Pagpipilian 1. sa

1. Graph ng isang function y=f(x) ipinapakita sa figure.

Tukuyin ang pinakamalaking halaga ng function na ito 1

sa segment [ a; b]. a 0 1 b x

1) 2,5; 2) 3; 3) 4; 4) 2.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image003_127.gif" width="242" height="133 src="> 1) -4; 2) -2; 3) 4; 4) 2.

4. Mga Pag-andar y=f(x) itinakda sa segment [ a; b]. sa

Ipinapakita ng figure ang isang graph ng derivative nito

y=f ´(x). Mag-explore para sa mga sukdulan 1 b

function y=f(x). Pakisaad ang dami sa iyong sagot. a 0 1 x

pinakamababang puntos.

1) 6; 2) 7; 3) 4;

5. Hanapin ang pinakamalaking halaga ng isang function y \u003d -2x2 + 8x -7.

1) -2; 2) 7; 3) 1;

6. Hanapin ang pinakamaliit na halaga ng isang function sa segment .

1) https://pandia.ru/text/78/524/images/image005_87.gif" width="17" height="48 src=">.

7. Hanapin ang pinakamaliit na halaga ng isang function y=|2x+3| - .

1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image006_79.gif" width="17" height="47"> ; 4) - .

https://pandia.ru/text/78/524/images/image009_67.gif" width="144" height="33 src="> ay may pinakamababa sa punto xo=1.5?

1) 5; 2) -6; 3) 4; 4) 6.sa

9. Tukuyin ang pinakamalaking halaga ng function y=f(x) ,

1 x

0 1

1) 2,5; 2) 3; 3) -3;

y=lg(100 – x2 ).

1) 10 ; 2) 100 ; 3) 2 ; 4) 1 .

11. Hanapin ang pinakamaliit na halaga ng isang function y=2kasalanan-1.

1) -1 ; 2) -3 ; 3) -2 ; 4) - .

Pagsubok 14 Ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga ng function.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image013_44.gif" width="130" height="115 src=">1. Graph ng function y=f(x) ipinapakita sa figure.

Tukuyin ang pinakamaliit na halaga ng function na ito 1

sa segment [ a; b]. a b

0 1 x

1) 0; 2) - 4 ,5; 3) -2; 4) - 3.

2. sa Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng function y=f(x).

Ilang maximum na puntos ang mayroon ang function?

1

0 1 x 1) 5; 2) 6; 3) 4; 4) 1.

3. Sa anong punto ang function y \u003d 2x2 + 24x -25 tumatagal sa pinakamaliit na halaga?

https://pandia.ru/text/78/524/images/image018_37.gif" width="76" height="48"> sa segment [-3;-1].

1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image020_37.gif" width="17" height="47 src=">; 2); 4) - 5.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image022_35.gif" width="135" height="33 src="> ay may pinakamababa sa punto xo = -2?

; 2) -6;; 4) 6.sa

9. Tukuyin ang pinakamaliit na halaga ng function y=f(x) ,

na ang graph ay ipinapakita sa figure. 1 x

0 1

1) -1,5; 2) -1; 3) -3;

10. Hanapin ang pinakamalaking halaga ng isang function y=log11 (121 – x2 ).

1) 11;; 3) 1;

11. Hanapin ang pinakamalaking halaga ng isang function y=2cos+3.

1) 5 ; 2) 3 ; 3) 2 ; 4) .

Mga sagot :

At upang malutas ito, kailangan mo ng kaunting kaalaman sa paksa. Ang susunod na taon ng akademiko ay magtatapos, lahat ay gustong magbakasyon, at upang mailapit ang sandaling ito, agad akong bumaba sa negosyo:

Magsimula tayo sa lugar. Ang lugar na tinutukoy sa kondisyon ay limitado sarado hanay ng mga punto sa eroplano. Halimbawa, isang hanay ng mga puntos na nililimitahan ng isang tatsulok, kasama ang BUONG tatsulok (kung galing mga hangganan"Poke out" kahit isang punto, pagkatapos ay hindi na isasara ang lugar). Sa pagsasagawa, mayroon ding mga lugar ng hugis-parihaba, bilog at bahagyang mas kumplikadong mga hugis. Dapat pansinin na sa teorya ng pagsusuri sa matematika, ang mga mahigpit na kahulugan ay ibinigay mga limitasyon, paghihiwalay, mga hangganan, atbp., ngunit sa palagay ko ay alam ng lahat ang mga konseptong ito sa isang intuitive na antas, at higit pa ang hindi kailangan ngayon.

Ang patag na lugar ay karaniwang tinutukoy ng titik , at, bilang panuntunan, ay binibigyan ng analytical - sa pamamagitan ng ilang mga equation (hindi kinakailangang linear); mas madalas na hindi pagkakapantay-pantay. Isang tipikal na verbal turnover: "closed arealimited by lines".

Ang isang mahalagang bahagi ng gawain na isinasaalang-alang ay ang pagtatayo ng lugar sa pagguhit. Paano ito gagawin? Kinakailangang iguhit ang lahat ng nakalistang linya (sa kasong ito 3 tuwid) at pag-aralan kung ano ang nangyari. Ang nais na lugar ay karaniwang bahagyang napipisa, at ang hangganan nito ay naka-highlight na may naka-bold na linya:


Ang parehong lugar ay maaaring itakda mga linear na hindi pagkakapantay-pantay: , na para sa ilang kadahilanan ay mas madalas na nakasulat bilang isang listahan ng enumeration, at hindi sistema.
Dahil ang hangganan ay kabilang sa rehiyon, kung gayon ang lahat ng hindi pagkakapantay-pantay, siyempre, hindi mahigpit.

