Ang pyramid ay isang polyhedron na may polygon sa base nito. Ang lahat ng mga mukha, sa turn, ay bumubuo ng mga tatsulok na nagtatagpo sa isang tuktok. Ang mga pyramid ay tatsulok, quadrangular, at iba pa. Upang matukoy kung aling pyramid ang nasa harap mo, sapat na upang mabilang ang bilang ng mga sulok sa base nito. Ang kahulugan ng "taas ng pyramid" ay madalas na matatagpuan sa mga problema sa geometry sa kurikulum ng paaralan. Sa artikulo ay susubukan naming isaalang-alang ang iba't ibang paraan upang mahanap ito.
Mga bahagi ng pyramid
Ang bawat pyramid ay binubuo ng mga sumusunod na elemento:
- mga gilid na mukha na may tatlong sulok at nagtatagpo sa itaas;
- apothem ay kumakatawan sa taas na bumababa mula sa tuktok nito;
- ang tuktok ng pyramid ay isang punto na nag-uugnay sa mga gilid ng gilid, ngunit hindi nakahiga sa eroplano ng base;
- ang base ay isang polygon na hindi naglalaman ng vertex;
- ang taas ng pyramid ay isang segment na nag-intersect sa tuktok ng pyramid at bumubuo ng tamang anggulo sa base nito.
Paano mahahanap ang taas ng isang pyramid kung alam ang volume nito
Sa pamamagitan ng formula V \u003d (S * h) / 3 (sa formula V ay ang volume, S ang base area, h ang taas ng pyramid), nakita namin na h \u003d (3 * V) / S . Upang pagsamahin ang materyal, agad nating lutasin ang problema. Ang triangular na base ay 50 cm 2 habang ang volume nito ay 125 cm 3 . Ang taas ng triangular pyramid ay hindi alam, na kailangan nating hanapin. Ang lahat ay simple dito: ipinapasok namin ang data sa aming formula. Nakukuha namin ang h \u003d (3 * 125) / 50 \u003d 7.5 cm.
Paano mahahanap ang taas ng isang pyramid kung ang haba ng dayagonal at ang gilid nito ay kilala
Tulad ng naaalala natin, ang taas ng pyramid ay bumubuo ng isang tamang anggulo sa base nito. At nangangahulugan ito na ang taas, gilid at kalahati ng dayagonal na magkasama ay bumubuo ng Marami, siyempre, tandaan ang Pythagorean theorem. Ang pag-alam ng dalawang dimensyon, hindi magiging mahirap na hanapin ang pangatlong halaga. Alalahanin ang kilalang theorem a² = b² + c², kung saan ang a ay ang hypotenuse, at sa aming kaso ang gilid ng pyramid; b - ang unang binti o kalahati ng dayagonal at c - ayon sa pagkakabanggit, ang pangalawang binti, o ang taas ng pyramid. Mula sa formula na ito, c² = a² - b².
Ngayon ang problema: sa isang regular na pyramid, ang dayagonal ay 20 cm, habang ang haba ng gilid ay 30 cm. Kailangan mong hanapin ang taas. Nalutas namin ang: c² \u003d 30² - 20² \u003d 900-400 \u003d 500. Samakatuwid c \u003d √ 500 \u003d tungkol sa 22.4.
Paano mahahanap ang taas ng isang pinutol na pyramid
Ito ay isang polygon na may isang seksyon na kahanay sa base nito. Ang taas ng pinutol na pyramid ay ang segment na nag-uugnay sa dalawang base nito. Ang taas ay matatagpuan sa isang regular na pyramid kung ang mga haba ng mga diagonal ng parehong base, pati na rin ang gilid ng pyramid, ay kilala. Hayaang ang dayagonal ng mas malaking base ay d1, habang ang dayagonal ng mas maliit na base ay d2, at ang gilid ay may haba l. Upang mahanap ang taas, maaari mong ibaba ang mga taas mula sa dalawang itaas na magkatapat na punto ng diagram hanggang sa base nito. Nakita namin na mayroon kaming dalawang right-angled triangles, nananatili itong hanapin ang haba ng kanilang mga binti. Upang gawin ito, ibawas ang mas maliit na dayagonal mula sa mas malaking dayagonal at hatiin ng 2. Kaya makikita natin ang isang binti: a \u003d (d1-d2) / 2. Pagkatapos nito, ayon sa Pythagorean theorem, kailangan lamang nating hanapin ang pangalawang binti, na siyang taas ng pyramid.
