Kaalaman basic elementary functions, ang kanilang mga katangian at mga graph hindi gaanong mahalaga kaysa sa pag-alam sa talahanayan ng multiplikasyon. Para silang isang pundasyon, lahat ay nakabatay sa kanila, lahat ay binuo mula sa kanila, at lahat ay bumaba sa kanila.

Sa artikulong ito, inilista namin ang lahat ng pangunahing pag-andar ng elementarya, ibigay ang kanilang mga graph at ibigay ang mga ito nang walang derivation at mga patunay. mga katangian ng mga pangunahing pag-andar ng elementarya ayon sa scheme:

• pag-uugali ng function sa mga hangganan ng domain ng kahulugan, vertical asymptotes (kung kinakailangan, tingnan ang pag-uuri ng artikulo ng mga breakpoint ng isang function);
• pantay at kakaiba;
• convexity (convexity pataas) at concavity (convexity pababa) na mga pagitan, inflection point (kung kinakailangan, tingnan ang artikulo function convexity, convexity direksyon, inflection point, convexity at inflection kundisyon);
• pahilig at pahalang na mga asymptotes;
• isahan na mga punto ng pag-andar;
• mga espesyal na katangian ng ilang mga pag-andar (halimbawa, ang pinakamaliit na positibong panahon para sa mga pag-andar ng trigonometriko).

Kung interesado ka sa o, maaari kang pumunta sa mga seksyong ito ng teorya.

Mga pangunahing pag-andar ng elementarya ay: pare-pareho ang function (constant), ugat ng nth degree, power function, exponential, logarithmic function, trigonometric at inverse trigonometric function.

Pag-navigate sa pahina.

Permanenteng pag-andar.

Ang isang pare-parehong function ay ibinibigay sa hanay ng lahat ng mga tunay na numero ng formula , kung saan ang C ay ilang tunay na numero. Ang pare-parehong pag-andar ay nagtatalaga sa bawat tunay na halaga ng independiyenteng variable x ang parehong halaga ng umaasa na variable y - ang halaga С. Ang isang pare-pareho ang pag-andar ay tinatawag ding isang pare-pareho.

Ang graph ng isang constant function ay isang tuwid na linya na kahanay ng x-axis at dumadaan sa isang punto na may mga coordinate (0,C) . Halimbawa, ipakita natin ang mga graph ng mga pare-parehong function y=5 , y=-2 at , na sa figure sa ibaba ay tumutugma sa itim, pula at asul na mga linya, ayon sa pagkakabanggit.

Mga katangian ng isang pare-parehong pag-andar.

• Domain ng kahulugan: ang buong hanay ng mga tunay na numero.
• Ang pare-parehong pag-andar ay pantay.
• Saklaw ng mga halaga: set na binubuo ng isang solong numero C .
• Ang pare-parehong pag-andar ay hindi tumataas at hindi bumababa (kaya naman ito ay pare-pareho).
• Walang saysay na pag-usapan ang tungkol sa convexity at concavity ng pare-pareho.
• Walang asymptote.
• Ang function ay dumadaan sa punto (0,C) ng coordinate plane.

Ang ugat ng nth degree.

Isaalang-alang ang pangunahing pag-andar ng elementarya, na ibinibigay ng formula , kung saan ang n ay isang natural na bilang na mas malaki sa isa.

Ang ugat ng nth degree, n ay isang even na numero.

Magsimula tayo sa nth root function para sa kahit na mga halaga ng root exponent n .

Halimbawa, nagbibigay kami ng isang larawan na may mga larawan ng mga graph ng mga function at , tumutugma ang mga ito sa itim, pula at asul na mga linya.

Ang mga graph ng mga pag-andar ng ugat ng isang pantay na antas ay may katulad na anyo para sa iba pang mga halaga ng tagapagpahiwatig.

Mga katangian ng ugat ng nth degree para sa even n .

Ang ugat ng nth degree, n ay isang kakaibang numero.

Ang root function ng nth degree na may kakaibang exponent ng root n ay tinukoy sa buong hanay ng mga tunay na numero. Halimbawa, nagpapakita kami ng mga graph ng mga function at , ang itim, pula, at asul na mga kurba ay tumutugma sa kanila.

Para sa iba pang mga kakaibang halaga ng root exponent, ang mga graph ng function ay magkakaroon ng katulad na hitsura.

Mga katangian ng ugat ng nth degree para sa odd n .

Pag-andar ng kapangyarihan.

Ang power function ay ibinibigay ng isang formula ng form .

Isaalang-alang ang uri ng mga graph ng isang power function at ang mga katangian ng isang power function depende sa halaga ng exponent.

Magsimula tayo sa isang power function na may integer exponent a . Sa kasong ito, ang anyo ng mga graph ng mga function ng kapangyarihan at ang mga katangian ng mga pag-andar ay nakasalalay sa kahit o kakaibang exponent, gayundin sa sign nito. Samakatuwid, isinasaalang-alang muna namin ang mga function ng kapangyarihan para sa mga kakaibang positibong halaga ng exponent a , pagkatapos ay para sa kahit na positibo, pagkatapos ay para sa mga kakaibang negatibong exponent, at sa wakas, para sa kahit na negatibong a .

Ang mga katangian ng power function na may fractional at irrational exponent (pati na rin ang uri ng mga graph ng naturang power function) ay nakadepende sa halaga ng exponent a. Isasaalang-alang natin ang mga ito, una, kapag ang a ay mula sa zero hanggang isa, pangalawa, kapag ang a ay mas malaki kaysa sa isa, pangatlo, kapag ang a ay mula sa minus one hanggang zero, at pang-apat, kapag ang a ay mas mababa sa minus one.

Sa pagtatapos ng subsection na ito, para sa kapakanan ng pagkakumpleto, inilalarawan namin ang isang power function na may zero exponent.

Power function na may kakaibang positibong exponent.

Isaalang-alang ang isang power function na may kakaibang positibong exponent, iyon ay, na may a=1,3,5,… .

Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng mga graph ng power function - itim na linya, - asul na linya, - pulang linya, - berdeng linya. Para sa a=1 mayroon kami linear function y=x .

Mga katangian ng isang power function na may kakaibang positibong exponent.

Power function na may kahit na positibong exponent.

Isaalang-alang ang isang power function na may pantay na positibong exponent, iyon ay, para sa a=2,4,6,… .

Bilang halimbawa, kumuha tayo ng mga graph ng mga function ng kapangyarihan - itim na linya, - asul na linya, - pulang linya. Para sa a=2 mayroon kaming isang quadratic function na ang graph ay parisukat na parabola.

Mga katangian ng isang power function na may pantay na positibong exponent.

Power function na may kakaibang negatibong exponent.

Tingnan ang mga graph ng exponential function para sa mga kakaibang negatibong halaga ng exponent, iyon ay, para sa isang \u003d -1, -3, -5, ....

Ang figure ay nagpapakita ng mga graph ng exponential function bilang mga halimbawa - itim na linya, - asul na linya, - pulang linya, - berdeng linya. Para sa isang = -1 mayroon kami baligtad na proporsyonalidad, na ang graph ay hyperbola.

Mga katangian ng isang power function na may kakaibang negatibong exponent.

Power function na may kahit na negatibong exponent.

Lumipat tayo sa power function sa a=-2,-4,-6,….

Ang figure ay nagpapakita ng mga graph ng power function - itim na linya, - asul na linya, - pulang linya.

Mga katangian ng isang power function na may kahit na negatibong exponent.

