Gawain 4.

Ang isa sa mga diagonal ng isang paralelogram na may haba na 4√6 ay gumagawa ng isang anggulo na 60° sa base, at ang pangalawang dayagonal ay gumagawa ng isang anggulo na 45° na may parehong base. Hanapin ang pangalawang dayagonal.

Desisyon.

1. AO = 2√6.

2. Ilapat ang sine theorem sa tatsulok na AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Sagot: 12.

Gawain 5.

Para sa isang paralelogram na may mga gilid na 5√2 at 7√2, ang mas maliit na anggulo sa pagitan ng mga dayagonal ay katumbas ng mas maliit na anggulo ng paralelogram. Hanapin ang kabuuan ng mga haba ng mga dayagonal.

Desisyon.

Hayaang ang d 1, d 2 ay ang mga diagonal ng parallelogram, at ang anggulo sa pagitan ng mga diagonal at ang mas maliit na anggulo ng parallelogram ay φ.

1. Magbilang tayo ng dalawang magkaibang
paraan ng lugar nito.

S ABCD \u003d AB AD kasalanan A \u003d 5√2 7√2 kasalanan f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD kasalanan AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 kasalanan f.

Nakukuha natin ang pagkakapantay-pantay 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f o

2 5√2 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Gamit ang ratio sa pagitan ng mga gilid at diagonal ng paralelogram, isinulat namin ang pagkakapantay-pantay

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Gumawa tayo ng sistema:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

I-multiply ang pangalawang equation ng system sa pamamagitan ng 2 at idagdag ito sa una.

Nakukuha namin ang (d 1 + d 2) 2 = 576. Samakatuwid Id 1 + d 2 I = 24.

Dahil ang d 1, ang d 2 ay ang mga haba ng mga diagonal ng parallelogram, kung gayon ang d 1 + d 2 = 24.

Sagot: 24.

Gawain 6.

Ang mga gilid ng paralelogram ay 4 at 6. Ang matinding anggulo sa pagitan ng mga dayagonal ay 45 o. Hanapin ang lugar ng paralelogram.

Desisyon.

1. Mula sa tatsulok na AOB, gamit ang cosine theorem, isinulat namin ang relasyon sa pagitan ng gilid ng parallelogram at ng mga diagonal.

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB.

4 2 \u003d (d 1 / 2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 (d 1 / 2) (d 2 / 2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64.

2. Katulad nito, isinusulat namin ang kaugnayan para sa tatsulok na AOD.

Isinasaalang-alang namin iyon<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Nakukuha natin ang equation d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

3. May sistema tayo
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

Ang pagbabawas ng una mula sa pangalawang equation, makakakuha tayo ng 2d 1 d 2 √2 = 80 o

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10.

Tandaan: Sa ito at sa nakaraang problema, hindi na kailangang ganap na lutasin ang sistema, nakikita na sa problemang ito kailangan namin ang produkto ng mga diagonal upang makalkula ang lugar.

Sagot: 10.

Gawain 7.

Ang lugar ng parallelogram ay 96 at ang mga gilid nito ay 8 at 15. Hanapin ang parisukat ng mas maliit na dayagonal.

Desisyon.

1. S ABCD \u003d AB AD kasalanan VAD. Gumawa tayo ng pagpapalit sa formula.

Nakukuha natin ang 96 = 8 15 sin VAD. Kaya kasalanan VAD = 4/5.

2. Maghanap ng cos BAD. kasalanan 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 BAD = 1. cos 2 BAD = 9/25.

Ayon sa kondisyon ng problema, makikita natin ang haba ng mas maliit na dayagonal. Ang diagonal BD ay magiging mas maliit kung ang angle BAD ay talamak. Pagkatapos cos BAD = 3/5.

3. Mula sa tatsulok na ABD, gamit ang cosine theorem, nakita natin ang parisukat ng dayagonal BD.

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BAD.

ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145.

Sagot: 145.

Mayroon ka bang anumang mga katanungan? Hindi alam kung paano lutasin ang isang problema sa geometry?
Upang makakuha ng tulong ng isang tutor - magparehistro.
Ang unang aralin ay libre!

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.

Paralelogram ay isang may apat na gilid na ang mga gilid ay magkaparehong magkatulad.

Sa figure na ito, ang magkabilang panig at anggulo ay pantay sa bawat isa. Ang mga diagonal ng isang paralelogram ay nagsalubong sa isang punto at hinahati ito. Binibigyang-daan ka ng mga parallelogram area formula na mahanap ang halaga sa pamamagitan ng mga gilid, taas at diagonal. Ang paralelogram ay maaari ding kinakatawan sa mga espesyal na kaso. Ang mga ito ay itinuturing na isang parihaba, parisukat at rhombus.
Una, isaalang-alang natin ang isang halimbawa ng pagkalkula ng lugar ng isang paralelogram sa pamamagitan ng taas at sa gilid kung saan ito ibinaba.

