Para sa kumpletong pag-aaral ng function at pag-plot ng graph nito, inirerekomendang gamitin ang sumusunod na scheme:

1) hanapin ang saklaw ng function;

2) hanapin ang mga discontinuity point ng function at vertical asymptotes (kung mayroon sila);

3) imbestigahan ang pag-uugali ng function sa infinity, hanapin ang pahalang at pahilig na mga asymptotes;

4) imbestigahan ang function para sa evenness (oddity) at para sa periodicity (para sa trigonometric functions);

5) hanapin ang extrema at mga pagitan ng monotonicity ng function;

6) matukoy ang mga pagitan ng convexity at inflection point;

7) maghanap ng mga punto ng intersection sa mga coordinate axes, kung maaari, at ilang karagdagang mga punto na nagpapadalisay sa graph.

Ang pag-aaral ng function ay isinasagawa nang sabay-sabay sa pagbuo ng graph nito.

Halimbawa 9 Galugarin ang function at bumuo ng isang graph.

1. Domain ng kahulugan: ;

2. Nasira ang function sa mga punto
,
;

Sinisiyasat namin ang function para sa pagkakaroon ng mga vertical asymptotes.

;
,
─ patayong asymptote.

;
,
─ patayong asymptote.

3. Sinisiyasat namin ang function para sa pagkakaroon ng pahilig at pahalang na mga asymptotes.

Diretso
─ oblique asymptote, kung
,
.

,
.

Diretso
─ pahalang na asymptote.

4. Ang function ay kahit na dahil
. Ang parity ng function ay nagpapahiwatig ng simetrya ng graph na may paggalang sa y-axis.

5. Hanapin ang mga pagitan ng monotonicity at extrema ng function.

Hanapin natin ang mga kritikal na punto, i.e. mga punto kung saan ang derivative ay 0 o wala:
;
. Mayroon kaming tatlong puntos
;

. Hinahati ng mga puntong ito ang buong totoong axis sa apat na pagitan. Tukuyin natin ang mga palatandaan sa bawat isa sa kanila.

Sa pagitan (-∞; -1) at (-1; 0) tumataas ang function, sa pagitan (0; 1) at (1; +∞) ito ay bumababa. Kapag dumadaan sa isang punto
ang derivative ay nagbabago ng sign mula plus hanggang minus, samakatuwid, sa puntong ito, ang function ay may maximum
.

6. Maghanap tayo ng mga pagitan ng convexity, mga inflection point.

Hanapin natin ang mga punto kung saan ay 0, o wala.

walang tunay na ugat.
,
,

puntos
at
hatiin ang totoong axis sa tatlong pagitan. Tukuyin natin ang tanda sa bawat pagitan.

Kaya, ang curve sa mga pagitan
at
matambok pababa, sa pagitan (-1;1) matambok pataas; walang mga inflection point, dahil ang function sa mga punto
at
hindi natukoy.

7. Hanapin ang mga punto ng intersection sa mga axes.

may ehe
ang graph ng function ay nag-intersect sa punto (0; -1), at sa axis
ang graph ay hindi nagsalubong, dahil ang numerator ng function na ito ay walang tunay na ugat.

Ang graph ng ibinigay na function ay ipinapakita sa Figure 1.

Figure 1 ─ Graph ng function

Paglalapat ng konsepto ng derivative sa ekonomiya. Pagkalastiko ng function

Upang pag-aralan ang mga prosesong pang-ekonomiya at malutas ang iba pang inilapat na mga problema, ang konsepto ng pagkalastiko ng pag-andar ay kadalasang ginagamit.

Kahulugan. Pagkalastiko ng function
ay tinatawag na limitasyon ng ratio ng kamag-anak na pagtaas ng function sa kamag-anak na pagtaas ng variable sa
, . (VII)

Ang elasticity ng isang function ay nagpapakita ng humigit-kumulang kung gaano karaming porsyento ang function na magbabago
kapag nagbago ang independent variable ng 1%.

Ang elasticity ng isang function ay ginagamit sa pagsusuri ng demand at pagkonsumo. Kung ang pagkalastiko ng demand (sa ganap na halaga)
, kung gayon ang demand ay itinuturing na nababanat kung
─ neutral kung
─ hindi nababanat na may kinalaman sa presyo (o kita).

Halimbawa 10 Kalkulahin ang elasticity ng isang function
at hanapin ang halaga ng elasticity index para sa = 3.

