Kahulugan. Ang produkto ng vector ng isang vector a (multiplier) ng isang vector (multiplier) na hindi collinear dito ay ang pangatlong vector c (produkto), na itinayo tulad ng sumusunod:

1) ang modyul nito ay ayon sa numero katumbas ng lugar paralelogram sa Fig. 155), na binuo sa mga vector, ibig sabihin, ito ay katumbas ng direksyon na patayo sa eroplano ng nabanggit na paralelogram;

3) sa kasong ito, ang direksyon ng vector c ay pinili (mula sa dalawang posible) upang ang mga vectors c ay bumuo ng isang kanang kamay na sistema (§ 110).

Pagtatalaga: o

Addendum sa kahulugan. Kung ang mga vector ay collinear, pagkatapos ay isinasaalang-alang ang figure bilang isang (kondisyon) parallelogram, natural na magtalaga ng zero area. Samakatuwid, ang produkto ng vector ng mga collinear vector ay itinuturing na katumbas ng null vector.

Dahil ang null vector ay maaaring italaga sa anumang direksyon, ang convention na ito ay hindi sumasalungat sa mga aytem 2 at 3 ng kahulugan.

Puna 1. Sa terminong "produktong vector", ang unang salita ay nagpapahiwatig na ang resulta ng aksyon ay isang vector (kumpara sa produkto ng tuldok; cf. § 104, puna 1).

Halimbawa 1. Hanapin ang produkto ng vector kung saan ang mga pangunahing vector ng tamang sistema ng coordinate (Fig. 156).

1. Dahil ang mga haba ng pangunahing mga vector ay katumbas ng yunit ng sukat, ang lugar ng parallelogram (parisukat) ay ayon sa bilang na katumbas ng isa. Samakatuwid, ang modulus ng produkto ng vector ay katumbas ng isa.

2. Dahil ang patayo sa eroplano ay ang axis, ang nais na produkto ng vector ay isang vector, collinear vector sa; at dahil pareho silang may modulus 1, ang kinakailangang cross product ay alinman sa k o -k.

3. Sa dalawang posibleng vector na ito, dapat piliin ang una, dahil ang mga vectors ay bumubuo ng isang tamang sistema (at ang mga vector ay bumubuo ng isang kaliwa).

Halimbawa 2. Hanapin ang cross product

Solusyon. Tulad ng halimbawa 1, napagpasyahan namin na ang vector ay alinman sa k o -k. Ngunit ngayon kailangan nating pumili -k, dahil ang mga vector ay bumubuo ng tamang sistema (at ang mga vector ay bumubuo sa kaliwa). Kaya,

Halimbawa 3 Ang mga vector ay may haba na 80 at 50 cm, ayon sa pagkakabanggit, at bumubuo ng isang anggulo na 30°. Pagkuha ng metro bilang isang yunit ng haba, hanapin ang haba ng produkto ng vector a

Solusyon. Ang lugar ng isang paralelogram na binuo sa mga vector ay katumbas ng Ang haba ng nais na produkto ng vector ay katumbas ng

Halimbawa 4. Hanapin ang haba ng cross product ng parehong mga vector, na kumukuha ng isang sentimetro bilang isang yunit ng haba.

Solusyon. Dahil ang lugar ng parallelogram na binuo sa mga vector ay katumbas ng haba ng produkto ng vector ay 2000 cm, i.e.

Ang paghahambing ng mga halimbawa 3 at 4 ay nagpapakita na ang haba ng vector ay nakasalalay hindi lamang sa mga haba ng mga kadahilanan, kundi pati na rin sa pagpili ng yunit ng haba.

Ang pisikal na kahulugan ng produkto ng vector. Sa dami pisikal na dami, na kinakatawan ng isang produkto ng vector, isaalang-alang lamang ang sandali ng puwersa.

Hayaan ang A ang punto ng aplikasyon ng puwersa. Ang sandali ng puwersa na nauugnay sa puntong O ay tinatawag na produkto ng vector. Dahil ang module ng produktong vector na ito ay katumbas ng numero sa lugar ng parallelogram (Fig. 157), ang module ng sandali ay katumbas ng produkto ng base sa pamamagitan ng taas, ibig sabihin, ang puwersa na pinarami ng distansya mula sa puntong O hanggang sa tuwid na linya kung saan kumikilos ang puwersa.

Sa mechanics, napatunayan na para sa ekwilibriyo matibay na katawan kinakailangan na hindi lamang ang kabuuan ng mga vector na kumakatawan sa mga puwersa na inilapat sa katawan ay katumbas ng zero, kundi pati na rin ang kabuuan ng mga sandali ng mga puwersa. Sa kaso kapag ang lahat ng pwersa ay parallel sa parehong eroplano, ang pagdaragdag ng mga vector na kumakatawan sa mga sandali ay maaaring mapalitan ng pagdaragdag at pagbabawas ng kanilang moduli. Ngunit para sa mga di-makatwirang direksyon ng mga puwersa, ang gayong kapalit ay imposible. Alinsunod dito, ang cross product ay tiyak na tinukoy bilang isang vector, at hindi bilang isang numero.

7.1. Kahulugan ng cross product

Tatlong non-coplanar vectors a , b at c , na kinuha sa ipinahiwatig na pagkakasunud-sunod, ay bumubuo ng right triple kung mula sa dulo ng ikatlong vector c ang pinakamaikling pagliko mula sa unang vector a hanggang sa pangalawang vector b ay makikita na counterclockwise, at isang kaliwa kung clockwise (tingnan ang Fig. 16).

Ang produkto ng vector ng isang vector a at vector b ay tinatawag na vector c, na:

1. Patayo sa mga vectors a at b, ibig sabihin, c ^ a at c ^ b;

2. Ito ay may haba ayon sa bilang na katumbas ng lugar ng paralelogram na binuo sa mga vectors a atb tulad ng sa mga gilid (tingnan ang fig. 17), i.e.

