho, at ang iba pang dalawa ay magkaiba.

Ang kanilang kamag-anak na posisyon ay maaaring matantya sa pamamagitan ng kanilang distansya sa mga projection planes tulad ng sumusunod:

Y A \u003d Y B \u003d Y D, pagkatapos ay ang mga punto A, B at D ay katumbas ng layo mula sa eroplano P 2, at ang kanilang mga pahalang at profile projection ay matatagpuan ayon sa pagkakabanggit sa mga linya [A 1 B 1 ]llOX at [A 3 B 3 ]llOZ . Ang locus ng naturang mga punto ay isang eroplanong parallel sa П 2 ;

Z A \u003d Z B \u003d Z C, pagkatapos ay ang mga puntong A, B at C ay katumbas ng layo mula sa eroplano P 1, at ang kanilang mga frontal at profile projection ay matatagpuan ayon sa pagkakabanggit sa mga linya [A 2 B 2 ]llOX at [A 3 C 3 ]llOY . Ang locus ng naturang mga punto ay isang eroplanong parallel sa П 1 ;

X A \u003d X C \u003d X D, pagkatapos ay ang mga puntos na A, C at D ay katumbas ng layo mula sa eroplano P 3 at ang kanilang pahalang at pangharap na mga projection ay matatagpuan ayon sa pagkakabanggit sa mga linya [A 1 C 1 ]llOY at [A 2 D 2 ]llOZ . Ang locus ng naturang mga punto ay isang eroplanong parallel sa П 3 .

3. Kung ang mga punto ay may dalawang coordinate ng parehong pangalan, kung gayon sila ay tinatawag nakikipagkumpitensya. Ang mga nakikipagkumpitensyang punto ay matatagpuan sa parehong linya ng projecting. Sa fig. 3.3 tatlong pares ng naturang mga puntos ang ibinibigay, kung saan: X A \u003d X D; Y A = Y D ; Z D > Z A; X A = X C ; Z A = Z C ; Y C > Y A ; Y A = Y B ; Z A = Z B ; X B > X A .

Mayroong pahalang na nakikipagkumpitensya na mga puntos na A at D na matatagpuan sa pahalang na projecting line AD, frontally nakikipagkumpitensya na mga punto A at C na matatagpuan sa frontally projecting line AC, profile na nakikipagkumpitensya na mga punto A at B na matatagpuan sa profile projecting line AB.

Konklusyon sa paksa

1. Ang punto ay isang linear na geometric na imahe, isa sa mga pangunahing konsepto ng descriptive geometry. Ang posisyon ng isang punto sa espasyo ay maaaring matukoy sa pamamagitan ng mga coordinate nito. Ang bawat isa sa tatlong projection ng isang punto ay nailalarawan sa pamamagitan ng dalawang coordinate, ang kanilang pangalan ay tumutugma sa mga pangalan ng mga axes na bumubuo sa kaukulang projection plane: pahalang - A 1 (XA; YA); pangharap - A 2 (XA; ZA); profile - A 3 (YA; ZA). Ang pagsasalin ng mga coordinate sa pagitan ng mga projection ay isinasagawa gamit ang mga linya ng komunikasyon. Mula sa dalawang projection, maaari kang bumuo ng mga projection ng isang punto gamit ang mga coordinate o graphical.

3. Ang isang punto na may kaugnayan sa projection na mga eroplano ay maaaring sumakop sa parehong pangkalahatan at isang partikular na posisyon sa kalawakan.

4. Ang isang punto sa pangkalahatang posisyon ay isang punto na hindi nabibilang sa alinman sa mga projection plane, ibig sabihin, nasa espasyo sa pagitan ng projection planes. Ang mga coordinate ng isang punto sa pangkalahatang posisyon ay hindi katumbas ng zero (x≠0,y≠0,z≠0).

5. Ang isang punto ng pribadong posisyon ay isang punto na kabilang sa isa o dalawang projection planes. Ang isa sa mga coordinate ng isang punto ng partikular na posisyon ay katumbas ng zero, kaya ang projection ng punto ay namamalagi sa kaukulang larangan ng projection plane, ang iba pang dalawa - sa mga axes ng projection.

6. Ang mga nakikipagkumpitensyang puntos ay mga puntos na ang mga coordinate ng parehong pangalan ay pareho. Mayroong pahalang na nakikipagkumpitensya na mga puntos, mga puntos na nakikipagkumpitensya sa harap, at mga puntos na nakikipagkumpitensya sa profile.

Mga keyword

Point coordinates

Pangkalahatang punto

Pribadong posisyon na punto

Mga puntos na nakikipagkumpitensya

Mga pamamaraan ng aktibidad na kinakailangan para sa paglutas ng mga problema

– pagbuo ng isang punto ayon sa ibinigay na mga coordinate sa sistema ng tatlong projection planes sa kalawakan;

– pagbuo ng isang punto ayon sa ibinigay na mga coordinate sa sistema ng tatlong projection planes sa kumplikadong pagguhit.

Mga tanong para sa pagsusuri sa sarili

1. Paano ang koneksyon ng lokasyon ng mga coordinate sa kumplikadong pagguhit sa sistema ng tatlong projection planes P 1 P 2 P 3 na may mga coordinate ng mga projection ng mga puntos na itinatag?

2. Anong mga coordinate ang tumutukoy sa distansya ng mga punto sa pahalang, frontal, profile projection planes?

3. Anong mga coordinate at projection ng punto ang magbabago kung ang punto ay gumagalaw sa direksyon na patayo sa profile plane ng mga projection П 3 ?