Solusyon: ayon sa formula (VII) ang elasticity ng function:

Hayaan ang x=3 pagkatapos
Nangangahulugan ito na kung ang independent variable ay tumaas ng 1%, ang halaga ng dependent variable ay tataas ng 1.42%.

Halimbawa 11 Hayaang gumana ang demand patungkol sa presyo may porma
, saan ─ pare-pareho ang koepisyent. Hanapin ang halaga ng elasticity index ng demand function sa presyo x = 3 den. mga yunit

Solusyon: kalkulahin ang elasticity ng demand function gamit ang formula (VII)

Ipagpalagay
mga yunit ng pananalapi, nakukuha namin
. Nangangahulugan ito na sa presyo
yunit ng pananalapi ang pagtaas ng presyo ng 1% ay magdudulot ng pagbaba ng demand ng 6%, i.e. elastic ang demand.

Ang pag-aaral ng function ay isinasagawa ayon sa isang malinaw na pamamaraan at nangangailangan ang mag-aaral na magkaroon ng matatag na kaalaman sa mga pangunahing konsepto ng matematika tulad ng domain ng kahulugan at mga halaga, ang pagpapatuloy ng function, ang asymptote, extremum point, parity, periodicity, atbp. Ang mag-aaral ay dapat malayang pag-iba-iba ang mga function at lutasin ang mga equation, na kung minsan ay napakasalimuot.

Iyon ay, ang gawaing ito ay sumusubok sa isang makabuluhang layer ng kaalaman, anumang puwang kung saan ay magiging isang balakid sa pagkuha ng tamang solusyon. Lalo na madalas na ang mga paghihirap ay lumitaw sa pagtatayo ng mga graph ng mga function. Ang pagkakamaling ito ay agad na nakakuha ng mata ng guro at maaaring lubos na makasira sa iyong marka, kahit na lahat ng iba pa ay ginawa nang tama. Dito mo mahahanap mga gawain para sa pag-aaral ng function online: pag-aaral ng mga halimbawa, pag-download ng mga solusyon, pag-order ng mga takdang-aralin.

Siyasatin ang isang Function at Plot: Mga Halimbawa at Solusyon Online

Naghanda kami para sa iyo ng maraming handa na pag-aaral sa tampok, parehong binayaran sa aklat ng solusyon, at libre sa seksyong Mga Halimbawa ng Pananaliksik sa Tampok. Sa batayan ng mga nalutas na gawain na ito, magagawa mong makilala nang detalyado ang pamamaraan para sa pagsasagawa ng mga naturang gawain, sa pamamagitan ng pagkakatulad, gawin ang iyong sariling pananaliksik.

Nag-aalok kami ng mga yari na halimbawa ng isang kumpletong pag-aaral at pag-plot ng mga function ng mga pinakakaraniwang uri: polynomials, fractional-rational, irrational, exponential, logarithmic, trigonometric functions. Ang bawat nalutas na problema ay sinamahan ng isang handa na graph na may mga napiling mga pangunahing punto, asymptotes, maxima at minima, ang solusyon ay isinasagawa ayon sa algorithm para sa pag-aaral ng function.

Ang mga nalutas na halimbawa, sa anumang kaso, ay magiging isang magandang tulong para sa iyo, dahil sinasakop nila ang pinakasikat na mga uri ng mga function. Nag-aalok kami sa iyo ng daan-daang nalutas na mga problema, ngunit, tulad ng alam mo, mayroong isang walang katapusang bilang ng mga pag-andar sa matematika sa mundo, at ang mga guro ay mahusay na dalubhasa sa pag-imbento ng higit at mas masalimuot na mga gawain para sa mga mahihirap na estudyante. Kaya, mahal na mga mag-aaral, hindi ka sasaktan ng kwalipikadong tulong.

Paglutas ng mga problema para sa pag-aaral ng isang function upang mag-order

Sa kasong ito, ang aming mga kasosyo ay mag-aalok sa iyo ng isa pang serbisyo - full function research online mag-order. Ang gawain ay makukumpleto para sa iyo bilang pagsunod sa lahat ng mga kinakailangan para sa algorithm para sa paglutas ng mga naturang problema, na lubos na magpapasaya sa iyong guro.