3. Ang mga vectors a , b at c ay bumubuo ng right triple.

produkto ng vector denoted a x b o [a,b]. Mula sa kahulugan ng isang produkto ng vector, ang mga sumusunod na ugnayan sa pagitan ng mga orts ay direktang sinusunod ko, j at k(tingnan ang fig. 18):

i x j \u003d k, j x k \u003d i, k x i \u003d j.
Patunayan natin, halimbawa, iyon i xj \u003d k.

1) k ^ i , k ^ j;

2) |k |=1, ngunit | ako x j| = |i | |J| kasalanan(90°)=1;

3) mga vector i , j at k bumuo ng isang kanang triple (tingnan ang Fig. 16).

7.2. Mga katangian ng cross product

1. Kapag ang mga kadahilanan ay muling inayos, ang produkto ng vector ay nagbabago ng tanda, i.e. at xb \u003d (b xa) (tingnan ang Fig. 19).

Ang mga vector a xb at b xa ay collinear, may parehong mga module (ang lugar ng parallelogram ay nananatiling hindi nagbabago), ngunit magkasalungat na direksyon (triples a, b, at xb at a, b, b x a ng kabaligtaran na oryentasyon). Yan ay axb = -(bxa).

2. Ang produkto ng vector ay may nag-uugnay na ari-arian na may paggalang sa isang scalar factor, i.e. l ​​​​(a xb) \u003d (l a) x b \u003d a x (l b).

Hayaan ang l >0. Ang vector l (a xb) ay patayo sa mga vectors a at b. Vector ( l a) x b ay patayo din sa mga vectors a at b(mga vector a, l ngunit nakahiga sa parehong eroplano). Kaya ang mga vectors l(a xb) at ( l a) x b collinear. Obvious naman na magkasabay ang direksyon nila. Sila ay may parehong haba:

kaya lang l(a xb)= l isang xb. Ito ay napatunayang katulad para sa l<0.

3. Dalawang di-zero na vector a at b ay collinear kung at kung ang kanilang produkto ng vector ay katumbas ng zero vector, ibig sabihin, at ||b<=>at xb \u003d 0.

Sa partikular, i *i =j *j =k *k =0 .

4. Ang produkto ng vector ay may katangian ng pamamahagi:

(a+b) xs = isang xs + b xs .

Tanggapin nang walang patunay.

7.3. Cross product expression sa mga tuntunin ng mga coordinate

Gagamitin namin ang vector cross product table i , j at k:

kung ang direksyon ng pinakamaikling landas mula sa unang vector hanggang sa pangalawa ay tumutugma sa direksyon ng arrow, kung gayon ang produkto ay katumbas ng pangatlong vector, kung hindi ito tumugma, ang ikatlong vector ay kinuha na may minus sign.

Hayaan ang dalawang vectors a =a x i +a y j+az k at b=bx i+sa pamamagitan ng j+bz k. Hanapin natin ang produkto ng vector ng mga vector na ito sa pamamagitan ng pagpaparami sa kanila bilang mga polynomial (ayon sa mga katangian ng produkto ng vector):

Ang resultang pormula ay maaaring maisulat nang mas maikli:

dahil ang kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay (7.1) ay tumutugma sa pagpapalawak ng third-order determinant sa mga tuntunin ng mga elemento ng unang hilera. Ang pagkakapantay-pantay (7.2) ay madaling matandaan.

7.4. Ang ilang mga aplikasyon ng cross product

Pagtatatag ng collinearity ng mga vectors

Paghahanap ng lugar ng isang paralelogram at isang tatsulok

Ayon sa kahulugan ng cross product ng mga vectors a at b |a xb | =| isang | * |b |sin g , ibig sabihin, S par = |a x b |. At, samakatuwid, D S \u003d 1/2 | a x b |.

Pagtukoy sa sandali ng puwersa tungkol sa isang punto

Hayaang maglapat ng puwersa sa punto A F =AB bumitaw O- ilang punto sa espasyo (tingnan ang Fig. 20).

Ito ay kilala mula sa pisika na metalikang kuwintas F kaugnay sa punto O tinatawag na vector M , na dumadaan sa punto O at:

1) patayo sa eroplano na dumadaan sa mga punto O, A, B;

2) ayon sa bilang na katumbas ng produkto ng puwersa at braso

3) bumubuo ng tamang triple na may mga vectors OA at A B .

Samakatuwid, M \u003d OA x F.

Paghahanap ng linear na bilis ng pag-ikot

Bilis v point M ng isang matibay na katawan na umiikot sa isang angular na bilis w sa paligid ng isang nakapirming axis, ay tinutukoy ng Euler formula v \u003d w x r, kung saan r \u003d OM, kung saan ang O ay ilang nakapirming punto ng axis (tingnan ang Fig. 21).

Sa araling ito, titingnan natin ang dalawa pang operasyon na may mga vector: cross product ng mga vectors at pinaghalong produkto ng mga vector (Immediate link para sa mga nangangailangan nito). Okay lang, minsan nangyayari na para sa kumpletong kaligayahan, bukod pa sa tuldok na produkto ng mga vector, parami nang parami ang kailangan. Ganyan ang pagkagumon sa vector. Maaaring makuha ng isa ang impresyon na papasok tayo sa gubat ng analytic geometry. Hindi ito totoo. Sa seksyong ito ng mas mataas na matematika, sa pangkalahatan ay may maliit na kahoy na panggatong, maliban marahil ay sapat para sa Pinocchio. Sa katunayan, ang materyal ay napaka-pangkaraniwan at simple - halos hindi mas mahirap kaysa sa pareho produktong scalar, kahit na magkakaroon ng mas kaunting mga karaniwang gawain. Ang pangunahing bagay sa analytic geometry, tulad ng makikita o nakita na ng marami, ay HINDI MAGMALI NG PAGKUKULANG. Ulitin tulad ng isang spell, at ikaw ay magiging masaya =)