4. Anong mga coordinate at projection ng isang punto ang magbabago kung ang punto ay gumagalaw sa direksyong parallel sa OZ axis?

5. Anong mga coordinate ang tumutukoy sa pahalang (frontal, profile) na projection ng isang punto?

7. Sa anong kaso ang projection ng isang punto ay tumutugma sa punto sa kalawakan mismo, at saan matatagpuan ang iba pang dalawang projection ng puntong ito?

8. Maaari bang kabilang ang isang punto sa tatlong projection planes sa parehong oras, at sa anong kaso?

9. Ano ang mga pangalan ng mga punto na ang mga projection ng parehong pangalan ay nagtutugma?

10. Paano mo matutukoy kung alin sa dalawang punto ang mas malapit sa nagmamasid kung ang kanilang mga frontal projection ay magkakasabay?

Mga gawain para sa malayang solusyon

1. Magbigay ng biswal na imahe ng mga puntong A, B, C, D na nauugnay sa mga projection planes P 1, P 2. Ang mga puntos ay ibinibigay sa pamamagitan ng kanilang mga projection (Larawan 3.6).

2. Bumuo ng mga projection ng mga puntos A at B ayon sa kanilang mga coordinate sa isang visual na imahe at isang kumplikadong pagguhit: A (13.5; 20), B (6.5; -20). Bumuo ng projection ng point C, na matatagpuan simetriko sa point A na may kaugnayan sa frontal plane ng projection П 2 .

3. Bumuo ng mga projection ng mga puntos A, B, C ayon sa kanilang mga coordinate sa isang visual na imahe at isang kumplikadong pagguhit: A (-20; 0; 0), B (-30; -20; 10), C (-10, -15, 0 ). Bumuo ng punto D, na matatagpuan simetriko sa punto C na may paggalang sa axis ng OX.

Isang halimbawa ng paglutas ng karaniwang problema

Gawain 1. Ibinigay ang mga coordinate X, Y, Z ng mga puntos A, B, C, D, E, F (Talahanayan 3.3)

Upang makabuo ng mga larawan ng isang bilang ng mga detalye, kinakailangan upang mahanap ang mga projection ng mga indibidwal na puntos. Halimbawa, mahirap gumuhit ng tuktok na view ng bahagi na ipinapakita sa Fig. 139 nang hindi nagtatayo ng mga pahalang na projection ng mga punto A, B, C, D, E, F, atbp.

Ang problema sa paghahanap ng mga projection ng mga puntos sa pamamagitan ng isang ibinigay sa ibabaw ng bagay ay malulutas bilang mga sumusunod. Una, ang mga projection ng ibabaw kung saan matatagpuan ang punto ay matatagpuan. Pagkatapos, ang pagguhit ng isang linya ng koneksyon sa projection, kung saan ang ibabaw ay kinakatawan ng isang linya, ang pangalawang projection ng punto ay matatagpuan. Ang ikatlong projection ay nasa intersection ng mga linya ng komunikasyon.

Isaalang-alang ang isang halimbawa.

Tatlong projection ng bahagi ang ibinigay (Larawan 140, a). Ang pahalang na projection a ng punto A na nakahiga sa nakikitang ibabaw ay ibinigay. Kailangan nating hanapin ang iba pang mga projection ng puntong ito.

Una sa lahat, kailangan mong gumuhit ng isang pantulong na linya. Kung ang dalawang view ay ibinigay, kung gayon ang lugar ng auxiliary line sa pagguhit ay pinili nang arbitraryo, sa kanan ng tuktok na view, upang ang view sa kaliwa ay nasa kinakailangang distansya mula sa pangunahing view (Larawan 141).

Kung ang tatlong view ay naitayo na (Larawan 142, a), kung gayon ang lugar ng auxiliary line ay hindi maaaring basta-basta mapili; kailangan mong hanapin ang punto kung saan ito dadaan. Upang gawin ito, sapat na upang magpatuloy hanggang sa magkaparehong intersection ng pahalang at profile projection ng axis ng simetrya at sa pamamagitan ng nagresultang punto k (Larawan 142, b) gumuhit ng isang tuwid na segment ng linya sa isang anggulo ng 45 °, na kung saan ay magiging pantulong na tuwid na linya.

Kung walang mga axes ng simetrya, pagkatapos ay magpatuloy hanggang sa intersection sa punto k 1 pahalang at profile projection ng anumang mukha na inaasahang sa anyo ng mga tuwid na mga segment ng linya (Fig. 142, b).

Ang pagkakaroon ng pagguhit ng isang pantulong na tuwid na linya, nagsisimula silang bumuo ng mga projection ng punto (tingnan ang Fig. 140, b).

Ang frontal a" at profile a" na mga projection ng point A ay dapat na matatagpuan sa mga katumbas na projection ng surface kung saan nabibilang ang point A. Ang mga projection na ito ay matatagpuan. Sa fig. 140, b sila ay naka-highlight sa kulay. Gumuhit ng mga linya ng komunikasyon gaya ng ipinahiwatig ng mga arrow. Sa mga intersection ng mga linya ng komunikasyon na may mga projection ng ibabaw, ang nais na mga projection a" at a" ay matatagpuan.

