Pythagorean theorem

Ang kapalaran ng iba pang mga theorems at mga problema ay kakaiba... Paano maipaliwanag ng isang tao, halimbawa, ang gayong pambihirang atensyon sa bahagi ng mga mathematician at mathematician sa Pythagorean theorem? Bakit marami sa kanila ang hindi nasisiyahan sa mga nakilala nang patunay, ngunit nakahanap ng kanilang sarili, na dinadala ang bilang ng mga patunay sa ilang daan sa dalawampu't limang medyo napapansing mga siglo?
Pagdating sa Pythagorean theorem, ang hindi karaniwan ay nagsisimula sa pangalan nito. Ito ay pinaniniwalaan na hindi ito nangangahulugang si Pythagoras ang nagbalangkas nito sa unang pagkakataon. Nagdududa rin na nagbigay siya ng patunay. Kung si Pythagoras ay isang tunay na tao (ang ilan ay nagdududa pa nga!), Malamang na nabuhay siya noong ika-6-5 siglo. BC e. Siya mismo ay hindi sumulat ng anuman, tinawag niya ang kanyang sarili na isang pilosopo, na nangangahulugang, sa kanyang pag-unawa, "naghahangad ng karunungan", itinatag ang Pythagorean Union, na ang mga miyembro ay nakikibahagi sa musika, himnastiko, matematika, pisika at astronomiya. Maliwanag, isa rin siyang mahusay na mananalumpati, na pinatunayan ng sumusunod na alamat na may kaugnayan sa kanyang pananatili sa lungsod ng Croton: binalangkas ang mga tungkulin ng mga kabataang lalaki, na hiniling ng mga matatanda sa lungsod na huwag silang iwanan nang walang pagtuturo. Sa ikalawang talumpating ito, itinuro niya ang legalidad at kadalisayan ng moral, bilang mga pundasyon ng pamilya; sa sumunod na dalawa ay kinausap niya ang mga bata at babae. Ang kinahinatnan ng huling talumpati, kung saan lalo niyang hinatulan ang karangyaan, ay ang libu-libong mamahaling damit ang inihatid sa templo ni Hera, dahil wala nang isang babae ang nangahas na magpakita ng sarili sa kanila sa kalye ... "Gayunpaman, bumalik. sa ikalawang siglo ng ating panahon, iyon ay, pagkatapos ng 700 taon, medyo totoong mga tao ang nabuhay at nagtrabaho, mga natitirang siyentipiko na malinaw na nasa ilalim ng impluwensya ng unyon ng Pythagorean at ginagamot nang may malaking paggalang sa kung ano, ayon sa alamat, nilikha ni Pythagoras.
Walang alinlangan din na ang interes sa teorama ay sanhi ng parehong katotohanan na sinasakop nito ang isa sa mga sentral na lugar sa matematika, at sa pamamagitan ng kasiyahan ng mga may-akda ng mga patunay na nagtagumpay sa mga paghihirap, tungkol sa kung saan ang makatang Romano na si Quintus Horace Flaccus , na nabuhay bago ang ating panahon, ay mahusay na nagsabi: "Mahirap ipahayag ang mga kilalang katotohanan" .
Sa una, itinatag ng theorem ang ugnayan sa pagitan ng mga lugar ng mga parisukat na itinayo sa hypotenuse at ang mga binti ng isang right triangle:
.
Algebraic formulation:
Sa isang tamang tatsulok, ang parisukat ng haba ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga haba ng mga binti.
Iyon ay, tinutukoy ang haba ng hypotenuse ng tatsulok sa pamamagitan ng c, at ang mga haba ng mga binti sa pamamagitan ng a at b: a 2 + b 2 \u003d c 2. Ang parehong formulations ng theorem ay katumbas, ngunit ang pangalawang pagbabalangkas ay mas elementarya, hindi ito nangangailangan ng konsepto ng lugar. Iyon ay, ang pangalawang pahayag ay maaaring ma-verify nang hindi alam ang anumang bagay tungkol sa lugar at sa pamamagitan ng pagsukat lamang ng mga haba ng mga gilid ng isang tamang tatsulok.
Ang inverse Pythagorean theorem. Para sa anumang triple ng mga positibong numero a, b at c tulad na
a 2 + b 2 = c 2 , mayroong isang kanang tatsulok na may mga binti a at b at hypotenuse c.

Patunay ng

Sa ngayon, 367 na patunay ng teorama na ito ang naitala sa siyentipikong panitikan. Malamang, ang Pythagorean theorem ay ang tanging theorem na may kahanga-hangang bilang ng mga patunay. Ang ganitong uri ay maipaliwanag lamang ng pangunahing kahalagahan ng teorama para sa geometry.
Siyempre, sa konsepto, lahat ng mga ito ay maaaring hatiin sa isang maliit na bilang ng mga klase. Ang pinakasikat sa kanila: mga patunay sa pamamagitan ng paraan ng lugar, axiomatic at exotic na mga patunay (halimbawa, gamit ang mga differential equation).

Sa pamamagitan ng mga katulad na tatsulok

Ang sumusunod na patunay ng algebraic formulation ay ang pinakasimpleng patunay na binuo nang direkta mula sa mga axiom. Sa partikular, hindi nito ginagamit ang konsepto ng lugar ng isang pigura.
Hayaang ang ABC ay isang right triangle na may tamang anggulo C. Gumuhit ng taas mula sa C at tukuyin ang base nito sa pamamagitan ng H. Triangle ACH ay katulad ng triangle ABC sa dalawang anggulo.
Katulad nito, ang tatsulok na CBH ay katulad ng ABC. Ipinapakilala ang notasyon

nakukuha natin

Ano ang katumbas

Pagdaragdag, nakukuha namin

o

Mga patunay ng lugar

Ang mga sumusunod na patunay, sa kabila ng kanilang maliwanag na pagiging simple, ay hindi gaanong simple. Ang lahat ng mga ito ay gumagamit ng mga katangian ng lugar, ang patunay nito ay mas kumplikado kaysa sa patunay ng Pythagorean theorem mismo.

Patunay sa pamamagitan ng Pagkakatumbas

1. Ayusin ang apat na pantay na tamang tatsulok tulad ng ipinapakita sa figure.
2. Ang isang quadrilateral na may mga gilid c ay isang parisukat, dahil ang kabuuan ng dalawang talamak na anggulo ay 90°, at ang tuwid na anggulo ay 180°.
3. Ang lugar ng buong figure ay katumbas, sa isang banda, sa lugar ng isang parisukat na may gilid (a + b), at sa kabilang banda, ang kabuuan ng mga lugar ng apat na tatsulok at ang panloob na parisukat.



Q.E.D.

Katibayan sa pamamagitan ng Pagkakapantay-pantay

Ang isang halimbawa ng isa sa mga patunay na ito ay ipinapakita sa pagguhit sa kanan, kung saan ang parisukat na binuo sa hypotenuse ay na-convert sa pamamagitan ng permutation sa dalawang parisukat na binuo sa mga binti.

Patunay ni Euclid

Ang ideya ng patunay ni Euclid ay ang mga sumusunod: subukan nating patunayan na ang kalahati ng lugar ng parisukat na itinayo sa hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng kalahating lugar ng mga parisukat na itinayo sa mga binti, at pagkatapos ay ang mga lugar ng magkapantay ang malaki at dalawang maliit na parisukat. Isaalang-alang ang guhit sa kaliwa. Nagtayo kami ng mga parisukat sa mga gilid ng isang right-angled na tatsulok dito at gumuhit ng isang ray s mula sa vertex ng tamang anggulo C patayo sa hypotenuse AB, pinuputol nito ang parisukat na ABIK, na binuo sa hypotenuse, sa dalawang parihaba - BHJI at HAKJ , ayon sa pagkakabanggit. Lumalabas na ang mga lugar ng mga parihaba na ito ay eksaktong katumbas ng mga lugar ng mga parisukat na itinayo sa kaukulang mga binti. Subukan nating patunayan na ang lugar ng parisukat na DECA ay katumbas ng lugar ng rektanggulo AHJK Upang gawin ito, gumagamit kami ng isang pantulong na pagmamasid: Ang lugar ng isang tatsulok na may parehong taas at base bilang ibinigay Ang parihaba ay katumbas ng kalahati ng lugar ng ibinigay na parihaba. Ito ay bunga ng pagtukoy sa lugar ng isang tatsulok bilang kalahati ng produkto ng base at taas. Mula sa obserbasyon na ito ay sumusunod na ang lugar ng tatsulok na ACK ay katumbas ng lugar ng tatsulok na AHK (hindi ipinakita), na, naman, ay katumbas ng kalahati ng lugar ng parihaba AHJK. Patunayan natin ngayon na ang area ng triangle ACK ay katumbas din ng kalahati ng area ng square DECA. Ang tanging bagay na kailangang gawin para dito ay upang patunayan ang pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok na ACK at BDA (dahil ang lugar ng tatsulok na BDA ay katumbas ng kalahati ng lugar ng parisukat ng ari-arian sa itaas). Ang pagkakapantay-pantay na ito ay halata, ang mga tatsulok ay pantay sa dalawang panig at ang anggulo sa pagitan nila. Namely - AB=AK,AD=AC - ang pagkakapantay-pantay ng mga anggulo na CAK at BAD ay madaling patunayan sa pamamagitan ng paraan ng paggalaw: paikutin natin ang tatsulok na CAK 90 ° counterclockwise, pagkatapos ay malinaw na ang mga kaukulang panig ng dalawang itinuturing na tatsulok. ay magkakasabay (dahil sa katotohanan na ang anggulo sa vertex ng parisukat ay 90°). Ang argumento tungkol sa pagkakapantay-pantay ng mga lugar ng parisukat na BCFG at ang parihaba na BHJI ay ganap na kahalintulad. Kaya, napatunayan namin na ang lugar ng parisukat na itinayo sa hypotenuse ay ang kabuuan ng mga lugar ng mga parisukat na itinayo sa mga binti.

