Paraan ng mathematical induction

Panimula

Pangunahing bahagi

1. Kumpleto at hindi kumpletong induction
2. Prinsipyo ng mathematical induction
3. Paraan ng mathematical induction
4. Solusyon ng mga halimbawa
5. Pagkakapantay-pantay
6. Dibisyon ng numero
7. hindi pagkakapantay-pantay

Konklusyon

Listahan ng ginamit na panitikan

Panimula

Ang mga pamamaraang deduktibo at pasaklaw ay ang batayan ng anumang pananaliksik sa matematika. Ang deduktibong paraan ng pangangatwiran ay pangangatwiran mula sa pangkalahatan hanggang sa partikular, i.e. pangangatwiran, ang panimulang punto kung saan ay ang pangkalahatang resulta, at ang huling punto ay ang partikular na resulta. Ang induction ay inilalapat kapag pumasa mula sa mga partikular na resulta sa pangkalahatan, i.e. ay kabaligtaran ng pamamaraang deduktibo.

Ang paraan ng mathematical induction ay maihahambing sa pag-unlad. Nagsisimula tayo mula sa pinakamababa, bilang resulta ng lohikal na pag-iisip ay narating natin ang pinakamataas. Ang tao ay palaging nagsusumikap para sa pag-unlad, para sa kakayahang paunlarin ang kanyang pag-iisip nang lohikal, na nangangahulugan na ang kalikasan mismo ang nagtakda sa kanya na mag-isip nang pasaklaw.

Kahit na ang larangan ng aplikasyon ng pamamaraan ng matematikal na induction ay lumago, maliit na oras ang nakalaan dito sa kurikulum ng paaralan. Buweno, sabihin na ang isang kapaki-pakinabang na tao ay dadalhin ng dalawa o tatlong aralin kung saan siya nakarinig ng limang salita ng teorya, malulutas ang limang primitive na mga problema, at, bilang isang resulta, makakakuha ng lima para sa walang alam.

Ngunit ito ay napakahalaga - ang makapag-isip nang pasaklaw.

Pangunahing bahagi

Sa orihinal na kahulugan nito, ang salitang "induction" ay inilapat sa pangangatwiran kung saan ang mga pangkalahatang konklusyon ay nakuha batay sa isang bilang ng mga partikular na pahayag. Ang pinakasimpleng paraan ng pangangatwiran ng ganitong uri ay kumpletong induction. Narito ang isang halimbawa ng gayong pangangatwiran.

Hayaang kailanganin na itatag na ang bawat natural na even na numero n sa loob ng 4< n < 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

Ang siyam na pagkakapantay-pantay na ito ay nagpapakita na ang bawat isa sa mga bilang ng interes sa atin ay talagang kinakatawan bilang kabuuan ng dalawang pangunahing termino.

Kaya, ang kumpletong induction ay ang pangkalahatang pahayag ay pinatunayan nang hiwalay sa bawat isa sa isang tiyak na bilang ng mga posibleng kaso.

Minsan ang pangkalahatang resulta ay maaaring mahulaan pagkatapos isaalang-alang ang hindi lahat, ngunit sa halip ay isang malaking bilang ng mga espesyal na kaso (ang tinatawag na hindi kumpletong induction).

Ang resulta na nakuha sa pamamagitan ng hindi kumpletong induction, gayunpaman, ay nananatiling isang hypothesis lamang hanggang sa ito ay mapatunayan ng eksaktong matematikal na pangangatwiran, na sumasaklaw sa lahat ng mga espesyal na kaso. Sa madaling salita, ang hindi kumpletong induction sa matematika ay hindi itinuturing na isang lehitimong paraan ng mahigpit na patunay, ngunit isang makapangyarihang paraan para sa pagtuklas ng mga bagong katotohanan.

Hayaan, halimbawa, kinakailangan upang mahanap ang kabuuan ng unang n magkakasunod na kakaibang numero. Isaalang-alang ang mga espesyal na kaso:

1+3+5+7+9=25=5 2

Matapos isaalang-alang ang ilang mga espesyal na kaso, ang sumusunod na pangkalahatang konklusyon ay nagmumungkahi mismo:

1+3+5+…+(2n-1)=n 2

mga. ang kabuuan ng unang n magkakasunod na kakaibang numero ay n 2

Siyempre, ang obserbasyon na ginawa ay hindi pa magsisilbing patunay ng bisa ng formula sa itaas.

Ang kumpletong induction ay may limitadong mga aplikasyon lamang sa matematika. Maraming kawili-wiling mathematical na pahayag ang sumasaklaw sa walang katapusang bilang ng mga espesyal na kaso, at hindi namin masusubok ang walang katapusang bilang ng mga kaso. Ang hindi kumpletong induction ay kadalasang humahantong sa mga maling resulta.

Sa maraming mga kaso, ang paraan sa labas ng ganitong uri ng kahirapan ay ang gumamit ng isang espesyal na paraan ng pangangatwiran, na tinatawag na paraan ng mathematical induction. Ito ay ang mga sumusunod.

Hayaang kailangang patunayan ang bisa ng isang tiyak na pahayag para sa anumang natural na bilang n (halimbawa, kinakailangan upang patunayan na ang kabuuan ng unang n kakaibang mga numero ay katumbas ng n 2). Ang direktang pag-verify ng pahayag na ito para sa bawat halaga ng n ay imposible, dahil ang hanay ng mga natural na numero ay walang katapusan. Upang patunayan ang pahayag na ito, suriin muna ang bisa nito para sa n=1. Pagkatapos ay pinatunayan na para sa anumang likas na halaga ng k, ang bisa ng pahayag na isinasaalang-alang para sa n=k ay nagpapahiwatig din ng bisa nito para sa n=k+1.

Pagkatapos ang assertion ay itinuturing na napatunayan para sa lahat n. Sa katunayan, ang pahayag ay totoo para sa n=1. Ngunit pagkatapos ay may bisa din ito para sa susunod na numero n=1+1=2. Ang bisa ng assertion para sa n=2 ay nagpapahiwatig ng bisa nito para sa n=2+

1=3. Ito ay nagpapahiwatig ng bisa ng pahayag para sa n=4, at iba pa. Malinaw na, sa huli, maaabot natin ang anumang natural na numero n. Samakatuwid, ang pahayag ay totoo para sa alinmang n.

Sa pagbubuod ng sinabi, binubuo namin ang sumusunod na pangkalahatang prinsipyo.

Ang prinsipyo ng mathematical induction.

Kung ang pangungusap na A(n), na nakasalalay sa isang natural na bilang n, ay totoo para sa n=1, at mula sa katotohanang ito ay totoo para sa n=k (kung saan ang k ay anumang natural na numero), ito ay sumusunod na ito ay true para sa susunod na numero n=k +1, pagkatapos ay ang Assumption A(n) ay totoo para sa anumang natural na numero n.

Sa ilang mga kaso, maaaring kailanganing patunayan ang bisa ng isang tiyak na pahayag hindi para sa lahat ng natural na numero, ngunit para lamang sa n>p, kung saan ang p ay isang nakapirming natural na numero. Sa kasong ito, ang prinsipyo ng mathematical induction ay nabuo bilang mga sumusunod.

Kung totoo ang proposisyon A(n) para sa n=p at kung A(k)ÞA(k+1) para sa anumang k>p, totoo ang proposisyon A(n) para sa anumang n>p.

Ang patunay sa pamamagitan ng paraan ng mathematical induction ay isinasagawa bilang mga sumusunod. Una, ang assertion na patunayan ay sinusuri para sa n=1, ibig sabihin, ang katotohanan ng pahayag A(1) ay itinatag. Ang bahaging ito ng patunay ay tinatawag na batayan ng induction. Sinusundan ito ng isang bahagi ng patunay na tinatawag na induction step. Sa bahaging ito, ang bisa ng pahayag para sa n=k+1 ay pinatutunayan sa ilalim ng pagpapalagay na ang pahayag ay totoo para sa n=k (ang inductive assumption), i.e. patunayan na A(k)ÞA(k+1).

Patunayan na 1+3+5+…+(2n-1)=n 2 .

Solusyon: 1) Mayroon kaming n=1=1 2 . Kaya naman,

ang pahayag ay totoo para sa n=1, ibig sabihin. A(1) ay totoo.

2) Patunayan natin na A(k)ÞA(k+1).

Hayaang maging anumang natural na numero ang k at hayaang maging totoo ang pahayag para sa n=k, i.e.

1+3+5+…+(2k-1)=k 2 .

Patunayan natin na kung gayon ang assertion ay totoo din para sa susunod na natural na numero n=k+1, i.e. Ano

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 .

talaga,

1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 .

Kaya A(k)ÞA(k+1). Batay sa prinsipyo ng mathematical induction, napagpasyahan namin na ang Assumption A(n) ay totoo para sa anumang nОN.

Patunayan mo yan

1+x+x 2 +x 3 +…+x n =(x n+1 -1)/(x-1), kung saan ang x¹1

Solusyon: 1) Para sa n=1 nakukuha natin

1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

samakatuwid, para sa n=1 ang formula ay totoo; A(1) ay totoo.

2) Hayaang k ang anumang natural na numero at hayaang totoo ang formula para sa n=k, i.e.

1 + x + x 2 + x 3 + ... + x k \u003d (x k + 1 -1) / (x-1).

Patunayan natin na pagkatapos ay ang pagkakapantay-pantay

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1).

Sa totoo lang

1+х+х 2 +x 3 +…+х k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1).

Kaya A(k)ÞA(k+1). Batay sa prinsipyo ng mathematical induction, napagpasyahan namin na ang formula ay totoo para sa anumang natural na numero n.

Patunayan na ang bilang ng mga dayagonal ng isang matambok n-gon ay n(n-3)/2.

Solusyon: 1) Para sa n=3, ang pahayag ay totoo

At ang 3 ay tama, dahil sa isang tatsulok

 A 3 =3(3-3)/2=0 diagonal;

A 2 A(3) ay totoo.

2) Ipagpalagay na sa anumang

matambok k-gon ay may-

A 1 sya A k \u003d k (k-3) / 2 diagonal.

A k Patunayan natin na pagkatapos ay sa isang matambok

(k+1)-gon na numero

diagonal A k+1 =(k+1)(k-2)/2.

Hayaang А 1 А 2 А 3 …A k A k+1 -matambok (k+1)-anggulo. Gumuhit tayo ng dayagonal na A 1 A k dito. Upang mabilang ang kabuuang bilang ng mga diagonal nito (k + 1)-gon, kailangan mong bilangin ang bilang ng mga diagonal sa k-gon A 1 A 2 ...A k , idagdag ang k-2 sa resultang numero, i.e. ang bilang ng mga diagonal ng (k+1)-gon na nagmumula sa vertex A k+1 , at, bilang karagdagan, ang dayagonal na A 1 A k ay dapat isaalang-alang.

kaya,

 k+1 = k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2.

Kaya A(k)ÞA(k+1). Dahil sa prinsipyo ng mathematical induction, ang pahayag ay totoo para sa anumang convex n-gon.

Patunayan na para sa anumang n ang pahayag ay totoo:

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6.

Solusyon: 1) Hayaan n=1, pagkatapos

X 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1.

Samakatuwid, para sa n=1 ang pahayag ay totoo.

2) Ipagpalagay na n=k

X k \u003d k 2 \u003d k (k + 1) (2k + 1) / 6.

3) Isaalang-alang ang pahayag na ito para sa n=k+1

Xk+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2 =(k (k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

Napatunayan namin ang bisa ng pagkakapantay-pantay para sa n=k+1, samakatuwid, sa bisa ng paraan ng mathematical induction, ang pahayag ay totoo para sa anumang natural n.

Patunayan na para sa anumang natural n ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4.

Solusyon: 1) Hayaan n=1.

Pagkatapos X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1.

Nakikita natin na para sa n=1 ang pahayag ay totoo.

2) Ipagpalagay na ang pagkakapantay-pantay ay totoo para sa n=k

X k \u003d k 2 (k + 1) 2 / 4.

3) Patunayan natin ang katotohanan ng pahayag na ito para sa n=k+1, i.e.

X k+1 =(k+1) 2 (k+2) 2 /4. X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 =k 2 (k+1) 2 /4+(k+1) 3 =(k 2 (k++1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2 /4.

Mula sa patunay sa itaas ay malinaw na ang pahayag ay totoo para sa n=k+1, samakatuwid, ang pagkakapantay-pantay ay totoo para sa anumang natural na n.

Patunayan mo yan

((2 3 +1)/(2 3 -1))´((3 3 +1)/(3 3 -1))´…´((n 3 +1)/(n 3 -1))= 3n(n+1)/2(n 2 +n+1), kung saan n>2.

Solusyon: 1) Para sa n=2 ang pagkakakilanlan ay mukhang: (2 3 +1)/(2 3 -1)=(3´2´3)/2(2 2 +2+1),

mga. ito ay tama.

2) Ipagpalagay na ang expression ay totoo para sa n=k

(2 3 +1)/(2 3 -1)´…´(k 3 +1)/(k 3 -1)=3k(k+1)/2(k 2 +k+1).

3) Papatunayan natin ang kawastuhan ng expression para sa n=k+1.

(((2 3 +1)/(2 3 -1))´…´((k 3 +1)/(k 3 -1)))´(((k+1) 3 +

1)/((k+1) 3 -1))=(3k(k+1)/2(k 2 +k+1))´((k+2)((k+

1) 2 -(k+1)+1)/k((k+1) 2 +(k+1)+1))=3(k+1)(k+2)/2´

´((k+1) 2 +(k+1)+1).

Napatunayan namin ang bisa ng pagkakapantay-pantay para sa n=k+1, samakatuwid, dahil sa paraan ng mathematical induction, ang pahayag ay totoo para sa anumang n>2

Patunayan mo yan

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2n-1) 3 -(2n) 3 =-n 2 (4n+3)

para sa anumang natural n.

Solusyon: 1) Hayaan n=1, pagkatapos

1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7.

2) Ipagpalagay na n=k, kung gayon

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3 =-k 2 (4k+3).

3) Patunayan natin ang katotohanan ng pahayag na ito para sa n=k+1

(1 3 -2 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3)+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-k 2 (4k+3)+

+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-(k+1) 3 (4(k+1)+3).

