Sa pag-unlad ng lipunan, ang pagiging kumplikado ng produksyon, nabuo din ang matematika. Paggalaw mula simple hanggang kumplikado. Mula sa karaniwang paraan ng accounting ng karagdagan at pagbabawas, sa kanilang paulit-ulit na pag-uulit, dumating sila sa konsepto ng multiplikasyon at paghahati. Ang pagbabawas ng multiply repeated operation ay naging konsepto ng exponentiation. Ang mga unang talahanayan ng pag-asa ng mga numero sa base at ang bilang ng exponentiation ay pinagsama-sama noong ika-8 siglo ng Indian mathematician na si Varasena. Mula sa kanila, maaari mong bilangin ang oras ng paglitaw ng logarithms.

Makasaysayang balangkas

Ang muling pagkabuhay ng Europa noong ika-16 na siglo ay nagpasigla din sa pag-unlad ng mekanika. T nangangailangan ng malaking halaga ng pagtutuos nauugnay sa multiplikasyon at paghahati ng mga multi-digit na numero. Napakahusay ng serbisyo ng mga sinaunang mesa. Ginawa nilang posible na palitan ang mga kumplikadong operasyon ng mas simple - karagdagan at pagbabawas. Ang isang malaking hakbang pasulong ay ang gawain ng mathematician na si Michael Stiefel, na inilathala noong 1544, kung saan napagtanto niya ang ideya ng maraming mga mathematician. Ginawa nitong posible na gumamit ng mga talahanayan hindi lamang para sa mga degree sa anyo ng mga pangunahing numero, kundi pati na rin para sa mga di-makatwirang makatuwiran.

Noong 1614, unang ipinakilala ng Scotsman na si John Napier ang mga ideyang ito, ang bagong terminong "logarithm ng isang numero." Ang mga bagong kumplikadong talahanayan ay pinagsama-sama para sa pagkalkula ng logarithms ng mga sine at cosine, pati na rin ang mga tangent. Ito ay lubhang nabawasan ang gawain ng mga astronomo.

Nagsimulang lumitaw ang mga bagong talahanayan, na matagumpay na ginamit ng mga siyentipiko sa loob ng tatlong siglo. Maraming oras ang lumipas bago nakuha ng bagong operasyon sa algebra ang natapos nitong anyo. Ang logarithm ay tinukoy at ang mga katangian nito ay pinag-aralan.

Noong ika-20 siglo lamang, sa pagdating ng calculator at computer, iniwan ng sangkatauhan ang mga sinaunang talahanayan na matagumpay na gumana sa buong ika-13 siglo.

Tinatawag natin ngayon ang logarithm ng b upang ibase ang isang numerong x, na siyang kapangyarihan ng a, upang makuha ang numerong b. Ito ay isinulat bilang isang formula: x = log a(b).

Halimbawa, ang log 3(9) ay magiging katumbas ng 2. Ito ay malinaw kung susundin mo ang kahulugan. Kung itataas natin ang 3 sa kapangyarihan ng 2, makakakuha tayo ng 9.

Kaya, ang binabalangkas na kahulugan ay naglalagay lamang ng isang paghihigpit, ang mga numerong a at b ay dapat na totoo.

Mga uri ng logarithms

Ang klasikal na kahulugan ay tinatawag na tunay na logarithm at talagang isang solusyon sa equation na a x = b. Ang opsyon a = 1 ay borderline at walang interes. Tandaan: 1 sa anumang kapangyarihan ay 1.

Tunay na halaga ng logarithm tinukoy lamang kung ang base at ang argumento ay mas malaki sa 0, at ang base ay hindi dapat katumbas ng 1.

Espesyal na lugar sa larangan ng matematika maglaro ng logarithms, na papangalanan depende sa halaga ng kanilang base:

Mga tuntunin at paghihigpit

Ang pangunahing katangian ng logarithms ay ang panuntunan: ang logarithm ng isang produkto ay katumbas ng logarithmic sum. log abp = log a(b) + log a(p).