At ngayon ang pinakabuod ng bagay. Isipin na ang axis ay dumiretso sa iyo mula sa pinanggalingan ng mga coordinate. Isaalang-alang ang isang function na tuloy-tuloy sa bawat punto ng lugar. Ang graph ng function na ito ay ibabaw, at ang maliit na kaligayahan ay na upang malutas ang problema ngayon, hindi natin kailangang malaman kung ano ang hitsura ng ibabaw na ito. Maaari itong matatagpuan sa itaas, sa ibaba, tumawid sa eroplano - lahat ng ito ay hindi mahalaga. At ang mga sumusunod ay mahalaga: ayon sa Weierstrass theorems, tuloy-tuloy sa limitadong sarado lugar, ang function ay umabot sa maximum nito (sa "pinakamataas") at least (sa "pinakamababa") mga halagang mahahanap. Ang mga halagang ito ay nakamit o sa nakatigil na mga punto, kabilang sa rehiyonD , o sa mga puntong nasa hangganan ng rehiyong ito. Mula sa kung saan sumusunod ang isang simple at transparent na algorithm ng solusyon:

Halimbawa 1

Sa isang limitadong nakapaloob na lugar

Desisyon: Una sa lahat, kailangan mong ilarawan ang lugar sa pagguhit. Sa kasamaang palad, ito ay teknikal na mahirap para sa akin na gumawa ng isang interactive na modelo ng problema, at samakatuwid ay ibibigay ko kaagad ang pangwakas na paglalarawan, na nagpapakita ng lahat ng "kahina-hinalang" mga punto na natagpuan sa panahon ng pag-aaral. Kadalasan sila ay ibinaba nang isa-isa habang sila ay natagpuan:

Batay sa preamble, ang desisyon ay maginhawang mahahati sa dalawang punto:

I) Maghanap tayo ng mga nakatigil na puntos. Ito ay isang karaniwang aksyon na paulit-ulit nating isinagawa sa aralin. tungkol sa extrema ng ilang variable:

Nakahanap ng nakatigil na punto nabibilang mga lugar: (markahan ito sa drawing), na nangangahulugan na dapat nating kalkulahin ang halaga ng function sa isang naibigay na punto:

- tulad ng sa artikulo Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang segment, iha-highlight ko ang mahahalagang resulta nang naka-bold. Sa isang kuwaderno, ito ay maginhawa upang bilugan ang mga ito gamit ang isang lapis.

Bigyang-pansin ang aming pangalawang kaligayahan - walang saysay na suriin sapat na kondisyon para sa isang extremum. Bakit? Kahit na sa puntong umabot ang function, halimbawa, lokal na minimum, kung gayon ay HINDI ito nangangahulugang ang magreresultang halaga ay magiging minimal sa buong rehiyon (tingnan ang simula ng aralin tungkol sa mga walang kundisyong sukdulan) .

Paano kung ang nakatigil na punto ay HINDI kabilang sa lugar? Halos wala! Dapat pansinin iyon at pumunta sa susunod na talata.

II) Sinisiyasat namin ang hangganan ng rehiyon.

Dahil ang hangganan ay binubuo ng mga gilid ng isang tatsulok, ito ay maginhawa upang hatiin ang pag-aaral sa 3 subparagraphs. Ngunit ito ay mas mahusay na gawin ito kahit papaano. Mula sa aking pananaw, sa una ay mas kapaki-pakinabang na isaalang-alang ang mga segment na kahanay sa mga coordinate axes, at una sa lahat, ang mga nakahiga sa mga axes mismo. Upang mahuli ang buong pagkakasunud-sunod at lohika ng mga aksyon, subukang pag-aralan ang pagtatapos "sa isang hininga":

1) Ating harapin ang ibabang bahagi ng tatsulok. Upang gawin ito, pinapalitan namin nang direkta ang function:

Bilang kahalili, maaari mong gawin ito tulad nito:

Geometrically, nangangahulugan ito na ang coordinate plane (na ibinigay din ng equation)"cut out" mula sa ibabaw"spatial" na parabola, na ang tuktok nito ay agad na nahuhulog sa ilalim ng hinala. Alamin Natin Nasaan siya:

- ang nagresultang halaga ay "hit" sa lugar, at maaaring ito ay sa puntong iyon (markahan sa drawing) ang function ay umabot sa pinakamalaki o pinakamaliit na halaga sa buong lugar. Anyway, gawin natin ang mga kalkulasyon:

Ang iba pang mga "kandidato" ay, siyempre, ang mga dulo ng segment. Kalkulahin ang mga halaga ng function sa mga punto (markahan sa drawing):

Dito, sa pamamagitan ng paraan, maaari kang magsagawa ng oral mini-check sa bersyon na "nahubaran":

2) Upang pag-aralan ang kanang bahagi ng tatsulok, pinapalitan namin ito sa function at "ilagay ang mga bagay sa pagkakasunud-sunod doon":

Dito agad kaming nagsasagawa ng magaspang na pagsusuri, "nagri-ring" sa naprosesong dulo ng segment:
, perpekto.

Ang geometric na sitwasyon ay nauugnay sa nakaraang punto:

- ang resultang halaga ay "pumasok din sa saklaw ng aming mga interes", na nangangahulugang kailangan naming kalkulahin kung ano ang katumbas ng function sa puntong lumitaw:

Suriin natin ang pangalawang dulo ng segment:

Gamit ang function , suriin natin:

3) Malamang na alam ng lahat kung paano galugarin ang natitirang bahagi. Pinapalitan namin ang function at nagsasagawa ng mga pagpapasimple:

Natapos ang linya naimbestigahan na, ngunit sa draft ay sinusuri pa rin namin kung nahanap namin nang tama ang function :
– kasabay ng resulta ng 1st subparagraph;
– kasabay ng resulta ng 2nd subparagraph.

