Mga pagkakakilanlan ng trigonometric ay mga pagkakapantay-pantay na nagtatatag ng ugnayan sa pagitan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo, na nagbibigay-daan sa iyong mahanap ang alinman sa mga function na ito, basta't alam ang iba.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Sinasabi ng pagkakakilanlan na ito na ang kabuuan ng parisukat ng sine ng isang anggulo at ang parisukat ng cosine ng isang anggulo ay katumbas ng isa, na sa pagsasanay ay ginagawang posible upang makalkula ang sine ng isang anggulo kapag ang cosine nito ay kilala at vice versa .

Kapag nagko-convert ng mga trigonometric expression, ang pagkakakilanlan na ito ay madalas na ginagamit, na nagbibigay-daan sa iyo upang palitan ang kabuuan ng mga parisukat ng cosine at sine ng isang anggulo sa isa at gampanan din ang pagpapalit na operasyon sa reverse order.

Paghahanap ng tangent at cotangent sa pamamagitan ng sine at cosine

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Ang mga pagkakakilanlang ito ay nabuo mula sa mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent. Pagkatapos ng lahat, kung titingnan mo, kung gayon sa kahulugan, ang ordinate ng y ay ang sine, at ang abscissa ng x ay ang cosine. Pagkatapos ang padaplis ay magiging katumbas ng ratio \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), at ang ratio \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- ay magiging isang cotangent.

Idinagdag namin na para lamang sa mga naturang anggulo \alpha kung saan ang mga trigonometric function na kasama sa mga ito ay may katuturan, ang mga pagkakakilanlan ay magaganap, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Halimbawa: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) ay may bisa para sa \alpha anggulo na iba sa \frac(\pi)(2)+\pi z, a ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- para sa isang anggulo na \alpha maliban sa \pi z , ang z ay isang integer.

Relasyon sa pagitan ng tangent at cotangent

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Ang pagkakakilanlan na ito ay may bisa lamang para sa mga anggulong \alpha na naiiba sa \frac(\pi)(2) z. Kung hindi, alinman sa cotangent o tangent ay hindi matutukoy.

Batay sa mga punto sa itaas, nakukuha natin iyon tg \alpha = \frac(y)(x), a ctg\alpha=\frac(x)(y). Kaya naman sinusunod iyon tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Kaya, ang padaplis at cotangent ng isang anggulo kung saan sila nagkakaroon ng kahulugan ay magkatuwang na mga numero.

Mga ugnayan sa pagitan ng tangent at cosine, cotangent at sine

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- ang kabuuan ng parisukat ng tangent ng anggulo \alpha at 1 ay katumbas ng inverse square ng cosine ng anggulong ito. Ang pagkakakilanlan na ito ay wasto para sa lahat ng \alpha maliban sa \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- ang kabuuan ng 1 at ang parisukat ng cotangent ng anggulo \alpha , ay katumbas ng inverse square ng sine ng ibinigay na anggulo. Ang pagkakakilanlan na ito ay wasto para sa anumang \alpha maliban sa \pi z .

Mga halimbawang may solusyon sa mga problema gamit ang mga trigonometrikong pagkakakilanlan

Halimbawa 1

Hanapin ang \sin \alpha at tg \alpha kung \cos \alpha=-\frac12 at \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Ipakita ang Solusyon

Desisyon

Ang mga function na \sin \alpha at \cos \alpha ay iniuugnay ng formula \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Pagpapalit sa formula na ito \cos \alpha = -\frac12, nakukuha natin:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

Ang equation na ito ay may 2 solusyon:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

Sa kondisyon \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Sa second quarter, positive ang sine, kaya \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Upang mahanap ang tg \alpha , ginagamit namin ang formula tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Halimbawa 2

Hanapin ang \cos \alpha at ctg \alpha kung at \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Ipakita ang Solusyon

Desisyon

Pagpapalit sa formula \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 kondisyong numero \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), nakukuha namin \kaliwa (\frac(\sqrt3)(2)\kanan)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Ang equation na ito ay may dalawang solusyon \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Sa kondisyon \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Sa ikalawang quarter, ang cosine ay negatibo, kaya \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Upang mahanap ang ctg \alpha , ginagamit namin ang formula ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Alam natin ang mga katumbas na halaga.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

Sa artikulong ito, titingnan natin ang isang komprehensibong pagtingin sa . Ang mga pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan ay mga pagkakapantay-pantay na nagtatatag ng ugnayan sa pagitan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo, at nagbibigay-daan sa iyong mahanap ang alinman sa mga trigonometric na function na ito sa pamamagitan ng isang kilalang iba.