Ang bisa ng pagkakapantay-pantay para sa n=k+1 ay napatunayan din, samakatuwid ang pahayag ay totoo para sa anumang natural na bilang n.

Patunayan ang bisa ng pagkakakilanlan

(1 2 /1´3)+(2 2 /3´5)+…+(n 2 /(2n-1)´(2n+1))=n(n+1)/2(2n+1)

para sa anumang natural n.

1) Para sa n=1 ang pagkakakilanlan ay totoo 1 2 /1´3=1(1+1)/2(2+1).

2) Ipagpalagay na para sa n=k

(1 2 /1´3)+…+(k 2 /(2k-1)´(2k+1))=k(k+1)/2(2k+1).

3) Patunayan natin na ang pagkakakilanlan ay totoo para sa n=k+1.

(1 2 /1´3)+…+(k 2 /(2k-1)(2k+1))+(k+1) 2 /(2k+1)(2k+3)=(k(k+ 1) )/2(2k+1))+((k+1) 2 /(2k+1)(2k+3))=((k+1)/(2k+1))´((k/2 ) +((k+1)/(2k+3)))=(k+1)(k+2)´ (2k+1)/2(2k+1)(2k+3)=(k+1 ) (k+2)/2(2(k+1)+1).

Ito ay makikita mula sa itaas na patunay na ang assertion ay totoo para sa anumang natural na bilang n.

Patunayan na ang (11 n+2 +12 2n+1) ay nahahati sa 133 nang walang natitira.

Solusyon: 1) Hayaan n=1, pagkatapos

11 3 +12 3 \u003d (11 + 12) (11 2 -132 + 12 2) \u003d 23´133.

Ngunit ang (23'133) ay nahahati sa 133 na walang nalalabi, kaya para sa n=1 ang pahayag ay totoo; A(1) ay totoo.

2) Ipagpalagay na ang (11 k+2 +12 2k+1) ay nahahati sa 133 nang walang nalalabi.

3) Patunayan natin iyan sa kasong ito

(11 k+3 +12 2k+3) ay nahahati sa 133 nang walang nalalabi. Sa katunayan, 11 k+3 +12 2k+3 =11´11 k+2 +12 2´ 12 2k+1 =11´11 k+2 +

+(11+133)´12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133´12 2k+1 .

Ang resultang kabuuan ay nahahati sa 133 na walang natitira, dahil ang unang termino nito ay nahahati sa 133 na walang nalalabi sa pamamagitan ng pagpapalagay, at sa pangalawa sa mga salik ay 133. Kaya, А(k)ÞА(k+1). Sa bisa ng paraan ng mathematical induction, ang assertion ay napatunayan.

Patunayan na para sa anumang n 7 n -1 ay nahahati sa 6 na walang natitira.

Solusyon: 1) Hayaan ang n=1, pagkatapos ay ang X 1 =7 1 -1=6 ay hinati sa 6 na walang natitira. Kaya para sa n=1 ang pahayag ay totoo.

2) Ipagpalagay na para sa n=k

Ang 7 k -1 ay nahahati sa 6 na walang nalalabi.

3) Patunayan natin na ang pahayag ay totoo para sa n=k+1.

X k+1 =7 k+1 -1=7'7 k -7+6=7(7 k -1)+6.

Ang unang termino ay nahahati sa 6, dahil ang 7 k -1 ay nahahati sa 6 sa pamamagitan ng pagpapalagay, at ang pangalawang termino ay 6. Kaya ang 7 n -1 ay isang multiple ng 6 para sa anumang natural na n. Sa bisa ng paraan ng mathematical induction, ang assertion ay napatunayan.

Patunayan na ang 3 3n-1 +2 4n-3 para sa arbitrary na natural n ay nahahati ng 11.
Solusyon: 1) Hayaan n=1, pagkatapos

Ang X 1 \u003d 3 3-1 +2 4-3 \u003d 3 2 +2 1 \u003d 11 ay nahahati sa 11 nang walang natitira. Samakatuwid, para sa n=1 ang pahayag ay totoo.

2) Ipagpalagay na para sa n=k

Ang X k \u003d 3 3k-1 +2 4k-3 ay mahahati ng 11 nang walang natitira.

3) Patunayan natin na ang pahayag ay totoo para sa n=k+1.

X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3´ 3 3k-1 +2 4´ 2 4k-3 =

27´3 3k-1 +16´2 4k-3 =(16+11)´3 3k-1 +16´2 4k-3 =16´3 3k-1 +

11'3 3k-1 +16'2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11'3 3k-1 .

Ang unang termino ay nahahati ng 11 nang walang natitira, dahil ang 3 3k-1 +2 4k-3 ay nahahati sa 11 sa pamamagitan ng pagpapalagay, ang pangalawa ay nahahati ng 11, dahil ang isa sa mga kadahilanan nito ay ang numero 11. Kaya, ang kabuuan ay mahahati din ng 11 na walang natitira para sa anumang natural n. Sa bisa ng paraan ng mathematical induction, ang assertion ay napatunayan.

Patunayan na ang 11 2n -1 para sa isang arbitrary na positive integer n ay nahahati ng 6 na walang nalalabi.

Solusyon: 1) Hayaang n=1, pagkatapos ay 11 2 -1=120 ay nahahati sa 6 na walang nalalabi. Kaya para sa n=1 ang pahayag ay totoo.

2) Ipagpalagay na para sa n=k

11 2k -1 ay nahahati sa 6 na walang natitira.

11 2(k+1) -1=121´11 2k -1=120´11 2k +(11 2k -1).

Ang parehong termino ay nahahati sa 6 na walang nalalabi: ang una ay naglalaman ng maramihang 6 na numero 120, at ang pangalawa ay nahahati ng 6 na walang nalalabi sa pamamagitan ng pagpapalagay. Kaya't ang kabuuan ay nahahati sa 6 na walang natitira. Sa bisa ng paraan ng mathematical induction, ang assertion ay napatunayan.

Patunayan na ang 3 3n+3 -26n-27 para sa isang arbitrary na positive integer n ay nahahati ng 26 2 (676) nang walang nalalabi.

Solusyon: Patunayan muna natin na ang 3 3n+3 -1 ay nahahati sa 26 na walang nalalabi.

1. Para sa n=0

3 3 -1=26 ay nahahati sa 26

2. Ipagpalagay na para sa n=k

3 3k+3 -1 ay nahahati sa 26

3. Patunayan natin na ang pahayag

totoo para sa n=k+1.

3 3k+6 -1=27´3 3k+3 -1=26´3 3k+3 +(3 3k+3 -1) – nahahati ng 26

Ngayon patunayan natin ang assertion na nabuo sa kondisyon ng problema.

1) Malinaw na para sa n=1 ang pahayag ay totoo

3 3+3 -26-27=676

2) Ipagpalagay na para sa n=k

ang expression na 3 3k+3 -26k-27 ay nahahati sa 26 2 na walang nalalabi.

3) Patunayan natin na ang pahayag ay totoo para sa n=k+1

3 3k+6 -26(k+1)-27=26(3 3k+3 -1)+(3 3k+3 -26k-27).

Ang parehong termino ay nahahati sa 26 2 ; ang una ay nahahati ng 26 2 dahil napatunayan natin na ang expression sa mga bracket ay nahahati ng 26, at ang pangalawa ay nahahati ng inductive hypothesis. Sa bisa ng paraan ng mathematical induction, ang assertion ay napatunayan.

Patunayan na kung n>2 at x>0, kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay

(1+x) n >1+n´x.

Solusyon: 1) Para sa n=2, ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo, dahil

(1+x) 2 =1+2x+x 2 >1+2x.

Kaya ang A(2) ay totoo.

2) Patunayan natin na A(k)ÞA(k+1) kung k> 2. Ipagpalagay na ang A(k) ay totoo, ibig sabihin, na ang hindi pagkakapantay-pantay

(1+x) k >1+k´x. (3)

Patunayan natin na ang A(k+1) ay totoo rin, ibig sabihin, na ang hindi pagkakapantay-pantay

(1+x) k+1 >1+(k+1)´x.

Sa katunayan, ang pagpaparami ng magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay (3) sa isang positibong numero 1+x, nakukuha natin

(1+x) k+1 >(1+k´x)(1+x).

Isaalang-alang ang kanang bahagi ng huling hindi pantay

stva; meron kami

(1+k´x)(1+x)=1+(k+1)´x+k´x 2 >1+(k+1)´x.

Bilang resulta, nakukuha namin iyon

(1+x) k+1 >1+(k+1)´x.

Kaya A(k)ÞA(k+1). Batay sa prinsipyo ng mathematical induction, maaaring pagtalunan na ang hindi pagkakapantay-pantay ni Bernoulli ay wasto para sa anumang

Patunayan na ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo

(1+a+a 2) m > 1+m´a+(m(m+1)/2)´a 2 para sa a> 0.

Solusyon: 1) Para sa m=1

(1+a+a 2) 1 > 1+a+(2/2)´a 2 parehong bahagi ay pantay.

2) Ipagpalagay na para sa m=k

(1+a+a 2) k >1+k´a+(k(k+1)/2)´a 2

3) Patunayan natin na para sa m=k+1 ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo

(1+a+a 2) k+1 =(1+a+a 2)(1+a+a 2) k >(1+a+a 2)(1+k´a+

+(k(k+1)/2)´a 2)=1+(k+1)´a+((k(k+1)/2)+k+1)´a 2 +

+((k(k+1)/2)+k)´a 3 +(k(k+1)/2)´a 4 > 1+(k+1)´a+

+((k+1)(k+2)/2)´a 2 .

Napatunayan namin ang bisa ng hindi pagkakapantay-pantay para sa m=k+1, samakatuwid, sa pamamagitan ng pamamaraan ng mathematical induction, ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo para sa anumang natural na m.

Patunayan na para sa n>6 ang hindi pagkakapantay-pantay

3 n >n´2 n+1 .

Solusyon: Isulat muli natin ang hindi pagkakapantay-pantay sa anyo

1. Para sa n=7 mayroon kami

3 7 /2 7 =2187/128>14=2´7

ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo.

2. Ipagpalagay na para sa n=k

3) Patunayan natin ang kawastuhan ng hindi pagkakapantay-pantay para sa n=k+1.

3k+1 /2k+1 =(3k /2k)´(3/2)>2k´(3/2)=3k>2(k+1).

Mula k>7, ang huling hindi pagkakapantay-pantay ay halata.

Sa bisa ng paraan ng mathematical induction, ang hindi pagkakapantay-pantay ay wasto para sa anumang natural n.

Patunayan na para sa n>2 ang hindi pagkakapantay-pantay

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/n 2)<1,7-(1/n).

Solusyon: 1) Para sa n=3 ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo

1+(1/2 2)+(1/3 2)=245/180<246/180=1,7-(1/3).

1. Ipagpalagay na para sa n=k

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/k 2)=1.7-(1/k).

3) Papatunayan namin ang bisa ng hindi

mga pagkakapantay-pantay para sa n=k+1

(1+(1/2 2)+…+(1/k 2))+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k)+(1/(k+1) 2).

Patunayan natin na 1,7-(1/k)+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1)Û

w(1/(k+1) 2)+(1/k+1)<1/kÛ(k+2)/(k+1) 2 <1/kÛ

Ûk(k+2)<(k+1) 2Û k 2 +2k

Ang huli ay halata, at samakatuwid

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1).

Sa bisa ng paraan ng mathematical induction, ang hindi pagkakapantay-pantay ay napatunayan.

Konklusyon

Sa partikular, sa pag-aaral ng paraan ng matematikal na induction, napabuti ko ang aking kaalaman sa larangang ito ng matematika, at natutunan din kung paano lutasin ang mga problema na dati ay lampas sa aking kapangyarihan.

Karaniwan, ang mga ito ay lohikal at nakakaaliw na mga gawain, i.e. lamang ang mga nagdaragdag ng interes sa matematika mismo bilang isang agham. Ang solusyon sa naturang mga problema ay nagiging isang nakakaaliw na aktibidad at maaaring makaakit ng higit pa at mas mausisa na mga tao sa mathematical labyrinths. Sa aking palagay, ito ang batayan ng anumang agham.

Sa patuloy na pag-aaral ng paraan ng mathematical induction, susubukan kong matutunan kung paano ilapat ito hindi lamang sa matematika, kundi pati na rin sa paglutas ng mga problema sa physics, chemistry at buhay mismo.

MATHEMATICS:

LECTURES, TAKS, SOLUTIONS

Teksbuk / V. G. Boltyansky, Yu. V. Sidorov, M. I. Shabunin. Potpourri LLC 1996.

ALGEBRA AT ANG MGA PRINSIPYO NG PAGSUSURI

Teksbuk / I.T. Demidov, A.N. Kolmogorov, S.I. Shvartsburg, O.S. Ivashev-Musatov, B.E. Veits. "Enlightenment" 1975.

Ang tunay na kaalaman sa lahat ng oras ay nakabatay sa pagtatatag ng isang pattern at pagpapatunay ng katotohanan nito sa ilang mga pangyayari. Para sa isang mahabang panahon ng pagkakaroon ng lohikal na pangangatwiran, ibinigay ang mga pormulasyon ng mga patakaran, at si Aristotle ay nagtipon pa ng isang listahan ng "tamang pangangatwiran." Sa kasaysayan, kaugalian na hatiin ang lahat ng hinuha sa dalawang uri - mula sa kongkreto hanggang sa maramihan (induction) at vice versa (deduction). Dapat tandaan na ang mga uri ng ebidensya mula partikular hanggang pangkalahatan at mula pangkalahatan hanggang partikular ay umiiral lamang sa pagkakaugnay at hindi maaaring palitan.

Induction sa matematika

Ang terminong "induction" (induction) ay may mga salitang Latin at literal na isinasalin bilang "guidance". Sa masusing pag-aaral, maaaring makilala ng isang tao ang istruktura ng salita, katulad ng Latin na unlapi - in- (nagsasaad ng direktang aksyon papasok o nasa loob) at -duction - panimula. Kapansin-pansin na mayroong dalawang uri - kumpleto at hindi kumpletong induction. Ang buong anyo ay nailalarawan sa pamamagitan ng mga konklusyon na nakuha mula sa pag-aaral ng lahat ng mga paksa ng isang tiyak na klase.