Ito ay nananatiling alamin kung mayroong isang bagay na kawili-wili sa loob ng segment :

- meron! Ang pagpapalit ng isang tuwid na linya sa equation, nakuha namin ang ordinate ng "kawili-wili" na ito:

Minarkahan namin ang isang punto sa pagguhit at hanapin ang kaukulang halaga ng function:

Kontrolin natin ang mga kalkulasyon ayon sa bersyon ng "badyet". :
, order.

At ang huling hakbang: MABUTI na tingnan ang lahat ng "taba" na numero, inirerekumenda ko kahit na ang mga nagsisimula na gumawa ng isang listahan:

kung saan pipiliin namin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga. Sagot sumulat sa istilo ng problema sa paghahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function sa pagitan:

Kung sakali, muli akong magkomento sa geometric na kahulugan ng resulta:
– narito ang pinakamataas na punto ng ibabaw sa rehiyon ;
- narito ang pinakamababang punto ng ibabaw sa lugar.

Sa nasuri na problema, nakakita kami ng 7 "kahina-hinalang" puntos, ngunit ang kanilang bilang ay nag-iiba-iba sa bawat gawain. Para sa isang triangular na rehiyon, ang minimum na "exploration set" ay binubuo ng tatlong puntos. Nangyayari ito kapag ang function, halimbawa, ay nagtakda eroplano- medyo malinaw na walang mga nakatigil na puntos, at ang pag-andar ay maaaring maabot ang maximum / minimum na mga halaga lamang sa mga vertices ng tatsulok. Ngunit walang ganoong mga halimbawa isang beses, dalawang beses - kadalasan kailangan mong harapin ang ilang uri ng ibabaw ng 2nd order.

Kung malutas mo ang mga naturang gawain nang kaunti, kung gayon ang mga tatsulok ay maaaring magpaikot ng iyong ulo, at samakatuwid ay naghanda ako ng mga hindi pangkaraniwang halimbawa para sa iyo upang gawin itong parisukat :))

Halimbawa 2

Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang saradong lugar na may hangganan ng mga linya

Halimbawa 3

Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na value ng isang function sa isang bounded closed area.

Bigyang-pansin ang nakapangangatwiran na pagkakasunud-sunod at pamamaraan ng paggalugad sa hangganan ng lugar, gayundin ang kadena ng mga intermediate na pagsusuri, na halos ganap na maiiwasan ang mga pagkakamali sa pagkalkula. Sa pangkalahatan, maaari mo itong lutasin ayon sa gusto mo, ngunit sa ilang mga problema, halimbawa, sa parehong Halimbawa 2, mayroong bawat pagkakataon na makabuluhang gawing kumplikado ang iyong buhay. Isang tinatayang halimbawa ng pagtatapos ng mga takdang-aralin sa pagtatapos ng aralin.

Isinasaayos namin ang algorithm ng solusyon, kung hindi, sa aking kasipagan ng isang gagamba, kahit papaano ay nawala ito sa isang mahabang thread ng mga komento ng unang halimbawa:

- Sa unang hakbang, nagtatayo kami ng isang lugar, kanais-nais na lilim ito, at i-highlight ang hangganan na may makapal na linya. Sa panahon ng solusyon, lilitaw ang mga puntos na kailangang ilagay sa pagguhit.

- Maghanap ng mga nakatigil na puntos at kalkulahin ang mga halaga ng function lamang sa mga, na nabibilang sa lugar . Ang nakuha na mga halaga ay naka-highlight sa teksto (halimbawa, bilugan ng lapis). Kung ang nakatigil na punto ay HINDI kabilang sa lugar, pagkatapos ay markahan namin ang katotohanang ito ng isang icon o pasalita. Kung walang mga nakatigil na punto sa lahat, pagkatapos ay gumuhit kami ng isang nakasulat na konklusyon na wala sila. Sa anumang kaso, hindi maaaring laktawan ang item na ito!

– Paggalugad sa lugar ng hangganan. Una, kapaki-pakinabang na makitungo sa mga tuwid na linya na kahanay sa mga coordinate axes (kung meron man). Ang mga halaga ng pag-andar na kinakalkula sa "kahina-hinalang" mga punto ay naka-highlight din. Marami na ang nasabi tungkol sa pamamaraan ng solusyon sa itaas at iba pa ang sasabihin sa ibaba - basahin, muling basahin, pag-aralan!

- Mula sa mga napiling numero, piliin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga at magbigay ng sagot. Minsan nangyayari na ang pag-andar ay umabot sa mga naturang halaga sa ilang mga punto nang sabay-sabay - sa kasong ito, ang lahat ng mga puntong ito ay dapat na maipakita sa sagot. Hayaan, halimbawa, at ito pala ang pinakamaliit na halaga. Pagkatapos ay sinusulat namin iyon

Ang mga huling halimbawa ay nakatuon sa iba pang mga kapaki-pakinabang na ideya na magiging kapaki-pakinabang sa pagsasanay:

Halimbawa 4

Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang saradong lugar .

Iningatan ko ang pormulasyon ng may-akda, kung saan ang lugar ay ibinigay bilang dobleng hindi pagkakapantay-pantay. Ang kundisyong ito ay maaaring isulat sa isang katumbas na sistema o sa isang mas tradisyonal na anyo para sa problemang ito:

Paalala ko sa iyo na may hindi linear nakatagpo kami ng hindi pagkakapantay-pantay noong , at kung hindi mo naiintindihan ang geometric na kahulugan ng entry, mangyaring huwag antalahin at linawin ang sitwasyon ngayon ;-)

Desisyon, gaya ng dati, ay nagsisimula sa pagtatayo ng lugar, na isang uri ng "sole":

Hmm, kung minsan kailangan mong ngangain hindi lamang ang granite ng agham ....

