Ang mga fraction ay mga ordinaryong numero, maaari rin silang idagdag at ibawas. Ngunit dahil sa katotohanan na mayroon silang denominator, mas kumplikadong mga patakaran ang kinakailangan dito kaysa sa mga integer.

Isaalang-alang ang pinakasimpleng kaso, kapag mayroong dalawang fraction na may parehong denominator. Pagkatapos:

Upang magdagdag ng mga fraction na may parehong denominator, idagdag ang kanilang mga numerator at iwanan ang denominator na hindi nagbabago.

Upang ibawas ang mga fraction na may parehong denominator, kailangang ibawas ang numerator ng pangalawa mula sa numerator ng unang fraction, at muling iwanan ang denominator na hindi nagbabago.

Sa loob ng bawat expression, ang mga denominator ng mga fraction ay pantay. Sa pamamagitan ng kahulugan ng pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction, nakukuha natin ang:

Tulad ng nakikita mo, walang kumplikado: idagdag o ibawas lamang ang mga numerator - at iyon na.

Ngunit kahit na sa gayong mga simpleng aksyon, ang mga tao ay nakakagawa ng mga pagkakamali. Kadalasan ay nakakalimutan nila na ang denominator ay hindi nagbabago. Halimbawa, kapag idinaragdag ang mga ito, nagsisimula din silang magdagdag, at ito ay sa panimula ay mali.

Ang pag-alis sa masamang ugali ng pagdaragdag ng mga denominator ay medyo simple. Subukang gawin ang parehong kapag pagbabawas. Bilang resulta, ang denominator ay magiging zero, at ang fraction (bigla!) ay mawawala ang kahulugan nito.

Samakatuwid, tandaan minsan at para sa lahat: kapag nagdadagdag at nagbabawas, ang denominator ay hindi nagbabago!

Gayundin, maraming tao ang nagkakamali kapag nagdaragdag ng ilang negatibong praksyon. May pagkalito sa mga palatandaan: kung saan maglalagay ng minus, at kung saan - isang plus.

Ang problemang ito ay napakadaling lutasin. Ito ay sapat na upang tandaan na ang minus bago ang fraction sign ay maaaring palaging ilipat sa numerator - at vice versa. At siyempre, huwag kalimutan ang dalawang simpleng panuntunan:

1. Plus beses minus ay nagbibigay ng minus;
2. Dalawang negatibo ang nagpapatunay.

Suriin natin ang lahat ng ito gamit ang mga tiyak na halimbawa:

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression:

Sa unang kaso, ang lahat ay simple, at sa pangalawa, magdaragdag kami ng mga minus sa mga numerator ng mga praksyon:

Paano kung magkaiba ang denominator

Hindi ka maaaring direktang magdagdag ng mga fraction na may iba't ibang denominator. Hindi bababa sa, ang pamamaraang ito ay hindi alam sa akin. Gayunpaman, ang mga orihinal na fraction ay maaaring palaging muling isulat upang ang mga denominator ay maging pareho.

Mayroong maraming mga paraan upang i-convert ang mga fraction. Tatlo sa mga ito ang tinalakay sa aralin na "Bringing fractions to a common denominator", kaya hindi na natin sila pag-uusapan dito. Tingnan natin ang ilang halimbawa:

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression:

Sa unang kaso, dinadala namin ang mga fraction sa isang karaniwang denominator gamit ang "cross-wise" na paraan. Sa pangalawa, hahanapin natin ang LCM. Tandaan na 6 = 2 3; 9 = 3 · 3. Ang mga huling salik sa mga pagpapalawak na ito ay pantay, at ang mga una ay coprime. Samakatuwid, LCM(6; 9) = 2 3 3 = 18.

Paano kung ang fraction ay may integer na bahagi

Mapasiyahan kita: ang iba't ibang denominador ng mga fraction ay hindi ang pinakamalaking kasamaan. Mas maraming error ang nangyayari kapag ang buong bahagi ay na-highlight sa mga fractional na termino.

Siyempre, para sa mga naturang fraction ay may sariling mga algorithm ng pagdaragdag at pagbabawas, ngunit ang mga ito ay medyo kumplikado at nangangailangan ng mahabang pag-aaral. Mas mabuting gamitin ang simpleng diagram sa ibaba:

1. I-convert ang lahat ng fraction na naglalaman ng integer na bahagi sa hindi wasto. Nakakakuha kami ng mga normal na termino (kahit na may iba't ibang denominator), na kinakalkula ayon sa mga tuntuning tinalakay sa itaas;
2. Sa totoo lang, kalkulahin ang kabuuan o pagkakaiba ng mga resultang fraction. Bilang resulta, halos mahahanap natin ang sagot;
3. Kung ito lang ang kailangan sa gawain, ginagawa namin ang inverse transformation, i.e. inaalis namin ang hindi wastong bahagi, na itinatampok ang bahaging integer dito.