Bilang isang variant ng pahayag na ito, ito ay magiging: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), ang quotient function ay katumbas ng pagkakaiba ng mga function.

Madaling makita mula sa nakaraang dalawang panuntunan na: log a(b p) = p * log a(b).

Kasama sa iba pang mga ari-arian ang:

Magkomento. Huwag gumawa ng isang karaniwang pagkakamali - ang logarithm ng kabuuan ay hindi katumbas ng kabuuan ng logarithms.

Para sa maraming mga siglo, ang operasyon ng paghahanap ng logarithm ay isang medyo matagal na gawain. Ginamit ng mga mathematician ang kilalang formula ng logarithmic theory of expansion sa isang polynomial:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), kung saan ang n ay isang natural na numero na higit sa 1, na tumutukoy sa katumpakan ng pagkalkula.

Ang mga logarithm sa iba pang mga base ay kinakalkula gamit ang theorem sa paglipat mula sa isang base patungo sa isa pa at ang ari-arian ng logarithm ng produkto.

Dahil ang pamamaraang ito ay napakahirap at kapag nilulutas ang mga praktikal na problema mahirap ipatupad, gumamit sila ng mga pre-compiled na talahanayan ng logarithms, na lubos na nagpabilis sa buong gawain.

Sa ilang mga kaso, ginamit ang mga espesyal na pinagsama-samang mga graph ng logarithms, na nagbigay ng mas kaunting katumpakan, ngunit makabuluhang pinabilis ang paghahanap para sa nais na halaga. Ang curve ng function na y = log a(x), na binuo sa ilang mga punto, ay nagbibigay-daan sa paggamit ng karaniwang ruler upang mahanap ang mga halaga ng function sa anumang iba pang punto. Sa mahabang panahon, ginamit ng mga inhinyero ang tinatawag na graph paper para sa mga layuning ito.

Noong ika-17 siglo, lumitaw ang unang auxiliary analog computing na kondisyon, na noong ika-19 na siglo ay nakakuha ng tapos na anyo. Ang pinakamatagumpay na device ay tinatawag na slide rule. Sa kabila ng pagiging simple ng aparato, ang hitsura nito ay makabuluhang pinabilis ang proseso ng lahat ng mga kalkulasyon ng engineering, at ito ay mahirap na mag-overestimate. Sa kasalukuyan, kakaunti ang mga taong pamilyar sa device na ito.

Ang pagdating ng mga calculator at computer ay naging walang kabuluhan na gumamit ng anumang iba pang mga aparato.

Mga equation at hindi pagkakapantay-pantay

Ang mga sumusunod na formula ay ginagamit upang malutas ang iba't ibang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay gamit ang logarithms:

• Paglipat mula sa isang base patungo sa isa pa: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Bilang resulta ng nakaraang bersyon: log a(b) = 1 / log b(a).

Upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay, kapaki-pakinabang na malaman:

• Ang halaga ng logarithm ay magiging positibo lamang kung ang base at ang argumento ay parehong mas malaki sa o mas mababa sa isa; kung hindi bababa sa isang kundisyon ang nilabag, ang halaga ng logarithm ay magiging negatibo.
• Kung ang logarithm function ay inilapat sa kanan at kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay, at ang base ng logarithm ay mas malaki kaysa sa isa, kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay na palatandaan ay napanatili; kung hindi, ito ay nagbabago.

Mga halimbawa ng gawain

Isaalang-alang ang ilang mga opsyon para sa paggamit ng logarithms at ang kanilang mga katangian. Mga halimbawa sa paglutas ng mga equation:

Isaalang-alang ang opsyon ng paglalagay ng logarithm sa antas:

• Gawain 3. Kalkulahin ang 25^log 5(3). Solusyon: sa mga kondisyon ng problema, ang notasyon ay katulad ng sumusunod (5^2)^log5(3) o 5^(2 * log 5(3)). Isulat natin ito sa ibang paraan: 5^log 5(3*2), o ang parisukat ng isang numero bilang function argument ay maaaring isulat bilang square ng function mismo (5^log 5(3))^2. Gamit ang mga katangian ng logarithms, ang expression na ito ay 3^2. Sagot: bilang isang resulta ng pagkalkula ay makakakuha tayo ng 9.

