Ang mga pagpapatakbo ng aritmetika sa mga convergent sequence ay humahantong sa parehong mga operasyon ng aritmetika sa kanilang mga limitasyon. Sa subsection na ito, ipinapakita namin na ang mga hindi pagkakapantay-pantay na nasiyahan ng mga elemento ng convergent sequence ay lumampas sa limitasyon sa mga kaukulang hindi pagkakapantay-pantay para sa mga limitasyon ng mga sequence na ito.
Teorama. Kung ang mga elemento ng isang convergent sequence ( x n x n ≥ b (x n ≤ b), pagkatapos ay ang limitasyon a ang pagkakasunud-sunod na ito ay nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay a ≥ b (a ≤ b).
Patunay. Hayaan ang lahat ng mga elemento x n, hindi bababa sa simula sa ilang numero, masiyahan ang hindi pagkakapantay-pantay x n ≥ b. Ito ay kinakailangan upang patunayan ang hindi pagkakapantay-pantay a ≥ b. Magpanggap na tayo a < b. Sa abot ng a- limitasyon ng pagkakasunud-sunod ( x n), pagkatapos ay para sa isang positibo ε = b - a maaari mong tukuyin ang numero N tulad na sa n ≥ N ang hindi pagkakapantay-pantay | x n - a| < b - a. Ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay katumbas ng sumusunod na dalawang hindi pagkakapantay-pantay: -( b - a) < x n - a < b - a. Gamit ang karapatan ng mga hindi pagkakapantay-pantay na ito, nakukuha natin x n < b, na sumasalungat sa hypothesis ng theorem. Nangyayari x n ≤ b ginagamot sa katulad na paraan. Napatunayan na ang theorem.
Magkomento. Mga elemento ng convergent sequence ( x n) ay maaaring matugunan ang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay x n > b, gayunpaman, ang limitasyon a maaaring magkapantay b. Halimbawa, kung , pagkatapos x n> 0, gayunpaman .
Bunga 1. Kung ang mga elemento x n at y n convergent sequence ( x n) at ( y n), simula sa ilang bilang, bigyang-kasiyahan ang hindi pagkakapantay-pantay x n ≤ y n, kung gayon ang kanilang mga limitasyon ay nakakatugon sa parehong hindi pagkakapantay-pantay:
Sa katunayan, ang mga elemento ng pagkakasunud-sunod ( y n - x n) ay di-negatibo, at samakatuwid ang limitasyon nito ay hindi rin negatibo. Kaya naman sinusunod iyon
Bunga 2. Kung ang lahat ng elemento ng convergent sequence ( x n) ay nasa segment [ a, b], pagkatapos ay ang limitasyon nito c nasa segment na ito din.
Sa katunayan, mula noong a ≤ x n ≤ b, pagkatapos a ≤ c ≤ b.
Ang sumusunod na theorem ay gumaganap ng isang mahalagang papel sa iba't ibang mga aplikasyon.
Teorama. Hayaan ( x n) at ( z n) ay mga convergent sequence na may karaniwang limitasyon a. Hayaan, bilang karagdagan, simula sa ilang numero, ang mga elemento ng pagkakasunud-sunod ( y n) matugunan ang mga hindi pagkakapantay-pantay x n ≤ y n ≤ z n. Pagkatapos ay ang pagkakasunud-sunod ( y n) nagtatagpo at may hangganan a.
Patunay. Sapat na para sa atin na patunayan na ang pagkakasunod-sunod ( y n - a) ay infinitesimal. Tukuyin ng N* ang bilang na nagsisimula kung saan ang mga hindi pagkakapantay-pantay na tinukoy sa kondisyon ng theorem ay nasiyahan. Pagkatapos, simula sa parehong bilang, ang hindi pagkakapantay-pantay ay magkakaroon din x n - a ≤ y n - a ≤ z n - a. Ito ay sumusunod mula dito na kapag n ≥ N* mga elemento ng pagkakasunud-sunod ( y n - a) masiyahan ang hindi pagkakapantay-pantay
|y n - a| ≤max(| x n - a|, |z n - a|}.
