\[(\Large(\text(Central and Inscribed Angles)))\]

Mga Kahulugan

Ang gitnang anggulo ay isang anggulo na ang vertex ay nasa gitna ng bilog.

Ang inscribed angle ay isang anggulo na ang vertex ay nasa bilog.

Ang sukat ng antas ng isang arko ng isang bilog ay ang sukat ng antas ng gitnang anggulo na nakasalalay dito.

Teorama

Ang sukat ng isang naka-inscribe na anggulo ay kalahati ng sukat ng arko na naharang nito.

Patunay

Isasagawa namin ang patunay sa dalawang yugto: una, patunayan namin ang bisa ng pahayag para sa kaso kapag ang isa sa mga gilid ng inscribed na anggulo ay naglalaman ng diameter. Hayaang ang puntong \(B\) ay ang vertex ng naka-inscribe na anggulo \(ABC\) at \(BC\) ang diameter ng bilog:

Ang tatsulok \(AOB\) ay isosceles, \(AO = OB\) , \(\angle AOC\) ay nasa labas, pagkatapos \(\angle AOC = \angle OAB + \angle ABO = 2\angle ABC\), saan \(\angle ABC = 0.5\cdot\angle AOC = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).

Ngayon isaalang-alang ang isang arbitrary inscribed angle \(ABC\) . Iguhit ang diameter ng bilog \(BD\) mula sa tuktok ng naka-inscribe na anggulo. Dalawang kaso ang posible:

1) pinutol ng diameter ang anggulo sa dalawang anggulo \(\angle ABD, \angle CBD\) (para sa bawat isa kung saan ang theorem ay totoo tulad ng pinatunayan sa itaas, samakatuwid ito ay totoo rin para sa orihinal na anggulo, na siyang kabuuan ng mga ito dalawa at samakatuwid ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng mga arko na kanilang sinasandalan, iyon ay, katumbas ng kalahati ng arko kung saan ito nakasandal). kanin. isa.

2) hindi pinutol ng diameter ang anggulo sa dalawang anggulo, pagkatapos ay mayroon kaming dalawa pang bagong inscribed na anggulo \(\angle ABD, \angle CBD\) , na ang gilid ay naglalaman ng diameter, samakatuwid, ang theorem ay totoo para sa kanila, pagkatapos ito ay totoo rin para sa orihinal na anggulo (na katumbas ng pagkakaiba ng dalawang anggulong ito, na nangangahulugang ito ay katumbas ng kalahating pagkakaiba ng mga arko kung saan sila nagpapahinga, iyon ay, ito ay katumbas ng kalahati ng arko kung saan ito nagpapahinga). kanin. 2.

Mga kahihinatnan

1. Ang mga naka-inscribe na anggulo batay sa parehong arko ay pantay.

2. Ang naka-inscribe na anggulo batay sa kalahating bilog ay isang tamang anggulo.

3. Ang isang naka-inscribe na anggulo ay katumbas ng kalahati ng gitnang anggulo batay sa parehong arko.

\[(\Large(\text(Tangent to circle)))\]

Mga Kahulugan

May tatlong uri ng mutual arrangement ng isang linya at isang bilog:

1) ang linyang \(a\) ay nag-intersect sa bilog sa dalawang punto. Ang nasabing linya ay tinatawag na secant. Sa kasong ito, ang distansya \(d\) mula sa gitna ng bilog hanggang sa tuwid na linya ay mas mababa sa radius \(R\) ng bilog (Larawan 3).

2) ang linyang \(b\) ay bumabagtas sa bilog sa isang punto. Ang ganitong tuwid na linya ay tinatawag na tangent, at ang kanilang karaniwang puntong \(B\) ay tinatawag na tangent point. Sa kasong ito \(d=R\) (Fig. 4).

Teorama

1. Ang padaplis sa bilog ay patayo sa radius na iginuhit sa punto ng contact.

2. Kung ang linya ay dumaan sa dulo ng radius ng bilog at patayo sa radius na ito, kung gayon ito ay padaplis sa bilog.

Bunga

Ang mga segment ng tangents na iginuhit mula sa isang punto hanggang sa bilog ay pantay.

Patunay

Gumuhit ng dalawang tangents \(KA\) at \(KB\) sa bilog mula sa puntong \(K\):

Kaya \(OA\perp KA, OB\perp KB\) bilang radii. Ang mga right triangle na \(\triangle KAO\) at \(\triangle KBO\) ay pantay sa binti at hypotenuse, kaya \(KA=KB\) .

Bunga

Ang gitna ng bilog \(O\) ay nasa bisector ng anggulo \(AKB\) na nabuo ng dalawang padaplis na iginuhit mula sa parehong punto \(K\) .

\[(\Large(\text(Theorems na may kaugnayan sa mga anggulo)))\]

Ang teorama tungkol sa anggulo sa pagitan ng mga secant

Ang anggulo sa pagitan ng dalawang secants na iginuhit mula sa parehong punto ay katumbas ng kalahating pagkakaiba ng mga sukat ng antas ng mas malaki at mas maliliit na arko na pinutol ng mga ito.

Patunay

Hayaang ang \(M\) ay isang punto kung saan iginuhit ang dalawang secan tulad ng ipinapakita sa figure:

Ipakita natin iyan \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).

