Pagtuturo

Kung ang equation ay ipinakita sa anyo: dy/dx = q(x)/n(y), sumangguni sa kategorya ng mga differential equation na may mga separable variable. Ang mga ito ay maaaring malutas sa pamamagitan ng pagsulat ng kundisyon sa mga kaugalian tulad ng sumusunod: n(y)dy = q(x)dx. Pagkatapos ay isama ang parehong bahagi. Sa ilang mga kaso, ang solusyon ay nakasulat sa anyo ng mga integral na kinuha mula sa mga kilalang function. Halimbawa, sa kaso ng dy/dx = x/y, nakukuha natin ang q(x) = x, n(y) = y. Isulat ito bilang ydy = xdx at isama. Dapat mong makuha ang y^2 = x^2 + c.

sa linear mga equation ipatungkol ang mga equation na "una". Ang isang hindi kilalang function kasama ang mga derivatives nito ay kasama sa naturang equation hanggang sa unang antas lamang. Ang linear ay may anyo na dy/dx + f(x) = j(x), kung saan ang f(x) at g(x) ay mga function depende sa x. Ang solusyon ay isinulat gamit ang mga integral na kinuha mula sa mga kilalang function.

Tandaan na maraming mga differential equation ang mga second-order equation (naglalaman ng pangalawang derivatives). Halimbawa, ito ang equation ng simpleng harmonic motion, na isinulat bilang pangkalahatan: md 2x / dt 2 \u003d -kx. Ang ganitong mga equation ay may, sa , bahagyang mga solusyon. Ang equation ng simpleng harmonic motion ay isang halimbawa ng isang bagay na medyo mahalaga: linear differential equation na may pare-parehong coefficient.

Kung mayroon lamang isang linear na equation sa mga kondisyon ng problema, pagkatapos ay bibigyan ka ng karagdagang mga kondisyon dahil kung saan makakahanap ka ng solusyon. Basahing mabuti ang problema upang mahanap ang mga kundisyong ito. Kung ang mga variable Ang x at y ay distansya, bilis, timbang - huwag mag-atubiling itakda ang limitasyon x≥0 at y≥0. Posible na ang x o y ay nagtatago ng bilang ng , mansanas, atbp. – kung gayon ang mga halaga ay maaari lamang . Kung x ang edad ng anak, malinaw na hindi siya maaaring mas matanda kaysa sa kanyang ama, kaya ipahiwatig ito sa mga kondisyon ng problema.

Mga pinagmumulan:

• kung paano lutasin ang isang equation na may isang variable

Ang mga gawain para sa differential at integral calculus ay mahalagang elemento ng pagsasama-sama ng teorya ng mathematical analysis, isang seksyon ng mas mataas na matematika na pinag-aralan sa mga unibersidad. kaugalian ang equation ay nalutas sa pamamagitan ng paraan ng pagsasama.

Pagtuturo

Ang differential calculus ay nagsisiyasat ng mga katangian. Sa kabaligtaran, ang pagsasama ng isang function ay nagbibigay-daan, ayon sa ibinigay na mga katangian, i.e. derivatives o differentials ng isang function upang mahanap ito mismo. Ito ang solusyon ng differential equation.

Anuman ay isang ratio sa pagitan ng hindi kilalang halaga at kilalang data. Sa kaso ng isang differential equation, ang papel ng hindi alam ay ginagampanan ng function, at ang papel ng mga kilalang dami ay ginagampanan ng mga derivatives nito. Bilang karagdagan, ang ratio ay maaaring maglaman ng isang independiyenteng variable: F(x, y(x), y'(x), y''(x),…, y^n(x)) = 0, kung saan ang x ay isang hindi alam variable, y (x) ang function na tutukuyin, ang pagkakasunud-sunod ng equation ay ang pinakamataas na pagkakasunud-sunod ng derivative (n).

Ang nasabing equation ay tinatawag na ordinary differential equation. Kung mayroong ilang mga independyenteng variable sa ugnayan at mga partial derivatives (differentials) ng mga function na may kinalaman sa mga variable na ito, kung gayon ang equation ay tinatawag na differential equation na may partial derivatives at may anyo: x∂z/∂y - ∂z/∂ x = 0, kung saan ang z(x, y) ay ang gustong function.

Kaya, upang matutunan kung paano lutasin ang mga differential equation, kailangan mong makahanap ng mga antiderivative, i.e. lutasin ang problema ng inverse differentiation. Halimbawa: Lutasin ang unang pagkakasunod-sunod na equation y’ = -y/x.