Simula at , pagkatapos ay para sa anumang ε > 0 maaari mong tukuyin ang mga numero N 1 at N 2 tulad na kapag n ≥ N 1 |x n - a| < ε , At kailan n ≥ N 2 |z n - a| < ε . Hayaan N=max( N*, N 1 , N 2). Simula sa numerong ito, ang hindi pagkakapantay-pantay | y n - a| < ε . Kaya ang pagkakasunod-sunod ( y n - a) ay infinitesimal. Napatunayan na ang theorem.
pagbabalangkas: Kung mayroong 3 mga pagkakasunud-sunod, ang mga elemento ng isa kung saan, simula sa isang tiyak na numero, ay nasa pagitan ng mga elemento ng iba pang dalawa na may pantay na mga numero, at mayroon ding 2 iba pang mga pagkakasunud-sunod ay may hangganan na mga limitasyon, at ang mga limitasyong ito ay pantay, kung gayon ang aming pagkakasunud-sunod ay magsasama rin sa isang may hangganang limitasyon, at ang limitasyong ito ay magiging katumbas ng mga limitasyon ng iba pang dalawang sequence.
Patunay:
isang n limitasyon a n ay d at limitasyon c n ay d
(!) na ang sequence b n ay may hangganan din at ito ay katumbas ng d
isaalang-alang ang E>0
Ang limit a n ay katumbas ng d, kaya mayroong isang numerong N 1 simula kung saan |a n -d|
pagkatapos:
E-d<а n ibig sabihin, E-d na dapat patunayan.
Depinisyon 1. Ang isang function na f(x) ay tinatawag na tuloy-tuloy sa isang puntong x = a kung ito ay tinukoy sa ilang dalawang panig na kapitbahayan ng puntong ito, kasama ang puntong ito mismo, at, bukod dito,
Ang isang function ay tinatawag na tuloy-tuloy sa isang pagitan kung ito ay tuloy-tuloy sa lahat ng mga punto ng pagitan na ito.
Mga breakpoint at ang kanilang mga uri
Depinisyon 2. Ang puntong x = a ay tinatawag na isang punto ng discontinuity kung sa puntong ito ang function ay may pantay na hangganan ng mga limitasyon, ngunit sa puntong ito ito ay kukuha ng ibang halaga o hindi natukoy sa lahat.
Depinisyon 3. Ang isang punto x = a ay tinatawag na isang discontinuity point ng unang uri kung sa puntong ito ang function ay may hangganan ngunit magkaibang mga one-sided na limitasyon. Kasabay nito, ang pagkakaiba
f(a + 0) - f(a - 0)
ay tinatawag na jump ng function sa puntong x = a.
Depinisyon 4. Ang puntong x = a ay tinatawag na discontinuity point ng pangalawang uri kung hindi bababa sa isa sa mga one-sided na limitasyon ay wala o katumbas ng .
Theorem 1. Kung ang mga function na f(x) at g(x) ay tuloy-tuloy sa puntong x = a, kung gayon ang mga function na f(x) ± g(x), f(x) g(x), , kung saan g( a) 0 tuloy din sa puntong ito.
Theorem 2. Kung ang function na f(x) ay tuloy-tuloy sa puntong x = a, at ang function na g(y) ay tuloy-tuloy sa puntong y = b, b = f(a), kung gayon ang complex function na g(f( x)) ay tuloy-tuloy sa puntong x = a.
Theorem 3. Ang lahat ng elementarya ay tuluy-tuloy sa lahat ng mga punto kung saan sila ay tinukoy.
©2015-2019 site
Lahat ng karapatan ay pagmamay-ari ng kanilang mga may-akda. Hindi inaangkin ng site na ito ang pagiging may-akda, ngunit nagbibigay ng libreng paggamit.