I) Maghanap ng mga nakatigil na puntos:

Sistema ng pangarap ng tanga :)

Ang nakatigil na punto ay kabilang sa rehiyon, ibig sabihin, nasa hangganan nito.

At kaya, wala ito ... masaya na aral - iyon ang ibig sabihin ng pag-inom ng tamang tsaa =)

II) Sinisiyasat namin ang hangganan ng rehiyon. Nang walang karagdagang ado, magsimula tayo sa x-axis:

1) Kung , kung gayon

Hanapin kung nasaan ang tuktok ng parabola:
- Pahalagahan ang gayong mga sandali - "hit" hanggang sa punto, kung saan malinaw na ang lahat. Ngunit huwag kalimutang suriin:

Kalkulahin natin ang mga halaga ng function sa mga dulo ng segment:

2) Haharapin namin ang mas mababang bahagi ng "nag-iisang" "sa isang upuan" - nang walang anumang mga kumplikadong pinapalitan namin ito sa pag-andar, bukod dito, magiging interesado lamang kami sa segment:

Ang kontrol:

Ngayon ay nagdadala na ito ng kaunting pagbabago sa monotonous na biyahe sa isang knurled track. Hanapin natin ang mga kritikal na punto:

Kami ang magdedesisyon quadratic equation naaalala mo ba ang isang ito? ... Gayunpaman, tandaan, siyempre, kung hindi, hindi mo nabasa ang mga linyang ito =) Kung sa dalawang nakaraang mga halimbawa ang mga kalkulasyon sa mga decimal fraction ay maginhawa (na kung saan, sa pamamagitan ng paraan, ay bihira), pagkatapos ay narito kami ay naghihintay para sa karaniwang ordinaryong fraction. Nahanap namin ang mga ugat ng "x" at, gamit ang equation, tinutukoy ang kaukulang mga coordinate ng "laro" ng mga punto ng "kandidato":


Kalkulahin natin ang mga halaga ng function sa mga nahanap na punto:

Suriin ang function sa iyong sarili.

Ngayon ay maingat naming pinag-aaralan ang mga napanalunang tropeo at isulat sagot:

Narito ang mga "kandidato", kaya ang mga "kandidato"!

Para sa isang nakapag-iisang solusyon:

Halimbawa 5

Hanapin ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa isang saradong lugar

Ang isang entry na may mga kulot na braces ay ganito ang mababasa: "isang set ng mga puntos na ganyan".

Minsan sa mga ganitong halimbawa ginagamit nila Paraan ng Lagrange multiplier, ngunit ang tunay na pangangailangan na gamitin ito ay malamang na hindi lumabas. Kaya, halimbawa, kung ang isang function na may parehong lugar na "de" ay ibinigay, pagkatapos ay pagkatapos ng pagpapalit dito - na may isang hinalaw na walang mga paghihirap; Bukod dito, ang lahat ay iginuhit sa isang "isang linya" (na may mga palatandaan) nang hindi kinakailangang isaalang-alang ang itaas at mas mababang kalahating bilog nang hiwalay. Ngunit, siyempre, may mga mas kumplikadong mga kaso, kung saan walang Lagrange function (kung saan ang , halimbawa, ay ang parehong equation ng bilog) mahirap makayanan - gaano kahirap makayanan nang walang magandang pahinga!

All the best na makapasa sa session at magkita-kita tayo sa susunod na season!

Mga solusyon at sagot:

Halimbawa 2: Desisyon: iguhit ang lugar sa drawing:

Mula sa praktikal na pananaw, ang pinakakawili-wili ay ang paggamit ng derivative upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function. Ano ang konektado nito? Pag-maximize ng kita, pagliit ng mga gastos, pagtukoy sa pinakamainam na pagkarga ng kagamitan... Sa madaling salita, sa maraming lugar ng buhay, kailangang lutasin ng isa ang problema ng pag-optimize ng ilang mga parameter. At ito ang problema sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function.

Dapat tandaan na ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function ay karaniwang hinahanap sa ilang interval X , na alinman sa buong domain ng function o bahagi ng domain. Ang interval X mismo ay maaaring isang line segment, isang open interval , isang walang katapusang pagitan.

Sa artikulong ito, pag-uusapan natin ang tungkol sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang tahasang ibinigay na function ng isang variable y=f(x) .

Pag-navigate sa pahina.

Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function - mga kahulugan, mga guhit.

Isaalang-alang natin sa madaling sabi ang mga pangunahing kahulugan.

Ang pinakamalaking halaga ng function , na para sa alinman ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo.

Ang pinakamaliit na halaga ng function y=f(x) sa pagitan ng X ay tinatawag na ganoong halaga , na para sa alinman ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo.

Ang mga kahulugang ito ay madaling maunawaan: ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga ng isang function ay ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga na tinatanggap sa pagitan na isinasaalang-alang sa abscissa.

Mga nakatigil na puntos ay ang mga halaga ng argumento kung saan nawawala ang derivative ng function.

Bakit kailangan natin ng mga nakatigil na puntos kapag naghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga? Ang sagot sa tanong na ito ay ibinigay ng Fermat's theorem. Ito ay sumusunod mula sa theorem na ito na kung ang isang differentiable function ay may extremum (lokal na minimum o lokal na maximum) sa isang punto, kung gayon ang puntong ito ay nakatigil. Kaya, madalas na kinukuha ng function ang maximum (pinakamaliit) na halaga nito sa interval X sa isa sa mga nakatigil na punto mula sa interval na ito.