Praktikal na paggamit

Ang pagiging isang purong kasangkapang pangmatematika, tila malayo sa totoong buhay na ang logarithm ay biglang nagkaroon ng malaking kahalagahan sa paglalarawan ng mga bagay sa totoong mundo. Mahirap maghanap ng agham kung saan hindi ito ginagamit. Ito ay ganap na nalalapat hindi lamang sa natural, kundi pati na rin sa mga larangan ng kaalaman sa sangkatauhan.

Logarithmic dependencies

Narito ang ilang halimbawa ng mga numerical na dependencies:

Mechanics at physics

Sa kasaysayan, ang mga mekanika at pisika ay palaging binuo gamit ang mga pamamaraan ng pananaliksik sa matematika at sa parehong oras ay nagsisilbing isang insentibo para sa pagbuo ng matematika, kabilang ang mga logarithms. Ang teorya ng karamihan sa mga batas ng pisika ay nakasulat sa wika ng matematika. Nagbibigay lamang kami ng dalawang halimbawa ng paglalarawan ng mga pisikal na batas gamit ang logarithm.

Posible upang malutas ang problema ng pagkalkula ng isang kumplikadong dami tulad ng bilis ng isang rocket gamit ang formula ng Tsiolkovsky, na naglatag ng pundasyon para sa teorya ng paggalugad sa kalawakan:

V = I * ln(M1/M2), kung saan

• Ang V ay ang huling bilis ng sasakyang panghimpapawid.
• Ako ang tiyak na salpok ng makina.
• Ang M 1 ay ang inisyal na masa ng rocket.
• M 2 - pangwakas na masa.

Isa pang mahalagang halimbawa- ito ang paggamit sa formula ng isa pang mahusay na siyentipiko, si Max Planck, na nagsisilbing pagsusuri sa estado ng ekwilibriyo sa thermodynamics.

S = k * ln (Ω), kung saan

• Ang S ay isang thermodynamic na katangian.
• k ay ang Boltzmann constant.
• Ang Ω ay ang istatistikal na timbang ng iba't ibang estado.

Chemistry

Hindi gaanong halata ang paggamit ng mga formula sa kimika na naglalaman ng ratio ng logarithms. Narito ang dalawang halimbawa lamang:

• Ang Nernst equation, ang kondisyon ng redox potential ng medium na may kaugnayan sa aktibidad ng mga substance at ang equilibrium constant.
• Hindi rin kumpleto ang pagkalkula ng mga pare-pareho gaya ng autoprolysis index at ang acidity ng solusyon kung wala ang ating function.

Sikolohiya at biology

At ito ay ganap na hindi maintindihan kung ano ang kinalaman ng sikolohiya dito. Lumalabas na ang lakas ng pandamdam ay mahusay na inilarawan ng function na ito bilang ang kabaligtaran na ratio ng halaga ng stimulus intensity sa mas mababang halaga ng intensity.

Pagkatapos ng mga halimbawa sa itaas, hindi na nakakagulat na ang tema ng logarithms ay malawakang ginagamit din sa biology. Ang buong volume ay maaaring isulat tungkol sa mga biyolohikal na anyo na naaayon sa logarithmic spirals.