Ang mga patakaran para sa paglipat sa mga hindi wastong fraction at pag-highlight ng integer na bahagi ay inilarawan nang detalyado sa aralin na "Ano ang numerical fraction". Kung hindi mo naaalala, siguraduhing ulitin. Mga halimbawa:

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression:

Simple lang ang lahat dito. Ang mga denominator sa loob ng bawat expression ay pantay, kaya nananatili itong i-convert ang lahat ng mga fraction sa hindi wasto at bilangin. Meron kami:

Upang gawing simple ang mga kalkulasyon, nilaktawan ko ang ilang halatang hakbang sa mga huling halimbawa.

Isang maliit na tala sa huling dalawang halimbawa, kung saan ang mga fraction na may naka-highlight na bahagi ng integer ay ibinabawas. Ang minus bago ang pangalawang fraction ay nangangahulugan na ang buong fraction ang ibinabawas, at hindi lamang ang buong bahagi nito.

Muling basahin ang pangungusap na ito, tingnan ang mga halimbawa, at pag-isipan ito. Ito ay kung saan ang mga nagsisimula ay gumagawa ng maraming pagkakamali. Gusto nilang magbigay ng ganitong mga gawain sa control work. Makikilala mo rin sila nang paulit-ulit sa mga pagsusulit para sa araling ito, na ilalathala sa ilang sandali.

Buod: Pangkalahatang Scheme ng Computing

Sa konklusyon, magbibigay ako ng pangkalahatang algorithm na tutulong sa iyo na mahanap ang kabuuan o pagkakaiba ng dalawa o higit pang mga fraction:

1. Kung ang isang integer na bahagi ay naka-highlight sa isa o higit pang mga fraction, i-convert ang mga fraction na ito sa mga hindi wasto;
2. Dalhin ang lahat ng mga fraction sa isang karaniwang denominator sa anumang paraan na maginhawa para sa iyo (maliban kung, siyempre, ang mga compiler ng mga problema ay ginawa ito);
3. Idagdag o ibawas ang mga resultang numero ayon sa mga tuntunin para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction na may parehong denominator;
4. Bawasan ang resulta kung maaari. Kung ang fraction ay naging mali, piliin ang buong bahagi.

Tandaan na mas mabuting i-highlight ang buong bahagi sa pinakadulo ng gawain, bago isulat ang sagot.

Noong ikalimang siglo BC, ang sinaunang pilosopong Griyego na si Zeno ng Elea ay nagbalangkas ng kanyang tanyag na aporias, na ang pinakatanyag ay ang aporia na "Achilles at ang pagong". Narito kung paano ito tunog:

Sabihin nating tumakbo si Achilles ng sampung beses na mas mabilis kaysa sa pagong at nasa likod nito ng isang libong hakbang. Sa panahon kung saan tumatakbo si Achilles sa distansyang ito, gumagapang ang pagong ng isang daang hakbang sa parehong direksyon. Kapag si Achilles ay nakatakbo ng isang daang hakbang, ang pagong ay gagapang ng isa pang sampung hakbang, at iba pa. Magpapatuloy ang proseso nang walang hanggan, hindi na maaabutan ni Achilles ang pagong.

Ang pangangatwiran na ito ay naging isang lohikal na pagkabigla para sa lahat ng kasunod na henerasyon. Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Lahat sila, sa isang paraan o iba pa, ay itinuturing na aporias ni Zeno. Napakalakas ng shock kaya" ... ang mga talakayan ay nagpapatuloy sa kasalukuyang panahon, ang komunidad na pang-agham ay hindi pa nakarating sa isang karaniwang opinyon tungkol sa kakanyahan ng mga kabalintunaan ... mathematical analysis, set theory, bagong pisikal at pilosopiko na mga diskarte ay kasangkot sa pag-aaral ng isyu ; wala sa kanila ang naging isang pangkalahatang tinatanggap na solusyon sa problema ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Naiintindihan ng lahat na sila ay niloloko, ngunit walang nakakaintindi kung ano ang panlilinlang.

Mula sa pananaw ng matematika, malinaw na ipinakita ni Zeno sa kanyang aporia ang paglipat mula sa halaga hanggang. Ang paglipat na ito ay nagpapahiwatig ng paglalapat sa halip na mga constant. Sa pagkakaintindi ko, ang mathematical apparatus para sa paglalapat ng mga variable na unit ng pagsukat ay hindi pa nabubuo, o hindi pa ito nailalapat sa aporia ni Zeno. Ang paggamit ng aming karaniwang lohika ay humahantong sa amin sa isang bitag. Tayo, sa pamamagitan ng pagkawalang-kilos ng pag-iisip, ay naglalapat ng pare-parehong mga yunit ng oras sa kapalit. Mula sa pisikal na pananaw, ito ay mukhang isang pagbagal ng oras hanggang sa ganap itong huminto sa sandaling maabutan ni Achilles ang pagong. Kung titigil ang oras, hindi na maabutan ni Achilles ang pagong.