Patunay ni Leonardo da Vinci

Ang mga pangunahing elemento ng patunay ay simetrya at paggalaw.

Isaalang-alang ang pagguhit, tulad ng makikita mula sa mahusay na proporsyon, pinutol ng segment na CI ang parisukat na ABHJ sa dalawang magkaparehong bahagi (dahil ang mga tatsulok na ABC at JHI ay pantay sa konstruksyon). Gamit ang 90 degree na counterclockwise na pag-ikot, nakikita namin ang pagkakapantay-pantay ng mga may kulay na figure na CAJI at GDAB. Ngayon ay malinaw na ang lugar ng figure na inililim sa amin ay katumbas ng kabuuan ng kalahati ng mga lugar ng mga parisukat na binuo sa mga binti at ang lugar ng orihinal na tatsulok. Sa kabilang banda, ito ay katumbas ng kalahati ng lugar ng parisukat na itinayo sa hypotenuse, kasama ang lugar ng orihinal na tatsulok. Ang huling hakbang sa patunay ay naiwan sa mambabasa.

Ang potensyal para sa pagkamalikhain ay karaniwang iniuugnay sa mga humanidad, na iniiwan ang natural na siyentipikong pagsusuri, praktikal na diskarte at tuyong wika ng mga formula at numero. Ang matematika ay hindi maaaring uriin bilang asignaturang humanidades. Ngunit kung walang pagkamalikhain sa "reyna ng lahat ng agham" hindi ka makakarating sa malayo - alam ng mga tao ang tungkol dito sa mahabang panahon. Mula noong panahon ni Pythagoras, halimbawa.

Ang mga aklat-aralin sa paaralan, sa kasamaang-palad, ay karaniwang hindi nagpapaliwanag na sa matematika ay mahalaga hindi lamang sa pag-cram ng mga theorems, axioms at formula. Mahalagang maunawaan at madama ang mga pangunahing prinsipyo nito. At sa parehong oras, subukang palayain ang iyong isip mula sa mga cliché at elementarya na katotohanan - tanging sa gayong mga kondisyon ay ipinanganak ang lahat ng mahusay na pagtuklas.

Ang ganitong mga pagtuklas ay kinabibilangan ng isa na kilala natin ngayon bilang Pythagorean theorem. Sa tulong nito, susubukan naming ipakita na ang matematika ay hindi lamang magagawa, ngunit dapat maging masaya. At na ang pakikipagsapalaran na ito ay angkop hindi lamang para sa mga nerd na may makapal na salamin, ngunit para sa lahat na malakas ang isip at malakas ang espiritu.

Mula sa kasaysayan ng isyu

Sa mahigpit na pagsasalita, kahit na ang teorama ay tinatawag na "Pythagorean theorem", si Pythagoras mismo ay hindi nakatuklas nito. Ang tamang tatsulok at ang mga espesyal na katangian nito ay matagal nang pinag-aralan bago ito. Mayroong dalawang polar na pananaw sa isyung ito. Ayon sa isang bersyon, si Pythagoras ang unang nakahanap ng kumpletong patunay ng theorem. Ayon sa isa pa, ang patunay ay hindi kabilang sa may-akda ni Pythagoras.

Ngayon hindi mo na masusuri kung sino ang tama at kung sino ang mali. Nalaman lamang na ang patunay ng Pythagoras, kung mayroon man, ay hindi nakaligtas. Gayunpaman, may mga mungkahi na ang sikat na patunay mula sa Euclid's Elements ay maaaring pag-aari ni Pythagoras, at si Euclid ay nagtala lamang nito.

Alam din ngayon na ang mga problema tungkol sa isang right-angled triangle ay matatagpuan sa Egyptian sources mula sa panahon ni Pharaoh Amenemhet I, sa Babylonian clay tablets mula sa paghahari ni Haring Hammurabi, sa sinaunang Indian treatise Sulva Sutra at ang sinaunang Chinese work Zhou -bi suan jin.

Tulad ng makikita mo, ang Pythagorean theorem ay sumasakop sa isip ng mga mathematician mula noong sinaunang panahon. Humigit-kumulang 367 iba't ibang piraso ng ebidensya na umiiral ngayon ang nagsisilbing kumpirmasyon. Walang ibang theorem ang makakalaban dito sa bagay na ito. Kabilang sa mga kilalang may-akda ng ebidensya si Leonardo da Vinci at ang ika-20 Pangulo ng Estados Unidos, si James Garfield. Ang lahat ng ito ay nagsasalita ng labis na kahalagahan ng teorama na ito para sa matematika: karamihan sa mga theorems ng geometry ay nagmula dito o, sa isang paraan o iba pa, konektado dito.

Mga Katibayan ng Pythagorean Theorem

Ang mga aklat-aralin sa paaralan ay kadalasang nagbibigay ng mga algebraic na patunay. Ngunit ang kakanyahan ng teorama ay nasa geometry, kaya isaalang-alang muna natin ang mga patunay ng sikat na teorama na batay sa agham na ito.

Patunay 1

Para sa pinakasimpleng patunay ng Pythagorean theorem para sa isang right triangle, kailangan mong magtakda ng mga ideal na kondisyon: hayaan ang triangle ay hindi lamang right-angled, kundi pati na rin ang isosceles. May dahilan upang maniwala na ito ay isang tatsulok na orihinal na isinasaalang-alang ng mga sinaunang mathematician.

Pahayag "Ang isang parisukat na binuo sa hypotenuse ng isang right triangle ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat na binuo sa mga binti nito" maaaring ilarawan sa sumusunod na pagguhit:

Tingnan ang isosceles right triangle ABC: Sa hypotenuse AC, maaari kang bumuo ng isang parisukat na binubuo ng apat na triangles na katumbas ng orihinal na ABC. At sa mga binti AB at BC na binuo sa isang parisukat, ang bawat isa ay naglalaman ng dalawang magkatulad na tatsulok.

Sa pamamagitan ng paraan, ang pagguhit na ito ay nabuo ang batayan ng maraming mga anekdota at mga cartoon na nakatuon sa Pythagorean theorem. Marahil ang pinakasikat ay "Ang Pythagorean na pantalon ay pantay-pantay sa lahat ng direksyon":

Patunay 2

Pinagsasama ng pamamaraang ito ang algebra at geometry at makikita bilang isang variant ng sinaunang Indian na patunay ng mathematician na si Bhaskari.

Bumuo ng isang tamang tatsulok na may mga gilid a, b at c(Larawan 1). Pagkatapos ay bumuo ng dalawang parisukat na may mga gilid na katumbas ng kabuuan ng mga haba ng dalawang binti - (a+b). Sa bawat isa sa mga parisukat, gumawa ng mga konstruksyon, tulad ng sa figure 2 at 3.

Sa unang parisukat, bumuo ng apat sa parehong mga tatsulok tulad ng sa Figure 1. Bilang resulta, dalawang parisukat ang nakuha: isa na may gilid a, ang pangalawa ay may gilid b.

Sa pangalawang parisukat, apat na katulad na tatsulok na itinayo ay bumubuo ng isang parisukat na may gilid na katumbas ng hypotenuse c.

Ang kabuuan ng mga lugar ng mga itinayong parisukat sa Fig. 2 ay katumbas ng lugar ng parisukat na itinayo namin sa gilid c sa Fig. 3. Madali itong ma-verify sa pamamagitan ng pagkalkula ng mga lugar ng mga parisukat sa Fig. 2 ayon sa formula. At ang lugar ng inscribed square sa Figure 3. sa pamamagitan ng pagbabawas ng mga lugar ng apat na pantay na right-angled triangles na nakasulat sa square mula sa lugar ng isang malaking square na may gilid (a+b).