Petsa ng paggawa ng page: 2016-07-22
Hayaan ang presyo ng ilang asset sa kasalukuyang sandali ng oras r ay katumbas ng S(T) . Ang presyo ng ehersisyo ng isang opsyon sa pagtawag sa asset na ito na may expiration time T ay katumbas ng K. Kalkulahin natin ang presyo ng opsyong ito sa oras na t. Hatiin ang agwat ng oras [r, T] sa n yugto ng parehong haba (T - t)/n. Ang pagkalkula ng presyo ng opsyon sa tawag ay isinasagawa sa loob ng balangkas ng modelo ng pagpepresyo ng n-period na binomial na opsyon, at pagkatapos ay makikita ang limitasyon nito sa n -> oo.
Kaya, ang presyo ng opsyon sa n-period na binomial na modelo ay tinutukoy ng formula (3.12). Ayon sa kahulugan, ang jo ay may gawi sa In [K/(S(t)dn))/ ln(m/d) bilang m i —» oo. Ayon sa Moivre-Laplace integral formula
b&j0,n,p) - 1 -F (, b&j0,n,p") -
y/npq J \ l/np"q
kung saan Ф(х) = ^ dt - normal distribution function.
Gamit ang kahulugan (3.16) ng mga numero at ad, nakuha namin iyon bilang η -> oo
c \u003d S (r) Ф (гіі) - Ke-r ^-T4 (d2), (3.17)
saan
\ii(S(t)/K) + (r + a2/2)(T - m)
d\
al/T - t
al/T - t
Ang nahanap na formula (3.17) para sa presyo ng call option ay tinatawag na Black-Scholes formula.
Ang patunay ng formula (3.17) ay gumagamit ng pagpapalawak ng exponent sa serye
ex = 1 + x+^+.... (3.18)
Ang pagpapalit at at d mula sa formula (3.17) sa pagkakapantay-pantay (3.8), na tumutukoy sa mga numerong р id, nakukuha natin ang:
erAt - ate/Sh-
R
Ang pagpapalawak ng mga exponential sa isang serye ayon sa formula (3.18) at pagpapabaya sa mga terminong maliit kumpara sa At, nakukuha namin
al / At + (g - a212) At al / At - (g - a212) At
P ~ t= 1 I ~ t=
2al/M 2al/M
Kung walang kawalan ng katiyakan sa presyo sa merkado, kung gayon ang presyo ng asset na S ay natutugunan ang equation
AS = fiSAt, (2.1)
kung saan ang At ay sapat na maliit. Bilang Sa -> 0 equation (2.1) ay nagiging kaugalian
S" = /J.S.
Tinutukoy ng solusyon nito na S(T) = S(0)emT ang presyo ng S(T) ng asset sa oras na T.
Gayunpaman, sa pagsasagawa, palaging may kawalan ng katiyakan tungkol sa presyo ng isang asset. Upang ilarawan ang kawalan ng katiyakan, isinasaalang-alang ang mga function ng oras, na mga random na variable para sa bawat halaga ng argumento. Tinutukoy ng property na ito ang isang random na proseso.
Ang isang random na proseso w(t) ay tinatawag na Wiener kung r(0) = 0 at ang mga random na variable w(t\ + s) - w(t\) at w(t2 + s) - w(t2) ay may normal na distribution na may zero na inaasahan at may pagkakaiba-iba na katumbas ng s at independyente para sa anumang t\, t2, s na bumubuo ng mga hindi magkakapatong na pagitan (ti,ti + s) at (t2,t2 + s).