Ang kasong ito ay itinuturing na isang klasiko at hindi nangangailangan ng karagdagang pagsisiyasat. Mas mainam na isaalang-alang ang formula para sa pagkalkula ng lugar sa pamamagitan ng dalawang panig at ang anggulo sa pagitan nila. Ang parehong paraan ay ginagamit sa pagkalkula. Kung ang mga gilid at anggulo sa pagitan ng mga ito ay ibinigay, kung gayon ang lugar ay kinakalkula bilang mga sumusunod:

Ipagpalagay na binigyan tayo ng paralelogram na may mga gilid a = 4 cm, b = 6 cm. Ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay α = 30°. Hanapin natin ang lugar:

Lugar ng isang paralelogram sa mga tuntunin ng mga diagonal

Ang formula para sa lugar ng isang paralelogram sa mga tuntunin ng mga diagonal ay nagbibigay-daan sa mabilis mong mahanap ang halaga.
Para sa mga kalkulasyon, kailangan mo ang halaga ng anggulo na matatagpuan sa pagitan ng mga diagonal.

Isaalang-alang ang isang halimbawa ng pagkalkula ng lugar ng isang paralelogram sa pamamagitan ng mga diagonal. Hayaang magbigay ng paralelogram na may mga dayagonal D = 7 cm, d = 5 cm. Ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay α = 30°. Palitan ang data sa formula:

Ang isang halimbawa ng pagkalkula ng lugar ng isang paralelogram sa pamamagitan ng isang dayagonal ay nagbigay sa amin ng isang mahusay na resulta - 8.75.

Alam ang formula para sa lugar ng isang paralelogram sa mga tuntunin ng isang dayagonal, maaari mong malutas ang maraming mga kagiliw-giliw na problema. Tingnan natin ang isa sa kanila.

Gawain: Binigyan ng paralelogram na may lawak na 92 ​​sq. tingnan ang Point F ay matatagpuan sa gitna ng gilid nito BC. Hanapin natin ang lugar ng trapezoid ADFB, na makikita sa ating paralelogram. Upang magsimula, iguhit natin ang lahat ng natanggap natin ayon sa mga kondisyon.
Pumunta tayo sa solusyon:

Ayon sa aming mga kondisyon, ah \u003d 92, at naaayon, ang lugar ng iyong trapezoid ay magiging katumbas ng

Ang derivation ng formula para sa lugar ng isang parallelogram ay nabawasan sa pagbuo ng isang parihaba na katumbas ng isang ibinigay na parallelogram sa lugar. Kinukuha namin ang isang gilid ng parallelogram bilang base, at ang patayo na iginuhit mula sa anumang punto ng kabaligtaran sa tuwid na linya na naglalaman ng base ay tatawaging taas ng parallelogram. Kung gayon ang lugar ng paralelogram ay magiging katumbas ng produkto ng base at taas nito.

Teorama.Ang lugar ng isang paralelogram ay katumbas ng produkto ng base nito sa taas nito.

Patunay. Isaalang-alang ang isang paralelogram na may lugar. Kunin natin ang gilid para sa base at iguhit ang mga taas (Larawan 2.3.1). Ito ay kinakailangan upang patunayan iyon.

Larawan 2.3.1

Patunayan muna natin na ang lugar ng parihaba ay pantay din. Ang isang trapezoid ay binubuo ng isang paralelogram at isang tatsulok. Sa kabilang banda, ito ay binubuo ng isang parihaba NVSK at isang tatsulok. Ngunit ang mga right triangle ay pantay sa hypotenuse at acute angle (ang kanilang mga hypotenuse ay katumbas ng magkabilang panig ng isang parallelogram, at ang mga anggulo 1 at 2 ay katumbas ng kaukulang mga anggulo sa intersection ng parallel secant lines), kaya ang kanilang mga lugar ay pantay. Samakatuwid, ang mga lugar ng parallelogram at ang parihaba ay pantay din, iyon ay, ang lugar ng rektanggulo ay pantay. Ayon sa rectangle area theorem, ngunit mula noon, pagkatapos.

Ang teorama ay napatunayan.

Halimbawa 2.3.1.

Ang isang bilog ay nakasulat sa isang rhombus na may isang gilid at isang matinding anggulo. Tukuyin ang lugar ng isang quadrilateral na ang mga vertices ay ang mga tangent point ng bilog na may mga gilid ng rhombus.

Desisyon:

Ang radius ng isang bilog na nakasulat sa isang rhombus (Figure 2.3.2), dahil ang Quadrilateral ay isang parihaba, dahil ang mga sulok nito ay batay sa diameter ng bilog. Ang lugar nito, kung saan (nakahiga ang binti sa sulok),.

Larawan 2.3.2

Kaya,

Sagot:

Halimbawa 2.3.2.