Ang \(\angle DAB\) ay ang panlabas na sulok ng tatsulok \(MAD\) , pagkatapos \(\angle DAB = \angle DMB + \angle MDA\), saan \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA\), ngunit ang mga anggulo na \(\angle DAB\) at \(\angle MDA\) ay nakasulat, pagkatapos \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), na dapat patunayan.

Angle theorem sa pagitan ng intersecting chords

Ang anggulo sa pagitan ng dalawang intersecting chord ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng mga sukat ng antas ng mga arko na kanilang pinutol: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]

Patunay

\(\angle BMA = \angle CMD\) bilang patayo.

Mula sa tatsulok \(AMD\): \(\anggulo AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).

Pero \(\anggulo AMD = 180^\circ - \angle CMD\), kung saan namin conclude na \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ smile\over(CD)).\]

Theorem sa anggulo sa pagitan ng isang chord at isang padaplis

Ang anggulo sa pagitan ng tangent at chord na dumadaan sa tangent point ay katumbas ng kalahati ng sukat ng degree ng arc na ibinawas ng chord.

Patunay

Hayaang hawakan ng linyang \(a\) ang bilog sa puntong \(A\) , \(AB\) ang chord ng bilog na ito, \(O\) ang sentro nito. Hayaang mag-intersect ang linyang naglalaman ng \(OB\) \(a\) sa puntong \(M\) . Patunayan natin yan \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).

Tukuyin ang \(\angle OAB = \alpha\) . Dahil ang \(OA\) at \(OB\) ay radii, kung gayon ang \(OA = OB\) at \(\angle OBA = \angle OAB = \alpha\). kaya, \(\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).

Dahil ang \(OA\) ay ang radius na iginuhit sa tangent point, kung gayon \(OA\perp a\) , ibig sabihin, \(\angle OAM = 90^\circ\) , samakatuwid, \(\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).

Theorem sa mga arko na kinontrata ng pantay na chord

Equal chords subtend equal arcs, mas maliliit na kalahating bilog.

At kabaligtaran: ang mga pantay na arko ay kinontrata ng pantay na mga chord.

Patunay

1) Hayaan \(AB=CD\) . Patunayan natin na ang mas maliliit na kalahating bilog ng arko .

Sa tatlong panig, samakatuwid \(\angle AOB=\angle COD\) . Pero dahil \(\angle AOB, \angle COD\) - mga gitnang anggulo batay sa mga arko \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\) ayon sa pagkakabanggit, kung gayon \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).

2) Kung \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), pagkatapos \(\triangle AOB=\triangle COD\) kasama ang dalawang gilid \(AO=BO=CO=DO\) at ang anggulo sa pagitan ng mga ito \(\angle AOB=\angle COD\) . Samakatuwid, \(AB=CD\) .

Teorama

Kung ang isang radius ay humahati sa isang chord, kung gayon ito ay patayo dito.

Ang kabaligtaran ay totoo rin: kung ang radius ay patayo sa chord, kung gayon ang intersection point ay hinahati ito.

Patunay

1) Hayaan \(AN=NB\) . Patunayan natin na \(OQ\perp AB\) .

Isaalang-alang ang \(\triangle AOB\) : ito ay isosceles, dahil \(OA=OB\) – bilog na radii. kasi Ang \(ON\) ay ang median na iginuhit sa base, pagkatapos ito rin ang taas, kaya \(ON\perp AB\) .

2) Hayaan \(OQ\perp AB\) . Patunayan natin na \(AN=NB\) .

Katulad nito, ang \(\triangle AOB\) ay isosceles, \(ON\) ang taas, kaya ang \(ON\) ay ang median. Samakatuwid, \(AN=NB\) .

\[(\Large(\text(Theorems na nauugnay sa haba ng mga segment)))\]

Theorem sa produkto ng mga segment ng chord

Kung ang dalawang chord ng isang bilog ay nagsalubong, kung gayon ang produkto ng mga segment ng isang chord ay katumbas ng produkto ng mga segment ng isa pang chord.

Patunay

Hayaang magsalubong ang mga chord na \(AB\) at \(CD\) sa puntong \(E\) .

Isaalang-alang ang mga tatsulok \(ADE\) at \(CBE\) . Sa mga tatsulok na ito, ang mga anggulo \(1\) at \(2\) ay pantay, dahil ang mga ito ay nakasulat at umaasa sa parehong arko \(BD\) , at ang mga anggulo \(3\) at \(4\) ay katumbas ng patayo. Ang mga tatsulok na \(ADE\) at \(CBE\) ay magkatulad (ayon sa unang tatsulok na pagkakatulad na pamantayan).

Pagkatapos \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), kung saan \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .

Tangent at secant theorem

Ang parisukat ng isang tangent segment ay katumbas ng produkto ng secant at ang panlabas na bahagi nito.

Patunay

Hayaang dumaan ang tangent sa puntong \(M\) at pindutin ang bilog sa puntong \(A\) . Hayaang dumaan ang secant sa puntong \(M\) at i-intersect ang bilog sa mga puntong \(B\) at \(C\) upang \(MB\)< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .

Isaalang-alang ang mga tatsulok \(MBA\) at \(MCA\) : Ang \(\angle M\) ay pangkalahatan, \(\angle BCA = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). Ayon sa angle theorem sa pagitan ng isang tangent at isang secant, \(\angle BAM = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \angle BCA\). Kaya, ang mga tatsulok na \(MBA\) at \(MCA\) ay magkatulad sa dalawang anggulo.

Mula sa pagkakatulad ng mga tatsulok \(MBA\) at \(MCA\) mayroon kami: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), na katumbas ng \(MB\cdot MC = MA^2\) .

Bunga

Ang produkto ng secant na iginuhit mula sa puntong \(O\) at ang panlabas na bahagi nito ay hindi nakadepende sa pagpili ng secant na iginuhit mula sa puntong \(O\) .

Kadalasan, ang proseso ng paghahanda para sa pagsusulit sa matematika ay nagsisimula sa pag-uulit ng mga pangunahing kahulugan, pormula at teorema, kabilang ang paksang "Central at nakasulat sa isang anggulo ng bilog." Bilang isang patakaran, ang seksyong ito ng planimetry ay pinag-aralan sa mataas na paaralan. Hindi kataka-taka na maraming mga mag-aaral ang nahaharap sa pangangailangang ulitin ang mga pangunahing konsepto at teorema sa paksang "Central Angle of a Circle". Ang pagkakaroon ng naisip ang algorithm para sa paglutas ng mga naturang problema, ang mga mag-aaral ay makakaasa sa pagkuha ng mga mapagkumpitensyang puntos batay sa mga resulta ng pagpasa sa pinag-isang pagsusulit ng estado.

Paano madali at epektibong maghanda para sa pagsusulit sa sertipikasyon?

Pag-aaral bago pumasa sa pinag-isang pagsusulit ng estado, maraming mga mag-aaral sa high school ang nahaharap sa problema ng paghahanap ng kinakailangang impormasyon sa paksang "Central at inscribed na mga anggulo sa isang bilog." Hindi palaging isang aklat-aralin sa paaralan ay nasa kamay. At ang paghahanap ng mga formula sa Internet kung minsan ay tumatagal ng maraming oras.

Tutulungan ka ng aming portal na pang-edukasyon na "i-pump" ang iyong mga kasanayan at pagbutihin ang iyong kaalaman sa isang mahirap na seksyon ng geometry bilang planimetry. Iniimbitahan ni Shkolkovo ang mga mag-aaral sa high school at kanilang mga guro na buuin ang proseso ng paghahanda para sa pinag-isang pagsusulit ng estado sa isang bagong paraan. Ang lahat ng pangunahing materyal ay ipinakita ng aming mga espesyalista sa pinaka-naa-access na form. Pagkatapos suriin ang impormasyon sa seksyong "Theoretical Reference", matututunan ng mga mag-aaral kung anong mga katangian ang mayroon ang gitnang anggulo ng isang bilog, kung paano hanapin ang halaga nito, atbp.

Pagkatapos, upang pagsama-samahin ang nakuhang kaalaman at bumuo ng mga kasanayan, inirerekumenda namin na gawin mo ang mga naaangkop na pagsasanay. Ang isang malaking seleksyon ng mga gawain para sa paghahanap ng halaga ng isang anggulo na nakasulat sa isang bilog at iba pang mga parameter ay ipinakita sa seksyong Catalog. Para sa bawat ehersisyo, isinulat ng aming mga eksperto ang isang detalyadong kurso ng solusyon at ipinahiwatig ang tamang sagot. Ang listahan ng mga gawain sa site ay patuloy na pupunan at na-update.

Ang mga mag-aaral sa high school ay maaaring maghanda para sa pagsusulit sa pamamagitan ng pagsasanay ng mga pagsasanay, halimbawa, paghahanap ng halaga ng gitnang anggulo at haba ng arko ng isang bilog, online, na nasa anumang rehiyon ng Russia.

Kung kinakailangan, ang nakumpletong gawain ay maaaring i-save sa seksyong "Mga Paborito" upang bumalik dito sa ibang pagkakataon at muling pag-aralan ang prinsipyo ng solusyon nito.

BILOG AT BILOG. CYLINDER.

§ 76. Nakasulat at ILANG IBANG ANGgulo.

1. Nakasulat na anggulo.

Ang isang anggulo na ang vertex ay nasa isang bilog at ang mga gilid ay chord ay tinatawag na inscribed angle.

Ang anggulo ABC ay isang inscribed na anggulo. Nakapatong ito sa arc AC na nakapaloob sa pagitan ng mga gilid nito (Larawan 330).

Teorama. Ang isang naka-inscribe na anggulo ay sinusukat ng kalahati ng arko na naharang nito.

Dapat itong maunawaan bilang mga sumusunod: ang isang naka-inscribe na anggulo ay naglalaman ng kasing dami ng angular degrees, minuto at segundo gaya ng mga arc degrees, minuto at segundo ay nakapaloob sa kalahati ng arko kung saan ito nakapatong.

Sa pagpapatunay ng teorama na ito, kailangan nating isaalang-alang ang tatlong kaso.

Unang kaso. Ang gitna ng bilog ay nasa gilid ng naka-inscribe na anggulo (Larawan 331).