SolusyonPalitan ang y' ng dy/dx: dy/dx = -y/x.

Dalhin ang equation sa isang form na maginhawa para sa pagsasama. Upang gawin ito, i-multiply ang magkabilang panig sa dx at hatiin sa y:dy/y = -dx/x.

Pagsamahin: ∫dy/y = - ∫dx/x + Сln |y| = - log |x| +C.

Ang solusyon na ito ay tinatawag na general differential equation. Ang C ay isang pare-pareho na ang hanay ng mga halaga ay tumutukoy sa hanay ng mga solusyon sa equation. Para sa anumang partikular na halaga ng C, ang solusyon ay magiging kakaiba. Ang ganitong solusyon ay isang partikular na solusyon ng isang differential equation.

Solusyon ng karamihan sa mga equation ng mas mataas degrees ay walang malinaw na formula, tulad ng paghahanap ng mga ugat ng isang parisukat mga equation. Gayunpaman, mayroong ilang mga paraan ng pagbabawas na nagbibigay-daan sa iyong baguhin ang isang mas mataas na antas ng equation sa isang mas visual na anyo.

Pagtuturo

Ang pinakakaraniwang paraan para sa paglutas ng mga equation ng mas mataas na degree ay pagpapalawak. Ang diskarte na ito ay isang kumbinasyon ng pagpili ng mga integer na ugat, mga divisors ng libreng termino, at ang kasunod na paghahati ng pangkalahatang polynomial sa anyo (x - x0).

Halimbawa, lutasin ang equation na x^4 + x³ + 2 x² - x - 3 = 0. Solusyon. Ang libreng miyembro ng polynomial na ito ay -3, samakatuwid, ang mga integer divisors nito ay maaaring ±1 at ±3. I-substitute ang mga ito nang paisa-isa sa equation at alamin kung nakuha mo ang pagkakakilanlan: 1: 1 + 1 + 2 - 1 - 3 = 0.

Pangalawang ugat x = -1. Hatiin sa expression (x + 1). Isulat ang resultang equation (x - 1) (x + 1) (x² + x + 3) = 0. Ang degree ay bumaba sa pangalawa, samakatuwid, ang equation ay maaaring magkaroon ng dalawa pang ugat. Upang mahanap ang mga ito, lutasin ang quadratic equation: x² + x + 3 = 0D = 1 - 12 = -11

Ang discriminant ay isang negatibong halaga, na nangangahulugan na ang equation ay wala nang tunay na mga ugat. Hanapin ang mga kumplikadong ugat ng equation: x = (-2 + i √11)/2 at x = (-2 – i √11)/2.

Ang isa pang paraan para sa paglutas ng isang mas mataas na degree na equation ay ang pagbabago ng mga variable upang parisukat ito. Ginagamit ang diskarteng ito kapag ang lahat ng kapangyarihan ng equation ay pantay, halimbawa: x^4 - 13 x² + 36 = 0

Ngayon hanapin ang mga ugat ng orihinal na equation: x1 = √9 = ±3; x2 = √4 = ±2.

Tip 10: Paano Matukoy ang Mga Redox Equation

Ang isang kemikal na reaksyon ay isang proseso ng pagbabagong-anyo ng mga sangkap na nangyayari na may pagbabago sa kanilang komposisyon. Ang mga sangkap na pumapasok sa reaksyon ay tinatawag na inisyal, at ang mga nabuo bilang resulta ng prosesong ito ay tinatawag na mga produkto. Ito ay nangyayari na sa kurso ng isang kemikal na reaksyon, ang mga elemento na bumubuo sa mga panimulang materyales ay nagbabago ng kanilang estado ng oksihenasyon. Iyon ay, maaari nilang tanggapin ang mga electron ng ibang tao at ibigay ang kanilang sarili. Sa parehong mga kaso, nagbabago ang kanilang singil. Ang ganitong mga reaksyon ay tinatawag na mga reaksiyong redox.