Ngayon tingnan natin ang buong bagay na ito sa pagsasanay. Mayroon kaming isang gawain sa hinaharap. Ang pinutol na pyramid ay may isang parisukat sa base, ang dayagonal na haba ng mas malaking base ay 10 cm, habang ang mas maliit ay 6 cm, at ang gilid ay 4 cm. Kinakailangan upang mahanap ang taas. Upang magsimula, nakita namin ang isang binti: isang \u003d (10-6) / 2 \u003d 2 cm. Ang isang binti ay 2 cm, at ang hypotenuse ay 4 cm. Lumalabas na ang pangalawang binti o taas ay magiging 16- 4 \u003d 12, iyon ay, h \u003d √12 = mga 3.5 cm.
Teorama. Ang dami ng isang pyramid ay katumbas ng produkto ng lugar ng base nito at isang third ng taas nito.
Una, pinatunayan namin ang teorama na ito para sa isang tatsulok na pyramid, at pagkatapos ay para sa isang polygonal.
1) Batay sa tatsulok na pyramid SABC (Larawan 102), bumuo kami ng isang prisma na SABCDE na ang taas ay katumbas ng taas ng pyramid, at ang isang gilid na gilid ay tumutugma sa gilid ng SB. Patunayan natin na ang volume ng pyramid ay isang third ng volume ng prism na ito. Ihiwalay ang pyramid na ito sa prisma. Iniiwan nito ang quadrangular pyramid SADEC (na ipinapakita nang hiwalay para sa kalinawan). Gumuhit tayo ng isang cutting plane dito sa pamamagitan ng vertex S at ang dayagonal ng base DC. Ang nagresultang dalawang triangular na pyramids ay may isang karaniwang vertex S at pantay na mga base DEC at DAC na nakahiga sa parehong eroplano; samakatuwid, ayon sa lemma na napatunayan sa itaas, ang mga pyramid na ito ay pantay. Ihambing natin ang isa sa kanila, ang SDEC, sa pyramid na ito. Para sa base ng SDEC pyramid, maaari mong kunin ang \(\Delta\)SDE; pagkatapos ang tuktok nito ay nasa punto C at ang taas ay katumbas ng taas ng pyramid na ito. Dahil ang \(\Delta\)SDE = \(\Delta\)ABC, kung gayon, ayon sa parehong lemma, ang mga pyramids na SDEC at SABC ay pantay.
Ang prism ABCDES ay hinati namin sa tatlong pantay na laki ng pyramids: SABC, SDEC at SDAC. (Malinaw, ang anumang triangular prism ay maaaring sumailalim sa naturang partition. Isa ito sa mga mahalagang katangian ng isang triangular prism.) Kaya, ang kabuuan ng mga volume ng tatlong pyramids na katumbas ng laki sa isang ibinigay ay ang volume ng ang prisma; kaya naman,
$$ V_(SABC) = \frac(1)(3) V_(SDEABC) = \frac(S_(ABC)\cdot H)(3) = S_(ABC)\frac(H)(3) $$
kung saan ang H ay ang taas ng pyramid.
2) Sa pamamagitan ng ilang vertex E (Fig. 103) ng base ng polygonal pyramid SABCDE iguhit natin ang mga diagonal na EB at EC.
Pagkatapos ay gumuhit kami ng mga cutting planes sa gilid ng SE at bawat isa sa mga diagonal na ito. Pagkatapos ang polygonal pyramid ay hahatiin sa ilang tatsulok na may taas na karaniwan sa ibinigay na pyramid. Tinutukoy ang mga lugar ng mga base ng triangular na pyramid sa pamamagitan ng b 1 ,b 2 ,b 3 at taas hanggang H, magkakaroon tayo ng:
dami SABCDE = 1 / 3 b 1H+1/3 b 2H+1/3 b 3 H = ( b 1 + b 2 + b 3) H / 3 =
= (lugar ABCDE) H / 3 .
Bunga. Kung ang ibig sabihin ng V, B at H ay mga numerong nagpapahayag sa naaangkop na mga yunit ng volume, base area at taas ng anumang pyramid, kung gayon
Teorama. Ang volume ng isang pinutol na pyramid ay katumbas ng kabuuan ng mga volume ng tatlong pyramid na may parehong taas sa taas ng pinutol na pyramid, at mga base: ang isa ay ang mas mababang base ng pyramid na ito, ang isa ay ang itaas na base, at ang base area ng ikatlong pyramid ay katumbas ng geometric mean ng mga lugar ng upper at lower base.