Ibang lugar

Tila imposible ang pagkakaroon ng mundo nang walang koneksyon sa tungkuling ito, at ito ang namamahala sa lahat ng mga batas. Lalo na kapag ang mga batas ng kalikasan ay konektado sa isang geometric na pag-unlad. Ito ay nagkakahalaga ng pagsangguni sa website ng MatProfi, at mayroong maraming tulad na mga halimbawa sa mga sumusunod na lugar ng aktibidad:

Ang listahan ay maaaring walang katapusan. Ang pagkakaroon ng mastered ang mga pangunahing batas ng function na ito, maaari mong plunge sa mundo ng walang katapusang karunungan.

Power o logarithmic dependence?

Paghahambing ng mga coefficient ng ugnayan

Bumalik noong ika-19 na siglo German philosopher, isa sa mga founder ng scientific psychology G.-T. Iniharap ni Fechner ang isang psychophysical na batas na naglalarawan sa pagtitiwala ng mga sensasyon sa laki ng pisikal na pagpapasigla. Ang batas na ito, na tinatawag na Weber-Fechner law, ay nagpalagay ng logarithmic na relasyon sa pagitan ng enerhiya ng stimulus na kumikilos sa sense organ at ang magnitude ng sensasyon na dulot ng stimulus na ito. Noong XX siglo. ang American psychophysicist na si S. S. Stevens ay pinuna ang pamamaraan ni Fechner, na hindi nagpapahiwatig ng posibilidad ng isang direktang pagtatasa ng sensasyon. Ang resulta ng pagpuna na ito ay ang pag-unlad ni S. S. Stevens ng isang bilang ng mga pamamaraang pamamaraan, na tinawag na mga paraan ng direktang pagtatasa ng mga sensasyon. Batay sa data na nakuha sa eksperimento, naging posible na suriin ang kaugnayan sa pagitan ng magnitude ng stimulus at ang magnitude ng sensasyon hindi lamang sa teorya, kundi pati na rin sa pagsasanay. Bilang resulta, napagpasyahan ni Stevens na dapat ilarawan ang psychophysical dependence ngunit logarithmic, a kapangyarihan function.

Tingnan natin kung paano ginagawang posible ng pamamaraan ng Stevens at ng pinakasimpleng pamamaraan ng pagsusuri ng ugnayan na ihambing ang data para sa kanilang pagsunod sa logarithmic at power law psychophysical.

Upang gawin ito, gagamitin namin ang mga resulta na nakuha sa isang psychophysical experiment (T. Engen). Sa eksperimentong ito, ginamit ang paraan ng modulus value upang tantyahin ang mga konsentrasyon ng amoy ng amyl acetate (saging) na natunaw sa diethyl phthalate. Ang bawat isa sa 12 na paksa ay nasuri ng pitong magkakaibang mga konsentrasyon ng amoy nang dalawang beses. Ang isang konsentrasyon ng 12.5% ​​​​ay ginamit bilang modulus. Ang halaga ng modulus ay itinakda na katumbas ng 10. Ang 7.10 ay nagpapakita ng average na mga halaga ng sukat para sa bawat pampasigla.

Ipinakita namin ang mga resultang ito sa anyo ng isang scatterplot (Larawan 7.7). Ito ay makikita na habang ang konsentrasyon ng isang mabangong sangkap ay tumataas, ang subjective na pagtatasa ng sensasyon nito ay tumataas. Ang pag-asa na ito ay monotonic, ngunit tila hindi linear. Gayunpaman, ang pagkalkula ng koepisyent ng ugnayan sa pagitan ng dalawang serye ng data na ito ay nagbibigay ng medyo mataas na halaga na 0.984. Ang nasabing koepisyent ng ugnayan ay nagpapaliwanag ng 96.8% ng pagkakaiba ng dependent variable (criterion) na direktang nauugnay sa halaga ng independent variable (predictor), bagama't wala itong anumang teoretikal na batayan.

Talahanayan 7.10

Subjective odor scale ng amyl acetate na diluted sa diatyl phthalate (T. Engen )

kanin. 7.7.

Ang logarithmic Weber-Fechner law ay nagmumungkahi na ang isang linear na relasyon ay masusunod sa pagitan ng logarithms ng amyl acetate na konsentrasyon at ang subjective na marka ng sensasyon.