Hindi kumpleto - mga konklusyon na inilapat sa lahat ng mga paksa ng klase, ngunit ginawa batay sa pag-aaral ng ilang mga yunit lamang.

Ang kumpletong mathematical induction ay isang konklusyon batay sa isang pangkalahatang konklusyon tungkol sa buong klase ng anumang mga bagay na gumagana na nauugnay sa pamamagitan ng mga relasyon ng natural na serye ng mga numero batay sa kaalaman sa functional na koneksyon na ito. Sa kasong ito, ang proseso ng patunay ay nagaganap sa tatlong yugto:

• sa unang yugto, ang kawastuhan ng pahayag ng mathematical induction ay napatunayan. Halimbawa: f = 1, induction;
• ang susunod na yugto ay batay sa pagpapalagay na ang posisyon ay wasto para sa lahat ng natural na numero. Ibig sabihin, f=h, ito ang inductive assumption;
• sa ikatlong yugto, ang bisa ng posisyon para sa bilang na f=h+1 ay napatunayan, batay sa kawastuhan ng posisyon ng nakaraang talata - ito ay isang induction transition, o isang hakbang ng mathematical induction. Ang isang halimbawa ay ang tinatawag na kung ang unang buto sa hilera ay bumagsak (batay), pagkatapos ang lahat ng mga buto sa hilera ay bumagsak (transisyon).

Parehong pabiro at seryoso

Para sa kadalian ng pang-unawa, ang mga halimbawa ng mga solusyon sa pamamagitan ng pamamaraan ng induction ng matematika ay tinuligsa sa anyo ng mga problema sa biro. Ito ang gawain ng Polite Queue:

• Ang mga alituntunin ng pag-uugali ay nagbabawal sa isang lalaki na lumiko sa harap ng isang babae (sa ganoong sitwasyon, hinahayaan siya sa harap). Batay sa pahayag na ito, kung ang huling nasa linya ay isang lalaki, kung gayon ang lahat ng iba ay mga lalaki.

Ang isang kapansin-pansing halimbawa ng paraan ng matematikal na induction ay ang problemang "Dimensionless flight":

• Kinakailangang patunayan na anumang bilang ng mga tao ang magkasya sa minibus. Totoo na ang isang tao ay maaaring magkasya sa loob ng transportasyon nang walang kahirapan (basis). Ngunit gaano man kapuno ang minibus, 1 pasahero ang palaging kasya dito (induction step).

pamilyar na mga bilog

Ang mga halimbawa ng paglutas ng mga problema at equation sa pamamagitan ng mathematical induction ay medyo karaniwan. Bilang isang paglalarawan ng pamamaraang ito, maaari nating isaalang-alang ang sumusunod na problema.

Kundisyon: h ang mga bilog ay inilalagay sa eroplano. Ito ay kinakailangan upang patunayan na, para sa anumang pag-aayos ng mga figure, ang mapa na nabuo sa pamamagitan ng mga ito ay maaaring tama ang kulay na may dalawang kulay.

Desisyon: para sa h=1 ang katotohanan ng pahayag ay halata, kaya ang patunay ay bubuo para sa bilang ng mga lupon h+1.

Ipagpalagay natin na ang pahayag ay totoo para sa anumang mapa, at ang h + 1 na bilog ay ibinibigay sa eroplano. Sa pamamagitan ng pag-alis ng isa sa mga bilog mula sa kabuuan, maaari kang makakuha ng isang mapa na may tamang kulay sa dalawang kulay (itim at puti).

Kapag ibinabalik ang isang tinanggal na bilog, ang kulay ng bawat lugar ay nagbabago sa kabaligtaran (sa kasong ito, sa loob ng bilog). Ito ay lumiliko ang isang mapa na may tamang kulay sa dalawang kulay, na kinakailangan upang mapatunayan.

Mga halimbawa na may natural na mga numero

Ang aplikasyon ng paraan ng matematikal na induction ay malinaw na ipinapakita sa ibaba.

Mga halimbawa ng solusyon:

Patunayan na para sa anumang h ang pagkakapantay-pantay ay magiging tama:

1 2 +2 2 +3 2 +…+h 2 =h(h+1)(2h+1)/6.

1. Hayaan ang h=1, pagkatapos ay:

R 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1

Ito ay sumusunod mula dito na para sa h=1 ang pahayag ay tama.

2. Ipagpalagay na h=d, ang sumusunod na equation ay nakuha:

R 1 \u003d d 2 \u003d d (d + 1) (2d + 1) / 6 \u003d 1

3. Ipagpalagay na h=d+1, lumalabas na:

R d+1 =(d+1) (d+2) (2d+3)/6

R d+1 = 1 2 +2 2 +3 2 +…+d 2 +(d+1) 2 = d(d+1)(2d+1)/6+ (d+1) 2 =(d( d+1)(2d+1)+6(d+1) 2)/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6=

(d+1)(2d 2 +7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)( 2d+3)/6.

Kaya, ang bisa ng pagkakapantay-pantay para sa h=d+1 ay napatunayan, kaya ang pahayag ay totoo para sa anumang natural na numero, na ipinapakita sa halimbawa ng solusyon sa pamamagitan ng mathematical induction.

Gawain

Kundisyon: kailangan ng patunay na para sa anumang halaga ng h, ang expression na 7 h -1 ay mahahati ng 6 na walang natitira.

Desisyon:

1. Sabihin nating h=1, sa kasong ito:

R 1 \u003d 7 1 -1 \u003d 6 (i.e. hinati sa 6 na walang natitira)

Samakatuwid, para sa h=1 ang pahayag ay totoo;

2. Hayaang h=d at 7 d -1 ay mahahati ng 6 na walang nalalabi;

3. Ang patunay ng bisa ng pahayag para sa h=d+1 ay ang formula:

R d +1 =7 d +1 -1=7∙7 d -7+6=7(7 d -1)+6

Sa kasong ito, ang unang termino ay nahahati ng 6 sa pagpapalagay ng unang talata, at ang pangalawang termino ay katumbas ng 6. Ang pahayag na ang 7 h -1 ay nahahati ng 6 na walang nalalabi para sa anumang natural na h ay totoo.

Pagkakamali ng paghatol

Kadalasan, ang maling pangangatwiran ay ginagamit sa mga patunay, dahil sa hindi kawastuhan ng mga lohikal na konstruksiyon na ginamit. Karaniwan, ito ay nangyayari kapag ang istraktura at lohika ng patunay ay nilabag. Ang isang halimbawa ng maling pangangatwiran ay ang sumusunod na paglalarawan.

Gawain

Kundisyon: nangangailangan ng patunay na ang anumang tumpok ng mga bato ay hindi isang tumpok.

Desisyon:

1. Sabihin natin h=1, sa kasong ito mayroong 1 bato sa tumpok at ang pahayag ay totoo (batayan);

2. Hayaang totoo para sa h=d na ang isang tumpok ng mga bato ay hindi isang tumpok (pagpapalagay);

3. Hayaan ang h=d+1, kung saan ito ay sumusunod na kapag ang isa pang bato ay idinagdag, ang hanay ay hindi magiging isang bunton. Ang konklusyon ay nagmumungkahi mismo na ang palagay ay wasto para sa lahat ng natural na h.

Ang pagkakamali ay nakasalalay sa katotohanan na walang kahulugan kung gaano karaming mga bato ang bumubuo ng isang tumpok. Ang ganitong pagkukulang ay tinatawag na madaliang paglalahat sa paraan ng matematikal na induction. Ang isang halimbawa ay malinaw na nagpapakita nito.

Induction at ang mga batas ng lohika

Sa kasaysayan, palagi silang "maglakad nang magkahawak-kamay." Ang ganitong mga pang-agham na disiplina tulad ng lohika, pilosopiya ay naglalarawan sa kanila sa anyo ng mga magkasalungat.

Mula sa pananaw ng batas ng lohika, ang mga inductive na kahulugan ay batay sa mga katotohanan, at ang katotohanan ng mga lugar ay hindi tumutukoy sa kawastuhan ng nagresultang pahayag. Kadalasan ang mga konklusyon ay nakuha na may isang tiyak na antas ng posibilidad at pagiging totoo, na, siyempre, ay dapat na ma-verify at kumpirmahin ng karagdagang pananaliksik. Ang isang halimbawa ng induction sa lohika ay ang pahayag:

Tagtuyot sa Estonia, tagtuyot sa Latvia, tagtuyot sa Lithuania.

Ang Estonia, Latvia at Lithuania ay ang mga estado ng Baltic. Tagtuyot sa lahat ng estado ng Baltic.

Mula sa halimbawa, mahihinuha natin na ang bagong impormasyon o katotohanan ay hindi makukuha gamit ang paraan ng induction. Ang tanging maaasahan ay ang ilang posibleng katotohanan ng mga konklusyon. Bukod dito, ang katotohanan ng lugar ay hindi ginagarantiyahan ang parehong mga konklusyon. Gayunpaman, ang katotohanang ito ay hindi nangangahulugan na ang induction ay namumulaklak sa likod-bahay ng pagbabawas: isang malaking bilang ng mga probisyon at mga batas pang-agham ay napatunayan gamit ang paraan ng induction. Mathematics, biology at iba pang agham ay maaaring magsilbi bilang isang halimbawa. Ito ay higit sa lahat dahil sa paraan ng kumpletong induction, ngunit sa ilang mga kaso bahagyang ay naaangkop din.

Ang kagalang-galang na edad ng induction ay pinahintulutan itong tumagos sa halos lahat ng larangan ng aktibidad ng tao - ito ay agham, ekonomiya, at pang-araw-araw na konklusyon.

Induction sa kapaligirang pang-agham

Ang pamamaraan ng induction ay nangangailangan ng isang maingat na saloobin, dahil masyadong marami ang nakasalalay sa bilang ng mga pinag-aralan na detalye ng kabuuan: mas malaki ang bilang na pinag-aralan, mas maaasahan ang resulta. Batay sa tampok na ito, ang mga pang-agham na batas na nakuha sa pamamagitan ng paraan ng induction ay nasubok para sa isang sapat na mahabang panahon sa antas ng mga probabilistic na pagpapalagay upang ihiwalay at pag-aralan ang lahat ng posibleng mga elemento ng istruktura, koneksyon at impluwensya.

Sa agham, ang inductive na konklusyon ay batay sa mga makabuluhang tampok, maliban sa mga random na probisyon. Ang katotohanang ito ay mahalaga kaugnay ng mga detalye ng kaalamang pang-agham. Ito ay malinaw na nakikita sa mga halimbawa ng induction sa agham.

Mayroong dalawang uri ng induction sa siyentipikong mundo (kaugnay ng paraan ng pag-aaral):

1. induction-selection (o pagpili);
2. induction - pagbubukod (pag-aalis).

Ang unang uri ay nakikilala sa pamamagitan ng methodical (scruttinous) sampling ng isang klase (subclasses) mula sa iba't ibang lugar nito.

Ang isang halimbawa ng ganitong uri ng induction ay ang mga sumusunod: ang pilak (o mga silver salt) ay nagpapadalisay ng tubig. Ang konklusyon ay batay sa mga pangmatagalang obserbasyon (isang uri ng pagpili ng mga kumpirmasyon at pagtanggi - pagpili).

Ang pangalawang uri ng induction ay batay sa mga konklusyon na nagtatatag ng mga ugnayang sanhi at nagbubukod ng mga pangyayari na hindi tumutugma sa mga pag-aari nito, ibig sabihin, universality, pagsunod sa temporal na pagkakasunud-sunod, pangangailangan at hindi malabo.

Induction at deduction mula sa pananaw ng pilosopiya

Kung titingnan mo ang historical retrospective, ang terminong "induction" ay unang binanggit ni Socrates. Inilarawan ni Aristotle ang mga halimbawa ng induction sa pilosopiya sa isang mas tinatayang terminolohikal na diksyunaryo, ngunit ang tanong ng hindi kumpletong induction ay nananatiling bukas. Matapos ang pag-uusig ng Aristotelian syllogism, ang inductive method ay nagsimulang makilala bilang mabunga at ang tanging posible sa natural na agham. Ang Bacon ay itinuturing na ama ng induction bilang isang independiyenteng espesyal na pamamaraan, ngunit nabigo siyang maghiwalay, tulad ng hinihiling ng kanyang mga kontemporaryo, induction mula sa deductive method.

Ang karagdagang pag-unlad ng induction ay isinagawa ni J. Mill, na isinasaalang-alang ang induction theory mula sa pananaw ng apat na pangunahing pamamaraan: kasunduan, pagkakaiba, nalalabi at kaukulang mga pagbabago. Hindi nakakagulat na ngayon ang mga nakalistang pamamaraan, kung isasaalang-alang nang detalyado, ay deductive.

Ang kamalayan sa hindi pagkakapare-pareho ng mga teorya ng Bacon at Mill ay humantong sa mga siyentipiko na siyasatin ang probabilistikong batayan ng induction. Gayunpaman, kahit na dito mayroong ilang mga sukdulan: ang mga pagtatangka ay ginawa upang bawasan ang induction sa teorya ng probabilidad, kasama ang lahat ng kasunod na mga kahihinatnan.

Ang induction ay nakakakuha ng boto ng pagtitiwala sa praktikal na aplikasyon sa ilang partikular na paksa at salamat sa katumpakan ng panukat ng inductive na batayan. Ang isang halimbawa ng induction at deduction sa pilosopiya ay maaaring ituring na batas ng unibersal na grabitasyon. Sa petsa ng pagkatuklas ng batas, nagawang i-verify ito ni Newton na may katumpakan na 4 na porsyento. At kapag nagsuri pagkatapos ng higit sa dalawang daang taon, ang kawastuhan ay nakumpirma na may katumpakan na 0.0001 porsyento, kahit na ang pagsusuri ay isinagawa sa pamamagitan ng parehong inductive generalizations.