Ang graph ng proseso ng Wiener ay maaaring makuha, halimbawa, tulad ng sumusunod. Inaayos namin ang ilang numero h > 0 at tinutukoy ang isang pamilya ng mga random na variable Wh(t) minsan t = 0, h, 2h,.... Itakda ang Wh(0) = 0. Pagkakaiba AWh = Wh((k+l) h) - Ang Wh(kh) ay isang random na variable at ibinibigay ng talahanayan: AWh -6 6 P 1/2 1/2 coin. Pagkatapos ang mathematical na inaasahan ng random variable na AWh ay M(AI//1) = 0, at ang variance D(AWh) = S2. Ang numerong d ay itinakda katumbas ng Vh upang ang variance ~D(AWh) ay katumbas ng h.
Lumalabas na ang proseso ng Wiener na w(t) ay nakuha mula sa pamilya ng mga random na variable na Wh(t) bilang h -> 0. Ang pagpasa sa mismong limitasyon ay medyo mahirap at hindi isinasaalang-alang dito. Samakatuwid, ang graph ng pamilyang Wh (t) para sa maliit na h ay isang magandang pagtatantya ng proseso ng Wiener. Halimbawa, para sa isang visual na representasyon ng proseso ng Wiener sa isang segment, sapat na itong kumuha ng h = 0.01.
Sa pinakasimpleng kaso, kapag /x = 0, iyon ay, ang stock market ay hindi lumalaki at hindi bumababa sa karaniwan, ipinapalagay na
AS = aS Aw,
kung saan ang w(t) ay isang proseso ng Wiener at ang isang > 0 ay ilang positibong numero. Ang katotohanan na ang mga pagtaas ng presyo ng asset ay proporsyonal sa presyo ay nagpapahayag ng natural na palagay na ang kawalan ng katiyakan ng expression (S(t + At) - S(t))/S(t) ay hindi nakadepende sa S. Nangangahulugan ito na ang mamumuhunan ay pare-parehong hindi sigurado kung alin ang makakakuha ka ng bahagi ng kita sa presyo ng asset na $20 at sa presyo ng asset na $100.
Ang modelo ng pag-uugali sa presyo ng asset ay karaniwang tinutukoy ng equation
A S(t) = /j,S(t)At + aS(t)Aw, (2.2)
Ang coefficient a, na isang yunit ng kawalan ng katiyakan, ay tinatawag na pagkasumpungin.
2.2.
Higit pa sa paksa ng Limit transition:
- Ang paglipat sa isang ekonomiya ng merkado ay nauugnay sa paglipat sa isang sistema ng modernong pamamahala, ang pangunahing bagay kung saan ay ang organisasyon (enterprise), at sa loob nito - ang manggagawa, ang manggagawa.
- Paglilimita sa halaga (paglilimita sa halaga ng isang pang-ekonomiyang tagapagpahiwatig)
Hayaang maibigay ang ilang pagkakasunud-sunod ng mga renumbered na numero x 1 , x 2 ,..., x n ,.. ., na ipinapahiwatig natin sa madaling sabi o (x n ) . Ang sequence na ito ay maaaring isulat bilang isang function ng numero n: x n =f(n) , o x 1 =f(1) , x 2 =f(2),.. ., x n =f(n),.. ..
Ang anumang pagkakasunud-sunod ay tutukuyin kung ang panuntunan para sa pagbuo ng mga miyembro nito ay tinukoy. Ang sequence ay karaniwang ibinibigay ng mga formula tulad ng x n =f(n) o x n =f(x n-1) , x n =f(x n-1 , x n-2) atbp., kung saan .
Halimbawa.Sequence 2, 4, 8, 16, .. . ibinigay ng formula x n =2 n ; geometric progression a 1 , a 2 ,..., a n , .. . maaaring tukuyin ng formula a n =a 1 q n-1 o a n =a n-1 q ; Mga numero ng Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... . ay tinukoy ng mga formula x n =x n-1 +x n-2 , n=3, 4, .. ., x 1 =1 , x 2 =1 .