Isang power function na may rational o irrational exponent na ang value ay mas malaki sa zero at mas mababa sa isa.

Tandaan! Kung ang a ay isang positibong fraction na may kakaibang denominator, kung gayon ang ilang mga may-akda ay itinuturing na ang pagitan ay ang domain ng power function. Kasabay nito, itinakda na ang exponent a ay isang irreducible fraction. Ngayon ang mga may-akda ng maraming mga aklat-aralin sa algebra at ang mga simula ng pagsusuri ay HINDI TINUTUKOY ang mga function ng kapangyarihan na may isang exponent sa anyo ng isang fraction na may kakaibang denominator para sa mga negatibong halaga ng argumento. Susunod kami sa ganoong pananaw, iyon ay, isasaalang-alang namin ang mga domain ng power function na may fractional positive exponents bilang set . Hinihikayat namin ang mga mag-aaral na kunin ang pananaw ng iyong guro sa banayad na puntong ito upang maiwasan ang hindi pagkakasundo.

Isaalang-alang ang isang power function na may rational o irrational exponent a , at .

Nagpapakita kami ng mga graph ng power function para sa a=11/12 (itim na linya), a=5/7 (pulang linya), (asul na linya), a=2/5 (berdeng linya).

Isang power function na may non-integer na rational o irrational exponent na mas malaki sa isa.

Isaalang-alang ang isang power function na may non-integer na rational o irrational exponent a , at .

Ipakita natin ang mga graph ng mga power function na ibinigay ng mga formula (itim, pula, asul at berdeng mga linya ayon sa pagkakabanggit).

>

Para sa iba pang mga halaga ng exponent a , ang mga graph ng function ay magkakaroon ng katulad na hitsura.

Mga katangian ng power function para sa .

Isang power function na may totoong exponent na mas malaki sa minus one at mas mababa sa zero.

Tandaan! Kung ang a ay isang negatibong fraction na may kakaibang denominator, kung gayon ang ilang mga may-akda ay isinasaalang-alang ang pagitan . Kasabay nito, itinakda na ang exponent a ay isang irreducible fraction. Ngayon ang mga may-akda ng maraming mga aklat-aralin sa algebra at ang mga simula ng pagsusuri ay HINDI TINUTUKOY ang mga function ng kapangyarihan na may isang exponent sa anyo ng isang fraction na may kakaibang denominator para sa mga negatibong halaga ng argumento. Susunod kami sa ganoong pananaw, iyon ay, isasaalang-alang namin ang mga domain ng power function na may fractional fractional negative exponents bilang set, ayon sa pagkakabanggit. Hinihikayat namin ang mga mag-aaral na kunin ang pananaw ng iyong guro sa banayad na puntong ito upang maiwasan ang hindi pagkakasundo.

Dumaan kami sa power function , kung saan .

Upang magkaroon ng magandang ideya sa uri ng mga graph ng mga function ng kapangyarihan para sa , nagbibigay kami ng mga halimbawa ng mga graph ng mga function (itim, pula, asul, at berdeng mga kurba, ayon sa pagkakabanggit).

Mga katangian ng isang power function na may exponent a , .

Isang power function na may non-integer real exponent na mas mababa sa minus one.

Magbigay tayo ng mga halimbawa ng mga graph ng power functions para sa , ang mga ito ay inilalarawan sa itim, pula, asul at berdeng mga linya, ayon sa pagkakabanggit.

Mga katangian ng power function na may non-integer na negatibong exponent na mas mababa sa minus one.

Kapag ang a=0 at mayroon tayong function - ito ay isang tuwid na linya kung saan ang punto (0; 1) ay hindi kasama (ang expression na 0 0 ay napagkasunduan na huwag ilakip ang anumang kahalagahan).

Exponential function.

Ang isa sa mga pangunahing pag-andar ng elementarya ay ang pagpapaandar ng exponential.

Graph ng exponential function, kung saan at may ibang anyo depende sa halaga ng base a. Alamin natin ito.

Una, isaalang-alang ang kaso kapag ang base ng exponential function ay tumatagal ng isang halaga mula sa zero hanggang isa, iyon ay, .

Halimbawa, ipinakita namin ang mga graph ng exponential function para sa a = 1/2 - ang asul na linya, a = 5/6 - ang pulang linya. Ang mga graph ng exponential function ay may katulad na hitsura para sa iba pang mga halaga ng base mula sa pagitan.

Mga katangian ng isang exponential function na may base na mas mababa sa isa.

Bumaling tayo sa kaso kapag ang base ng exponential function ay mas malaki kaysa sa isa, iyon ay, .

Bilang isang paglalarawan, nagpapakita kami ng mga graph ng exponential function - ang asul na linya at - ang pulang linya. Para sa iba pang mga halaga ng base, higit sa isa, ang mga graph ng exponential function ay magkakaroon ng katulad na hitsura.

Mga katangian ng exponential function na may base na mas malaki sa isa.

Logarithmic function.

Ang susunod na basic elementary function ay ang logarithmic function , kung saan , . Ang logarithmic function ay tinukoy lamang para sa mga positibong halaga ng argumento, iyon ay, para sa .

Ang graph ng logarithmic function ay tumatagal sa ibang anyo depende sa halaga ng base a.

Ang coordinate ng ganap na anumang punto sa eroplano ay tinutukoy ng dalawang halaga nito: kasama ang abscissa axis at ang ordinate axis. Ang kabuuan ng set ng naturang mga punto ay ang graph ng function. Ayon dito, makikita mo kung paano nagbabago ang halaga ng Y depende sa pagbabago sa halaga ng X. Maaari mo ring matukoy kung aling seksyon (interval) ang pagtaas ng function at kung saan ito bumababa.

Pagtuturo

• Ano ang masasabi tungkol sa isang function kung ang graph nito ay isang tuwid na linya? Tingnan kung ang linyang ito ay dumadaan sa pinagmulan ng mga coordinate (iyon ay, ang isa kung saan ang mga halaga ng X at Y ay 0). Kung ito ay pumasa, kung gayon ang gayong function ay inilalarawan ng equation na y = kx. Madaling maunawaan na kung mas malaki ang halaga ng k, mas malapit ang linyang ito sa y-axis. At ang Y-axis mismo ay aktwal na tumutugma sa isang walang katapusang malaking halaga ng k.
• Tingnan ang direksyon ng function. Kung pupunta ito sa "kaliwa sa ibaba - kanang tuktok", iyon ay, sa pamamagitan ng 3rd at 1st coordinate quarters, ito ay tumataas, ngunit kung "itaas sa kaliwa - kanan pababa" (sa pamamagitan ng 2nd at 4th quarters), pagkatapos ay bumababa ito.
• Kapag ang linya ay hindi dumaan sa pinanggalingan, ito ay inilalarawan ng equation na y = kx + b. Ang linya ay bumalandra sa y-axis sa punto kung saan y = b, at ang halaga ng y ay maaaring maging positibo o negatibo.
• Ang isang function ay tinatawag na parabola kung ito ay inilalarawan ng equation na y = x^n, at ang anyo nito ay nakasalalay sa halaga ng n. Kung ang n ay anumang even na numero (ang pinakasimpleng kaso ay isang quadratic function na y = x^2), ang graph ng function ay isang curve na dumadaan sa pinanggalingan na punto, gayundin sa mga puntos na may mga coordinate (1; 1), (- 1; 1), para sa isang yunit sa anumang kapangyarihan ay mananatiling isang yunit. Ang lahat ng y-values ​​​​na tumutugma sa anumang hindi-zero na X-values ​​ay maaari lamang maging positibo. Ang function ay simetriko tungkol sa Y-axis, at ang graph nito ay matatagpuan sa 1st at 2nd coordinate quarter. Madaling maunawaan na mas malaki ang halaga ng n, mas malapit ang graph sa Y axis.
• Kung ang n ay isang kakaibang numero, ang graph ng function na ito ay isang cubic parabola. Ang curve ay matatagpuan sa 1st at 3rd coordinate quarters, simetriko tungkol sa Y axis at dumadaan sa pinanggalingan, pati na rin sa mga puntos (-1;-1), (1;1). Kapag ang quadratic function ay ang equation na y = ax^2 + bx + c, ang hugis ng parabola ay kapareho ng sa pinakasimpleng kaso (y = x^2), ngunit ang vertex nito ay wala sa pinanggalingan.
• Ang isang function ay tinatawag na hyperbola kung ito ay inilalarawan ng equation na y = k/x. Madaling makita na habang ang halaga ng x ay may posibilidad na 0, ang halaga ng y ay tumataas hanggang sa infinity. Ang function graph ay isang curve na binubuo ng dalawang sangay at matatagpuan sa magkaibang coordinate quarter.

