Halimbawa 1

Sanggunian: Ang mga sumusunod na paraan ng pag-notate ng isang function ay katumbas: Sa ilang mga gawain, maaari itong maging maginhawa upang italaga ang function bilang isang "manlalaro", at sa ilan bilang "ef mula sa x".

Una naming mahanap ang derivative:

Halimbawa 2

Kalkulahin ang derivative ng isang function sa isang punto

, , buong pag-aaral ng function at iba pa.

Halimbawa 3

Kalkulahin ang derivative ng function sa punto . Hanapin muna natin ang derivative:

Well, iyon ay isang ganap na naiibang bagay. Kalkulahin ang halaga ng derivative sa punto:

Kung sakaling hindi mo maintindihan kung paano natagpuan ang derivative, bumalik sa unang dalawang aralin ng paksa. Kung may mga paghihirap (hindi pagkakaunawaan) sa arc tangent at mga kahulugan nito, kinakailangan pag-aaral ng metodolohikal na materyal Mga graph at katangian ng elementarya na pag-andar- ang pinakahuling talata. Dahil mayroon pa ring sapat na arctangent para sa edad ng mag-aaral.

Halimbawa 4

Kalkulahin ang derivative ng function sa punto .

Ang equation ng tangent sa graph ng function

Upang pagsama-samahin ang nakaraang talata, isaalang-alang ang problema sa paghahanap ng tangent sa function na graphics sa puntong ito. Natugunan namin ang gawaing ito sa paaralan, at matatagpuan din ito sa kurso ng mas mataas na matematika.

Isaalang-alang ang isang halimbawa ng elementarya na "pagpapakita".

Sumulat ng equation para sa tangent sa graph ng function sa puntong may abscissa. Kaagad akong magbibigay ng isang handa na graphical na solusyon sa problema (sa pagsasagawa, hindi ito kinakailangan sa karamihan ng mga kaso):

Ang isang mahigpit na kahulugan ng isang padaplis ay ibinigay ng mga kahulugan ng derivative ng isang function, ngunit sa ngayon ay pag-uusapan natin ang teknikal na bahagi ng isyu. Tiyak na halos lahat ay madaling maunawaan kung ano ang isang tangent. Kung ipaliwanag mo "sa mga daliri", ang tangent sa graph ng function ay tuwid, na may kinalaman sa graph ng function sa Ang nag-iisang punto. Sa kasong ito, ang lahat ng kalapit na punto ng tuwid na linya ay matatagpuan nang mas malapit hangga't maaari sa graph ng function.

Tulad ng inilapat sa aming kaso: sa , ang tangent (karaniwang notasyon) ay humahawak sa graph ng function sa isang punto.

At ang aming gawain ay upang mahanap ang equation ng isang tuwid na linya.

Derivative ng isang function sa isang punto

Paano mahahanap ang derivative ng isang function sa isang punto? Dalawang halatang punto ng gawaing ito ang sumusunod mula sa mga salita:

1) Kinakailangang hanapin ang derivative.

2) Kinakailangang kalkulahin ang halaga ng derivative sa isang naibigay na punto.

Halimbawa 1

Kalkulahin ang derivative ng isang function sa isang punto

Tulong: Ang mga sumusunod na paraan ng pag-notate ng isang function ay katumbas:


Sa ilang mga gawain, maaaring maging maginhawa upang italaga ang function bilang isang "manlalaro", at sa ilan bilang "ef mula sa x".

Una naming mahanap ang derivative:

Umaasa ako na marami na ang naka-adapt upang mahanap ang mga naturang derivatives sa bibig.

Sa pangalawang hakbang, kinakalkula namin ang halaga ng derivative sa punto:

Isang maliit na halimbawa ng warm-up para sa isang independiyenteng solusyon:

Halimbawa 2

Kalkulahin ang derivative ng isang function sa isang punto

Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Ang pangangailangan upang mahanap ang derivative sa isang punto ay lumitaw sa mga sumusunod na gawain: pagbuo ng tangent sa graph ng isang function (susunod na talata), pag-aaral ng isang function para sa isang extremum , pag-aaral ng function para sa inflection ng graph , buong pag-aaral ng function at iba pa.

Ngunit ang gawain na isinasaalang-alang ay matatagpuan sa mga papel na kontrol at sa sarili nito. At, bilang isang patakaran, sa ganitong mga kaso, ang pag-andar ay binibigyan ng medyo kumplikado. Sa bagay na ito, isaalang-alang ang dalawa pang halimbawa.