Ang pagtatayo ng mga projection ng mga puntos B, C, D ay ipinapakita sa fig. 140, sa mga linya ng komunikasyon na may mga arrow. Ang mga ibinigay na projection ng mga puntos ay may kulay. Ang mga linya ng komunikasyon ay iginuhit sa projection kung saan ang ibabaw ay inilalarawan bilang isang linya, at hindi bilang isang pigura. Samakatuwid, ang frontal projection mula sa puntong C ay unang natagpuan. Ang profile projection mula sa punto C ay tinutukoy ng intersection ng mga linya ng komunikasyon.

Kung ang ibabaw ay hindi inilalarawan ng isang linya sa anumang projection, kung gayon ang isang auxiliary plane ay dapat gamitin upang bumuo ng mga projection ng mga puntos. Halimbawa, ang isang frontal projection d ng point A ay ibinigay, na nakahiga sa ibabaw ng isang kono (Larawan 143, a). Ang isang pantulong na eroplano ay iginuhit sa pamamagitan ng isang punto na kahanay sa base, na magsa-intersect sa kono sa isang bilog; ang frontal projection nito ay isang straight line segment, at ang horizontal projection nito ay isang bilog na may diameter na katumbas ng haba ng segment na ito (Fig. 143, b). Sa pamamagitan ng pagguhit ng linya ng komunikasyon sa bilog na ito mula sa punto a, ang isang pahalang na projection ng punto A ay nakuha.

Ang profile projection a" ng point A ay matatagpuan sa karaniwang paraan sa intersection ng mga linya ng komunikasyon.

Sa parehong paraan, mahahanap ng isa ang mga projection ng isang punto na nakahiga, halimbawa, sa ibabaw ng isang pyramid o isang bola. Kapag ang isang pyramid ay na-intersect ng isang eroplanong parallel sa base at dumaan sa isang naibigay na punto, isang figure na katulad ng base ay nabuo. Ang mga projection ng ibinigay na punto ay nakasalalay sa mga projection ng figure na ito.

Sagutin ang mga tanong

1. Sa anong anggulo iginuhit ang auxiliary line?

2. Saan iginuhit ang auxiliary line kung ang mga front at top view ay ibinigay, ngunit kailangan mong bumuo ng view mula sa kaliwa?

3. Paano matukoy ang lugar ng auxiliary line sa pagkakaroon ng tatlong uri?

4. Ano ang paraan ng pagbuo ng mga projection ng isang punto ayon sa isang ibinigay na isa, kung ang isa sa mga ibabaw ng bagay ay kinakatawan ng isang linya?

5. Para sa anong mga geometric na katawan at sa anong mga kaso matatagpuan ang mga projection ng isang punto na ibinigay sa kanilang ibabaw gamit ang isang auxiliary plane?

Mga takdang-aralin sa § 20

Pagsasanay 68

Isulat sa workbook kung aling mga projection ng mga puntos na ipinahiwatig ng mga numero sa mga view ang tumutugma sa mga puntong ipinahiwatig ng mga titik sa visual na imahe sa halimbawang ipinahiwatig sa iyo ng guro (Larawan 144, a-d).

Pagsasanay 69

Sa fig. 145, a-b na mga titik ay nagpapahiwatig lamang ng isang projection ng ilan sa mga vertices. Hanapin sa halimbawang ibinigay sa iyo ng guro, ang natitirang mga projection ng mga vertex na ito at italaga ang mga ito ng mga titik. Buuin sa isa sa mga halimbawa ang mga nawawalang projection ng mga puntos na ibinigay sa mga gilid ng bagay (Larawan 145, d at e). I-highlight nang may kulay ang mga projection ng mga gilid kung saan matatagpuan ang mga punto. Kumpletuhin ang gawain sa transparent na papel, na i-overlay ito sa pahina ng aklat-aralin. Hindi na kailangang i-redraw ang Fig. 145.

Pagsasanay 70

Hanapin ang mga nawawalang projection ng mga puntos na ibinigay ng isang projection sa mga nakikitang ibabaw ng bagay (Fig. 146). Lagyan sila ng mga titik. I-highlight ang ibinigay na mga projection ng mga puntos na may kulay. Ang isang visual na imahe ay makakatulong sa iyo na malutas ang problema. Ang gawain ay maaaring makumpleto pareho sa isang workbook at sa transparent na papel, na naka-overlay sa pahina ng aklat-aralin. Sa huling kaso, i-redraw ang Fig. 146 ay hindi kailangan.

Pagsasanay 71

Sa halimbawang ibinigay sa iyo ng guro, gumuhit ng tatlong uri (Larawan 147). Buuin ang mga nawawalang projection ng mga puntos na ibinigay sa mga nakikitang ibabaw ng bagay. I-highlight ang ibinigay na mga projection ng mga puntos na may kulay. Lagyan ng label ang lahat ng projection ng punto. Upang bumuo ng mga projection ng mga puntos, gumamit ng isang pantulong na tuwid na linya. Gumawa ng isang teknikal na pagguhit at markahan ang mga ibinigay na puntos dito.

PROJECTION NG ISANG PUNTO SA DALAWANG EROYO NG PROJECTION

Ang pagbuo ng isang tuwid na linya ng segment AA 1 ay maaaring kinakatawan bilang isang resulta ng paglipat ng point A sa anumang eroplano H (Fig. 84, a), at ang pagbuo ng isang eroplano ay maaaring kinakatawan bilang isang displacement ng isang tuwid na linya segment AB ( Larawan 84, b).