Agad naming inilista ang mga pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan, na aming susuriin sa artikulong ito. Isinulat namin ang mga ito sa isang talahanayan, at sa ibaba ay ibibigay namin ang derivation ng mga formula na ito at nagbibigay ng mga kinakailangang paliwanag.

Pag-navigate sa pahina.

Relasyon sa pagitan ng sine at cosine ng isang anggulo

Minsan hindi nila pinag-uusapan ang mga pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan na nakalista sa talahanayan sa itaas, ngunit tungkol sa isang solong pangunahing trigonometriko pagkakakilanlan mabait . Ang paliwanag para sa katotohanang ito ay medyo simple: ang mga pagkakapantay-pantay ay nakuha mula sa pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan pagkatapos na hatiin ang parehong mga bahagi nito ayon sa at ayon sa pagkakabanggit, at ang mga pagkakapantay-pantay. at sundin mula sa mga kahulugan ng sine, cosine, tangent, at cotangent. Tatalakayin natin ito nang mas detalyado sa mga sumusunod na talata.

Iyon ay, ito ay ang pagkakapantay-pantay na partikular na interes, na binigyan ng pangalan ng pangunahing trigonometric identity.

Bago patunayan ang pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan, ibibigay namin ang pagbabalangkas nito: ang kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine ng isang anggulo ay magkaparehong katumbas ng isa. Ngayon patunayan natin.

Ang pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan ay madalas na ginagamit sa pagbabago ng trigonometriko expression. Pinapayagan nito ang kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine ng isang anggulo na mapalitan ng isa. Hindi mas madalas, ang pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan ay ginagamit sa reverse order: ang yunit ay pinapalitan ng kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine ng anumang anggulo.

Tangent at cotangent sa pamamagitan ng sine at cosine

Mga pagkakakilanlan na nag-uugnay sa tangent at cotangent sa sine at cosine ng isang anggulo ng anyo at agad na sundin mula sa mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent. Sa katunayan, sa pamamagitan ng kahulugan, ang sine ay ang ordinate ng y, ang cosine ay ang abscissa ng x, ang tangent ay ang ratio ng ordinate sa abscissa, iyon ay, , at ang cotangent ay ang ratio ng abscissa sa ordinate, iyon ay, .

Dahil sa halatang ito ng mga pagkakakilanlan at kadalasan ang mga kahulugan ng tangent at cotangent ay ibinibigay hindi sa pamamagitan ng ratio ng abscissa at ordinate, ngunit sa pamamagitan ng ratio ng sine at cosine. Kaya ang tangent ng isang anggulo ay ang ratio ng sine sa cosine ng anggulong ito, at ang cotangent ay ang ratio ng cosine sa sine.

Upang tapusin ang seksyong ito, dapat tandaan na ang mga pagkakakilanlan at hold para sa lahat ng mga anggulo na kung saan ang trigonometric function sa kanila ay may katuturan. Kaya't ang formula ay wasto para sa anumang iba sa (kung hindi, ang denominator ay magiging zero, at hindi namin tinukoy ang paghahati sa pamamagitan ng zero), at ang formula - para sa lahat, naiiba mula sa, kung saan ang z ay anuman.

Relasyon sa pagitan ng tangent at cotangent

Ang isang mas malinaw na trigonometric na pagkakakilanlan kaysa sa dalawang nauna ay ang pagkakakilanlan na nagkokonekta sa tangent at cotangent ng isang anggulo ng form . Ito ay malinaw na ito ay nagaganap para sa anumang mga anggulo maliban sa , kung hindi man ang tangent o ang cotangent ay hindi tinukoy.

Katibayan ng formula napakasimple. Sa pamamagitan ng kahulugan at mula saan . Ang patunay ay maaaring naisagawa sa isang bahagyang naiibang paraan. Simula at , pagkatapos .