Ibinaba ang lahat ng ito, mayroon tayong: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Palawakin ang mga bracket, gawin ang lahat ng kinakailangang algebraic na kalkulasyon at kunin iyon a 2 + b 2 = a 2 + b 2. Kasabay nito, ang lugar ng inscribed sa Fig.3. ang parisukat ay maaari ding kalkulahin gamit ang tradisyonal na pormula S=c2. Yung. a2+b2=c2 Napatunayan mo na ang Pythagorean theorem.

Patunay 3

Ang parehong sinaunang patunay ng India ay inilarawan noong ika-12 siglo sa treatise na "The Crown of Knowledge" ("Siddhanta Shiromani"), at bilang pangunahing argumento ang may-akda ay gumagamit ng isang apela na nakatutok sa mga talento sa matematika at kapangyarihan ng pagmamasid ng mga mag-aaral at mga tagasunod: "Tingnan mo!".

Ngunit susuriin namin ang patunay na ito nang mas detalyado:

Sa loob ng parisukat, bumuo ng apat na right-angled na tatsulok gaya ng ipinahiwatig sa pagguhit. Ang gilid ng malaking parisukat, na kung saan ay din ang hypotenuse, ay denoted kasama. Tawagan natin ang mga binti ng tatsulok a at b. Ayon sa pagguhit, ang gilid ng panloob na parisukat ay (a-b).

Gamitin ang square area formula S=c2 upang kalkulahin ang lugar ng panlabas na parisukat. At sa parehong oras, kalkulahin ang parehong halaga sa pamamagitan ng pagdaragdag ng lugar ng panloob na parisukat at ang mga lugar ng lahat ng apat na tamang tatsulok: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Maaari mong gamitin ang parehong mga pagpipilian upang kalkulahin ang lugar ng isang parisukat upang matiyak na nagbibigay sila ng parehong resulta. At binibigyan ka niyan ng karapatang isulat iyon c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Bilang resulta ng solusyon, makukuha mo ang formula ng Pythagorean theorem c2=a2+b2. Napatunayan na ang theorem.

Patunay 4

Ang kakaibang sinaunang Chinese na patunay na ito ay tinatawag na "Bride's Chair" - dahil sa hugis ng upuan na nagreresulta mula sa lahat ng mga konstruksyon:

Ginagamit nito ang pagguhit na nakita na natin sa Figure 3 sa pangalawang patunay. At ang panloob na parisukat na may gilid c ay itinayo sa parehong paraan tulad ng sa sinaunang Indian na patunay na ibinigay sa itaas.

Kung pinutol mo sa isip ang dalawang berdeng right-angled na tatsulok mula sa pagguhit sa Fig. 1, ilipat ang mga ito sa magkabilang panig ng parisukat na may gilid c at ikabit ang mga hypotenuse sa mga hypotenuse ng lilac triangles, makakakuha ka ng figure na tinatawag na "bride's upuan” (Larawan 2). Para sa kalinawan, maaari mong gawin ang parehong sa mga parisukat na papel at tatsulok. Makikita mo na ang "upuan ng nobya" ay nabuo sa pamamagitan ng dalawang parisukat: maliit na may gilid b at malaki na may gilid a.

Ang mga constructions na ito ay nagpapahintulot sa mga sinaunang Chinese mathematician at sa amin na sumusunod sa kanila na magkaroon ng konklusyon na c2=a2+b2.

Patunay 5

Ito ay isa pang paraan upang makahanap ng solusyon sa Pythagorean theorem batay sa geometry. Ito ay tinatawag na Garfield Method.

Bumuo ng tamang tatsulok ABC. Kailangan nating patunayan iyon BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

Upang gawin ito, ipagpatuloy ang binti AC at bumuo ng isang segment CD, na katumbas ng binti AB. Lower Perpendicular AD segment ng linya ED. Mga segment ED at AC ay pantay-pantay. ikonekta ang mga tuldok E at AT, pati na rin ang E at Sa at kumuha ng drawing tulad ng larawan sa ibaba:

Upang patunayan ang tore, muli naming ginagamit ang pamamaraan na nasubukan na namin: nahanap namin ang lugar ng nagresultang pigura sa dalawang paraan at tinutumbasan ang mga expression sa bawat isa.

Hanapin ang lugar ng isang polygon ISANG KAMA ay maaaring gawin sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga lugar ng tatlong tatsulok na bumubuo nito. At isa sa kanila ERU, ay hindi lamang hugis-parihaba, kundi pati na rin ang isosceles. Huwag din nating kalimutan iyon AB=CD, AC=ED at BC=CE- ito ay magbibigay-daan sa amin upang pasimplehin ang pag-record at hindi mag-overload ito. Kaya, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

At the same time, obvious naman na ISANG KAMA ay isang trapezoid. Samakatuwid, kinakalkula namin ang lugar nito gamit ang formula: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Para sa aming mga kalkulasyon, mas maginhawa at mas malinaw na kumatawan sa segment AD bilang kabuuan ng mga segment AC at CD.

Isulat natin ang parehong paraan upang makalkula ang lugar ng isang figure sa pamamagitan ng paglalagay ng pantay na tanda sa pagitan nila: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Ginagamit namin ang pagkakapantay-pantay ng mga segment na kilala na namin at inilarawan sa itaas upang pasimplehin ang kanang bahagi ng notasyon: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. At ngayon binubuksan namin ang mga bracket at binabago ang pagkakapantay-pantay: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Nang matapos ang lahat ng mga pagbabagong-anyo, nakukuha namin ang eksaktong kailangan namin: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Napatunayan namin ang teorama.

Siyempre, ang listahan ng ebidensyang ito ay malayo sa kumpleto. Ang Pythagorean theorem ay maaari ding patunayan gamit ang mga vectors, complex number, differential equation, stereometry, atbp. At kahit na ang mga physicist: kung, halimbawa, ang likido ay ibinubuhos sa parisukat at tatsulok na mga volume na katulad ng ipinapakita sa mga guhit. Sa pamamagitan ng pagbuhos ng likido, posible na patunayan ang pagkakapantay-pantay ng mga lugar at ang teorama mismo bilang isang resulta.

Ilang salita tungkol sa Pythagorean triplets

Ang isyung ito ay maliit o hindi pinag-aralan sa kurikulum ng paaralan. Samantala, ito ay lubhang kawili-wili at may malaking kahalagahan sa geometry. Ang mga triple ng Pythagorean ay ginagamit upang malutas ang maraming mga problema sa matematika. Ang ideya ng mga ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang sa iyo sa karagdagang edukasyon.

Kaya ano ang Pythagorean triplets? Tinatawag na natural na mga numero, na nakolekta sa tatlo, ang kabuuan ng mga parisukat ng dalawa sa mga ito ay katumbas ng pangatlong numerong parisukat.

Ang mga triple ng Pythagorean ay maaaring:

• primitive (lahat ng tatlong numero ay medyo prime);
• non-primitive (kung ang bawat numero ng isang triple ay i-multiply sa parehong numero, makakakuha ka ng isang bagong triple na hindi primitive).

Bago pa man ang ating panahon, ang mga sinaunang Egyptian ay nabighani sa kahibangan para sa bilang ng mga triplet ng Pythagorean: sa mga gawain ay itinuturing nilang isang right-angled na tatsulok na may mga gilid na 3.4 at 5 na mga yunit. Sa pamamagitan ng paraan, ang anumang tatsulok na ang mga gilid ay katumbas ng mga numero mula sa Pythagorean triple ay bilang default na parihaba.

Mga halimbawa ng Pythagorean triples: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34 ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14 , 48, 50), (30, 40, 50) atbp.

Praktikal na aplikasyon ng teorama

Ang Pythagorean theorem ay nakakahanap ng aplikasyon hindi lamang sa matematika, kundi pati na rin sa arkitektura at konstruksiyon, astronomiya, at maging sa panitikan.

Una, tungkol sa konstruksiyon: ang Pythagorean theorem ay nakakahanap ng malawak na aplikasyon dito sa mga problema ng iba't ibang antas ng pagiging kumplikado. Halimbawa, tingnan ang Romanesque window:

Tukuyin natin ang lapad ng bintana bilang b, kung gayon ang radius ng malaking kalahating bilog ay maaaring tukuyin bilang R at ipahayag sa pamamagitan ng b: R=b/2. Ang radius ng mas maliliit na kalahating bilog ay maaari ding ipahayag sa mga tuntunin ng b: r=b/4. Sa problemang ito, interesado kami sa radius ng panloob na bilog ng window (tawagan natin ito p).