Hayaan / Ang ABC ay isang inscribed na anggulo at ang gitna ng bilog O ay nasa gilid ng BC. Kinakailangang patunayan na ito ay sinusukat ng kalahati ng arko AC.

Ikonekta ang point A sa gitna ng bilog. Kumuha ng isosceles /\ AOB, kung saan
AO = OB, bilang radii ng parehong bilog. Kaya naman, / A = / AT. / Ang AOC ay panlabas sa tatsulok na AOB, kaya / AOC = / A+ / B (§ 39, aytem 2), at dahil ang mga anggulo A at B ay pantay, kung gayon / Ang B ay 1/2 / AOC.

Pero / Ang AOC ay sinusukat ng AC arc, samakatuwid, / Ang B ay sinusukat ng kalahati ng AC arc.

Halimbawa, kung ang AC ay naglalaman ng 60° 18", kung gayon / Ang B ay naglalaman ng 30°9".

Pangalawang kaso. Ang gitna ng bilog ay nasa pagitan ng mga gilid ng naka-inscribe na anggulo (Larawan 332).

Hayaan / Ang ABD ay isang inscribed na anggulo. Ang gitna ng bilog O ay nasa pagitan ng mga gilid nito. Ito ay kinakailangan upang patunayan iyon / Ang ABD ay sinusukat ng kalahati ng arko AD.

Upang patunayan ito, iguhit natin ang diameter ng BC. Anggulo ABD ay nahahati sa dalawang anggulo: / 1 at / 2.

/ Ang 1 ay sinusukat ng kalahati ng AC arc, at / 2 ay sinusukat ng kalahati ng arc CD, samakatuwid, ang kabuuan / Ang ABD ay sinusukat ng 1/2 AC + 1/2 CD, ibig sabihin, kalahati ng AD arc.
Halimbawa, kung naglalaman ang AD ng 124°, kung gayon / Ang B ay naglalaman ng 62°.

Pangatlong kaso. Ang gitna ng bilog ay nasa labas ng nakasulat na anggulo (Larawan 333).

Hayaan / MAd - may nakasulat na anggulo. Ang gitna ng bilog O ay nasa labas ng sulok. Ito ay kinakailangan upang patunayan iyon / Ang MAD ay sinusukat ng kalahati ng MD arc.

Upang patunayan ito, iguhit natin ang diameter AB. / MAd = / MAV- / DAB. Pero / Ang MAV ay sinusukat ng 1/2 MV, at / Ang DAB ay sinusukat ng 1/2 DB. Kaya naman, / Ang MAD ay sinusukat
1/2 (MB - DB), ibig sabihin, 1/2 MD.
Halimbawa, kung naglalaman ang MD ng 48° 38"16", kung gayon / Ang MAD ay naglalaman ng 24° 19" 8".

Mga kahihinatnan. isa. Ang lahat ng mga naka-inscribe na anggulo batay sa parehong arko ay pantay-pantay sa isa't isa, dahil ang mga ito ay sinusukat ng kalahati ng parehong arko (Pagguhit 334, a).

2. Ang naka-inscribe na anggulo batay sa diameter ay isang tamang anggulo dahil nakabatay ito sa kalahati ng bilog. Ang kalahati ng bilog ay naglalaman ng 180 arc degrees, na nangangahulugan na ang anggulo batay sa diameter ay naglalaman ng 90 angular degrees (Larawan 334, b).

2. Anggulo na nabuo sa pamamagitan ng isang padaplis at isang chord.

Teorama. Ang anggulo na nabuo ng isang tangent at isang chord ay sinusukat ng kalahati ng arko na nakapaloob sa pagitan ng mga gilid nito.

Hayaan / Ang CAB ay binubuo ng chord SA at ng tangent AB (Fig. 335). Kinakailangang patunayan na ito ay sinusukat ng kalahating SA. Gumuhit tayo ng linyang CD hanggang sa punto C || AB. Nakasulat / Ang ACD ay sinusukat ng kalahati ng arko AD, ngunit AD = CA, dahil ang mga ito ay nakapaloob sa pagitan ng isang tangent at isang chord na kahanay nito. Kaya naman, / Ang DCA ay sinusukat ng kalahati ng CA arc. Simula noon / CAB = / DCA, pagkatapos ay sinusukat din ito ng kalahati ng CA arc.

Mga ehersisyo.

1. Sa pagguhit ng 336, hanapin ang mga bloke na padaplis sa bilog.

2. Ayon sa pagguhit 337, a, patunayan na ang anggulong ADC ay sinusukat ng kalahati ng kabuuan ng mga arko AC at BK.

3. Ayon sa pagguhit 337, b, patunayan na ang anggulong AMB ay sinusukat ng kalahating pagkakaiba ng mga arko AB at CE.

4. Sa pamamagitan ng point A, na nasa loob ng bilog, sa tulong ng drawing triangle, gumuhit ng chord upang ito ay hatiin sa kalahati sa point A.

5. Gamit ang drawing triangle, hatiin ang arc sa 2, 4, 8... pantay na bahagi.

6. Ilarawan sa isang ibinigay na radius ang isang bilog na dumadaan sa dalawang ibinigay na mga punto. Ilang solusyon mayroon ang problema?