Ang metodolohikal na materyal na ito ay para sa sanggunian lamang at sumasaklaw sa malawak na hanay ng mga paksa. Ang artikulo ay nagbibigay ng isang pangkalahatang-ideya ng mga graph ng mga pangunahing pag-andar sa elementarya at isinasaalang-alang ang pinakamahalagang isyu - kung paano tama at FAST bumuo ng isang graph. Sa kurso ng pag-aaral ng mas mataas na matematika nang hindi nalalaman ang mga graph ng mga pangunahing pag-andar ng elementarya, ito ay magiging mahirap, kaya napakahalagang tandaan kung ano ang hitsura ng mga graph ng isang parabola, hyperbola, sine, cosine, atbp, upang matandaan ang ilan. mga halaga ng function. Pag-uusapan din natin ang ilang mga katangian ng mga pangunahing pag-andar.

Hindi ako nagkukunwaring kumpleto at siyentipikong kabuoan ng mga materyales, ang diin ay ilalagay, una sa lahat, sa pagsasanay - ang mga bagay na kung saan ang isa ay kailangang harapin nang literal sa bawat hakbang, sa anumang paksa ng mas mataas na matematika. Mga tsart para sa mga dummies? Masasabi mo.

Sa pamamagitan ng popular na demand mula sa mga mambabasa naki-click na talaan ng mga nilalaman:

Bilang karagdagan, mayroong isang ultra-maikling abstract sa paksa
– master ang 16 na uri ng mga chart sa pamamagitan ng pag-aaral ng ANIM na pahina!

Grabe, anim, kahit ako mismo ay nagulat. Ang abstract na ito ay naglalaman ng pinahusay na mga graphics at magagamit para sa isang nominal na bayad, isang demo na bersyon ay maaaring matingnan. Ito ay maginhawa upang i-print ang file upang ang mga graph ay palaging nasa kamay. Salamat sa pagsuporta sa proyekto!

At magsisimula kami kaagad:

Paano gumawa ng mga coordinate axes nang tama?

Sa pagsasagawa, ang mga pagsusulit ay halos palaging iginuhit ng mga mag-aaral sa magkahiwalay na mga notebook, na may linya sa isang hawla. Bakit kailangan mo ng checkered markings? Pagkatapos ng lahat, ang trabaho, sa prinsipyo, ay maaaring gawin sa mga sheet ng A4. At ang hawla ay kinakailangan para lamang sa mataas na kalidad at tumpak na disenyo ng mga guhit.

Ang anumang pagguhit ng isang function graph ay nagsisimula sa mga coordinate axes.

Ang mga guhit ay two-dimensional at three-dimensional.

Isaalang-alang muna natin ang dalawang-dimensional na kaso Cartesian coordinate system:

1) Gumuhit kami ng mga coordinate axes. Ang axis ay tinatawag x-axis , at ang axis y-axis . Lagi naming sinusubukang iguhit ang mga ito maayos at hindi baluktot. Ang mga palaso ay hindi rin dapat katulad ng balbas ni Papa Carlo.

2) Nilagdaan namin ang mga palakol na may malalaking titik na "x" at "y". Huwag kalimutang lagdaan ang mga palakol.

3) Itakda ang sukat sa kahabaan ng mga palakol: gumuhit ng zero at dalawa. Kapag gumagawa ng isang pagguhit, ang pinaka-maginhawa at karaniwang sukat ay: 1 yunit = 2 mga cell (pagguhit sa kaliwa) - dumikit dito kung maaari. Gayunpaman, paminsan-minsan ay nangyayari na ang pagguhit ay hindi magkasya sa isang notebook sheet - pagkatapos ay binabawasan namin ang sukat: 1 yunit = 1 cell (pagguhit sa kanan). Bihirang, ngunit nangyayari na ang sukat ng pagguhit ay kailangang bawasan (o dagdagan) pa

HUWAG mag-scribble mula sa machine gun ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Para sa coordinate plane ay hindi isang monumento kay Descartes, at ang estudyante ay hindi isang kalapati. Inilagay namin sero at dalawang yunit sa kahabaan ng mga palakol. Minsan sa halip na mga yunit, ito ay maginhawa upang "makita" ang iba pang mga halaga, halimbawa, "dalawa" sa abscissa axis at "tatlo" sa ordinate axis - at ang sistemang ito (0, 2 at 3) ay natatanging magtatakda ng coordinate grid.

Mas mainam na tantiyahin ang tinantyang sukat ng pagguhit BAGO ang pagguhit ay iguguhit.. Kaya, halimbawa, kung ang gawain ay nangangailangan ng pagguhit ng isang tatsulok na may vertices , , , kung gayon ito ay lubos na malinaw na ang sikat na sukat na 1 yunit = 2 mga cell ay hindi gagana. Bakit? Tingnan natin ang punto - dito kailangan mong sukatin ang labinlimang sentimetro pababa, at, malinaw naman, ang pagguhit ay hindi magkasya (o halos hindi magkasya) sa isang notebook sheet. Samakatuwid, agad kaming pumili ng mas maliit na sukat 1 unit = 1 cell.

Sa pamamagitan ng paraan, mga sentimetro at mga cell ng notebook. Totoo ba na mayroong 15 sentimetro sa 30 mga cell ng notebook? Sukatin sa isang kuwaderno para sa interes na 15 sentimetro gamit ang isang ruler. Sa USSR, marahil ito ay totoo ... Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na kung sukatin mo ang parehong mga sentimetro nang pahalang at patayo, kung gayon ang mga resulta (sa mga cell) ay magkakaiba! Sa mahigpit na pagsasalita, ang mga modernong notebook ay hindi checkered, ngunit hugis-parihaba. Ito ay maaaring mukhang walang kapararakan, ngunit ang pagguhit, halimbawa, ang isang bilog na may kumpas sa mga ganitong sitwasyon ay lubhang hindi maginhawa. Sa totoo lang, sa mga sandaling iyon ay nagsisimula kang mag-isip tungkol sa kawastuhan ni Kasamang Stalin, na ipinadala sa mga kampo para sa trabaho sa pag-hack sa produksyon, hindi sa banggitin ang domestic automotive industry, bumabagsak na mga eroplano o sumasabog na mga planta ng kuryente.