Ang Pythagorean theorem ay madaling gamitin upang makalkula R. Upang gawin ito, gumagamit kami ng isang right-angled na tatsulok, na ipinahiwatig ng isang tuldok na linya sa figure. Ang hypotenuse ng isang tatsulok ay binubuo ng dalawang radii: b/4+p. Ang isang paa ay isang radius b/4, isa pa b/2-p. Gamit ang Pythagorean theorem, isinusulat namin: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Susunod, binuksan namin ang mga bracket at makuha b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. Ibahin natin ang ekspresyong ito sa bp/2=b 2 /4-bp. At pagkatapos ay hatiin namin ang lahat ng mga termino sa b, nagbibigay kami ng mga katulad na makukuha 3/2*p=b/4. At sa huli mahahanap natin iyon p=b/6- na kung ano ang kailangan namin.

Gamit ang theorem, maaari mong kalkulahin ang haba ng mga rafters para sa isang gable roof. Tukuyin kung gaano kataas ang isang mobile tower na kailangan para maabot ng signal ang isang tiyak na settlement. At kahit na patuloy na mag-install ng Christmas tree sa plaza ng lungsod. Tulad ng nakikita mo, ang teorama na ito ay nabubuhay hindi lamang sa mga pahina ng mga aklat-aralin, ngunit kadalasang kapaki-pakinabang sa totoong buhay.

Sa abot ng panitikan, ang Pythagorean theorem ay nagbigay inspirasyon sa mga manunulat mula noong unang panahon at patuloy na ginagawa ito ngayon. Halimbawa, ang ikalabinsiyam na siglong Aleman na manunulat na si Adelbert von Chamisso ay naging inspirasyon niya na magsulat ng isang soneto:

Ang liwanag ng katotohanan ay hindi maglalaho,
Ngunit, sa pagkakaroon ng shone, ito ay malamang na hindi mawala
At, tulad ng libu-libong taon na ang nakalilipas,
Hindi magdudulot ng mga pagdududa at pagtatalo.

Ang pinakamatalino kapag nakadikit sa mata
Liwanag ng katotohanan, salamat sa mga diyos;
At isang daang toro, sinaksak, nagsinungaling -
Ang pagbabalik na regalo ng masuwerteng Pythagoras.

Mula noon, ang mga toro ay desperadong umuungal:
Forever aroused ang toro tribo
pangyayaring binanggit dito.

Sa tingin nila, oras na
At muli sila ay isasakripisyo
Ilang mahusay na teorama.

(isinalin ni Viktor Toporov)

At noong ikadalawampu siglo, ang manunulat ng Sobyet na si Yevgeny Veltistov sa kanyang aklat na "The Adventures of Electronics" ay nagtalaga ng isang buong kabanata sa mga patunay ng Pythagorean theorem. At kalahating kabanata ng isang kuwento tungkol sa isang dalawang-dimensional na mundo na maaaring umiral kung ang Pythagorean theorem ay naging pangunahing batas at maging ang relihiyon para sa isang mundo. Mas madaling manirahan dito, ngunit mas nakakabagot din: halimbawa, walang nakakaunawa sa kahulugan ng mga salitang "bilog" at "mahimulmol".

At sa aklat na "The Adventures of Electronics", ang may-akda, sa pamamagitan ng bibig ng guro ng matematika na si Taratara, ay nagsabi: "Ang pangunahing bagay sa matematika ay ang paggalaw ng pag-iisip, mga bagong ideya." Ang malikhaing paglipad ng pag-iisip na ito ang bumubuo ng Pythagorean theorem - hindi para sa wala na mayroon itong napakaraming magkakaibang mga patunay. Nakakatulong itong lumampas sa karaniwan, at tumingin sa mga pamilyar na bagay sa isang bagong paraan.

Konklusyon

Ang artikulong ito ay nilikha upang maaari kang tumingin sa kabila ng kurikulum ng paaralan sa matematika at matutunan hindi lamang ang mga patunay ng Pythagorean theorem na ibinigay sa mga aklat-aralin na "Geometry 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) at "Geometry 7 -11 ” (A.V. Pogorelov), kundi pati na rin ang iba pang mga kakaibang paraan upang patunayan ang sikat na teorama. At tingnan din ang mga halimbawa kung paano mailalapat ang Pythagorean theorem sa pang-araw-araw na buhay.

Una, ang impormasyong ito ay magbibigay-daan sa iyo na mag-claim ng mas mataas na mga marka sa mga klase sa matematika - ang impormasyon sa paksa mula sa mga karagdagang mapagkukunan ay palaging lubos na pinahahalagahan.

Pangalawa, gusto naming tulungan kang madama kung gaano kawili-wili ang matematika. Upang kumbinsihin sa pamamagitan ng mga tiyak na halimbawa na palaging may lugar para sa pagkamalikhain dito. Umaasa kami na ang Pythagorean theorem at ang artikulong ito ay magbibigay inspirasyon sa iyo na gawin ang iyong sariling pananaliksik at kapana-panabik na mga pagtuklas sa matematika at iba pang mga agham.

Sabihin sa amin sa mga komento kung nakita mong kawili-wili ang ebidensya na ipinakita sa artikulo. Nakatulong ba ang impormasyong ito sa iyong pag-aaral? Ipaalam sa amin kung ano ang iyong iniisip tungkol sa Pythagorean theorem at sa artikulong ito - ikalulugod naming talakayin ang lahat ng ito sa iyo.

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.

Iba't ibang paraan upang patunayan ang Pythagorean theorem

mag-aaral ng 9 "A" na klase

MOU sekondaryang paaralan №8

Superbisor:

guro sa matematika,

MOU sekondaryang paaralan №8

Art. Bagong Pasko

Teritoryo ng Krasnodar.

Art. Bagong Pasko

ANNOTASYON.

Ang Pythagorean theorem ay nararapat na ituring na pinakamahalaga sa kurso ng geometry at nararapat na maingat na pansin. Ito ang batayan para sa paglutas ng maraming mga geometric na problema, ang batayan para sa pag-aaral ng teoretikal at praktikal na kurso ng geometry sa hinaharap. Ang teorama ay napapalibutan ng pinakamayamang makasaysayang materyal na may kaugnayan sa hitsura nito at mga pamamaraan ng patunay. Ang pag-aaral ng kasaysayan ng pag-unlad ng geometry ay nagdudulot ng pagmamahal sa paksang ito, nag-aambag sa pag-unlad ng interes sa pag-iisip, pangkalahatang kultura at pagkamalikhain, at nagkakaroon din ng mga kasanayan sa pananaliksik.

Bilang resulta ng aktibidad sa paghahanap, nakamit ang layunin ng gawain, na lagyang muli at gawing pangkalahatan ang kaalaman sa patunay ng Pythagorean theorem. Pinamamahalaang upang mahanap at suriin iba't-ibang paraan ebidensya at palalimin ang kaalaman sa paksa, na lampas sa mga pahina ng isang aklat-aralin sa paaralan.

Ang nakolektang materyal ay higit na nakakumbinsi na ang Pythagorean theorem ay ang dakilang theorem ng geometry at may malaking teoretikal at praktikal na kahalagahan.

Panimula. Makasaysayang background 5 Pangunahing katawan 8

3. Konklusyon 19

4. Literatura na ginamit 20
1. PANIMULA. SANGGUNIAN SA KASAYSAYAN.

Ang kakanyahan ng katotohanan ay para sa atin magpakailanman,

Kapag kahit minsan sa kanyang pananaw ay nakikita natin ang liwanag,

At ang Pythagorean theorem pagkatapos ng napakaraming taon

Para sa amin, bilang para sa kanya, ito ay hindi mapag-aalinlanganan, hindi nagkakamali.

Upang ipagdiwang, ang mga diyos ay binigyan ng panata ni Pythagoras:

Para sa makabagbag-damdaming karunungan,

Siya ay pumatay ng isang daang toro, salamat sa mga walang hanggan;

Nag-alay siya ng panalangin at papuri sa biktima pagkatapos.

Mula noon, ang mga toro, kapag sila ay naaamoy, nagtutulak,

Ano ang umaakay sa mga tao sa bagong katotohanan,

Sila ay umuungal nang galit, kaya't walang ihi na makinig,

Ang ganitong mga Pythagoras ay nagtanim ng takot sa kanila magpakailanman.

Mga toro, walang kapangyarihang labanan ang bagong katotohanan,

Ano ang natitira? - Ipikit mo lang ang iyong mga mata, umungol, manginig.