Gayundin, ang isang function ay kadalasang maaaring kumuha ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga sa mga punto kung saan ang unang derivative ng function na ito ay hindi umiiral, at ang function mismo ay tinukoy.

Agad nating sagutin ang isa sa mga pinakakaraniwang tanong sa paksang ito: "Palaging posible bang matukoy ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga ng isang function"? Hindi hindi palagi. Minsan ang mga hangganan ng interval X ay nag-tutugma sa mga hangganan ng domain ng function, o ang interval X ay walang katapusan. At ang ilang mga function sa infinity at sa mga hangganan ng domain ng kahulugan ay maaaring tumagal ng parehong walang hanggan malaki at walang hanggan maliit na halaga. Sa mga kasong ito, walang masasabi tungkol sa pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function.

Para sa kalinawan, nagbibigay kami ng isang graphic na paglalarawan. Tingnan ang mga larawan - at marami ang magiging malinaw.

Sa segment

Sa unang figure, kinukuha ng function ang pinakamalaking (max y ) at pinakamaliit (min y ) values ​​sa mga nakatigil na punto sa loob ng segment [-6;6] .

Isaalang-alang ang kaso na ipinakita sa pangalawang figure. Baguhin ang segment sa . Sa halimbawang ito, ang pinakamaliit na halaga ng function ay nakamit sa isang nakatigil na punto, at ang pinakamalaking - sa isang punto na may abscissa na tumutugma sa tamang hangganan ng pagitan.

Sa figure No. 3, ang mga boundary point ng segment [-3; 2] ay ang abscissas ng mga puntos na tumutugma sa pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function.

Sa bukas na hanay

Sa ika-apat na figure, ang function ay tumatagal ng pinakamalaking (max y ) at pinakamaliit (min y ) na mga halaga sa mga nakatigil na punto sa loob ng bukas na pagitan (-6;6).

Sa agwat , walang mga konklusyon ang maaaring makuha tungkol sa pinakamalaking halaga.

Sa infinity

Sa halimbawang ipinakita sa ikapitong figure, ang function ay tumatagal ng pinakamalaking halaga (max y ) sa isang nakatigil na punto na may abscissa x=1 , at ang pinakamaliit na halaga (min y ) ay naabot sa kanang hangganan ng pagitan. Sa minus infinity, ang mga halaga ng function ay asymptotically lumalapit sa y=3 .

Sa pagitan, hindi naaabot ng function ang alinman sa pinakamaliit o pinakamalaking halaga. Dahil ang x=2 ay nasa kanan, ang mga value ng function ay may posibilidad na minus infinity (ang tuwid na linya na x=2 ay isang vertical asymptote), at dahil ang abscissa ay may posibilidad na plus infinity, ang mga value ng function ay asymptotically lumalapit sa y=3 . Ang isang graphic na paglalarawan ng halimbawang ito ay ipinapakita sa Figure 8.

Algorithm para sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng tuluy-tuloy na function sa segment.

Nagsusulat kami ng algorithm na nagbibigay-daan sa amin na mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang segment.

1. Hinahanap namin ang domain ng function at suriin kung naglalaman ito ng buong segment.
2. Nahanap namin ang lahat ng mga punto kung saan ang unang derivative ay hindi umiiral at kung saan ay nakapaloob sa segment (kadalasan ang mga naturang punto ay nangyayari sa mga function na may argumento sa ilalim ng module sign at sa mga power function na may fractional-rational exponent). Kung walang ganoong mga punto, pagkatapos ay pumunta sa susunod na punto.
3. Tinutukoy namin ang lahat ng mga nakatigil na punto na nahuhulog sa segment. Upang gawin ito, itinutumbas namin ito sa zero, lutasin ang nagresultang equation at piliin ang naaangkop na mga ugat. Kung walang nakatigil na mga punto o wala sa mga ito ang nahuhulog sa segment, pagkatapos ay pumunta sa susunod na hakbang.
4. Kinakalkula namin ang mga halaga ng function sa mga napiling nakatigil na mga punto (kung mayroon man), sa mga punto kung saan ang unang hinalaw ay hindi umiiral (kung mayroon man), at gayundin sa x=a at x=b .
5. Mula sa nakuha na mga halaga ng function, pipiliin namin ang pinakamalaki at pinakamaliit - sila ang nais na maximum at pinakamaliit na halaga ng function, ayon sa pagkakabanggit.

Suriin natin ang algorithm kapag nilulutas ang isang halimbawa para sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang segment.

Halimbawa.

Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function

• sa segment;
• sa pagitan [-4;-1] .

Desisyon.

Ang domain ng function ay ang buong hanay ng mga tunay na numero, maliban sa zero, iyon ay, . Ang parehong mga segment ay nasa loob ng domain ng kahulugan.

Nahanap namin ang derivative ng function na may paggalang sa:

Malinaw, ang derivative ng function ay umiiral sa lahat ng mga punto ng mga segment at [-4;-1] .

Ang mga nakatigil na puntos ay tinutukoy mula sa equation. Ang tanging tunay na ugat ay x=2 . Ang nakatigil na puntong ito ay nahuhulog sa unang bahagi.

Para sa unang kaso, kinakalkula namin ang mga halaga ng function sa mga dulo ng segment at sa isang nakatigil na punto, iyon ay, para sa x=1 , x=2 at x=4 :

Samakatuwid, ang pinakamalaking halaga ng function ay naabot sa x=1 , at ang pinakamaliit na halaga – sa x=2 .