1. May anyo ang first order differential equation

Kung ang equation na ito ay malulutas na may kinalaman sa ta, maaari itong isulat bilang

Sa kasong ito, sinasabi namin na ang differential equation ay nalutas na may kinalaman sa derivative. Para sa naturang equation, ang sumusunod na theorem ay wasto, na tinatawag na theorem sa pagkakaroon at uniqueness ng isang solusyon sa isang differential equation. Teorama. Kung sa equation

function at ang partial derivative nito na may paggalang sa y ay tuloy-tuloy sa ilang domain D sa isang eroplanong naglalaman ng ilang punto, pagkatapos ay mayroong isang natatanging solusyon sa equation na ito.

nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon sa

Ang teorama na ito ay mapapatunayan sa § 27 Ch. XVI.

Ang geometric na kahulugan ng theorem ay mayroong umiiral at, bukod dito, isang natatanging function na ang graph ay dumadaan sa punto.

Ito ay sumusunod mula sa theorem na nakasaad na ang equation ay may walang katapusang bilang ng iba't ibang mga solusyon (halimbawa, isang solusyon na ang graph ay dumadaan sa isang punto, isa pang solusyon na ang graph ay dumadaan sa isang punto, atbp., kung ang mga puntong ito lamang ay nasa rehiyon.

Ang kundisyon na kapag ang function na y ay dapat na katumbas ng isang naibigay na numero ay tinatawag na paunang kondisyon. Madalas itong nakasulat bilang

Kahulugan 1. Ang isang pangkalahatang solusyon ng isang first-order differential equation ay isang function

na nakasalalay sa isang arbitrary na pare-parehong C at natutugunan ang mga sumusunod na kondisyon:

a) natutugunan nito ang differential equation para sa anumang partikular na halaga ng pare-parehong C;

b) anuman ang paunang kundisyon para sa, makakahanap ka ng ganoong halaga na natutugunan ng function ang ibinigay na paunang kundisyon. Ipinapalagay na ang mga halaga ay kabilang sa rehiyon ng pagkakaiba-iba ng mga variable na x at y, kung saan nasiyahan ang mga kondisyon ng teorama ng pagkakaroon at pagiging natatangi ng solusyon.

2. Sa proseso ng paghahanap para sa isang pangkalahatang solusyon ng isang differential equation, madalas tayong dumating sa isang kaugnayan ng form

hindi pinahihintulutan patungkol sa Ang paglutas ng kaugnayang ito na may paggalang sa y, nakuha namin ang pangkalahatang solusyon. Gayunpaman, hindi laging posible na ipahayag ang y mula sa kaugnayan (2) sa elementarya na mga function; sa ganitong mga kaso ang pangkalahatang solusyon ay naiwan na walang laman. Ang pagkakapantay-pantay ng anyo na tuwirang tumutukoy sa isang pangkalahatang solusyon ay tinatawag na pangkalahatang integral ng isang differential equation.

Depinisyon 2. Ang partikular na solusyon ay anumang function na nakuha mula sa isang pangkalahatang solusyon kung ang isang tiyak na halaga ay ibinigay sa huling arbitrary na pare-parehong C. Ang ratio ay tinatawag sa kasong ito na bahagyang integral ng equation.

Halimbawa 1. Para sa isang first order equation

ang pangkalahatang solusyon ay magiging isang pamilya ng mga pag-andar; ito ay maaaring suriin sa pamamagitan ng isang simpleng pagpapalit sa equation.

Maghanap tayo ng isang partikular na solusyon na nakakatugon sa sumusunod na paunang kondisyon: para sa pagpapalit ng mga halagang ito sa formula, makuha natin o Samakatuwid, ang kinakailangang partikular na solusyon ay ang function.

Mula sa geometric na punto ng view, ang pangkalahatang integral ay isang pamilya ng mga kurba sa coordinate plane, depende sa isang di-makatwirang constant C (o, gaya ng sinasabi nila, sa isang parameter C).

Ang mga curve na ito ay tinatawag na integral curves ng ibinigay na differential equation. Ang bahagyang integral ay tumutugma sa isang kurba ng pamilyang ito na dumadaan sa ilang partikular na punto ng eroplano.

Kaya, sa huling halimbawa, ang pangkalahatang integral ay geometrical na kinakatawan ng isang pamilya ng mga hyperbola, at ang bahagyang integral, na tinukoy ng tinukoy na paunang kondisyon, ay kinakatawan ng isa sa mga hyperbola na ito na dumadaan sa punto. 251 ay nagpapakita ng mga curve ng pamilya na tumutugma sa ilang value ng parameter: atbp.

Upang gawing mas malinaw ang pangangatwiran, mula ngayon ay tatawagin natin ang solusyon ng isang equation hindi lamang isang function na nakakatugon sa equation, kundi pati na rin ang kaukulang integral curve. Sa koneksyon na ito, magsasalita tayo, halimbawa, ng isang solusyon na dumadaan sa punto .