Hindi alam kung paano pinatunayan ni Pythagoras ang kanyang teorama. Ano ang tiyak ay natuklasan niya ito sa ilalim ng malakas na impluwensya ng Egyptian science. Ang isang espesyal na kaso ng Pythagorean theorem - ang mga katangian ng isang tatsulok na may mga gilid 3, 4 at 5 - ay kilala sa mga tagabuo ng mga pyramids bago pa ang kapanganakan ni Pythagoras, habang siya mismo ay nag-aral sa mga pari ng Egypt nang higit sa 20 taon. Mayroong isang alamat na nagsasabi na, nang napatunayan ang kanyang sikat na teorama, naghain si Pythagoras ng toro sa mga diyos, at ayon sa iba pang mga mapagkukunan, kahit na 100 toro. Ito, gayunpaman, ay sumasalungat sa impormasyon tungkol sa moral at relihiyosong pananaw ni Pythagoras. Sa mga mapagkukunang pampanitikan, mababasa ng isa na "ipinagbabawal niya kahit na ang pagpatay ng mga hayop, at higit pa sa pagpapakain sa kanila, dahil ang mga hayop ay may kaluluwa, tulad natin." Pulot, tinapay, gulay, at isda paminsan-minsan ang kinakain ni Pythagoras. Kaugnay ng lahat ng ito, ang sumusunod na entry ay maaaring ituring na mas makatwiran: "... at kahit na natuklasan niya na sa isang kanang tatsulok ang hypotenuse ay tumutugma sa mga binti, nagsakripisyo siya ng isang toro na gawa sa kuwarta ng trigo."

Ang katanyagan ng Pythagorean theorem ay napakahusay na ang mga patunay nito ay matatagpuan kahit na sa fiction, halimbawa, sa kuwento ng sikat na Ingles na manunulat na si Huxley "Young Archimedes". Ang parehong Patunay, ngunit para sa partikular na kaso ng isosceles right triangle, ay ibinigay sa dialogue ni Plato na Meno.

Bahay ng fairy tale.

"Malayo, malayo, kung saan kahit na ang mga eroplano ay hindi lumilipad, ay ang bansa ng Geometry. Sa hindi pangkaraniwang bansang ito mayroong isang kamangha-manghang lungsod - ang lungsod ng Teorem. Isang araw isang magandang babae na nagngangalang Hypotenuse ang dumating sa lungsod na ito. Sinubukan niyang makakuha ng silid, ngunit kahit saan siya mag-apply, siya ay tinanggihan kahit saan. Sa wakas ay nilapitan niya ang rickety house at kumatok. Binuksan siya ng isang lalaki na tinawag ang kanyang sarili na Right Angle, at inanyayahan niya ang Hypotenuse na tumira kasama niya. Nanatili ang hypotenuse sa bahay kung saan nakatira ang Right Angle at ang kanyang dalawang maliliit na anak, na pinangalanang Katet. Simula noon, ang buhay sa Right Angle House ay nagbago sa isang bagong paraan. Ang hypotenuse ay nagtanim ng mga bulaklak sa bintana, at naglatag ng mga pulang rosas sa harapang hardin. Ang bahay ay kinuha ang anyo ng isang kanang tatsulok. Ang magkabilang binti ay nagustuhan ng Hypotenuse at hiniling sa kanya na manatili magpakailanman sa kanilang bahay. Sa gabi, ang magiliw na pamilyang ito ay nagtitipon sa hapag ng pamilya. Minsan nakikipaglaro ang Right Angle ng taguan kasama ang kanyang mga anak. Kadalasan kailangan niyang tumingin, at ang Hypotenuse ay nagtatago nang napakahusay na maaaring maging napakahirap na hanapin ito. Minsan sa isang laro, napansin ng Right Angle ang isang kawili-wiling pag-aari: kung mahahanap niya ang mga binti, hindi mahirap hanapin ang Hypotenuse. Kaya ginagamit ng Right Angle ang pattern na ito, dapat kong sabihin, napaka-matagumpay. Ang Pythagorean theorem ay batay sa pag-aari ng tamang tatsulok na ito.

(Mula sa aklat ni A. Okunev "Salamat sa aralin, mga bata").

Isang mapaglarong pagbabalangkas ng theorem:

Kung bibigyan tayo ng tatsulok

At, bukod dito, na may tamang anggulo,

Iyon ang parisukat ng hypotenuse

Madali nating mahahanap ang:

Binubuo namin ang mga binti sa isang parisukat,

Nahanap namin ang kabuuan ng mga degree -

At sa simpleng paraan

Darating tayo sa resulta.

Ang pag-aaral ng algebra at ang simula ng pagsusuri at geometry sa ika-10 baitang, kumbinsido ako na bilang karagdagan sa paraan ng pagpapatunay ng Pythagorean theorem na isinasaalang-alang sa ika-8 baitang, may iba pang mga paraan ng pagpapatunay nito. Ipinakita ko ang mga ito para sa iyong pagsasaalang-alang.
2. PANGUNAHING BAHAGI.

Teorama. Square sa isang kanang tatsulok

Ang hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti.

1 PARAAN.

Gamit ang mga katangian ng mga lugar ng polygons, nagtatatag kami ng isang kahanga-hangang relasyon sa pagitan ng hypotenuse at mga binti ng isang right triangle.

Patunay.

a, sa at hypotenuse kasama(Larawan 1, a).

Patunayan natin yan c²=a²+b².

Patunay.

Kinukumpleto namin ang tatsulok sa isang parisukat na may gilid a + b tulad ng ipinapakita sa fig. 1b. Ang lugar S ng parisukat na ito ay (a + b)². Sa kabilang banda, ang parisukat na ito ay binubuo ng apat na pantay na right-angled triangles, ang lugar ng bawat isa ay ½ av, at isang parisukat na may gilid kasama, kaya S = 4 * ½ av + s² = 2av + s².

kaya,

(a + b)² = 2 av + s²,

c²=a²+b².

Napatunayan na ang theorem.
2 PARAAN.

Matapos pag-aralan ang paksang "Similar Triangles", nalaman ko na maaari mong ilapat ang pagkakatulad ng mga triangles sa patunay ng Pythagorean theorem. Ibig sabihin, ginamit ko ang pahayag na ang binti ng isang kanang tatsulok ay ang ibig sabihin na proporsyonal para sa hypotenuse at ang segment ng hypotenuse na nakapaloob sa pagitan ng binti at ang taas na iginuhit mula sa vertex ng tamang anggulo.

Isaalang-alang ang isang right-angled triangle na may tamang anggulo C, ang CD ay ang taas (Fig. 2). Patunayan natin yan AC² + TK² = AB² .

Patunay.

Batay sa pahayag tungkol sa binti ng isang right triangle:

AC = , CB = .

Namin parisukat at idagdag ang mga nagresultang pagkakapantay-pantay:

AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;

AC² + CB² = AB * (AD + DB), kung saan AD + DB = AB, pagkatapos

AC² + CB² = AB * AB,

AC² + CB² = AB².

Kumpleto na ang patunay.
3 PARAAN.

Ang kahulugan ng cosine ng isang acute angle ng isang right triangle ay maaaring ilapat sa patunay ng Pythagorean theorem. Isaalang-alang ang Fig. 3.

Patunay:

Hayaang ang ABC ay isang ibinigay na tamang tatsulok na may tamang anggulo C. Gumuhit ng taas na CD mula sa tuktok ng tamang anggulo C.

Sa pamamagitan ng kahulugan ng cosine ng isang anggulo:

cos A \u003d AD / AC \u003d AC / AB. Kaya AB * AD = AC²

Gayundin,

dahil B \u003d BD / BC \u003d BC / AB.

Kaya AB * BD \u003d BC².

Ang pagdaragdag ng mga resultang equalities term sa pamamagitan ng term at napansin na AD + DВ = AB, nakukuha natin ang:

AC² + araw² \u003d AB (AD + DB) \u003d AB²

Kumpleto na ang patunay.
4 NA PARAAN.

Ang pagkakaroon ng pag-aaral sa paksang "Mga ratio sa pagitan ng mga gilid at anggulo ng isang tamang tatsulok", sa palagay ko ang Pythagorean theorem ay maaaring patunayan sa ibang paraan.

Isaalang-alang ang isang kanang tatsulok na may mga binti a, sa at hypotenuse kasama. (Larawan 4).

Patunayan natin yan c²=a²+b².

Patunay.

kasalanan B= a/c ; cos B= a/s , pagkatapos, pag-squaring ng mga nagresultang pagkakapantay-pantay, makuha natin ang:

kasalanan² B= sa²/s²; cos² AT\u003d a² / s².

Ang pagdaragdag sa kanila, makakakuha tayo ng:

kasalanan² AT+ cos² B= v² / s² + a² / s², kung saan sin² AT+ cos² B=1,

1 \u003d (v² + a²) / s², samakatuwid,

c² = a² + b².