7. Ilang bilog ang maaaring iguhit sa pamamagitan ng isang naibigay na punto?

Ang planimetry ay isang sangay ng geometry na nag-aaral ng mga katangian ng mga figure ng eroplano. Kabilang dito ang hindi lamang mga kilalang tatsulok, parisukat, parihaba, kundi pati na rin ang mga tuwid na linya at anggulo. Sa planimetry, mayroon ding mga konsepto tulad ng mga anggulo sa isang bilog: gitna at nakasulat. Ngunit ano ang ibig nilang sabihin?

Ano ang gitnang anggulo?

Upang maunawaan kung ano ang gitnang anggulo, kailangan mong tukuyin ang isang bilog. Ang isang bilog ay isang koleksyon ng lahat ng mga puntos na katumbas ng layo mula sa isang naibigay na punto (ang gitna ng bilog).

Napakahalaga na makilala ito mula sa isang bilog. Dapat tandaan na ang isang bilog ay isang saradong linya, at ang isang bilog ay isang bahagi ng isang eroplano na nakatali dito. Ang isang bilog ay maaaring may nakasulat na polygon o isang anggulo.

Ang gitnang anggulo ay isang anggulo na ang vertex ay tumutugma sa gitna ng bilog at ang mga gilid ay nagsalubong sa bilog sa dalawang punto. Ang arko na nililimitahan ng isang anggulo sa pamamagitan ng mga intersection point nito ay tinatawag na arko kung saan nakapatong ang ibinigay na anggulo.

Isaalang-alang ang halimbawa #1.

Sa larawan, ang anggulong AOB ay gitna, dahil ang tuktok ng anggulo at ang gitna ng bilog ay isang punto O. Ito ay nakasalalay sa arko AB, na hindi naglalaman ng punto C.

Paano naiiba ang isang inscribed na anggulo sa gitnang anggulo?

Gayunpaman, bilang karagdagan sa mga sentral, mayroon ding mga nakasulat na anggulo. Ano ang kanilang pagkakaiba? Tulad ng sa gitna, ang anggulo na nakasulat sa isang bilog ay nakasalalay sa isang tiyak na arko. Ngunit ang tuktok nito ay hindi nag-tutugma sa gitna ng bilog, ngunit namamalagi dito.

Kunin natin ang sumusunod na halimbawa.

Anggulo ACB ay tinatawag na isang anggulo na nakasulat sa isang bilog na nakasentro sa punto O. Ang punto C ay kabilang sa bilog, iyon ay, namamalagi dito. Ang anggulo ay nakasalalay sa arko AB.

Upang matagumpay na makayanan ang mga gawain sa geometry, hindi sapat na makilala sa pagitan ng inscribed at gitnang mga anggulo. Bilang isang patakaran, upang malutas ang mga ito, kailangan mong malaman nang eksakto kung paano hanapin ang gitnang anggulo sa isang bilog, at magagawang kalkulahin ang halaga nito sa mga degree.

Kaya, ang gitnang anggulo ay katumbas ng sukat ng antas ng arko kung saan ito nakasalalay.

Sa larawan, ang anggulo ng AOB ay batay sa arko AB, katumbas ng 66 °. Kaya ang anggulong AOB ay katumbas din ng 66°.

Kaya, ang mga gitnang anggulo batay sa pantay na mga arko ay pantay.

Sa figure, ang arc DC ay katumbas ng arc AB. Kaya ang anggulo AOB ay katumbas ng anggulo DOC.

Maaaring mukhang ang anggulo na nakasulat sa bilog ay katumbas ng gitnang anggulo, na nakasalalay sa parehong arko. Gayunpaman, ito ay isang malaking pagkakamali. Sa katunayan, kahit na tingnan lamang ang pagguhit at paghahambing ng mga anggulong ito sa isa't isa, makikita mo na ang kanilang mga sukat sa antas ay magkakaroon ng iba't ibang mga halaga. Kaya ano ang anggulo na nakasulat sa bilog?

Ang sukat ng antas ng isang naka-inscribe na anggulo ay katumbas ng isang kalahati ng arko kung saan ito nakapatong, o kalahati ng gitnang anggulo kung sila ay nasa parehong arko.

Isaalang-alang ang isang halimbawa. Ang anggulo ng ACB ay batay sa isang arko na katumbas ng 66°.

Kaya, ang anggulo ACB = 66°: 2 = 33°

Isaalang-alang natin ang ilang mga kahihinatnan ng teorama na ito.

• Ang mga naka-inscribe na anggulo, kung nakabatay ang mga ito sa parehong arko, chord, o pantay na arko, ay pantay.
• Kung ang mga naka-inscribe na anggulo ay batay sa parehong chord, ngunit ang kanilang mga vertices ay nasa magkabilang panig nito, ang kabuuan ng mga sukat ng antas ng naturang mga anggulo ay 180 °, dahil sa kasong ito ang parehong mga anggulo ay batay sa mga arko, ang sukat ng antas kung saan ay 360 ° sa kabuuan (ang buong bilog), 360°: 2 = 180°
• Kung ang naka-inscribe na anggulo ay nakabatay sa diameter ng ibinigay na bilog, ang sukat ng antas nito ay 90°, dahil ang diameter ay sumasagi sa isang arko na katumbas ng 180°, 180°: 2 = 90°
• Kung ang gitnang at inscribed na mga anggulo sa isang bilog ay nakabatay sa parehong arko o chord, kung gayon ang inscribed na anggulo ay katumbas ng kalahati ng gitnang anggulo.