Gagawin namin ang isang kumpletong pag-aaral ng function para sa iyo: mahahanap namin ang domain ng kahulugan at ang hanay ng mga halaga, suriin para sa pagpapatuloy at discontinuity, itakda ang parity, suriin ang iyong function para sa periodicity, hanapin ang mga punto ng intersection sa mga coordinate axes . At, siyempre, higit pa sa tulong ng differential calculus: makakahanap tayo ng mga asymptotes, kalkulahin ang extrema, mga inflection point, at bubuo ng mismong graph.

Ang mga reference point sa pag-aaral ng mga function at ang pagbuo ng kanilang mga graph ay mga katangian na punto - mga punto ng discontinuity, extremum, inflection, intersection sa mga coordinate axes. Sa tulong ng differential calculus, posibleng maitatag ang mga katangian ng pagbabago sa mga function: pagtaas at pagbaba, maxima at minima, ang direksyon ng convexity at concavity ng graph, ang pagkakaroon ng mga asymptotes.

Ang isang sketch ng function graph ay maaaring (at dapat) i-sketch pagkatapos mahanap ang mga asymptotes at extremum point, at ito ay maginhawa upang punan ang buod ng talahanayan ng pag-aaral ng function sa kurso ng pag-aaral.

Karaniwan, ang sumusunod na pamamaraan ng pananaliksik sa pag-andar ay ginagamit.

1.Hanapin ang domain, continuity interval, at breakpoints ng isang function.

2.Suriin ang function para sa even o odd (axial o central symmetry ng graph.

3.Maghanap ng mga asymptotes (vertical, horizontal o oblique).

4.Hanapin at imbestigahan ang mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ng function, ang mga extremum point nito.

5.Hanapin ang mga pagitan ng convexity at concavity ng curve, ang mga inflection point nito.

6.Hanapin ang mga punto ng intersection ng curve na may mga coordinate axes, kung mayroon sila.

7.Bumuo ng talaan ng buod ng pag-aaral.

8.Bumuo ng isang graph, na isinasaalang-alang ang pag-aaral ng function, na isinasagawa ayon sa mga punto sa itaas.

Halimbawa. I-explore ang Function

at i-plot ito.

7. Gumawa tayo ng isang talahanayan ng buod ng pag-aaral ng function, kung saan ilalagay natin ang lahat ng mga katangiang puntos at ang mga pagitan sa pagitan nila. Dahil sa parity ng function, nakukuha namin ang sumusunod na talahanayan:

				Mga Tampok ng Tsart
[-1, 0[			Tumataas	Matambok
				(0; 1) – pinakamataas na punto
]0, 1[			Bumababa	Matambok
				Inflection point, mga form na may axis baka mahinang anggulo

Magsagawa ng kumpletong pag-aaral at mag-plot ng function graph

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Saklaw ng pag-andar. Dahil ang function ay isang fraction, kailangan mong hanapin ang mga zero ng denominator.

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1.

Ibinubukod namin ang tanging punto x=1x=1 mula sa lugar ng kahulugan ng function at makuha ang:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Pag-aralan natin ang pag-uugali ng function sa paligid ng discontinuity point. Maghanap ng mga one-sided na limitasyon:

Dahil ang mga limitasyon ay katumbas ng infinity, ang puntong x=1x=1 ay isang discontinuity ng pangalawang uri, ang linyang x=1x=1 ay isang vertical asymptote.

3) Tukuyin natin ang mga intersection point ng graph ng function gamit ang mga coordinate axes.

Hanapin natin ang mga punto ng intersection sa ordinate axis na OyOy, kung saan tinutumbasan natin ang x=0x=0:

Kaya, ang punto ng intersection sa axis na OyOy ay may mga coordinate (0;8)(0;8).

Hanapin natin ang mga punto ng intersection sa abscissa axis OxOx, kung saan itinakda natin ang y=0y=0:

Ang equation ay walang mga ugat, kaya walang mga punto ng intersection sa OxOx axis.

Tandaan na ang x2+8>0x2+8>0 para sa anumang xx. Samakatuwid, para sa x∈(−∞;1)x∈(−∞;1), ang function na y>0y>0 (kumukuha ng mga positibong halaga, ang graph ay nasa itaas ng x-axis), para sa x∈(1;+∞ )x∈(1; +∞) function y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Ang function ay hindi kahit na o kakaiba dahil:

5) Sinisiyasat namin ang function para sa periodicity. Ang function ay hindi pana-panahon, dahil ito ay isang fractional rational function.

