Ang derivative ng isang function ay isa sa pinakamahirap na paksa sa kurikulum ng paaralan. Hindi lahat ng nagtapos ay sasagutin ang tanong kung ano ang derivative.

Ang artikulong ito ay simple at malinaw na nagpapaliwanag kung ano ang isang derivative at kung bakit ito kinakailangan.. Hindi na tayo magsusumikap para sa mathematical rigor of presentation. Ang pinakamahalagang bagay ay upang maunawaan ang kahulugan.

Tandaan natin ang kahulugan:

Ang derivative ay ang rate ng pagbabago ng function.

Ang figure ay nagpapakita ng mga graph ng tatlong function. Alin sa tingin mo ang pinakamabilis na lumaki?

Ang sagot ay malinaw - ang pangatlo. Ito ang may pinakamataas na rate ng pagbabago, iyon ay, ang pinakamalaking derivative.

Narito ang isa pang halimbawa.

Sina Kostya, Grisha at Matvey ay nakakuha ng mga trabaho sa parehong oras. Tingnan natin kung paano nagbago ang kanilang kita sa taon:

Makikita mo kaagad ang lahat sa chart, di ba? Ang kita ni Kostya ay higit sa doble sa loob ng anim na buwan. At tumaas din ang kita ni Grisha, pero konti lang. At bumaba sa zero ang kita ni Matthew. Ang mga panimulang kondisyon ay pareho, ngunit ang rate ng pagbabago ng function, i.e. derivative, - iba. Tulad ng para kay Matvey, ang derivative ng kanyang kita ay karaniwang negatibo.

Sa madaling salita, madali nating matantya ang rate ng pagbabago ng isang function. Ngunit paano natin ito gagawin?

Ang talagang tinitingnan natin ay kung gaano kataas (o pababa) ang graph ng function. Sa madaling salita, gaano kabilis ang pagbabago ng y sa x. Malinaw, ang parehong function sa iba't ibang mga punto ay maaaring magkaroon ng ibang halaga ng derivative - iyon ay, maaari itong magbago nang mas mabilis o mas mabagal.

Ang derivative ng isang function ay tinutukoy ng .

Ipakita natin kung paano maghanap gamit ang graph.

Ang isang graph ng ilang function ay iginuhit. Kumuha ng isang punto sa ito na may isang abscissa. Gumuhit ng tangent sa graph ng function sa puntong ito. Gusto naming suriin kung gaano kabilis ang pagtaas ng graph ng function. Ang isang madaling gamiting halaga para dito ay padaplis ng slope ng padaplis.

Ang derivative ng isang function sa isang punto ay katumbas ng tangent ng slope ng tangent na iginuhit sa graph ng function sa puntong iyon.

Pakitandaan - bilang anggulo ng inclination ng tangent, kinukuha namin ang anggulo sa pagitan ng tangent at ang positibong direksyon ng axis.

Minsan tinatanong ng mga estudyante kung ano ang tangent sa graph ng isang function. Ito ay isang tuwid na linya na may tanging karaniwang punto na may graph sa seksyong ito, bukod pa rito, tulad ng ipinapakita sa aming figure. Mukhang isang padaplis sa isang bilog.

Hanapin natin . Naaalala namin na ang tangent ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok ay katumbas ng ratio ng kabaligtaran na binti sa katabi. Mula sa tatsulok:

Natagpuan namin ang derivative gamit ang graph nang hindi alam ang formula ng function. Ang ganitong mga gawain ay madalas na matatagpuan sa pagsusulit sa matematika sa ilalim ng numero.

May isa pang mahalagang ugnayan. Alalahanin na ang tuwid na linya ay ibinibigay ng equation

Ang dami sa equation na ito ay tinatawag slope ng isang tuwid na linya. Ito ay katumbas ng tangent ng anggulo ng pagkahilig ng tuwid na linya sa axis.

.

Nakukuha namin iyon

Tandaan natin ang formula na ito. Ito ay nagpapahayag ng geometric na kahulugan ng derivative.

Ang derivative ng isang function sa isang punto ay katumbas ng slope ng tangent na iginuhit sa graph ng function sa puntong iyon.

Sa madaling salita, ang derivative ay katumbas ng tangent ng slope ng tangent.