Ang modernong pilosopiya ay mas binibigyang pansin ang pagbabawas, na idinidikta ng isang lohikal na pagnanais na makakuha ng bagong kaalaman (o katotohanan) mula sa kung ano ang alam na, nang hindi gumagamit ng karanasan, intuwisyon, ngunit gumagamit ng "dalisay" na pangangatwiran. Kapag tinutukoy ang totoong premises sa deductive method, sa lahat ng kaso, ang output ay isang totoong pahayag.

Ang napakahalagang katangiang ito ay hindi dapat magiba sa halaga ng inductive method. Dahil ang induction, batay sa mga nakamit ng karanasan, ay nagiging paraan din ng pagproseso nito (kabilang ang generalization at systematization).

Paglalapat ng induction sa ekonomiya

Matagal nang ginagamit ang induction at deduction bilang mga paraan ng pag-aaral ng ekonomiya at paghula sa pag-unlad nito.

Ang saklaw ng paggamit ng paraan ng induction ay medyo malawak: ang pag-aaral ng katuparan ng mga tagapagpahiwatig ng forecast (kita, pamumura, atbp.) At isang pangkalahatang pagtatasa ng estado ng negosyo; pagbuo ng isang epektibong patakaran sa promosyon ng negosyo batay sa mga katotohanan at kanilang mga relasyon.

Ang parehong paraan ng induction ay ginagamit sa mga tsart ni Shewhart, kung saan, sa ilalim ng pagpapalagay na ang mga proseso ay nahahati sa kontrolado at hindi pinamamahalaan, ito ay nakasaad na ang balangkas ng kinokontrol na proseso ay hindi aktibo.

Dapat pansinin na ang mga siyentipikong batas ay pinatunayan at nakumpirma gamit ang paraan ng induction, at dahil ang ekonomiya ay isang agham na madalas na gumagamit ng mathematical analysis, risk theory at statistical data, hindi talaga nakakagulat na ang induction ay kasama sa listahan ng mga pangunahing paraan.

Ang sumusunod na sitwasyon ay maaaring magsilbing halimbawa ng induction at deduction sa ekonomiya. Ang pagtaas ng presyo ng pagkain (mula sa basket ng consumer) at mahahalagang produkto ay nagtutulak sa mamimili na isipin ang umuusbong na mataas na gastos sa estado (induction). Kasabay nito, mula sa katotohanan ng mataas na gastos, gamit ang mga pamamaraan ng matematika, posible na makakuha ng mga tagapagpahiwatig ng paglago ng presyo para sa mga indibidwal na kalakal o mga kategorya ng mga kalakal (bawas).

Kadalasan, ang mga tauhan ng pamamahala, mga tagapamahala, at mga ekonomista ay bumaling sa paraan ng induction. Upang mahulaan ang pag-unlad ng isang negosyo, pag-uugali sa merkado, at ang mga kahihinatnan ng kompetisyon na may sapat na katotohanan, isang inductive-deductive na diskarte sa pagsusuri at pagproseso ng impormasyon ay kinakailangan.

Isang mapaglarawang halimbawa ng induction sa economics, na tumutukoy sa mga maling paghuhusga:

• bumaba ng 30% ang tubo ng kumpanya;
  pinalawak ng isang katunggali ang linya ng produkto nito;
  walang ibang nagbago;
• ang patakaran sa produksyon ng isang nakikipagkumpitensyang kumpanya ay nagdulot ng pagbawas ng tubo ng 30%;
• samakatuwid, ang parehong patakaran sa produksyon ay kailangang ipatupad.

Ang halimbawa ay isang makulay na paglalarawan kung paano ang hindi wastong paggamit ng paraan ng induction ay nakakatulong sa pagkasira ng isang negosyo.

Pagbawas at induction sa sikolohiya

Dahil mayroong isang pamamaraan, kung gayon, lohikal, mayroon ding maayos na pag-iisip (para sa paggamit ng pamamaraan). Ang sikolohiya bilang isang agham na nag-aaral ng mga proseso ng pag-iisip, ang kanilang pagbuo, pag-unlad, relasyon, pakikipag-ugnayan, ay binibigyang pansin ang "deductive" na pag-iisip bilang isa sa mga anyo ng pagpapakita ng pagbabawas at induction. Sa kasamaang palad, sa mga pahina ng sikolohiya sa Internet, halos walang katwiran para sa integridad ng paraan ng deductive-inductive. Kahit na ang mga propesyonal na psychologist ay mas malamang na makatagpo ng mga pagpapakita ng induction, o sa halip, mga maling konklusyon.

Ang isang halimbawa ng induction sa sikolohiya, bilang isang paglalarawan ng mga maling paghatol, ay ang pahayag: ang aking ina ay isang manlilinlang, samakatuwid, ang lahat ng mga kababaihan ay manlilinlang. Mayroong higit pang mga "mali" na halimbawa ng induction mula sa buhay:

• ang isang mag-aaral ay walang kakayahan sa anumang bagay kung nakatanggap siya ng deuce sa matematika;
• siya ay isang hangal;
• matalino siya;
• Kaya kong gawin lahat;

At marami pang ibang paghatol sa halaga batay sa ganap na random at kung minsan ay hindi gaanong mahalaga na mga mensahe.

Dapat pansinin: kapag ang kamalian ng mga paghatol ng isang tao ay umabot sa punto ng kahangalan, isang harap ng trabaho ay lilitaw para sa psychotherapist. Isang halimbawa ng induction sa isang appointment sa espesyalista:

"Ang pasyente ay ganap na sigurado na ang pulang kulay ay nagdadala lamang ng panganib para sa kanya sa anumang mga pagpapakita. Bilang isang resulta, ang isang tao ay hindi kasama ang scheme ng kulay na ito mula sa kanyang buhay - hangga't maaari. Sa kapaligiran ng tahanan, maraming pagkakataon para sa komportableng pamumuhay. Maaari mong tanggihan ang lahat ng mga pulang item o palitan ang mga ito ng mga analogue na ginawa sa ibang scheme ng kulay. Ngunit sa mga pampublikong lugar, sa trabaho, sa tindahan - imposible. Sa pagkakaroon ng isang sitwasyon ng stress, ang pasyente sa bawat oras ay nakakaranas ng isang "tide" ng ganap na magkakaibang mga emosyonal na estado, na maaaring mapanganib para sa iba."

Ang halimbawang ito ng induction, at walang malay, ay tinatawag na "fixed ideas." Kung nangyari ito sa isang taong malusog sa pag-iisip, maaari nating pag-usapan ang kakulangan ng organisasyon ng aktibidad ng pag-iisip. Ang elementarya na pag-unlad ng deductive na pag-iisip ay maaaring maging isang paraan upang maalis ang mga obsessive na estado. Sa ibang mga kaso, nakikipagtulungan ang mga psychiatrist sa mga naturang pasyente.

Ang mga halimbawa sa itaas ng induction ay nagpapahiwatig na "ang kamangmangan sa batas ay hindi exempt mula sa mga kahihinatnan (maling mga paghatol)."

Ang mga psychologist, na nagtatrabaho sa paksa ng deduktibong pag-iisip, ay nag-compile ng isang listahan ng mga rekomendasyon na idinisenyo upang matulungan ang mga tao na makabisado ang pamamaraang ito.

Ang unang hakbang ay paglutas ng problema. Tulad ng makikita, ang anyo ng induction na ginagamit sa matematika ay maaaring ituring na "klasikal", at ang paggamit ng paraang ito ay nakakatulong sa "disiplina" ng isip.

Ang susunod na kondisyon para sa pagbuo ng deduktibong pag-iisip ay ang pagpapalawak ng mga abot-tanaw (yaong mga nag-iisip nang malinaw, malinaw na nagsasaad). Idinidirekta ng rekomendasyong ito ang "pagdurusa" sa mga kabang-yaman ng agham at impormasyon (mga aklatan, website, mga hakbangin sa edukasyon, paglalakbay, atbp.).

Hiwalay, dapat na banggitin ang tinatawag na "psychological induction". Ang terminong ito, kahit na madalang, ay matatagpuan sa Internet. Ang lahat ng mga mapagkukunan ay hindi nagbibigay ng hindi bababa sa isang maikling kahulugan ng terminong ito, ngunit tumutukoy sa "mga halimbawa mula sa buhay", habang inilalahad ang alinman sa mungkahi, ilang anyo ng sakit sa pag-iisip, o matinding estado ng psyche ng tao bilang isang bagong uri ng induction. Mula sa lahat ng nasa itaas, malinaw na ang pagtatangkang kumuha ng "bagong termino" batay sa maling (madalas na hindi totoo) na mga lugar ay humaharang sa eksperimento na makatanggap ng maling (o padalos-dalos) na pahayag.

Dapat tandaan na ang sanggunian sa 1960 na mga eksperimento (nang hindi ipinapahiwatig ang lugar, ang mga pangalan ng mga eksperimento, ang sample ng mga paksa, at higit sa lahat, ang layunin ng eksperimento) ay mukhang, upang ilagay ito nang mahinahon, hindi nakakumbinsi, at ang pahayag na ang utak ay nakakakita ng impormasyon na lumalampas sa lahat ng mga organo ng pang-unawa (ang pariralang "nakaranas" sa kasong ito ay magkasya sa mas organikong paraan), ay nag-iisip tungkol sa pagiging mapaniwalain at hindi mapanuri ng may-akda ng pahayag.

Sa halip na isang konklusyon

Ang reyna ng mga agham - matematika, hindi walang kabuluhan ay gumagamit ng lahat ng posibleng reserba ng paraan ng induction at deduction. Ang mga isinasaalang-alang na mga halimbawa ay nagbibigay-daan sa amin na maghinuha na ang mababaw at hindi wasto (hindi pinag-iisipan, gaya ng sinasabi nila) na paggamit ng kahit na ang pinakatumpak at maaasahang mga pamamaraan ay palaging humahantong sa mga maling resulta.

Sa kamalayan ng masa, ang paraan ng pagbabawas ay nauugnay sa sikat na Sherlock Holmes, na sa kanyang mga lohikal na konstruksyon ay madalas na gumagamit ng mga halimbawa ng induction, gamit ang pagbabawas sa mga kinakailangang sitwasyon.

Isinasaalang-alang ng artikulo ang mga halimbawa ng aplikasyon ng mga pamamaraang ito sa iba't ibang mga agham at larangan ng buhay ng tao.

Ang induction ng matematika ay sumasailalim sa isa sa mga pinakakaraniwang pamamaraan ng mga patunay sa matematika. Sa tulong nito, mapapatunayan mo ang karamihan sa mga formula na may natural na mga numero n, halimbawa, ang formula para sa paghahanap ng kabuuan ng mga unang termino ng progression S n = 2 a 1 + n - 1 d 2 n, binomial formula ng Newton a + b n = C n 0 a n C n 1 a n - 1 b + . . . + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n .

Sa unang talata, susuriin namin ang mga pangunahing konsepto, pagkatapos ay isasaalang-alang namin ang mga pangunahing kaalaman ng pamamaraan mismo, at pagkatapos ay sasabihin namin sa iyo kung paano gamitin ito upang patunayan ang mga pagkakapantay-pantay at hindi pagkakapantay-pantay.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Mga konsepto ng induction at deduction

Una, tingnan natin kung ano ang induction at deduction sa pangkalahatan.

Kahulugan 1

Induction ay ang paglipat mula sa partikular tungo sa pangkalahatan, at bawas sa kabaligtaran, mula sa pangkalahatan hanggang sa partikular.

Halimbawa, mayroon tayong pahayag: 254 ay maaaring hatiin sa dalawa nang buo. Mula dito maaari tayong gumuhit ng maraming konklusyon, kung saan magkakaroon ng parehong totoo at mali. Halimbawa, ang pahayag na ang lahat ng integer na may numerong 4 sa dulo ay maaaring hatiin ng dalawa nang walang natitira ay totoo, ngunit ang anumang bilang ng tatlong digit na mahahati ng 2 ay mali.

Sa pangkalahatan, masasabi na sa tulong ng induktibong pangangatwiran, maraming konklusyon ang maaaring makuha mula sa isang kilala o malinaw na pangangatwiran. Binibigyang-daan tayo ng induction ng matematika na matukoy kung gaano kabisa ang mga konklusyong ito.

Ipagpalagay na mayroon tayong pagkakasunod-sunod ng mga numero tulad ng 1 1 2 , 1 2 3 , 1 3 4 , 1 4 5 , . . . , 1 n (n + 1) , kung saan ang n ay nagsasaad ng ilang natural na numero. Sa kasong ito, kapag nagdaragdag ng mga unang elemento ng pagkakasunud-sunod, nakukuha namin ang sumusunod:

S 1 \u003d 1 1 2 \u003d 1 2, S 2 \u003d 1 1 2 + 1 2 3 \u003d 2 3, S 3 \u003d 1 1 2 + 1 2 3 + 1 3 4 \u003d 4 3 = 1 1 2 + 1 2 3 + 1 3 4 + 1 4 5 = 4 5 , . . .

Gamit ang induction, maaari nating tapusin na S n = n n + 1 . Sa ikatlong bahagi ay patunayan natin ang formula na ito.

Ano ang paraan ng mathematical induction

Ang pamamaraang ito ay batay sa prinsipyo ng parehong pangalan. Ito ay nabuo tulad nito:

Kahulugan 2

Ang isang tiyak na pahayag ay magiging totoo para sa isang natural na halaga n kapag 1) ito ay magiging totoo para sa n = 1 at 2) mula sa katotohanan na ang expression na ito ay totoo para sa isang di-makatwirang natural na halaga n = k , ito ay sumusunod na ito ay magiging totoo din. para sa n = k + 1 .

Ang aplikasyon ng pamamaraan ng induction ng matematika ay isinasagawa sa 3 yugto:

1. Una, sinusuri namin ang kawastuhan ng orihinal na pahayag sa kaso ng isang di-makatwirang natural na halaga ng n (karaniwang ang pagsubok ay ginagawa para sa pagkakaisa).
2. Pagkatapos nito, sinusuri namin ang katapatan sa n = k .
3. At pagkatapos ay patunayan natin ang bisa ng pahayag kung n = k + 1 .

Paano ilapat ang paraan ng mathematical induction kapag nilulutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay at mga equation

Kunin natin ang halimbawang pinag-usapan natin kanina.