Magkomento. Ang equation ay walang solusyon na dumadaan sa isang punto na nakahiga sa axis ng Fig. 251), dahil ang kanang bahagi ng equation para sa ay hindi tinukoy at, samakatuwid, ay hindi tuloy-tuloy.

Ang paglutas o, gaya ng madalas sabihin, ang pagsasama ng isang differential equation ay nangangahulugang:

a) hanapin ang pangkalahatang solusyon o pangkalahatang integral nito (kung hindi ibinigay ang mga paunang kundisyon), o

b) hanapin ang partikular na solusyon ng equation na nakakatugon sa ibinigay na mga paunang kondisyon (kung mayroon man).

3. Magbigay tayo ng geometric na interpretasyon ng first-order differential equation.

Hayaang magbigay ng isang differential equation na nalutas na may kinalaman sa derivative:

at hayaang maging pangkalahatang solusyon ng equation na ito. Ang pangkalahatang solusyon na ito ay tumutukoy sa isang pamilya ng mga integral na kurba sa eroplano

Tinutukoy ng equation (D) para sa bawat puntong M na may mga coordinate na x at y ang halaga ng derivative, ibig sabihin, ang slope ng tangent sa integral curve na dumadaan sa puntong ito. Kaya, ang differential equation (D) ay nagbibigay ng isang hanay ng mga direksyon, o, gaya ng sinasabi nila, tinutukoy ang larangan ng mga direksyon sa eroplano.

Samakatuwid, mula sa isang geometric na punto ng view, ang problema ng pagsasama ng isang kaugalian equation ay upang mahanap ang mga curves na ang padaplis direksyon coincides sa direksyon ng patlang sa kaukulang mga punto.

Para sa differential equation (1), ang locus ng mga punto kung saan nagtataglay ang relasyon ay tinatawag na isocline ng ibinigay na differential equation.

Para sa iba't ibang mga halaga ng k, nakakakuha kami ng iba't ibang mga isocline. Ang equation ng isocline na tumutugma sa halaga ng k ay malinaw na magiging: Sa pamamagitan ng pagbuo ng isang pamilya ng mga isocline, ang isa ay maaaring humigit-kumulang na bumuo ng isang pamilya ng integral curves. Sinasabi na, sa pag-alam sa mga isocline, maaaring matukoy ng isa ang lokasyon ng integral curves sa eroplano.

Sa ilang mga problema ng pisika, ang isang direktang koneksyon sa pagitan ng mga dami na naglalarawan sa proseso ay hindi maitatag. Ngunit may posibilidad na makakuha ng pagkakapantay-pantay na naglalaman ng mga derivatives ng mga function na pinag-aaralan. Ito ay kung paano lumitaw ang mga differential equation at ang pangangailangan upang malutas ang mga ito upang makahanap ng hindi kilalang function.

Ang artikulong ito ay inilaan para sa mga nahaharap sa problema ng paglutas ng isang differential equation kung saan ang hindi kilalang function ay isang function ng isang variable. Ang teorya ay binuo sa paraang may zero na pag-unawa sa mga differential equation, magagawa mo ang iyong trabaho.

Ang bawat uri ng differential equation ay nauugnay sa isang paraan ng solusyon na may mga detalyadong paliwanag at solusyon ng mga tipikal na halimbawa at problema. Kailangan mo lang matukoy ang uri ng differential equation ng iyong problema, maghanap ng katulad na nasuri na halimbawa at magsagawa ng mga katulad na aksyon.

Upang matagumpay na malutas ang mga differential equation, kakailanganin mo rin ang kakayahang makahanap ng mga hanay ng mga antiderivatives (indefinite integral) ng iba't ibang function. Kung kinakailangan, inirerekomenda namin na sumangguni ka sa seksyon.

Una, isinasaalang-alang namin ang mga uri ng mga ordinaryong differential equation ng unang order na maaaring malutas na may paggalang sa derivative, pagkatapos ay lumipat kami sa pangalawang-order na ODEs, pagkatapos ay naninirahan kami sa mga equation na may mas mataas na pagkakasunud-sunod at tapusin sa mga sistema ng mga differential equation.

Alalahanin na kung ang y ay isang function ng argumento x .

First order differential equation.

Ang pinakasimpleng differential equation ng unang order ng form .