Nasabi na namin na ang parehong function ay maaaring magkaroon ng iba't ibang mga derivatives sa iba't ibang mga punto. Tingnan natin kung paano nauugnay ang derivative sa pag-uugali ng function.

Gumuhit tayo ng graph ng ilang function. Hayaang tumaas ang function na ito sa ilang lugar, at bumaba sa iba, at sa iba't ibang rate. At hayaan ang function na ito na magkaroon ng maximum at minimum na mga puntos.

Sa isang punto, ang pag-andar ay tumataas. Ang tangent sa graph, na iginuhit sa punto, ay bumubuo ng isang matinding anggulo na may positibong direksyon ng axis. Kaya ang derivative ay positibo sa punto.

Sa punto, ang aming function ay bumababa. Ang tangent sa puntong ito ay bumubuo ng obtuse angle na may positibong direksyon ng axis. Dahil negatibo ang tangent ng isang obtuse angle, negatibo ang derivative sa punto.

Narito kung ano ang mangyayari:

Kung ang isang function ay tumataas, ang derivative nito ay positibo.

Kung ito ay bumaba, ang derivative nito ay negatibo.

At ano ang mangyayari sa maximum at minimum na puntos? Nakikita natin na sa (maximum point) at (minimum point) ang tangent ay pahalang. Samakatuwid, ang tangent ng slope ng tangent sa mga puntong ito ay zero, at ang derivative ay zero din.

Ang punto ay ang pinakamataas na punto. Sa puntong ito, ang pagtaas ng function ay pinapalitan ng pagbaba. Dahil dito, ang tanda ng derivative ay nagbabago sa punto mula sa "plus" hanggang sa "minus".

Sa punto - ang pinakamababang punto - ang derivative ay katumbas din ng zero, ngunit ang tanda nito ay nagbabago mula sa "minus" hanggang "plus".

Konklusyon: sa tulong ng derivative, maaari mong malaman ang lahat ng interes sa amin tungkol sa pag-uugali ng function.

Kung positibo ang derivative, tataas ang function.

Kung negatibo ang derivative, bumababa ang function.

Sa pinakamataas na punto, ang derivative ay zero at nagbabago ng sign mula plus hanggang minus.

Sa pinakamababang punto, ang derivative ay zero din at nagbabago ng sign mula minus hanggang plus.

Isinulat namin ang mga natuklasan na ito sa anyo ng isang talahanayan:

	nadadagdagan	pinakamataas na punto	bumababa	pinakamababang punto	nadadagdagan
+	0	-	0	+

Gumawa tayo ng dalawang maliliit na paglilinaw. Kakailanganin mo ang isa sa mga ito kapag nilulutas ang mga problema sa pagsusulit. Isa pa - sa unang taon, na may mas seryosong pag-aaral ng mga function at derivatives.

Posible ang isang kaso kapag ang derivative ng isang function sa ilang punto ay katumbas ng zero, ngunit ang function ay walang maximum o minimum sa puntong ito. Ito ang tinatawag na :

Sa isang punto, ang tangent sa graph ay pahalang at ang derivative ay zero. Gayunpaman, bago ang punto ay tumaas ang function - at pagkatapos ng punto ay patuloy itong tumataas. Ang tanda ng derivative ay hindi nagbabago - ito ay nanatiling positibo tulad ng dati.

Nangyayari din na sa punto ng maximum o minimum, ang derivative ay hindi umiiral. Sa graph, ito ay tumutugma sa isang matalim na break, kapag imposibleng gumuhit ng isang tangent sa isang naibigay na punto.

Ngunit paano mahahanap ang derivative kung ang function ay hindi ibinigay ng isang graph, ngunit sa pamamagitan ng isang formula? Sa kasong ito, naaangkop ito

Pagkalkula ng derivative ay isa sa pinakamahalagang operasyon sa differential calculus. Nasa ibaba ang isang talahanayan para sa paghahanap ng mga derivatives ng mga simpleng function. Para sa mas kumplikadong mga panuntunan sa pagkakaiba-iba, tingnan ang iba pang mga aralin:

• Talaan ng mga derivative ng exponential at logarithmic function

Gamitin ang mga ibinigay na formula bilang mga reference na halaga. Makakatulong sila sa paglutas ng mga differential equation at problema. Sa larawan, sa talahanayan ng mga derivatives ng mga simpleng pag-andar, mayroong isang "cheat sheet" ng mga pangunahing kaso ng paghahanap ng derivative sa isang form na naiintindihan para sa paggamit, sa tabi nito ay mga paliwanag para sa bawat kaso.