Hayaang ang mga lugar ng mga base ng pinutol na pyramid (Larawan 104) ay B at b, taas H at volume V (ang pinutol na pyramid ay maaaring tatsulok o polygonal - hindi mahalaga).
Ito ay kinakailangan upang patunayan iyon
V = 1/3 BH + 1/3 b H + 1 / 3 H√B b= 1/3H(B+ b+√B b ),
saan √B b ay ang geometric na ibig sabihin sa pagitan ng B at b.
Upang patunayan sa isang mas maliit na batayan, naglalagay kami ng isang maliit na pyramid na umaakma sa pinutol na pyramid na ito sa isang kumpletong isa. Pagkatapos ay maaari nating isaalang-alang ang dami ng pinutol na pyramid V bilang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang volume - ang buong pyramid at ang itaas na karagdagang isa.
Tinutukoy ang taas ng karagdagang pyramid na may titik X, hahanapin natin yan
V = 1/3 B (H + X) - 1 / 3 bx= 1 / 3 (BH + B x - bx) = 1 / 3 [ВH + (В - b)X].
Upang mahanap ang taas X ginagamit namin ang theorem mula sa , ayon sa kung saan maaari naming isulat ang equation:
$$ \frac(B)(b) = \frac((H + x)^3)(x^2) $$
Upang gawing simple ang equation na ito, kinukuha namin ang arithmetic square root nito mula sa magkabilang panig:
$$ \frac(\sqrt(B))(\sqrt(b)) = \frac(H + x)(x) $$
Mula sa equation na ito (na maaaring isipin bilang isang proporsyon) nakukuha natin:
$$ x\sqrt(B) = H\sqrt(b) + x\sqrt(b) $$
$$ (\sqrt(B) - \sqrt(b))x = H\sqrt(b) $$
at samakatuwid
$$ x = \frac(H\sqrt(b))(\sqrt(B) - \sqrt(b)) $$
Ang pagpapalit ng expression na ito sa pormula na nakuha namin para sa dami ng V, nakita namin:
$$ V = \frac(1)(3)\kaliwa $$
Since V- b= (√B + √ b) (√B - √ b), pagkatapos ay sa pamamagitan ng pagbabawas ng fraction sa pamamagitan ng pagkakaiba √B - √ b makuha namin:
$$ V = \frac(1)(3) BH +(\sqrt(B) + \sqrt(b))H\sqrt(b) =\\= \frac(1)(3)(BH+H\ sqrt(Bb)+Hb) =\\= \frac(1)(3)H(B+b+\sqrt(Bb)) $$
ibig sabihin, nakukuha namin ang pormula na kailangang patunayan.
Iba pang mga materyalesPyramid tinatawag na polyhedron na ang base ay isang di-makatwirang polygon, at lahat ng mga mukha ay mga tatsulok na may karaniwang vertex, na siyang tuktok ng pyramid.
Ang pyramid ay isang three-dimensional na pigura. Iyon ang dahilan kung bakit madalas na kinakailangan upang mahanap hindi lamang ang lugar nito, kundi pati na rin ang dami nito. Ang formula para sa dami ng isang pyramid ay napaka-simple:
kung saan ang S ay ang lugar ng base at ang h ay ang taas ng pyramid.
taas Ang pyramid ay tinatawag na isang tuwid na linya, na ibinababa mula sa itaas hanggang sa base sa isang tamang anggulo. Alinsunod dito, upang mahanap ang dami ng pyramid, kinakailangan upang matukoy kung aling polygon ang nasa base, kalkulahin ang lugar nito, alamin ang taas ng pyramid at hanapin ang dami nito. Isaalang-alang ang isang halimbawa ng pagkalkula ng volume ng isang pyramid.
Gawain: binigyan ng regular na quadrangular pyramid. 
Base na gilid a = 3 cm, lahat ng gilid ng gilid b = 4 cm. Hanapin ang volume ng pyramid.
Una, tandaan na upang makalkula ang lakas ng tunog, kailangan mo ang taas ng pyramid. Mahahanap natin ito gamit ang Pythagorean theorem. Upang gawin ito, kailangan namin ang haba ng dayagonal, o sa halip, kalahati nito. Pagkatapos ay alam natin ang dalawa sa mga gilid ng isang tamang tatsulok, mahahanap natin ang taas. Una, hanapin ang dayagonal: 
Palitan ang mga halaga sa formula: 
Nahanap namin ang taas h gamit ang d at gilid b : 
Ngayon hanapin natin
Ang pangunahing katangian ng anumang geometric na pigura sa espasyo ay ang dami nito. Sa artikulong ito, isasaalang-alang namin kung ano ang isang pyramid na may isang tatsulok sa base, at ipakita din kung paano hanapin ang dami ng isang tatsulok na pyramid - regular na puno at pinutol.