Para sa pangalawang kaso, kinakalkula namin ang mga halaga ng function lamang sa mga dulo ng segment [-4;-1] (dahil hindi ito naglalaman ng isang nakatigil na punto):

Desisyon.

Magsimula tayo sa saklaw ng function. Ang square trinomial sa denominator ng isang fraction ay hindi dapat maglaho:

Madaling suriin na ang lahat ng mga pagitan mula sa kondisyon ng problema ay nabibilang sa domain ng function.

Ibahin natin ang function:

Malinaw, ang derivative ay umiiral sa buong domain ng function.

Maghanap tayo ng mga nakatigil na puntos. Ang derivative ay naglalaho sa . Ang nakatigil na puntong ito ay nasa loob ng mga pagitan (-3;1] at (-3;2).

At ngayon maaari mong ihambing ang mga resulta na nakuha sa bawat punto sa graph ng function. Ang mga asul na tuldok na linya ay nagpapahiwatig ng mga asymptotes.

Maaari itong magtapos sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function. Ang mga algorithm na tinalakay sa artikulong ito ay nagbibigay-daan sa iyo na makakuha ng mga resulta na may pinakamababang pagkilos. Gayunpaman, maaari itong maging kapaki-pakinabang upang matukoy muna ang mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ng function at pagkatapos lamang na gumawa ng mga konklusyon tungkol sa pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function sa anumang pagitan. Nagbibigay ito ng isang mas malinaw na larawan at isang mahigpit na katwiran ng mga resulta.

Sa maraming problema, kinakailangang kalkulahin ang maximum o minimum na halaga ng isang quadratic function. Ang maximum o minimum ay makikita kung ang orihinal na function ay nakasulat sa karaniwang anyo: o sa pamamagitan ng mga coordinate ng parabola vertex: f (x) = a (x − h) 2 + k (\displaystyle f(x)=a(x-h)^(2)+k). Bukod dito, ang maximum o minimum ng anumang quadratic function ay maaaring kalkulahin gamit ang mathematical operations.

Mga hakbang

Ang quadratic function ay nakasulat sa karaniwang anyo

Isulat ang function sa karaniwang anyo. Ang quadratic function ay isang function na ang equation ay may kasamang variable x 2 (\displaystyle x^(2)). Ang equation ay maaaring o hindi kasama ang isang variable x (\displaystyle x). Kung ang isang equation ay may kasamang variable na may exponent na higit sa 2, hindi ito naglalarawan ng isang quadratic function. Kung kinakailangan, magdala ng mga katulad na termino at muling ayusin ang mga ito upang isulat ang function sa karaniwang anyo.

Ang graph ng isang quadratic function ay isang parabola. Ang mga sanga ng isang parabola ay tumuturo pataas o pababa. Kung ang coefficient a (\displaystyle a) na may variable x 2 (\displaystyle x^(2)) a (\displaystyle a)

Kalkulahin -b/2a. Ibig sabihin − b 2 a (\displaystyle -(\frac (b)(2a))) ay ang coordinate x (\displaystyle x) tuktok ng parabola. Kung ang quadratic function ay nakasulat sa karaniwang anyo a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c), gamitin ang mga coefficient para sa x (\displaystyle x) at x 2 (\displaystyle x^(2)) sa sumusunod na paraan:

• Sa mga function coefficient a = 1 (\displaystyle a=1) at b = 10 (\displaystyle b=10)
• Bilang pangalawang halimbawa, isaalang-alang ang function . Dito a = − 3 (\displaystyle a=-3) at b = 6 (\displaystyle b=6). Samakatuwid, kalkulahin ang x-coordinate ng tuktok ng parabola tulad ng sumusunod:

1. Hanapin ang katumbas na halaga ng f(x). Palitan ang nahanap na halaga ng "x" sa orihinal na function upang mahanap ang katumbas na halaga ng f(x). Ito ay kung paano mo mahahanap ang minimum o maximum ng function.

   • Sa unang halimbawa f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1) nakalkula mo na ang x-coordinate ng tuktok ng parabola ay x = − 5 (\displaystyle x=-5). Sa orihinal na function, sa halip na x (\displaystyle x) kapalit − 5 (\displaystyle -5)
   • Sa pangalawang halimbawa f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4) nalaman mo na ang x-coordinate ng vertex ng parabola ay x = 1 (\displaystyle x=1). Sa orihinal na function, sa halip na x (\displaystyle x) kapalit 1 (\displaystyle 1) upang mahanap ang pinakamataas na halaga nito:

2. Isulat ang sagot. Basahin muli ang kalagayan ng problema. Kung kailangan mong hanapin ang mga coordinate ng vertex ng parabola, isulat ang parehong mga halaga sa iyong sagot x (\displaystyle x) at y (\displaystyle y)(o f (x) (\displaystyle f(x))). Kung kailangan mong kalkulahin ang maximum o minimum ng isang function, isulat lamang ang halaga sa iyong sagot y (\displaystyle y)(o f (x) (\displaystyle f(x))). Tumingin muli sa tanda ng koepisyent a (\displaystyle a) para tingnan kung nakalkula mo ang maximum o minimum.