Graph ng Pagkakasunud-sunod ng Numero(x n ) ay nabuo sa pamamagitan ng isang set ng mga puntos M n (n;f(n)) sa nOx plane, i.e. tsart ng pagkakasunud-sunod ng numero binubuo ng mga discrete point.
Ang sequence (x n ) ay tinatawag na pagtaas kung ang kondisyon ng form ay nasiyahan.
Ang sequence (x n ) ay tinatawag na bumababa kung ang kondisyon ng form ay nasiyahan.
Ang sequence (x n ) ay tinatawag na non-increasing kung ang kondisyon ng form ay nasiyahan.
Ang sequence (x n ) ay tinatawag na non-decreasing kung ang sumusunod na kondisyon ay natutugunan: .
Ang ganitong mga pagkakasunud-sunod ay tinatawag na monotonic. Ang mga natitirang sequence ay hindi monotoniko.
Ang susunod ay tinawag walang katapusang pagkakasunod-sunod anumang bagay na may parehong kalikasan.
Halimbawa.Series ng mga numero - serye ng numero. Ilan sa mga function - functional range.
Ang pagkakasunud-sunod ng mga elemento ng isang serye ay makabuluhan. Sa pamamagitan ng pagbabago ng pagkakasunud-sunod, nakakakuha kami ng isa pang hilera mula sa parehong mga elemento.
Interesado lamang kami dito sa serye ng numero at sa kabuuan nito, na nakasulat pa rin nang pormal (hindi constructive, hindi pormal), iyon ay, ang kabuuan ng lahat ng miyembro ng ilang infinite number sequence u 1 , u 2 ,..., u n ,.. ., o u 1 + u 2 +...+u n +.. .. Ang seryeng ito ay maaaring isulat nang compact bilang
Sign - sign "sigma" o ang sign ng kabuuan, sequential summation ng lahat ng elemento u n mula sa lower limit n=1 (ipinahiwatig sa ibaba, maaaring may hangganan o negatibong infinity) hanggang sa upper limit (ipinahiwatig sa itaas, maaaring anumang numero, mas malaki o katumbas ng mas mababang limitasyon, pati na rin ang positibong infinity).
Ang mga numerong u n (n=1, 2, .. .) ay tinatawag na mga miyembro ng serye, at u n ang karaniwang miyembro ng serye.
Halimbawa.Sa isang kurso sa matematika ng paaralan, ang isang geometric na walang katapusang pagbaba ng pag-unlad ay binibigyan ng a=aq+aq 2 +...+aq n-1 +.. ., |q|<1 , u 1 =a , u 2 =aq, .. ., u n = aq n-1 . Сумма этого ряда (прогрессии), как известно из школьного курса, равна S=a/(1-q) .
Halimbawa. Harmonic na serye ng mga numero- serye ng form: . Sa ibaba ay isasaalang-alang natin ito nang mas detalyado.
Ang serye ng numero ay isasaalang-alang na ibinigay, ibig sabihin, ang bawat isa sa mga elemento nito ay natatanging matutukoy kung ang panuntunan para sa paghahanap ng karaniwang miyembro nito ay tinukoy o ilang numeric function natural na argumento 
, o u n =f(n) .
Halimbawa.Kung , ang serye ay ibinigay , o sa compact na notation:
Kung bibigyan maharmonya na serye ng mga numero, kung gayon ang karaniwang termino nito ay maaaring isulat bilang , at ang serye mismo ay maaaring isulat bilang
Ibigay natin ang kahulugan ng isang finite sum ng isang serye at isang sequence ng naturang finite sums.
Ang huling kabuuan ng n unang termino ng serye ay tinatawag nitong n-th partial sum at tinutukoy ng S n :
Ang kabuuan na ito ay matatagpuan ayon sa karaniwang mga tuntunin para sa pagsusuma ng mga numero. Mayroong walang katapusang maraming ganoong mga kabuuan, iyon ay, para sa bawat serye, maaaring isaalang-alang ng isa ang isang serye na binubuo ng mga bahagyang kabuuan: S 1 , S 2 ,... , S n , .. . o isang pagkakasunud-sunod ng mga bahagyang kabuuan na ginawa para sa seryeng ito: .