Kaya, ang tangent at cotangent ng isang anggulo, kung saan sila ay may katuturan, ay.

Sa artikulong ito, pag-uusapan natin unibersal na trigonometrikong pagpapalit. Kabilang dito ang pagpapahayag ng sine, cosine, tangent at cotangent ng anumang anggulo sa pamamagitan ng tangent ng kalahating anggulo. Bukod dito, ang gayong kapalit ay isinasagawa nang makatwiran, iyon ay, nang walang mga ugat.

Una, nagsusulat kami ng mga formula na nagpapahayag ng sine, cosine, tangent at cotangent sa mga tuntunin ng tangent ng kalahating anggulo. Susunod, ipinapakita namin ang derivation ng mga formula na ito. At sa konklusyon, tingnan natin ang ilang mga halimbawa ng paggamit ng unibersal na trigonometric substitution.

Pag-navigate sa pahina.

Sine, cosine, tangent at cotangent sa pamamagitan ng tangent ng kalahating anggulo

Una, isulat natin ang apat na formula na nagpapahayag ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo sa mga tuntunin ng tangent ng kalahating anggulo.

Ang mga formula na ito ay may bisa para sa lahat ng mga anggulo kung saan ang mga tangent at cotangent na kasama sa mga ito ay tinukoy:

Derivation ng mga formula

Suriin natin ang derivation ng mga formula na nagpapahayag ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo sa pamamagitan ng tangent ng kalahating anggulo. Magsimula tayo sa mga formula para sa sine at cosine.

Kinakatawan namin ang sine at cosine gamit ang mga formula ng dobleng anggulo bilang at ayon sa pagkakabanggit. Ngayon mga expression at isulat bilang mga fraction na may denominator 1 bilang at . Dagdag pa, sa batayan ng pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan, pinapalitan namin ang mga yunit sa denominator ng kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine, pagkatapos nito makuha namin at . Sa wakas, hinahati namin ang numerator at denominator ng mga nagresultang fraction sa (ang halaga nito ay iba sa zero, kung ). Bilang resulta, ang buong hanay ng mga aksyon ay ganito ang hitsura:


at

Kinukumpleto nito ang derivation ng mga formula na nagpapahayag ng sine at cosine sa pamamagitan ng tangent ng kalahating anggulo.

Nananatili itong kunin ang mga formula para sa tangent at cotangent. Ngayon, isinasaalang-alang ang mga formula na nakuha sa itaas, at ang mga formula at , agad kaming nakakuha ng mga formula na nagpapahayag ng tangent at cotangent sa pamamagitan ng tangent ng kalahating anggulo:

Kaya, nakuha namin ang lahat ng mga formula para sa unibersal na trigonometric substitution.

Mga halimbawa ng paggamit ng unibersal na trigonometric substitution

Una, isaalang-alang natin ang isang halimbawa ng paggamit ng unibersal na trigonometric substitution kapag nagko-convert ng mga expression.

Halimbawa.

Magbigay ng ekspresyon sa isang expression na naglalaman lamang ng isang trigonometric function.

Desisyon.

Sagot:

.

Bibliograpiya.

• Algebra: Proc. para sa 9 na mga cell. avg. paaralan / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Teleyakovsky.- M.: Enlightenment, 1990.- 272 p.: ill.- isbn 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I. Algebra at ang simula ng pagsusuri: Proc. para sa 10-11 na mga cell. avg. paaralan - 3rd ed. - M.: Enlightenment, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra at ang simula ng pagsusuri: Proc. para sa 10-11 na mga cell. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn at iba pa; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (isang manwal para sa mga aplikante sa mga teknikal na paaralan): Proc. allowance.- M.; Mas mataas paaralan, 1984.-351 p., may sakit.

Pagtuturo

Gamitin ang iyong kaalaman sa planimetry upang ipahayag sinus sa pamamagitan ng co sinus. Sa pamamagitan ng kahulugan, sinus ohm ng isang anggulo sa isang tamang tatsulok na may haba sa tapat ng, at sa sinus om - ang katabing paa sa hypotenuse. Kahit na ang kaalaman sa Pythagorean theorem ay magbibigay-daan sa iyo upang mabilis na mahanap ang nais na pagbabago sa ilang mga kaso.

ipahayag sinus sa pamamagitan ng co sinus, gamit ang pinakasimpleng pagkakakilanlan ng trigonometriko, ayon sa kung saan ang kabuuan ng mga parisukat ng mga dami na ito ay nagbibigay ng pagkakaisa. Mangyaring tandaan na maaari mong kumpletuhin ang gawain nang tama lamang kung alam mo na ang nais na anggulo ay nasa quarter, kung hindi, makakakuha ka ng dalawang posibleng resulta - na may positibo at isang senyales.