Saan maaaring magkaroon ng mga gawain sa paksang ito? Ang kanilang mga uri at solusyon

Dahil ang bilog at ang mga katangian nito ay isa sa pinakamahalagang seksyon ng geometry, partikular na ang planimetry, ang mga nakasulat at gitnang anggulo sa bilog ay isang paksa na malawak at lubusang pinag-aaralan sa kurso ng paaralan. Ang mga gawaing nakatuon sa kanilang mga ari-arian ay matatagpuan sa pangunahing pagsusulit ng estado (OGE) at sa pinag-isang pagsusulit ng estado (USE). Bilang isang patakaran, upang malutas ang mga problemang ito, dapat mong hanapin ang mga anggulo sa bilog sa mga degree.

Ang mga anggulo batay sa isang arko

Ang ganitong uri ng problema ay marahil ang isa sa pinakamadali, dahil upang malutas ito kailangan mong malaman lamang ang dalawang simpleng katangian: kung ang parehong mga anggulo ay nakasulat at nakasandal sa parehong chord, sila ay pantay, kung ang isa sa kanila ay sentral, kung gayon ang kaukulang inscribed angle is his half. Gayunpaman, kapag nilulutas ang mga ito, ang isa ay dapat maging lubhang maingat: kung minsan mahirap mapansin ang pag-aari na ito, at ang mga mag-aaral, kapag nilutas ang mga simpleng problema, ay napupunta sa isang dead end. Isaalang-alang ang isang halimbawa.

Gawain 1

Dahil sa isang bilog na nakasentro sa punto O. Ang anggulo ng AOB ay 54°. Hanapin ang sukat ng antas ng anggulong DIA.

Ang gawaing ito ay nalutas sa isang hakbang. Ang tanging bagay na kailangan mo upang mabilis na mahanap ang sagot dito ay mapansin na ang arko kung saan nakapatong ang magkabilang sulok ay karaniwan. Kapag nakikita ito, maaari mong ilapat ang pamilyar na pag-aari. Ang anggulo ng ACB ay kalahati ng anggulo ng AOB. Ibig sabihin,

1) AOB = 54°: 2 = 27°.

Sagot: 54°.

Ang mga anggulo batay sa iba't ibang mga arko ng parehong bilog

Minsan, sa mga kondisyon ng problema, ang magnitude ng arko kung saan nakabatay ang nais na anggulo ay hindi direktang inireseta. Upang makalkula ito, kailangan mong pag-aralan ang magnitude ng mga anggulong ito at ihambing ang mga ito sa mga kilalang katangian ng bilog.

Gawain 2

Sa isang bilog na nakasentro sa O, ang anggulong AOC ay 120° at ang anggulong AOB ay 30°. Hanapin ang anggulo IKAW.

Upang magsimula sa, ito ay nagkakahalaga ng pagsasabi na posible na malutas ang problemang ito gamit ang mga katangian ng isosceles triangles, ngunit ito ay mangangailangan ng higit pang mga operasyon sa matematika. Samakatuwid, dito ay susuriin natin ang solusyon gamit ang mga katangian ng gitnang at nakasulat na mga anggulo sa isang bilog.

Kaya, ang anggulong AOC ay nakasalalay sa arc AC at nasa gitna, na nangangahulugang ang arko AC ay katumbas ng anggulong AOC.

Katulad nito, ang anggulo ng AOB ay nakasalalay sa arko AB.

Ang pag-alam nito at ang sukat ng antas ng buong bilog (360°), madaling mahanap ang magnitude ng arko BC.

BC = 360° - AC - AB

BC = 360° - 120° - 30° = 210°

Ang vertex ng anggulo CAB, point A, ay nasa bilog. Samakatuwid, ang anggulo ng CAB ay nakasulat at katumbas ng kalahati ng arko CB.

Anggulo ng CAB = 210°: 2 = 110°

Sagot: 110°

Mga problema batay sa ratio ng mga arko

Ang ilang mga problema ay hindi naglalaman ng data sa lahat ng mga anggulo, kaya kailangan nilang hanapin batay lamang sa mga kilalang teorema at katangian ng isang bilog.

Gawain 1

Hanapin ang anggulo na nakasulat sa isang bilog na sinusuportahan ng isang chord na katumbas ng radius ng ibinigay na bilog.

Kung iisipin mong gumuhit ng mga linya na nagkokonekta sa mga dulo ng segment sa gitna ng bilog, makakakuha ka ng isang tatsulok. Matapos suriin ito, makikita mo na ang mga linyang ito ay ang radii ng bilog, na nangangahulugan na ang lahat ng panig ng tatsulok ay pantay. Alam natin na ang lahat ng mga anggulo ng isang equilateral triangle ay 60°. Kaya, ang arko AB na naglalaman ng vertex ng tatsulok ay katumbas ng 60°. Mula dito nakita namin ang arko AB, kung saan nakasalalay ang kinakailangang anggulo.