Ang sequence ay nililimitahan mula sa itaas, kung mayroong ganoong karaniwang bilang na M para sa lahat ng miyembro ng sequence, na hindi lalampas sa lahat ng miyembro ng sequence, iyon ay, kung ang sumusunod na kondisyon ay natugunan:
Ang pagkakasunud-sunod ng mga numero ay nililimitahan mula sa ibaba, kung mayroong isang karaniwang bilang na m para sa lahat ng mga miyembro ng pagkakasunud-sunod, na lumampas sa lahat ng mga miyembro ng pagkakasunud-sunod, iyon ay, kung ang kundisyon ay natutugunan:
Limitado ang pagkakasunud-sunod ng mga numero kung mayroong mga numerong m at M na karaniwan sa lahat ng miyembro ng sequence at natutugunan ang kundisyon:
Ang numero a ay tinatawag ang limitasyon ng numerical sequence(x n ), kung mayroong napakaliit na bilang na ang lahat ng miyembro ng sequence, maliban sa ilang limitadong bilang ng mga unang miyembro, ay nahuhulog sa - neighborhood ng number a , iyon ay, sa huli, sila ay nag-condense sa paligid ng punto a . Kaya, lahat ng puntos x i , i=N 0 , N 0 +1 , N 0 +2, .. ay dapat mahulog sa pagitan. mga pagkakasunod-sunod. Sa kasong ito, ang numero N 0 ay nakasalalay sa napiling numero, iyon ay, 
(Larawan 7.1).
kanin. 7.1.
Sa matematika, ang pagkakaroon ng limitasyon ng pagkakasunud-sunod ay maaaring isulat bilang:
Ang katotohanang ito ay isinulat nang maikli bilang 
o , at sabihin na ito ay nagtatagpo sa numerong a . Kung ang pagkakasunud-sunod ay walang limitasyon, kung gayon ito ay tinatawag na divergent.
Direkta itong sumusunod sa kahulugan ng limitasyon: kung itatapon, idaragdag, o babaguhin natin ang isang may hangganang bilang ng mga miyembro ng sequence, kung gayon ang convergence ay hindi lalabag (iyon ay, kung ang orihinal na sequence ay nagtatagpo, pagkatapos ay ang binagong sequence ay nagtatagpo) at ang Magiging pantay ang mga limitasyon ng orihinal at mga resultang sequence.
Halimbawa.Ipagpalagay na 
, saan , iyon ay , , 
. Ang katotohanang ito ay madaling napatunayan, ngunit sa ngayon ay tinatanggap namin ito bilang isang napatunayang katotohanan. Pagkatapos,: 
. Hanapin ang halaga ng numero (kung may ganoong numero). Isipin mo 
. Ang sumusunod na kaugnayan ay totoo:
Kaya kung kukuha tayo ng numero 
, kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay ay masisiyahan. Halimbawa, gamit ang halaga , nakukuha namin ang numero N 0 =99 , iyon ay, |x n -1|<0,01
. Чем меньше значение
- тем больше значение
N 0
. Например, если , то N 0 =999
.
Nagbibigay kami ngayon ng dalawang katumbas na kahulugan ng limitasyon ng function : gamit ang limitasyon ng sequence at gamit ang pagsusulatan ng maliliit na kapitbahayan ng argumento at ang halaga ng function. Ang bisa ng isang kahulugan ay nagpapahiwatig ng bisa ng isa pa. Hayaang tukuyin ang function na y=f(x). 
, maliban marahil sa puntong x=x 0 , na siyang limitasyon ng punto ng D(f) . Sa puntong ito, ang function ay maaaring hindi natukoy (undefined) o maaaring may pahinga.