Kung ibabalik natin ang lohika na nakasanayan natin, lahat ay nahuhulog sa lugar. Tumatakbo si Achilles sa patuloy na bilis. Ang bawat kasunod na segment ng landas nito ay sampung beses na mas maikli kaysa sa nauna. Alinsunod dito, ang oras na ginugol sa pagtagumpayan ito ay sampung beses na mas mababa kaysa sa nauna. Kung ilalapat natin ang konsepto ng "infinity" sa sitwasyong ito, tama na sabihing "Mabilis na maaabutan ni Achilles ang pagong."

Paano maiiwasan ang lohikal na bitag na ito? Manatili sa pare-parehong mga yunit ng oras at huwag lumipat sa mga katumbas na halaga. Sa wika ni Zeno, ganito ang hitsura:

Sa oras na kailangan ni Achilles upang tumakbo ng isang libong hakbang, ang pagong ay gumagapang ng isang daang hakbang sa parehong direksyon. Sa susunod na agwat ng oras, katumbas ng una, si Achilles ay tatakbo ng isa pang libong hakbang, at ang pagong ay gagapang ng isang daang hakbang. Ngayon si Achilles ay walong daang mga hakbang sa unahan ng pagong.

Ang diskarte na ito ay sapat na naglalarawan sa katotohanan nang walang anumang mga lohikal na kabalintunaan. Ngunit hindi ito kumpletong solusyon sa problema. Ang pahayag ni Einstein tungkol sa hindi masusupil na bilis ng liwanag ay halos kapareho sa aporia ni Zeno na "Achilles at ang pagong". Kailangan pa nating pag-aralan, pag-isipang muli at lutasin ang problemang ito. At ang solusyon ay dapat hanapin hindi sa walang katapusang malalaking numero, ngunit sa mga yunit ng pagsukat.

Ang isa pang kawili-wiling aporia ni Zeno ay nagsasabi tungkol sa isang lumilipad na palaso:

Ang lumilipad na palaso ay hindi gumagalaw, dahil sa bawat sandali ng oras ito ay nakapahinga, at dahil ito ay nakapahinga sa bawat sandali ng oras, ito ay palaging nasa pahinga.

Sa aporia na ito, ang lohikal na kabalintunaan ay napagtagumpayan nang napakasimple - sapat na upang linawin na sa bawat sandali ng oras ang lumilipad na arrow ay nakapahinga sa iba't ibang mga punto sa kalawakan, na, sa katunayan, ay paggalaw. May isa pang punto na dapat pansinin dito. Mula sa isang larawan ng isang kotse sa kalsada, imposibleng matukoy ang alinman sa katotohanan ng paggalaw nito o ang distansya dito. Upang matukoy ang katotohanan ng paggalaw ng kotse, dalawang larawan na kinunan mula sa parehong punto sa magkaibang mga punto sa oras ay kailangan, ngunit hindi ito magagamit upang matukoy ang distansya. Upang matukoy ang distansya sa kotse, kailangan mo ng dalawang litrato na kinuha mula sa magkakaibang mga punto sa espasyo nang sabay, ngunit hindi mo matukoy ang katotohanan ng paggalaw mula sa kanila (natural, kailangan mo pa rin ng karagdagang data para sa mga kalkulasyon, makakatulong sa iyo ang trigonometrya). Ang gusto kong ituro sa partikular ay ang dalawang punto sa oras at dalawang punto sa kalawakan ay dalawang magkaibang bagay na hindi dapat malito dahil nagbibigay sila ng magkakaibang pagkakataon para sa paggalugad.

Miyerkules, Hulyo 4, 2018

Napakahusay na inilarawan sa Wikipedia ang mga pagkakaiba sa pagitan ng set at multiset. Tumingin kami.

Tulad ng nakikita mo, "ang set ay hindi maaaring magkaroon ng dalawang magkatulad na elemento", ngunit kung mayroong magkaparehong elemento sa set, ang naturang set ay tinatawag na "multiset". Hindi kailanman mauunawaan ng mga makatwirang nilalang ang gayong lohika ng kahangalan. Ito ang antas ng pakikipag-usap ng mga parrot at sinanay na unggoy, kung saan ang isip ay wala sa salitang "ganap." Ang mga mathematician ay kumikilos bilang mga ordinaryong tagapagsanay, na ipinangangaral sa amin ang kanilang mga walang katotohanan na ideya.

Noong unang panahon, ang mga inhinyero na gumawa ng tulay ay nasa isang bangka sa ilalim ng tulay sa panahon ng mga pagsubok sa tulay. Kung gumuho ang tulay, namatay ang pangkaraniwang inhinyero sa ilalim ng mga durog na bato ng kanyang nilikha. Kung ang tulay ay makayanan ang karga, ang mahuhusay na inhinyero ay gumawa ng iba pang mga tulay.

Gaano man magtago ang mga mathematician sa likod ng pariralang "isipin mo, nasa bahay ako", o sa halip ay "pag-aaral ng matematika ng mga abstract na konsepto", mayroong isang pusod na hindi mapaghihiwalay na nag-uugnay sa kanila sa katotohanan. Ang pusod na ito ay pera. Ilapat natin ang mathematical set theory sa mga mathematician mismo.