Kung ang mga vector ay kumikinang sa isang lugar sa malayo, tulad ng kidlat sa abot-tanaw, hindi mahalaga, magsimula sa aralin Mga vector para sa mga dummies upang ibalik o muling makuha ang pangunahing kaalaman tungkol sa mga vector. Ang mas handa na mga mambabasa ay maaaring maging pamilyar sa impormasyon nang pili, sinubukan kong kolektahin ang pinaka kumpletong koleksyon ng mga halimbawa na madalas na matatagpuan sa praktikal na gawain

Ano ang magpapasaya sa iyo? Noong bata pa ako, nakaka-juggle ako ng dalawa at kahit tatlong bola. Ito ay gumana nang maayos. Ngayon hindi na kailangang mag-juggle, dahil isasaalang-alang natin mga space vector lang, at ang mga flat vector na may dalawang coordinate ay maiiwan. Bakit? Ito ay kung paano ipinanganak ang mga pagkilos na ito - ang vector at pinaghalong produkto ng mga vector ay tinukoy at gumagana sa tatlong-dimensional na espasyo. Mas madali na!

Sa operasyong ito, sa parehong paraan tulad ng sa scalar product, dalawang vector. Hayaan itong mga hindi nasisira na mga titik.

Ang aksyon mismo denoted sa sumusunod na paraan: . Mayroong iba pang mga pagpipilian, ngunit sanay akong magtalaga ng cross product ng mga vector sa ganitong paraan, sa mga square bracket na may krus.

At kaagad tanong: kung nasa tuldok na produkto ng mga vector dalawang vector ang kasangkot, at dito ang dalawang vector ay pinarami din, pagkatapos ano ang pinagkaiba? Isang malinaw na pagkakaiba, una sa lahat, sa RESULTA:

Ang resulta ng scalar product ng mga vector ay NUMBER:

Ang resulta ng cross product ng mga vectors ay isang VECTOR: , ibig sabihin, pinaparami natin ang mga vector at muling nakakuha ng isang vector. Saradong club. Sa totoo lang, kaya ang pangalan ng operasyon. Sa iba't ibang literatura na pang-edukasyon, ang mga pagtatalaga ay maaari ding mag-iba, gagamitin ko ang titik .

Kahulugan ng cross product

Una ay magkakaroon ng kahulugan na may larawan, pagkatapos ay magkomento.

Kahulugan: cross product hindi collinear mga vector, kinuha sa ganitong pagkakasunud-sunod, ay tinatawag na VECTOR, haba na ayon sa bilang katumbas ng lugar ng paralelogram, na binuo sa mga vector na ito; vector orthogonal sa mga vector, at itinuro upang ang batayan ay may tamang oryentasyon:

Sinusuri namin ang kahulugan ng mga buto, mayroong maraming mga kagiliw-giliw na bagay!

Kaya, maaari nating i-highlight ang mga sumusunod na mahahalagang punto:

1) Source vectors , na ipinahiwatig ng mga pulang arrow, ayon sa kahulugan hindi collinear. Angkop na isaalang-alang ang kaso ng mga collinear vectors sa ibang pagkakataon.

2) Kinuha ang mga vector sa mahigpit na pagkakasunod-sunod: – Ang "a" ay pinarami ng "maging", hindi "maging" sa "a". Ang resulta ng pagpaparami ng vector ay VECTOR , na nakasaad sa asul. Kung ang mga vector ay pinarami sa reverse order, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang vector na katumbas ng haba at kabaligtaran sa direksyon (kulay ng pulang-pula). Ibig sabihin, ang pagkakapantay-pantay .

3) Ngayon, kilalanin natin ang geometric na kahulugan ng produkto ng vector. Ito ay isang napakahalagang punto! Ang LENGTH ng asul na vector (at, samakatuwid, ang crimson vector ) ay numerong katumbas ng AREA ng parallelogram na binuo sa mga vector . Sa figure, ang paralelogram na ito ay may kulay na itim.

Tandaan : ang pagguhit ay eskematiko, at, siyempre, ang nominal na haba ng cross product ay hindi katumbas ng lugar ng parallelogram.

Naaalala namin ang isa sa mga geometric na formula: ang lugar ng isang paralelogram ay katumbas ng produkto ng mga katabing panig at ang sine ng anggulo sa pagitan nila. Samakatuwid, batay sa nabanggit, ang formula para sa pagkalkula ng LENGTH ng isang produkto ng vector ay wasto:

Binibigyang-diin ko na sa formula ay pinag-uusapan natin ang LENGTH ng vector, at hindi ang mismong vector. Ano ang praktikal na kahulugan? At ang kahulugan ay tulad na sa mga problema ng analytic geometry, ang lugar ng isang paralelogram ay madalas na matatagpuan sa pamamagitan ng konsepto ng isang produkto ng vector:

Nakukuha namin ang pangalawang mahalagang formula. Ang dayagonal ng paralelogram (pulang may tuldok na linya) ay hinahati ito sa dalawang pantay na tatsulok. Samakatuwid, ang lugar ng isang tatsulok na binuo sa mga vectors (red shading) ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

4) Ang isang pantay na mahalagang katotohanan ay ang vector ay orthogonal sa mga vectors, iyon ay . Siyempre, ang kabaligtaran na nakadirekta na vector (crimson arrow) ay orthogonal din sa orihinal na mga vector .