Given a rhombus na ang mga diagonal ay 3 cm at 4 cm. Taas at iginuhit mula sa vertex ng isang obtuse angle Kalkulahin ang lugar ng quadrangle

Desisyon:

Lugar ng rhombus (Larawan 2.3.3).

Kaya,

Sagot:

Halimbawa 2.3.3.

Ang lugar ng isang quadrilateral ay Hanapin ang lugar ng isang parallelogram na ang mga gilid ay pantay at parallel sa mga diagonal ng quadrilateral.

Desisyon:

Dahil at (Figure 2.3.4), pagkatapos ay isang paralelogram at, samakatuwid,.

Larawan 2.3.4

Katulad nito, nakukuha natin kung saan ito sumusunod.

Sagot:.

2.4 Lugar ng isang tatsulok

Mayroong ilang mga formula para sa pagkalkula ng lugar ng isang tatsulok. Isaalang-alang ang mga pinag-aaralan sa paaralan.

Ang unang pormula ay sumusunod mula sa pormula para sa lugar ng isang paralelogram at inaalok sa mga mag-aaral sa anyo ng isang teorama.

Teorama.Ang lugar ng isang tatsulok ay kalahati ng produkto ng base nito sa taas nito..

Patunay. Hayaan ang lugar ng tatsulok. Kunin ang gilid ng base ng tatsulok at iguhit ang taas. Patunayan natin na:

Larawan 2.4.1

Kukumpletuhin namin ang tatsulok sa isang paralelogram tulad ng ipinapakita sa figure. Ang mga tatsulok ay pantay sa tatlong panig (- ang kanilang karaniwang panig, at bilang magkasalungat na panig ng isang paralelogram), kaya ang kanilang mga lugar ay pantay. Samakatuwid, ang lugar S ng tatsulok na ABC ay katumbas ng kalahati ng lugar ng parallelogram, i.e.

Ang teorama ay napatunayan.

Mahalagang maakit ang atensyon ng mga mag-aaral sa dalawang kahihinatnan ng theorem na ito. Namely:

Ang lugar ng isang kanang tatsulok ay kalahati ng produkto ng mga binti nito.

Kung ang taas ng dalawang tatsulok ay pantay, kung gayon ang kanilang mga lugar ay magkakaugnay bilang mga base.

Ang dalawang corollary na ito ay may mahalagang papel sa paglutas ng iba't ibang uri ng mga problema. Batay sa isang ito, pinatutunayan namin ang isa pang teorama na malawakang ginagamit sa paglutas ng mga problema.

Teorama. Kung ang anggulo ng isang tatsulok ay katumbas ng anggulo ng isa pang tatsulok, kung gayon ang kanilang mga lugar ay nauugnay bilang mga produkto ng mga panig na naglalaman ng pantay na mga anggulo.

Patunay. Hayaan at maging ang mga lugar ng triangles u na ang mga anggulo at ay pantay.

Larawan 2.4.2

Patunayan natin na: .

Gumawa tayo ng isang tatsulok. sa tatsulok upang ang vertex ay nakahanay sa vertex, at ang mga gilid ay magkakapatong, ayon sa pagkakabanggit, sa mga ray.

Larawan 2.4.3

Triangles at may karaniwang taas, samakatuwid,. Ang mga tatsulok ay mayroon ding isang karaniwang taas - samakatuwid,. Ang pagpaparami ng mga nagresultang pagkakapantay-pantay, nakukuha natin .

Ang teorama ay napatunayan.

Pangalawang formula.Ang lugar ng isang tatsulok ay katumbas ng kalahati ng produkto ng dalawang panig nito at ang sine ng anggulo sa pagitan nila. Mayroong ilang mga paraan upang patunayan ang formula na ito, at gagamitin ko ang isa sa mga ito.

Patunay. Mula sa geometry, ang isang teorama ay kilala na ang lugar ng isang tatsulok ay katumbas ng kalahati ng produkto ng base at ang taas ay ibinaba sa base na ito:

Sa kaso ng isang talamak na tatsulok . Sa kaso ng isang obtuse angle. Ho, at samakatuwid . Kaya, sa parehong mga kaso. Ang pagpapalit sa halip sa geometric na formula para sa lugar ng isang tatsulok, nakuha namin ang trigonometric formula para sa lugar ng isang tatsulok:

Ang teorama ay napatunayan.

Pangatlong formula para sa lugar ng isang tatsulok - Ang pormula ng Heron, na pinangalanan sa sinaunang siyentipikong Griyego na si Heron ng Alexandria, na nabuhay noong unang siglo AD. Ang formula na ito ay nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang lugar ng isang tatsulok, alam ang mga gilid nito. Ito ay maginhawa dahil pinapayagan ka nitong huwag gumawa ng anumang karagdagang mga konstruksyon at hindi sukatin ang mga anggulo. Ang konklusyon nito ay batay sa pangalawa ng mga formula ng lugar ng tatsulok na aming isinasaalang-alang at ang cosine theorem: at.