AB = 360° - 60° = 300°

Anggulo ABC = 300°: 2 = 150°

Sagot: 150°

Gawain 2

Sa isang bilog na nakasentro sa punto O, ang mga arko ay nauugnay bilang 3:7. Hanapin ang pinakamaliit na naka-inscribe na anggulo.

Para sa solusyon, tinutukoy namin ang isang bahagi bilang X, pagkatapos ang isang arko ay 3X, at ang pangalawa, ayon sa pagkakabanggit, 7X. Alam na ang sukat ng antas ng isang bilog ay 360 °, gagawa kami ng isang equation.

3X + 7X = 360°

Ayon sa kondisyon, kailangan mong maghanap ng mas maliit na anggulo. Malinaw, kung ang anggulo ay direktang proporsyonal sa arko kung saan ito nakasalalay, kung gayon ang kinakailangang (mas maliit) na anggulo ay tumutugma sa isang arko na katumbas ng 3X.

Kaya ang mas maliit na anggulo ay (36° * 3): 2 = 108°: 2 = 54°

Sagot: 54°

Sa isang bilog na nakasentro sa punto O, ang anggulo ng AOB ay 60°, at ang haba ng mas maliit na arko ay 50. Kalkulahin ang haba ng mas malaking arko.

Upang makalkula ang haba ng isang mas malaking arko, kailangan mong gumawa ng isang proporsyon - kung paano nauugnay ang mas maliit na arko sa mas malaki. Upang gawin ito, kinakalkula namin ang magnitude ng parehong mga arko sa mga degree. Ang mas maliit na arko ay katumbas ng anggulo na nakasalalay dito. Ang sukat ng antas nito ay 60°. Ang major arc ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng degree measure ng bilog (ito ay katumbas ng 360° anuman ang iba pang data) at ang minor arc.

Ang pangunahing arko ay 360° - 60° = 300°.

Dahil 300°: 60° = 5, ang mas malaking arko ay 5 beses na mas maliit.

Malaking arko = 50 * 5 = 250

Kaya, siyempre, may iba pang mga diskarte sa paglutas ng mga katulad na problema, ngunit lahat ng mga ito ay sa paanuman ay batay sa mga katangian ng mga sentral at nakasulat na mga anggulo, tatsulok at bilog. Upang matagumpay na malutas ang mga ito, dapat mong maingat na pag-aralan ang pagguhit at ihambing ito sa data ng problema, pati na rin mailapat ang iyong teoretikal na kaalaman sa pagsasanay.

Ngayon ay titingnan natin ang isa pang uri ng mga problema 6 - sa pagkakataong ito ay may isang bilog. Maraming mga estudyante ang ayaw sa kanila at nahihirapan sila. At ito ay ganap na walang kabuluhan, dahil ang mga naturang gawain ay nalutas elementarya kung alam mo ang ilang theorems. O hindi sila mangahas, kung hindi sila kilala.

Bago pag-usapan ang tungkol sa mga pangunahing katangian, hayaan mong ipaalala ko sa iyo ang kahulugan:

Ang naka-inscribe na anggulo ay isa na ang vertex ay nasa mismong bilog, at ang mga gilid ay pumutol ng chord sa bilog na ito.

Ang gitnang anggulo ay anumang anggulo na may vertex sa gitna ng bilog. Ang mga gilid nito ay nagsalubong din sa bilog na ito at nag-ukit ng kuwerdas dito.

Kaya, ang mga konsepto ng isang inscribed at gitnang anggulo ay inextricably naka-link sa isang bilog at chord sa loob nito. Ngayon para sa pangunahing pahayag:

Teorama. Ang gitnang anggulo ay palaging dalawang beses ang naka-inscribe na anggulo batay sa parehong arko.

Sa kabila ng pagiging simple ng pahayag, mayroong isang buong klase ng mga problema 6 na nalutas sa tulong nito - at wala nang iba pa.

Gawain. Maghanap ng isang matinding inscribed na anggulo batay sa isang chord na katumbas ng radius ng bilog.

Hayaang AB ang chord na isinasaalang-alang, O ang sentro ng bilog. Karagdagang konstruksyon: Ang OA at OB ay bilog na radii. Nakukuha namin ang:

Isaalang-alang ang tatsulok na ABO. Sa loob nito AB = OA = OB - lahat ng panig ay katumbas ng radius ng bilog. Samakatuwid ang tatsulok na ABO ay equilateral, at ang lahat ng mga anggulo dito ay 60°.

Hayaang ang M ang vertex ng naka-inscribe na anggulo. Dahil ang mga anggulo O at M ay nakabatay sa parehong arko AB , ang nakasulat na anggulo M ay 2 beses na mas mababa kaysa sa gitnang anggulo O . Meron kami:

M=O:2=60:2=30

Gawain. Ang gitnang anggulo ay 36° na mas malaki kaysa sa naka-inscribe na anggulo batay sa parehong pabilog na arko. Hanapin ang naka-inscribe na anggulo.

Ipakilala natin ang notasyon:

1. Ang AB ay ang chord ng bilog;
2. Ang puntong O ay ang sentro ng bilog, kaya ang anggulong AOB ay nasa gitna;
3. Point C ay ang vertex ng inscribed anggulo ACB .