Kumpleto na ang patunay.

5 PARAAN.

Ang patunay na ito ay batay sa pagputol ng mga parisukat na binuo sa mga binti (Larawan 5) at pagsasalansan ng mga resultang bahagi sa parisukat na binuo sa hypotenuse.

6 NA PARAAN.

Para sa patunay sa cathete araw gusali BCD ABC(Larawan 6). Alam namin na ang mga lugar ng magkatulad na mga figure ay nauugnay bilang mga parisukat ng kanilang mga katulad na linear na sukat:

Ang pagbabawas ng pangalawa mula sa unang pagkakapantay-pantay, nakukuha natin

c2 = a2 + b2.

Kumpleto na ang patunay.

7 PARAAN.

Ibinigay(Larawan 7):

ABS,= 90° , araw= a, AC=b, AB = c.

Patunayan:c2 = a2 +b2.

Patunay.

Hayaan ang binti b a. Ituloy natin ang segment SW bawat punto AT at bumuo ng isang tatsulok bmd upang ang mga puntos M at PERO humiga sa isang gilid ng isang tuwid na linya CD at bukod sa, B.D.=b, BDM= 90°, DM= a, pagkatapos bmd= ABC sa dalawang panig at ang anggulo sa pagitan nila. Puntos A at M kumonekta sa pamamagitan ng mga segment AM. Meron kami MD CD at AC CD, nangangahulugang tuwid AC parallel sa isang tuwid na linya MD. Bilang MD< АС, tapos diretso CD at AM ay hindi parallel. Samakatuwid, AMDC- hugis-parihaba na trapezoid.

Sa tamang triangles ABC at bmd 1 + 2 = 90° at 3 + 4 = 90°, ngunit dahil = =, pagkatapos ay 3 + 2 = 90°; pagkatapos AVM=180° - 90° = 90°. Ito ay naka-out na ang trapezoid AMDC nahahati sa tatlong hindi magkakapatong na right triangle, pagkatapos ay sa pamamagitan ng mga axiom ng lugar

(a+b)(a+b)

Hinahati ang lahat ng mga tuntunin ng hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng , nakukuha natin

ab + c2 + ab = (a +b) , 2 ab+ c2 = a2+ 2ab+ b2,

c2 = a2 + b2.

Kumpleto na ang patunay.

8 PARAAN.

Ang pamamaraang ito ay batay sa hypotenuse at mga binti ng isang right triangle ABC. Binubuo niya ang kaukulang mga parisukat at pinatutunayan na ang parisukat na itinayo sa hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat na itinayo sa mga binti (Larawan 8).

Patunay.

1) DBC= FBA= 90°;

DBC+ ABC= FBA+ abc, ibig sabihin, FBC= DBA.

kaya, FBC=ABD(sa dalawang panig at ang anggulo sa pagitan nila).

2) , kung saan ang AL DE, dahil ang BD ay isang karaniwang base, DL- pangkalahatang taas.

3) , dahil base ang FB, AB- kabuuang taas.

4)

5) Katulad nito, mapapatunayan iyon ng isa

6) Pagdaragdag ng termino ayon sa termino, makukuha natin ang:

, BC2 = AB2 + AC2 . Kumpleto na ang patunay.

9 PARAAN.

Patunay.

1) Hayaan ABDE- isang parisukat (Larawan 9), ang gilid nito ay katumbas ng hypotenuse ng isang right triangle ABC (AB= c, BC = a, AC =b).

2) Hayaan DK BC at DK = araw, dahil 1 + 2 = 90° (bilang ang mga talamak na anggulo ng isang tamang tatsulok), 3 + 2 = 90° (bilang anggulo ng isang parisukat), AB= BD(mga gilid ng parisukat).

Ibig sabihin, ABC= BDK(sa pamamagitan ng hypotenuse at acute angle).

3) Hayaan EL DC, AM EL. Madaling mapatunayan na ang ABC = BDK = DEL = EAM (na may mga binti a at b). Pagkatapos KS= CM= ML= LK= a-b.

4) SKB= 4S+SKLMC= 2ab+ (a-b),kasama2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.

Kumpleto na ang patunay.

10 PARAAN.

Ang patunay ay maaaring isagawa sa isang pigura, na pabiro na tinatawag na "Pythagorean pants" (Fig. 10). Ang ideya nito ay upang baguhin ang mga parisukat na binuo sa mga binti sa pantay na tatsulok, na magkakasamang bumubuo sa parisukat ng hypotenuse.

ABC shift, tulad ng ipinapakita ng arrow, at ito ay tumatagal ng posisyon KDN. Ang natitirang bahagi ng pigura AKTCB katumbas ng lugar ng isang parisukat AKDC- ito ay isang paralelogram AKNB.

Nakagawa ng paralelogram na modelo AKNB. Inilipat namin ang paralelogram bilang sketch sa nilalaman ng trabaho. Upang ipakita ang pagbabago ng isang paralelogram sa isang pantay na tatsulok, sa harap ng mga mata ng mga mag-aaral, pinutol namin ang isang tatsulok sa modelo at inilipat ito pababa. Kaya ang lugar ng parisukat AKDC ay katumbas ng lugar ng parihaba. Katulad nito, kino-convert namin ang lugar ng isang parisukat sa lugar ng isang rektanggulo.

Gumawa tayo ng pagbabago para sa isang parisukat na binuo sa isang binti a(Larawan 11, a):

a) ang parisukat ay binago sa isang pantay na laki ng paralelogram (Larawan 11.6):

b) ang paralelogram ay umiikot sa isang-kapat ng isang pagliko (Larawan 12):

c) ang paralelogram ay binago sa isang pantay na laki ng rektanggulo (Larawan 13): 11 PARAAN.

Patunay:

PCL- tuwid (Larawan 14);

KLOA= ACPF= ACED= a2;

LGBO= CVMR =CBNQ= b 2;

AKGB= AKLO +LGBO= c2;

c2 = a2 + b2.

Tapos na ang patunay .

12 PARAAN.

kanin. 15 ay naglalarawan ng isa pang orihinal na patunay ng Pythagorean theorem.

Dito: tatsulok ABC na may tamang anggulo C; segment ng linya bf patayo SW at katumbas nito, ang segment MAGING patayo AB at katumbas nito, ang segment AD patayo AC at kapantay niya; puntos F, C,D nabibilang sa isang tuwid na linya; quadrangles ADFB at ACBE ay pantay-pantay dahil ABF = ECB; mga tatsulok ADF at ACE ay pantay; ibawas namin mula sa parehong pantay na quadrangles ang isang karaniwang tatsulok para sa kanila abc, nakukuha natin

, c2 = a2 + b2.

Kumpleto na ang patunay.

13 PARAAN.

Ang lugar ng kanang tatsulok na ito, sa isang banda, ay katumbas ng , kasamang iba, ,

3. KONKLUSYON

Bilang resulta ng aktibidad sa paghahanap, nakamit ang layunin ng gawain, na lagyang muli at gawing pangkalahatan ang kaalaman sa patunay ng Pythagorean theorem. Posibleng mahanap at isaalang-alang ang iba't ibang paraan ng pagpapatunay nito at palalimin ang kaalaman sa paksa sa pamamagitan ng paglampas sa mga pahina ng isang aklat-aralin sa paaralan.

Ang materyal na aking nakolekta ay mas nakakumbinsi na ang Pythagorean theorem ay ang dakilang theorem ng geometry at ito ay may malaking teoretikal at praktikal na kahalagahan. Sa konklusyon, nais kong sabihin: ang dahilan para sa katanyagan ng Pythagorean theorem ng triune ay kagandahan, pagiging simple at kahalagahan!

4. PANITIKAN NA GINAMIT.

1. Nakakaaliw na algebra. . Moscow "Nauka", 1978.

2. Lingguhang pang-edukasyon at pamamaraan na suplemento sa pahayagan na "Una ng Setyembre", 24/2001.

3. Geometry 7-9. at iba pa.

4. Geometry 7-9. at iba pa.

Ang Pythagorean theorem ay isang pangunahing theorem ng Euclidean geometry, na nagpopostulate ng ratio ng mga binti at hypotenuse ng isang right triangle. Ito marahil ang pinakasikat na theorem sa mundo, na kilala ng lahat mula sa paaralan.