Halimbawa 3

Kalkulahin ang derivative ng isang function sa puntong .
Hanapin muna natin ang derivative:

Ang derivative, sa prinsipyo, ay matatagpuan, at ang kinakailangang halaga ay maaaring palitan. Pero wala talaga akong gustong gawin. Ang expression ay napakahaba, at ang halaga ng "x" ay fractional. Samakatuwid, sinusubukan naming gawing simple ang aming derivative hangga't maaari. Sa kasong ito, subukan nating bawasan ang huling tatlong termino sa isang karaniwang denominator: sa puntong .

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself.

Paano mahahanap ang halaga ng derivative ng function na F(x) sa Ho point? Paano ito malutas sa pangkalahatan?

Kung ang formula ay ibinigay, pagkatapos ay hanapin ang derivative at palitan ang X-zero sa halip na X. bilangin
Kung pinag-uusapan natin ang tungkol sa b-8 USE, graph, kailangan mong hanapin ang tangent ng anggulo (talamak o mahina), na bumubuo ng tangent sa X axis (gamit ang mental na pagtatayo ng isang right triangle at pagtukoy ng tangent ng ang anggulo)

Timur adilkhodzhaev

Una, kailangan mong magpasya sa sign. Kung ang puntong x0 ay nasa ibabang bahagi ng coordinate plane, kung gayon ang sign sa sagot ay magiging minus, at kung ito ay mas mataas, pagkatapos ay +.
Pangalawa, kailangan mong malaman kung ano ang tange sa isang parihaba na parihaba. At ito ang ratio ng kabaligtaran na bahagi (binti) sa katabing bahagi (din binti). Kadalasan mayroong ilang mga itim na marka sa pagpipinta. Mula sa mga markang ito gumawa ka ng isang right-angled na tatsulok at makahanap ng tange.

Paano mahahanap ang halaga ng derivative ng function na f x sa puntong x0?

walang tiyak na tanong - 3 taon na ang nakakaraan

Sa pangkalahatang kaso, upang mahanap ang halaga ng derivative ng isang function na may paggalang sa ilang mga variable sa anumang punto, ito ay kinakailangan upang iibahin ang ibinigay na function na may paggalang sa variable na ito. Sa iyong kaso, sa pamamagitan ng variable X. Sa resultang expression, sa halip na X, ilagay ang halaga ng x sa punto kung saan kailangan mong hanapin ang halaga ng derivative, i.e. sa iyong kaso, palitan ang zero X at kalkulahin ang resultang expression.

Buweno, ang iyong pagnanais na maunawaan ang isyung ito, sa aking palagay, ay walang alinlangan na karapat-dapat +, na inilagay ko nang may malinis na budhi.

Ang ganitong pormulasyon ng problema sa paghahanap ng derivative ay kadalasang iniharap upang ayusin ang materyal sa geometric na kahulugan ng derivative. Ang isang graph ng isang tiyak na function ay iminungkahi, ganap na arbitrary at hindi ibinigay ng isang equation, at ito ay kinakailangan upang mahanap ang halaga ng derivative (hindi ang derivative mismo!) sa tinukoy na punto X0. Upang gawin ito, ang isang tangent sa ibinigay na function ay itinayo at ang mga punto ng intersection nito sa mga coordinate axes ay matatagpuan. Pagkatapos ang equation ng tangent na ito ay iginuhit sa anyo na y=kx+b.

Sa equation na ito, ang coefficient k at ang magiging halaga ng derivative. ito ay nananatili lamang upang mahanap ang halaga ng koepisyent b. Upang gawin ito, nakita namin ang halaga ng y sa x \u003d o, hayaan itong maging katumbas ng 3 - ito ang halaga ng koepisyent b. Pinapalitan namin ang mga halaga ng X0 at Y0 sa orihinal na equation at hanapin ang k - ang aming halaga ng derivative sa puntong ito.

Sa problema B9, isang graph ng isang function o derivative ang ibinigay, kung saan kinakailangan upang matukoy ang isa sa mga sumusunod na dami:

1. Ang halaga ng derivative sa ilang punto x 0,
2. Mataas o mababang mga punto (extremum point),
3. Mga agwat ng pagtaas at pagbaba ng mga function (mga agwat ng monotonicity).