Dahil hinahanap natin ang naka-inscribe na anggulo ACB , tukuyin natin ito ACB = x . Kung gayon ang gitnang anggulo AOB ay x + 36. Sa kabilang banda, ang gitnang anggulo ay dalawang beses ang naka-inscribe na anggulo. Meron kami:

AOB = 2 ACB ;
x + 36 = 2 x;
x=36.

Kaya natagpuan namin ang inscribed na anggulo AOB - ito ay katumbas ng 36 °.

Ang isang bilog ay isang 360° anggulo

Pagkatapos basahin ang subtitle, malamang na sasabihin ngayon ng mga maalam na mambabasa: "Fu!" Sa katunayan, hindi ganap na tama na ihambing ang isang bilog sa isang anggulo. Upang maunawaan kung ano ang pinag-uusapan natin, tingnan ang klasikong trigonometriko na bilog:

Bakit ang larawang ito? At sa katotohanan na ang isang buong pag-ikot ay isang anggulo ng 360 degrees. At kung hahatiin mo ito sa, sabihin nating, 20 pantay na bahagi, kung gayon ang laki ng bawat isa sa kanila ay magiging 360: 20 = 18 degrees. Ito ay eksakto kung ano ang kinakailangan upang malutas ang Problema B8.

Ang mga puntong A, B at C ay nakahiga sa isang bilog at hatiin ito sa tatlong arko, ang mga sukat ng antas na nauugnay bilang 1: 3: 5. Hanapin ang pinakamalaking anggulo ng tatsulok na ABC.

Una, hanapin natin ang sukat ng antas ng bawat arko. Hayaang ang mas maliit sa kanila ay katumbas ng x . Ang arko na ito ay may label na AB sa figure. Pagkatapos ang natitirang mga arko - BC at AC - ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng AB: ang arko BC = 3x; AC=5x. Ang mga arko na ito ay nagdaragdag ng hanggang 360 degrees:

AB + BC + AC = 360;
x + 3x + 5x = 360;
9x=360;
x=40.

Ngayon isaalang-alang ang isang malaking arko AC na hindi naglalaman ng punto B. Ang arko na ito, tulad ng kaukulang gitnang anggulo AOC , ay 5x = 5 40 = 200 degrees.

Ang anggulong ABC ay ang pinakamalaki sa lahat ng anggulo sa isang tatsulok. Ito ay isang inscribed na anggulo batay sa parehong arko ng gitnang anggulo na AOC. Kaya ang anggulong ABC ay 2 beses na mas maliit kaysa sa AOC. Meron kami:

ABC = AOC: 2 = 200: 2 = 100

Ito ang magiging sukat ng antas ng pinakamalaking anggulo sa tatsulok na ABC.

Bilog na nakapaligid sa isang kanang tatsulok

Maraming tao ang nakakalimutan ang teorama na ito. Ngunit walang kabuluhan, dahil ang ilang mga gawain sa B8 ay hindi malulutas nang wala ito. Mas tiyak, nalutas ang mga ito, ngunit sa dami ng mga kalkulasyon na mas gugustuhin mong matulog kaysa maabot ang sagot.

Teorama. Ang gitna ng isang bilog na nakapaligid sa isang kanang tatsulok ay nasa gitna ng hypotenuse.

Ano ang sumusunod mula sa teorama na ito?

1. Ang midpoint ng hypotenuse ay equidistant mula sa lahat ng vertices ng triangle. Ito ay isang direktang kinahinatnan ng teorama;
2. Ang median na iginuhit sa hypotenuse ay naghahati sa orihinal na tatsulok sa dalawang isosceles na tatsulok. Ito ay eksakto kung ano ang kinakailangan upang malutas ang problema B8.

Ang median na CD ay iginuhit sa tatsulok na ABC. Ang anggulo C ay 90° at ang anggulo B ay 60°. Maghanap ng anggulo ACD.

Dahil ang anggulo C ay 90°, ang triangle ABC ay isang right triangle. Lumalabas na ang CD ay ang median na iginuhit sa hypotenuse. Kaya ang mga tatsulok na ADC at BDC ay isosceles.

Sa partikular, isaalang-alang ang tatsulok na ADC . Sa loob nito AD = CD . Ngunit sa isang isosceles triangle, ang mga anggulo sa base ay pantay - tingnan ang "Problema B8: mga segment at anggulo sa mga tatsulok". Samakatuwid, ang nais na anggulo ACD = A.

Kaya, nananatili itong malaman kung ano ang katumbas ng anggulo A. Upang gawin ito, muli tayong bumaling sa orihinal na tatsulok na ABC. Tukuyin ang anggulo A = x . Dahil ang kabuuan ng mga anggulo sa anumang tatsulok ay 180°, mayroon tayong:

A + B + BCA = 180;
x + 60 + 90 = 180;
x=30.

Siyempre, ang huling problema ay maaaring malutas sa ibang paraan. Halimbawa, madaling patunayan na ang tatsulok na BCD ay hindi lamang isosceles, ngunit equilateral. Kaya ang angle BCD ay 60 degrees. Kaya ang anggulo ng ACD ay 90 − 60 = 30 degrees. Tulad ng nakikita mo, maaari kang gumamit ng iba't ibang isosceles triangles, ngunit ang sagot ay palaging pareho.