6) Sinisiyasat namin ang function para sa extremums at monotonicity. Upang gawin ito, nakita namin ang unang derivative ng function:

Itumbas natin ang unang derivative sa zero at hanapin ang mga nakatigil na puntos (kung saan y′=0y′=0):

Nakakuha kami ng tatlong kritikal na puntos: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Hinahati namin ang buong domain ng function sa mga pagitan sa pamamagitan ng mga ibinigay na puntos at tinutukoy ang mga palatandaan ng derivative sa bawat pagitan:

Para sa x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) ang derivative y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Para sa x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) ang derivative y′>0y′>0, tumataas ang function sa mga pagitan na ito.

Sa kasong ito, ang x=−2x=−2 ay isang lokal na minimum na punto (ang function ay bumababa at pagkatapos ay tumataas), ang x=4x=4 ay isang lokal na maximum point (ang function ay tumataas at pagkatapos ay bumababa).

Hanapin natin ang mga halaga ng function sa mga puntong ito:

Kaya, ang pinakamababang punto ay (−2;4)(−2;4), ang pinakamataas na punto ay (4;−8)(4;−8).

7) Sinusuri namin ang function para sa kinks at convexity. Hanapin natin ang pangalawang derivative ng function:

I-equate ang pangalawang derivative sa zero:

Ang resultang equation ay walang mga ugat, kaya walang mga inflection point. Bukod dito, kapag ang x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 ay nasiyahan, ibig sabihin, ang function ay malukong kapag x∈(1;+∞)x∈(1 ;+ ∞) y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Sinisiyasat namin ang pag-uugali ng function sa infinity, iyon ay, sa .

Dahil ang mga limitasyon ay walang hanggan, walang mga pahalang na asymptotes.

Subukan nating tukuyin ang oblique asymptotes ng anyong y=kx+by=kx+b. Kinakalkula namin ang mga halaga ng k,bk,b ayon sa mga kilalang formula:

Nalaman namin na ang function ay may isang oblique asymptote y=−x−1y=−x−1.

9) Mga karagdagang puntos. Kalkulahin natin ang halaga ng function sa ilang iba pang mga punto upang makabuo ng isang graph nang mas tumpak.

y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.

10) Batay sa nakuhang datos, bubuo tayo ng graph, dagdagan ito ng mga asymptotes x=1x=1 (asul), y=−x−1y=−x−1 (berde) at markahan ang mga katangiang puntos (ang intersection sa y -axis ay purple, extrema ay orange, karagdagang mga puntos ay itim):

Gawain 4: Geometric, Mga problema sa ekonomiya (Wala akong ideya kung ano, narito ang isang tinatayang pagpili ng mga problema na may solusyon at mga formula)

Halimbawa 3.23. a

Desisyon. x at y y
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Dahil ang x = a/4 ang tanging kritikal na punto, tingnan natin kung nagbabago ang tanda ng derivative kapag dumadaan sa puntong ito. Para sa xa/4 S "> 0, at para sa x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Halimbawa 3.24.

Desisyon.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Halimbawa 3.22. Hanapin ang extrema ng function na f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Desisyon. Dahil f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3), kung gayon ang mga kritikal na punto ng function x 1 \u003d 2 at x 2 \u003d 3. Ang mga matinding puntos ay maaaring sa mga puntong ito lamang. Kaya't kapag dumadaan sa punto x 1 \u003d 2, ang derivative ay nagbabago ng sign mula plus hanggang minus, pagkatapos sa puntong ito ang function ay may maximum.Kapag dumaan sa punto x 2 \u003d 3, ang Ang mga pagbabago sa derivative ay nag-sign mula minus hanggang plus, samakatuwid, sa puntong x 2 \u003d 3, ang function ay may pinakamababa. Pagkalkula ng mga halaga ng function sa mga puntos
x 1 = 2 at x 2 = 3, nakita namin ang extrema ng function: maximum f(2) = 14 at minimum f(3) = 13.

Halimbawa 3.23. Kinakailangan na bumuo ng isang hugis-parihaba na lugar malapit sa pader ng bato upang ito ay nabakuran ng wire mesh sa tatlong panig, at magkadugtong sa dingding sa ikaapat na bahagi. Para dito mayroong a mga linear na metro ng grid. Sa anong aspect ratio magkakaroon ang site ng pinakamalaking lugar?