Nag-aral kami ng mabuti sa matematika at ngayon ay nakaupo kami sa cash desk, nagbabayad ng suweldo. Narito ang isang mathematician ay pumunta sa amin para sa kanyang pera. Binibilang namin ang buong halaga sa kanya at inilalatag ito sa aming mesa sa iba't ibang mga tambak, kung saan naglalagay kami ng mga bill ng parehong denominasyon. Pagkatapos ay kukuha kami ng isang bill mula sa bawat tumpok at ibibigay sa mathematician ang kanyang "mathematical salary set". Ipinapaliwanag namin ang matematika na matatanggap niya ang natitirang mga bayarin kapag napatunayan niya na ang hanay na walang magkaparehong elemento ay hindi katumbas ng set na may magkaparehong elemento. Dito nagsisimula ang saya.

Una sa lahat, gagana ang lohika ng mga kinatawan: "maaari mong ilapat ito sa iba, ngunit hindi sa akin!" Dagdag pa, magsisimula ang mga katiyakan na mayroong iba't ibang mga numero ng banknote sa mga banknote ng parehong denominasyon, na nangangahulugan na hindi sila maaaring ituring na magkatulad na mga elemento. Well, binibilang namin ang suweldo sa mga barya - walang mga numero sa mga barya. Dito ang mathematician ay galit na galit na maaalala ang pisika: ang iba't ibang mga barya ay may iba't ibang dami ng dumi, ang kristal na istraktura at pag-aayos ng mga atomo para sa bawat barya ay natatangi ...

At ngayon mayroon akong pinaka-kagiliw-giliw na tanong: nasaan ang hangganan kung saan ang mga elemento ng isang multiset ay nagiging mga elemento ng isang set at vice versa? Ang ganitong linya ay hindi umiiral - ang lahat ay napagpasyahan ng mga shaman, ang agham dito ay hindi kahit na malapit.

Tumingin dito. Pumili kami ng mga football stadium na may parehong lugar ng field. Ang lugar ng mga patlang ay pareho, na nangangahulugang mayroon kaming multiset. Ngunit kung isasaalang-alang natin ang mga pangalan ng parehong mga istadyum, marami tayong makukuha, dahil magkaiba ang mga pangalan. Gaya ng nakikita mo, ang parehong hanay ng mga elemento ay parehong set at multiset sa parehong oras. Paano tama? At dito ang mathematician-shaman-shuller ay kumuha ng isang trump ace mula sa kanyang manggas at nagsimulang sabihin sa amin ang tungkol sa alinman sa isang set o isang multiset. Sa anumang kaso, kukumbinsihin niya tayo na tama siya.

Upang maunawaan kung paano gumagana ang mga modernong shaman sa teorya ng set, tinali ito sa katotohanan, sapat na upang sagutin ang isang tanong: paano naiiba ang mga elemento ng isang set mula sa mga elemento ng isa pang set? Ipapakita ko sa iyo, nang walang anumang "maiisip bilang hindi isang solong kabuuan" o "hindi maiisip bilang isang solong kabuuan."

Linggo, Marso 18, 2018

Ang kabuuan ng mga digit ng isang numero ay isang sayaw ng mga shaman na may tamburin, na walang kinalaman sa matematika. Oo, sa mga aralin sa matematika ay tinuturuan tayong hanapin ang kabuuan ng mga digit ng isang numero at gamitin ito, ngunit sila ay mga shaman para doon, upang turuan ang kanilang mga inapo ng kanilang mga kasanayan at karunungan, kung hindi, ang mga shaman ay mamamatay lamang.

Kailangan mo ba ng patunay? Buksan ang Wikipedia at subukang hanapin ang pahina ng "Sum of Digits of a Number". Wala siya. Walang formula sa matematika kung saan makikita mo ang kabuuan ng mga digit ng anumang numero. Pagkatapos ng lahat, ang mga numero ay mga graphic na simbolo kung saan namin isinusulat ang mga numero, at sa wika ng matematika, ang gawain ay ganito ang tunog: "Hanapin ang kabuuan ng mga graphic na simbolo na kumakatawan sa anumang numero." Hindi malulutas ng mga mathematician ang problemang ito, ngunit magagawa ito ng mga shamans.

Alamin natin kung ano at paano natin gagawin upang mahanap ang kabuuan ng mga digit ng isang naibigay na numero. At kaya, sabihin nating mayroon tayong numerong 12345. Ano ang kailangang gawin upang mahanap ang kabuuan ng mga digit ng numerong ito? Isaalang-alang natin ang lahat ng mga hakbang sa pagkakasunud-sunod.

1. Isulat ang numero sa isang papel. Ano'ng nagawa natin? Na-convert namin ang numero sa isang numerong graphic na simbolo. Ito ay hindi isang mathematical operation.

2. Pinutol namin ang isang natanggap na larawan sa ilang mga larawan na naglalaman ng magkakahiwalay na mga numero. Ang pagputol ng larawan ay hindi isang mathematical operation.