Mga derivatives ng mga simpleng function

1. Ang derivative ng isang numero ay zero
с´ = 0
Halimbawa:
5' = 0

Paliwanag:
Ipinapakita ng derivative ang rate kung saan nagbabago ang halaga ng function kapag nagbago ang argumento. Dahil ang numero ay hindi nagbabago sa anumang paraan sa ilalim ng anumang mga kundisyon, ang rate ng pagbabago nito ay palaging zero.

2. Derivative ng isang variable katumbas ng isa
x' = 1

Paliwanag:
Sa bawat pagtaas ng argument (x) ng isa, ang halaga ng function (resulta ng pagkalkula) ay tumataas ng parehong halaga. Kaya, ang rate ng pagbabago ng halaga ng function na y = x ay eksaktong katumbas ng rate ng pagbabago ng halaga ng argumento.

3. Ang derivative ng variable at factor ay katumbas ng factor na ito
сx´ = с
Halimbawa:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Paliwanag:
Sa kasong ito, sa bawat oras na ang function argument ( X) ang halaga nito (y) ay lumalaki kasama minsan. Kaya, ang rate ng pagbabago ng halaga ng function na may paggalang sa rate ng pagbabago ng argumento ay eksaktong katumbas ng halaga kasama.

Kung saan sinusundan iyon
(cx + b)" = c
ibig sabihin, ang kaugalian ng linear function na y=kx+b ay katumbas ng slope ng tuwid na linya (k).

4. Modulo derivative ng isang variable ay katumbas ng quotient ng variable na ito sa modulus nito
|x|"= x / |x| sa kondisyon na x ≠ 0
Paliwanag:
Dahil ang derivative ng variable (tingnan ang formula 2) ay katumbas ng isa, ang derivative ng module ay nagkakaiba lamang dahil ang halaga ng rate ng pagbabago ng function ay nagbabago sa kabaligtaran kapag tumatawid sa origin point (subukang gumuhit ng graph ng function na y = |x| at tingnan para sa iyong sarili. Ito ay eksaktong halaga at ibinabalik ang expression na x / |x| Kapag x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - isa. Iyon ay, sa mga negatibong halaga ng variable x, sa bawat pagtaas sa pagbabago sa argumento, ang halaga ng function ay bumababa ng eksaktong parehong halaga, at sa mga positibong halaga, sa kabaligtaran, ito ay tumataas, ngunit sa eksaktong ang parehong halaga.

5. Power derivative ng isang variable ay katumbas ng produkto ng bilang ng kapangyarihang ito at ang variable sa kapangyarihan, na nabawasan ng isa
(x c)"= cx c-1, sa kondisyon na ang x c at cx c-1 ay tinukoy at c ≠ 0
Halimbawa:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Upang isaulo ang formula:
Kunin ang exponent ng variable na "pababa" bilang isang multiplier, at pagkatapos ay bawasan ang exponent mismo ng isa. Halimbawa, para sa x 2 - ang dalawa ay nauuna sa x, at pagkatapos ay ang pinababang kapangyarihan (2-1 = 1) ay nagbigay lamang sa amin ng 2x. Ang parehong bagay ay nangyari para sa x 3 - binabaan namin ang triple, bawasan ito ng isa, at sa halip na isang kubo mayroon kaming isang parisukat, iyon ay, 3x 2 . Medyo "unscientific", ngunit napakadaling tandaan.

6.Fraction derivative 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Halimbawa:
Dahil ang isang fraction ay maaaring ilarawan bilang pagtaas sa isang negatibong kapangyarihan
(1/x)" = (x -1)" , pagkatapos ay maaari mong ilapat ang formula mula sa panuntunan 5 ng derivatives table
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Fraction derivative na may variable na di-makatwirang antas sa denominator
(1/x c)" = - c / x c+1
Halimbawa:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. pinagmulang ugat(derivative ng variable sa ilalim ng square root)
(√x)" = 1 / (2√x) o 1/2 x -1/2
Halimbawa:
(√x)" = (x 1/2)" para mailapat mo ang formula mula sa panuntunan 5
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. Derivative ng isang variable sa ilalim ng root ng isang arbitrary degree
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)

Ang proseso ng paghahanap ng derivative ng isang function ay tinatawag pagkakaiba-iba. Ang derivative ay kailangang matagpuan sa ilang mga problema sa kurso ng mathematical analysis. Halimbawa, kapag naghahanap ng mga extremum point at inflection point ng isang function graph.