Ang mga function at derivatives na ipinakita sa problemang ito ay palaging tuluy-tuloy, na lubos na nagpapadali sa solusyon. Sa kabila ng katotohanan na ang gawain ay kabilang sa seksyon ng pagsusuri sa matematika, ito ay lubos na nasa loob ng kapangyarihan ng kahit na ang pinakamahina na mga mag-aaral, dahil walang malalim na teoretikal na kaalaman ang kinakailangan dito.

Upang mahanap ang halaga ng derivative, extremum point at monotonicity interval, mayroong simple at unibersal na algorithm - lahat ng mga ito ay tatalakayin sa ibaba.

Maingat na basahin ang kondisyon ng problema B9 upang hindi makagawa ng mga hangal na pagkakamali: kung minsan ang mga napakaraming teksto ay makikita, ngunit may ilang mahahalagang kundisyon na nakakaapekto sa kurso ng solusyon.

Pagkalkula ng halaga ng derivative. Dalawang punto na pamamaraan

Kung ang problema ay binibigyan ng graph ng function na f(x), padaplis sa graph na ito sa ilang punto x 0 , at kinakailangan upang mahanap ang halaga ng derivative sa puntong ito, ang sumusunod na algorithm ay inilapat:

1. Maghanap ng dalawang "sapat" na puntos sa tangent graph: ang kanilang mga coordinate ay dapat na integer. Tukuyin natin ang mga puntong ito bilang A (x 1 ; y 1) at B (x 2 ; y 2). Isulat nang tama ang mga coordinate - ito ang pangunahing punto ng solusyon, at anumang pagkakamali dito ay humahantong sa maling sagot.
2. Alam ang mga coordinate, madaling kalkulahin ang pagtaas ng argumento Δx = x 2 − x 1 at ang pagtaas ng function na Δy = y 2 − y 1 .
3. Sa wakas, nakita natin ang halaga ng derivative D = Δy/Δx. Sa madaling salita, kailangan mong hatiin ang pagtaas ng function sa pagtaas ng argumento - at ito ang magiging sagot.

Muli, tandaan natin: ang mga puntong A at B ay dapat na tiyak na hanapin sa tangent, at hindi sa graph ng function na f(x), gaya ng kadalasang nangyayari. Ang tangent ay kinakailangang maglaman ng hindi bababa sa dalawang ganoong mga punto, kung hindi man ang problema ay nabuo nang hindi tama.

Isaalang-alang ang mga puntong A (−3; 2) at B (−1; 6) at hanapin ang mga increment:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Hanapin natin ang halaga ng derivative: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Gawain. Ipinapakita ng figure ang graph ng function na y \u003d f (x) at ang tangent dito sa puntong may abscissa x 0. Hanapin ang halaga ng derivative ng function na f(x) sa puntong x 0 .

Isaalang-alang ang mga puntos A (0; 3) at B (3; 0), hanapin ang mga increment:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Ngayon nakita natin ang halaga ng derivative: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Gawain. Ipinapakita ng figure ang graph ng function na y \u003d f (x) at ang tangent dito sa puntong may abscissa x 0. Hanapin ang halaga ng derivative ng function na f(x) sa puntong x 0 .

Isaalang-alang ang mga puntos A (0; 2) at B (5; 2) at hanapin ang mga increment:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Nananatili itong hanapin ang halaga ng derivative: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Mula sa huling halimbawa, maaari nating bumalangkas ng panuntunan: kung ang tangent ay parallel sa OX axis, ang derivative ng function sa punto ng contact ay katumbas ng zero. Sa kasong ito, hindi mo na kailangang kalkulahin ang anuman - tingnan lamang ang graph.

Pagkalkula ng Mataas at Mababang Puntos

Minsan sa halip na isang graph ng isang function sa problema B9, isang derivative graph ang ibinibigay at ito ay kinakailangan upang mahanap ang maximum o minimum na punto ng function. Sa sitwasyong ito, ang two-point na paraan ay walang silbi, ngunit may isa pa, kahit na mas simpleng algorithm. Una, tukuyin natin ang terminolohiya:

1. Ang puntong x 0 ay tinatawag na pinakamataas na punto ng function na f(x) kung ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay nananatili sa ilang kapitbahayan ng puntong ito: f(x 0) ≥ f(x).
2. Ang puntong x 0 ay tinatawag na pinakamababang punto ng function na f(x) kung ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay nananatili sa ilang kapitbahayan ng puntong ito: f(x 0) ≤ f(x).