Ano ang triangular pyramid?
Narinig na ng lahat ang tungkol sa sinaunang Egyptian pyramids, ngunit sila ay quadrangular regular, hindi triangular. Ipaliwanag natin kung paano makakuha ng triangular pyramid.
Kumuha tayo ng di-makatwirang tatsulok at ikonekta ang lahat ng vertices nito sa isang punto na matatagpuan sa labas ng eroplano ng tatsulok na ito. Ang resultang figure ay tatawaging triangular pyramid. Ito ay ipinapakita sa figure sa ibaba.
Tulad ng nakikita mo, ang figure na isinasaalang-alang ay nabuo ng apat na tatsulok, na sa pangkalahatang kaso ay naiiba. Ang bawat tatsulok ay ang mga gilid ng pyramid o ang mukha nito. Ang pyramid na ito ay madalas na tinatawag na tetrahedron, iyon ay, isang four-sided three-dimensional figure.
Bilang karagdagan sa mga gilid, ang pyramid ay mayroon ding mga gilid (mayroong 6 sa kanila) at mga vertices (mayroong 4 sa kanila).
na may tatsulok na base
Ang figure, na nakuha gamit ang isang arbitrary na tatsulok at isang punto sa espasyo, ay magiging isang irregular inclined pyramid sa pangkalahatang kaso. Ngayon isipin na ang orihinal na tatsulok ay may parehong mga gilid, at ang isang punto sa espasyo ay matatagpuan nang eksakto sa itaas ng geometric na sentro nito sa layo na h mula sa eroplano ng tatsulok. Ang pyramid na binuo gamit ang paunang data na ito ay magiging tama.
Malinaw, ang bilang ng mga gilid, gilid at vertices ng isang regular na triangular na pyramid ay magiging kapareho ng bilang ng isang pyramid na binuo mula sa isang arbitrary triangle.
Gayunpaman, ang tamang figure ay may ilang mga natatanging tampok:
- ang taas nito, na iginuhit mula sa itaas, ay eksaktong mag-intersect sa base sa geometric center (ang punto ng intersection ng mga median);
- ang gilid na ibabaw ng naturang pyramid ay nabuo ng tatlong magkakahawig na tatsulok na isosceles o equilateral.
Ang regular na triangular na pyramid ay hindi lamang isang teoretikal na geometric na bagay. Ang ilang mga istraktura sa kalikasan ay may hugis nito, tulad ng kristal na sala-sala ng brilyante, kung saan ang isang carbon atom ay konektado sa apat sa parehong mga atom sa pamamagitan ng mga covalent bond, o isang molekula ng methane, kung saan ang mga tuktok ng pyramid ay nabuo ng mga atomo ng hydrogen.
tatsulok na pyramid
Maaari mong matukoy ang dami ng ganap na anumang pyramid na may arbitrary na n-gon sa base gamit ang sumusunod na expression:
Dito ang simbolo na S o ay nagpapahiwatig ng lugar ng base, h ay ang taas ng figure na iginuhit sa minarkahang base mula sa tuktok ng pyramid.
Dahil ang lugar ng isang di-makatwirang tatsulok ay katumbas ng kalahati ng produkto ng haba ng gilid nito a at ang apothem h a ay ibinaba sa panig na ito, ang formula para sa dami ng isang tatsulok na pyramid ay maaaring isulat sa sumusunod na anyo:
V = 1/6 × a × h a × h
Para sa isang generic na uri, ang pagtukoy sa taas ay hindi isang madaling gawain. Upang malutas ito, ang pinakamadaling paraan ay ang paggamit ng formula para sa distansya sa pagitan ng isang punto (vertex) at isang eroplano (triangular base), na kinakatawan ng isang pangkalahatang equation.