3. I-convert ang mga indibidwal na graphic na character sa mga numero. Ito ay hindi isang mathematical operation.

4. Pagsamahin ang mga resultang numero. Ngayon ay matematika na.

Ang kabuuan ng mga digit ng numerong 12345 ay 15. Ito ang "mga kurso sa pagputol at pananahi" mula sa mga shaman na ginagamit ng mga mathematician. Ngunit hindi lang iyon.

Mula sa punto ng view ng matematika, hindi mahalaga kung aling sistema ng numero ang isinusulat namin ang numero. Kaya, sa iba't ibang mga sistema ng numero, mag-iiba ang kabuuan ng mga digit ng parehong numero. Sa matematika, ang sistema ng numero ay ipinahiwatig bilang isang subscript sa kanan ng numero. Sa isang malaking bilang ng 12345, hindi ko nais na lokohin ang aking ulo, isaalang-alang ang numero 26 mula sa artikulo tungkol sa. Isulat natin ang numerong ito sa binary, octal, decimal at hexadecimal number system. Hindi namin isasaalang-alang ang bawat hakbang sa ilalim ng mikroskopyo, nagawa na namin iyon. Tingnan natin ang resulta.

Tulad ng nakikita mo, sa iba't ibang mga sistema ng numero, ang kabuuan ng mga digit ng parehong numero ay iba. Ang resultang ito ay walang kinalaman sa matematika. Ito ay katulad ng kung makakakuha ka ng ganap na magkakaibang mga resulta kapag tinutukoy ang lugar ng isang parihaba sa metro at sentimetro.

Ang zero sa lahat ng mga sistema ng numero ay mukhang pareho at walang kabuuan ng mga digit. Ito ay isa pang argumento na pabor sa katotohanan na . Isang tanong para sa mga mathematician: paano ito tinutukoy sa matematika na hindi isang numero? Ano, para sa mga mathematician, walang iba kundi mga numero ang umiiral? Para sa mga shaman, maaari kong payagan ito, ngunit para sa mga siyentipiko, hindi. Ang katotohanan ay hindi lamang tungkol sa mga numero.

Ang resultang nakuha ay dapat ituring bilang patunay na ang mga sistema ng numero ay mga yunit ng pagsukat ng mga numero. Pagkatapos ng lahat, hindi natin maihahambing ang mga numero sa iba't ibang mga yunit ng pagsukat. Kung ang parehong mga aksyon na may iba't ibang mga yunit ng pagsukat ng parehong dami ay humantong sa iba't ibang mga resulta pagkatapos ihambing ang mga ito, kung gayon ito ay walang kinalaman sa matematika.

Ano ang tunay na matematika? Ito ay kapag ang resulta ng isang mathematical na aksyon ay hindi nakadepende sa halaga ng numero, ang yunit ng sukat na ginamit, at kung sino ang nagsasagawa ng pagkilos na ito.

Sign sa pinto Binuksan ang pinto at sinabing:

Aray! Hindi ba ito ang palikuran ng mga babae?
- Batang babae! Ito ay isang laboratoryo para sa pag-aaral ng walang katapusang kabanalan ng mga kaluluwa sa pag-akyat sa langit! Nimbus sa itaas at arrow pataas. Anong palikuran?

Babae... Isang halo sa itaas at isang arrow pababa ay lalaki.

Kung mayroon kang isang gawa ng sining ng disenyo na kumikislap sa harap ng iyong mga mata nang maraming beses sa isang araw,

Kung gayon hindi nakakagulat na bigla kang makakita ng kakaibang icon sa iyong sasakyan:

Sa personal, nagsisikap ako sa aking sarili na makita ang minus apat na degree sa isang taong tumatae (isang larawan) (komposisyon ng ilang mga larawan: minus sign, numero apat, pagtatalaga ng mga degree). At hindi ko itinuturing ang babaeng ito na isang tanga na hindi marunong sa pisika. Mayroon lang siyang arc stereotype ng perception ng mga graphic na larawan. At itinuturo ito sa amin ng mga mathematician sa lahat ng oras. Narito ang isang halimbawa.

Ang 1A ay hindi "minus four degrees" o "one a". Ito ay "pooping man" o ang bilang na "dalawampu't anim" sa hexadecimal number system. Ang mga taong patuloy na nagtatrabaho sa sistema ng numero na ito ay awtomatikong nakikita ang numero at titik bilang isang graphic na simbolo.

Tandaan! Bago magsulat ng pangwakas na sagot, tingnan kung maaari mong bawasan ang fraction na iyong natanggap.

Pagbabawas ng mga fraction na may parehong denominator mga halimbawa:

,

,

Pagbabawas ng wastong fraction mula sa isa.

Kung kinakailangan na ibawas mula sa yunit ang isang fraction na tama, ang yunit ay iko-convert sa anyo ng isang hindi wastong fraction, ang denominator nito ay katumbas ng denominator ng bawas na fraction.