Isulat natin ang ilang mga halimbawa ng naturang DE .

Mga Differential Equation maaaring lutasin na may kinalaman sa derivative sa pamamagitan ng paghahati sa magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay sa f(x) . Sa kasong ito, dumating tayo sa equation , na magiging katumbas ng orihinal para sa f(x) ≠ 0 . Ang mga halimbawa ng naturang mga ODE ay .

Kung mayroong mga halaga ng argumentong x kung saan ang mga function na f(x) at g(x) ay sabay-sabay na nawawala, pagkatapos ay lilitaw ang mga karagdagang solusyon. Mga karagdagang solusyon sa equation ibinigay na x ay anumang mga function na tinukoy para sa mga halaga ng argumento. Ang mga halimbawa ng naturang differential equation ay .

Mga equation ng pagkakaiba-iba ng pangalawang order.

Second Order Linear Homogeneous Differential Equation na may Constant Coefficients.

Ang LODE na may pare-parehong coefficient ay isang napaka-karaniwang uri ng mga differential equation. Ang kanilang solusyon ay hindi partikular na mahirap. Una, ang mga ugat ng katangian na equation ay matatagpuan . Para sa iba't ibang p at q, tatlong mga kaso ang posible: ang mga ugat ng katangian na equation ay maaaring maging totoo at naiiba, totoo at nagtutugma. o kumplikadong conjugate. Depende sa mga halaga ng mga ugat ng katangian na equation, ang pangkalahatang solusyon ng differential equation ay nakasulat bilang , o , o ayon sa pagkakabanggit.

Halimbawa, isaalang-alang ang isang second-order linear homogeneous differential equation na may pare-parehong coefficient. Ang mga ugat ng kanyang katangian na equation ay k 1 = -3 at k 2 = 0. Ang mga ugat ay totoo at naiiba, samakatuwid, ang pangkalahatang solusyon sa LDE na may pare-parehong mga koepisyent ay


Linear Nonhomogeneous Second Order Differential Equation na may Constant Coefficient.

Ang pangkalahatang solusyon ng pangalawang-order na LIDE na may pare-parehong mga coefficient y ay hinahanap bilang kabuuan ng pangkalahatang solusyon ng kaukulang LODE at isang partikular na solusyon ng orihinal na inhomogeneous equation, iyon ay, . Ang nakaraang talata ay nakatuon sa paghahanap ng isang pangkalahatang solusyon sa isang homogenous na differential equation na may pare-parehong coefficient. At ang isang partikular na solusyon ay natutukoy alinman sa pamamagitan ng paraan ng mga hindi tiyak na coefficient para sa isang tiyak na anyo ng function f (x) , nakatayo sa kanang bahagi ng orihinal na equation, o sa pamamagitan ng paraan ng pagkakaiba-iba ng mga arbitrary constants.

Bilang mga halimbawa ng mga second-order na LIDE na may pare-parehong coefficient, ipinapakita namin


Upang maunawaan ang teorya at maging pamilyar sa mga detalyadong solusyon ng mga halimbawa, nag-aalok kami sa iyo sa pahina ng linear na hindi magkakatulad na mga equation ng pagkakaiba-iba ng pangalawang pagkakasunud-sunod na may pare-parehong mga coefficient.

Linear Homogeneous Differential Equation (LODEs) at second-order linear inhomogeneous differential equation (LNDEs).

Ang isang espesyal na kaso ng mga differential equation ng ganitong uri ay LODE at LODE na may pare-parehong coefficient.

Ang pangkalahatang solusyon ng LODE sa isang tiyak na pagitan ay kinakatawan ng isang linear na kumbinasyon ng dalawang linearly na independiyenteng partikular na mga solusyon y 1 at y 2 ng equation na ito, iyon ay, .

Ang pangunahing kahirapan ay tiyak na nakasalalay sa paghahanap ng mga linearly independent na partial na solusyon ng ganitong uri ng differential equation. Karaniwan, ang mga partikular na solusyon ay pinili mula sa mga sumusunod na sistema ng mga linearly independent na function:


Gayunpaman, ang mga partikular na solusyon ay hindi palaging ipinakita sa form na ito.

Ang isang halimbawa ng LODU ay .

Ang pangkalahatang solusyon ng LIDE ay hinahanap sa anyo , kung saan ang pangkalahatang solusyon ng kaukulang LODE, at isang partikular na solusyon ng orihinal na differential equation. Napag-usapan lang namin ang tungkol sa paghahanap, ngunit maaari itong matukoy gamit ang paraan ng pagkakaiba-iba ng mga arbitrary constants.