Ang isang punto ay ang pangunahing geometric na elemento ng isang linya at ibabaw, kaya ang pag-aaral ng rectangular projection ng isang bagay ay nagsisimula sa pagbuo ng mga rectangular projection ng isang punto.

Sa espasyo ng anggulo ng dihedral na nabuo ng dalawang patayo na eroplano - ang frontal (vertical) na eroplano ng mga projection V at ang pahalang na eroplano ng mga projection H, inilalagay namin ang punto A (Larawan 85, a).

Ang linya ng intersection ng projection planes ay isang tuwid na linya, na tinatawag na projection axis at tinutukoy ng letrang x.

Ang V plane ay ipinapakita dito bilang isang parihaba, at ang H plane bilang isang paralelogram. Ang hilig na bahagi ng parallelogram na ito ay karaniwang iginuhit sa isang anggulo na 45° sa pahalang na bahagi nito. Ang haba ng hilig na bahagi ay kinukuha na katumbas ng 0.5 ng aktwal na haba nito.

Mula sa puntong A, ang mga patayo ay ibinababa sa mga eroplanong V at H. Ang mga punto a "at a ng intersection ng mga patayo sa mga eroplanong projection na V at H ay mga parihaba na projection ng punto A. Ang figure na Aaa x a" sa espasyo ay isang parihaba. Ang gilid na palakol ng parihaba na ito sa visual na imahe ay nababawasan ng 2 beses.

Ihanay natin ang H plane sa V plane sa pamamagitan ng pag-ikot ng V sa paligid ng linya ng intersection ng x plane. Ang resulta ay isang kumplikadong pagguhit ng punto A (Larawan 85, b)

Upang gawing simple ang kumplikadong pagguhit, ang mga hangganan ng projection plane V at H ay hindi ipinahiwatig (Larawan 85, c).

Ang mga perpendicular na iginuhit mula sa punto A hanggang sa mga projection planes ay tinatawag na projecting lines, at ang mga base ng projecting lines na ito - mga punto a at a "ay tinatawag na projection ng point A: a" ay ang frontal projection ng point A, a ay ang pahalang na projection ng punto A.

Ang linya ng "a ay tinatawag na patayong linya ng koneksyon ng projection.

Ang lokasyon ng projection ng isang punto sa isang kumplikadong pagguhit ay nakasalalay sa posisyon ng puntong ito sa espasyo.

Kung ang punto A ay namamalagi sa pahalang na projection plane H (Fig. 86, a), kung gayon ang pahalang na projection a ay tumutugma sa ibinigay na punto, at ang frontal projection a "ay matatagpuan sa axis. Kapag ang point B ay matatagpuan sa frontal projection eroplano V, ang frontal projection nito ay tumutugma sa puntong ito, at ang pahalang na projection ay nasa x-axis. Ang pahalang at frontal na projection ng isang naibigay na punto C, na nakahiga sa x-axis, ay tumutugma sa puntong ito. Isang kumplikadong pagguhit ng mga puntos A, B at C ay ipinapakita sa Fig. 86, b.

PROJECTION NG ISANG PUNTO SA TATLONG EROPLO NG MGA PROJECTION

Sa mga kaso kung saan imposibleng isipin ang hugis ng isang bagay mula sa dalawang projection, ito ay inaasahang papunta sa tatlong projection plane. Sa kasong ito, ang profile plane ng projections W ay ipinakilala, na patayo sa mga eroplano V at H. Ang isang visual na representasyon ng sistema ng tatlong projection planes ay ibinibigay sa fig. 87 a.

Ang mga gilid ng isang trihedral na anggulo (ang intersection ng projection planes) ay tinatawag na projection axes at tinutukoy ng x, y at z. Ang intersection ng projection axes ay tinatawag na simula ng projection axes at tinutukoy ng letrang O. Let us drop the perpendicular from point A to the projection plane W and, marking the base of the perpendicular with the letter a, we will makuha ang profile projection ng point A.

Upang makakuha ng isang kumplikadong pagguhit, ang mga puntong A ng H at W na mga eroplano ay nakahanay sa V plane, pinaikot ang mga ito sa paligid ng Ox at Oz axes. Ang isang kumplikadong pagguhit ng punto A ay ipinapakita sa fig. 87b at c.

Ang mga segment ng projecting lines mula sa point A hanggang sa projection planes ay tinatawag na coordinate ng point A at denoted: x A, y A at z A.

Halimbawa, ang coordinate z A ng point A, katumbas ng segment a "a x (Fig. 88, a at b), ay ang distansya mula sa point A hanggang sa horizontal projection plane H. Ang coordinate sa point A, katumbas ng segment aa x, ay ang distansya mula sa point A hanggang sa frontal plane ng projections V. Ang x A coordinate na katumbas ng segment aa y ay ang distansya mula sa point A hanggang sa profile plane ng projections W.

Kaya, ang distansya sa pagitan ng projection ng isang punto at ang projection axis ay tumutukoy sa mga coordinate ng punto at ang susi sa pagbabasa ng kumplikadong pagguhit nito. Sa pamamagitan ng dalawang projection ng isang punto, lahat ng tatlong coordinate ng isang punto ay maaaring matukoy.

Kung ang mga coordinate ng point A ay ibinigay (halimbawa, x A \u003d 20 mm, y A \u003d 22 mm at z A \u003d 25 mm), pagkatapos ay tatlong projection ng puntong ito ang maaaring itayo.