Para sa tama, mayroon itong tiyak na hitsura. Ang lugar ng base (isang equilateral triangle) para dito ay katumbas ng:
Pinapalitan namin ito sa pangkalahatang expression para sa V, nakukuha namin:
V = √3/12 × isang 2 × h
Ang isang espesyal na kaso ay ang sitwasyon kapag ang lahat ng panig ng isang tetrahedron ay lumabas na magkaparehong equilateral triangles. Sa kasong ito, ang dami nito ay maaaring matukoy lamang sa batayan ng pag-alam sa parameter ng gilid nito a. Ang katumbas na expression ay ganito ang hitsura:
Pinutol na pyramid
Kung ang itaas na bahagi na naglalaman ng vertex ay pinutol mula sa isang regular na triangular na pyramid, pagkatapos ay isang pinutol na pigura ang makukuha. Hindi tulad ng orihinal, ito ay bubuo ng dalawang equilateral triangular base at tatlong isosceles trapezoids.
Ang larawan sa ibaba ay nagpapakita kung ano ang hitsura ng isang regular na pinutol na triangular na pyramid na gawa sa papel.
Upang matukoy ang dami ng isang pinutol na triangular na pyramid, kinakailangang malaman ang tatlong linear na katangian nito: bawat isa sa mga gilid ng mga base at ang taas ng figure, katumbas ng distansya sa pagitan ng itaas at mas mababang mga base. Ang kaukulang pormula para sa lakas ng tunog ay nakasulat bilang mga sumusunod:
V = √3/12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)
Narito ang h ay ang taas ng figure, A at a ay ang mga haba ng mga gilid ng malaki (mas mababa) at maliit (itaas) equilateral triangles, ayon sa pagkakabanggit.
Ang solusyon sa problema
Upang gawing mas malinaw para sa mambabasa ang impormasyon sa artikulo, ipapakita namin nang may malinaw na halimbawa kung paano gamitin ang ilan sa mga nakasulat na formula.
Hayaang ang volume ng isang triangular na pyramid ay 15 cm 3. Ito ay kilala na ang figure ay tama. Dapat mong hanapin ang apothem a b ng lateral edge kung alam na ang taas ng pyramid ay 4 cm.
Dahil alam ang volume at taas ng figure, maaari mong gamitin ang naaangkop na formula upang kalkulahin ang haba ng gilid ng base nito. Meron kami:
V = √3/12 × a 2 × h =>
a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25.98 cm
a b \u003d √ (h 2 + a 2 / 12) \u003d √ (16 + 25.98 2 / 12) \u003d 8.5 cm
Ang kinakalkula na haba ng apothem ng figure ay naging mas malaki kaysa sa taas nito, na totoo para sa anumang uri ng pyramid.
Teorama.
Ang dami ng isang pyramid ay katumbas ng isang-katlo ng produkto ng lugar ng base at taas..
Patunay:
Una naming patunayan ang teorama para sa isang tatsulok na pyramid, pagkatapos ay para sa isang arbitraryo.1. Isaalang-alang ang isang tatsulok na pyramidOABCna may volume V, base areaS at taas h. Gumuhit ng isang axis ay (OM2- taas), isaalang-alang ang seksyonA1 B1 C1mga pyramid na may isang eroplanong patayo sa axisohat, samakatuwid, parallel sa eroplano ng base. Tukuyin ngX punto ng abscissa M1 intersection ng eroplanong ito sa x-axis, at sa pamamagitan ngS(x)- cross-sectional area. Express S(x) sa pamamagitan ng S, h at X. Tandaan na ang mga tatsulok A1 AT1 Sa1 at Ang ABC ay magkatulad. Talagang A1 AT1 II AB, kaya tatsulok OA 1 AT 1 katulad ng tatsulok na OAB. Sa dahil dito, PERO1 AT1 : PEROB= OA 1: OA .
kanang tatsulok OA 1 AT 1 at OAB ay magkatulad din (mayroon silang karaniwang talamak na anggulo na may vertex O). Kaya naman, OA 1: OA = O 1 M1 : OM = x: h. Sa gayon PERO 1 AT 1 : A B = x: h.Katulad nito, ito ay pinatunayan naB1 C1:Araw = X: h at A1 C1:AC = X: h.Kaya ang tatsulokA1 B1 C1 at ABCkatulad ng koepisyent ng pagkakatulad X: h.Samakatuwid, S(x): S = (x: h)², o S(x) = S x²/ h².
Ilapat natin ngayon ang pangunahing pormula para sa pagkalkula ng mga volume ng katawan saa= 0, b=h nakukuha natin
Kaya, ang dami ng orihinal na pyramid ay 1/3Sh. Napatunayan na ang theorem.
Bunga:
Volume V ng isang pinutol na pyramid na may taas h at mga base na lugar S at S1 , ay kinakalkula ng formula
h - ang taas ng pyramid
S tuktok - lugar ng itaas na base
S mas mababa - lugar ng mas mababang base