Ang isang halimbawa ng isang LNDE ay .

Mas mataas na pagkakasunud-sunod na kaugalian equation.

Mga differential equation na umaamin sa pagbabawas ng order.

Pagkakasunud-sunod ng differential equation , na hindi naglalaman ng gustong function at ang mga derivatives nito hanggang k-1 order, ay maaaring bawasan sa n-k sa pamamagitan ng pagpapalit ng .

Sa kasong ito , at ang orihinal na differential equation ay bumababa sa . Matapos mahanap ang solusyon nito p(x), nananatili itong bumalik sa kapalit at matukoy ang hindi kilalang function y .

Halimbawa, ang differential equation pagkatapos ang kapalit ay maging isang separable equation , at ang pagkakasunud-sunod nito ay binabawasan mula sa ikatlo hanggang sa una.

Ang isang first order equation ng form na a 1 (x) y "+ a 0 (x) y \u003d b (x) ay tinatawag na linear differential equation. Kung b (x) ≡ 0 kung gayon ang equation ay tinatawag na homogenous, kung hindi - magkakaiba. Para sa isang linear differential equation, ang pagkakaroon at uniqueness theorem ay may mas kongkretong anyo.

Pagtatalaga ng serbisyo. Maaaring gumamit ng online na calculator upang suriin ang solusyon homogenous at non-homogeneous linear differential equation tulad ng y"+y=b(x) .

=

Gumamit ng variable substitution y=u*v
Gamitin ang di-makatwirang paraan ng patuloy na pagkakaiba-iba
Maghanap ng partikular na solusyon para sa y( ) = .

Upang makakuha ng solusyon, dapat na bawasan ang orihinal na expression sa anyo: a 1 (x)y" + a 0 (x)y = b(x) . Halimbawa, para sa y"-exp(x)=2*y ito ay magiging y"-2 *y=exp(x) .

Teorama. Hayaang ang isang 1 (x) , a 0 (x) , b(x) ay tuluy-tuloy sa pagitan [α,β], isang 1 ≠0 para sa ∀x∈[α,β]. Pagkatapos para sa anumang punto (x 0 , y 0), x 0 ∈[α,β], mayroong isang natatanging solusyon sa equation na nakakatugon sa kundisyon y(x 0) = y 0 at tinukoy sa buong pagitan [α ,β].
Isaalang-alang ang isang homogenous na linear differential equation a 1 (x)y"+a 0 (x)y=0 .
Paghihiwalay sa mga variable, makuha namin ang , o, pagsasama ng parehong bahagi, Ang huling kaugnayan, na isinasaalang-alang ang notasyon exp(x) = e x , ay nakasulat sa form

Subukan natin ngayon na maghanap ng solusyon sa equation sa ipinahiwatig na anyo, kung saan ang function na C(x) ay pinapalitan sa halip na ang pare-parehong C, iyon ay, sa anyo.

Ang pagpapalit ng solusyon na ito sa orihinal na solusyon, pagkatapos ng mga kinakailangang pagbabago, nakukuha namin Ang pagsasama ng huli, mayroon kami

kung saan ang C 1 ay ilang bagong pare-pareho. Ang pagpapalit ng resultang expression para sa C(x), sa wakas ay nakuha natin ang solusyon ng orihinal na linear equation
.

Halimbawa. Lutasin ang equation na y" + 2y = 4x. Isaalang-alang ang katumbas na homogeneous equation na y" + 2y = 0. Ang paglutas nito, makuha natin ang y = Ce -2 x. Naghahanap kami ngayon ng solusyon sa orihinal na equation sa anyong y = C(x)e -2 x . Ang pagpapalit ng y at y" = C"(x)e -2 x - 2C(x)e -2 x sa orihinal na equation, mayroon tayong C"(x) = 4xe 2 x, kung saan ang C(x) = 2xe 2 x - e 2 x + C 1 at y(x) = (2xe 2 x - e 2 x + C 1)e -2 x = 2x - 1 + C 1 e -2 x ang pangkalahatang solusyon sa orihinal na equation.Sa solusyon na ito, y 1 ( x) = 2x-1 - paggalaw ng bagay sa ilalim ng pagkilos ng puwersa b(x) = 4x, y 2 (x) = C 1 e -2 x - tamang paggalaw ng bagay.