Paano hanapin?

Upang mahanap ang derivative ng isang function, kailangan mong malaman ang talahanayan ng mga derivatives ng elementary function at ilapat ang mga pangunahing patakaran ng pagkita ng kaibhan:

1. Pag-alis ng pare-pareho sa tanda ng derivative: $$ (Cu)" = C(u)" $$
2. Derivative ng kabuuan/pagkakaiba ng mga function: $$ (u \pm v)" = (u)" \pm (v)" $$
3. Derivative ng produkto ng dalawang function: $$ (u \cdot v)" = u"v + uv" $$
4. Fraction derivative : $$ \bigg (\frac(u)(v) \bigg)" = \frac(u"v - uv")(v^2) $$
5. Compound function derivative : $$ (f(g(x)))" = f"(g(x)) \cdot g"(x) $$

Mga halimbawa ng solusyon

Halimbawa 1

Hanapin ang derivative ng function na $ y = x^3 - 2x^2 + 7x - 1 $

Desisyon

Ang derivative ng sum/difference ng mga function ay katumbas ng sum/difference ng mga derivatives: $$ y" = (x^3 - 2x^2 + 7x - 1)" = (x^3)" - (2x^2)" + (7x)" - (1)" = $$ Gamit ang power function derivative rule $ (x^p)" = px^(p-1) $ mayroon tayo: $$ y" = 3x^(3-1) - 2 \cdot 2 x^(2-1) + 7 - 0 = 3x^2 - 4x + 7 $$ Isinasaalang-alang din na ang derivative ng pare-pareho ay katumbas ng zero. Kung hindi mo malutas ang iyong problema, ipadala ito sa amin. Magbibigay kami ng detalyadong solusyon. Magagawa mong maging pamilyar sa pag-usad ng pagkalkula at makakalap ng impormasyon. Makakatulong ito sa iyong makakuha ng kredito mula sa guro sa napapanahong paraan!

Sagot

$$ y" = 3x^2 - 4x + 7 $$

Ang pagkalkula ng derivative ay madalas na matatagpuan sa mga pagtatalaga ng USE. Ang pahinang ito ay naglalaman ng isang listahan ng mga formula para sa paghahanap ng mga derivatives.

Mga panuntunan sa pagkakaiba-iba

1. (k⋅f(x))′=k⋅f′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
4. Derivative ng isang kumplikadong function. Kung y=F(u) at u=u(x), kung gayon ang function na y=f(x)=F(u(x)) ay tinatawag na complex function ng x. Ay katumbas ng y′(x)=Fu′⋅ ux′.
5. Derivative ng isang implicit function. Ang function na y=f(x) ay tinatawag na implicit function na ibinigay ng ugnayang F(x,y)=0 kung F(x,f(x))≡0.
6. Derivative ng inverse function. Kung g(f(x))=x, kung gayon ang function na g(x) ay tinatawag na inverse function para sa function na y=f(x).
7. Derivative ng isang parametrically given function. Hayaang ibigay ang x at y bilang mga function ng variable t: x=x(t), y=y(t). Sinasabi na ang y=y(x) ay isang parametrically na tinukoy na function sa interval x∈ (a;b) kung sa interval na ito ang equation na x=x(t) ay maaaring ipahayag bilang t=t(x) at ang function y=y(t(x))=y(x).
8. Derivative ng exponential function. Ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagkuha ng logarithm sa base ng natural na logarithm.

Pinapayuhan ka naming i-save ang link, dahil maaaring kailanganin ang talahanayang ito nang maraming beses.

Patunay at derivation ng mga formula para sa derivative ng exponential (e sa kapangyarihan ng x) at exponential function (a sa kapangyarihan ng x). Mga halimbawa ng pagkalkula ng mga derivative ng e^2x, e^3x at e^nx. Mga formula para sa mga derivatives ng mas matataas na order.