5) Ang vector ay nakadirekta sa gayon batayan Mayroon itong tama oryentasyon. Sa isang aralin tungkol sa paglipat sa isang bagong batayan Nagsalita ako nang detalyado tungkol sa oryentasyon ng eroplano, at ngayon ay malalaman natin kung ano ang oryentasyon ng espasyo. Ipapaliwanag ko sa iyong mga daliri kanang kamay. Mentally combine hintuturo may vector at hinlalato may vector. Ring finger at kalingkingan pindutin sa iyong palad. Ang resulta hinlalaki- titingnan ang produkto ng vector. Ito ang right-oriented na batayan (ito ay nasa figure). Ngayon palitan ang mga vectors ( hintuturo at gitnang daliri) sa ilang mga lugar, bilang isang resulta, ang hinlalaki ay iikot, at ang produkto ng vector ay titingin na sa ibaba. Ito rin ay isang batayan na nakatuon sa tama. Marahil mayroon kang tanong: anong batayan ang may kaliwang oryentasyon? "Italaga" ang parehong mga daliri kaliwang kamay vectors , at kunin ang kaliwang batayan at kaliwang espasyong oryentasyon (sa kasong ito, ang hinlalaki ay matatagpuan sa direksyon ng mas mababang vector). Sa matalinghagang pagsasalita, ang mga base na ito ay "twist" o i-orient ang espasyo sa iba't ibang direksyon. At ang konsepto na ito ay hindi dapat ituring na isang bagay na malayo o abstract - halimbawa, ang pinaka-ordinaryong salamin ay nagbabago sa oryentasyon ng espasyo, at kung ikaw ay "hilahin ang nakalarawan na bagay mula sa salamin", kung gayon sa pangkalahatan ay hindi posible na pagsamahin ito sa "orihinal". Sa pamamagitan ng paraan, dalhin ang tatlong daliri sa salamin at pag-aralan ang pagmuni-muni ;-)

... kung gaano kahusay na alam mo na ngayon ang tungkol sa kanan at kaliwa oriented base, kasi grabe ang mga pahayag ng ilang lecturer tungkol sa pagbabago ng oryentasyon =)

Vector na produkto ng collinear vectors

Ang kahulugan ay ginawa nang detalyado, nananatili itong malaman kung ano ang mangyayari kapag ang mga vector ay collinear. Kung ang mga vector ay collinear, maaari silang ilagay sa isang tuwid na linya at ang aming parallelogram ay "tupi" din sa isang tuwid na linya. Ang lugar ng ganoon, gaya ng sinasabi ng mga mathematician, mabulok paralelogram ay zero. Ang parehong sumusunod mula sa formula - ang sine ng zero o 180 degrees ay katumbas ng zero, na nangangahulugan na ang lugar ay zero

Kaya, kung , pagkatapos . Sa mahigpit na pagsasalita, ang cross product mismo ay katumbas ng zero vector, ngunit sa pagsasagawa ito ay madalas na napapabayaan at nakasulat na ito ay katumbas lamang ng zero.

Ang isang espesyal na kaso ay ang produkto ng vector ng isang vector at mismo:

Gamit ang cross product, maaari mong suriin ang collinearity ng three-dimensional vectors, at susuriin din namin ang problemang ito, bukod sa iba pa.

Upang malutas ang mga praktikal na halimbawa, maaaring kailanganin ito trigonometriko talahanayan upang mahanap ang mga halaga ng mga sine mula dito.

Buweno, magsimula tayo ng apoy:

Halimbawa 1

a) Hanapin ang haba ng vector product ng mga vectors kung

b) Hanapin ang lugar ng isang paralelogram na binuo sa mga vectors kung

Solusyon: Hindi, hindi ito isang typo, sadyang ginawa kong pareho ang paunang data sa mga item ng kondisyon. Dahil mag-iiba ang disenyo ng mga solusyon!

a) Ayon sa kondisyon, kinakailangang hanapin haba vector (produktong vector). Ayon sa kaukulang formula:

Sagot:

Dahil tinanong ito tungkol sa haba, pagkatapos ay sa sagot ay ipinapahiwatig namin ang dimensyon - mga yunit.

b) Ayon sa kondisyon, kinakailangan upang mahanap parisukat paralelogram na binuo sa mga vectors. Ang lugar ng parallelogram na ito ay ayon sa bilang na katumbas ng haba ng cross product:

Sagot:

Mangyaring tandaan na sa sagot tungkol sa produkto ng vector ay walang pag-uusap, tinanong kami tungkol sa lugar ng pigura, ayon sa pagkakabanggit, ang dimensyon ay square units.

Palagi naming tinitingnan kung ANO ang kinakailangan upang matagpuan ng kundisyon, at, batay dito, bumalangkas kami malinaw sagot. Maaaring ito ay tila literalismo, ngunit may sapat na mga literalista sa mga guro, at ang gawain na may magandang pagkakataon ay ibabalik para sa rebisyon. Bagaman hindi ito isang partikular na pilit na nitpick - kung ang sagot ay hindi tama, kung gayon ang isa ay makakakuha ng impresyon na ang tao ay hindi naiintindihan ang mga simpleng bagay at / o hindi naiintindihan ang kakanyahan ng gawain. Ang sandaling ito ay dapat palaging panatilihing nasa ilalim ng kontrol, paglutas ng anumang problema sa mas mataas na matematika, at sa iba pang mga paksa.

Saan napunta ang malaking letrang "en"? Sa prinsipyo, maaari itong maging karagdagan sa solusyon, ngunit upang paikliin ang rekord, hindi ko ginawa. Umaasa ako na ang lahat ay naiintindihan iyon at ang pagtatalaga ng parehong bagay.