   Ang quadratic function ay nakasulat sa mga tuntunin ng mga coordinate ng vertex ng parabola

   1. Isulat ang quadratic function sa mga tuntunin ng mga coordinate ng vertex ng parabola. Ang nasabing equation ay may sumusunod na anyo:

      Tukuyin ang direksyon ng parabola. Upang gawin ito, tingnan ang tanda ng koepisyent a (\displaystyle a). Kung ang coefficient a (\displaystyle a) positibo, ang parabola ay nakadirekta pataas. Kung ang coefficient a (\displaystyle a) negatibo, ang parabola ay nakaturo pababa. Halimbawa:

      Hanapin ang minimum o maximum na halaga ng function. Kung ang function ay nakasulat sa mga tuntunin ng mga coordinate ng parabola vertex, ang minimum o maximum ay katumbas ng halaga ng coefficient k (\displaystyle k). Sa mga halimbawa sa itaas:

      Hanapin ang mga coordinate ng vertex ng parabola. Kung sa problema ay kinakailangan upang mahanap ang vertex ng parabola, ang mga coordinate nito ay (h , k) (\displaystyle (h,k)). Tandaan na kapag ang isang quadratic function ay nakasulat sa mga tuntunin ng mga coordinate ng parabola vertex, ang pagbabawas ay dapat na nakapaloob sa mga bracket. (x − h) (\displaystyle (x-h)), kaya ang halaga h (\displaystyle h) kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda.

   Paano Kalkulahin ang Minimum o Maximum Gamit ang Math Operations

   Isaalang-alang muna natin ang karaniwang anyo ng equation. Isulat ang quadratic function sa karaniwang anyo: f (x) = a x 2 + b x + c (\displaystyle f(x)=ax^(2)+bx+c). Kung kinakailangan, magdala ng mga katulad na termino at muling ayusin ang mga ito upang makuha ang karaniwang equation.

   Hanapin ang unang derivative. Ang unang derivative ng isang quadratic function, na nakasulat sa karaniwang anyo, ay katumbas ng f ′ (x) = 2 a x + b (\displaystyle f^(\prime )(x)=2ax+b).

   Itakda ang derivative sa zero. Alalahanin na ang derivative ng isang function ay katumbas ng slope ng function sa isang tiyak na punto. Sa minimum o maximum, ang slope ay zero. Samakatuwid, upang mahanap ang pinakamababa o pinakamataas na halaga ng isang function, ang derivative ay dapat na katumbas ng zero. Sa aming halimbawa:

Minsan sa mga problema B15 may mga "masamang" function kung saan mahirap hanapin ang derivative. Dati, ito ay sa mga probe lamang, ngunit ngayon ang mga gawaing ito ay karaniwan na hindi na sila maaaring balewalain kapag naghahanda para sa pagsusulit na ito.

Sa kasong ito, gumagana ang iba pang mga trick, isa sa mga ito ay - monotone.

Ang function na f (x) ay tinatawag na monotonically increase sa segment kung para sa anumang puntos x 1 at x 2 ng segment na ito ang sumusunod ay totoo:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x2).

Ang function na f (x) ay tinatawag na monotonically decreasing sa segment kung para sa anumang puntos x 1 at x 2 ng segment na ito ang sumusunod ay totoo:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f( x2).

Sa madaling salita, para sa pagtaas ng function, mas malaki ang x, mas malaki ang f(x). Para sa isang nagpapababang function, ang kabaligtaran ay totoo: mas maraming x , ang mas maliit f(x).

Halimbawa, monotonically tumataas ang logarithm kung ang base a > 1 at monotonically bumababa kung 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Ang arithmetic square (at hindi lamang square) na ugat ay tumataas nang monotonically sa buong domain ng kahulugan:

Ang exponential function ay kumikilos katulad ng logarithm: tumataas ito para sa isang > 1 at bumababa para sa 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

Panghuli, mga degree na may negatibong exponent. Maaari mong isulat ang mga ito bilang isang fraction. Mayroon silang break point kung saan nasira ang monotony.

Ang lahat ng mga function na ito ay hindi kailanman matatagpuan sa kanilang purong anyo. Ang mga polynomial, fraction at iba pang walang kapararakan ay idinagdag sa kanila, dahil kung saan nagiging mahirap kalkulahin ang derivative. Ano ang mangyayari sa kasong ito - ngayon ay susuriin natin.

Mga coordinate ng parabola vertex

Kadalasan, ang argumento ng function ay pinapalitan ng square trinomial ng anyong y = ax 2 + bx + c . Ang graph nito ay isang karaniwang parabola, kung saan kami ay interesado sa:

1. Mga sanga ng parabola - maaaring tumaas (para sa isang > 0) o pababa (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Ang vertex ng parabola ay ang extremum point ng isang quadratic function, kung saan kinukuha ng function na ito ang pinakamaliit nito (para sa isang > 0) o pinakamalaki (a< 0) значение.

Ang pinakamalaking interes ay tuktok ng isang parabola, ang abscissa ay kinakalkula ng formula:

Kaya, natagpuan namin ang extremum point ng quadratic function. Ngunit kung ang orihinal na function ay monotonic, para dito ang punto x 0 ay magiging isang extremum point din. Kaya, binubuo namin ang pangunahing panuntunan:

Ang mga extremum point ng square trinomial at ang kumplikadong function na pinapasok nito ay nag-tutugma. Samakatuwid, maaari kang maghanap ng x 0 para sa isang square trinomial, at kalimutan ang tungkol sa function.

Mula sa pangangatwiran sa itaas, nananatiling hindi malinaw kung anong uri ng punto ang makukuha natin: maximum o minimum. Gayunpaman, ang mga gawain ay partikular na idinisenyo upang hindi ito mahalaga. Maghusga para sa iyong sarili:

1. Walang segment sa kondisyon ng problema. Samakatuwid, hindi kinakailangang kalkulahin ang f(a) at f(b). Ito ay nananatiling isaalang-alang lamang ang mga extremum point;
2. Ngunit mayroon lamang isang ganoong punto - ito ang tuktok ng parabola x 0, ang mga coordinate na kung saan ay literal na kinakalkula nang pasalita at walang anumang mga derivatives.