Isang halimbawa ng pagbabawas ng wastong fraction mula sa isa:

Ang denominator ng fraction na ibawas = 7 , ibig sabihin, kinakatawan namin ang unit bilang hindi wastong fraction 7/7 at ibawas ayon sa panuntunan para sa pagbabawas ng mga fraction na may parehong denominator.

Pagbabawas ng wastong fraction mula sa isang buong bilang.

Mga panuntunan para sa pagbabawas ng mga fraction - tama mula sa integer (natural na numero):

• Isinasalin namin ang mga ibinigay na fraction, na naglalaman ng integer na bahagi, sa mga hindi wasto. Nakukuha namin ang mga normal na termino (hindi mahalaga kung mayroon silang iba't ibang denominator), na isinasaalang-alang namin ayon sa mga tuntuning ibinigay sa itaas;
• Susunod, kinakalkula namin ang pagkakaiba ng mga fraction na aming natanggap. Bilang resulta, halos mahahanap natin ang sagot;
• Ginagawa namin ang kabaligtaran na pagbabagong-anyo, iyon ay, inaalis namin ang hindi wastong fraction - pipiliin namin ang bahagi ng integer sa fraction.

Magbawas ng wastong fraction mula sa isang buong numero: kinakatawan namin ang isang natural na numero bilang isang pinaghalong numero. Yung. kumukuha kami ng isang yunit sa isang natural na numero at isinasalin ito sa anyo ng isang hindi wastong fraction, ang denominator ay pareho sa nabawas na fraction.

Halimbawa ng pagbabawas ng fraction:

Sa halimbawa, pinalitan namin ang unit ng hindi tamang fraction na 7/7 at sa halip na 3, isinulat namin ang isang halo-halong numero at nagbawas ng fraction mula sa fractional na bahagi.

Pagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominator.

O, sa ibang paraan, pagbabawas ng iba't ibang fraction.

Panuntunan para sa pagbabawas ng mga fraction na may magkakaibang denominator. Upang ibawas ang mga fraction na may iba't ibang denominator, kinakailangan, una, na dalhin ang mga fraction na ito sa pinakamababang common denominator (LCD), at pagkatapos lamang nito ay ibawas tulad ng mga fraction na may parehong denominator.

Ang karaniwang denominator ng ilang fraction ay LCM (least common multiple) natural na mga numero na ang mga denominador ng mga ibinigay na fraction.

Pansin! Kung sa panghuling fraction ang numerator at denominator ay may mga karaniwang salik, dapat bawasan ang fraction. Ang isang hindi wastong fraction ay pinakamahusay na kinakatawan bilang isang mixed fraction. Ang pag-iwan sa resulta ng pagbabawas nang hindi binabawasan ang bahagi kung saan posible ay isang hindi natapos na solusyon sa halimbawa!

Pamamaraan para sa pagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominator.

• hanapin ang LCM para sa lahat ng denominator;
• maglagay ng mga karagdagang multiplier para sa lahat ng mga fraction;
• i-multiply ang lahat ng mga numerator sa isang karagdagang kadahilanan;
• isinusulat namin ang mga resultang produkto sa numerator, na pumipirma sa isang karaniwang denominator sa ilalim ng lahat ng mga fraction;
• ibawas ang mga numerator ng mga fraction, pirmahan ang karaniwang denominator sa ilalim ng pagkakaiba.

Sa parehong paraan, ang pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction ay isinasagawa sa pagkakaroon ng mga titik sa numerator.

Pagbabawas ng mga fraction, mga halimbawa:

Pagbabawas ng mga pinaghalong fraction.

Sa pagbabawas ng mga halo-halong fraction (mga numero) hiwalay, ang bahaging integer ay ibabawas mula sa bahaging integer, at ang bahaging praksyonal ay ibabawas mula sa bahaging praksyonal.

Ang unang pagpipilian ay ang pagbabawas ng mga pinaghalong fraction.

Kung ang mga fractional na bahagi pareho denominators at numerator ng fractional na bahagi ng minuend (binabawas natin dito) ≥ ang numerator ng fractional na bahagi ng subtrahend (binabawas natin ito).

Halimbawa:

Ang pangalawang opsyon ay ang pagbabawas ng mga pinaghalong fraction.

Kapag ang mga fractional na bahagi iba-iba mga denominador. Upang magsimula, binabawasan namin ang mga fractional na bahagi sa isang karaniwang denominator, at pagkatapos ay ibinabawas namin ang integer na bahagi mula sa integer, at ang fractional mula sa fractional.

Halimbawa:

Ang ikatlong opsyon ay ang pagbabawas ng mga pinaghalong fraction.

Ang fractional na bahagi ng minuend ay mas mababa kaysa sa fractional na bahagi ng subtrahend.

Halimbawa:

kasi Ang mga bahagi ng fractional ay may iba't ibang denominator, na nangangahulugang, tulad ng sa pangalawang opsyon, dinadala muna natin ang mga ordinaryong fraction sa isang karaniwang denominator.