Ang pagsasalita ng kalidad, o isang maikling rekomendasyon sa stationery. Sa ngayon, karamihan sa mga ibinebentang notebook, nang hindi nagsasabi ng masasamang salita, ay kumpleto na sa duwende. Sa kadahilanang nabasa sila, at hindi lamang mula sa mga gel pen, kundi pati na rin sa mga bolpen! Magtipid sa papel. Para sa disenyo ng mga pagsubok, inirerekumenda ko ang paggamit ng mga notebook ng Arkhangelsk Pulp and Paper Mill (18 sheet, cell) o Pyaterochka, kahit na ito ay mas mahal. Maipapayo na pumili ng isang gel pen, kahit na ang pinakamurang Chinese gel refill ay mas mahusay kaysa sa isang bolpen, na maaaring pahiran o punitin ang papel. Ang tanging "competitive" na bolpen sa aking alaala ay ang Erich Krause. Sumulat siya nang malinaw, maganda at matatag - alinman sa isang buong tangkay, o may halos walang laman.

Bukod pa rito: ang pananaw ng isang rectangular coordinate system sa pamamagitan ng mga mata ng analytical geometry ay sakop sa artikulo Linear (hindi) dependence ng mga vectors. Batayang vector, ang detalyadong impormasyon tungkol sa coordinate quarters ay matatagpuan sa ikalawang talata ng aralin Mga linear na hindi pagkakapantay-pantay.

3D na kaso

Halos pareho lang dito.

1) Gumuhit kami ng mga coordinate axes. Pamantayan: ilapat ang axis – nakadirekta pataas, axis – nakadirekta sa kanan, axis – pababa sa kaliwa mahigpit sa isang anggulo ng 45 degrees.

2) Pinirmahan namin ang mga palakol.

3) Itakda ang sukat sa kahabaan ng mga palakol. Scale sa kahabaan ng axis - dalawang beses na mas maliit kaysa sa scale kasama ang iba pang mga axes. Tandaan din na sa tamang pagguhit, gumamit ako ng hindi karaniwang "serif" kasama ang axis (ang posibilidad na ito ay nabanggit na sa itaas). Mula sa aking pananaw, ito ay mas tumpak, mas mabilis at mas aesthetically kasiya-siya - hindi mo kailangang hanapin ang gitna ng cell sa ilalim ng mikroskopyo at "i-sculpt" ang unit hanggang sa pinagmulan.

Kapag gumagawa muli ng 3D drawing - bigyang-priyoridad ang sukat
1 unit = 2 cell (drawing sa kaliwa).

Para saan ang lahat ng mga patakarang ito? Ang mga patakaran ay nariyan upang labagin. Ano na ang gagawin ko ngayon. Ang katotohanan ay ang kasunod na mga guhit ng artikulo ay gagawin ko sa Excel, at ang mga coordinate axes ay magmumukhang hindi tama sa mga tuntunin ng tamang disenyo. Maaari kong iguhit ang lahat ng mga graph sa pamamagitan ng kamay, ngunit talagang nakakatakot na iguhit ang mga ito, dahil ang Excel ay nag-aatubili na iguhit ang mga ito nang mas tumpak.

Mga graph at pangunahing katangian ng elementarya na pag-andar

Ang linear function ay ibinibigay ng equation . Ang linear function graph ay direkta. Upang makabuo ng isang tuwid na linya, sapat na malaman ang dalawang puntos.

Halimbawa 1

I-plot ang function. Maghanap tayo ng dalawang puntos. Ito ay kapaki-pakinabang na pumili ng zero bilang isa sa mga puntos.

Kung , kung gayon

Kumuha kami ng ibang punto, halimbawa, 1.

Kung , kung gayon

Kapag naghahanda ng mga gawain, ang mga coordinate ng mga puntos ay karaniwang ibinubuod sa isang talahanayan:

At ang mga halaga mismo ay kinakalkula nang pasalita o sa isang draft, calculator.

Dalawang puntos ang natagpuan, gumuhit tayo:

Kapag gumuhit ng isang guhit, palagi naming pinipirmahan ang mga graphic.

Hindi magiging kalabisan na alalahanin ang mga espesyal na kaso ng isang linear na function:

Pansinin kung paano ko inilagay ang mga caption, hindi dapat malabo ang mga lagda kapag pinag-aaralan ang pagguhit. Sa kasong ito, lubos na hindi kanais-nais na maglagay ng lagda sa tabi ng punto ng intersection ng mga linya, o sa kanang ibaba sa pagitan ng mga graph.

1) Ang isang linear na function ng form () ay tinatawag na direktang proporsyonalidad. Halimbawa, . Ang direktang proporsyonalidad na graph ay palaging dumadaan sa pinagmulan. Kaya, ang pagtatayo ng isang tuwid na linya ay pinasimple - sapat na upang makahanap lamang ng isang punto.

2) Ang isang equation ng form ay tumutukoy sa isang tuwid na linya parallel sa axis, sa partikular, ang axis mismo ay ibinibigay ng equation. Ang graph ng function ay binuo kaagad, nang hindi nakakahanap ng anumang mga puntos. Iyon ay, ang entry ay dapat na maunawaan tulad ng sumusunod: "y ay palaging katumbas ng -4, para sa anumang halaga ng x."

3) Ang isang equation ng form ay tumutukoy sa isang tuwid na linya parallel sa axis, sa partikular, ang axis mismo ay ibinibigay ng equation. Ang graph ng function ay binuo din kaagad. Ang entry ay dapat na maunawaan bilang mga sumusunod: "x ay palaging, para sa anumang halaga ng y, katumbas ng 1."

May magtatanong, well, bakit naaalala ang ika-6 na baitang?! Kaya nga, siguro nga, sa loob lamang ng mga taon ng pagsasanay nakilala ko ang isang dosenang mga mag-aaral na nalilito sa gawain ng pagbuo ng isang graph tulad ng o .

Ang pagguhit ng isang tuwid na linya ay ang pinakakaraniwang aksyon kapag gumagawa ng mga guhit.

Ang tuwid na linya ay tinalakay nang detalyado sa kurso ng analytic geometry, at ang mga nais ay maaaring sumangguni sa artikulo Equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano.

Quadratic function graph, cubic function graph, polynomial graph

Parabola. Graph ng isang quadratic function () ay isang parabola. Isaalang-alang ang sikat na kaso:

Alalahanin natin ang ilang katangian ng function.

Kaya, ang solusyon sa ating equation: - sa puntong ito matatagpuan ang vertex ng parabola. Kung bakit ganito ay maaaring matutunan mula sa teoretikal na artikulo sa derivative at ang aralin sa extrema ng function. Pansamantala, kinakalkula namin ang katumbas na halaga ng "y":

Kaya ang vertex ay nasa punto

Ngayon ay nakahanap kami ng iba pang mga punto, habang brazenly ginagamit ang mahusay na proporsyon ng parabola. Dapat pansinin na ang pag-andar – ay hindi pantay, ngunit, gayunpaman, walang kinansela ang simetrya ng parabola.

Sa anong pagkakasunud-sunod upang mahanap ang natitirang mga punto, sa palagay ko ay magiging malinaw mula sa panghuling talahanayan:

Ang construction algorithm na ito ay maaaring matalinhagang tinatawag na "shuttle" o ang "back and forth" na prinsipyo sa Anfisa Chekhova.

Gumawa tayo ng drawing:

Mula sa mga isinasaalang-alang na mga graph, isa pang kapaki-pakinabang na tampok ang naiisip:

Para sa isang quadratic function () ang sumusunod ay totoo:

Kung , ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta paitaas.

Kung , ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta pababa.

Ang malalim na kaalaman sa kurba ay maaaring makuha sa aralin na Hyperbola at parabola.

Ang cubic parabola ay ibinibigay ng function na . Narito ang isang guhit na pamilyar sa paaralan:

Inililista namin ang mga pangunahing katangian ng function

Function Graph

Ito ay kumakatawan sa isa sa mga sangay ng parabola. Gumawa tayo ng drawing:

Ang mga pangunahing katangian ng pag-andar:

Sa kasong ito, ang axis ay patayong asymptote para sa hyperbola graph sa .

Ito ay isang MALAKING pagkakamali kung, kapag gumuhit ng isang guhit, sa pamamagitan ng kapabayaan, pinapayagan mo ang graph na bumalandra sa asymptote.

Gayundin isang panig na limitasyon, sabihin sa amin na ang isang hyperbole hindi limitado mula sa itaas at hindi limitado mula sa ibaba.

Tuklasin natin ang pag-andar sa infinity: iyon ay, kung magsisimula tayong gumalaw kasama ang axis sa kaliwa (o kanan) hanggang sa infinity, kung gayon ang "mga laro" ay magiging isang payat na hakbang. malapit nang walang katapusan lumapit sa zero, at, nang naaayon, ang mga sanga ng hyperbola malapit nang walang katapusan lumapit sa axis.

Kaya ang axis ay pahalang na asymptote para sa graph ng function, kung ang "x" ay may posibilidad na plus o minus infinity.

Ang function ay kakaiba, na nangangahulugan na ang hyperbola ay simetriko tungkol sa pinagmulan. Ang katotohanang ito ay halata mula sa pagguhit, bilang karagdagan, madali itong ma-verify nang analytical: .

Ang graph ng isang function ng form () ay kumakatawan sa dalawang sangay ng isang hyperbola.

Kung , kung gayon ang hyperbola ay matatagpuan sa una at ikatlong coordinate quadrant(tingnan ang larawan sa itaas).

Kung , kung gayon ang hyperbola ay matatagpuan sa ikalawa at ikaapat na coordinate quadrant.

Hindi mahirap pag-aralan ang tinukoy na regularidad ng lugar ng paninirahan ng hyperbola mula sa punto ng view ng geometric transformations ng mga graph.

Halimbawa 3

Buuin ang tamang sangay ng hyperbola

Ginagamit namin ang pointwise na paraan ng pagtatayo, habang ito ay kapaki-pakinabang upang piliin ang mga halaga upang sila ay ganap na hatiin:

Gumawa tayo ng drawing:

Hindi magiging mahirap na bumuo ng kaliwang sangay ng hyperbola, narito ang kakaiba ng pag-andar ay makakatulong lamang. Sa halos pagsasalita, sa talahanayan ng pointwise construction, magdagdag ng minus sa bawat numero, ilagay ang kaukulang mga puntos at iguhit ang pangalawang sangay.

Ang detalyadong geometric na impormasyon tungkol sa isinasaalang-alang na linya ay matatagpuan sa artikulong Hyperbola at parabola.

Graph ng isang exponential function

Sa talatang ito, agad kong isasaalang-alang ang exponential function, dahil sa mga problema ng mas mataas na matematika sa 95% ng mga kaso, ito ang exponent na nangyayari.

Ipinapaalala ko sa iyo na - ito ay isang hindi makatwiran na numero: , ito ay kinakailangan kapag gumagawa ng isang graph, na, sa katunayan, ako ay magtatayo nang walang seremonya. Marahil sapat na ang tatlong puntos:

Iwanan muna natin ang graph ng function sa ngayon, tungkol dito mamaya.

Ang mga pangunahing katangian ng pag-andar:

Sa panimula, magkapareho ang hitsura ng mga graph ng mga function, atbp.

Dapat kong sabihin na ang pangalawang kaso ay hindi gaanong karaniwan sa pagsasanay, ngunit nangyayari ito, kaya naramdaman kong kailangan itong isama sa artikulong ito.

Graph ng isang logarithmic function

Isaalang-alang ang isang function na may natural logarithm.
Gumawa tayo ng line drawing:

Kung nakalimutan mo kung ano ang logarithm, mangyaring sumangguni sa mga aklat-aralin sa paaralan.

Ang mga pangunahing katangian ng pag-andar:

Domain:

Saklaw ng mga halaga: .

Ang function ay hindi limitado mula sa itaas: , kahit na dahan-dahan, ngunit ang sangay ng logarithm ay umaakyat sa infinity.
Suriin natin ang pag-uugali ng function na malapit sa zero sa kanan: . Kaya ang axis ay patayong asymptote para sa graph ng function na may "x" na may posibilidad na zero sa kanan.

Tiyaking alam at tandaan ang karaniwang halaga ng logarithm: .

Sa panimula, ang balangkas ng logarithm sa base ay mukhang pareho: , , (decimal logarithm hanggang base 10), atbp. Kasabay nito, mas malaki ang base, mas magiging flat ang chart.

Hindi namin isasaalang-alang ang kaso, isang bagay na hindi ko matandaan kung kailan ako huling gumawa ng graph na may ganoong batayan. Oo, at ang logarithm ay tila isang napakabihirang panauhin sa mga problema ng mas mataas na matematika.

Sa pagtatapos ng talata, sasabihin ko ang isa pang katotohanan: Exponential Function at Logarithmic Functionay dalawang magkabaligtaran na pag-andar. Kung titingnan mong mabuti ang graph ng logarithm, makikita mo na ito ay ang parehong exponent, ito ay matatagpuan sa isang maliit na naiiba.

Mga graph ng trigonometriko function

Paano nagsisimula ang trigonometric torment sa paaralan? Tama. Mula sa sine

I-plot natin ang function

Ang linyang ito ay tinatawag sinusoid.

Ipinaaalala ko sa iyo na ang "pi" ay isang hindi makatwirang numero:, at sa trigonometrya ito ay nakakasilaw sa mga mata.

Ang mga pangunahing katangian ng pag-andar:

Ang function na ito ay periodical may period. Ano ang ibig sabihin nito? Tingnan natin ang hiwa. Sa kaliwa at sa kanan nito, ang parehong piraso ng graph ay umuulit nang walang katapusang.

Domain: , ibig sabihin, para sa anumang halaga ng "x" mayroong isang halaga ng sine.

Saklaw ng mga halaga: . Ang function ay limitado: , ibig sabihin, lahat ng "laro" ay mahigpit na nakaupo sa segment .
Hindi ito nangyayari: o, mas tiyak, nangyayari ito, ngunit ang mga equation na ito ay walang solusyon.

ang function ay isang pagsusulatan sa pagitan ng mga elemento ng dalawang set, na itinatag ayon sa isang panuntunan na ang bawat elemento ng isang set ay nauugnay sa ilang elemento mula sa isa pang set.

ang graph ng isang function ay ang locus ng mga puntos sa eroplano na ang abscissas (x) at ordinates (y) ay konektado ng tinukoy na function:

ang punto ay matatagpuan (o matatagpuan) sa graph ng function kung at kung lamang .

Kaya, ang isang function ay maaaring sapat na inilarawan sa pamamagitan ng graph nito.

tabular na paraan. Medyo karaniwan, ito ay binubuo sa pagtatakda ng isang talahanayan ng mga indibidwal na halaga ng argumento at ang kanilang mga katumbas na halaga ng pag-andar. Ang pamamaraang ito ng pagtukoy sa isang function ay ginagamit kapag ang domain ng function ay isang discrete finite set.

Gamit ang tabular na paraan ng pagtukoy ng isang function, posible na humigit-kumulang na kalkulahin ang mga halaga ng function na hindi nakapaloob sa talahanayan, na naaayon sa mga intermediate na halaga ng argumento. Upang gawin ito, gamitin ang paraan ng interpolation.

Ang mga bentahe ng tabular na paraan ng pagtukoy ng isang function ay ginagawang posible upang matukoy ang ilang partikular na halaga nang sabay-sabay, nang walang karagdagang mga sukat o kalkulasyon. Gayunpaman, sa ilang mga kaso, hindi ganap na tinukoy ng talahanayan ang function, ngunit para lamang sa ilang mga halaga ng argumento at hindi nagbibigay ng visual na representasyon ng likas na katangian ng pagbabago sa function depende sa pagbabago sa argumento.

Graphic na paraan. Ang graph ng function na y = f(x) ay ang set ng lahat ng mga punto sa eroplano na ang mga coordinate ay nakakatugon sa ibinigay na equation.

Ang graphical na paraan ng pagtukoy ng isang function ay hindi palaging ginagawang posible upang tumpak na matukoy ang mga numerical na halaga ng argumento. Gayunpaman, ito ay may isang mahusay na kalamangan sa iba pang mga pamamaraan - visibility. Sa engineering at physics, ang isang graphical na paraan ng pagtatakda ng isang function ay kadalasang ginagamit, at isang graph ang tanging paraan na magagamit para dito.

Upang ang graphical na pagtatalaga ng isang function ay medyo tama mula sa isang mathematical point of view, ito ay kinakailangan upang ipahiwatig ang eksaktong geometric na konstruksyon ng graph, na kung saan, kadalasan, ay ibinibigay ng isang equation. Ito ay humahantong sa sumusunod na paraan ng pagtukoy ng isang function.

paraan ng pagsusuri. Kadalasan, ang batas na nagtatatag ng isang relasyon sa pagitan ng isang argumento at isang function ay tinukoy sa pamamagitan ng mga formula. Ang ganitong paraan ng pagtukoy sa isang function ay tinatawag na analytical.

Ginagawang posible ng pamamaraang ito para sa bawat numerical value ng argumentong x na mahanap ang katumbas na numerical value ng function na y nang eksakto o may ilang katumpakan.

Kung ang relasyon sa pagitan ng x at y ay ibinibigay ng isang pormula na niresolba nang may kinalaman sa y, ibig sabihin. ay may anyo na y = f(x), pagkatapos ay sinasabi namin na ang function ng x ay ibinibigay nang tahasan.

Kung ang mga halaga ng x at y ay nauugnay sa ilang equation ng form na F(x,y) = 0, i.e. ang formula ay hindi pinahihintulutan na may paggalang sa y, na nangangahulugan na ang function na y = f(x) ay tuwirang tinukoy.

Ang isang function ay maaaring tukuyin ng iba't ibang mga formula sa iba't ibang bahagi ng lugar ng gawain nito.

Ang analytical na paraan ay ang pinakakaraniwang paraan upang tukuyin ang mga function. Ang pagiging compact, conciseness, ang kakayahang kalkulahin ang halaga ng isang function para sa isang di-makatwirang halaga ng argument mula sa domain ng kahulugan, ang kakayahang ilapat ang apparatus ng mathematical analysis sa isang naibigay na function ay ang pangunahing bentahe ng analytical na paraan ng pagtukoy ng isang function. Kabilang sa mga disadvantage ang kawalan ng visibility, na nababayaran ng kakayahang bumuo ng isang graph at ang pangangailangang magsagawa kung minsan ay napakahirap na mga kalkulasyon.

pasalitang paraan. Ang pamamaraang ito ay binubuo sa katotohanan na ang functional dependence ay ipinahayag sa mga salita.

Halimbawa 1: ang function na E(x) ay ang integer na bahagi ng numerong x. Sa pangkalahatan, ang E(x) = [x] ay tumutukoy sa pinakamalaking integer na hindi lalampas sa x. Sa madaling salita, kung x = r + q, kung saan ang r ay isang integer (maaaring negatibo) at ang q ay kabilang sa pagitan = r. Ang function na E(x) = [x] ay pare-pareho sa pagitan = r.

Halimbawa 2: function y = (x) - fractional na bahagi ng isang numero. Mas tiyak, y =(x) = x - [x], kung saan ang [x] ay ang integer na bahagi ng numerong x. Ang function na ito ay tinukoy para sa lahat ng x. Kung ang x ay isang arbitrary na numero, pagkatapos ay kinakatawan ito bilang x = r + q (r = [x]), kung saan ang r ay isang integer at ang q ay nasa pagitan .
Nakikita namin na ang pagdaragdag ng n sa x argument ay hindi nagbabago sa halaga ng function.
Ang pinakamaliit na di-zero na numero sa n ay , kaya ang panahon ay sin 2x .

Ang halaga ng argumento kung saan ang function ay katumbas ng 0 ay tinatawag sero (ugat) mga function.

Ang isang function ay maaaring magkaroon ng maramihang mga zero.

Halimbawa, ang function y=x(x+1)(x-3) may tatlong zero: x=0, x=-1, x=3.

Sa geometriko, ang zero ng isang function ay ang abscissa ng intersection point ng graph ng function na may axis X .

Ipinapakita ng Figure 7 ang graph ng function na may mga zero: x = a, x = b at x = c .

Kung ang graph ng isang function ay lumalapit sa isang tiyak na tuwid na linya nang walang katiyakan habang ito ay lumalayo sa pinanggalingan, ang tuwid na linyang ito ay tinatawag na asymptote.

Baliktad na pag-andar

Hayaang ibigay ang function na y=ƒ(x) kasama ang domain ng definition D at ang set ng values ​​​​E. Kung ang bawat value na yєE ay tumutugma sa iisang value xєD, ang function na x=φ(y) ay tinutukoy ng domain ng kahulugan E at ang hanay ng mga halaga D (tingnan ang Fig. 102).

Ang nasabing function na φ(y) ay tinatawag na kabaligtaran ng function na ƒ(x) at nakasulat sa sumusunod na anyo: x=j(y)=f -1 (y) Tungkol sa mga function y=ƒ(x) at x=φ(y) sinasabi nila na magkabaligtaran sila. Upang mahanap ang function na x=φ(y) kabaligtaran sa function na y=ƒ(x), sapat na upang lutasin ang equation na ƒ(x)=y na may paggalang sa x (kung maaari).

1. Para sa function na y \u003d 2x, ang inverse function ay ang function na x \u003d y / 2;

2. Para sa function na y \u003d x2 xє, ang inverse function ay x \u003d √y; tandaan na para sa function na y \u003d x 2, na ibinigay sa segment [-1; 1], walang kabaligtaran, dahil ang isang halaga ng y ay tumutugma sa dalawang halaga ng x (halimbawa, kung y=1/4, kung gayon x1=1/2, x2=-1/2).

Ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng inverse function na ang function na y=ƒ(x) ay may kabaligtaran kung at kung ang function na ƒ(x) ay tumutukoy ng isa-sa-isang pagsusulatan sa pagitan ng mga set D at E. ang mahigpit na monotonikong function ay may kabaligtaran. Bukod dito, kung ang pag-andar ay tumaas (bumababa), kung gayon ang kabaligtaran na pag-andar ay tataas din (bumababa).

Tandaan na ang function na y \u003d ƒ (x) at ang inverse x \u003d φ (y) ay inilalarawan ng parehong curve, iyon ay, ang kanilang mga graph ay nag-tutugma. Kung sumasang-ayon tayo na, gaya ng dati, ang independiyenteng variable (i.e., ang argumento) ay tinutukoy ng x, at ang dependent variable ng y, kung gayon ang kabaligtaran na pag-andar ng function na y \u003d ƒ (x) ay isusulat bilang y \u003d φ (x).

Nangangahulugan ito na ang point M 1 (x o; y o) ng curve y=ƒ(x) ay nagiging point M 2 (y o; x o) ng curve y=φ(x). Ngunit ang mga puntos na M 1 at M 2 ay simetriko tungkol sa tuwid na linya y \u003d x (tingnan ang Fig. 103). Samakatuwid, ang mga graph ng magkabaligtaran na function y=ƒ(x) at y=φ(x) ay simetriko na may paggalang sa bisector ng una at ikatlong coordinate na anggulo.

Kumplikadong function

Hayaang tukuyin ang function na y=ƒ(u) sa set D, at ang function na u= φ(х) sa set D 1 , at para sa  x D 1 ang katumbas na halaga u=φ(x) є D. Pagkatapos sa set D 1 ay tinukoy ang function na u=ƒ(φ(x)), na tinatawag na isang kumplikadong function ng x (o isang superposisyon ng mga ibinigay na function, o isang function ng isang function).

Ang variable na u=φ(x) ay tinatawag na intermediate argument ng isang complex function.

Halimbawa, ang function na y=sin2x ay isang superposisyon ng dalawang function na y=sinu at u=2x. Ang isang kumplikadong function ay maaaring magkaroon ng maramihang mga intermediate na argumento.

4. Mga pangunahing pag-andar ng elementarya at ang kanilang mga graph.

Ang mga sumusunod na function ay tinatawag na basic elementary functions.

1) Ang exponential function y \u003d a x, a> 0, a ≠ 1. Sa fig. 104 ay nagpapakita ng mga graph ng exponential function na tumutugma sa iba't ibang exponential base.

2) Power function y=x α , αєR. Ang mga halimbawa ng mga graph ng mga function ng kapangyarihan na tumutugma sa iba't ibang mga exponent ay ibinigay sa mga figure

3) Logarithmic function y=log a x, a>0,a≠1; Ang mga graph ng logarithmic function na tumutugma sa iba't ibang base ay ipinapakita sa fig. 106.

4) Trigonometric functions y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx; Ang mga graph ng trigonometriko function ay may anyo na ipinapakita sa fig. 107.

5) Inverse trigonometric functions y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx. Sa fig. Ang 108 ay nagpapakita ng mga graph ng inverse trigonometriko function.

Ang isang function na ibinigay ng isang formula, na binubuo ng mga pangunahing elementary function at constants gamit ang isang may hangganang bilang ng mga arithmetic operations (addition, subtraction, multiplication, division) at operations ng pagkuha ng function mula sa isang function, ay tinatawag na elementary function.

Ang mga halimbawa ng elementarya ay ang mga function

Ang mga halimbawa ng non-elementary functions ay ang functions

5. Mga konsepto ng limitasyon ng isang sequence at isang function. Limitahan ang mga katangian.

Limitasyon sa pag-andar (limitasyon ng pag-andar) sa isang partikular na punto, na naglilimita para sa domain ng kahulugan ng isang function, ay tulad ng isang halaga kung saan ang halaga ng function na isinasaalang-alang ay may kaugaliang kapag ang argumento nito ay may posibilidad sa isang partikular na punto.

Sa matematika limitasyon ng pagkakasunud-sunod Ang mga elemento ng isang metric space o isang topological space ay isang elemento ng parehong espasyo na may pag-aari ng "pag-akit" ng mga elemento ng isang naibigay na sequence. Ang limitasyon ng isang pagkakasunud-sunod ng mga elemento ng isang topological space ay isang punto, ang bawat kapitbahayan ay naglalaman ng lahat ng mga elemento ng pagkakasunud-sunod, simula sa ilang numero. Sa isang sukatan na espasyo, ang mga kapitbahayan ay tinukoy sa mga tuntunin ng isang function ng distansya, kaya ang paniwala ng isang limitasyon ay nabuo sa wika ng mga distansya. Sa kasaysayan, ang una ay ang konsepto ng limitasyon ng isang numerical sequence, na lumitaw sa mathematical analysis, kung saan ito ay nagsisilbing batayan para sa isang sistema ng approximations at malawakang ginagamit sa pagbuo ng differential at integral calculus.

pagtatalaga:

(basahin: ang limitasyon ng x-nth sequence bilang en tending to infinity ay a)

Ang pag-aari ng isang sequence na magkaroon ng limitasyon ay tinatawag convergence: kung ang isang sequence ay may limitasyon, ang ibinigay na sequence ay sinasabing nagtatagpo; kung hindi (kung ang pagkakasunod-sunod ay walang limitasyon) ang pagkakasunod-sunod ay sinasabing diverges. Sa isang Hausdorff space, at sa partikular na isang metric space, ang bawat subsequence ng convergent sequence ay nagtatagpo, at ang limitasyon nito ay pareho sa limitasyon ng orihinal na sequence. Sa madaling salita, ang pagkakasunod-sunod ng mga elemento sa isang Hausdorff space ay hindi maaaring magkaroon ng dalawang magkaibang limitasyon. Maaaring, gayunpaman, lumabas na ang sequence ay walang limitasyon, ngunit mayroong isang subsequence (ng ibinigay na sequence) na may limitasyon. Kung ang anumang pagkakasunud-sunod ng mga punto sa isang espasyo ay may convergent na kasunod, kung gayon ang ibinigay na espasyo ay sinasabing may pag-aari ng sequential compactness (o, simple, compactness kung ang compactness ay eksklusibong tinukoy sa mga tuntunin ng mga sequence).

Ang konsepto ng limitasyon ng isang sequence ay direktang nauugnay sa konsepto ng isang limit point (set): kung ang isang set ay may limitasyon na punto, pagkatapos ay mayroong isang sequence ng mga elemento ng ibinigay na set na nagtatagpo sa ibinigay na punto.

Kahulugan

Hayaang magbigay ng topological space at isang sequence Pagkatapos, kung mayroong isang elementong ganoon

kung saan ay isang bukas na set na naglalaman ng , pagkatapos ito ay tinatawag na limitasyon ng sequence . Kung sukatan ang espasyo, maaaring tukuyin ang limitasyon gamit ang isang sukatan: kung mayroong elementong ganoon

kung saan ang sukatan, pagkatapos ay tinatawag na limitasyon.

· Kung ang isang espasyo ay nilagyan ng isang antidiscrete topology, kung gayon ang limitasyon ng anumang pagkakasunud-sunod ay anumang elemento ng espasyo.

6. Limitasyon ng isang function sa isang punto. Mga unilateral na limitasyon.

Function ng isang variable. Pagtukoy sa limitasyon ng isang function sa isang punto ayon sa Cauchy. Numero b ay tinatawag na limitasyon ng function sa = f(x) sa X nagsusumikap para sa a(o sa punto a) kung para sa anumang positibong numero  mayroong positibong numero  na para sa lahat ng x ≠ a, tulad na | x – a | < , выполняется неравенство
| f(x) – a | <  .