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)

Mayroong isang tatsulok na may mga gilid a, b, c na katumbas ng 3, 4, 5 mm, ayon sa pagkakabanggit.

Hanapin cosine ang anggulo na nakapaloob sa pagitan ng malalaking panig.

Tukuyin natin ang anggulo sa tapat ng gilid a through?, pagkatapos, ayon sa pormula na nakuha sa itaas, mayroon tayong:

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40 =32/40=0.8

Sagot: 0.8.

Kung ang tatsulok ay isang tamang tatsulok, pagkatapos ay hanapin cosine at sapat na upang malaman ang mga haba ng alinmang dalawang panig ng anggulo ( cosine ang tamang anggulo ay 0).

Hayaang magkaroon ng isang tamang tatsulok na may mga gilid a, b, c, kung saan ang c ay ang hypotenuse.

Isaalang-alang ang lahat ng mga pagpipilian:

Hanapin ang cos? kung ang mga haba ng mga gilid a at b (ng isang tatsulok) ay kilala

Gamitin din natin ang Pythagorean theorem:

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(b?+b?+a?-a?)/(2*b*v(b?+a?)) =(2*b?)/(2*b*v(b?+a?))=b/v(b?+a?)

Upang ang kawastuhan ng nagresultang formula, pinapalitan namin ito mula sa halimbawa 1, i.e.

Ang pagkakaroon ng mga elementarya na kalkulasyon, nakukuha namin:

Katulad nito, mayroon cosine sa isang hugis-parihaba tatsulok sa ibang mga kaso:

Kilalang a at c (hypotenuse at tapat ng binti), hanapin ang cos?

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(c?-a?+c?-a?)/(2*c*v(c?-a?)) =(2*s?-2*a?)/(2*s*v(s?-a?))=v(s?-a?)/s.

Ang pagpapalit ng mga halaga a=3 at c=5 mula sa halimbawa, nakukuha natin:

b at c ay kilala (ang hypotenuse at ang katabing binti).

Maghanap ng cos?

Ang pagkakaroon ng mga katulad na pagbabagong-anyo (ipinapakita sa mga halimbawa 2 at 3), nakuha namin iyon sa kasong ito cosine sa tatsulok kinakalkula gamit ang isang napaka-simpleng formula:

Ang pagiging simple ng hinangong pormula ay ipinaliwanag sa elementarya na paraan: sa katunayan, katabi ng sulok? ang binti ay projection ng hypotenuse, ang haba nito ay katumbas ng haba ng hypotenuse na pinarami ng cos?.

Ang pagpapalit ng mga halaga b=4 at c=5 mula sa unang halimbawa, nakukuha natin:

Kaya lahat ng aming mga formula ay tama.

Upang makakuha ng isang formula na nauugnay sinus at co sinus anggulo, kinakailangang magbigay o maalala ang ilang mga kahulugan. Kaya, sinus Ang anggulo ay ang ratio (quotient ng dibisyon) ng kabaligtaran na binti ng isang right triangle sa hypotenuse. Co. sinus Ang anggulo ay ang ratio ng katabing binti sa hypotenuse.

Pagtuturo

Nakatutulong na payo

Ang halaga ng sine at cosine ng anumang anggulo ay hindi maaaring mas malaki sa 1.

Sinus at cosine- ang mga ito ay direktang trigonometriko function na kung saan mayroong ilang mga kahulugan - sa pamamagitan ng isang bilog sa isang Cartesian coordinate system, sa pamamagitan ng mga solusyon ng isang differential equation, sa pamamagitan ng mga talamak na anggulo sa isang right triangle. Ang bawat isa sa mga kahulugang ito ay nagbibigay-daan sa iyo na tukuyin ang kaugnayan sa pagitan ng dalawang function na ito. Ang sumusunod ay marahil ang pinakasimpleng paraan ng pagpapahayag cosine sa pamamagitan ng sine - sa pamamagitan ng kanilang mga kahulugan para sa mga talamak na anggulo ng isang tamang tatsulok.