Ang numerator ng fractional na bahagi ng minuend ay mas mababa kaysa sa numerator ng fractional na bahagi ng subtrahend.3 < 14. Kaya, kumuha kami ng isang yunit mula sa bahaging integer at dinadala ang yunit na ito sa anyo ng isang hindi wastong bahagi na may parehong denominator at numerator. = 18.

Sa numerator mula sa kanang bahagi isinulat namin ang kabuuan ng mga numerator, pagkatapos ay binuksan namin ang mga bracket sa numerator mula sa kanang bahagi, iyon ay, pinarami namin ang lahat at nagbibigay ng mga katulad. Hindi namin binubuksan ang mga bracket sa denominator. Nakaugalian na iwanan ang produkto sa mga denominator. Nakukuha namin:

Mga aksyon na may mga fraction.

Pansin!
May mga karagdagang
materyal sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga malakas na "hindi masyadong..."
At para sa mga "sobrang...")

Kaya, ano ang mga praksyon, mga uri ng mga praksyon, mga pagbabagong-anyo - naalala namin. Pag-usapan natin ang pangunahing tanong.

Ano ang maaari mong gawin sa mga fraction? Oo, ang lahat ay pareho sa mga ordinaryong numero. Magdagdag, magbawas, magparami, hatiin.

Ang lahat ng mga pagkilos na ito ay may desimal ang mga operasyong may mga fraction ay hindi naiiba sa mga operasyong may mga integer. Sa totoo lang, ito ay kung ano ang mga ito ay mabuti para sa, decimal. Ang tanging bagay ay kailangan mong ilagay nang tama ang kuwit.

magkahalong numero, tulad ng sinabi ko, ay walang gaanong pakinabang para sa karamihan ng mga aksyon. Kailangan pa rin nilang i-convert sa mga ordinaryong fraction.

At narito ang mga aksyon na may ordinaryong fraction magiging mas matalino. At mas mahalaga! Hayaan mong ipaalala ko sa iyo: lahat ng mga aksyon na may mga fractional na expression na may mga titik, sine, hindi alam, at iba pa at iba pa ay hindi naiiba sa mga aksyon na may mga ordinaryong fraction! Ang mga operasyon na may mga ordinaryong fraction ay ang batayan para sa lahat ng algebra. Ito ay para sa kadahilanang ito na aming pag-aralan ang lahat ng arithmetic na ito nang detalyado dito.

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction.

Ang bawat tao'y maaaring magdagdag (magbawas) ng mga praksyon na may parehong denominador (sana talaga!). Well, hayaan mo akong ipaalala sa iyo na ako ay ganap na nakalilimutin: kapag nagdadagdag (nagbabawas), ang denominator ay hindi nagbabago. Ang mga numerator ay idinaragdag (binawas) upang ibigay ang numerator ng resulta. Uri:

Sa madaling salita, sa pangkalahatang termino:

Paano kung magkaiba ang mga denominador? Pagkatapos, gamit ang pangunahing pag-aari ng fraction (narito ito ay madaling gamitin muli!), Ginagawa naming pareho ang mga denominator! Halimbawa:

Dito kailangan nating gawin ang fraction na 4/10 mula sa fraction na 2/5. Para lamang sa layunin na gawing pareho ang mga denominador. Pansin ko, kung sakali, na 2/5 at 4/10 ay ang parehong fraction! 2/5 lang ang hindi komportable para sa amin, at ang 4/10 ay wala.

Sa pamamagitan ng paraan, ito ang kakanyahan ng paglutas ng anumang mga gawain sa matematika. Pag labas namin hindi komportable ginagawa ng mga ekspresyon pareho, ngunit mas maginhawa upang malutas.

Isa pang halimbawa:

Pareho ang sitwasyon. Dito ay gagawa tayo ng 48 sa 16. Sa simpleng multiplikasyon ng 3. Malinaw ang lahat ng ito. Ngunit narito kami ay nakatagpo ng isang bagay tulad ng:

Paano maging?! Mahirap gumawa ng siyam sa pito! Pero matalino kami, alam namin ang rules! Magtransform tayo bawat fraction upang ang mga denominator ay pareho. Ito ay tinatawag na "reduce to a common denominator":

Paano! Paano ko nalaman ang tungkol sa 63? Napakasimple! Ang 63 ay isang numero na pantay na nahahati ng 7 at 9 sa parehong oras. Ang ganitong numero ay palaging makukuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga denominador. Kung i-multiply natin ang ilang numero sa 7, halimbawa, kung gayon ang resulta ay tiyak na mahahati sa 7!

Kung kailangan mong magdagdag (magbawas) ng ilang mga fraction, hindi na kailangang gawin ito nang pares, hakbang-hakbang. Kailangan mo lang hanapin ang denominator na karaniwan sa lahat ng fraction, at dalhin ang bawat fraction sa parehong denominator na ito. Halimbawa:

At ano ang magiging common denominator? Siyempre, maaari mong i-multiply ang 2, 4, 8, at 16. Nakakakuha tayo ng 1024. Bangungot. Mas madaling matantya na ang numerong 16 ay perpektong nahahati ng 2, 4, at 8. Samakatuwid, madaling makakuha ng 16 mula sa mga numerong ito. Ang numerong ito ang magiging common denominator. Gawing 8/16 ang 1/2, gawing 12/16 ang 3/4, at iba pa.