Bago magpatuloy sa pagpapatupad ng planong ito, tandaan namin iyon

Katulad nito, mayroon kaming:

Ngayon ipinapahayag namin ang cosine sa pamamagitan ng at:

Dahil ang anumang anggulo sa isang tatsulok ay mas malaki o mas maliit, kung gayon. Ibig sabihin, .

Ngayon ay hiwalay na nating binabago ang bawat isa sa mga salik sa radikal na pagpapahayag. Meron kami:

Ang pagpapalit ng expression na ito sa formula ng lugar, nakukuha natin:

Ang paksang "Lugar ng isang tatsulok" ay may malaking kahalagahan sa kurso sa matematika ng paaralan. Ang tatsulok ay ang pinakasimpleng mga geometric na hugis. Ito ay isang "estruktural elemento" ng geometry ng paaralan. Ang karamihan sa mga geometric na problema ay bumababa sa paglutas ng mga tatsulok. Ang problema sa paghahanap ng lugar ng isang regular at di-makatwirang n-gon ay walang pagbubukod.

Halimbawa 2.4.1.

Ano ang lugar ng isosceles triangle kung ang base at gilid nito ay?

Desisyon:

- isosceles,

Larawan 2.4.4

Gumuhit tayo sa ari-arian ng isang isosceles triangle - median at taas. Pagkatapos

Ayon sa Pythagorean theorem:

Paghahanap ng lugar ng isang tatsulok:

Sagot:

Halimbawa 2.4.2.

Sa isang kanang tatsulok, hinahati ng bisector ng isang matinding anggulo ang kabaligtaran na binti sa mga segment na 4 at 5 cm ang haba. Tukuyin ang lugar ng tatsulok.

Desisyon:

Hayaan (Larawan 2.4.5). Tapos (dahil bisector ang BD). Kaya mayroon kami , ibig sabihin. Ibig sabihin,

Larawan 2.4.5

Sagot:

Halimbawa 2.4.3.

Hanapin ang lugar ng isang isosceles triangle kung ang base nito ay katumbas ng , at ang haba ng taas na iginuhit sa base ay katumbas ng haba ng segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng base at gilid.

Desisyon:

Sa pamamagitan ng kondisyon, - ang gitnang linya (Figure 2.4.6). Since wemeem:

o , kung saan kaya,

Bago natin matutunan kung paano hanapin ang lugar ng parallelogram, kailangan nating tandaan kung ano ang parallelogram at kung ano ang tinatawag na taas nito. Ang parallelogram ay isang quadrilateral na ang magkabilang panig ay magkapares na magkatulad (nakahiga sa magkatulad na linya). Ang patayo na iginuhit mula sa isang di-makatwirang punto sa kabilang panig sa linya na naglalaman ng panig na ito ay tinatawag na taas ng paralelogram.

Ang parisukat, parihaba at rhombus ay mga espesyal na kaso ng paralelogram.

Ang lugar ng isang paralelogram ay tinutukoy bilang (S).

Mga formula para sa paghahanap ng lugar ng isang paralelogram

S=a*h, kung saan ang a ay ang base, ang h ay ang taas na iginuhit sa base.

S=a*b*sinα, kung saan ang a at b ang mga base, at ang α ay ang anggulo sa pagitan ng mga base a at b.

S \u003d p * r, kung saan ang p ay ang semi-perimeter, ang r ay ang radius ng bilog na nakasulat sa parallelogram.

Ang lugar ng parallelogram na nabuo ng mga vectors a at b ay katumbas ng modulus ng produkto ng ibinigay na mga vectors, lalo na:

Isaalang-alang ang halimbawa No. 1: Ang isang parallelogram ay ibinigay, ang gilid nito ay 7 cm, at ang taas ay 3 cm. Paano mahahanap ang lugar ng parallelogram, kailangan namin ng isang formula para sa paglutas.

Kaya S = 7x3. S=21. Sagot: 21 cm 2.

Isaalang-alang ang halimbawa No. 2: Ang mga base ay 6 at 7 cm, at ang anggulo sa pagitan ng mga base ay 60 degrees. Paano mahahanap ang lugar ng isang paralelogram? Formula na ginamit upang malutas:

Kaya, una naming mahanap ang sine ng anggulo. Sine 60 \u003d 0.5, ayon sa pagkakabanggit S \u003d 6 * 7 * 0.5 \u003d 21 Sagot: 21 cm 2.

Umaasa ako na ang mga halimbawang ito ay makakatulong sa iyo sa paglutas ng mga problema. At tandaan, ang pangunahing bagay ay kaalaman sa mga formula at pagkaasikaso