Kaya, ang solusyon sa problema ay lubos na pinasimple at nababawasan sa dalawang hakbang lamang:

1. Isulat ang parabola equation y = ax 2 + bx + c at hanapin ang vertex nito gamit ang formula: x 0 = −b /2a;
2. Hanapin ang halaga ng orihinal na function sa puntong ito: f (x 0). Kung walang karagdagang kundisyon, ito ang magiging sagot.

Sa unang sulyap, ang algorithm na ito at ang katwiran nito ay maaaring mukhang kumplikado. Sinadya kong hindi mag-post ng isang "hubad" na pamamaraan ng solusyon, dahil ang walang pag-iisip na aplikasyon ng naturang mga patakaran ay puno ng mga pagkakamali.

Isaalang-alang ang mga tunay na gawain mula sa pagsubok na pagsusulit sa matematika - dito pinakakaraniwan ang pamamaraang ito. Kasabay nito, sisiguraduhin namin na sa ganitong paraan maraming mga problema ng B15 ay halos pasalita.

Sa ilalim ng ugat ay isang quadratic function y \u003d x 2 + 6x + 13. Ang graph ng function na ito ay isang parabola na may mga sanga pataas, dahil ang coefficient ay \u003d 1\u003e 0.

Tuktok ng parabola:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 1) \u003d -6 / 2 \u003d -3

Dahil ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta paitaas, sa puntong x 0 \u003d −3, ang function na y \u003d x 2 + 6x + 13 ay tumatagal sa pinakamaliit na halaga.

Ang ugat ay monotonically tumataas, kaya x 0 ay ang pinakamababang punto ng buong function. Meron kami:

Gawain. Hanapin ang pinakamaliit na halaga ng function:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Sa ilalim ng logarithm ay muli ang isang quadratic function: y \u003d x 2 + 2x + 9. Ang graph ay isang parabola na may mga sanga pataas, dahil a = 1 > 0.

Tuktok ng parabola:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -2 / (2 1) \u003d -2/2 \u003d -1

Kaya, sa puntong x 0 = −1, ang quadratic function ay tumatagal sa pinakamaliit na halaga. Ngunit ang function na y = log 2 x ay monotone, kaya:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Ang exponent ay isang quadratic function y = 1 − 4x − x 2 . Isulat muli natin ito sa normal na anyo: y = −x 2 − 4x + 1.

Malinaw, ang graph ng function na ito ay isang parabola, mga sanga pababa (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 (−1)) = 4/(−2) = −2

Ang orihinal na function ay exponential, ito ay monotone, kaya ang pinakamalaking halaga ay nasa nahanap na punto x 0 = −2:

Tiyak na mapapansin ng isang matulungin na mambabasa na hindi namin isinulat ang lugar ng mga pinahihintulutang halaga ng ugat at logarithm. Ngunit hindi ito kinakailangan: sa loob ay may mga pag-andar na ang mga halaga ay palaging positibo.

Mga kahihinatnan mula sa saklaw ng isang function

Minsan, upang malutas ang problema B15, hindi sapat na hanapin lamang ang vertex ng parabola. Ang nais na halaga ay maaaring magsinungaling sa dulo ng segment, ngunit hindi sa matinding punto. Kung ang gawain ay hindi tumukoy ng isang segment, tingnan saklaw ng pagpapaubaya orihinal na function. Namely:

Bigyang-pansin muli: ang zero ay maaaring nasa ilalim ng ugat, ngunit hindi kailanman sa logarithm o denominator ng isang fraction. Tingnan natin kung paano ito gumagana sa mga partikular na halimbawa:

Gawain. Hanapin ang pinakamalaking halaga ng function:

Sa ilalim ng ugat ay muli ang isang quadratic function: y \u003d 3 - 2x - x 2. Ang graph nito ay isang parabola, ngunit bumababa dahil a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Isinulat namin ang lugar ng mga pinahihintulutang halaga (ODZ):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; isa]

Ngayon hanapin ang vertex ng parabola:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 (−1)) = 2/(−2) = −1

Ang punto x 0 = −1 ay kabilang sa ODZ segment - at ito ay mabuti. Ngayon ay isinasaalang-alang namin ang halaga ng function sa punto x 0, pati na rin sa mga dulo ng ODZ:

y(−3) = y(1) = 0

Kaya, nakuha namin ang mga numero 2 at 0. Hinihiling sa amin na hanapin ang pinakamalaki - ito ang numero 2.

Gawain. Hanapin ang pinakamaliit na halaga ng function:

y = log 0.5 (6x - x 2 - 5)

Sa loob ng logarithm mayroong isang quadratic function y \u003d 6x - x 2 - 5. Ito ay isang parabola na may mga sanga pababa, ngunit hindi maaaring magkaroon ng mga negatibong numero sa logarithm, kaya isinusulat namin ang ODZ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Pakitandaan: ang hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit, kaya ang mga dulo ay hindi nabibilang sa ODZ. Sa ganitong paraan, ang logarithm ay naiiba sa ugat, kung saan ang mga dulo ng segment ay angkop sa amin.

Hinahanap ang vertex ng parabola:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 (−1)) = −6/(−2) = 3

Ang tuktok ng parabola ay umaangkop sa kahabaan ng ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Ngunit dahil ang mga dulo ng segment ay hindi interesado sa amin, isinasaalang-alang namin ang halaga ng function lamang sa punto x 0:

y min = y (3) = log 0.5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0.5 (18 − 9 − 5) = log 0.5 4 = −2