Halimbawa 1

Patunayan ang formula S n = 1 1 2 + 1 2 3 + . . . + 1 n (n + 1) = n n + 1 .

Desisyon

Tulad ng alam na natin, upang mailapat ang pamamaraan ng induction ng matematika, tatlong magkakasunod na hakbang ang dapat gawin.

1. Una, sinusuri namin kung ang pagkakapantay-pantay na ito ay magiging wasto para sa n katumbas ng isa. Nakukuha namin ang S 1 \u003d 1 1 2 \u003d 1 1 + 1 \u003d 1 2. Lahat ay tama dito.
2. Dagdag pa, ginagawa namin ang pagpapalagay na ang formula S k = k k + 1 ay tama.
3. Sa ikatlong hakbang, kailangan nating patunayan na S k + 1 = k + 1 k + 1 + 1 = k + 1 k + 2 , batay sa bisa ng nakaraang pagkakapantay-pantay.

Maaari nating katawanin ang k + 1 bilang kabuuan ng mga unang termino ng orihinal na pagkakasunod-sunod at k + 1:

S k + 1 = S k + 1 k + 1 (k + 2)

Dahil sa pangalawang hakbang nakuha namin na S k = k k + 1, maaari naming isulat ang sumusunod:

S k + 1 = S k + 1 k + 1 (k + 2) .

Ngayon ginagawa namin ang mga kinakailangang pagbabago. Kakailanganin nating bawasan ang fraction sa isang common denominator, bawasan ang mga katulad na termino, ilapat ang pinaikling formula ng multiplikasyon at bawasan ang nangyari:

S k + 1 = S k + 1 k + 1 (k + 2) = k k + 1 + 1 k + 1 (k + 2) = = k (k + 2) + 1 k + 1 (k + 2) = k 2 + 2 k + 1 k + 1 (k + 2) = (k + 1) 2 k + 1 (k + 2) = k + 1 k + 2

Kaya, napatunayan namin ang pagkakapantay-pantay sa ikatlong punto sa pamamagitan ng pagsasagawa ng lahat ng tatlong hakbang ng pamamaraan ng mathematical induction.

Sagot: tama ang palagay tungkol sa formula na S n = n n + 1.

Isaalang-alang natin ang isang mas kumplikadong problema sa mga function ng trigonometriko.

Halimbawa 2

Magbigay ng patunay ng pagkakakilanlan cos 2 α · cos 4 α · . . . cos 2 n α \u003d sin 2 n + 1 α 2 n sin 2 α.

Desisyon

Tulad ng naaalala natin, ang unang hakbang ay dapat na suriin ang kawastuhan ng pagkakapantay-pantay kapag ang n ay katumbas ng isa. Upang malaman, kailangan nating tandaan ang mga pangunahing trigonometric formula.

cos 2 1 = cos 2 α sin 2 1 + 1 α 2 1 sin 2 α = sin 4 α 2 sin 2 α = 2 sin 2 α cos 2 α 2 sin 2 α = cos 2 α

Samakatuwid, para sa n katumbas ng isa, ang pagkakakilanlan ay magiging totoo.

Ngayon ipagpalagay na ang bisa nito ay napanatili para sa n = k , i.e. magiging totoo na cos 2 α · cos 4 α · . . . cos 2 k α \u003d sin 2 k + 1 α 2 k sin 2 α.

Pinatutunayan namin ang pagkakapantay-pantay cos 2 α · cos 4 α · . . . cos 2 k + 1 α = sin 2 k + 2 α 2 k + 1 sin 2 α para sa kaso kapag n = k + 1, batay sa nakaraang palagay.

Ayon sa trigonometric formula,

sin 2 k + 1 α cos 2 k + 1 α = = 1 2 (sin (2 k + 1 α + 2 k + 1 α) + sin (2 k + 1 α - 2 k + 1 α)) = = 1 2 kasalanan (2 2 k + 1 α) + sin 0 = 1 2 sin 2 k + 2 α

Kaya naman,

cos 2 α cos 4 α . . . · cos 2 k + 1 α = = cos 2 α · cos 4 α · . . . cos 2 k α cos 2 k + 1 α = = sin 2 k + 1 α 2 k sin 2 α cos 2 k + 1 α = 1 2 sin 2 k + 1 α 2 k sin 2 α = sin 2 k + 2 α 2 k + 1 sin 2 α

Ang isang halimbawa ng paglutas sa problema ng pagpapatunay ng hindi pagkakapantay-pantay gamit ang pamamaraang ito ay ibinigay sa artikulo sa pamamaraan ng least squares. Basahin ang talata kung saan hinango ang mga formula para sa paghahanap ng mga approximation coefficient.

Kung may napansin kang pagkakamali sa teksto, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Ang isang patunay na paraan batay sa axiom 4 ng Peano ay ginagamit upang patunayan ang maraming mga katangiang pangmatematika at iba't ibang pahayag. Ang batayan para dito ay ang sumusunod na teorama.

Teorama. Kung ang pahayag PERO(n) na may likas na variable n totoo para sa n= 1 at mula sa katotohanang ito ay totoo para sa n=k, ito ay sumusunod na ito ay totoo rin para sa susunod na numero n=k, pagkatapos ay ang pahayag PERO(n) n.

Patunay. Tukuyin ng M ang set ng mga iyon at ang mga natural na numero lamang kung saan ang pahayag PERO(n) totoo. Pagkatapos mula sa kondisyon ng teorama mayroon tayong: 1) 1 M; 2) k MkM. Samakatuwid, sa batayan ng Axiom 4, napagpasyahan namin iyon M =N, ibig sabihin. pahayag PERO(n) totoo para sa anumang natural n.

Ang paraan ng patunay batay sa teorama na ito ay tinatawag paraan ng mathematical induction, at ang axiom ay ang axiom ng induction. Ang patunay na ito ay may dalawang bahagi:

1) patunayan na ang pahayag PERO(n) totoo para sa n= A(1);

2) ipagpalagay na ang pahayag PERO(n) totoo para sa n=k, at, simula sa pagpapalagay na ito, patunayan na ang pahayag A(n) totoo para sa n=k+ 1, ibig sabihin. na totoo ang pahayag A(k) A(k + 1).

Kung ang PERO( 1) PERO(k) A(k + 1) ay isang tunay na pahayag, pagkatapos ay hinuhusgahan nila na ang pahayag A(n) totoo para sa anumang natural na numero n.

Ang patunay sa pamamagitan ng mathematical induction ay maaaring magsimula hindi lamang sa pagkumpirma ng katotohanan ng pahayag para sa n= 1, ngunit mula rin sa anumang natural na numero m. Sa kasong ito, ang pahayag PERO(n) ay mapapatunayan para sa lahat ng natural na numero nm.

Problema. Patunayan natin na para sa anumang natural na numero ang pagkakapantay-pantay 1 + 3 + 5 ... + (2 n- 1) = n.

Desisyon. Pagkakapantay-pantay 1 + 3 + 5 ... + (2 n- 1) = n ay isang formula na maaaring magamit upang mahanap ang kabuuan ng unang magkakasunod na kakaibang natural na mga numero. Halimbawa, 1 + 3 + 5 + 7 = 4= 16 (ang kabuuan ay naglalaman ng 4 na termino), 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 6= 36 (ang kabuuan ay naglalaman ng 6 na termino); kung ang kabuuan na ito ay naglalaman ng 20 termino ng ipinahiwatig na uri, kung gayon ito ay katumbas ng 20 = 400, atbp. Sa pagpapatunay ng katotohanan ng pagkakapantay-pantay na ito, mahahanap natin ang kabuuan ng anumang bilang ng mga termino ng tinukoy na uri gamit ang formula.

1) I-verify ang katotohanan ng pagkakapantay-pantay na ito para sa n= 1. Kailan n= 1 ang kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay binubuo ng isang termino na katumbas ng 1, ang kanang bahagi ay katumbas ng 1= 1. Dahil 1 = 1, pagkatapos ay para sa n= 1 ang pagkakapantay-pantay na ito ay totoo.

2) Ipagpalagay na ang pagkakapantay-pantay na ito ay totoo para sa n=k, ibig sabihin. na 1 + 3 + 5 + … + (2 k- 1) = k. Batay sa pagpapalagay na ito, pinatutunayan namin na ito ay totoo para sa n=k+ 1, ibig sabihin. 1 + 3 + 5 + ... + (2 k- 1) + (2(k + 1) - 1) = (k + 1).

Isaalang-alang ang kaliwang bahagi ng huling pagkakapantay-pantay.

Sa pamamagitan ng pagpapalagay, ang kabuuan ng una k mga tuntunin ay k at samakatuwid ay 1 + 3 + 5 + ... + (2 k- 1) + (2(k + 1) - 1) = 1 + 3 + 5 + … + (2k- 1) + (2k+ 1)=

= k+(2k + 1) = k+ 2k + 1. Pagpapahayag k+ 2k + 1 ay magkaparehong katumbas ng expression ( k + 1).

Samakatuwid, ang katotohanan ng pagkakapantay-pantay na ito para sa n=k+ 1 ay napatunayan.

Kaya, ang pagkakapantay-pantay na ito ay totoo para sa n= 1 at mula sa katotohanan nito para sa n=k sumusunod sa katotohanan para sa n=k+ 1.

Ito ay nagpapatunay na ang pagkakapantay-pantay na ito ay totoo para sa anumang natural na numero.

Gamit ang paraan ng mathematical induction, mapapatunayan ng isa ang katotohanan ng hindi lamang pagkakapantay-pantay, kundi pati na rin ang mga hindi pagkakapantay-pantay.

Gawain. Patunayan mo kung saan nN.

Desisyon. Suriin natin ang katotohanan ng hindi pagkakapantay-pantay para sa n= 1. Mayroon tayong - isang tunay na hindi pagkakapantay-pantay.

Ipagpalagay natin na ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo para sa n=k, mga. - tunay na hindi pagkakapantay-pantay. Patunayan natin, batay sa palagay, na ito ay totoo para sa n=k+ 1, ibig sabihin. (*).

Binabago namin ang kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay (*), na isinasaalang-alang na : .

Pero , na nangangahulugang at .

Kaya ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay totoo para sa n= 1, at, mula sa katotohanan na ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo para sa ilan n= k, nalaman namin na totoo rin ito para sa n= k + 1.

Kaya, gamit ang Axiom 4, napatunayan namin na ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay totoo para sa anumang natural na numero.

Ang iba pang mga assertion ay maaari ding patunayan sa pamamagitan ng paraan ng mathematical induction.

Gawain. Patunayan na ang pahayag ay totoo para sa anumang natural na numero.

Desisyon. Suriin natin ang katotohanan ng pahayag para sa n= 1: -totoong pahayag.

Ipagpalagay natin na ang pahayag na ito ay totoo para sa n=k: . Ipakita natin, gamit ito, ang katotohanan ng pahayag para sa n=k+ 1: .

Ibahin natin ang ekspresyon: . Hanapin natin ang pagkakaiba k at k+ 1 miyembro. Kung lumalabas na ang resultang pagkakaiba ay isang multiple ng 7, at sa pag-aakalang ang subtrahend ay nahahati ng 7, kung gayon ang minuend ay isang multiple din ng 7:

Ang produkto ay isang multiple ng 7, samakatuwid, at .

Kaya, ang pahayag na ito ay totoo para sa n= 1 at mula sa katotohanan nito para sa n=k sumusunod sa katotohanan para sa n=k+ 1.

Ito ay nagpapatunay na ang pahayag na ito ay totoo para sa anumang natural na numero.

Gawain. Patunayan iyon para sa anumang natural na numero n 2 pahayag (7-1)24 ay totoo.

Desisyon. 1) Suriin ang katotohanan ng pahayag para sa n= 2: - totoong pahayag.

Savelyeva Ekaterina

Isinasaalang-alang ng papel ang aplikasyon ng pamamaraan ng mathematical induction sa paglutas ng mga problema sa divisibility, hanggang sa kabuuan ng serye. Ang mga halimbawa ng aplikasyon ng pamamaraan ng matematikal na induction sa patunay ng mga hindi pagkakapantay-pantay at sa solusyon ng mga problemang geometriko ay isinasaalang-alang. Ang gawain ay inilalarawan sa isang pagtatanghal.

I-download:

Preview:

Ministri ng Agham at Edukasyon ng Russian Federation

Institusyong pang-edukasyon ng estado

sekondaryang paaralan Blg. 618

Kurso: Algebra at Simula ng Pagsusuri

Paksa ng gawaing proyekto

"Paraan ng mathematical induction at ang aplikasyon nito sa paglutas ng problema"

Nakumpleto ang trabaho: Savelyeva E, 11B klase

Superbisor : Makarova T.P., guro sa matematika, sekondaryang paaralan №618

1. Panimula.

2.Paraan ng mathematical induction sa paglutas ng mga problema sa divisibility.