Upang gawin ito, mula sa pinanggalingan ng mga coordinate O sa direksyon ng Oz axis, ang coordinate z A ay inilatag at ang coordinate y A ay inilatag. mga segment na katumbas ng x coordinate A. Ang mga resultang puntos ay "at a ay ang frontal at horizontal projection ng point A.

Ayon sa dalawang projection a "at a ng point A, ang profile projection nito ay maaaring itayo sa tatlong paraan:

1) mula sa pinanggalingan O, ang isang auxiliary arc ay iginuhit na may radius Oa y katumbas ng coordinate (Larawan 87, b at c), mula sa nakuha na punto a y1 gumuhit ng isang tuwid na linya na kahanay sa Oz axis, at maglagay ng isang segment na katumbas ng z A;

2) mula sa puntong a y, ang isang pantulong na tuwid na linya ay iguguhit sa isang anggulo na 45 ° sa axis Oy (Larawan 88, a), isang punto a y1 ay nakuha, atbp.;

3) mula sa pinagmulan O, ang isang pantulong na tuwid na linya ay iginuhit sa isang anggulo ng 45 ° sa axis Oy (Larawan 88, b), isang punto a y1 ay nakuha, atbp.

MGA PROYEKSYON NG PUNTOS.

ORTHOGONAL SYSTEM NG DALAWANG EROPLO NG PROJECTIONS.

Ang kakanyahan ng pamamaraan ng orthogonal projection ay nakasalalay sa katotohanan na ang bagay ay naka-project sa dalawang magkaparehong patayo na mga eroplano sa pamamagitan ng mga sinag na orthogonal (patayo) sa mga eroplanong ito.

Ang isa sa mga projection plane H ay inilalagay nang pahalang, at ang isa pang V ay inilalagay nang patayo. Ang eroplano H ay tinatawag na pahalang na eroplano ng mga projection, V - frontal. Ang mga eroplano H at V ay walang hanggan at malabo. Ang linya ng intersection ng projection planes ay tinatawag na coordinate axis at denoted OX. Hinahati ng mga projection plane ang espasyo sa apat na dihedral na anggulo - quarters.

Isinasaalang-alang ang mga orthogonal projection, ipinapalagay na ang observer ay nasa unang quarter sa isang walang katapusang malaking distansya mula sa mga projection planes. Dahil ang mga eroplanong ito ay malabo, tanging ang mga punto, linya at figure na nasa loob ng parehong unang quarter lamang ang makikita ng nagmamasid.

Kapag gumagawa ng mga projection, kinakailangang tandaan iyon point orthogonal projectionsa isang eroplano ay tinatawag na base ng patayo na bumaba mula sa isang naibigay na puntosa eroplanong ito.

Ipinapakita ng figure ang tuldok PERO at ang mga orthogonal projection nito a 1 at a 2 .

punto a 1 tinawag view ng plano puntos PERO, punto a 2- kanya projection sa harap. Ang bawat isa sa kanila ay ang base ng patayo na bumaba mula sa punto PERO ayon sa pagkakasunod sa eroplano H at V.

Mapapatunayan na point projectionpalaging matatagpuan sa mga tuwid na linya, patayocular axisOH at tumatawid sa axis na itosa parehong punto. Sa katunayan, projecting rays PEROa 1 at PEROa 2 tukuyin ang isang eroplanong patayo sa mga eroplano ng mga projection at ang mga linya ng kanilang intersection - axes OH. Nag-intersect ang eroplanong ito H at V sa mga tuwid na linya isang 1 ax at isang 1 ax, na bumubuo sa axis OX at sa bawat isa ng mga tamang anggulo na may vertex sa isang punto ax.

Ang kabaligtaran ay totoo rin, i.e. kung ang mga puntos ay ibinigay sa projection planesa 1 at a 2 , na matatagpuan sa mga tuwid na linya na nagsasalubong aksis OXsa puntong ito sa tamang anggulo,pagkatapos sila ay mga projection ng ilanpuntos A. Ang puntong ito ay tinutukoy ng intersection ng mga perpendicular na binuo mula sa mga punto a 1 at a 2 sa mga eroplano H at V.

Tandaan na maaaring iba ang posisyon ng mga projection planes sa kalawakan. Halimbawa, ang parehong mga eroplano, na magkaparehong patayo, ay maaaring patayo. Ngunit sa kasong ito, ang pagpapalagay sa itaas tungkol sa oryentasyon ng magkasalungat na mga projection ng mga puntos na nauugnay sa axis ay nananatiling wasto.

Upang makakuha ng flat drawing na binubuo ng mga projection sa itaas, ang eroplano H nakahanay sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng isang axis OX may eroplano V tulad ng ipinapakita ng mga arrow sa figure. Bilang isang resulta, ang harap na kalahating eroplano H ay ihahanay sa lower half-plane V, at ang likurang kalahating eroplano H- may upper half-plane V.

Ang isang projection drawing, kung saan ang projection planes kasama ang lahat ng bagay na inilalarawan sa kanila, ay pinagsama sa isang tiyak na paraan sa isa't isa, ay tinatawag dayagram(mula sa French epure - pagguhit). Ang figure ay nagpapakita ng isang diagram ng isang punto PERO.