Kasaysayan ng teorama

Sa katunayan, ang teorya ng ratio ng mga gilid ng isang tamang tatsulok ay kilala bago pa man si Pythagoras mula sa isla ng Samos. Kaya, ang mga problema sa ratio ng mga panig ay matatagpuan sa mga sinaunang teksto mula sa panahon ng paghahari ng haring Babylonian na si Hammurabi, iyon ay, 1500 taon bago ang kapanganakan ng Samian mathematician. Ang mga tala sa mga gilid ng tatsulok ay naitala hindi lamang sa Babylon, kundi pati na rin sa Sinaunang Ehipto at China. Ang isa sa mga pinakasikat na integer ratio ng mga binti at hypotenuse ay mukhang 3, 4 at 5. Ang mga numerong ito ay ginamit ng mga sinaunang surveyor at arkitekto upang bumuo ng mga tamang anggulo.

Kaya, hindi inimbento ni Pythagoras ang teorama tungkol sa ratio ng mga binti at hypotenuse. Siya ang una sa kasaysayan na nagpatunay nito. Gayunpaman, may mga pagdududa tungkol dito, dahil ang patunay ng Samian mathematician, kung ito ay naitala, ay nawala sa loob ng maraming siglo. May opinyon na ang patunay ng theorem na ibinigay sa Euclid's Elements ay tiyak na kay Pythagoras. Gayunpaman, ang mga istoryador ng matematika ay may malubhang pagdududa tungkol dito.

Si Pythagoras ang una, ngunit pagkatapos niya ang teorama sa mga gilid ng isang tamang tatsulok ay napatunayan nang humigit-kumulang 400 beses, gamit ang iba't ibang pamamaraan: mula sa klasikal na geometry hanggang sa differential calculus. Ang Pythagorean theorem ay palaging sinasakop ang mga matanong na isipan, kaya kabilang sa mga may-akda ng mga patunay ay maaalala ng isa si US President James Garfield.

Patunay ng

Hindi bababa sa apat na raang patunay ng Pythagorean theorem ang naitala sa mathematical literature. Ang nasabing bilang na nakakabighani sa isip ay ipinaliwanag ng pangunahing kahalagahan ng theorem para sa agham at ang elementarya na katangian ng resulta. Karaniwan, ang Pythagorean theorem ay pinatunayan ng mga geometric na pamamaraan, ang pinakasikat sa mga ito ay ang paraan ng mga lugar at ang paraan ng pagkakatulad.

Ang pinakasimpleng paraan ng pagpapatunay ng isang teorama, na hindi nangangailangan ng mga obligadong geometric na konstruksyon, ay ang paraan ng lugar. Sinabi ni Pythagoras na ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti:

Subukan nating patunayan ang matapang na pahayag na ito. Alam namin na ang lugar ng anumang figure ay tinutukoy sa pamamagitan ng pag-squaring ng isang line segment. Ang segment ng linya ay maaaring maging anuman, ngunit kadalasan ito ay ang gilid ng hugis o ang radius nito. Depende sa pagpili ng segment at ang uri ng geometric figure, ang parisukat ay magkakaroon ng iba't ibang mga coefficient:

• yunit sa kaso ng isang parisukat - S \u003d isang 2;
• humigit-kumulang 0.43 sa kaso ng isang equilateral triangle - S = (sqrt(3)/4)a 2 ;
• Pi sa kaso ng isang bilog - S \u003d pi × R 2.

Kaya, maaari nating ipahayag ang lugar ng anumang tatsulok bilang S = F × a 2 , kung saan ang F ay ilang koepisyent.

Ang tamang tatsulok ay isang kamangha-manghang pigura na madaling mahahati sa dalawang magkatulad na tatsulok sa pamamagitan lamang ng pag-drop ng isang patayo mula sa anumang vertex. Ginagawa ng dibisyong ito ang isang right triangle sa kabuuan ng dalawang mas maliit na right triangle. Dahil magkapareho ang mga tatsulok, kinakalkula ang kanilang mga lugar gamit ang parehong formula, na ganito ang hitsura:

S = F × hypotenuse 2

Bilang resulta ng paghahati ng isang malaking tatsulok na may mga gilid a, b at c (hypotenuse), tatlong tatsulok ang nakuha, at para sa mas maliliit na figure, ang mga gilid ng orihinal na tatsulok a at b ay naging hypotenuse. Kaya, ang mga lugar ng magkatulad na tatsulok ay kinakalkula bilang:

• S1 = F × c 2 ay ang orihinal na tatsulok;
• S2 = F × a 2 ay ang unang katulad na tatsulok;
• Ang S3 = F × b 2 ay ang pangalawang katulad na tatsulok.

Malinaw, ang lugar ng isang malaking tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng magkatulad:

F × c 2 = F × a2 + F × b 2

Ang F factor ay madaling bawasan. Bilang resulta, nakukuha namin ang:

c 2 \u003d a 2 + b 2,

Q.E.D.

Pythagorean triplets

Ang tanyag na ratio ng mga binti at hypotenuse bilang 3, 4 at 5 ay nabanggit na sa itaas. Ang mga triple ng Pythagorean ay isang hanay ng tatlong medyo prime na numero na nakakatugon sa kundisyon a 2 + b 2 \u003d c 2. Mayroong isang walang katapusang bilang ng mga naturang kumbinasyon, at ang una sa mga ito ay ginamit noong unang panahon upang bumuo ng mga tamang anggulo. Tinali ang isang tiyak na bilang ng mga buhol sa isang string sa mga regular na pagitan at natitiklop ito sa anyo ng isang tatsulok, ang mga sinaunang siyentipiko ay nakatanggap ng isang tamang anggulo. Upang gawin ito, sa bawat panig ng tatsulok ay kinakailangan upang itali ang mga buhol, sa isang halaga na tumutugma sa mga triplet ng Pythagorean:

• 3, 4, at 5;
• 5, 12 at 13;
• 7, 24 at 25;
• 8, 15 at 17.

Bukod dito, ang anumang triple ng Pythagorean ay maaaring dagdagan ng isang integer na bilang ng beses at makakuha ng isang proporsyonal na relasyon na tumutugma sa kondisyon ng Pythagorean theorem. Halimbawa, mula sa triple 5, 12, 13, maaari mong makuha ang mga halaga ng mga panig 10, 24, 26 sa pamamagitan lamang ng pagpaparami ng 2. Ngayon, ang Pythagorean triple ay ginagamit upang mabilis na malutas ang mga geometric na problema.

Paglalapat ng Pythagorean Theorem

Ang theorem ng Samian mathematician ay ginagamit hindi lamang sa geometry ng paaralan. Ang Pythagorean theorem ay nakakahanap ng aplikasyon sa arkitektura, astronomy, pisika, panitikan, teknolohiya ng impormasyon, at maging sa pagsusuri sa pagiging epektibo ng mga social network. Nalalapat din ang theorem sa totoong buhay.

pagpili ng pizza

Sa mga pizzeria, madalas nahaharap ang mga customer sa tanong: dapat ba akong kumuha ng isang malaking pizza o dalawang mas maliit? Sabihin nating makakabili ka ng isang pizza na may diameter na 50 cm o dalawang mas maliliit na pizza na may diameter na 30 cm. Sa unang tingin, dalawang mas maliliit na pizza ang mas malaki at mas kumikita, ngunit hindi iyon ang nangyari. Paano mabilis na ihambing ang lugar ng mga pizza na gusto mo?

Naaalala natin ang theorem ng Samian mathematician at Pythagorean triples. Ang lugar ng isang bilog ay ang parisukat ng diameter na may factor F = pi/4. At ang unang triple ng Pythagorean ay 3, 4 at 5, na madali nating gawing triple 30, 40, 50. Kaya 50 2 = 30 2 + 40 2. Malinaw, ang lugar ng pizza na may diameter na 50 cm ay mas malaki kaysa sa kabuuan ng mga pizza na may diameter na 30 cm. Mukhang ang theorem ay naaangkop lamang sa geometry at para lamang sa mga triangles, ngunit ang halimbawang ito ay nagpapakita na ang kaugnayan c 2 = a 2 + b 2 ay maaari ding gamitin upang ihambing ang iba pang mga pigura at ang kanilang mga katangian.

Pinapayagan ka ng aming online na calculator na kalkulahin ang anumang halaga na nakakatugon sa pangunahing equation ng kabuuan ng mga parisukat. Upang makalkula, ito ay sapat na upang magpasok ng 2 anumang mga halaga, pagkatapos kung saan ang programa ay kalkulahin ang nawawalang koepisyent. Ang calculator ay nagpapatakbo hindi lamang sa mga integer, kundi pati na rin sa mga fractional na halaga, samakatuwid, pinapayagan na gumamit ng anumang mga numero para sa mga kalkulasyon, at hindi lamang Pythagorean triple.

Konklusyon

Ang Pythagorean theorem ay isang pangunahing bagay na malawakang ginagamit sa maraming pang-agham na aplikasyon. Gamitin ang aming online na calculator upang kalkulahin ang magnitude ng mga halaga na nauugnay sa expression na c 2 = a 2 + b 2 .