3. Paglalapat ng paraan ng mathematical induction sa pagsusuma ng serye.

4. Mga halimbawa ng paglalapat ng paraan ng mathematical induction sa patunay ng hindi pagkakapantay-pantay.

5. Paglalapat ng paraan ng mathematical induction sa solusyon ng mga geometric na problema.

6. Listahan ng mga ginamit na panitikan.

Panimula

Ang mga pamamaraang deduktibo at pasaklaw ay ang batayan ng anumang pananaliksik sa matematika. Ang deduktibong paraan ng pangangatwiran ay pangangatwiran mula sa pangkalahatan hanggang sa partikular, i.e. pangangatwiran, ang panimulang punto kung saan ay ang pangkalahatang resulta, at ang huling punto ay ang partikular na resulta. Ang induction ay inilalapat kapag pumasa mula sa mga partikular na resulta sa pangkalahatan, i.e. ay kabaligtaran ng pamamaraang deduktibo. Ang paraan ng mathematical induction ay maihahambing sa pag-unlad. Nagsisimula tayo mula sa pinakamababa, bilang resulta ng lohikal na pag-iisip ay narating natin ang pinakamataas. Ang tao ay palaging nagsusumikap para sa pag-unlad, para sa kakayahang paunlarin ang kanyang pag-iisip nang lohikal, na nangangahulugan na ang kalikasan mismo ang nagtakda sa kanya na mag-isip nang pasaklaw. Bagama't lumago ang larangan ng aplikasyon ng pamamaraan ng mathematical induction, kakaunting panahon ang inilalaan dito sa kurikulum ng paaralan. Ngunit napakahalaga na makapag-isip nang inductive. Ang paglalapat ng prinsipyong ito sa paglutas ng mga problema at pagpapatunay ng mga teorema ay katumbas ng pagsasaalang-alang sa pagsasanay sa paaralan ng iba pang mga prinsipyo sa matematika: ang hindi kasama sa gitna, pagsasama-pagbubukod, Dirichlet, atbp. Ang sanaysay na ito ay naglalaman ng mga problema mula sa iba't ibang sangay ng matematika, kung saan ang pangunahing kasangkapan ay ang paraan ng paggamit ng mathematical induction. Sa pagsasalita tungkol sa kahalagahan ng pamamaraang ito, si A.N. Nabanggit ni Kolmogorov na "ang pag-unawa at kakayahang ilapat ang prinsipyo ng induction ng matematika ay isang mahusay na criterion para sa kapanahunan, na talagang kinakailangan para sa isang mathematician." Ang paraan ng induction sa pinakamalawak na kahulugan nito ay binubuo sa paglipat mula sa pribadong mga obserbasyon sa isang unibersal, pangkalahatang pattern o pangkalahatang pagbabalangkas. Sa interpretasyong ito, ang pamamaraan ay, siyempre, ang pangunahing pamamaraan para sa pagsasagawa ng pananaliksik sa anumang eksperimentong natural na agham.

gawaing pantao. Ang pamamaraan (prinsipyo) ng mathematical induction sa pinakasimpleng anyo nito ay ginagamit kapag kinakailangan upang patunayan ang isang pahayag para sa lahat ng natural na numero.

Suliranin 1. Sa kanyang artikulong “Paano Ako Naging Mathematician” A.N. Sumulat si Kolmogorov: "Natutunan ko ang kagalakan ng "pagtuklas" sa matematika nang maaga, na napansin sa edad na lima o anim na taon ang pattern

1 =1 2 ,

1 + 3 = 2 2 ,

1 + 3 + 5 \u003d W 2,

1 + 3 + 5 + 7 = 4 2 at iba pa.

Inilathala ng paaralan ang magazine na "Spring Swallows". Dito, nai-publish ang aking natuklasan ... "

Hindi namin alam kung anong uri ng patunay ang ibinigay sa journal na ito, ngunit nagsimula ang lahat sa mga pribadong obserbasyon. Ang hypothesis mismo, na malamang na lumitaw pagkatapos ng pagtuklas ng mga bahagyang pagkakapantay-pantay na ito, ay ang formula

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n 2

totoo para sa anumang ibinigay na numero n = 1, 2, 3, ...

Upang patunayan ang haka-haka na ito, sapat na upang magtatag ng dalawang katotohanan. Una, para sa n = 1 (at kahit para sa n = 2, 3, 4) ang nais na pahayag ay totoo. Pangalawa, ipagpalagay na ang pahayag ay totoo para sa n = k, at i-verify na ito ay totoo rin para sa n = k + 1:

1 + 3 + 5+…+ (2k - 1) + (2k + 1) = (1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1)) + (2k + 1) = k 2 + (2k + 1) = (k + I) 2 .

Samakatuwid, ang assertion na pinatunayan ay totoo para sa lahat ng mga halaga n: para sa n = 1 ito ay totoo (ito ay napatunayan), at sa bisa ng pangalawang katotohanan, para sa n = 2, kung saan para sa n = 3 (dahil sa parehong pangalawang katotohanan), atbp.

Problema 2. Isaalang-alang ang lahat ng posibleng ordinaryong fraction na may numerator 1 at alinman (positive integer)

denominator: Patunayan iyon para sa alinman n> 3 ay maaaring katawanin bilang isang kabuuan P iba't ibang mga fraction ng ganitong uri.

Desisyon, Suriin muna natin ang assertion na ito para sa n = 3; meron kami:

Samakatuwid, ang pangunahing assertion ay nasiyahan

Ipagpalagay ngayon na ang pahayag ng interes sa amin ay totoo para sa ilang numero sa, at patunayan na ito ay totoo rin para sa bilang na sumusunod dito sa + 1. Sa madaling salita, ipagpalagay na mayroong isang representasyon

kung saan k magkaiba ang mga termino at lahat ng denominator. Patunayan natin na posible na makakuha ng representasyon ng yunit sa anyo ng kabuuan mula sa sa + 1 fraction ng gustong uri. Ipagpalagay natin na ang mga fraction ay bumababa, iyon ay, ang mga denominator (sa representasyon ng yunit sa pamamagitan ng kabuuan sa terms) tumaas mula kaliwa pakanan upang t ay ang pinakamalaki sa mga denominador. Makukuha namin ang representasyon na kailangan namin sa anyo ng isang kabuuan(sa + 1)th fraction, kung hatiin natin ang isang fraction, halimbawa ang huli, sa dalawa. Magagawa ito dahil

At samakatuwid

Bilang karagdagan, ang lahat ng mga fraction ay nananatiling naiiba, dahil t ay ang pinakamalaking denominator, at t + 1 > t, at

m(t + 1) > m.

Kaya, itinatag namin:

1. para sa n = 3 ang pahayag na ito ay totoo;

1. kung ang pahayag na interesado tayo ay totoo sa,
   saka totoo din ito para sa sa + 1.

Sa batayan na ito, maaari nating igiit na ang pahayag na isinasaalang-alang ay totoo para sa lahat ng natural na numero, simula sa tatlo. Bukod dito, ang patunay sa itaas ay nagpapahiwatig din ng isang algorithm para sa paghahanap ng nais na partisyon ng pagkakaisa. (Anong algorithm ito? Isipin ang numero 1 bilang ang kabuuan ng 4, 5, 7 termino mismo.)

Sa paglutas sa nakaraang dalawang problema, dalawang hakbang ang ginawa. Ang unang hakbang ay tinatawag batayan induction, ang pangalawainductive transitiono isang induction step. Ang ikalawang hakbang ay ang pinakamahalaga, at ito ay nagsasangkot ng isang pagpapalagay (ang pahayag ay totoo para sa n = k) at konklusyon (ang pahayag ay totoo para sa n = k + 1). Ang parameter p mismo ay tinatawag parameter ng induction.Ang lohikal na pamamaraan na ito (aparato), na ginagawang posible upang tapusin na ang pahayag na isinasaalang-alang ay totoo para sa lahat ng natural na mga numero (o para sa lahat, simula sa ilan), dahil pareho ang batayan at ang paglipat ay wasto, ay tinatawag naang prinsipyo ng mathematical induction, kung saan at nakabatay ang paraan ng mathematical induction.Ang terminong "induction" mismo ay nagmula sa salitang Latin inductio (patnubay), na nangangahulugan ng paglipat mula sa iisang kaalaman tungkol sa mga indibidwal na bagay ng isang partikular na klase patungo sa isang pangkalahatang konklusyon tungkol sa lahat ng mga bagay ng isang partikular na klase, na isa sa mga pangunahing pamamaraan ng kaalaman.

Ang prinsipyo ng mathematical induction, sa karaniwang anyo ng dalawang hakbang, ay unang lumitaw noong 1654 sa Blaise Pascal's Treatise on the Arithmetic Triangle, kung saan ang isang simpleng paraan upang makalkula ang bilang ng mga kumbinasyon (binomial coefficients) ay napatunayan sa pamamagitan ng induction. Sinipi ni D. Poya si B. Pascal sa aklat na may maliliit na pagbabago na ibinigay sa mga square bracket:

“Sa kabila ng katotohanan na ang panukalang isinasaalang-alang [isang tahasang pormula para sa mga binomial na coefficient] ay naglalaman ng walang katapusang bilang ng mga espesyal na kaso, magbibigay ako ng napakaikling patunay para dito, batay sa dalawang lemma.

Ang unang lemma ay nagsasaad na ang haka-haka ay totoo para sa batayan - ito ay malinaw. [Sa P = 1 ang tahasang formula ay wasto...]

Ang pangalawang lemma ay nagsasaad ng mga sumusunod: kung ang aming palagay ay totoo para sa isang arbitrary na batayan [para sa isang arbitrary na r], ito ay magiging totoo para sa sumusunod na batayan [para sa n + 1].

Ang dalawang lemma na ito ay kinakailangang nagpapahiwatig ng bisa ng panukala para sa lahat ng mga halaga P. Sa katunayan, sa bisa ng unang lemma, ito ay wasto para sa P = 1; samakatuwid, sa bisa ng pangalawang lemma, ito ay wasto para sa P = 2; samakatuwid, muli sa bisa ng pangalawang lemma, ito ay wasto para sa n = 3 at iba pa ad infinitum.

Problema 3. Ang mga tore ng Hanoi puzzle ay binubuo ng tatlong baras. Sa isa sa mga rod ay may isang pyramid (Larawan 1), na binubuo ng ilang mga singsing ng iba't ibang mga diameter, na bumababa mula sa ibaba hanggang sa itaas

Fig 1

Ang pyramid na ito ay dapat ilipat sa isa sa iba pang mga rod, na naglilipat lamang ng isang singsing sa bawat oras at hindi inilalagay ang mas malaking singsing sa mas maliit. Magagawa ba ito?

Desisyon. Kaya, kailangan nating sagutin ang tanong: posible bang ilipat ang isang pyramid na binubuo ng P mga singsing na may iba't ibang diameter, mula sa isang baras patungo sa isa pa, na sumusunod sa mga patakaran ng laro? Ngayon ang problema ay, gaya ng sinasabi nila, na-parametrize namin (isang natural na numero P), at ito ay malulutas sa pamamagitan ng mathematical induction.

1. base ng induction. Para sa n = 1, ang lahat ay malinaw, dahil ang isang pyramid ng isang singsing ay malinaw na maaaring ilipat sa anumang baras.
2. hakbang ng induction. Ipagpalagay na maaari nating ilipat ang anumang mga pyramids na may bilang ng mga singsing p = k.
   Patunayan natin na maaari rin nating ilipat ang pyramid mid mula sa n = k + 1.

Pyramid mula hanggang singsing na nakahiga sa pinakamalaki(sa + 1)-th ring, maaari naming, ayon sa palagay, lumipat sa anumang iba pang pivot. Gawin natin. hindi gumagalaw(sa + 1)th ring ay hindi makagambala sa amin upang isagawa ang displacement algorithm, dahil ito ang pinakamalaki. Pagkatapos gumalaw sa singsing, ilipat ito sa pinakamalaki(sa + 1)th ring papunta sa natitirang baras. At pagkatapos ay muli naming inilalapat ang gumagalaw na algorithm na kilala sa amin ng inductive assumption sa singsing, at ilipat ang mga ito sa pamalo na may(sa + 1) na singsing. Kaya, kung maaari nating ilipat ang mga pyramids gamit ang sa ring, pagkatapos ay maaari naming ilipat ang mga pyramids at sa + 1 singsing. Samakatuwid, ayon sa prinsipyo ng mathematical induction, palaging posible na ilipat ang pyramid, na binubuo ng n ring, kung saan n > 1.

Ang paraan ng mathematical induction sa paglutas ng mga problema sa divisibility.

Gamit ang paraan ng mathematical induction, mapapatunayan ng isa ang iba't ibang mga pahayag tungkol sa divisibility ng mga natural na numero.

Gawain 4 . Kung ang n ay isang natural na numero, kung gayon ang numero ay pantay.

Para sa n=1 ang aming pahayag ay totoo: - isang even na numero. Ipagpalagay natin na iyon ay isang even na numero. Dahil ang 2k ay isang even na numero, ganoon din ito. Kaya, ang parity ay pinatunayan para sa n=1, ang parity ay deduced mula sa parity. Kaya, kahit na para sa lahat ng natural na halaga ng n.

Gawain 3. Patunayan na ang bilang na Z 3 + 3 - 26n - 27 na may arbitraryong natural n ay nahahati sa 26 2 na walang nalalabi.

Desisyon. Patunayan muna natin sa pamamagitan ng induction ang isang auxiliary assertion na 3 3n+3 Ang 1 ay nahahati sa 26 na walang natitira n > 0.

1. base ng induction. Para sa n = 0 mayroon kaming: Z 3 - 1 \u003d 26 - hinati sa 26.

hakbang ng induction. Ipagpalagay na 3 3n + 3 - Ang 1 ay nahahati sa 26 kapag n = k, at Patunayan natin na sa kasong ito ang assertion ay magiging totoo para sa n = k + 1. Mula noong 3

pagkatapos ay mula sa inductive assumption ay napagpasyahan namin na ang numero 3 Ang 3k + 6 - 1 ay nahahati sa 26.

Patunayan natin ngayon ang assertion na nabuo sa kondisyon ng problema. At muli sa pamamagitan ng induction.

1. base ng induction. Ito ay malinaw na sa n = 1 pahayag ay totoo: mula noong 3 3+3 - 26 - 27 = 676 = 26 2 .
2. hakbang ng induction. Ipagpalagay natin na sa n = k
   expression 3 3k + 3 - 26k - 27 ay nahahati sa 26 2 nang walang natitira, at patunayan na ang assertion ay totoo para sa n = k + 1,
   ibig sabihin, ang numerong iyon

nahahati sa 26 2 walang bakas. Sa huling kabuuan, ang parehong mga termino ay hinati nang walang nalalabi sa pamamagitan ng 26 2 . Ang una ay dahil napatunayan natin na ang expression sa mga bracket ay nahahati sa 26; ang pangalawa, sa pamamagitan ng inductive hypothesis. Sa bisa ng prinsipyo ng mathematical induction, ang kinakailangang pahayag ay ganap na napatunayan.

Paglalapat ng paraan ng mathematical induction sa kabuuan ng serye.

Gawain 5. Patunayan ang formula

Ang N ay isang natural na numero.

Desisyon.

Para sa n=1, ang parehong bahagi ng pagkakapantay-pantay ay nagiging isa at, samakatuwid, ang unang kondisyon ng prinsipyo ng matematikal na induction ay nasiyahan.