Ang gayong pag-asa ay tila malamang, sa paghusga sa data na ipinakita sa Fig. 7.7. Samakatuwid, babaguhin namin ang mga konsentrasyon na ginamit sa eksperimento sa kanilang mga natural na logarithms at muling bumuo ng isang scatterplot. Sa fig. Ang 7.8 ay sumasalamin sa pag-asa ng subjective na pagtatasa ng amoy, ngayon sa halaga ng logarithm ng konsentrasyon ng amyl acetate. Ngunit muli, tulad ng tila, hindi namin naobserbahan ang isang linear na relasyon. Sa oras na ito, ang koepisyent ng ugnayan sa pagitan ng logarithm ng konsentrasyon ng isang mabangong sangkap at ang subjective na pagtatasa ng amoy nito ay naging mas mababa kaysa sa nabanggit namin para sa paunang data, bagaman medyo mataas pa rin - 0.948. Sa kasong ito, 89.8% lang ng variance ng pagsubok ang direktang nauugnay sa variance ng predictor. Kaya, ang mga hula ng batas ng Weber-Fechner na may kaugnayan sa aming data ay mukhang hindi masyadong nakakumbinsi.

kanin. 7.8.

Ang batas ng kapangyarihan na Stevens psychophysical na batas ay nagtatatag ng isang linear na relasyon sa pagitan ng logarithms ng stimulation at ang magnitude ng sensasyon. Ipinapakita ng Figure 7.9 na ang hula na ito ay medyo tumpak. Ang lahat ng mga punto ng scatterplot ay nakahanay nang perpekto sa isang linya. Ang koepisyent ng ugnayan sa pagitan ng mga serye ng data na ito ay 0.999. Nangangahulugan ito na inilalarawan ng modelong ito ng regression ang 99.8% ng variance sa dependent variable na maaaring maiugnay sa variance sa independent variable.

kanin. 7.9.

Kaya, ang isang visual na paghahambing ng Fig. Ang 7.7-7.9, pati na rin ang mga kinakalkula na koepisyent ng ugnayan, ay tila malinaw na nagpapatotoo pabor sa batas ng kapangyarihan ng Stevens. Gayunpaman, subukan nating tantyahin kung gaano kalaki ang pagkakaiba sa istatistika sa pagitan ng tatlong coefficient ng ugnayan na ito.

Una sa lahat, magsasagawa kami ng logarithmic transformation ng correlation coefficients na kinakalkula namin, gamit ang non-linear Fisher transform:

Upang gawing simple ang mga kalkulasyon, maaari mong gamitin ang kaukulang function Microsoft Excel - FISHER. Bilang isang argumento, ito ay tumatagal ng halaga ng kaukulang correlation coefficient.

Ang mga resulta ng naturang mga pagbabago ay nagbibigay sa amin ng mga sumusunod na halaga ng z":

• 1. Para sa kaugnayan sa pagitan ng mga konsentrasyon ng amyl acetate at pagtatasa ng amoy, z" = 2.41.
• 2. Para sa koneksyon sa pagitan ng logarithm ng mga konsentrasyon at pagtatasa ng mga amoy, z" = 1.81.
• 3. Para sa koneksyon sa pagitan ng logarithm ng mga konsentrasyon at logarithm ng mga subjective na pagtatantya, z" = 3.89.

Ngayon ay maaari tayong maglagay ng tatlong istatistikal na hypotheses tungkol sa magkapares na pagkakapantay-pantay ng mga coefficient ng ugnayan na ito sa pangkalahatang populasyon. Upang masuri ang pagiging maaasahan ng istatistika ng mga hypotheses na ito, kinakailangan na bumuo ng tatlong istatistika z :

Dito P at t tumugma sa mga laki ng sample. Sa aming kaso, ang parehong mga halaga ay katumbas ng pito, dahil ang parehong data ay ginagamit.