Sa ganitong paraan ng pagsasama-sama ng mga eroplano H at V projection a 1 at a 2 ay matatagpuan sa parehong patayo sa axis OX. At the same time, ang layo a 1 isang x — mula sa pahalang na projection ng punto hanggang sa axis OX PERO hanggang sa eroplano V, at ang layo a 2 isang x — mula sa frontal projection ng punto hanggang sa axis OX katumbas ng distansya mula sa punto PERO hanggang sa eroplano H.

Mga tuwid na linya na nagkokonekta sa magkasalungat na projection ng isang punto sa plot, sumasang-ayon kaming tumawag mga linya ng komunikasyon ng projection.

Ang posisyon ng mga projection ng mga puntos sa diagram ay depende sa quarter kung saan matatagpuan ang ibinigay na punto. Kaya kung ang punto AT ay matatagpuan sa ikalawang quarter, pagkatapos pagkatapos ng pagkakahanay ng mga eroplano, ang parehong mga projection ay nasa itaas ng axis OX.

Kung punto Sa ay nasa ikatlong quarter, pagkatapos ang pahalang na projection nito pagkatapos ng pagkakahanay ng mga eroplano ay nasa itaas ng axis, at ang frontal projection ay nasa ibaba ng axis OX. Sa wakas, kung ang punto D na matatagpuan sa ikaapat na quarter, pagkatapos ang parehong mga projection nito ay nasa ilalim ng axis OX. Ipinapakita ng figure ang mga puntos M at N nakahiga sa mga projection planes. Sa posisyong ito, ang punto ay tumutugma sa isa sa mga projection nito, habang ang isa pang projection nito ay lumabas na nakahiga sa axis OX. Ang tampok na ito ay makikita rin sa pagtatalaga: malapit sa projection kung saan ang punto mismo ay nag-tutugma, ang isang malaking titik ay nakasulat nang walang index.

Dapat ding tandaan na ang kaso kapag ang parehong mga projection ng punto ay nag-tutugma. Mangyayari ito kung ang punto ay nasa ikalawa o ikaapat na quarter sa parehong distansya mula sa mga projection planes. Ang parehong mga projection ay pinagsama sa mismong punto, kung ang huli ay matatagpuan sa axis OX.

ORTHOGONAL SYSTEM NG TATLONG EROPLO NG MGA PROYEKSYON.

Ipinakita sa itaas na ang dalawang projection ng isang punto ay tumutukoy sa posisyon nito sa kalawakan. Dahil ang bawat pigura o katawan ay isang koleksyon ng mga puntos, maaari itong pagtalunan na ang dalawang orthogonal projection ng isang bagay (sa pagkakaroon ng mga pagtatalaga ng titik) ay ganap na tinutukoy ang hugis nito.

Gayunpaman, sa pagsasanay ng pagpapakita ng mga istruktura ng gusali, mga makina at iba't ibang mga istruktura ng inhinyero, kinakailangan na lumikha ng mga karagdagang projection. Ginagawa nila ito para sa tanging layunin na gawing mas malinaw, mas nababasa ang projection drawing.

Ang modelo ng tatlong projection planes ay ipinapakita sa figure. Ang ikatlong eroplano, patayo at H at V, na tinutukoy ng liham W at tinawag profile.

Ang mga projection ng mga punto sa eroplanong ito ay tatawagin ding profile, at ang mga ito ay tinutukoy ng malalaking titik o numero na may index 3 (ah,bh,ch,...1h, 2h, 3 3 ...).

Ang mga projection plane, na nagsa-intersecting sa mga pares, ay tumutukoy sa tatlong axes: OX, OY at OZ, na maaaring ituring bilang isang sistema ng hugis-parihaba na mga coordinate ng Cartesian sa espasyo na may pinagmulan sa puntong O. Ang sistema ng mga palatandaan na ipinahiwatig sa figure ay tumutugma sa "tamang sistema" ng mga coordinate.

Tatlong projection plane ang naghahati sa espasyo sa walong trihedral na anggulo - ito ang tinatawag octants. Ang bilang ng mga octants ay ibinibigay sa figure.

Upang makakuha ng isang plot ng isang eroplano H at W paikutin tulad ng ipinapakita sa figure hanggang sa nakahanay sa eroplano V. Bilang resulta ng pag-ikot, ang harap na kalahating eroplano H lumalabas na nakahanay sa lower half-plane V, at ang likurang kalahating eroplano H- may upper half-plane V. Kapag pinaikot 90° sa paligid ng axis OZ harap kalahating eroplano W coincides sa kanang kalahating eroplano V, at ang likurang kalahating eroplano W- kasama ang kaliwang kalahating eroplano V.

Ang huling view ng lahat ng pinagsamang projection planes ay ibinibigay sa figure. Sa pagguhit na ito, ang mga palakol OX at OZ, nakahiga sa isang nakapirming eroplano V, ay ipinapakita nang isang beses lamang, at ang axis OY ipinakita ng dalawang beses. Ito ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng ang katunayan na, umiikot sa eroplano H, aksis OY sa diagram ay nakahanay sa axis OZ, habang umiikot sa eroplano W, ang parehong axis ay nakahanay sa axis OX.

Sa hinaharap, kapag itinalaga ang mga axes sa diagram, ang mga negatibong semiaxes (- OX, — OY, — OZ) ay hindi ipahiwatig.

TATLONG COORDINATES AT TATLONG PROJECTIONS NG ISANG PUNTO AT RADIUS-VECTOR NITO.

Ang mga coordinate ay mga numero nailagay sa sulat na may isang punto upang matukoyniya ng posisyon nito sa kalawakan o saibabaw.