Isang sikat na halimbawa para sa isang do-it-yourself na solusyon:

Halimbawa 2

Hanapin ang lugar ng isang tatsulok na binuo sa mga vectors kung

Ang formula para sa paghahanap ng lugar ng isang tatsulok sa pamamagitan ng produkto ng vector ay ibinibigay sa mga komento sa kahulugan. Solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Sa pagsasagawa, ang gawain ay talagang pangkaraniwan, ang mga tatsulok sa pangkalahatan ay maaaring pahirapan.

Upang malutas ang iba pang mga problema, kailangan namin:

Mga katangian ng cross product ng mga vectors

Isinaalang-alang na namin ang ilang mga katangian ng produkto ng vector, gayunpaman, isasama ko ang mga ito sa listahang ito.

Para sa mga arbitrary na vector at isang arbitrary na numero, ang mga sumusunod na katangian ay totoo:

1) Sa iba pang mga mapagkukunan ng impormasyon, ang item na ito ay karaniwang hindi nakikilala sa mga katangian, ngunit ito ay napakahalaga sa mga praktikal na termino. Kaya hayaan mo na.

2) - ang ari-arian ay tinalakay din sa itaas, kung minsan ito ay tinatawag anticommutativity. Sa madaling salita, ang pagkakasunud-sunod ng mga vector ay mahalaga.

3) - kumbinasyon o nag-uugnay mga batas ng produkto ng vector. Ang mga constant ay madaling alisin sa mga limitasyon ng produkto ng vector. Talaga, ano ang ginagawa nila doon?

4) - pamamahagi o pamamahagi mga batas ng produkto ng vector. Wala ring problema sa pagbubukas ng mga bracket.

Bilang isang pagpapakita, isaalang-alang ang isang maikling halimbawa:

Halimbawa 3

Hanapin kung

Solusyon: Sa pamamagitan ng kundisyon, muling kinakailangan upang mahanap ang haba ng produkto ng vector. Ipinta natin ang ating miniature:

(1) Ayon sa mga nauugnay na batas, kinukuha namin ang mga constant na lampas sa mga limitasyon ng produkto ng vector.

(2) Inalis namin ang pare-pareho sa module, habang ang module ay "kumakain" ng minus sign. Ang haba ay hindi maaaring negatibo.

(3) Ang mga sumusunod ay malinaw.

Sagot:

Oras na para maghagis ng kahoy sa apoy:

Halimbawa 4

Kalkulahin ang lugar ng isang tatsulok na binuo sa mga vectors kung

Solusyon: Hanapin ang lugar ng isang tatsulok gamit ang formula . Ang hadlang ay ang mga vector na "ce" at "te" ay kinakatawan mismo bilang mga kabuuan ng mga vector. Ang algorithm dito ay pamantayan at medyo nakapagpapaalaala sa mga halimbawa No. 3 at 4 ng aralin. Tuldok na produkto ng mga vector. Hatiin natin ito sa tatlong hakbang para sa kalinawan:

1) Sa unang hakbang, ipinapahayag namin ang produkto ng vector sa pamamagitan ng produkto ng vector, sa katunayan, ipahayag ang vector sa mga tuntunin ng vector. Wala pang salita sa haba!

(1) Pinapalitan namin ang mga expression ng mga vector .

(2) Gamit ang mga batas sa pamamahagi, buksan ang mga bracket ayon sa tuntunin ng pagpaparami ng mga polynomial.

(3) Gamit ang mga nag-uugnay na batas, inaalis namin ang lahat ng mga constant na lampas sa mga produkto ng vector. Sa kaunting karanasan, ang mga aksyon 2 at 3 ay maaaring isagawa nang sabay-sabay.

(4) Ang una at huling termino ay katumbas ng zero (zero vector) dahil sa kaaya-ayang katangian . Sa pangalawang termino, ginagamit namin ang anticommutativity property ng vector product:

(5) Nagpapakita kami ng mga katulad na termino.

Bilang isang resulta, ang vector ay lumabas na ipinahayag sa pamamagitan ng isang vector, na kung saan ay kung ano ang kinakailangan upang makamit:

2) Sa pangalawang hakbang, nakita namin ang haba ng produkto ng vector na kailangan namin. Ang pagkilos na ito ay katulad ng Halimbawa 3:

3) Hanapin ang lugar ng nais na tatsulok:

Ang mga hakbang 2-3 ng solusyon ay maaaring isaayos sa isang linya.

Sagot:

Ang itinuturing na problema ay karaniwan sa mga pagsubok, narito ang isang halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon:

Halimbawa 5

Hanapin kung

Maikling solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin. Tingnan natin kung gaano ka naging matulungin sa pag-aaral ng mga nakaraang halimbawa ;-)

Cross product ng mga vector sa mga coordinate

, na ibinigay sa orthonormal na batayan, ay ipinahayag ng pormula:

Ang formula ay talagang simple: isinusulat namin ang mga coordinate vectors sa tuktok na linya ng determinant, "nag-pack" kami ng mga coordinate ng mga vector sa pangalawa at pangatlong linya, at inilalagay namin sa mahigpit na pagkakasunud-sunod- una, ang mga coordinate ng vector "ve", pagkatapos ay ang mga coordinate ng vector na "double-ve". Kung ang mga vector ay kailangang i-multiply sa ibang pagkakasunud-sunod, ang mga linya ay dapat ding palitan:

Halimbawa 10

Suriin kung ang mga sumusunod na space vector ay collinear:
a)
b)

Solusyon: Ang pagsubok ay batay sa isa sa mga pahayag sa araling ito: kung ang mga vector ay collinear, kung gayon ang kanilang cross product ay zero (zero vector): .

a) Hanapin ang produkto ng vector:

Kaya ang mga vector ay hindi collinear.

b) Hanapin ang produkto ng vector:

Sagot: a) hindi collinear, b)

Narito, marahil, ang lahat ng pangunahing impormasyon tungkol sa produkto ng vector ng mga vector.