Upang mahanap ang maximum at pinakamababang puntos sa graph ng derivative, sapat na gawin ang mga sumusunod na hakbang:

1. I-redraw ang graph ng derivative, na inaalis ang lahat ng hindi kinakailangang impormasyon. Tulad ng ipinapakita ng kasanayan, ang dagdag na data ay nakakasagabal lamang sa desisyon. Samakatuwid, minarkahan namin ang mga zero ng derivative sa coordinate axis - at iyon na.
2. Alamin ang mga palatandaan ng derivative sa pagitan ng mga zero. Kung sa ilang punto x 0 ay kilala na ang f'(x 0) ≠ 0, kung gayon dalawang pagpipilian lamang ang posible: f'(x 0) ≥ 0 o f'(x 0) ≤ 0. Ang tanda ng derivative ay madaling matukoy mula sa orihinal na guhit: kung ang derivative graph ay nasa itaas ng OX axis, kung gayon ang f'(x) ≥ 0. Sa kabaligtaran, kung ang derivative graph ay nasa ibaba ng OX axis, kung gayon ang f'(x) ≤ 0.
3. Muli naming suriin ang mga zero at mga palatandaan ng hinalaw. Kung saan nagbabago ang sign mula minus hanggang plus, mayroong pinakamababang punto. Sa kabaligtaran, kung ang tanda ng derivative ay nagbabago mula sa plus hanggang minus, ito ang pinakamataas na punto. Ang pagbibilang ay palaging ginagawa mula kaliwa hanggang kanan.

Gumagana lamang ang scheme na ito para sa tuluy-tuloy na mga function - walang iba sa problema B9.

Gawain. Ang figure ay nagpapakita ng graph ng derivative ng function na f(x) na tinukoy sa pagitan [−5; 5]. Hanapin ang pinakamababang punto ng function na f(x) sa segment na ito.

Alisin natin ang hindi kinakailangang impormasyon - iiwan lamang natin ang mga hangganan [−5; 5] at ang mga zero ng derivative x = −3 at x = 2.5. Tandaan din ang mga palatandaan:

Malinaw, sa puntong x = −3, ang tanda ng derivative ay nagbabago mula minus hanggang plus. Ito ang pinakamababang punto.

Gawain. Ang figure ay nagpapakita ng graph ng derivative ng function na f(x) na tinukoy sa pagitan [−3; 7]. Hanapin ang pinakamataas na punto ng function na f(x) sa segment na ito.

I-redraw natin ang graph, na iiwan lamang ang mga hangganan [−3; 7] at ang mga zero ng derivative x = −1.7 at x = 5. Pansinin ang mga palatandaan ng derivative sa resultang graph. Meron kami:

Malinaw, sa puntong x = 5, ang tanda ng derivative ay nagbabago mula sa plus hanggang minus - ito ang pinakamataas na punto.

Gawain. Ang figure ay nagpapakita ng graph ng derivative ng function na f(x) na tinukoy sa pagitan [−6; 4]. Hanapin ang bilang ng pinakamataas na puntos ng function na f(x) na kabilang sa pagitan [−4; 3].

Ito ay sumusunod mula sa mga kondisyon ng problema na ito ay sapat na upang isaalang-alang lamang ang bahagi ng graph na nililimitahan ng segment [−4; 3]. Samakatuwid, bumuo kami ng bagong graph, kung saan minarkahan lamang namin ang mga hangganan [−4; 3] at ang mga zero ng derivative sa loob nito. Ibig sabihin, ang mga puntos na x = −3.5 at x = 2. Nakukuha namin ang:

Sa graph na ito, mayroon lamang isang maximum na punto x = 2. Nasa loob nito na ang tanda ng derivative ay nagbabago mula plus hanggang minus.

Isang maliit na tala tungkol sa mga puntos na may mga non-integer na coordinate. Halimbawa, sa huling problema, ang puntong x = −3.5 ay isinasaalang-alang, ngunit sa parehong tagumpay maaari nating kunin ang x = −3.4. Kung ang problema ay nabuo nang tama, ang mga pagbabagong ito ay hindi dapat makaapekto sa sagot, dahil ang mga puntong "walang nakapirming lugar ng paninirahan" ay hindi direktang kasangkot sa paglutas ng problema. Siyempre, sa mga integer na puntos, ang gayong trick ay hindi gagana.