Sa tatlong-dimensional na espasyo, ang posisyon ng isang punto ay itinakda gamit ang hugis-parihaba na mga coordinate ng Cartesian x, y at z.

Coordinate X tinawag abscissa, sa— ordinate at z — applique. Abscissa X tumutukoy sa distansya mula sa isang naibigay na punto sa isang eroplano W, ordinate y - hanggang sa eroplano V at applique z - hanggang sa eroplano H. Ang pagkakaroon ng pinagtibay ang sistema na ipinapakita sa figure para sa pagbibilang ng mga coordinate ng isang punto, bubuo kami ng isang talahanayan ng mga palatandaan ng mga coordinate sa lahat ng walong octants. Anumang punto sa kalawakan PERO, na ibinigay ng mga coordinate, ay ilalarawan bilang sumusunod: A(x, y,z).

Kung x = 5, y = 4 at z = 6, ang entry ay kukuha ng sumusunod na form PERO(5, 4, 6). Ang puntong ito PERO, lahat ng mga coordinate na positibo, ay nasa unang octant

Point coordinates PERO ay, sa parehong oras, ang mga coordinate ng radius-vector nito

OA may kinalaman sa pinagmulan ng mga coordinate. Kung ang i, j, k ay mga unit vector na nakadirekta ayon sa pagkakasunod-sunod sa mga coordinate axes x, y,z(larawan), pagkatapos

OA =OA x i+OAyj + OAzk , saan OA X, OA U, OA g - mga coordinate ng vector OA

Inirerekomenda na bumuo ng isang imahe ng punto mismo at ang mga projection nito sa isang spatial na modelo (figure) gamit ang isang coordinate na parihabang parallelepiped. Una sa lahat, sa coordinate axes mula sa punto O ipagpaliban ang mga segment, ayon sa pagkakabanggit ay pantay 5, 4 at 6 mga yunit ng haba. Sa mga segment na ito (Oisang x , Oisang y , Oisang z ), tulad ng sa mga gilid, bumuo ng isang hugis-parihaba na parallelepiped. Ang vertex nito, sa tapat ng pinanggalingan, ay tutukuyin ang ibinigay na punto PERO. Ito ay madaling makita na upang matukoy ang punto PERO ito ay sapat na upang bumuo lamang ng tatlong mga gilid ng parallelepiped, halimbawa Oisang x , isang x a 1 at a 1 PERO o Oisang y , a y a 1 at a 1 A Ang mga gilid na ito ay bumubuo ng isang coordinate polyline, ang haba ng bawat link na kung saan ay tinutukoy ng kaukulang coordinate ng punto.

Gayunpaman, ang pagtatayo ng isang parallelepiped ay nagpapahintulot sa amin na matukoy hindi lamang ang punto PERO, kundi pati na rin ang lahat ng tatlong orthogonal projection nito.

Mga sinag na nagpapalabas ng isang punto sa isang eroplano H, V, W ay ang tatlong gilid ng parallelepiped na nagsalubong sa punto PERO.

Ang bawat isa sa mga orthogonal projection ng punto PERO, na matatagpuan sa isang eroplano, ay tinutukoy ng dalawang coordinate lamang.

Oo, ang pahalang na projection a 1 tinutukoy ng mga coordinate X at y, projection sa harap a 2 - mga coordinate x atz, projection ng profile a 3 — mga coordinate sa at z. Ngunit ang anumang dalawang projection ay tinutukoy ng tatlong coordinate. Iyon ang dahilan kung bakit ang pagtukoy ng isang punto na may dalawang projection ay katumbas ng pagtukoy ng isang punto na may tatlong coordinate.

Sa diagram (figure), kung saan pinagsama ang lahat ng mga projection plane, ang mga projection a 1 at a 2 ay nasa parehong patayo sa axis OX, at mga projection a 2 at a 3 — isang patayo sa axis oz.

Tulad ng para sa mga projection a 1 at a 3 , pagkatapos sila ay konektado sa pamamagitan ng mga tuwid na linya a 1 isang y at a 3 isang y , patayo sa axis OY. Ngunit dahil ang axis na ito ay sumasakop sa dalawang posisyon sa diagram, ang segment a 1 isang y hindi maaaring isang pagpapatuloy ng isang segment a 3 isang y .

Konstruksyon ng mga point projection A (5, 4, 6) sa diagram sa ibinigay na mga coordinate, ang mga ito ay ginanap sa sumusunod na pagkakasunud-sunod: una sa lahat, sa abscissa axis mula sa pinanggalingan, ang isang segment ay inilatag Oisang x = x(sa kaso natin x =5), pagkatapos ay sa pamamagitan ng tuldok isang x gumuhit patayo sa axis OX, kung saan, isinasaalang-alang ang mga palatandaan, ipinagpaliban namin ang mga segment isang x a 1 = y(nakuha namin a 1 ) at isang x a 2 = z(nakuha namin a 2 ). Nananatili itong bumuo ng projection ng profile ng punto a 3 . Dahil ang profile at frontal projection ng punto ay dapat na matatagpuan sa parehong patayo sa axis oz , pagkatapos ay sa pamamagitan ng a 3 direkta a 2 isang z ^ oz.

Sa wakas, ang huling tanong ay lumitaw: sa anong distansya mula sa axis OZ dapat ay isang 3?