Nilalaman

Tingnan din: Exponential function - mga katangian, formula, graph
Exponent, e sa kapangyarihan ng x - mga katangian, mga formula, graph

Mga Pangunahing Formula

Ang derivative ng exponent ay katumbas ng exponent mismo (ang derivative ng e sa kapangyarihan ng x ay katumbas ng e sa kapangyarihan ng x):
(1) (e x )′ = e x.

Ang derivative ng isang exponential function na may base ng degree a ay katumbas ng function mismo, na pinarami ng natural na logarithm ng a:
(2) .

Ang exponent ay isang exponential function na ang exponent base ay katumbas ng numero e, na siyang sumusunod na limitasyon:
.
Dito maaari itong maging natural o totoong numero. Susunod, nakukuha namin ang formula (1) para sa derivative ng exponent.

Derivation ng formula para sa derivative ng exponent

Isaalang-alang ang exponent, e sa kapangyarihan ng x :
y = e x .
Ang function na ito ay tinukoy para sa lahat. Hanapin natin ang derivative nito patungkol sa x . Sa pamamagitan ng kahulugan, ang derivative ay ang sumusunod na limitasyon:
(3) .

Ibahin natin ang expression na ito upang bawasan ito sa mga kilalang katangian at panuntunan sa matematika. Para dito kailangan namin ang mga sumusunod na katotohanan:
PERO) Exponent property:
(4) ;
B) Logarithm property:
(5) ;
AT) Pagpapatuloy ng logarithm at pag-aari ng mga limitasyon para sa tuluy-tuloy na pag-andar:
(6) .
Narito, ang ilang function na may limitasyon at positibo ang limitasyong ito.
G) Ang kahulugan ng pangalawang kamangha-manghang limitasyon:
(7) .

Inilapat namin ang mga katotohanang ito sa aming limitasyon (3). Ginagamit namin ang ari-arian (4):
;
.

Gumawa tayo ng substitution. Pagkatapos ; .
Dahil sa pagpapatuloy ng exponent,
.
Samakatuwid, sa , . Bilang resulta, nakukuha namin ang:
.

Gumawa tayo ng substitution. Tapos . Sa , . At mayroon kaming:
.

Inilapat namin ang pag-aari ng logarithm (5):
. Pagkatapos
.

Ilapat natin ang ari-arian (6). Dahil mayroong positibong limitasyon at ang logarithm ay tuloy-tuloy, kung gayon:
.
Dito rin namin ginamit ang pangalawang kapansin-pansing limitasyon (7). Pagkatapos
.

Kaya, nakuha namin ang formula (1) para sa derivative ng exponent.

Derivation ng formula para sa derivative ng exponential function

Ngayon ay nakukuha natin ang formula (2) para sa derivative ng exponential function na may base ng degree a. Naniniwala kami na at . Pagkatapos ay ang exponential function
(8)
Tinukoy para sa lahat.

Ibahin natin ang formula (8). Upang gawin ito, ginagamit namin ang mga katangian ng exponential function at ang logarithm.
;
.
Kaya, binago namin ang formula (8) sa sumusunod na anyo:
.

Mas mataas na pagkakasunud-sunod ng mga derivatives ng e sa kapangyarihan ng x

Ngayon, hanapin natin ang mga derivatives ng mas matataas na order. Tingnan muna natin ang exponent:
(14) .
(1) .

Nakikita natin na ang derivative ng function (14) ay katumbas ng function (14) mismo. Sa differentiating (1), nakakakuha tayo ng second at third order derivatives:
;
.

Ipinapakita nito na ang nth order derivative ay katumbas din ng orihinal na function:
.

Higher order derivatives ng exponential function

Ngayon isaalang-alang ang isang exponential function na may base ng degree a:
.
Natagpuan namin ang unang order derivative nito:
(15) .

Sa differentiating (15), nakakakuha tayo ng second at third order derivatives:
;
.

Nakikita namin na ang bawat pagkakaiba ay humahantong sa pagpaparami ng orihinal na function sa pamamagitan ng . Samakatuwid, ang nth derivative ay may sumusunod na anyo:
.

Tingnan din: