Graphical na solusyon ng isang quadratic equation Upang pagsama-samahin ang kakayahang bumuo ng mga graph ng iba't ibang mga function; Upang mabuo ang kakayahang lutasin ang mga quadratic equation sa graphical na paraan. Proyekto sa paksang "Pagbabago ng mga graph ng isang function"

Graphical na solusyon ng isang quadratic equation Upang pagsama-samahin ang kakayahang bumuo ng mga graph ng iba't ibang mga function; Upang mabuo ang kakayahang lutasin ang mga quadratic equation sa graphical na paraan. Brdsk 2009 Municipal educational institution - Economic Lyceum Generalizing lesson sa paksang "Quadratic function", algebra grade 8 teacher Fedoseeva T.M.

Pag-plot ng quadratic function Tukuyin ang direksyon ng mga sanga: a>0 sanga pataas; a 0 sanga pataas; a"> 0 sanga pataas; a"> 0 sanga pataas; a" title="(!LANG:Pag-plot ng quadratic function Tukuyin ang direksyon ng branch: a>0 branches up; a"> title="Pag-plot ng quadratic function Tukuyin ang direksyon ng mga sanga: a>0 sanga pataas; a"> !}

0 sanga ay nakadirekta paitaas; 2) vertex y o \u003d y (1) \u003d 1-2-3 \u003d -4 A (1; -4) x \u003d 1 - ang axis ng parabola Control point: (0: -3), (3 ; 0) at simetriko sa kanila tungkol sa x-axis = 1 Bumubuo kami ng parabola. Hanapin ang puntong "title="(!LANG: Bumuo tayo ng graph ng function na y=x 2 -2x-3 gamit ang algorithm: 1) a=1>0 ang mga sanga ay nakadirekta pataas; 2) vertex y o \u003d y (1) \u003d 1-2-3 \u003d -4 A (1; -4) x \u003d 1 - ang axis ng parabola Control point: (0: -3), (3 ; 0) at simetriko sa kanila tungkol sa x-axis = 1 Bumubuo kami ng parabola. Paghanap ng punto" class="link_thumb"> 3 !} Bumuo tayo ng graph ng function na y=x 2 -2x-3 gamit ang algorithm: 1) a=1>0 na mga sanga ay nakadirekta pataas; 2) vertex y o \u003d y (1) \u003d 1-2-3 \u003d -4 A (1; -4) x \u003d 1 - ang axis ng parabola Control point: (0: -3), (3 ; 0) at simetriko sa kanila tungkol sa x-axis = 1 Bumubuo kami ng parabola. Nahanap namin ang mga punto ng intersection sa axis ng OX: x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 1 paraan upang malutas ang equation x 2 -2x-3 \u003d 0 y x Solve ang equation x 2 +2x-3 \u003d 0 0 sanga ay nakadirekta paitaas; 2) vertex y o \u003d y (1) \u003d 1-2-3 \u003d -4 A (1; -4) x \u003d 1 - ang axis ng parabola Control points: (0: -3), (3 ; 0) at simetriko sa kanila tungkol sa x-axis = 1 Bumubuo kami ng parabola. Nahanap namin ang punto "\u003e 0 ang mga sanga ay nakadirekta paitaas; 2) ang tuktok y o \u003d y (1) \u003d 1-2-3 \u003d -4 A (1; -4) x \u003d 1 - ang axis ng parabola Control point: (0: -3) , (3; 0) at simetriko tungkol sa x = 1 axis Bumubuo kami ng parabola.Hanapin ang mga punto ng intersection sa OX axis: x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 1 paraan upang malutas ang equation x 2 -2x-3 \u003d 0 y x 0 1 - 4 23 Solve ang equation x 2 + 2x-3 \u003d 0 "\u003e 0 sanga ay nakadirekta paitaas; 2) vertex y o \u003d y (1) \u003d 1-2-3 \u003d -4 A (1; -4) x \u003d 1 - ang axis ng parabola Control points: (0: -3), (3 ; 0) at simetriko sa kanila tungkol sa x-axis = 1 Bumubuo kami ng parabola. Hanapin ang puntong "title="(!LANG: Bumuo tayo ng graph ng function na y=x 2 -2x-3 gamit ang algorithm: 1) a=1>0 ang mga sanga ay nakadirekta pataas; 2) vertex y o \u003d y (1) \u003d 1-2-3 \u003d -4 A (1; -4) x \u003d 1 - ang axis ng parabola Control points: (0: -3), (3 ; 0) at simetriko sa kanila tungkol sa x-axis = 1 Bumubuo kami ng parabola. Paghanap ng punto"> title="Bumuo tayo ng graph ng function na y=x 2 -2x-3 gamit ang algorithm: 1) a=1>0 na mga sanga ay nakadirekta pataas; 2) vertex y o \u003d y (1) \u003d 1-2-3 \u003d -4 A (1; -4) x \u003d 1 - ang axis ng parabola Control points: (0: -3), (3 ; 0) at simetriko sa kanila tungkol sa x-axis = 1 Bumubuo kami ng parabola. Paghanap ng punto"> !}

Ang pangalawang paraan: a). Hatiin natin ang equation x 2 -2x-3=0 sa mga bahagi x 2 = 2x+3 Isulat natin ang dalawang function y= x 2 ; y \u003d 2x + 3 Bumubuo kami ng mga graph ng mga function na ito sa isang coordinate system. Ang abscissas ng mga intersection point ay ang mga ugat ng equation. 0 1 x y Lutasin ang equation x 2 +2x-3=0

Ang ikatlong paraan: x 2 -3 \u003d 2x y \u003d x 2 -3; y=2x Bumubuo kami ng mga graph ng mga function na ito sa isang coordinate system. Ang abscissas ng mga intersection point ay ang mga ugat ng equation. 0 1 x y Lutasin ang equation x 2 +2x-3=0

Graphical na solusyon ng mga equation

Kaarawan, 2009

Panimula

Ang pangangailangang lutasin ang mga quadratic equation noong sinaunang panahon ay dulot ng pangangailangang lutasin ang mga problemang may kaugnayan sa paghahanap ng mga lugar ng lupain at mga gawaing lupa ng kalikasang militar, gayundin ang pag-unlad ng astronomiya at matematika mismo. Alam ng mga Babylonians kung paano lutasin ang mga quadratic equation para sa mga 2000 BC. Ang tuntunin para sa paglutas ng mga equation na ito, na nakasaad sa mga teksto ng Babylonian, ay talagang kasabay ng mga makabago, ngunit hindi alam kung paano napunta ang mga Babylonians sa panuntunang ito.

Ang mga formula para sa paglutas ng mga quadratic equation sa Europe ay unang itinakda sa Book of the Abacus, na isinulat noong 1202 ng Italian mathematician na si Leonardo Fibonacci. Ang kanyang libro ay nag-ambag sa paglaganap ng algebraic na kaalaman hindi lamang sa Italya, kundi pati na rin sa Alemanya, Pransya at iba pang mga bansa sa Europa.

Ngunit ang pangkalahatang tuntunin para sa paglutas ng mga quadratic equation, kasama ang lahat ng posibleng kumbinasyon ng mga coefficient b at c, ay binuo sa Europa lamang noong 1544 ni M. Stiefel.

Noong 1591 François Viet ipinakilala ang mga formula para sa paglutas ng mga quadratic equation.

Ang ilang mga uri ng quadratic equation ay maaaring malutas sa sinaunang Babylon.

Diophantus ng Alexandria at Euclid , Al-Khawarizmi at Omar Khayyam nalutas ang mga equation sa geometric at graphical na paraan.

Sa ika-7 baitang pinag-aralan namin ang mga function y \u003d C, y= kx , y = kx + m , y = x 2 ,y = - x 2 , sa ika-8 baitang - y = √ x , y = |x |, y= palakol 2 + bx + c , y = k / x. Sa 9th grade algebra textbook, nakakita ako ng mga function na hindi ko pa alam: y= x 3 , y= x 4 ,y= x 2 n , y= x - 2 n , y= 3 √x , ( x – a ) 2 + (y - b ) 2 = r 2 at iba pa. May mga panuntunan para sa pagbuo ng mga graph ng mga function na ito. Iniisip ko kung may iba pang function na sumusunod sa mga patakarang ito.

Ang aking trabaho ay pag-aralan ang mga graph ng mga function at lutasin ang mga equation nang grapiko.

1. Ano ang mga function

Ang graph ng isang function ay ang hanay ng lahat ng mga punto ng coordinate plane, ang abscissas kung saan ay katumbas ng mga halaga ng mga argumento, at ang mga ordinate ay katumbas ng kaukulang mga halaga ng function.

Ang linear function ay ibinibigay ng equation y= kx + b, saan k at b- ilang mga numero. Ang graph ng function na ito ay isang tuwid na linya.

Inverse Proportional Function y= k / x, kung saan k¹ 0. Ang graph ng function na ito ay tinatawag na hyperbola.

Function ( x – a ) 2 + (y – b ) 2 = r 2 , saan a , b at r- ilang mga numero. Ang graph ng function na ito ay isang bilog ng radius r na nakasentro sa punto A ( a , b).

quadratic function y = palakol 2 + bx + c saan a, b , kasama ang- ilang mga numero at a¹ 0. Ang graph ng function na ito ay isang parabola.

Ang equation y 2 ( a – x ) = x 2 ( a + x ) . Ang graph ng equation na ito ay magiging isang curve na tinatawag na strophoid.

Ang equation ( x 2 + y 2 ) 2 = a ( x 2 – y 2 ) . Ang graph ng equation na ito ay tinatawag na Bernoulli lemniscate.

Ang equation. Ang graph ng equation na ito ay tinatawag na astroid.

Kurba (x 2 y 2 - 2 a x) 2 \u003d 4 a 2 (x 2 + y 2). Ang kurba na ito ay tinatawag na cardioid.

Mga function: y= x 3 - kubiko parabola, y= x 4 , y = 1/ x 2 .

2. Ang konsepto ng isang equation, ang graphical na solusyon nito

Ang equation ay isang expression na naglalaman ng variable.

lutasin ang equation- nangangahulugan ito ng paghahanap ng lahat ng pinagmulan nito, o pagpapatunay na hindi sila umiiral.

Root ng equation ay isang numero na, kapag ipinalit sa equation, ay gumagawa ng tamang pagkakapantay-pantay ng numero.

Paglutas ng mga Equation nang Grapiko nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang eksaktong o tinatayang halaga ng mga ugat, nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang bilang ng mga ugat ng equation.

Kapag nagpaplano ng mga graph at paglutas ng mga equation, ang mga katangian ng isang function ay ginagamit, kaya ang pamamaraan ay madalas na tinatawag na functional-graphic.

Upang malutas ang equation, "hatiin" namin ito sa dalawang bahagi, ipinakilala ang dalawang function, bumuo ng kanilang mga graph, hanapin ang mga coordinate ng mga intersection point ng mga graph. Ang abscissas ng mga puntong ito ay ang mga ugat ng equation.

3. Algorithm para sa pagbuo ng isang graph ng isang function

Pag-alam sa graph ng function y= f ( x ) , maaari kang mag-plot ng mga function y= f ( x + m ) ,y= f ( x )+ l at y= f ( x + m )+ l. Ang lahat ng mga graph na ito ay nakuha mula sa graph ng function y= f ( x ) gamit ang parallel translation transformation: on │ m │ scale unit sa kanan o kaliwa sa kahabaan ng x-axis at sa │ l │ scale unit pataas o pababa sa kahabaan ng axis y .

4. Graphical na solusyon ng quadratic equation

Gamit ang halimbawa ng isang quadratic function, isasaalang-alang namin ang isang graphical na solusyon ng isang quadratic equation. Ang graph ng isang quadratic function ay isang parabola.

Ano ang alam ng mga sinaunang Griyego tungkol sa parabola?

Ang makabagong simbolismong matematikal ay nagmula noong ika-16 na siglo.

Ang mga sinaunang Greek mathematician ay walang coordinate method o konsepto ng isang function. Gayunpaman, ang mga katangian ng parabola ay pinag-aralan nila nang detalyado. Ang pagiging mapag-imbento ng mga sinaunang mathematician ay kahanga-hanga lamang, dahil maaari lamang silang gumamit ng mga guhit at pandiwang paglalarawan ng mga dependency.

Karamihan sa ganap na ginalugad ang parabola, hyperbola at ellipse Apollonius ng Perga, na nabuhay noong ika-3 siglo BC. Binigyan din niya ng mga pangalan ang mga kurbadang ito at ipinahiwatig kung anong mga kundisyon ang natutugunan ng mga puntong nakahiga sa isang partikular na kurba (pagkatapos ng lahat, walang mga formula!).

Mayroong isang algorithm para sa pagbuo ng isang parabola:

Nahanap namin ang mga coordinate ng vertex ng parabola A (x 0; y 0): x 0 =- b /2 a ;

Y 0 \u003d palakol tungkol sa 2 + sa 0 + c;

Nahanap namin ang axis ng simetrya ng parabola (tuwid na linya x \u003d x 0);

Pag-compile ng isang talahanayan ng mga halaga para sa pagbuo ng mga control point;

Binubuo namin ang nakuha na mga puntos at itinayo ang mga puntos na simetriko sa kanila na may paggalang sa axis ng simetrya.

1. Bumuo tayo ng parabola ayon sa algorithm y = x 2 – 2 x – 3 . Abscissas ng mga punto ng intersection sa axis x at ang mga ugat ng quadratic equation x 2 – 2 x – 3 = 0.

Mayroong limang paraan upang graphical na malutas ang equation na ito.

2. Hatiin natin ang equation sa dalawang function: y = x 2 at y = 2 x + 3

3. Hatiin natin ang equation sa dalawang function: y = x 2 –3 at y =2 x. Ang mga ugat ng equation ay ang abscissas ng mga punto ng intersection ng parabola sa linya.

4. Ibahin ang anyo ng equation x 2 – 2 x – 3 = 0 sa pamamagitan ng pagpili ng buong parisukat sa function: y = ( x –1) 2 at y =4. Ang mga ugat ng equation ay ang abscissas ng mga punto ng intersection ng parabola sa linya.

5. Hinahati namin ang term sa termino sa parehong bahagi ng equation x 2 – 2 x – 3 = 0 sa x, nakukuha namin x – 2 – 3/ x = 0 Hatiin natin ang equation na ito sa dalawang function: y = x – 2, y = 3/ x . Ang mga ugat ng equation ay ang abscissas ng mga punto ng intersection ng linya at ang hyperbola.

5. Graphical na solusyon ng mga degree equation n

Halimbawa 1 lutasin ang equation x 5 = 3 – 2 x .

y = x 5 , y = 3 – 2 x .

Sagot: x = 1.

Halimbawa 2 lutasin ang equation 3 √ x = 10 – x .

Ang mga ugat ng equation na ito ay ang abscissa ng intersection point ng mga graph ng dalawang function: y = 3 √ x , y = 10 – x .

Sagot: x=8.

Konklusyon

Isinasaalang-alang ang mga function graph: y= palakol 2 + bx + c , y = k / x , y = √ x , y = |x |, y= x 3 , y= x 4 ,y= 3 √x , Napansin ko na ang lahat ng mga graph na ito ay binuo ayon sa panuntunan ng parallel na pagsasalin na may kaugnayan sa mga axes x at y .

Gamit ang halimbawa ng paglutas ng isang quadratic equation, maaari nating tapusin na ang graphical na paraan ay naaangkop din sa mga equation ng degree n.

Ang mga graphical na pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ay maganda at naiintindihan, ngunit hindi sila nagbibigay ng 100% na garantiya ng paglutas ng anumang equation. Ang mga abscissas ng mga intersection point ng mga graph ay maaaring tantiyahin.

Sa ika-9 na baitang at sa mga senior na klase, makikilala ko pa rin ang iba pang mga tungkulin. Interesado akong malaman kung ang mga function na iyon ay sumusunod sa mga alituntunin ng parallel translation kapag inilalagay ang kanilang mga graph.

Sa susunod na taon gusto ko ring isaalang-alang ang mga isyu ng graphical na solusyon ng mga sistema ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay.

Panitikan

1. Algebra. ika-7 baitang. Bahagi 1. Teksbuk para sa mga institusyong pang-edukasyon / A.G. Mordkovich. Moscow: Mnemosyne, 2007.

2. Algebra. ika-8 baitang. Bahagi 1. Teksbuk para sa mga institusyong pang-edukasyon / A.G. Mordkovich. Moscow: Mnemosyne, 2007.

3. Algebra. Baitang 9 Bahagi 1. Teksbuk para sa mga institusyong pang-edukasyon / A.G. Mordkovich. Moscow: Mnemosyne, 2007.

4. Glazer G.I. Kasaysayan ng matematika sa paaralan. VII-VIII na mga klase. – M.: Enlightenment, 1982.

5. Journal Mathematics №5 2009; 8 2007; No. 23 2008.

6. Graphic na solusyon ng mga equation na mga site sa Internet: Tol WIKI; stimul.biz/en; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; pege 3–6.htm.

Graphical na solusyon ng mga equation

Kaarawan, 2009

Panimula

Ngunit ang pangkalahatang tuntunin para sa paglutas ng mga quadratic equation, kasama ang lahat ng posibleng kumbinasyon ng mga coefficient b at c, ay binuo sa Europa lamang noong 1544 ni M. Stiefel.

Noong 1591 François Viet ipinakilala ang mga formula para sa paglutas ng mga quadratic equation.

Ang ilang mga uri ng quadratic equation ay maaaring malutas sa sinaunang Babylon.

Diophantus ng Alexandria at Euclid, Al-Khawarizmi at Omar Khayyam nalutas ang mga equation sa geometric at graphical na paraan.

Sa ika-7 baitang pinag-aralan namin ang mga function y \u003d C, y=kx, y =kx+ m, y =x 2,y = -x 2, sa ika-8 baitang - y = √x, y =|x|, y=palakol2 + bx+ c, y =k/ x. Sa 9th grade algebra textbook, nakakita ako ng mga function na hindi ko pa alam: y=x 3, y=x 4,y=x 2n, y=x- 2n, y= 3√x, (x– a) 2 + (y -b) 2 = r 2 at iba pa. May mga panuntunan para sa pagbuo ng mga graph ng mga function na ito. Iniisip ko kung may iba pang function na sumusunod sa mga patakarang ito.

Ang aking trabaho ay pag-aralan ang mga graph ng mga function at lutasin ang mga equation nang grapiko.

1. Ano ang mga tungkulin

Ang linear function ay ibinibigay ng equation y=kx+ b, saan k at b- ilang mga numero. Ang graph ng function na ito ay isang tuwid na linya.

Inverse Proportional Function y=k/ x, kung saan k ¹ 0. Ang graph ng function na ito ay tinatawag na hyperbola.

Function (x– a) 2 + (y -b) 2 = r2 , saan a, b at r- ilang mga numero. Ang graph ng function na ito ay isang bilog ng radius r na nakasentro sa punto A ( a, b).

quadratic function y= palakol2 + bx+ c saan a,b, kasama ang- ilang mga numero at a¹ 0. Ang graph ng function na ito ay isang parabola.

Ang equation sa2 (a– x) = x2 (a+ x) . Ang graph ng equation na ito ay magiging isang curve na tinatawag na strophoid.

/>Equation (x2 + y2 ) 2 = a(x2 – y2 ) . Ang graph ng equation na ito ay tinatawag na Bernoulli lemniscate.

Ang equation. Ang graph ng equation na ito ay tinatawag na astroid.

Kurba (x2 y2 – 2 a x)2 =4 a2 (x2 +y2 ) . Ang kurba na ito ay tinatawag na cardioid.

Mga function: y=x 3 - kubiko parabola, y=x 4, y = 1/x 2.

2. Ang konsepto ng isang equation, ang graphical na solusyon nito

Ang equation ay isang expression na naglalaman ng variable.

lutasin ang equation- nangangahulugan ito ng paghahanap ng lahat ng pinagmulan nito, o pagpapatunay na hindi sila umiiral.

Root ng equation ay isang numero na, kapag ipinalit sa equation, ay gumagawa ng tamang pagkakapantay-pantay ng numero.

Paglutas ng mga Equation nang Grapiko nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang eksaktong o tinatayang halaga ng mga ugat, nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang bilang ng mga ugat ng equation.

Kapag nagpaplano ng mga graph at paglutas ng mga equation, ang mga katangian ng isang function ay ginagamit, kaya ang pamamaraan ay madalas na tinatawag na functional-graphic.

3. Algorithm para sa pagbuo ng isang graph ng isang function

Pag-alam sa graph ng function y=f(x) , maaari kang mag-plot ng mga function y=f(x+ m) ,y=f(x)+ l at y=f(x+ m)+ l. Ang lahat ng mga graph na ito ay nakuha mula sa graph ng function y=f(x) gamit ang parallel translation transformation: on │ m│ scale unit sa kanan o kaliwa sa kahabaan ng x-axis at sa │ l│ scale unit pataas o pababa sa kahabaan ng axis y.

4. Graphical na solusyon ng quadratic equation

Gamit ang halimbawa ng isang quadratic function, isasaalang-alang namin ang isang graphical na solusyon ng isang quadratic equation. Ang graph ng isang quadratic function ay isang parabola.

Ano ang alam ng mga sinaunang Griyego tungkol sa parabola?

Ang makabagong simbolismong matematikal ay nagmula noong ika-16 na siglo.

Mayroong isang algorithm para sa pagbuo ng isang parabola:

Hanapin ang mga coordinate ng vertex ng parabola A (x0; y0): X=- b/2 a;

y0=aho2+in0+s;

Hanapin ang axis ng symmetry ng parabola (tuwid na linya x=x0);

PAGE_BREAK--

Pag-compile ng isang talahanayan ng mga halaga para sa pagbuo ng mga control point;

Binubuo namin ang nakuha na mga puntos at itinayo ang mga puntos na simetriko sa kanila na may paggalang sa axis ng simetrya.

1. Bumuo tayo ng parabola ayon sa algorithm y= x2 – 2 x– 3 . Abscissas ng mga punto ng intersection sa axis x at ang mga ugat ng quadratic equation x2 – 2 x– 3 = 0.

Mayroong limang paraan upang graphical na malutas ang equation na ito.

2. Hatiin natin ang equation sa dalawang function: y= x2 at y= 2 x+ 3

3. Hatiin natin ang equation sa dalawang function: y= x2 –3 at y=2 x. Ang mga ugat ng equation ay ang abscissas ng mga punto ng intersection ng parabola sa linya.

4. Ibahin ang anyo ng equation x2 – 2 x– 3 = 0 sa pamamagitan ng pagpili ng buong parisukat sa function: y= (x–1) 2 at y=4. Ang mga ugat ng equation ay ang abscissas ng mga punto ng intersection ng parabola sa linya.

5. Hinahati namin ang term sa termino sa parehong bahagi ng equation x2 – 2 x– 3 = 0 sa x, nakukuha namin x– 2 – 3/ x= 0 Hatiin natin ang equation na ito sa dalawang function: y= x– 2, y= 3/ x. Ang mga ugat ng equation ay ang abscissas ng mga punto ng intersection ng linya at ang hyperbola.

5. Graphical na solusyon ng mga degree equationn

Halimbawa 1 lutasin ang equation x5 = 3 – 2 x.

y= x5 , y= 3 – 2 x.

Sagot: x = 1.

Halimbawa 2 lutasin ang equation 3 √ x= 10 – x.

Ang mga ugat ng equation na ito ay ang abscissa ng intersection point ng mga graph ng dalawang function: y= 3 √ x, y= 10 – x.

Sagot: x=8.

Konklusyon

Isinasaalang-alang ang mga function graph: y=palakol2 + bx+ c, y =k/ x, y = √x, y =|x|, y=x 3, y=x 4,y= 3√x, Napansin ko na ang lahat ng mga graph na ito ay binuo ayon sa panuntunan ng parallel na pagsasalin na may kaugnayan sa mga axes x at y.

Gamit ang halimbawa ng paglutas ng isang quadratic equation, maaari nating tapusin na ang graphical na paraan ay naaangkop din sa mga equation ng degree n.

Sa susunod na taon gusto ko ring isaalang-alang ang mga isyu ng graphical na solusyon ng mga sistema ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay.

Panitikan

1. Algebra. ika-7 baitang. Bahagi 1. Teksbuk para sa mga institusyong pang-edukasyon / A.G. Mordkovich. Moscow: Mnemosyne, 2007.

2. Algebra. ika-8 baitang. Bahagi 1. Teksbuk para sa mga institusyong pang-edukasyon / A.G. Mordkovich. Moscow: Mnemosyne, 2007.

3. Algebra. Baitang 9 Bahagi 1. Teksbuk para sa mga institusyong pang-edukasyon / A.G. Mordkovich. Moscow: Mnemosyne, 2007.

4. Glazer G.I. Kasaysayan ng matematika sa paaralan. VII-VIII na mga klase. – M.: Enlightenment, 1982.

5. Journal Mathematics №5 2009; 8 2007; No. 23 2008.

6. Graphic na solusyon ng mga equation na mga site sa Internet: Tol WIKI; stimul.biz/en; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; pege 3–6.htm.

Sa araling video na ito, ang paksang "Function y \u003d x 2. Graphical na solusyon ng mga equation. Sa araling ito, makikilala ng mga mag-aaral ang isang bagong paraan ng paglutas ng mga equation - graphical, na batay sa kaalaman sa mga katangian ng mga function graph. Ipapakita sa iyo ng guro kung paano graphical na lutasin ang function na y=x 2 .

Paksa:Function

Aralin:Function. Graphical na solusyon ng mga equation

Ang graphical na solusyon ng mga equation ay batay sa kaalaman ng mga function graph at ang kanilang mga katangian. Inililista namin ang mga function na alam namin ang mga graph:

1), ang graph ay isang tuwid na linya na kahanay ng x-axis, na dumadaan sa isang punto sa y-axis. Isaalang-alang ang isang halimbawa: y=1:

Para sa iba't ibang mga halaga, nakakakuha kami ng isang pamilya ng mga tuwid na linya na kahanay sa x-axis.

2) Direct proportionality function Ang graph ng function na ito ay isang tuwid na linya na dumadaan sa pinanggalingan. Isaalang-alang ang isang halimbawa:

Nagawa na namin ang mga graph na ito sa mga nakaraang aralin, alalahanin na upang mabuo ang bawat linya, kailangan mong pumili ng isang punto na nakakatugon dito, at kunin ang pinagmulan bilang pangalawang punto.

Alalahanin ang papel ng coefficient k: habang tumataas ang function, ang anggulo sa pagitan ng tuwid na linya at ang positibong direksyon ng x-axis ay talamak; kapag bumababa ang function, ang anggulo sa pagitan ng tuwid na linya at ang positibong direksyon ng x-axis ay mahina. Bilang karagdagan, mayroong sumusunod na ugnayan sa pagitan ng dalawang mga parameter k ng parehong tanda: para sa positibong k, mas malaki ito, mas mabilis ang pagtaas ng function, at para sa mga negatibo, mas mabilis na bumababa ang function para sa malalaking halaga ng k modulo.

3) Linear function. Kailan - nakukuha natin ang punto ng intersection sa y-axis at lahat ng linya ng ganitong uri ay dumadaan sa punto (0; m). Bilang karagdagan, habang tumataas ang function, ang anggulo sa pagitan ng linya at ang positibong direksyon ng x-axis ay talamak; kapag bumababa ang function, ang anggulo sa pagitan ng tuwid na linya at ang positibong direksyon ng x-axis ay mahina. At siyempre, ang halaga ng k ay nakakaapekto sa rate ng pagbabago ng halaga ng function.

4). Ang graph ng function na ito ay isang parabola.

Isaalang-alang ang mga halimbawa.

Halimbawa 1 - graphical na lutasin ang equation:

Hindi namin alam ang mga function ng ganitong uri, kaya kailangan naming baguhin ang ibinigay na equation upang gumana sa mga kilalang function:

Nakakuha kami ng mga pamilyar na function sa parehong bahagi ng equation:

Bumuo tayo ng mga graph ng mga function:

Ang mga graph ay may dalawang intersection point: (-1; 1); (2; 4)

Suriin natin kung ang solusyon ay natagpuan nang tama, palitan ang mga coordinate sa equation:

Ang unang punto ay matatagpuan nang tama.

, , , , , ,

Ang pangalawang punto ay matatagpuan din nang tama.

Kaya, ang mga solusyon ng equation ay at

Gumaganap kami nang katulad sa nakaraang halimbawa: binabago namin ang ibinigay na equation sa mga function na kilala sa amin, i-plot ang kanilang mga graph, hanapin ang mga intersection currents, at mula dito ipinapahiwatig namin ang mga solusyon.

Kumuha kami ng dalawang pag-andar:

Bumuo tayo ng mga graph:

Ang mga graph na ito ay walang mga intersection point, na nangangahulugan na ang ibinigay na equation ay walang mga solusyon

Konklusyon: sa araling ito, sinuri namin ang mga function na kilala sa amin at ang kanilang mga graph, naalala ang kanilang mga katangian at isinasaalang-alang ang isang graphical na paraan upang malutas ang mga equation.

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et al. Algebra 7. Ika-6 na edisyon. M.: Enlightenment. 2010

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. at iba pa.Algebra 7 .M .: Edukasyon. 2006

Gawain 1: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. et al. Algebra 7, blg. 494, p. 110;

Gawain 2: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. at iba pa Algebra 7, No. 495, aytem 110;

Gawain 3: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. et al. Algebra 7, blg. 496, p. 110;

DAGESTAN INSTITUTE FOR PROFESSIONAL DEVELOPMENT

PEDAGOGICAL STAFF

DEPARTMENT OF PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION AND ICT

Proyekto

Naaayon sa paksa:

« Konstruksyon at p mga reporma

mga function graph

sa matematika ng paaralan »

Rabadanova P.A.

guro sa matematika

MBOU "Kochubey secondary school"

distrito ng Tarumovsky

2015

1. Panimula………………………………………………………………….3

2. Kabanata ako. Pagsusuri ng panitikan sa paksa ng proyekto………………………………………….5

3. Kabanata II. Empirical na bahagi:

3.1. Pangunahing pamamaraan para sa pag-convert ng mga function graph...........7

3.2. Nagpaplano ng pantayatkakaibang pag-andar…………………… 10

3.3. Pag-plot ng inverse function………………………………………… 11

3.4. Deformation (compression at tension) ng mga graph………………….12

3.5 Kumbinasyon ng paglilipat, pagmuni-muni at pagpapapangit………………….13

4. Mga gawain para sa independiyenteng solusyon…………………………………..14

5. Konklusyon…………………………………………………………………………15

6. Mga Konklusyon……………………………………………………………………………………17

PANIMULA

Ang pagbabago ng mga function graph ay isa sa mga pangunahing konsepto ng matematika na direktang nauugnay sa mga praktikal na aktibidad. Ang mga graph ay sumasalamin sa pagkakaiba-iba at dynamism ng totoong mundo, ang magkaparehong relasyon ng mga tunay na bagay at phenomena.

Ang functional line ay ang pangunahing paksa na sakop sa Basic at Pinag-isang State Examinations.Gayundin, maraming mga konsepto sa matematika ang isinasaalang-alang ng mga graphical na pamamaraan. Halimbawa, saparisukatang pagpapaandar ay ipinakilala at pinag-aralan na may malapit na koneksyon sa mga quadratic equation at hindi pagkakapantay-pantay.Kaya naman sinusunod iyonpagtuturo sa mga mag-aaral kung paano bumuo at mag-transform ng mga graph ng isang function ay isa sa mga pangunahing gawain ng pagtuturo ng matematika sa paaralan.

Ginagawang posible ng pag-aaral ng function na mahanap ang tungkol sadomain ng kahulugan at saklaw ng function, saklawPagbaba o pagtaas ng mga rate, asymptotes, agwatmag-sign constancy, atbp. Gayunpaman, upang bumuo ng isang graphkov maraming mga function ay maaaring maginggumamit ng ilang pamamaraangawing mas madaligusali. Samakatuwid, ang mga mag-aaral ay dapat magkaroon ng kakayahan na bumuo ng mga graph ayon sa pamamaraang pamamaraan.

Tinutukoy ng nasa itaaskaugnayan mga paksa ng pananaliksik.

Layunin ng pag-aaral ay ang pag-aaral ng pagbabago ng functional line graphs sa matematika ng paaralan.

Paksa ng pag-aaral - ang proseso ng pagbuo at pagbabago ng mga function graph sa isang sekondaryang paaralan.

Layunin ng pag-aaral: pang-edukasyon - binubuo sa pagtukoy ng pamamaraang pamamaraan para sa pagbuo at pag-convert ng mga graph ng isang function;umuunlad - pagbuo ng abstract, algorithmic, lohikal na pag-iisip, spatial na imahinasyon;pang-edukasyon - edukasyon ng graphic na kultura ng mga mag-aaral, ang pagbuo ng mga kasanayan sa pag-iisip.

Ang mga layunin ay humantong sa desisyon ng mga sumusunodmga gawain:

1. Suriin ang pang-edukasyon at metodolohikal sa problemang pinag-aaralan.

2. Tukuyin ang mga pamamaraang pamamaraanpagbabago ng mga function graph sa kursong paaralan ng matematika.

3. Piliin ang pinakamabisang paraan at paraanpagbuo at pagbabago ng mga function graph sa isang sekondaryang paaralannag-aambag sa: makabuluhang asimilasyon ng materyal na pang-edukasyon; pagtaas ng aktibidad ng nagbibigay-malay ng mga mag-aaral; pag-unlad ng kanilang mga malikhaing kakayahan.

HIPOTESIS pananaliksik: ang pagbuo ng mga graphic na kasanayan sa proseso ng pag-aaral ng mga function at ang edukasyon ng graphic na kultura ng mga mag-aaral ay epektibo kung ang mga mag-aaral ay may pamamaraang pamamaraan para sa pagbuo at pagbabago ng mga function graph sa isang kurso sa matematika ng paaralan.