By the way, if we take 1024 as a common denominator, everything will work out din, in the end lahat mababawasan. Tanging hindi lahat ay makakarating sa layuning ito, dahil sa mga kalkulasyon ...

Lutasin ang halimbawa sa iyong sarili. Hindi logarithm... Dapat 29/16.

Kaya, sa karagdagan (pagbabawas) ng mga fraction ay malinaw, umaasa ako? Siyempre, mas madaling magtrabaho sa isang pinaikling bersyon, na may mga karagdagang multiplier. Ngunit ang kasiyahan na ito ay magagamit sa mga taong matapat na nagtrabaho sa mas mababang mga grado ... At hindi nakalimutan ang anuman.

At ngayon gagawin namin ang parehong mga aksyon, ngunit hindi sa mga fraction, ngunit sa fractional na mga expression. Matatagpuan ang mga bagong rake dito, oo ...

Kaya, kailangan nating magdagdag ng dalawang fractional expression:

Kailangan nating gawing pareho ang mga denominador. At sa tulong lamang pagpaparami! Kaya ang pangunahing pag-aari ng fraction ay nagsasabi. Samakatuwid, hindi ako maaaring magdagdag ng isa sa x sa unang bahagi ng denominator. (Ngunit iyon ay magiging maganda!). Ngunit kung paparamihin mo ang mga denominador, makikita mo, ang lahat ay lalago nang magkasama! Kaya isulat namin, ang linya ng fraction, mag-iwan ng walang laman na espasyo sa itaas, pagkatapos ay idagdag ito, at isulat ang produkto ng mga denominator sa ibaba, upang hindi makalimutan:

At, siyempre, hindi namin pinarami ang anumang bagay sa kanang bahagi, hindi kami nagbubukas ng mga bracket! At ngayon, sa pagtingin sa karaniwang denominator ng kanang bahagi, iniisip natin: upang makuha ang denominator x (x + 1) sa unang bahagi, kailangan nating i-multiply ang numerator at denominator ng bahaging ito sa (x + 1) . At sa pangalawang bahagi - x. Makukuha mo ito:

Tandaan! Narito ang mga panaklong! Ito ang kalaykay na tinatapakan ng marami. Hindi mga bracket, siyempre, ngunit ang kanilang kawalan. Lumilitaw ang mga panaklong dahil tayo ay dumarami ang kabuuan numerator at ang kabuuan denominador! At hindi ang kanilang mga indibidwal na piraso ...

Sa numerator ng kanang bahagi, isinulat namin ang kabuuan ng mga numerator, ang lahat ay tulad ng sa mga numerical fraction, pagkatapos ay binuksan namin ang mga bracket sa numerator ng kanang bahagi, i.e. paramihin ang lahat at bigyan ng katulad. Hindi mo kailangang buksan ang mga bracket sa mga denominator, hindi mo kailangang magparami ng isang bagay! Sa pangkalahatan, sa mga denominador (anuman) ang produkto ay palaging mas kaaya-aya! Nakukuha namin:

Dito nakuha namin ang sagot. Ang proseso ay tila mahaba at mahirap, ngunit depende ito sa pagsasanay. Lutasin ang mga halimbawa, masanay, ang lahat ay magiging simple. Yaong mga nakabisado ang mga fraction sa inilaang oras, gawin ang lahat ng mga operasyong ito sa isang kamay, sa makina!

At isa pang tala. Maraming sikat na nakikitungo sa mga fraction, ngunit nananatili sa mga halimbawa sa buo numero. Uri: 2 + 1/2 + 3/4= ? Saan i-fasten ang isang deuce? Hindi na kailangang mag-fasten kahit saan, kailangan mong gumawa ng isang fraction mula sa isang deuce. Ito ay hindi madali, ito ay napaka-simple! 2=2/1. Ganito. Anumang buong numero ay maaaring isulat bilang isang fraction. Ang numerator ay ang numero mismo, ang denominator ay isa. Ang 7 ay 7/1, ang 3 ay 3/1 at iba pa. Ganun din sa mga letra. (a + b) \u003d (a + b) / 1, x \u003d x / 1, atbp. At pagkatapos ay nagtatrabaho kami sa mga fraction na ito ayon sa lahat ng mga patakaran.

Well, sa karagdagan - pagbabawas ng mga fraction, ang kaalaman ay na-refresh. Mga pagbabagong-anyo ng mga fraction mula sa isang uri patungo sa isa pa - paulit-ulit. Maaari mo ring suriin. Magkaayos ba tayo ng konti?)

Kalkulahin:

Mga sagot (magulo):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Multiplikasyon / paghahati ng mga fraction - sa susunod na aralin. Mayroon ding mga gawain para sa lahat ng aksyon na may mga fraction.

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)

maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.