Halimbawa #2. Hanapin ang pangkalahatang solusyon ng first order differential equation y"+3 y tan(3x)=2 cos(3x)/sin 2 2x.
Ito ay isang inhomogeneous equation. Gumawa tayo ng pagbabago ng mga variable: y=u v, y" = u"v + uv".
3u v tg(3x)+u v"+u" v = 2cos(3x)/sin 2 2x o u(3v tg(3x)+v") + u" v= 2cos(3x)/sin 2 2x
Ang solusyon ay binubuo ng dalawang hakbang:
1. u(3vtg(3x)+v") = 0
2. u "v \u003d 2cos (3x) / sin 2 2x
1. Equate u=0, hanapin ang solusyon para sa 3v tg(3x)+v" = 0
Kinakatawan sa anyo: v" = -3v tg(3x)

Pagsasama, nakukuha namin:

ln(v) = ln(cos(3x))
v = cos(3x)
2. Knowing v, Find u from the condition: u "v \u003d 2cos (3x) / sin 2 2x
u" cos(3x) = 2cos(3x)/sin 2 2x
u" = 2/sin 2 2x
Pagsasama, nakukuha namin:
Mula sa kundisyon y=u v, nakukuha natin ang:
y = u v = (C-cos(2x)/sin(2x)) cos(3x) o y = C cos(3x)-cos(2x) ctg(3x)

Nalutas ang mga first order differential equation na may kinalaman sa derivative

Paano lutasin ang mga first order differential equation

Hayaang magkaroon tayo ng first-order differential equation na nalutas na may kinalaman sa derivative:
.
Hinahati ang equation na ito sa pamamagitan ng , sa , nakakakuha tayo ng equation ng form:
,
saan .

Susunod, titingnan natin kung nabibilang ang mga equation na ito sa isa sa mga uri na nakalista sa ibaba. Kung hindi, muli naming isusulat ang equation sa anyo ng mga kaugalian. Upang gawin ito, isinusulat namin at i-multiply ang equation sa pamamagitan ng . Nakukuha namin ang equation sa anyo ng mga kaugalian:
.

Kung ang equation na ito ay hindi isang equation sa kabuuang differentials, pagkatapos ay isasaalang-alang namin na sa equation na ito ay isang independent variable, at ito ay isang function ng . Hatiin natin ang equation sa pamamagitan ng:
.
Susunod, titingnan namin kung ang equation na ito ay kabilang sa isa sa mga uri na nakalista sa ibaba, dahil doon at napalitan na.

Kung ang isang uri ay hindi natagpuan para sa equation na ito, pagkatapos ay titingnan natin kung posible na gawing simple ang equation sa pamamagitan ng isang simpleng pagpapalit. Halimbawa, kung ang equation ay:
,
tapos mapapansin natin yun. Pagkatapos ay gumawa kami ng isang pagpapalit. Pagkatapos nito, ang equation ay magkakaroon ng mas simpleng anyo:
.

Kung hindi ito makakatulong, susubukan naming humanap ng integrating factor.

Nahihiwalay na Variable Equation

;
.
Hatiin at pagsamahin. Kapag nakuha namin:
.

Mga equation na bumababa sa mga equation na may mga separable variable

Mga homogenous na equation

Malutas namin sa pamamagitan ng pagpapalit:
,
saan ang isang function ng . Pagkatapos
;
.
Paghiwalayin ang mga variable at pagsamahin.

Mga Equation na Nagbabawas sa Homogeneous

Ipinakilala namin ang mga variable at:
;
.
Ang mga constant at pinili upang ang mga libreng termino ay mawala:
;
.
Bilang resulta, nakakakuha tayo ng homogenous na equation sa mga variable at .

Pangkalahatang homogenous equation

Gumagawa kami ng pagpapalit. Nakukuha namin ang isang homogenous na equation sa mga variable at .

Linear differential equation

Mayroong tatlong mga paraan para sa paglutas ng mga linear equation.

2) Paraan ng Bernoulli.
Naghahanap kami ng isang solusyon sa anyo ng isang produkto ng dalawang function at mula sa isang variable:
.
;
.
Maaari nating piliin ang isa sa mga function na ito nang arbitraryo. Samakatuwid, habang pinipili natin ang anumang di-zero na solusyon ng equation:
.