Pagtuturo

Ipahayag ang sine ng isang matinding anggulo ng isang tamang tatsulok sa mga tuntunin ng mga haba ng mga gilid ng figure na ito. Ayon sa kahulugan, ang sine ng anggulo (α) ay dapat na ang ratio ng haba ng gilid (a) sa tapat nito - ang binti - sa haba ng gilid (c) sa tapat ng tamang anggulo - ang hypotenuse: sin (α) = a / c.

Maghanap ng katulad na formula para sa cosine ngunit ang parehong anggulo. Sa pamamagitan ng kahulugan, ang halagang ito ay dapat ipahayag bilang ratio ng haba ng gilid (b) na katabi ng sulok na ito (ang pangalawang binti) sa haba ng gilid (c) na nakahiga sa tapat ng tamang anggulo: cos (a) \u003d a / c.

Isulat muli ang equation na sumusunod mula sa Pythagorean theorem sa paraang ginagamit nito ang mga relasyon sa pagitan ng mga binti at hypotenuse na nakuha sa nakaraang dalawang hakbang. Upang gawin ito, hatiin muna ang pareho ng orihinal ng theorem na ito (a² + b² = c²) sa parisukat ng hypotenuse (a² / c² + b² / c² = 1), at pagkatapos ay muling isulat ang nagresultang pagkakapantay-pantay sa form na ito: (a / c)² + (b / c )² = 1.

Palitan sa nagresultang expression ang ratio ng mga haba ng mga binti at hypotenuse na may mga function na trigonometric, batay sa mga formula ng una at pangalawang hakbang: sin² (a) + cos² (a) \u003d 1. Express cosine mula sa nagresultang pagkakapantay-pantay: cos(a) = √(1 - sin²(a)). Ang problemang ito ay maaaring malutas sa pangkalahatang paraan.

Kung, bilang karagdagan sa pangkalahatan, kailangan mong makakuha ng isang numerical na resulta, gamitin, halimbawa, ang calculator na binuo sa Windows operating system. Isang link sa paglulunsad nito sa subsection na "Standard" ng seksyong "All Programs" ng menu ng OS. Ang link na ito ay may madaling salita - "Calculator". Upang makalkula ang mga function ng trigonometriko mula sa program na ito, i-on ang interface ng "engineering" nito - pindutin ang key combination na Alt + 2.

Ipasok ang halaga ng sine ng anggulo sa mga kundisyon at mag-click sa pindutan ng interface na may pagtatalaga x² - ito ay parisukat sa orihinal na halaga. Pagkatapos ay i-type ang *-1 sa keyboard, pindutin ang Enter, i-type ang +1 at pindutin muli ang Enter - sa paraang ito ay ibawas mo ang parisukat ng sine mula sa yunit. Mag-click sa radical icon key upang kunin ang parisukat at makuha ang huling resulta.

Ang isa sa mga pangunahing pundasyon ng eksaktong agham ay ang konsepto ng trigonometriko function. Tinutukoy nila ang mga simpleng ugnayan sa pagitan ng mga gilid ng isang tamang tatsulok. Ang sine ay kabilang sa pamilya ng mga function na ito. Ang paghahanap nito, ang pag-alam sa anggulo, ay maaaring gawin sa isang malaking bilang ng mga paraan, kabilang ang mga pang-eksperimentong, computational na pamamaraan, pati na rin ang paggamit ng reference na impormasyon.

Kakailanganin mong

• - calculator;
• - isang kompyuter;
• - mga spreadsheet;
• - mga mesa ng bradys;
• - papel;
• - lapis.

Pagtuturo

Gamitin kasama ang function ng sine upang makuha ang nais na mga halaga batay sa pag-alam sa anggulo. Kahit na ang pinakasimpleng mga ay may katulad na pag-andar ngayon. Sa kasong ito, ang mga kalkulasyon ay ginawa nang may napakataas na antas ng katumpakan (karaniwan ay hanggang walo o higit pang mga decimal na lugar).