KABANATA ako . REVIEW NG LITERATURA SA PAKSA NG PROYEKTO.

Bilang paghahanda para sa proyekto, pinag-aralan namin ang sumusunod na literatura:

Sivashinsky, I. Kh. Theorems at mga problema sa algebra, elementarya function - M., 2002. - 115 p.

Gelfand, I. M., Glagoleva, E. G., Shnol, E. E. Mga function at graph (pangunahing diskarte) - M., 1985. - 120 s

V.Z.Zaitsev, V.V. Ryzhkov, M.I. Scanavi. Elementarya Mathematics - M., 2010 (reissue). - 590 p.

Kuzmin, M. K. Konstruksyon ng isang graph ng isang function - J. Mathematics sa paaralan. - 2003. - Hindi. 5. - S. 61-62.

Shilov G.E. Paano bumuo ng mga tsart? - M., 1982.

Isaac Tanatar. Mga pagbabagong geometriko ng mga graph ng mga function - MTsNMO, 2012

ATNabanggit na ang kakayahang "basahin" ang pag-uugali ng isang function sa isang tiyak na hanay gamit ang isang graph ay ginagamit hindi lamang sa kurso ng matematika, kundi pati na rin sa anumang praktikal na aktibidad ng isang tao kung saan kailangan niyang harapin ang ilang graphic. representasyon ng mga dependency. Samakatuwid, dapat na matukoy ng mga mag-aaral ang ilan sa mga katangian nito mula sa graph ng isang function.

Ang teoretikal na materyal para sa pagbabago ng mga graph ay mahigpit na nakasaad sa. Ang pamamaraan ay sinamahan ng mga guhit na may mga guhit, mga halimbawa ng iba't ibang pagiging kumplikado at ang kanilang mga solusyon, na ginagawang posible upang palalimin ang kaalaman at magplano ng mga kumplikadong pag-andar.

Kumakatawan sa isang elektronikong kurso sa pagsasanay, ang dami at nilalaman nito ay nakakatugon sa mga kinakailangan para sa isang kurso sa matematika sa mataas na paaralan. Ang teoretikal na materyal ay sinusuportahan ng mga graphic na animation na ilustrasyon na nagbibigay ng visual na representasyon ng paksang pinag-aaralan. Kasama sa kurso ang tatlong module: isang theoretical material study module, isang self-examination module at isang knowledge control module.

Mula sa , , mga pamamaraan ng pag-chart ng mga pamamaraan, mga halimbawa para sa independiyenteng gawain ay ginamit para sa empirikal na bahagi ng proyekto.

Mga konklusyon sa kabanata 1

Ang pag-aaral ng pang-edukasyon at pamamaraang panitikan ay pinapayagan:

1. Tukuyin ang pamamaraang pamamaraanpag-aaral, pagbuo at pagbabago ng mga graph ng isang function sa isang kurso sa matematika ng paaralan.

2. Piliin ang pinaka-epektibong paraan at paraanpagbuo at pagbabago ng mga function graph sa matematika ng paaralan,nag-aambag:

makabuluhang asimilasyon ng materyal na pang-edukasyon;

pagtaas ng aktibidad ng nagbibigay-malay ng mga mag-aaral;

pag-unlad ng kanilang mga malikhaing kakayahan.

3. ipakita mo na ang functional line ay may malaking epekto sa pag-aaral ng iba't ibang konsepto sa matematika.

Kabanata 2. EMPIRIKAL NA BAHAGI

Sa kabanatang ito, isasaalang-alang namin ang mga pangunahing pamamaraan para sa pagbabago ng mga function graph, at magbibigay ng mga pamamaraan ng pamamaraan para sa pagbuo ng iba't ibang kumbinasyon ng mga graph para sa iba't ibang mga function.

2.1. MGA BATAYANG TEKNIK PARA SA FUNCTION GRAPH CONVERSION

Pagsasalin sa kahabaan ng y-axis

f ( x ) f ( x )+ b .

Para sanagpaplano ng isang functiony = f( x) + bbakasem:

1. bumuo ng isang function graphy= f( x)

2. ilipat axisabscissa on| b| mga unit sab>0 o sa| b| kumainmagpatirapa sab < 0. Nakuha sa bagong sistemaAng dinat graph ay ang graph ng isang functiony = f( x) + b.

2. Paglipat kasama mga palakol abscissa

f ( x ) f ( x + a ) .

y = f( x+ a) bakasem:

3. Pag-plot ng isang function ng form y = f (- x )

f (x ) f (- x ).

Upang magplano ng isang functiony = f( - x) sumusunod:

magplano ng isang functiony = f( x)

sumasalamin ito pabalikmay kaugnayan sa y-axis

ang resultang graph ayfunction graphy = f( - X).

4. Pag-plot ng function ng form y= - f ( x )

f ( x ) - f ( x )

- f( x) sumusunod:

magplano ng isang functiony= f( x)

ipakita ito tungkol sa x-axis

2.2. Nagpaplano ng pantay at kakaibang katangian

Kapag nagpaplanoPara sa pantay at kakaibang mga pag-andar, maginhawang gamitin ang mga sumusunod na katangian:

1. Graph ng isang even function na simmetricen na may kaugnayan sa y-axis.

2. Ang graph ng isang kakaibang function ay simetriko tungkol sa pinagmulan.

Upang makabuo ng mga graph ng pantay at kakaibang function, sapat na upang i-plot lamang ang tamang sangay ng graph para sa mga positibong halaga ng argumento. Ang kaliwang sangay ay nakumpleto nang simetriko tungkol sa pinagmulan para sa isang kakaibang function at tungkol sa y-axis para sa isang even na function.

Upang magplano ng isang pantay na function y = f ( x ) pagkatapos duet:

bumuo ng isang sangay ng graph ng function na ito lamang sahanay ng mga positibong halaga ng argumento x≥0.