Ang Pythagorean theorem ay ang pinakamahalagang pahayag ng geometry. Ang teorama ay nabuo bilang mga sumusunod: ang lugar ng isang parisukat na itinayo sa hypotenuse ng isang kanang tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng mga parisukat na itinayo sa mga binti nito.

Karaniwan ang pagtuklas ng pahayag na ito ay iniuugnay sa sinaunang pilosopo ng Griyego at matematiko na si Pythagoras (VI siglo BC). Ngunit ipinakita ng isang pag-aaral sa Babylonian cuneiform na mga tapyas at sinaunang mga manuskrito ng Tsino (mga kopya ng mas matandang manuskrito) na ang pananalitang ito ay kilala nang matagal bago si Pythagoras, marahil isang milenyo bago siya. Ang merito ni Pythagoras ay natuklasan niya ang patunay ng teorama na ito.

Marahil, ang katotohanang nakasaad sa Pythagorean theorem ay unang itinatag para sa isosceles right triangles. Ito ay sapat na upang tingnan ang mosaic ng itim at mapusyaw na mga tatsulok na ipinapakita sa fig. 1 upang i-verify ang bisa ng triangle theorem: ang isang parisukat na binuo sa hypotenuse ay naglalaman ng 4 na triangles, at isang parisukat na naglalaman ng 2 triangles ay binuo sa bawat binti. Upang patunayan ang pangkalahatang kaso sa Ancient India, mayroon silang dalawang pamamaraan: apat na right-angled na tatsulok na may haba ng mga binti at inilalarawan sa isang parisukat na may gilid (Larawan 2, a at 2, b), pagkatapos ay sumulat sila ng isang salita “Tingnan mo!”. Sa katunayan, sa pagtingin sa mga figure na ito, makikita natin na sa kaliwa ay isang pigura na walang mga tatsulok, na binubuo ng dalawang parisukat na may mga gilid at, ayon sa pagkakabanggit, ang lugar nito ay katumbas ng, at sa kanan - isang parisukat na may isang gilid - ang lugar nito ay pantay. Samakatuwid, , na siyang pahayag ng Pythagorean theorem.

Gayunpaman, sa loob ng dalawang libong taon, hindi ang visual na patunay na ito ang ginamit, ngunit isang mas kumplikadong patunay na naimbento ni Euclid, na inilagay sa kanyang sikat na aklat na "Mga Simula" (tingnan ang Euclid at ang kanyang "Mga Simula"), pinababa ni Euclid ang taas mula sa ang vertex ng tamang anggulo sa hypotenuse at pinatunayan na ang pagpapatuloy nito ay naghahati sa parisukat na binuo sa hypotenuse sa dalawang parihaba, ang mga lugar kung saan ay katumbas ng mga lugar ng kaukulang mga parisukat na itinayo sa mga binti (Larawan 3). Ang pagguhit na ginamit sa patunay ng teorama na ito ay pabirong tinatawag na "Pythagorean pants". Sa loob ng mahabang panahon siya ay itinuturing na isa sa mga simbolo ng agham sa matematika.

Ngayon, maraming dosenang iba't ibang patunay ng Pythagorean theorem ang kilala. Ang ilan sa mga ito ay batay sa isang partisyon ng mga parisukat, kung saan ang parisukat na binuo sa hypotenuse ay binubuo ng mga bahagi na kasama sa mga partisyon ng mga parisukat na binuo sa mga binti; iba pa - sa pandagdag sa pantay na mga numero; ang pangatlo - sa katotohanan na ang taas, na ibinaba mula sa tuktok ng tamang anggulo hanggang sa hypotenuse, ay naghahati sa tamang tatsulok sa dalawang tatsulok na katulad nito.

Ang Pythagorean theorem ay sumasailalim sa karamihan sa mga geometric na kalkulasyon. Kahit na sa Sinaunang Babylon, ginamit ito upang kalkulahin ang haba ng taas ng isang isosceles triangle sa pamamagitan ng mga haba ng base at gilid, ang arrow ng segment sa pamamagitan ng diameter ng bilog at ang haba ng chord, at itatag ang relasyon. sa pagitan ng mga elemento ng ilang regular na polygon. Sa tulong ng Pythagorean theorem, ang generalization nito ay napatunayan, na ginagawang posible upang makalkula ang haba ng gilid na nakahiga sa tapat ng isang talamak o mahinang anggulo:

Mula sa paglalahat na ito, sumusunod na ang pagkakaroon ng tamang anggulo sa ay hindi lamang sapat, kundi isang kinakailangang kondisyon para sa katuparan ng pagkakapantay-pantay . Ang pormula (1) ay nagpapahiwatig ng kaugnayan sa pagitan ng mga haba ng mga diagonal at mga gilid ng isang paralelogram, kung saan madaling mahanap ang haba ng median ng isang tatsulok mula sa mga haba ng mga gilid nito.

Batay sa Pythagorean theorem, ang isang formula ay hinango din na nagpapahayag ng lugar ng anumang tatsulok sa mga tuntunin ng mga haba ng mga gilid nito (tingnan ang Heron's formula). Siyempre, ang Pythagorean theorem ay ginamit din upang malutas ang iba't ibang mga praktikal na problema.

Sa halip na mga parisukat sa mga gilid ng isang tamang tatsulok, maaari kang bumuo ng anumang mga hugis na katulad ng bawat isa (equilateral triangles, semicircles, atbp.). Sa kasong ito, ang lugar ng figure na binuo sa hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng figure na binuo sa mga binti. Ang isa pang generalization ay konektado sa paglipat mula sa eroplano patungo sa kalawakan. Ito ay nabuo bilang mga sumusunod: ang parisukat ng haba ng dayagonal ng isang parihabang parallelepiped ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga sukat nito (haba, lapad at taas). Ang isang katulad na teorama ay totoo rin sa mga multidimensional at kahit na walang hanggan-dimensional na mga kaso.

Ang Pythagorean theorem ay umiiral lamang sa Euclidean geometry. Hindi ito nagaganap sa geometry ni Lobachevsky o sa ibang mga geometry na hindi Euclidean. Walang analogue ng Pythagorean theorem sa globo alinman. Dalawang meridian na bumubuo ng isang anggulo na 90° at ang ekwador ay nakagapos sa isang equilateral na spherical triangle sa globo, na ang tatlo ay mga tamang anggulo. Para sa kanya, hindi gaya ng nasa eroplano.

Gamit ang Pythagorean theorem, ang distansya sa pagitan ng mga punto at ang coordinate plane ay kinakalkula ng formula

.

Matapos matuklasan ang Pythagorean theorem, lumitaw ang tanong kung paano mahahanap ang lahat ng triple ng natural na mga numero na maaaring maging mga gilid ng right triangles (tingnan ang mahusay na theorem ni Fermat). Natuklasan sila ng mga Pythagorean, ngunit ang ilang mga pangkalahatang pamamaraan para sa paghahanap ng gayong triple ng mga numero ay kilala kahit na sa mga Babylonians. Ang isa sa mga cuneiform tablet ay naglalaman ng 15 triplets. Kabilang sa mga ito ay may mga triple, na binubuo ng napakalaking bilang na maaaring walang tanong sa paghahanap sa kanila sa pamamagitan ng pagpili.

HIPPOCRATE HELS

Ang mga hippocratic hole ay mga figure na nakatali sa mga arko ng dalawang bilog, at, bukod dito, tulad na, gamit ang radii at haba ng karaniwang chord ng mga bilog na ito, gamit ang isang compass at isang ruler, maaari kang bumuo ng mga parisukat na magkapareho ang laki sa kanila.

Mula sa generalization ng Pythagorean theorem hanggang sa mga kalahating bilog, sumusunod na ang kabuuan ng mga lugar ng mga pink na butas na ipinapakita sa figure sa kaliwa ay katumbas ng lugar ng asul na tatsulok. Samakatuwid, kung kukuha tayo ng isosceles right triangle, pagkatapos ay makakakuha tayo ng dalawang butas, ang lugar ng bawat isa ay magiging katumbas ng kalahati ng lugar ng tatsulok. Sinusubukang lutasin ang problema ng pag-squaring ng isang bilog (tingnan ang mga klasikal na problema ng unang panahon), ang sinaunang Griyego na matematiko na si Hippocrates (ika-5 siglo BC) ay nakahanap ng ilang higit pang mga butas, ang mga lugar na kung saan ay ipinahayag sa mga tuntunin ng mga lugar ng mga rectilinear figure.

Ang isang kumpletong listahan ng mga hippomarginal hole ay nakuha lamang noong ika-19-20 siglo. sa pamamagitan ng paggamit ng Galois theory method.