Bilang isang resulta, nakuha namin na ang mga istatistika z para sa kaso ng paghahambing ng koepisyent ng ugnayan sa pagitan ng mga paunang halaga ng konsentrasyon ng isang mabangong sangkap at ang subjective na pagtatasa ng amoy, sa isang banda, at ang koepisyent ng ugnayan sa pagitan ng mga resulta ng logarithmic na pagbabago ng mga halaga ng pampasigla. at ang kanilang mga sensasyon, sa kabilang banda, ay lumalabas na katumbas ng 0.85, na tumutugma sa batas ng Weber-Fechner. Ang pagiging maaasahan ng mga istatistikang ito ay maaaring masuri gamit ang mga istatistikal na talahanayan (tingnan ang Appendix 1). Ang pagtatantya ay nagpapakita na ang naturang halaga ay hindi mapagkakatiwalaang naiiba mula sa zero at, samakatuwid, ito ay kinakailangan upang mapanatili ang null hypothesis na iniharap tungkol sa pagkakapantay-pantay ng mga coefficient ng ugnayan na ito.

Paghahambing ng koepisyent ng ugnayan, na ipinapalagay ang pagbabagong logarithmic ng parehong mga variable - batas ni Stevens, kasama ang mga coefficient ng ugnayan, na ipinapalagay ang pagbabagong logarithmic ng tanging independiyenteng variable - ang batas ng Weber-Fechner at hindi nagpapahiwatig ng gayong pagbabago sa lahat, nagbibigay ng mga z-statistic na halaga ng 2.94 at 2.10, ayon sa pagkakabanggit. Pareho sa mga halagang ito ay nagpapahiwatig ng isang maaasahang pagkakaiba sa pagitan ng mga istatistika ng z at ang teoretikal na inaasahang zero na halaga. Kaya naman,

kinakailangang tanggihan ang null hypothesis tungkol sa pagkakapantay-pantay ng mga coefficient ng ugnayan.

(mula sa Greek λόγος - "salita", "relasyon" at ἀριθμός - "numero") na mga numero b sa pamamagitan ng dahilan a(log α b) ay tinatawag na ganoong numero c, at b= isang c, ibig sabihin, log α b=c at b=ac ay katumbas. Makatuwiran ang logarithm kung a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Sa ibang salita logarithm numero b sa pamamagitan ng dahilan a binabalangkas bilang isang exponent kung saan dapat itaas ang isang numero a para makuha ang numero b(umiiral lamang ang logarithm para sa mga positibong numero).

Mula sa pagbabalangkas na ito ay sumusunod na ang pagkalkula x= log α b, ay katumbas ng paglutas ng equation a x =b.

Halimbawa:

log 2 8 = 3 dahil 8=2 3 .

Tandaan namin na ang ipinahiwatig na pagbabalangkas ng logarithm ay ginagawang posible upang agad na matukoy halaga ng logarithm kapag ang numero sa ilalim ng sign ng logarithm ay isang tiyak na kapangyarihan ng base. Sa katunayan, ang pagbabalangkas ng logarithm ay ginagawang posible upang bigyang-katwiran na kung b=a c, pagkatapos ay ang logarithm ng numero b sa pamamagitan ng dahilan a katumbas kasama. Malinaw din na ang paksa ng logarithm ay malapit na nauugnay sa paksa antas ng bilang.

Ang pagkalkula ng logarithm ay tinutukoy logarithm. Ang Logarithm ay ang matematikal na operasyon ng pagkuha ng logarithm. Kapag kumukuha ng logarithm, ang mga produkto ng mga salik ay binago sa kabuuan ng mga termino.

Potentiation ay ang mathematical operation na kabaligtaran sa logarithm. Kapag potentiating, ang ibinigay na base ay itataas sa kapangyarihan ng expression kung saan ang potentiation ay ginanap. Sa kasong ito, ang mga kabuuan ng mga termino ay binago sa produkto ng mga salik.