Ang seksyong ito ay hindi magiging napakalaki, dahil kakaunti ang mga problema kung saan ginagamit ang pinaghalong produkto ng mga vector. Sa katunayan, ang lahat ay nakasalalay sa kahulugan, geometric na kahulugan at isang pares ng mga gumaganang formula.

Ang pinaghalong produkto ng mga vector ay produkto ng tatlong mga vector:

Ito ay kung paano sila pumila tulad ng isang tren at maghintay, hindi sila maaaring maghintay hanggang sa sila ay kalkulahin.

Una muli ang kahulugan at larawan:

Kahulugan: Pinaghalong produkto hindi koplanar mga vector, kinuha sa ganitong pagkakasunud-sunod, ay tinatawag na dami ng parallelepiped, na binuo sa mga vector na ito, na nilagyan ng "+" sign kung tama ang batayan, at isang "-" sign kung ang batayan ay naiwan.

Gawin natin ang pagguhit. Ang mga linyang hindi natin nakikita ay iginuhit ng isang tuldok na linya:

Sumisid tayo sa kahulugan:

2) Kinuha ang mga vector sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod, iyon ay, ang permutasyon ng mga vector sa produkto, tulad ng maaari mong hulaan, ay hindi napupunta nang walang mga kahihinatnan.

3) Bago magkomento sa geometric na kahulugan, mapapansin ko ang malinaw na katotohanan: ang pinaghalong produkto ng mga vector ay isang NUMBER: . Sa pang-edukasyon na panitikan, ang disenyo ay maaaring medyo naiiba, ginamit ko upang italaga ang isang halo-halong produkto sa pamamagitan ng, at ang resulta ng mga kalkulasyon na may titik na "pe".

Sa pamamagitan ng kahulugan ang pinaghalong produkto ay ang dami ng parallelepiped, na binuo sa mga vectors (ang figure ay iginuhit na may mga pulang vector at itim na linya). Iyon ay, ang numero ay katumbas ng dami ng ibinigay na parallelepiped.

Tandaan : Ang pagguhit ay eskematiko.

4) Huwag na nating pakialaman muli ang konsepto ng oryentasyon ng batayan at espasyo. Ang kahulugan ng huling bahagi ay maaaring magdagdag ng minus sign sa volume. Sa madaling salita, ang pinaghalong produkto ay maaaring negatibo: .

Ang formula para sa pagkalkula ng dami ng isang parallelepiped na binuo sa mga vector ay sumusunod nang direkta mula sa kahulugan.

Sa artikulong ito, tatalakayin natin ang konsepto ng cross product ng dalawang vectors. Ibibigay namin ang mga kinakailangang kahulugan, isulat ang isang formula para sa paghahanap ng mga coordinate ng isang produkto ng vector, ilista at bigyang-katwiran ang mga katangian nito. Pagkatapos nito, tatalakayin natin ang geometric na kahulugan ng cross product ng dalawang vectors at isaalang-alang ang mga solusyon ng iba't ibang tipikal na halimbawa.

Pag-navigate sa pahina.

Kahulugan ng isang produkto ng vector.

Bago magbigay ng kahulugan ng isang cross product, harapin natin ang oryentasyon ng isang ordered triple ng mga vector sa three-dimensional na espasyo.

Ipagpaliban natin ang mga vectors mula sa isang punto. Depende sa direksyon ng vector, ang triple ay maaaring kanan o kaliwa. Tingnan natin mula sa dulo ng vector kung paano ang pinakamaikling pagliko mula sa vector patungo sa . Kung ang pinakamaikling pag-ikot ay counterclockwise, kung gayon ang triple ng mga vector ay tinatawag tama, kung hindi - umalis.

Ngayon ay kumuha tayo ng dalawang di-collinear na vector at . Itabi ang mga vector at mula sa punto A. Bumuo tayo ng ilang vector na patayo sa at at sa parehong oras. Malinaw, kapag gumagawa ng isang vector, maaari tayong gumawa ng dalawang bagay, na nagbibigay ito ng alinman sa isang direksyon o ang kabaligtaran (tingnan ang ilustrasyon).

Depende sa direksyon ng vector, ang inayos na triple ng mga vector ay maaaring kanan o kaliwa.

Kaya napalapit kami sa kahulugan ng isang produkto ng vector. Ito ay ibinibigay para sa dalawang vector na ibinigay sa isang hugis-parihaba na coordinate system ng tatlong-dimensional na espasyo.

Kahulugan.

Vector na produkto ng dalawang vectors at , na ibinigay sa isang hugis-parihaba na coordinate system ng tatlong-dimensional na espasyo, ay tinatawag na isang vector tulad na

Ang cross product ng mga vectors at tinutukoy bilang .

Mga coordinate ng produkto ng vector.

Ngayon ay binibigyan namin ang pangalawang kahulugan ng isang produkto ng vector, na nagbibigay-daan sa amin upang mahanap ang mga coordinate nito mula sa mga coordinate ng ibinigay na mga vector at.

Kahulugan.

Sa isang rectangular coordinate system ng three-dimensional na espasyo cross product ng dalawang vectors at ay isang vector , kung saan ang mga coordinate vectors.

Ang kahulugang ito ay nagbibigay sa amin ng cross product sa coordinate form.

Ang produkto ng vector ay maginhawang kinakatawan bilang isang determinant ng isang parisukat na matrix ng ikatlong order, ang unang hilera kung saan ay ang mga orts, ang pangalawang hilera ay naglalaman ng mga coordinate ng vector, at ang ikatlong hilera ay naglalaman ng mga coordinate ng vector sa isang naibigay na rectangular coordinate system:

Kung palawakin natin ang determinant na ito sa pamamagitan ng mga elemento ng unang hilera, makakakuha tayo ng pagkakapantay-pantay mula sa kahulugan ng produkto ng vector sa mga coordinate (kung kinakailangan, sumangguni sa artikulo):

Dapat tandaan na ang coordinate form ng cross product ay ganap na naaayon sa kahulugan na ibinigay sa unang talata ng artikulong ito. Bukod dito, ang dalawang kahulugang ito ng isang cross product ay katumbas. Ang patunay ng katotohanang ito ay matatagpuan sa aklat na nakasaad sa dulo ng artikulo.