Desisyon. Tukuyin ang mga gilid ng site sa pamamagitan ng x at y. Ang lugar ng site ay S = xy. Hayaan y ay ang haba ng gilid na katabi ng dingding. Pagkatapos, ayon sa kondisyon, ang pagkakapantay-pantay na 2x + y = ay dapat hawakan. Samakatuwid y = a - 2x at S = x(a - 2x), kung saan
0 ≤ x ≤ a/2 (ang haba at lapad ng lugar ay hindi maaaring negatibo). S "= a - 4x, a - 4x = 0 para sa x = a/4, kung saan
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Dahil ang x = a/4 ang tanging kritikal na punto, tingnan natin kung nagbabago ang tanda ng derivative kapag dumadaan sa puntong ito. Para sa xa/4 S "> 0, at para sa x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Halimbawa 3.24. Kinakailangang gumawa ng saradong cylindrical tank na may kapasidad na V=16p ≈ 50 m 3 . Ano ang dapat na mga sukat ng tangke (radius R at taas H) upang magamit ang hindi bababa sa dami ng materyal para sa paggawa nito?

Desisyon. Ang kabuuang lugar ng ibabaw ng silindro ay S = 2pR(R+H). Alam natin ang volume ng silindro V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Kaya, S(R) = 2p(R 2 +16/R). Nahanap namin ang derivative ng function na ito:
S "(R) \u003d 2p (2R- 16 / R 2) \u003d 4p (R- 8 / R 2). S " (R) \u003d 0 para sa R ​​3 \u003d 8, samakatuwid,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Katulad na impormasyon.

Sa loob ng ilang panahon ngayon, sa TheBat (hindi malinaw kung anong dahilan), ang built-in na database ng sertipiko para sa SSL ay tumigil na gumana nang tama.

Kapag sinusuri ang post, may lalabas na error:

Hindi kilalang CA certificate
Ang server ay hindi nagpakita ng root certificate sa session at ang kaukulang root certificate ay hindi nakita sa address book.
Ang koneksyon na ito ay hindi maaaring maging lihim. Walang anuman
makipag-ugnayan sa iyong server administrator.

At ito ay inaalok ng isang pagpipilian ng mga sagot - OO / HINDI. At kaya sa tuwing kukunan mo ang mail.

Desisyon

Sa kasong ito, kailangan mong palitan ang pamantayan ng pagpapatupad ng S/MIME at TLS ng Microsoft CryptoAPI sa TheBat!

Dahil kailangan kong pagsamahin ang lahat ng mga file sa isa, na-convert ko muna ang lahat ng doc file sa isang solong pdf file (gamit ang Acrobat program), at pagkatapos ay inilipat ito sa fb2 sa pamamagitan ng isang online converter. Maaari ka ring mag-convert ng mga file nang paisa-isa. Ang mga format ay maaaring maging ganap na anumang (pinagmulan) at doc, at jpg, at kahit zip archive!

Ang pangalan ng site ay tumutugma sa kakanyahan:) Online Photoshop.

Update Mayo 2015

Nakahanap ako ng isa pang magandang site! Kahit na mas maginhawa at functional para sa paglikha ng isang ganap na arbitrary collage! Ang site na ito ay http://www.fotor.com/ru/collage/ . Gamitin sa kalusugan. At ako mismo ang gagamit.

Nahaharap sa buhay sa pag-aayos ng mga electric stoves. Marami na akong nagawa, marami na akong natutunan, pero kahit papaano wala akong kinalaman sa mga tile. Kinakailangang palitan ang mga contact sa mga regulator at burner. Ang tanong ay lumitaw - kung paano matukoy ang diameter ng burner sa electric stove?

Simple lang pala ang sagot. Hindi na kailangang sukatin ang anumang bagay, maaari mong mahinahon na matukoy sa pamamagitan ng mata kung anong sukat ang kailangan mo.

Ang pinakamaliit na burner ay 145 millimeters (14.5 centimeters)

Katamtamang burner ay 180 millimeters (18 centimeters).

At sa wakas ang pinaka malaking burner ay 225 millimeters (22.5 centimeters).

Ito ay sapat na upang matukoy ang laki sa pamamagitan ng mata at maunawaan kung anong diameter ang kailangan mo ng isang burner. Noong hindi ko alam ito, tumataas ako sa mga sukat na ito, hindi ko alam kung paano sukatin, kung aling gilid ang i-navigate, atbp. Now I'm wise :) Sana nakatulong din sayo!

Sa buhay ko ay nahaharap ako sa ganitong problema. Sa tingin ko hindi lang ako.