Kadalasan, ang mga totoong logarithm na may mga base 2 (binary), e Euler number e ≈ 2.718 (natural logarithm) at 10 (decimal) ay ginagamit.

Sa yugtong ito, ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang mga sample ng logarithms log 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

At ang mga entry lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 ay walang katuturan, dahil sa una sa kanila isang negatibong numero ang inilalagay sa ilalim ng tanda ng logarithm, sa pangalawa - isang negatibong numero sa ang base, at sa pangatlo - at isang negatibong numero sa ilalim ng tanda ng logarithm at unit sa base.

Mga kondisyon para sa pagtukoy ng logarithm.

Ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang nang hiwalay sa mga kondisyon a > 0, a ≠ 1, b > 0. kahulugan ng logarithm. Isaalang-alang natin kung bakit kinukuha ang mga paghihigpit na ito. Makakatulong ito sa amin sa pagkakapantay-pantay ng form na x = log α b, na tinatawag na pangunahing logarithmic identity, na direktang sumusunod sa kahulugan ng logarithm na ibinigay sa itaas.

Kunin ang kundisyon a≠1. Dahil ang isa ay katumbas ng isa sa anumang kapangyarihan, kung gayon ang pagkakapantay-pantay x=log α b maaari lamang umiral kapag b=1, ngunit ang log 1 1 ay magiging anumang tunay na numero. Upang maalis ang kalabuan na ito, kukunin namin a≠1.

Patunayan natin ang pangangailangan ng kondisyon a>0. Sa a=0 ayon sa pagbabalangkas ng logarithm, maaari lamang umiral kapag b=0. At pagkatapos ay naaayon log 0 0 maaaring maging anumang hindi-zero na tunay na numero, dahil ang zero sa anumang hindi-zero na kapangyarihan ay zero. Upang maalis ang kalabuan na ito, ang kondisyon a≠0. At kailan a<0 kailangan nating tanggihan ang pagsusuri ng makatwiran at hindi makatwiran na mga halaga ng logarithm, dahil ang exponent na may rasyonal at hindi makatwiran na exponent ay tinukoy lamang para sa mga di-negatibong base. Ito ay para sa kadahilanang ito na ang kondisyon a>0.

At ang huling kondisyon b>0 sumusunod mula sa hindi pagkakapantay-pantay a>0, dahil x=log α b, at ang halaga ng degree na may positibong base a laging positibo.

Mga tampok ng logarithms.

Logarithms nailalarawan sa pamamagitan ng katangi-tangi mga tampok, na humantong sa kanilang malawakang paggamit upang lubos na mapadali ang maingat na pagkalkula. Sa paglipat "sa mundo ng logarithms", ang multiplikasyon ay binago sa isang mas madaling karagdagan, paghahati sa pagbabawas, at pagtaas sa isang kapangyarihan at pagkuha ng isang ugat ay binago sa multiplikasyon at paghahati ng isang exponent, ayon sa pagkakabanggit.

Ang pagbabalangkas ng logarithms at isang talahanayan ng kanilang mga halaga (para sa mga function ng trigonometriko) ay unang nai-publish noong 1614 ng Scottish mathematician na si John Napier. Ang mga logarithmic table, na pinalaki at idinetalye ng ibang mga siyentipiko, ay malawakang ginagamit sa mga kalkulasyon ng siyentipiko at inhinyero, at nanatiling may kaugnayan hanggang sa magsimulang gumamit ng mga electronic calculator at computer.

logarithmic dependence- logaritminė priklausomybė statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. logarithmic dependence vok. logarithmische Abhängigkeit, f rus. logarithmic dependence, fpranc. dependance logarithmique, f … Fizikos terminų žodynas

Ang function na inverse sa exponential function (Tingnan ang exponential function). L. f. denoted y = lnx; (1) ang halaga nito na y, na tumutugma sa halaga ng argumentong x, ay tinatawag na natural na logarithm ng numerong x. Sa pamamagitan ng kahulugan...