Mga katangian ng produkto ng vector.

Dahil ang produkto ng vector sa mga coordinate ay maaaring katawanin bilang determinant ng matrix, kung gayon ang mga sumusunod ay madaling mapatunayan batay sa mga katangian ng produkto ng vector:

Bilang halimbawa, patunayan natin ang anticommutativity property ng isang vector product.

Sa pamamagitan ng kahulugan at . Alam namin na ang halaga ng determinant ng isang matrix ay nababaligtad kapag ang dalawang hanay ay ipinagpalit, kaya, , na nagpapatunay sa anticommutativity property ng vector product.

Vector product - mga halimbawa at solusyon.

Karaniwang mayroong tatlong uri ng mga gawain.

Sa mga problema ng unang uri, ang mga haba ng dalawang vector at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay ibinibigay, at kinakailangan upang mahanap ang haba ng cross product. Sa kasong ito, ginagamit ang formula .

Halimbawa.

Hanapin ang haba ng cross product ng mga vectors at kung kilala .

Solusyon.

Alam namin mula sa kahulugan na ang haba ng cross product ng mga vector at ay katumbas ng produkto ng mga haba ng mga vectors at mga beses sa sine ng anggulo sa pagitan nila, samakatuwid, .

Sagot:

.

Ang mga problema ng pangalawang uri ay nauugnay sa mga coordinate ng mga vector, kung saan ang produkto ng vector, ang haba nito, o iba pa ay hinahanap sa pamamagitan ng mga coordinate ng mga ibinigay na mga vector. at .

Mayroong maraming iba't ibang mga pagpipilian na magagamit dito. Halimbawa, hindi ang mga coordinate ng mga vector at , ngunit ang kanilang mga pagpapalawak sa mga coordinate na vector ng form at , o mga vector at maaaring tukuyin sa pamamagitan ng mga coordinate ng kanilang mga punto ng pagsisimula at pagtatapos.

Isaalang-alang natin ang mga karaniwang halimbawa.

Halimbawa.

Dalawang vector ang ibinibigay sa isang rectangular coordinate system . Hanapin ang kanilang produkto ng vector.

Solusyon.

Ayon sa pangalawang kahulugan, ang cross product ng dalawang vector sa mga coordinate ay nakasulat bilang:

Darating tayo sa parehong resulta kung ang produkto ng vector ay isinulat sa pamamagitan ng determinant

Sagot:

.

Halimbawa.

Hanapin ang haba ng cross product ng mga vectors at , kung saan ang orts ng rectangular Cartesian coordinate system.

Solusyon.

Una, hanapin ang mga coordinate ng produkto ng vector sa isang ibinigay na rectangular coordinate system.

Dahil ang mga vector at may mga coordinate at ayon sa pagkakabanggit (kung kinakailangan, tingnan ang artikulong mga coordinate ng isang vector sa isang rectangular coordinate system), pagkatapos ay sa pamamagitan ng pangalawang kahulugan ng isang cross product mayroon kami

Iyon ay, ang produkto ng vector may mga coordinate sa ibinigay na coordinate system.

Nahanap namin ang haba ng isang produkto ng vector bilang square root ng kabuuan ng mga parisukat ng mga coordinate nito (nakuha namin ang formula na ito para sa haba ng isang vector sa seksyon sa paghahanap ng haba ng isang vector):

Sagot:

.

Halimbawa.

Ang mga coordinate ng tatlong puntos ay ibinibigay sa isang hugis-parihaba na Cartesian coordinate system. Maghanap ng ilang vector na patayo sa at sa parehong oras.

Solusyon.

Mga Vector at may mga coordinate at, ayon sa pagkakabanggit (tingnan ang artikulo sa paghahanap ng mga coordinate ng isang vector sa pamamagitan ng mga coordinate ng mga puntos). Kung nahanap natin ang produkto ng vector ng mga vector at , kung gayon sa kahulugan ito ay isang vector na patayo sa pareho sa at sa, iyon ay, ito ang solusyon sa ating problema. Hanapin natin siya

Sagot:

ay isa sa mga perpendicular vectors.

Sa mga gawain ng ikatlong uri, ang kasanayan sa paggamit ng mga katangian ng produkto ng vector ng mga vector ay nasuri. Pagkatapos mailapat ang mga katangian, ilalapat ang mga kaukulang formula.

Halimbawa.

Ang mga vector at ay patayo at ang kanilang mga haba ay 3 at 4 ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang haba ng produkto ng vector .

Solusyon.

Sa pamamagitan ng distributivity property ng vector product, maaari tayong sumulat

Sa bisa ng nag-uugnay na pag-aari, kinukuha namin ang mga numerical coefficient para sa tanda ng mga produkto ng vector sa huling expression:

Vector produkto at katumbas ng zero, dahil at , tapos .

Dahil ang produkto ng vector ay anticommutative, kung gayon .

Kaya, gamit ang mga katangian ng produkto ng vector, nakarating kami sa pagkakapantay-pantay .

Sa pamamagitan ng kundisyon, ang mga vector at ay patayo, iyon ay, ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay katumbas ng . Iyon ay, mayroon kaming lahat ng data upang mahanap ang kinakailangang haba

Sagot:

.

Ang geometric na kahulugan ng produkto ng vector.