Isinasaalang-alang ang coordinate box (tingnan ang figure), ang mga gilid nito a z a 3 = O isang y = isang x a 1 = y napagpasyahan namin na ang nais na distansya a z a 3 katumbas y. Segment ng linya a z a 3 itabi sa kanan ng OZ axis kung y>0, at sa kaliwa kung y

Tingnan natin kung anong mga pagbabago ang magaganap sa balangkas kapag nagsimulang baguhin ng punto ang posisyon nito sa kalawakan.

Hayaan, halimbawa, ang isang punto A (5, 4, 6) ay lilipat sa isang tuwid na linya patayo sa eroplano V. Sa ganitong kilusan, isang coordinate lang ang magbabago y, nagpapakita ng distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano V. Ang mga coordinate ay mananatiling pare-pareho. x atz , at ang projection ng punto na tinukoy ng mga coordinate na ito, i.e. a 2 hindi magbabago ang kanyang posisyon.

Tulad ng para sa mga projection a 1 at a 3 , pagkatapos ay ang una ay magsisimulang lumapit sa axis OX, ang pangalawa - sa axis OZ. Sa mga figure, ang bagong posisyon ng punto ay tumutugma sa mga pagtatalaga a 1 (a 1 1 a 2 1 a 3 1 ). Kapag ang punto ay nasa eroplano V(y = 0), dalawa sa tatlong projection ( a 1 2 at a 3 2 ) ay hihiga sa mga palakol.

Lumipat mula sa ako octant sa II, ang punto ay magsisimulang lumayo sa eroplano V, coordinate sa nagiging negatibo, tataas ang absolute value nito. Ang pahalang na projection ng puntong ito, na matatagpuan sa likod na kalahating eroplano H, sa plot ay nasa itaas ng axis OX, at ang profile projection, na nasa likod na kalahating eroplano W, sa diagram ay nasa kaliwa ng axis OZ. Gaya ng dati, gupitin isang za 3 3 = y.

Sa kasunod na mga diagram, hindi namin tukuyin sa pamamagitan ng mga titik ang mga punto ng intersection ng mga coordinate axes na may mga linya ng koneksyon ng projection. Ito ay gawing simple ang pagguhit sa ilang mga lawak.

Sa hinaharap, magkakaroon ng mga diagram na walang coordinate axes. Ginagawa ito sa pagsasanay kapag naglalarawan ng mga bagay, kung kailan tanging ang imahe mismo ang mahalagabagay, hindi ang posisyon nito na may kaugnayan saprojection planes.

Ang mga projection planes sa kasong ito ay tinukoy na may katumpakan lamang hanggang sa parallel na pagsasalin (figure). Ang mga ito ay karaniwang inilipat parallel sa kanilang mga sarili sa paraang ang lahat ng mga punto ng bagay ay nasa itaas ng eroplano. H at sa harap ng eroplano V. Dahil ang posisyon ng X 12 axis ay lumalabas na hindi tiyak, ang pagbuo ng isang diagram sa kasong ito ay hindi kailangang iugnay sa pag-ikot ng mga eroplano sa paligid ng coordinate axis. Kapag lumipat sa isang plane plot H at V ay pinagsama upang ang kabaligtaran na mga projection ng mga punto ay matatagpuan sa mga patayong linya.

Walang aksis na plot ng mga puntos A at B(larawan) hinditinutukoy ang kanilang posisyon sa kalawakan,ngunit nagpapahintulot sa amin na hatulan ang kanilang kamag-anak na oryentasyon. Kaya, ang segment na △x ay nagpapakilala sa pag-aalis ng punto PERO kaugnay ng punto AT sa isang direksyon na parallel sa H at V na mga eroplano. Sa madaling salita, △x ay nagpapahiwatig kung gaano kalaki ang punto PERO matatagpuan sa kaliwa ng punto AT. Ang kamag-anak na offset ng punto sa direksyon na patayo sa V plane ay tinutukoy ng segment △y, i.e. ang punto At sa sa ating halimbawa, mas malapit sa nagmamasid kaysa sa punto SA, isang distansya na katumbas ng △y.

Sa wakas, ang segment na △z ay nagpapakita ng labis sa punto PERO sa ibabaw ng tuldok AT.

Ang mga tagapagtaguyod ng axisless na pag-aaral ng kurso ng descriptive geometry ay wastong itinuro na kapag nilutas ang maraming problema, magagawa ng isang tao nang walang coordinate axes. Gayunpaman, ang isang kumpletong pagtanggi sa kanila ay hindi maituturing na kapaki-pakinabang. Ang mapaglarawang geometry ay idinisenyo upang ihanda ang hinaharap na inhinyero hindi lamang para sa karampatang pagpapatupad ng mga guhit, kundi pati na rin para sa paglutas ng iba't ibang mga teknikal na problema, kung saan ang mga problema ng spatial statics at mechanics ay hindi sumasakop sa huling lugar. At para dito kinakailangan na linangin ang kakayahang i-orient ito o ang bagay na iyon na may kaugnayan sa mga cartesian coordinate axes. Kakailanganin din ang mga kasanayang ito kapag pinag-aaralan ang mga seksyon ng descriptive geometry bilang perspective at axonometry. Samakatuwid, sa isang bilang ng mga diagram sa aklat na ito, nagse-save kami ng mga larawan ng mga coordinate axes. Ang ganitong mga guhit ay tumutukoy hindi lamang sa hugis ng bagay, kundi pati na rin sa lokasyon nito na may kaugnayan sa mga projection plane.