3) Ang paraan ng pagkakaiba-iba ng pare-pareho (Lagrange).
Dito muna natin lutasin ang homogenous equation:

Ang pangkalahatang solusyon ng homogenous na equation ay may anyo:
,
kung saan ay isang pare-pareho. Susunod, pinapalitan namin ang pare-pareho ng isang function depende sa variable:
.
Palitan sa orihinal na equation. Bilang resulta, nakakakuha tayo ng equation kung saan natin tinutukoy .

Mga equation ni Bernoulli

Sa pamamagitan ng pagpapalit, ang Bernoulli equation ay nabawasan sa isang linear equation.

Ang equation na ito ay maaari ding malutas sa pamamagitan ng Bernoulli method. Iyon ay, naghahanap kami ng isang solusyon sa anyo ng isang produkto ng dalawang pag-andar depende sa variable:
.
Pinapalitan namin ang orihinal na equation:
;
.
Habang pinipili namin ang anumang di-zero na solusyon ng equation:
.
Ang pagkakaroon ng natukoy , kami ay kumuha ng isang equation na may separable variable para sa .

Riccati equation

Hindi ito nareresolba sa pangkalahatang paraan. Pagpapalit

ang Riccati equation ay binawasan sa anyo:
,
kung saan ay isang pare-pareho; ; .
Susunod, pagpapalit:

parang:
,
saan .

Ang mga katangian ng Riccati equation at ilang mga espesyal na kaso ng solusyon nito ay ipinakita sa pahina
Riccati differential equation >>>

Mga equation ni Jacobi

Nalutas sa pamamagitan ng pagpapalit:
.

Mga Equation sa Total Differentials

Kung ganoon
.
Kapag natugunan ang kundisyong ito, ang ekspresyon sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay ang pagkakaiba ng ilang function:
.
Pagkatapos
.
Mula dito nakukuha natin ang integral ng differential equation:
.

Upang mahanap ang function, ang pinaka-maginhawang paraan ay ang paraan ng sunud-sunod na pagpili ng differential. Para dito, ginagamit ang mga formula:
;
;
;
.

Salik ng pagsasanib

Kung ang first-order differential equation ay hindi nabawasan sa alinman sa mga nakalistang uri, maaari mong subukang humanap ng integrating factor. Ang isang integrating factor ay tulad ng isang function, kapag pinarami nito, ang differential equation ay nagiging isang equation sa kabuuang differentials. Ang isang first order differential equation ay may walang katapusang bilang ng mga integrating factor. Gayunpaman, walang mga pangkalahatang pamamaraan para sa paghahanap ng integrating factor.

Hindi nalutas ang mga equation para sa derivative na y"

Mga equation na umaamin ng solusyon na may kinalaman sa derivative y"

Una kailangan mong subukang lutasin ang equation na may paggalang sa derivative. Kung maaari, ang equation ay maaaring bawasan sa isa sa mga uri na nakalista sa itaas.

Mga Equation na Nagbibigay-daan sa Factorization

Kung maaari mong i-factor ang equation:
,
pagkatapos ang problema ay nabawasan sa sunud-sunod na solusyon ng mas simpleng mga equation:
;
;

;
. Naniniwala kami . Pagkatapos
o .
Susunod, isasama namin ang equation:
;
.
Bilang resulta, nakukuha namin ang pagpapahayag ng pangalawang variable sa pamamagitan ng parameter.

Higit pang mga pangkalahatang equation:
o
ay nalutas din sa parametric form. Upang gawin ito, kailangan mong pumili ng isang function upang mula sa orihinal na equation ay maaari mong ipahayag o sa pamamagitan ng parameter .
Upang ipahayag ang pangalawang variable sa mga tuntunin ng parameter , isinasama namin ang equation:
;
.

Nalutas ang mga equation na may kinalaman sa y

Mga equation ni Clairaut

Ang equation na ito ay may pangkalahatang solusyon

Lagrange equation

Naghahanap kami ng solusyon sa parametric form. Ipinapalagay namin, kung saan ang isang parameter.

Mga equation na humahantong sa Bernoulli equation

Ang mga equation na ito ay binabawasan sa Bernoulli equation kung hahanapin natin ang kanilang mga solusyon sa parametric form sa pamamagitan ng paglalagay ng parameter at paggawa ng substitution.

Mga sanggunian:
V.V. Stepanov, Kurso ng Differential Equation, LKI, 2015.
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Koleksyon ng mga problema sa mas mataas na matematika, Lan, 2003.