Ipagpalagay na ang formula ay totoo para sa n=k, i.e.

Idagdag natin sa magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay na ito at baguhin ang kanang bahagi. Pagkatapos makuha namin

Kaya, mula sa katotohanan na ang formula ay totoo para sa n=k, ito ay sumusunod na ito ay totoo rin para sa n=k+1. Ang pahayag na ito ay totoo para sa anumang natural na halaga ng k. Kaya, nasiyahan din ang pangalawang kondisyon ng prinsipyo ng induction ng matematika. Napatunayan na ang formula.

Gawain 6. Dalawang numero ang nakasulat sa pisara: 1.1. Ang pagpasok ng kanilang kabuuan sa pagitan ng mga numero, makuha namin ang mga numero 1, 2, 1. Ulitin muli ang operasyong ito, makuha namin ang mga numero 1, 3, 2, 3, 1. Pagkatapos ng tatlong operasyon, ang mga numero ay magiging 1, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 1. Ano ang magiging kabuuan ng lahat ng numero sa pisara pagkatapos 100 operasyon?

Desisyon. Gawin ang lahat ng 100 ang mga operasyon ay magiging napakatagal at matagal. Kaya, kailangan nating subukang maghanap ng ilang pangkalahatang pormula para sa kabuuan S mga numero pagkatapos n mga operasyon. Tingnan natin ang talahanayan:

May napansin ka bang pattern dito? Kung hindi, maaari kang gumawa ng isa pang hakbang: pagkatapos ng apat na operasyon, magkakaroon ng mga numero

1, 5, 4, 7, 3, 8, 5, 7, 2, 7, 5, 8, 3, 7, 4, 5, 1,

na ang kabuuan ng S 4 ay 82.

Sa katunayan, hindi mo maaaring isulat ang mga numero, ngunit agad na sabihin kung paano magbabago ang kabuuan pagkatapos magdagdag ng mga bagong numero. Hayaan ang kabuuan ay katumbas ng 5. Ano ang magiging kapag nagdagdag ng mga bagong numero? Hatiin natin ang bawat bagong numero sa kabuuan ng dalawang lumang numero. Halimbawa, mula sa 1, 3, 2, 3, 1 pupunta tayo sa 1,

1 + 3, 3, 3 + 2, 2, 2 + 3, 3, 3 + 1, 1.

Ibig sabihin, ang bawat lumang numero (maliban sa dalawang extreme) ay pumapasok na ngayon sa kabuuan ng tatlong beses, kaya ang bagong kabuuan ay 3S - 2 (bawas 2 upang isaalang-alang ang mga nawawalang yunit). Samakatuwid S 5 = 3S 4 - 2 = 244, at sa pangkalahatan

Ano ang pangkalahatang formula? Kung hindi dahil sa pagbabawas ng dalawang yunit, sa bawat oras na ang kabuuan ay tataas ng tatlong beses, tulad ng sa mga kapangyarihan ng triple (1, 3, 9, 27, 81, 243, ...). At ang aming mga numero, tulad ng nakikita mo na ngayon, ay isa pa. Kaya, maaari itong ipagpalagay na

Subukan natin ngayon na patunayan ito sa pamamagitan ng induction.

base ng induction. Tingnan ang talahanayan (para sa n = 0, 1, 2, 3).

hakbang ng induction. Kunwari na lang

Patunayan natin iyan S hanggang + 1 \u003d Z hanggang + 1 + 1.

Talaga,

Kaya, ang aming formula ay napatunayan. Ipinapakita nito na pagkatapos ng isang daang operasyon, ang kabuuan ng lahat ng mga numero sa board ay magiging katumbas ng 3 100 + 1.

Isaalang-alang ang isang kapansin-pansin na halimbawa ng aplikasyon ng prinsipyo ng induction ng matematika, kung saan kailangan mo munang ipakilala ang dalawang natural na mga parameter at pagkatapos ay isagawa ang induction sa kanilang kabuuan.

Gawain 7. Patunayan na kung= 2, x 2 = 3 at para sa bawat natural n> 3

x n \u003d Zx n - 1 - 2x n - 2,

pagkatapos

2 n - 1 + 1, n = 1, 2, 3, ...

Desisyon. Tandaan na sa problemang ito ang unang pagkakasunod-sunod ng mga numero(x n) ay tinutukoy ng induction, dahil ang mga tuntunin ng aming sequence, maliban sa unang dalawa, ay ibinibigay nang pasaklaw, iyon ay, sa pamamagitan ng mga nauna. Ang mga ibinigay na pagkakasunud-sunod ay tinatawag paulit-ulit, at sa aming kaso ang sequence na ito ay tinutukoy (sa pamamagitan ng pagtukoy sa unang dalawang termino nito) sa isang natatanging paraan.

base ng induction. Binubuo ito ng pagsusuri sa dalawang pahayag: n=1 at n=2.B Sa parehong mga kaso, ang assertion ay totoo sa pamamagitan ng pagpapalagay.

hakbang ng induction. Ipagpalagay natin na para sa n = k - 1 at n = k assertion ay ginawa, iyon ay

Patunayan natin ang assertion para sa n = k + 1. Mayroon kaming:

x 1 = 3(2 + 1) - 2(2 + 1) = 2 + 1, na dapat patunayan.

Gawain 8. Patunayan na ang anumang natural na numero ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng ilang magkakaibang miyembro ng paulit-ulit na pagkakasunud-sunod ng mga numero ng Fibonacci:

para sa k > 2.

Desisyon. Hayaang p - natural na numero. Magsasagawa kami ng induction sa P.

base ng induction. Para sa n = 1 statement ay totoo, dahil ang unit mismo ay isang Fibonacci number.

hakbang ng induction. Ipagpalagay na ang lahat ng natural na numero ay mas mababa sa ilang numero P, ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng ilang magkakaibang termino ng Fibonacci sequence. Hanapin ang pinakamalaking numero ng Fibonacci F t , hindi lalampas P; kaya F t n at F t +1 > n.

Sa abot ng

Sa pamamagitan ng induction hypothesis, ang numero p- F t ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng 5 magkakaibang miyembro ng Fibonacci sequence, at mula sa huling hindi pagkakapantay-pantay ay sumusunod na ang lahat ng miyembro ng Fibonacci sequence na kasama sa kabuuan ng 8 ay mas mababa sa F t . Samakatuwid, ang pagpapalawak ng bilang n = 8 + F t natutugunan ang kalagayan ng problema.

Mga halimbawa ng aplikasyon ng paraan ng mathematical induction sa patunay ng hindi pagkakapantay-pantay.

Gawain 9. (Ang hindi pagkakapantay-pantay ni Bernoulli.)Patunayan mo yan kung kailan x > -1, x 0, at para sa integer n > 2 ang hindi pagkakapantay-pantay

(1 + x) n > 1 + xn.

Desisyon. Muli naming isasagawa ang patunay sa pamamagitan ng induction.

1. Batayan ng induction. I-verify natin ang bisa ng hindi pagkakapantay-pantay para sa n = 2. Sa katunayan,

(1 + x) 2 = 1 + 2x + x 2 > 1 + 2x.

2. Hakbang ng induction. Ipagpalagay natin na para sa numero n = k totoo ang pahayag, kumbaga

(1 + x) k > 1 + xk,

Kung saan ang k > 2. Pinatunayan natin ito para sa n = k + 1. Mayroon tayong: (1 + x) k + 1 = (1 + x) k (1 + x)> (1 + kx) (1 + x) =

1 + (k + 1)x + kx 2 > 1 + (k + 1)x.

Kaya, batay sa prinsipyo ng mathematical induction, maaaring pagtalunan na ang hindi pagkakapantay-pantay ni Bernoulli ay wasto para sa anumang n > 2.

Hindi palaging sa mga kondisyon ng mga problema na nalutas gamit ang pamamaraan ng induction ng matematika, ang pangkalahatang batas na kailangang patunayan ay malinaw na nabalangkas. Minsan kinakailangan, sa pamamagitan ng pag-obserba ng mga partikular na kaso, upang matuklasan muna (hulaan) kung anong pangkalahatang batas ang hahantong sa mga ito, at pagkatapos ay patunayan ang nakasaad na hypothesis sa pamamagitan ng mathematical induction. Bilang karagdagan, ang variable ng induction ay maaaring ma-mask, at bago malutas ang problema, kinakailangan upang matukoy kung aling parameter ang isasagawa ng induction. Bilang mga halimbawa, isaalang-alang ang mga sumusunod na gawain.

Problema 10. Patunayan mo iyan

para sa anumang natural n > 1.

Desisyon, Subukan nating patunayan ang hindi pagkakapantay-pantay na ito sa pamamagitan ng mathematical induction.

Ang batayan ng induction ay madaling ma-verify:1+

Sa pamamagitan ng inductive hypothesis

at ito ay nananatiling para sa amin upang patunayan iyon

Gamit ang inductive hypothesis, igigiit natin iyon

Bagama't totoo ang pagkakapantay-pantay na ito, hindi ito nagbibigay sa atin ng solusyon sa problema.

Subukan nating patunayan ang isang mas malakas na paninindigan kaysa sa kinakailangan sa orihinal na problema. Namely, patunayan natin iyan

Maaaring mukhang walang pag-asa ang pagpapatunay sa assertion na ito sa pamamagitan ng induction.

Gayunpaman, sa p = 1 mayroon tayo: ang pahayag ay totoo. Upang bigyang-katwiran ang pasaklaw na hakbang, ipagpalagay na

at saka natin patunayan yan

Talaga,

Kaya, napatunayan namin ang isang mas malakas na assertion, kung saan ang assertion na nakapaloob sa kondisyon ng problema ay agad na sumusunod.

Ang nakapagtuturo dito ay na bagama't kailangan nating patunayan ang isang mas malakas na assertion kaysa sa kinakailangan sa problema, maaari rin tayong gumamit ng mas malakas na palagay sa inductive step. Ipinapaliwanag nito na ang tuwirang aplikasyon ng prinsipyo ng induction ng matematika ay hindi palaging humahantong sa layunin.

Ang sitwasyon na lumitaw sa paglutas ng problema ay tinatawagang kabalintunaan ng imbentor.Ang kabalintunaan mismo ay ang mas kumplikadong mga plano ay maaaring ipatupad na may higit na tagumpay kung ang mga ito ay batay sa isang mas malalim na pag-unawa sa kakanyahan ng bagay.

Suliranin 11. Patunayan na 2m + n - 2m para sa anumang natural uri.

Desisyon. Narito mayroon kaming dalawang pagpipilian. Samakatuwid, maaari mong subukang isagawa ang tinatawag nadobleng induction(isang induction sa loob ng induction).

Magsasagawa kami ng inductive reasoning sa P.

1. Batayan ng induction ayon sa p. Para sa n = Kailangan kong suriin iyon 2 t ~ 1 > t. Upang patunayan ang hindi pagkakapantay-pantay na ito, ginagamit namin ang induction sa t.

a) Base ng induction ng vol. Para sa t = 1 ang isinasagawa
pagkakapantay-pantay, na katanggap-tanggap.

b) Hakbang ng induction ayon sa t.Ipagpalagay natin na sa t = k ang pahayag ay totoo, iyon ay 2 k ~ 1 > k. Tapos pataas
Sabihin nating totoo ang assertion kahit na m = k + 1.
Meron kami:

sa natural k.

Kaya, ang hindi pagkakapantay-pantay 2 ginanap para sa anumang natural t.

2. Hakbang ng induction ayon sa aytemPumili at ayusin ang ilang natural na numero t. Ipagpalagay natin na sa n = ako ang pahayag ay totoo (para sa isang nakapirming t), ibig sabihin. 2 t +1 ~ 2 > t1, at patunayan na kung gayon ang assertion ay magiging totoo para sa n = l + 1.
Meron kami:

para sa anumang natural uri.

Samakatuwid, batay sa prinsipyo ng mathematical induction (ayon sa P) ang pahayag ng problema ay totoo para sa sinuman P at para sa anumang nakapirming t. Kaya, ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay humahawak para sa anumang natural uri.

Suliranin 12. Hayaang m, n at k ay mga natural na numero, at t > p Alin sa dalawang numero ang mas malaki:

Sa bawat ekspresyon sa mga palatandaan ng square root, t at n salit-salit.

Desisyon. Patunayan muna natin ang ilang auxiliary assertion.

Lemma. Para sa anumang natural t at n (t > n) at hindi negatibo (hindi kinakailangang integer) X ang hindi pagkakapantay-pantay

Patunay. Isaalang-alang ang hindi pagkakapantay-pantay

Ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay totoo, dahil ang parehong mga kadahilanan sa kaliwang bahagi ay positibo. Ang pagpapalawak ng mga bracket at pag-convert, makakakuha tayo ng:

Ang pagkuha ng parisukat na ugat ng parehong bahagi ng huling hindi pagkakapantay-pantay, makuha natin ang assertion ng lemma. Kaya napatunayan ang lemma.

Ngayon ay magpatuloy tayo sa paglutas ng problema. Tukuyin natin ang una sa mga numerong ito sa pamamagitan ng a, at ang pangalawa sa pamamagitan ng b sa . Patunayan natin na a para sa anumang natural sa. Ang patunay ay isasagawa sa pamamagitan ng paraan ng mathematical induction nang hiwalay para sa even at odd sa.

base ng induction. Para sa k = 1 mayroon tayong hindi pagkakapantay-pantay

y[t > y/n , na wasto dahil sa katotohanan na m > n. = 2, ang nais na resulta ay nakuha mula sa napatunayang lemma sa pamamagitan ng pagpapalit x = 0.

hakbang ng induction. Kumbaga, para sa ilan sa hindi pagkakapantay-pantay a >b sa patas. Patunayan natin yan

Mula sa pagpapalagay ng induction at ang monotonicity ng square root, mayroon tayong:

Sa kabilang banda, ito ay sumusunod mula sa napatunayang lemma na

Pagsasama-sama ng huling dalawang hindi pagkakapantay-pantay, nakukuha natin ang:

Ayon sa prinsipyo ng mathematical induction, ang assertion ay napatunayan.