Gupitin ng papel sa isang espesyal na paraan; karaniwang nakalimbag. Ito ay itinayo bilang mga sumusunod (Larawan 1): sa bawat isa sa mga axes ng isang rectangular coordinate system, ang mga decimal logarithms ng mga numero u ay naka-plot (sa x-axis) at ... Great Soviet Encyclopedia

Inverse ang function sa exponential function. L. f. ang halaga nito ay y ay ipinahiwatig, na tumutugma sa halaga ng argumentong x, na tinatawag. ang natural na logarithm ng x. Sa pamamagitan ng kahulugan, ang kaugnayan (1) ay katumbas Dahil para sa anumang tunay na y, pagkatapos ay L. f. ... ... Mathematical Encyclopedia

Graph ng binary logarithm Logarithm ng isang numero ... Wikipedia

Batas ng Weber-Fechner- logarithmic dependence ng lakas ng sensasyon E sa pisikal na intensity ng stimulus P: E = k log P + c, kung saan ang k at c ay ilang mga constant na tinutukoy ng sensory system na ito. Ang pagtitiwala ay hinango ng German psychologist at physiologist na si G. T. Fechner ...

intensity ng sensasyon- ang antas ng subjective na kalubhaan ng sensasyon na nauugnay sa isang tiyak na pampasigla. Ang ugnayan sa pagitan ng intensity ng sensasyon at ang pisikal na intensity ng stimulus ay medyo kumplikado. Iba't ibang modelo ang iminungkahi para ilarawan ang relasyong ito: halimbawa, sa ... ... Great Psychological Encyclopedia

Batas ng Weber-Fechner- logarithmic dependence ng lakas ng sensasyon (E) sa pisikal na intensity ng stimulus (P): E \u003d k log P + + c, kung saan ang k at c ay ilang mga constant na tinutukoy ng sensory system na ito. Ang pag-asa na ito ay hinango ng German psychologist at physiologist na si G. T ... Great Psychological Encyclopedia

I. Gawain P.; II. mga batas ng Weber at Fechner; III. Mga pamamaraan ng psychophysical; IV. Mga resulta ng eksperimento; V. Kahulugan ng mga psychophysical na batas; VI. Panitikan. I. Gawain P. Paghahambing ng iba't ibang sensasyon, mapapansin natin na mayroon silang: 1) iba't ibang katangian, 2) ... ... Encyclopedic Dictionary F.A. Brockhaus at I.A. Efron

Ang daloy ng isang likido o gas, na nailalarawan sa pamamagitan ng isang magulong, hindi regular na paggalaw ng mga volume nito at ang kanilang masinsinang paghahalo (tingnan ang Turbulence), ngunit sa pangkalahatan ay may isang makinis, regular na karakter. Ang pagbuo ng T. t. ay nauugnay sa kawalang-tatag ... ... Encyclopedia ng teknolohiya

pangunahing psychophysical na batas- ANG BATAYANG BATAS SA PSYCHO-PISIKAL - ang pag-andar ng pag-asa ng magnitude ng sensasyon sa laki ng stimulus. Isang solong formula O. p. z. hindi, ngunit may mga variant nito: logarithmic (Fechner), kapangyarihan (Stevens), pangkalahatan (Baird, Ekman, Zabrodin, atbp.) ... Encyclopedia of Epistemology at Philosophy of Science

Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala ang isang partikular na tao o makipag-ugnayan sa kanya.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Ang mga sumusunod ay ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, email address, atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala sa iyo ng mahahalagang paunawa at mensahe.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung sasali ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na insentibo, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hudikatura, sa mga ligal na paglilitis, at / o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga katawan ng estado sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang nasabing pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang mga dahilan ng pampublikong interes.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa may-katuturang kahalili ng third party.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Pagpapanatili ng iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga kasanayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.