Sa pamamagitan ng kahulugan, ang haba ng cross product ng mga vectors ay . At mula sa kursong geometry sa mataas na paaralan, alam natin na ang lugar ng isang tatsulok ay katumbas ng kalahati ng produkto ng mga haba ng dalawang panig ng tatsulok at ang sine ng anggulo sa pagitan nila. Samakatuwid, ang haba ng cross product ay katumbas ng dalawang beses sa lugar ng isang tatsulok na may mga gilid ng mga vector at , kung sila ay itabi mula sa isang punto. Sa madaling salita, ang haba ng cross product ng mga vectors at katumbas ng lugar ng isang paralelogram na may mga gilid at at isang anggulo sa pagitan ng mga ito katumbas ng . Ito ang geometric na kahulugan ng produkto ng vector.

Unit vector- ito ay vector, ang absolute value (modulus) kung saan ay katumbas ng isa. Upang tukuyin ang isang unit vector, gagamitin namin ang subscript e. Kaya, kung ang isang vector ay ibinigay a, kung gayon ang vector ng unit nito ang magiging vector a e. Ang vector ng unit na ito ay tumuturo sa parehong direksyon tulad ng mismong vector a, at ang modulus nito ay katumbas ng isa, iyon ay, isang e \u003d 1.

Obviously, a= a a e (a - modulus ng vector a). Ito ay sumusunod mula sa panuntunan kung saan isinasagawa ang operasyon ng pagpaparami ng scalar sa isang vector.

Mga vector ng unit madalas na nauugnay sa mga coordinate axes ng coordinate system (sa partikular, sa mga axes ng Cartesian coordinate system). Direksyon ng mga ito mga vector nag-tutugma sa mga direksyon ng kaukulang mga palakol, at ang kanilang mga pinagmulan ay madalas na pinagsama sa pinagmulan ng sistema ng coordinate.

Hayaan mong ipaalala ko sa iyo iyon Cartesian coordinate system sa kalawakan ay tradisyunal na tinatawag na triple ng mutually perpendicular axes na nagsasalubong sa isang puntong tinatawag na pinanggalingan. Ang mga coordinate axes ay karaniwang tinutukoy ng mga letrang X, Y, Z at tinatawag na abscissa axis, ang ordinate axis, at ang applicate axis, ayon sa pagkakabanggit. Si Descartes mismo ay gumamit lamang ng isang axis, kung saan naka-plot ang mga abscissas. merito ng paggamit mga sistema axes ay pag-aari ng kanyang mga mag-aaral. Samakatuwid ang parirala Cartesian coordinate system mali sa kasaysayan. Mas magandang pag-usapan hugis-parihaba sistema ng coordinate o orthogonal coordinate system. Gayunpaman, hindi namin babaguhin ang mga tradisyon at sa hinaharap ay ipapalagay namin na ang Cartesian at rectangular (orthogonal) coordinate system ay iisa at pareho.

Unit vector Ang , na nakadirekta sa X axis, ay tinutukoy i, unit vector, nakadirekta sa kahabaan ng Y axis, ay tinutukoy j, a unit vector, na nakadirekta sa Z axis, ay tinutukoy k. Mga vector i, j, k tinawag orts(Larawan 12, kaliwa), mayroon silang mga solong module, iyon ay
i = 1, j = 1, k = 1.

mga palakol at orts rectangular coordinate system sa ilang mga kaso mayroon silang ibang mga pangalan at pagtatalaga. Kaya, ang abscissa axis X ay maaaring tawaging tangent axis, at ang unit vector nito ay tinutukoy τ (Greek maliit na titik tau), ang y-axis ay ang normal na axis, ang unit vector nito ay denoted n, ang applicate axis ay ang axis ng binormal, ang unit vector nito ay denoted b. Bakit papalitan ang mga pangalan kung ang kakanyahan ay nananatiling pareho?

Ang katotohanan ay, halimbawa, sa mekanika, kapag pinag-aaralan ang paggalaw ng mga katawan, ang isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate ay madalas na ginagamit. Kaya, kung ang sistema ng coordinate mismo ay hindi gumagalaw, at ang pagbabago sa mga coordinate ng isang gumagalaw na bagay ay sinusubaybayan sa hindi gumagalaw na sistemang ito, kadalasan ang mga axes ay nagpapahiwatig ng X, Y, Z, at ang kanilang orts ayon sa pagkakabanggit i, j, k.

Ngunit madalas, kapag ang isang bagay ay gumagalaw kasama ang ilang uri ng curvilinear trajectory (halimbawa, kasama ang isang bilog), mas maginhawang isaalang-alang ang mga mekanikal na proseso sa isang coordinate system na gumagalaw sa bagay na ito. Ito ay para sa isang gumagalaw na sistema ng coordinate na ginagamit ang ibang mga pangalan ng mga axes at ang kanilang mga unit vector. Tanggap na lang. Sa kasong ito, ang X-axis ay nakadirekta nang tangential sa trajectory sa punto kung saan ang bagay na ito ay kasalukuyang matatagpuan. At pagkatapos ang axis na ito ay hindi na tinatawag na X axis, ngunit ang tangent axis, at ang unit vector nito ay hindi na tinutukoy. i, a τ . Ang Y axis ay nakadirekta kasama ang radius ng curvature ng trajectory (sa kaso ng paggalaw sa isang bilog - sa gitna ng bilog). At dahil ang radius ay patayo sa tangent, ang axis ay tinatawag na axis ng normal (perpendicular at normal ay ang parehong bagay). Ang ort ng axis na ito ay hindi na tinutukoy j, a n. Ang ikatlong axis (ang dating Z) ay patayo sa dalawang nauna. Ito ay isang binormal na may vector b(Larawan 12, kanan). Sa pamamagitan ng paraan, sa kasong ito rectangular coordinate system madalas na tinutukoy bilang "natural" o natural.