Gawain 13. (Ang hindi pagkakapantay-pantay ni Cauchy.)Patunayan na para sa anumang positibong numero..., isang p ang hindi pagkakapantay-pantay

Desisyon. Para sa n = 2 ang hindi pagkakapantay-pantay

ang arithmetic mean at ang geometric mean (para sa dalawang numero) ay ituturing na kilala. Hayaan n= 2, k = 1, 2, 3, ... at unang magsagawa ng induction sa sa. Ang batayan ng induction na ito ay nagtataglay. Ipagpalagay ngayon na ang nais na hindi pagkakapantay-pantay ay naitatag na para sa n = 2, patunayan namin ito para sa P = 2 . Mayroon kaming (gamit ang hindi pagkakapantay-pantay para sa dalawang numero):

Samakatuwid, sa pamamagitan ng induction hypothesis

Kaya, sa pamamagitan ng induction sa k, napatunayan namin ang hindi pagkakapantay-pantay para sa lahat p 9 na kapangyarihan ng dalawa.

Upang patunayan ang hindi pagkakapantay-pantay para sa iba pang mga halaga P gagamitin natin ang "induction down", ibig sabihin, patunayan natin na kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan para sa arbitrary na hindi negatibo. P mga numero, ito ay may bisa rin para sa(P - 1) na numero. Upang mapatunayan ito, tandaan namin na, ayon sa ginawang pagpapalagay, para sa P mga numero, ang hindi pagkakapantay-pantay

ibig sabihin, a r + a 2 + ... + a n _ x > (n - 1) A. Hinahati ang dalawang bahagi sa P - 1, nakukuha namin ang kinakailangang hindi pagkakapantay-pantay.

Kaya, una naming itinatag na ang hindi pagkakapantay-pantay ay humahawak para sa isang walang katapusang bilang ng mga posibleng halaga P, at pagkatapos ay ipinakita na kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay humahawak para sa P mga numero, ito ay may bisa rin para sa(P - 1) mga numero. Mula dito napagpasyahan natin ngayon na ang hindi pagkakapantay-pantay ni Coty ay humahawak para sa isang set ng P anumang hindi negatibong numero para sa alinman n = 2, 3, 4, ...

Problema 14. (D. Uspensky.) Para sa anumang tatsulok na ABC na may mga anggulo = CAB, = CBA ay commensurable, may mga hindi pagkakapantay-pantay

Desisyon. Ang mga anggulo at ay katumbas, at ito (sa kahulugan) ay nangangahulugan na ang mga anggulong ito ay may isang karaniwang sukat, kung saan ang = p, = (p, q ay mga natural na numero ng coprime).

Gamitin natin ang paraan ng mathematical induction at iguhit ito sa kabuuan n = p + q natural na mga numero ng coprime..

base ng induction. Para sa p + q = 2 mayroon tayo: p = 1 at q = 1. Pagkatapos ang tatsulok na ABC ay isosceles, at ang nais na hindi pagkakapantay-pantay ay halata: sumusunod sila mula sa hindi pagkakapantay-pantay ng tatsulok.

hakbang ng induction. Ipagpalagay ngayon na ang nais na hindi pagkakapantay-pantay ay itinatag para sa p + q = 2, 3, ..., k - 1, kung saan k > 2. Patunayan natin na ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay may bisa rin p + q = k.

Hayaan ang ABC ay isang ibinigay na tatsulok na may> 2. Pagkatapos ang mga gilid AC at BC hindi maaaring pantay: hayaan AC > BC. Ngayon, bumuo tayo, tulad ng sa Figure 2, isang isosceles triangle ABC; meron kami:

AC \u003d DC at AD \u003d AB + BD, samakatuwid,

2AC > AB + BD (1)

Isaalang-alang ngayon ang tatsulok VDC, na ang mga anggulo ay maihahambing din:

DCB = (q - p), BDC = p.

kanin. 2

Ang tatsulok na ito ay nakakatugon sa inductive assumption, at samakatuwid

(2)

Pagdaragdag ng (1) at (2), mayroon kaming:

2AC+BD>

at samakatuwid

Mula sa parehong tatsulok WBS sa pamamagitan ng induction hypothesis napaghihinuha namin na

Isinasaalang-alang ang nakaraang hindi pagkakapantay-pantay, napagpasyahan namin iyon

Kaya, ang inductive transition ay nakuha, at ang pahayag ng problema ay sumusunod mula sa prinsipyo ng mathematical induction.

Magkomento. Ang pahayag ng problema ay nananatiling wasto kahit na ang mga anggulo a at p ay hindi katumbas. Sa batayan ng pagsasaalang-alang sa pangkalahatang kaso, kailangan na nating ilapat ang isa pang mahalagang prinsipyo sa matematika - ang prinsipyo ng pagpapatuloy.

Problema 15. Hinahati ng ilang tuwid na linya ang eroplano sa mga bahagi. Patunayan na posibleng kulayan ang mga bahaging ito ng puti

at mga itim na kulay upang ang mga katabing bahagi na may karaniwang segment ng hangganan ay may iba't ibang kulay (tulad ng sa Figure 3 kapag n = 4).

larawan 3

Desisyon. Ginagamit namin ang induction sa bilang ng mga linya. Kaya hayaan P - ang bilang ng mga linya na naghahati sa aming eroplano sa mga bahagi, n > 1.

base ng induction. Kung isa lang ang straight(P = 1), pagkatapos ay hinahati nito ang eroplano sa dalawang kalahating eroplano, ang isa ay maaaring kulayan ng puti at ang isa ay itim, at ang pahayag ng problema ay totoo.

hakbang ng induction. Upang gawing mas malinaw ang patunay ng inductive na hakbang, isaalang-alang ang proseso ng pagdaragdag ng isang bagong linya. Kung iguguhit natin ang pangalawang linya(P= 2), pagkatapos ay makakakuha tayo ng apat na bahagi na maaaring kulayan sa nais na paraan sa pamamagitan ng pagpinta sa magkabilang sulok sa parehong kulay. Tingnan natin kung ano ang mangyayari kung iguguhit natin ang ikatlong tuwid na linya. Hahatiin nito ang ilan sa mga "lumang" bahagi, habang ang mga bagong seksyon ng hangganan ay lilitaw, sa magkabilang panig kung saan ang kulay ay pareho (Larawan 4).

kanin. 4

Ituloy natin ang sumusunod:isang tabimula sa bagong tuwid na linya ay magbabago kami ng mga kulay - gagawin namin ang puting itim at vice versa; sa parehong oras, ang mga bahagi na nakahiga sa kabilang panig ng tuwid na linya na ito ay hindi muling pininturahan (Larawan 5). Kung gayon ang bagong pangkulay na ito ay makakatugon sa mga kinakailangang kinakailangan: sa isang gilid ng tuwid na linya ito ay nagpapalit-palit (ngunit may iba't ibang kulay), at sa kabilang panig ay kinakailangan. Upang ang mga bahagi na may karaniwang hangganan na kabilang sa iginuhit na linya ay maipinta sa iba't ibang kulay, muli naming pininturahan ang mga bahagi sa isang gilid lamang ng iginuhit na linyang ito.

Fig.5

Patunayan natin ngayon ang induktibong hakbang. Ipagpalagay na para sa ilann = kang pahayag ng problema ay wasto, iyon ay, lahat ng bahagi ng eroplano kung saan ito ay nahahati sa mga itosatuwid, maaari kang magpinta sa puti at itim upang ang mga kalapit na bahagi ay may iba't ibang kulay. Patunayan natin na may ganoong kulay para saP= sa+ 1 tuwid. Magpatuloy tayo nang katulad sa kaso ng paglipat mula sa dalawang tuwid na linya patungo sa tatlo. Gastos tayo sa eroplanosadirekta. Pagkatapos, sa pamamagitan ng inductive assumption, ang resultang "mapa" ay maaaring kulayan sa nais na paraan. Gastos tayo ngayon(sa+ 1)-ika tuwid na linya at sa isang gilid nito binabago namin ang mga kulay sa kabaligtaran. At ngayon(saAng + 1)-th na tuwid na linya sa lahat ng dako ay naghihiwalay sa mga seksyon ng iba't ibang kulay, habang ang mga "lumang" bahagi, tulad ng nakita na natin, ay nananatiling tama ang kulay. Ayon sa prinsipyo ng mathematical induction, ang problema ay nalutas.

Gawain16. Sa gilid ng disyerto ay may malaking supply ng gasolina at isang kotse na, na may buong gasolinahan, ay maaaring maglakbay ng 50 kilometro. Sa walang limitasyong dami, may mga canister kung saan maaari mong maubos ang gasolina mula sa tangke ng gas ng kotse at iwanan ito para sa imbakan kahit saan sa disyerto. Patunayan na ang kotse ay maaaring maglakbay ng anumang integer na distansya na higit sa 50 kilometro. Bawal magdala ng mga lata ng gasolina, ang mga walang laman na lata ay maaaring dalhin sa kahit anong dami.

Desisyon.Subukan nating patunayan ito sa pamamagitan ng induction onP,na kayang magmaneho ng sasakyanPkilometro mula sa gilid ng disyerto. SaP= 50 ay kilala. Ito ay nananatiling isakatuparan ang hakbang ng induction at ipaliwanag kung paano makarating doonn = k+ 1 km kung alamn = kkilometro ay maaaring itaboy.

Gayunpaman, narito kami ay nakatagpo ng isang kahirapan: pagkatapos naming makapasasakilometro, maaaring hindi pa sapat ang gasolina para sa paglalakbay pabalik (hindi banggitin ang imbakan). At sa kasong ito, ang paraan ay upang palakasin ang assertion na pinatunayan (ang kabalintunaan ng imbentor). Patunayan namin na posible hindi lamang magmanehoPkilometro, ngunit din upang gumawa ng isang arbitraryong malaking supply ng gasolina sa isang punto sa layoPkilometro mula sa gilid ng disyerto, na nasa puntong ito pagkatapos ng pagtatapos ng transportasyon.

base ng induction.Hayaang ang isang yunit ng gasolina ay ang halaga ng gasolina na kinakailangan upang makumpleto ang isang kilometro ng paglalakbay. Pagkatapos, ang isang 1 kilometrong biyahe at pabalik ay nangangailangan ng dalawang yunit ng gasolina, kaya maaari tayong mag-iwan ng 48 na yunit ng gasolina sa imbakan isang kilometro mula sa gilid at bumalik para sa higit pa. Kaya, para sa ilang mga paglalakbay sa imbakan, maaari kaming gumawa ng isang stock ng isang di-makatwirang laki na kailangan namin. Kasabay nito, para makalikha ng 48 units ng stock, gumagastos tayo ng 50 units ng gasolina.

hakbang ng induction.Ipagpalagay natin na sa malayoP= samula sa gilid ng disyerto maaari kang mag-imbak ng anumang halaga ng gasolina. Patunayan natin na posible na gumawa ng repository sa malayon = k+ 1 km na may anumang paunang natukoy na supply ng gasolina at nasa imbakan na ito sa dulo ng transportasyon. Dahil sa puntong iyonP= samayroong isang walang limitasyong supply ng gasolina, pagkatapos (ayon sa induction base) maaari naming, sa ilang mga biyahe sa punton = k+ 1 upang makagawa ng isang puntoP= sa4- 1 stock ng anumang laki na kailangan mo.

Ang katotohanan ng isang mas pangkalahatang pahayag kaysa sa kalagayan ng problema ngayon ay sumusunod mula sa prinsipyo ng matematikal na induction.

Konklusyon

Sa partikular, sa pag-aaral ng paraan ng matematikal na induction, napabuti ko ang aking kaalaman sa larangang ito ng matematika, at natutunan din kung paano lutasin ang mga problema na dati ay lampas sa aking kapangyarihan.

Karaniwan, ang mga ito ay lohikal at nakakaaliw na mga gawain, i.e. lamang ang mga nagdaragdag ng interes sa matematika mismo bilang isang agham. Ang paglutas ng mga naturang problema ay nagiging isang nakakaaliw na aktibidad at maaaring makaakit ng higit pa at mas matanong na mga tao sa mga mathematical labyrinth. Sa aking palagay, ito ang batayan ng anumang agham.

Sa patuloy na pag-aaral ng paraan ng mathematical induction, susubukan kong matutunan kung paano ilapat ito hindi lamang sa matematika, kundi pati na rin sa paglutas ng mga problema sa physics, chemistry at buhay mismo.

Panitikan

1.Vulenkin INDUCTION. Kombinatorika. Handbook PARA sa mga guro. M., Enlightenment,

1976.-48 p.

2. Golovina L.I., Yaglom I.M. Induction sa geometry. - M.: Gosud. tagapaglathala naiilawan - 1956 - S.I00. Isang manwal sa matematika para sa mga aplikante sa mga unibersidad / Ed. Yakovleva G.N. Ang agham. -1981. - P.47-51.

3. Golovina L.I., Yaglom IM. Induction sa geometry. —
M .: Nauka, 1961. - (Mga sikat na lektura sa matematika.)

4. I.T. Demidov, A.N. Kolmogorov, S.I. Shvartsburg, O.S. Ivashev-Musatov, B.E. Veits. Teksbuk / "Enlightenment" 1975.

5.R. Courant, G Robbins "Ano ang Mathematics?" Kabanata 1, § 2

6. Popa D. Matematika at makatwirang pangangatwiran. — M: Nauka, 1975.

7. Popa D. Pagtuklas sa matematika. — M.: Nauka, 1976.

8. Rubanov I.S. Paano ituro ang paraan ng mathematical induction / Mathematics school. - Nl. - 1996. - S.14-20.

9. Sominsky I.S., Golovina L.I., Yaglom I.M. Sa paraan ng mathematical induction. - M .: Nauka, 1977. - (Mga sikat na lektura sa matematika.)

10. Solominsky I.S. Paraan ng mathematical induction. - M.: Agham.

63s.

11. Solominsky I.S., Golovina L.I., Yaglom I.M. Sa mathematical induction. - M.: Agham. - 1967. - S.7-59.

12.http://w.wikiredia.org/wiki

13.htt12:/ /www.refeshtcollestiop.ru/40 124.html