Mag-apply software, na isang spreadsheet environment na tumatakbo Personal na computer. Ang mga halimbawa ng naturang mga application ay ang Microsoft Office Excel at OpenOffice.org Calc. Maglagay sa anumang cell ng formula na binubuo ng pagtawag sa sine function na may gustong argument. Pindutin ang enter. Ang nais na halaga ay ipapakita sa cell. Ang bentahe ng mga spreadsheet ay ang kakayahang mabilis na kalkulahin ang mga halaga ng function para sa isang malaking hanay ng mga argumento.

Alamin ang tinatayang halaga ng sine ng anggulo mula sa mga talahanayan ng Bradys, kung magagamit. Ang kanilang kawalan ay ang katumpakan ng mga halaga, na limitado sa apat na decimal na lugar.

Hanapin ang tinatayang halaga ng sine ng anggulo sa pamamagitan ng paggawa ng mga geometric na konstruksyon. Gumuhit ng isang linya sa isang piraso ng papel. Gamit ang isang protractor, itabi mula dito ang anggulo na nais mong hanapin ang sine. Gumuhit ng isa pang linya na nag-intersect sa una sa isang punto. Patayo sa unang segment, gumuhit ng tuwid na linya na nagsa-intersect sa dalawang kasalukuyang segment. Makakakuha ka ng tamang tatsulok. Sukatin ang haba ng hypotenuse nito at ang binti sa tapat ng anggulo na ginawa gamit ang protractor. Hatiin ang pangalawang halaga sa una. Ito ang magiging ninanais na halaga.

Kalkulahin ang sine ng isang anggulo gamit ang Taylor series expansion. Kung ang halaga ng anggulo ay nasa mga degree, i-convert ito sa mga radian. Gumamit ng formula na tulad nito: sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + (x^9)/9! - ... Upang mapataas ang bilis ng mga kalkulasyon, isulat ang kasalukuyang halaga ng numerator at denominator ng huling miyembro ng serye, na kinakalkula ang susunod na halaga batay sa nauna. Palakihin ang haba ng row para sa mas tumpak na halaga.

Ito ay kung paano ipinakilala ang mga konsepto ng sine at cosine. Ang sine ng isang matinding anggulo sa isang kanang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na binti sa hypotenuse, at ang cosine ay ang ratio ng katabing binti sa hypotenuse.

Theorems ng cosines at sines

Ngunit ang mga cosine at sine ay maaaring gamitin hindi lamang sa mga tamang tatsulok. Upang mahanap ang halaga ng isang mahina o talamak na anggulo, ang gilid ng anumang tatsulok, ito ay sapat na upang ilapat ang cosine at sine theorem.

Ang cosine theorem ay medyo simple: "Ang parisukat ng isang gilid ng isang tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng iba pang dalawang panig na binawasan ng dalawang beses ang produkto ng mga panig na ito sa pamamagitan ng cosine ng anggulo sa pagitan nila."

Mayroong dalawang interpretasyon ng sine theorem: maliit at pinalawak. Ayon sa maliit: "Sa isang tatsulok, ang mga anggulo ay proporsyonal sa magkabilang panig." Ang teorama na ito ay madalas na pinalawak dahil sa pag-aari ng bilog na nakapaligid sa isang tatsulok: "Sa isang tatsulok, ang mga anggulo ay proporsyonal sa magkabilang panig, at ang kanilang ratio ay katumbas ng diameter ng nakapaligid na bilog."

Derivatives

Ang derivative ay isang mathematical tool na nagpapakita kung gaano kabilis nagbabago ang isang function kaugnay ng pagbabago sa argumento nito. Ang mga derivative ay ginagamit sa geometry, at sa isang bilang ng mga teknikal na disiplina.

Kapag nilulutas ang mga problema, kailangan mong malaman ang mga halaga ng tabular ng mga derivatives ng mga function ng trigonometriko: sine at cosine. Ang derivative ng sine ay ang cosine, at ang derivative ng cosine ay ang sine, ngunit may minus sign.

Aplikasyon sa matematika

Lalo na madalas, ang mga sine at cosine ay ginagamit sa paglutas ng mga tamang tatsulok at mga problemang nauugnay sa kanila.