Pagtukoy sa limitasyon ng isang function sa isang punto ayon kay Heine. Numero b ay tinatawag na limitasyon ng function sa = f(x) sa X nagsusumikap para sa a(o sa punto a) kung para sa anumang pagkakasunod-sunod ( x n) nagtatagpo sa a(naghahangad na a, na may limitasyon sa bilang a), at para sa anumang halaga n x n≠ a, kasunod ( y n= f(x n)) nagtatagpo sa b.

Ipinapalagay ng mga kahulugang ito na ang function sa = f(x) ay tinukoy sa ilang kapitbahayan ng punto a, maliban marahil sa mismong punto a.

Ang mga kahulugan ng limitasyon ng isang function sa isang punto ayon kay Cauchy at ayon kay Heine ay katumbas: kung ang numero b nagsisilbing limitasyon sa isa sa kanila, at gayon din sa pangalawa.

Ang tinukoy na limitasyon ay ipinahiwatig tulad ng sumusunod:

Sa geometriko, ang pagkakaroon ng limitasyon ng isang function sa isang punto ayon sa Cauchy ay nangangahulugan na para sa anumang numero  > 0, ang naturang parihaba ay maaaring ipahiwatig sa coordinate plane na may base na 2 > 0, isang taas 2 at isang sentro sa punto ( a; b) na ang lahat ng mga punto ng graph ng function na ito sa pagitan ( a– ; a+ ), na may posibleng pagbubukod sa punto M(a; f(a)), humiga sa parihaba na ito

Isang panig na limitasyon sa mathematical analysis, ang limitasyon ng isang numerical function, na nagpapahiwatig ng "paglapit" sa limit point mula sa isang gilid. Ang nasabing mga limitasyon ay tinatawag ayon sa pagkakabanggit kaliwang limitasyon(o kaliwang limitasyon) at limitasyon sa kanang kamay (limitasyon sa kanan). Hayaang magbigay ng numerical function sa ilang hanay ng numero at ang numero ay ang limit point ng domain ng kahulugan. Mayroong iba't ibang mga kahulugan para sa mga one-sided na limitasyon ng isang function sa isang punto, ngunit lahat sila ay katumbas.

National Research University

Kagawaran ng Applied Geology

Sanaysay sa mas mataas na matematika

Sa paksa: "Mga pangunahing pag-andar sa elementarya,

kanilang mga katangian at mga graph"

Nakumpleto:

Sinuri:

guro

Kahulugan. Ang function na ibinigay ng formula y=a x (kung saan a>0, a≠1) ay tinatawag na exponential function na may base a.

Bumuo tayo ng mga pangunahing katangian ng exponential function:

1. Ang domain ng kahulugan ay ang set (R) ng lahat ng tunay na numero.

2. Ang hanay ng mga halaga ay ang set (R+) ng lahat ng positibong tunay na numero.

3. Kapag a > 1, tataas ang function sa buong totoong linya; sa 0<а<1 функция убывает.

4. Ay isang pangkalahatang function.

, sa pagitan ng xн [-3;3]
, sa pagitan ng xн [-3;3]

Ang isang function ng form na y(х)=х n , kung saan ang n ay ang numerong ОR, ay tinatawag na power function. Ang numero n ay maaaring tumagal sa iba't ibang mga halaga: parehong integer at fractional, parehong kahit at kakaiba. Depende dito, magkakaroon ng ibang anyo ang power function. Isaalang-alang ang mga espesyal na kaso na mga power function at sumasalamin sa mga pangunahing katangian ng ganitong uri ng mga curve sa sumusunod na pagkakasunud-sunod: power function y \u003d x² (isang function na may pantay na exponent - isang parabola), isang power function y \u003d x³ (isang function na may kakaibang exponent - isang cubic parabola) at function na y \u003d √ x (x sa kapangyarihan ng ½) (function na may fractional exponent), isang function na may negatibong integer exponent (hyperbola).

Pag-andar ng kapangyarihan y=x²

1. D(x)=R – ang function ay tinukoy sa buong numerical axis;

2. E(y)= at tumataas sa pagitan

Pag-andar ng kapangyarihan y=x³

1. Ang graph ng function na y \u003d x³ ay tinatawag na cubic parabola. Ang power function na y=x³ ay may mga sumusunod na katangian:

2. D(x)=R – ang function ay tinukoy sa buong numerical axis;

3. E(y)=(-∞;∞) – kinukuha ng function ang lahat ng values ​​sa domain ng definition nito;

4. Kapag x=0 y=0 – dumadaan ang function sa pinagmulang O(0;0).

5. Tumataas ang function sa buong domain ng kahulugan.

6. Ang function ay kakaiba (symmetric tungkol sa pinagmulan).

, sa pagitan ng xн [-3;3]

Depende sa numerical factor sa harap ng x³, ang function ay maaaring maging matarik / flat at tumaas / bumaba.

Power function na may integer negative exponent:

Kung ang exponent n ay kakaiba, kung gayon ang graph ng naturang power function ay tinatawag na hyperbola. Ang power function na may negatibong integer exponent ay may mga sumusunod na katangian:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) para sa anumang n;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞) kung ang n ay isang kakaibang numero; E(y)=(0;∞) kung ang n ay isang even na numero;

3. Bumababa ang function sa buong domain ng kahulugan kung ang n ay isang kakaibang numero; ang function ay tumataas sa pagitan (-∞;0) at bumababa sa pagitan (0;∞) kung n ay isang even na numero.

4. Ang function ay kakaiba (simetriko tungkol sa pinagmulan) kung ang n ay isang kakaibang numero; ang isang function ay kahit na ang n ay isang even na numero.

5. Ang function ay dumadaan sa mga puntos (1;1) at (-1;-1) kung ang n ay isang kakaibang numero at sa pamamagitan ng mga puntos (1;1) at (-1;1) kung ang n ay isang even na numero.

, sa pagitan ng xн [-3;3]

Power function na may fractional exponent

Ang power function na may fractional exponent ng form (larawan) ay may graph ng function na ipinapakita sa figure. Ang power function na may fractional exponent ay may mga sumusunod na katangian: (larawan)

1. D(x) нR kung ang n ay isang kakaibang numero at D(x)=
, sa pagitan ng xн
, sa pagitan ng xн [-3;3]

Ang logarithmic function na y \u003d log a x ay may mga sumusunod na katangian:

1. Domain ng kahulugan D(x)н (0; + ∞).

2. Saklaw ng mga halaga E(y) О (- ∞; + ∞)

3. Ang function ay hindi kahit na o kakaiba (pangkalahatan).

4. Tumataas ang function sa pagitan (0; + ∞) para sa isang > 1, bumababa sa (0; + ∞) para sa 0< а < 1.

Ang graph ng function na y = log a x ay maaaring makuha mula sa graph ng function na y = a x gamit ang isang symmetry transformation tungkol sa linyang y = x. Sa Figure 9, ang isang plot ng logarithmic function para sa isang > 1 ay naka-plot, at sa Figure 10 - para sa 0< a < 1.

; sa pagitan xО
; sa pagitan xО

Ang mga function na y \u003d sin x, y \u003d cos x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x ay tinatawag na trigonometric functions.

Ang mga function y \u003d sin x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x ay kakaiba, at ang function na y \u003d cos x ay even.

Function y \u003d sin (x).

1. Domain ng kahulugan D(x) ОR.

2. Saklaw ng mga halaga E(y) О [ - 1; isa].

3. Ang function ay panaka-nakang; ang pangunahing panahon ay 2π.

4. Ang function ay kakaiba.

5. Tumataas ang function sa mga pagitan [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] at bumababa sa mga pagitan [ π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.

Ang graph ng function na y \u003d sin (x) ay ipinapakita sa Figure 11.