Paghahanap ng mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ng isang function

Sa ganoong problema, tulad ng mga punto ng maximum at minimum, iminungkahi na maghanap ng mga lugar kung saan ang function mismo ay tumataas o bumababa mula sa graph ng derivative. Una, tukuyin natin kung ano ang pataas at pababa:

1. Ang isang function na f(x) ay tinatawag na pagtaas sa isang segment kung para sa alinmang dalawang puntos x 1 at x 2 mula sa segment na ito ang pahayag ay totoo: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Sa madaling salita, mas malaki ang halaga ng argumento, mas malaki ang halaga ng function.
2. Ang isang function na f(x) ay tinatawag na bumababa sa isang segment kung para sa alinmang dalawang puntos x 1 at x 2 mula sa segment na ito ang pahayag ay totoo: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Yung. ang isang mas malaking halaga ng argument ay tumutugma sa isang mas maliit na halaga ng function.

Bumubuo kami ng sapat na mga kondisyon para sa pagtaas at pagbaba:

1. Para sa isang tuluy-tuloy na function na f(x) na tumaas sa segment , sapat na ang derivative nito sa loob ng segment ay positibo, i.e. f'(x) ≥ 0.
2. Para bumaba ang tuluy-tuloy na function na f(x) sa segment , sapat na ang derivative nito sa loob ng segment ay negatibo, i.e. f'(x) ≤ 0.

Tinatanggap namin ang mga pahayag na ito nang walang patunay. Kaya, nakakuha kami ng isang pamamaraan para sa paghahanap ng mga pagitan ng pagtaas at pagbaba, na sa maraming paraan ay katulad ng algorithm para sa pagkalkula ng mga extremum na puntos:

1. Alisin ang lahat ng kalabisan na impormasyon. Sa orihinal na graph ng derivative, pangunahing interesado kami sa mga zero ng function, kaya iiwan lang namin ang mga ito.
2. Markahan ang mga palatandaan ng derivative sa pagitan ng mga zero. Kung saan ang f'(x) ≥ 0, ang function ay tumataas, at kung saan ang f'(x) ≤ 0, ito ay bumababa. Kung ang problema ay may mga paghihigpit sa variable na x, minarkahan din namin ang mga ito sa bagong chart.
3. Ngayon na alam natin ang pag-uugali ng function at ang pagpilit, nananatili itong kalkulahin ang kinakailangang halaga sa problema.

Gawain. Ang figure ay nagpapakita ng graph ng derivative ng function na f(x) na tinukoy sa pagitan [−3; 7.5]. Hanapin ang mga pagitan ng pagpapababa ng function f(x). Sa iyong sagot, isulat ang kabuuan ng mga integer na kasama sa mga pagitan na ito.

Gaya ng dati, muling iginuhit namin ang graph at markahan ang mga hangganan [−3; 7.5], pati na rin ang mga zero ng derivative na x = −1.5 at x = 5.3. Pagkatapos ay markahan namin ang mga palatandaan ng derivative. Meron kami:

Dahil ang derivative ay negatibo sa pagitan (− 1.5), ito ang agwat ng pagpapababa ng function. Ito ay nananatiling pagsasama-sama ng lahat ng mga integer na nasa loob ng agwat na ito:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Gawain. Ang figure ay nagpapakita ng graph ng derivative ng function na f(x) na tinukoy sa segment [−10; 4]. Hanapin ang mga pagitan ng pagtaas ng function na f(x). Sa iyong sagot, isulat ang haba ng pinakamalaki sa mga ito.

Tanggalin natin ang mga kalabisan na impormasyon. Iniiwan lamang namin ang mga hangganan [−10; 4] at mga zero ng derivative, na sa pagkakataong ito ay naging apat: x = −8, x = −6, x = −3 at x = 2. Pansinin ang mga palatandaan ng derivative at kunin ang sumusunod na larawan:

Interesado kami sa mga pagitan ng pagtaas ng function, i.e. kung saan ang f'(x) ≥ 0. Mayroong dalawang ganoong pagitan sa graph: (−8; −6) at (−3; 2). Kalkulahin natin ang kanilang mga haba:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Dahil kinakailangan upang mahanap ang haba ng pinakamalaki sa mga pagitan, isinusulat namin ang halaga l 2 = 5 bilang tugon.