Ang kaginhawahan ng mga sine at cosine ay makikita rin sa teknolohiya. Madaling suriin ang mga anggulo at gilid gamit ang cosine at sine theorems, na pinaghiwa-hiwalay ang mga kumplikadong hugis at bagay sa "simpleng" triangles. Ang mga inhinyero at, madalas na nakikitungo sa mga kalkulasyon ng aspect ratio at mga sukat ng antas, ay gumugol ng maraming oras at pagsisikap sa pagkalkula ng mga cosine at sine ng mga anggulo na hindi talahanayan.

Pagkatapos ang mga talahanayan ng Bradis ay sumagip, na naglalaman ng libu-libong halaga ng mga sine, cosine, tangent at cotangent ng iba't ibang anggulo. Noong panahon ng Sobyet, pinilit ng ilang guro ang kanilang mga ward na isaulo ang mga pahina ng mga talahanayan ng Bradis.

Radian - ang angular na halaga ng arko, kasama ang haba na katumbas ng radius o 57.295779513 ° degrees.

Degree (sa geometry) - 1/360th ng bilog o 1/90th ng tamang anggulo.

π = 3.141592653589793238462… (tinatayang halaga ng pi).

Cosine table para sa mga anggulo: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Anggulo x (sa degrees)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
Anggulo x (sa radians)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 x π/3	3xπ/4	5xπ/6	π	7xπ/6	5xπ/4	4xπ/3	3xπ/2	5xπ/3	7xπ/4	11xπ/6	2xπ
kasi x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1

Hindi kita kukumbinsihin na huwag magsulat ng mga cheat sheet. Sumulat! Kasama ang mga cheat sheet sa trigonometry. Sa ibang pagkakataon, plano kong ipaliwanag kung bakit kailangan ang mga cheat sheet at kung paano kapaki-pakinabang ang mga cheat sheet. At narito - impormasyon kung paano hindi matuto, ngunit tandaan ang ilang mga trigonometriko formula. Kaya - trigonometry na walang cheat sheet! Gumagamit kami ng mga asosasyon para sa pagsasaulo.

1. Mga formula ng karagdagan:

ang mga cosine ay palaging "magkapares": cosine-cosine, sine-sine. At isa pang bagay: ang mga cosine ay "hindi sapat". Sila ay "lahat ay mali", kaya binago nila ang mga palatandaan: "-" sa "+", at kabaliktaran.

Sinuses - "halo": sine-cosine, cosine-sine.

2. Mga formula ng kabuuan at pagkakaiba:

ang mga cosine ay palaging "pumunta nang magkapares". Ang pagkakaroon ng pagdaragdag ng dalawang cosine - "buns", nakakakuha kami ng isang pares ng cosine - "koloboks". At ang pagbabawas, tiyak na hindi tayo makakakuha ng mga kolobok. Nakakakuha kami ng ilang sine. May minus pa sa unahan.

Sinuses - "halo" :

3. Mga formula para sa pag-convert ng isang produkto sa kabuuan at pagkakaiba.

Kailan tayo makakakuha ng isang pares ng cosine? Kapag nagdadagdag ng mga cosine. Kaya

Kailan tayo makakakuha ng isang pares ng sine? Kapag binabawasan ang mga cosine. Mula rito:

Ang "paghahalo" ay nakuha pareho sa pamamagitan ng pagdaragdag at pagbabawas ng mga sine. Alin ang mas masaya: pagdaragdag o pagbabawas? Tama, tiklop. At para sa formula kumuha ng karagdagan:

Sa una at pangatlong formula sa mga bracket - ang halaga. Mula sa muling pagsasaayos ng mga lugar ng mga termino, ang kabuuan ay hindi nagbabago. Ang pagkakasunud-sunod ay mahalaga lamang para sa pangalawang formula. Ngunit, upang hindi malito, para sa kadalian ng pag-alala, sa lahat ng tatlong mga formula sa mga unang bracket ay kinukuha natin ang pagkakaiba

at pangalawa, ang kabuuan

Ang mga kuna sa iyong bulsa ay nagbibigay ng kapayapaan ng isip: kung nakalimutan mo ang formula, maaari mo itong isulat. At nagbibigay sila ng kumpiyansa: kung nabigo kang gamitin ang cheat sheet, ang mga formula ay madaling maalala.