Osubaybayan ang sangay na ito tungkol sa y-axis

Upang mag-plot ng kakaibang function y = f ( x ) sumusunod:

bumuo ng isang sangay ng graph ng function na ito lamang salugar ng mga positibong halaga ng argumento (х≥0).

Osubaybayan ang sangay na ito tungkol sa pinagmulansa rehiyon ng mga negatibong halaga ng x.

2.3. Pag-plot ng inverse function

Tulad ng nabanggit na, ang direkta at kabaligtaran ay gumaganaipakita ang parehong relasyon sa pagitan ng mga variablex at y, na may pagkakaiba lamang na sa kabaligtaran na pag-andar ang mga itoang mga variable ay nagbago ng mga tungkulin, na katumbas ng pagbabagonotasyon ng mga coordinate axes. Samakatuwid, ang iskedyulang inverse function ay simetriko sa graph ng direktang functiontungkol sa bisectorakoatIIImga anggulo ng coordinate,ibig sabihin, medyo tuwidy = x. Kaya, nakukuha naminsusunod na tuntunin.

Upang i-plot ang function y = (x) kabaligtaran sa functiony = f( x), dapat itayoiskedyuly = f( x) at ipakita ito sa tuwid na linya y = x.

2.4. Deformation (compression at tension) ng mga graph

1. Compression (expansion) ng graph sa kahabaan ng y-axis

f ( x ) A ∙ f ( x ).

Upang magplano ng isang functiony= A∙ f( x) sumusunod:

8. Compression (expansion) ng graph sa kahabaan ng x-axis

f( x)

Upang i-plot ang function na y= f( x) sumusunod:

2.5. Kumbinasyon ng pagsasalin, pagmuni-muni at pagpapapangit

Kadalasan kapag nagpaplano ng mga function graph para sabaguhin ang kumbinasyon.

Ang pare-parehong aplikasyon ng isang bilang ng naturang mga diskarte sa pusturanagbibigay-daan upang makabuluhang pasimplehin ang pagbuo ng isang graph gamit angtumatakbo function at madalas na bawasan ito sa dulo sapagbuo ng isa sa pinakasimpleng elementarya na pag-andartions. Isaalang-alang kung paano, sa pagtingin sa nabanggit, ito ay sumusunodbumuo ng mga function graph.

Tandaan natin na oras naipinapayong isagawa ang dock ng pagpapasimple sa susunod na kapalitness.

Gamit ang parity opagiging kakaiba ng function.

Paglipat ng mga axes.

Pagninilay at pagpapapangit.

Ang pagbuo ng graph ay isinasagawa sa reverse order.

Halimbawa. Mag-plot ng function

Ang pagtatayo ay isasagawa sa mga sumusunod na hakbang:

1. balangkasin ang natural logarithm:

2. pisilinsa axisOY2 beses:;
3. ipakita ang simetrikotungkol sa axisOY: ;
4. gumalaw sa kahabaan ng axisOXsa(!!!) sa kanan::

5. magpakita ng simetriko tungkol sa axisOX: ;
6. gumalawkasama ang axisOY3 units up::

MGA HALIMBAWA NG CONSTRUCTION AT CONVERSION OF FUNCTION GRAPHS

Halimbawa 1 Mag-plot ng function.

Una, gumuhit ng sine graph, ang panahon nito ay katumbas ng:

function graphnakuha sa pamamagitan ng pag-compress ng graphdalawang beses sa y-axis. log .

Mag-plot ng functionsa = 2 cosX.

Mag-plot ng functiony = kasalananx .

KONGKLUSYON

Sa panahon ng trabaho sa gawaing proyekto, nasuri ang iba't ibang literatura na pang-edukasyon at pamamaraan sa isyung ito. Ang mga resulta ng pag-aaral ay naging posible upang matukoy ang pinaka-katangiang positibong aspeto ng pag-aaral, pagbuo at pagbabago ng mga graph ng isang function sa isang kurso sa matematika ng paaralan

Ang pangunahing layunin ng proyekto ay upang bumuo ng mga kasanayan at kakayahan ng mga mag-aaral sa pagbabasa at pagguhit ng mga guhit, sa pagbuo ng mga makatuwirang pamamaraan ng independiyenteng aktibidad.

Ang pangangailangan upang mapabuti ang graphic na edukasyon sa kabuuan ay idinidikta hindi lamang ng mga modernong kinakailangan sa produksyon, kundi pati na rin ng papel ng mga graphic sa pagbuo ng teknikal na pag-iisip at nagbibigay-malay na kakayahan ng mga mag-aaral. Ang kakayahan ng isang tao na magproseso ng graphic na impormasyon ay isa sa mga tagapagpahiwatig ng kanyang pag-unlad ng kaisipan. Samakatuwid, ang graphic na pagsasanay ay dapat maging isang mahalagang elemento ng pangkalahatang pagsasanay sa edukasyon.

natuklasan

Kaya, ang binuo na proyekto na "Konstruksyon at pagbabago ng mga function graph", na nakatuon sa isa sa mga sentral na konsepto ng matematika - functional dependence, ay nakatuon sa systematization at pagpapalawak ng kaalaman ng mga mag-aaral. Ang pag-aaral ng mga tiyak na pamamaraan para sa pagbabago ng mga function graph ay isinasagawa sa isang analytical at graphical na paraan ayon sa mahigpit na pamamaraan ng pamamaraan. Ang mga nakolektang materyal ay maaaring gamitin sa silid-aralan at para sa self-training ng mga mag-aaral. Ang iba't ibang anyo at paraan ng organisasyon at pagsasanay ay maaaring gamitin sa pagsasagawa ng mga klase.

Portal para sa mag-aaral. Pagsasanay sa sarili

MGA KAUGNAY NA ARTIKULO